Persamaan Diferensial Parsial Umum Orde Pertama Persamaan diferensial parsial umum orde pertama untuk fungsi
di mana sini
memiliki bentuk:
dan . Dalam hal ini dipandang sebagai fungsi dari lima argumen adalah solusi atau permukaan integral dari PDP (1) tersebut.
. Di
Apa yang mengagumkan dalam menyelesaikan permasalahan di atas ialah bahwa PDP (1) dapat diubah ke dalam sistem PDB.
Kerucut Monge Terkait dengan bentuk permukaan , secara geometris kita memperoleh arah normal dari suatu titik yang berada dalam permukaan itu sebagai dan bidang singgung pada permukaan itu di titik sebagai
Namun demikian, tanpa tambahan data lebih lanjut, PDP umum (1) mengarahkan kita sejumlah kemungkinan bidang singgung. Kumpulan bidang-bidang singgung yang melalui titik dapat membentuk semacam selubung (envelop) berbentuk kerucut dengan titik puncak (vertex) , yang disebut kerucut Monge. Pada kasus khusus PDP orde satu quasi-linear kerucut ini berdegenerasi menjadi garis singgung di titik . Dari konsep tersebut kita juga memiliki selubung keluarga permukaan integral menambakan parameter yang merupakan fungsi dan dalam :
sehingga kita dapat
Permukaan integral yang menjadi solusi memenuhi ketentuan (Fritz John, 1978). Selubung menyentuh permukaan sepanjang kurva . Di sepanjang kurva tersebut kita memiliki hubungan:
Dari (2) bila menganggap sebagai parameter ( dan dipandang sebagai fungsi dalam , maka kita dapat menulis (2) sebagai pembangkit (generator) yang memenuhi persamaan diferensial
Turunan total dari (1) memberikan kita persamaan
Dari (3) dan (4) kita memperoleh arah dari pembangkit
Kurva karakteristik pada permukaan integral definisikan sebagai kurva yang memenuhi memenuhi sistem persamaan diferensial:
Turunan kurva tersebut terhadap parameter sesuai dengan arah pembangkit (5). Sistem PDB (6) masih kurang terdeterminasi (underdetermined) karena jumlah persamaannya masih lebih kecil daripada jumlah argumen fungsinya . Agar sistem persamaannya menjadi terdeterminasi maka perlu ditambahkan dua persamaan lagi. Dari (1) kita telah mengetahui:
Turunan parsial
terhadap dan
adalah:
Kemudian dengan diferensial total dan memperhatikan sistem (6) serta (7) kita memperoleh:
Dan akhirnya
Sistem lima PDB (6) dan (8) merupakan sistem otonom, yakni parameter tidak muncul dalam ruas kanan persamaan, dan tidak memerlukan data tentang dalam mengkonstruksinya. Kesatuan persamaan (1), (6) dan (8) disebut persamaan-persamaan karakteristik.
Pita Karakteristik Setiap elemen yang memenuhi persamaan-persamaan karakteristik disebut karakteristik. Keluarga elemen dengan satu parameter disebut pita (strip), jika dan merupakan tangen (arah bidang singgung) terhadap kurva yang dibentuk oleh titik-titik yang merupakan pendukung pita tersebut. Dengan demikian elemen-elemen tersebut harus memenuhi syarat pita:
Syarat pita sama dengan persamaan generator (3) sebagai mana dinyatakan di atas. Selanjutnya karena untuk mengkonstruksikan suatu permukaan integral kita membutuhkan dua parameter, data dari PDP saja belum cukup. Kita membutuhkan semacam “nilai awal” yang identik dengan nilai batas pada pemecahan PDP dengan metode deret Fourier. Nilai awal ini adalah data berupa kurva dengan parameter yang kedua. Hal ini mengiring kita kepada masalah Cauchy. Jadi seperti penyelesaian PDP dengan deret Fourier memerlukan masalah nilai batas, penyelesaian PDP dengan metode geometrik memerlukan masalah Cauchy.
