Pendahuluan Persamaan Diferensial Solusi dan NASB Review Kalkulus Diferensial Referensi
Persamaan Diferensial Pertemuan I
Nikenasih Binatari
Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY September 8, 2016
Nikenasih Binatari
Persamaan Diferensial
Pendahuluan Persamaan Diferensial Solusi dan NASB Review Kalkulus Diferensial Referensi
Skydiver
Figure: Penerjun Payung
Nikenasih Binatari
Persamaan Diferensial
Pendahuluan Persamaan Diferensial Solusi dan NASB Review Kalkulus Diferensial Referensi
Skydiver
Asumsi untuk pergerakan skydiver 1
gaya gravitasi
2
gaya hambat karena atmosfer
Hukum Newton II
mg − kv 2 = m
Nikenasih Binatari
d 2v dt 2
Persamaan Diferensial
Pendahuluan Persamaan Diferensial Solusi dan NASB Review Kalkulus Diferensial Referensi
Population http://www.census.gov/popclock/
Figure: Pertumbuhan Populasi
Nikenasih Binatari
Persamaan Diferensial
Pendahuluan Persamaan Diferensial Solusi dan NASB Review Kalkulus Diferensial Referensi
U.S Census
Nikenasih Binatari
Persamaan Diferensial
Pendahuluan Persamaan Diferensial Solusi dan NASB Review Kalkulus Diferensial Referensi
Population Thomas Maltus, An Essay on the principle of Population, 1798 Population, when unchecked, increases in a geometrical ratio.
Nikenasih Binatari
Persamaan Diferensial
Pendahuluan Persamaan Diferensial Solusi dan NASB Review Kalkulus Diferensial Referensi
Population Thomas Maltus, An Essay on the principle of Population, 1798 Population, when unchecked, increases in a geometrical ratio.
Asumsi Laju pertumbuhan dari populasi proporsional terhadap populasinya.
Nikenasih Binatari
Persamaan Diferensial
Pendahuluan Persamaan Diferensial Solusi dan NASB Review Kalkulus Diferensial Referensi
Population Thomas Maltus, An Essay on the principle of Population, 1798 Population, when unchecked, increases in a geometrical ratio.
Asumsi Laju pertumbuhan dari populasi proporsional terhadap populasinya.
Model
dP dt
= kP,
Nikenasih Binatari
P>0
Persamaan Diferensial
Pendahuluan Persamaan Diferensial Solusi dan NASB Review Kalkulus Diferensial Referensi
Tipe Variabel
Tiga tipe dasar variabel yang digunakan dalam model persamaan diferensial adalah 1
Variabel independent
Nikenasih Binatari
Persamaan Diferensial
Pendahuluan Persamaan Diferensial Solusi dan NASB Review Kalkulus Diferensial Referensi
Tipe Variabel
Tiga tipe dasar variabel yang digunakan dalam model persamaan diferensial adalah 1
Variabel independent
2
Variabel dependent
Nikenasih Binatari
Persamaan Diferensial
Pendahuluan Persamaan Diferensial Solusi dan NASB Review Kalkulus Diferensial Referensi
Tipe Variabel
Tiga tipe dasar variabel yang digunakan dalam model persamaan diferensial adalah 1
Variabel independent
2
Variabel dependent
3
Parameter
Nikenasih Binatari
Persamaan Diferensial
Pendahuluan Persamaan Diferensial Solusi dan NASB Review Kalkulus Diferensial Referensi
Denisi Persamaan Diferensial Persamaan Diferensial adalah persamaan yang memuat satu atau lebih variabel dependent terhadap satu atau lebih variabel independent.
