PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh Lomená čára A0 A1 A2 A3 ..., An (n ≥ 2) se skládá z úseček A0 A1, A1 A2, A2A3, ..., An–1An, z nichž každé dvě sousední mají společný jeden krajní bod a neleží v téže přímce.
Uzavřená lomená čára spolu s částí roviny, kterou ohraničuje, se nazývá mnohoúhelník.
Pozn. Místo označení "mnohoúhelník" budeme používat termín n-úhelník. V dalším textu se budeme věnovat pouze konvexním n-úhelníkům. Otázka: Kolik je součet vnitřních úhlů v konvexním n-úhelníku? Úhlopříčka je spojnice dvou nesousedních vrcholů n-úhelníku. Otázka: Kolik úhlopříček má konvexní n-úhelník? Pravidelný n-úhelník Má všechny strany i všechny vnitřní úhly stejně veliké. Lze mu opsat i vepsat kružnici. Cvičení: Vepište do kružnice a) rovnostranný trojúhelník b) čtverec c) pravidelný šestiúhelník d) pravidelný osmiúhelník e) pravidelný pětiúhelník
Čtyřúhelníky Pozn. Budeme se zabývat pouze konvexními čtyřúhelníky. Dělení: 1) Různoběžníky nemají rovnoběžné strany. 2) Lichoběžníky mají dvě strany – základny – rovnoběžné, další dvě strany – ramena – jsou různoběžné. Zvláštními případy lichoběžníků jsou pravoúhlý lichoběžník a rovnoramenný lichoběžník.
Úsečka S1S2, kde body S1, S2 jsou středy ramen b, d, se nazývá střední příčka lichoběžníku. ac Její délka je rovna aritmetickému průměru délek základen a, c, S1 S 2 . 2 3) Rovnoběžníky mají dvojice protějších stran navzájem rovnoběžné. Rovnoběžníky jsou kosodélník, kosočtverec, obdélník a čtverec.
Základní vlastnosti rovnoběžníků: 1) Protější strany jsou shodné. 2) Protější vnitřní úhly jsou shodné. 3) Úhlopříčky se navzájem půlí a jejich průsečík je středem rovnoběžníku. 4) Úhlopříčky pravoúhlých rovnoběžníků jsou shodné. 5) Úhlopříčky rovnostranných rovnoběžníků půlí jejich vnitřní úhly a jsou na sebe kolmé.
Kružnice, kruh Je dán bod S. Kružnice k = (S; r) je množina všech bodů v rovině, které mají od bodu S vzdálenost rovnu r. Bod S nazýváme střed kružnice, r je poloměr kružnice. Kruh K = (S; r) je množina všech bodů v rovině, které mají od bodu S vzdálenost menší nebo rovnu r. Bod S nazýváme střed kruhu, r je poloměr kruhu. Tětiva kružnice je úsečka, jejíž krajní body leží na kružnici. Prochází-li středem kružnice, zveme ji průměrem kružnice a značíme d. Body A, B rozdělí kružnici na dva kružnicové oblouky. Není-li AB průměrem kružnice, dostaneme menší a větší kružnicový oblouk.
Části kruhu
Vzájemná poloha přímky a kružnice
k n
k s P1 ; P2 Body P1 a P2 zveme průsečíky přímky a kružnice, bod S1 je střed tětivy P1P2. k t T Bod T zveme bodem dotyku přímky a kružnice. Otázka: Jak najít střed kružnice, když jej neznáme?
Úhly příslušné k oblouku kružnice
Přehled značení: ω1 ... středový úhel příslušný menšímu oblouku (konvexní úhel) ω2 ... středový úhel příslušný většímu oblouku (nekonvexní úhel) δ1 ... obvodový úhel příslušný menšímu oblouku (ostrý úhel) δ2 ... obvodový úhel příslušný většímu oblouku (tupý úhel) Věta 1: ω = 2δ Věta 2 (Thaletova): Všechny úhly nad průměrem kružnice jsou pravé. Pozn. Thaletova věta je přímým důsledkem věty 1. Je-li tětiva AB současně průměrem kružnice, rozdělí tuto kružnici na dva shodné oblouky, jejichž středové úhly jsou úhly přímé.
Cvičení: 1) Bodem A veďte tečnu ke kružnici k, A k . 2) Určete velikost obvodového úhlu příslušného k oblouku, jehož délka je: 3 3 a) délky kružnice, b) délky kružnice. 5 8 3) V pravidelném osmiúhelníku ABCDEFGH vypočtěte velikosti všech vnitřních úhlů v trojúhelníku: a) ABG, b) ACE, c) BEH. 4) Kružnice je rozdělena na dva oblouky tak, že obvodový úhel příslušný k většímu oblouku je roven středovému úhlu příslušnému k menšímu oblouku. Určete velikost obvodových úhlů příslušných k oběma obloukům.
5) Vypočtěte velikost vnitřních úhlů v trojúhelníku, který dostanete, spojíte-li na kruhovém ciferníku hodinek body vyznačující 1, 5, 8. 6) V čtyřúhelníku ABCD, jehož vrcholy leží na kružnici, je velikost úhlu BAD = 58°, velikost úhlu ABC = 134°. Vypočtěte velikosti zbývajících vnitřních úhlů čtyřúhelníku. 7) Dokažte, že spojnice bodů, které vyznačují na ciferníku hodinek 1, 6 a 5, 8, jsou k sobě kolmé. 8) Sestrojte pravoúhlý trojúhelník ABC s přeponou c, je-li dáno: c = 5 cm, vc = 2 cm. 9) AB je menší oblouk kružnice, obvodový úhel k němu příslušný má velikost 65°. V bodech A, B jsou sestrojeny tečny kružnice, bod X je jejich průsečík. Vypočtěte velikost úhlu AXB. 10) Sestrojte čtyřúhelník ABCD, který má dva protější úhly při vrcholech B, D pravé. Délka úhlopříčky |AC| = 6 cm, velikost úhlu CAD = 30°, |AB| = |AD|. 11) Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: a) b = 2,5 cm, c = 5 cm, γ = 75°. b) a = 5 cm, b = 3,5 cm, vc = 3 cm. 12) Sestrojte pravoúhlý trojúhelník ABC s přeponou AB délky 5 cm, má-li výšku příslušnou k přeponě a) 2,5 cm, b) 2 cm, c) 3 cm.