Masalah Cauchy Masalah Cauchy untuk bentuk (1) adalah mencari permukaan integral yang melalui kurva diberikan dengan parameter tertentu:
yang
Dengan demikian kita memperoleh tambahan data terhadap PDP (1). Formulasi masalah Cauchy ialah diberikan data berupa PDP (1) kita diminta untuk menentukan di mana menyentuh kurva . Di sini tambahan data (9) memungkinkan kita untuk memperoleh yang diekpresikan dalam dan . Dari turunan total kita juga memiliki:
Di mana
dan
. Di sini juga berlaku:
Kita akan mengkonstruksi fungsi-fungsi dengan dua parameter yang dinyatakan dengan:
, di mana (10) diperoleh saat
,
Dan tentunya (11) memenuhi persamaan (1). Kita dapat menulis ulang sistem persamaan karakteristik (4) dan (7) dalam (11) dan (12) sebagai berikut:
Kemudian kita mengintegrasikan sistem persamaan di atas terhadap dengan batas integrasi
Sistem persamaan (13) dan (14) mengandung (11). Bila jacobian menuliskan dan dengan
bila
sehingga sistem ini menjawab
, maka berdasarkan teori invers fungsi kita dapat sebagai argumennya, atau dengan kata lain
dan
.
Subsitusikan hasil-hasil ini ke dalam yang dinyatakan dalam bentuk:
, maka kita memperoleh solusi PDP (1) yang melalui kurva (8),
Contoh 1.
Persamaan karakteristik yang diperoleh ialah
Dari sistem PDB karakteristik di atas, pertama-tama kita peroleh solusi untuk
dulu
Kemudian kita substitusikan hasil-hasil di atas ke dalam dua persamaan pertama untuk memperoleh solusi dan :
Perlu diperhatikan bahwa adalah fungsi-fungsi dalam parameter , yang dipenuhi saat . Kita akan melanjutkan pembahasan PDP di atas apabila permukaan integral yang akan dicari menyentuh kurva dengan persamaan parametrik berikut:
Data tersebut membawa soal menjadi masalah Cauchy dengan hubungan sebagai berikut:
Solusi dari sistem persamaan karakteristik dalam parameter dan di atas ialah:
Karena nilai jacobian dan
maka dapat memperoleh fungsi invers dari
dengan dan sebagai subyek persamaan:
Kemudian dengan mensubstitusi hasil-hasil ini ke dalam PDP atau permukaan integral:
, maka kita akan memperoleh solusi
Contoh 2. Diberikan PDP:
dengan konstanta positif. Kita dapat menuliskan PDP tersebut dalam
bentuk
. Dari sini kita memperoleh persamaan-persamaan karakteristik
sebagai berikut:
Diberikan kurva awal:
. Dengan memilih
dan
kita memperoleh pita karakteristik:
Secara khusus jika kurva awal yang diberikan memiliki nilai hubungan
, maka kita memperoleh
Persamaan dengan dua parameter yang kita dapatkan dengan menerapkan (13) dan (14) ialah:
PDP dalam contoh 2, muncul dari permodelan masalah optik. Tiap garis-garis dari ditafsirkan sebagai “front gelombang” yang bergerak dengan waktu .
Contoh 3. Diberikan data PDP:
yang menyentuh kurva dengan persamaan parametrik:
PDP tersebut dapat dituliskan dalam bentuk lain:
, dengan persamaan-
persamaan karakteristik:
Dari
kita memperoleh solusi
ini kita substitusikan dalam dua persamaan terakhir
Kita memperoleh solusi dari kedua PDB ini sebagai:
Sementara itu kita juga memiliki hubungan
atau
, hasil
Akhirnya kita memperoleh
dan
maka kita memperoleh persamaan
dan
. Karena nilai dan
dan
. Kita substitusikan dalam
akan mengakibatkan:
Kemudian kita memecahkan PDB untuk
pada
dan :
Tanpa harus memeriksa jacobian, kita dapat memanfaatkan identitas trigonometris untuk memperoleh ekspresi fungsi dalam dan .
,