Contoh 1 2 3 4
d 2y dx 2
+ xy
dy dx
2
2 d 4x + 5 ddt 2x + 3x dt 4 ∂v ∂v ∂s + ∂t = v ∂2u ∂2u ∂2u + ∂y 2 + ∂z 2 ∂x 2
=0 = sin t =0
Nikenasih Binatari
Persamaan Diferensial
Pendahuluan Persamaan Diferensial Solusi dan NASB Review Kalkulus Diferensial Referensi
Klasikasi berdasarkan banyaknya variabel independent, persamaan diferensial dibagi menjadi dua jenis yaitu : Persamaan Diferensial Elementer (PDE)
Nikenasih Binatari
Persamaan Diferensial
Pendahuluan Persamaan Diferensial Solusi dan NASB Review Kalkulus Diferensial Referensi
Klasikasi berdasarkan banyaknya variabel independent, persamaan diferensial dibagi menjadi dua jenis yaitu : Persamaan Diferensial Elementer (PDE) Denisi PDE adalah persamaan diferensial dari satu atau lebih variabel dependent terhadap satu variabel independent.
Nikenasih Binatari
Persamaan Diferensial
Pendahuluan Persamaan Diferensial Solusi dan NASB Review Kalkulus Diferensial Referensi
Klasikasi berdasarkan banyaknya variabel independent, persamaan diferensial dibagi menjadi dua jenis yaitu : Persamaan Diferensial Elementer (PDE) Denisi PDE adalah persamaan diferensial dari satu atau lebih variabel dependent terhadap satu variabel independent.
Persamaan Diferensial Parsial (PDP)
Nikenasih Binatari
Persamaan Diferensial
Pendahuluan Persamaan Diferensial Solusi dan NASB Review Kalkulus Diferensial Referensi
Klasikasi berdasarkan banyaknya variabel independent, persamaan diferensial dibagi menjadi dua jenis yaitu : Persamaan Diferensial Elementer (PDE) Denisi PDE adalah persamaan diferensial dari satu atau lebih variabel dependent terhadap satu variabel independent.
Persamaan Diferensial Parsial (PDP)
Denisi PDP adalah persamaan diferensial dari satu atau lebih variabel dependent terhadap lebih dari satu variabel independent. Nikenasih Binatari
Persamaan Diferensial
Pendahuluan Persamaan Diferensial Solusi dan NASB Review Kalkulus Diferensial Referensi
Klasikasi Berdasarkan sifat linearitasnya, persamaan diferensial juga dibagi menjadi dua yaitu : Persamaan Diferensial Linear Persamaan Diferensial Nonlinear Contoh
d 2y dx 2 d 2y dx 2 d 2y dx 2 d 2y dx 2
2 + 5 dy dx + 6y = 0
+ 6y = 0 + 5 dy dx 3 + 5 dy + 6y = 0 dx + 5y dy dx + 6y = 0 Nikenasih Binatari
Persamaan Diferensial
Pendahuluan Persamaan Diferensial Solusi dan NASB Review Kalkulus Diferensial Referensi
Order Order dari suatu persamaan diferensial adalah nilai turunan tertinggi dari suatu persamaan difereneial. Contoh
d 2y dx 2 d 2y dx 2 d 2y dx 2 d 2y dx 2
2 + 5 dy dx + 6y = 0
+ 5 dy + 6y = 0 dx 3 + 5 dy + 6y = 0 dx + 5y dy dx + 6y = 0
Nikenasih Binatari
Persamaan Diferensial
Pendahuluan Persamaan Diferensial Solusi dan NASB Review Kalkulus Diferensial Referensi
Solusi Persamaan diferensial order n secara umum dapat dinyatakan dalma bentuk
d ny dy F x, y , , · · · , n dx dx
dengan
F
=
0
(1)
adalah fungsi real.
Fungsi f sedemikian sehingga
y = f (x)
memenuhi Persamaan
1 disebut dengan solusi eksplisit. Relasi
g (x, y ) = 0
disebut solusi implisit jika memenuhi
Persamaan 1.
Nikenasih Binatari
Persamaan Diferensial
Pendahuluan Persamaan Diferensial Solusi dan NASB Review Kalkulus Diferensial Referensi
Contoh
Butkikan bahwa fungsi f yang terdenisi di setiap bilangan real x
f (x) = 2 sin x + 3 cos x merupakan solusi eksplisit dari persamaan diferensial
d 2y dx 2 + y = 0
Nikenasih Binatari
Persamaan Diferensial
Pendahuluan Persamaan Diferensial Solusi dan NASB Review Kalkulus Diferensial Referensi
Nilai Awal dan Syarat Batas
Figure: Syarat tambahan
Nikenasih Binatari
Persamaan Diferensial
Pendahuluan Persamaan Diferensial Solusi dan NASB Review Kalkulus Diferensial Referensi
Soal 1
hitunglah derivatif dari
y = e 2t cos 3t
Nikenasih Binatari
Persamaan Diferensial
Pendahuluan Persamaan Diferensial Solusi dan NASB Review Kalkulus Diferensial Referensi
Soal 2
Hitunglah derivatif dari
y=
t
1−t 2
Nikenasih Binatari
Persamaan Diferensial
Pendahuluan Persamaan Diferensial Solusi dan NASB Review Kalkulus Diferensial Referensi
Soal 3
Tentukan bentuk kurva yang diparametrisasi di bidang-xy berikut :
x = 3 sin 2t, y = cos 2t, 0 ≤ t ≤ π
Nikenasih Binatari
Persamaan Diferensial
Pendahuluan Persamaan Diferensial Solusi dan NASB Review Kalkulus Diferensial Referensi
Soal 4
Dari kelima fungsi berikut, yang merupakan fungsi naik pada interval 0
1
2 1−t
2
e −t
3
2e
4
4
5
t2
2t
adalah
− et
+ cos πt −1
Nikenasih Binatari
Persamaan Diferensial
Pendahuluan Persamaan Diferensial Solusi dan NASB Review Kalkulus Diferensial Referensi
Soal 5
Nilai integral tertentu − π 2
´
π
2 cos t
Nikenasih Binatari
dt
adalah
Persamaan Diferensial
Pendahuluan Persamaan Diferensial Solusi dan NASB Review Kalkulus Diferensial Referensi
Soal 6
Hitunglah nilai integral berikut :
´
x2 x3 + 1
3
dx
Nikenasih Binatari
Persamaan Diferensial
Pendahuluan Persamaan Diferensial Solusi dan NASB Review Kalkulus Diferensial Referensi
Soal 7
Hitunglah integral berikut :
−1
´3
3 4+3t
dt = ...
Nikenasih Binatari
Persamaan Diferensial
Pendahuluan Persamaan Diferensial Solusi dan NASB Review Kalkulus Diferensial Referensi
Soal 8
f ” (t) = 12e 2t + 18 sin 3t f (t) = ... Jika
dan
Nikenasih Binatari
f 0 (0) = f (0) = 3,
Persamaan Diferensial
maka
Pendahuluan Persamaan Diferensial Solusi dan NASB Review Kalkulus Diferensial Referensi
Soal 9
Tentukan kemiringan
et , y
x= = di t = 3
2 1+t
dy dt untuk garis singgung kurva
Nikenasih Binatari
Persamaan Diferensial
Pendahuluan Persamaan Diferensial Solusi dan NASB Review Kalkulus Diferensial Referensi
Interpretasi hasil
Interpreting your score: Skor
Interpretasi
8-9
Anda sudah siap belajar Persamaan Diferensial
6-7
Pelajari kembali soal-soal yang jawaban Anda salah
5 ke bawah
Anda disarankan mempelajari kembali materi prasyarat
Nikenasih Binatari
Persamaan Diferensial
Pendahuluan Persamaan Diferensial Solusi dan NASB Review Kalkulus Diferensial Referensi
Referensi
Ross, S.L, Dierential Equations, 1984, J. Willey, New York Boyce, W.E., dan Diprima, R.C. Elementary Dierential Equations dan Boundary Value Problems, 1992, J. Willey, New York. Zill, Dennis G., Cullen, Michael R. 1997. Dierential Equations with Boundary-value Problems. Fourth Edition. USA : Brooks/Cole Publishing Company. Trench, W.F. 2013. Elementary Dierential Equations.
Nikenasih Binatari
Persamaan Diferensial