Persamaan dan Fungsi Kuadrat

Bab

Persamaan dan Fungsi Kuadrat A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Kompetensi Dasar Setelah mengikuti pembelajaran persamaan siswa mampu: 1. menghayati pola hidup disiplin, kritis, bertanggungjawab, konsisten dan jujur serta menerapkannya dalam kehidupan sehari-hari; 2. memahami persamaan dan fungsi kuadrat, memilih strategi dan menerapkan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat serta memeriksa kebenaran jawabannya; 3. menganalisis persamaan kuadrat dalam berbagai bentuk penyajian masalah kontekstual; 4. Memahami konsep dan prinsip persamaan dan fungsi kuadrat serta menggambarkan grafiknya dalam sistem koordinat; 5. memahami berbagai bentuk ekspresi yang dapat diubah menjadi persamaan kuadrat dan mengidentifikasi sifatsifatnya; 6. menganalisis persamaan kuadrat dari data terkait masalah nyata dan menentukan model matematika berupa persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat; 7. memahami persamaan dan fungsi kuadrat, memilih strategi dan menerapkan untuk menyelesaikan masalah nyata serta memeriksa kebenaran jawabannya; 8. menganalisis grafik fungsi dari data terkait masalah nyata dan menentukan model matematika berupa fungsi kuadrat.

• • • • • • • • • •

Persamaan Kuadrat Peubah Koefisien Konstanta Akar-akar Persamaan Fungsi kuadrat Parabola Sumbu Simetri Titik Puncak Nilai Maksimum dan Minimum

Pengalaman Belajar Melalui pembelajaran materi fungsi kuadrat, siswa memperoleh pengalaman belajar: • menjelaskan karakteristik masalah otentik yang pemecahannya terkait dengan model matematika sebagai persamaan kuadrat; • merancang model matematika dari sebuah permasalahan otentik yang berkaitan dengan persamaan dan fungsi kuadrat; • menyelesaikan model matematika untuk memperoleh solusi permasalahan yang diberikan; • menafsirkan hasil pemecahan masalah; • menuliskan ciri-ciri persamaan dan fungsi kuadrat. dari beberapa model matematika; • menuliskan konsep persamaan dan fungsi kuadrat. berdasarkan ciri-ciri yang ditemukan dengan bahasanya sendiri; • menurunkan sifat-sifat dan aturan matematika yang berkaitan dengan persamaan dan fungsi kuadrat berdasarkan konsep yang sudah dimiliki; • menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan pemfaktoran, melengkapkan kuadrat sempurna, dan rumus abc; • menentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat; • menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya memenuhi kondisi tertentu; • menggunakan konsep dan prinsip persamaan kuadrat untuk memecahkan masalah otentik; • menentukan persamaan sumbu simetri dan titik puncak grafik fungsi kuadrat; • menggambarkan grafik fungsi kuadrat; • menentukan fungsi kuadrat, jika diberi tiga titik yang tidak segaris; • menjelaskan kaitan fungsi kuadrat dan persamaan kuadrat; • menggunakan konsep dan prinsip fungsi kuadrat untuk memecahkan masalah otentik dan soal-soal.

PETAKONSEP KONSEP B. B.PETA

HIMPUNAN

Materi Prasyarat

RELASI

FUNGSI

Masalah Otentik

Daerah asal

PERSAMAAN KUADRAT ax2 + bx + c = 0, a  0

FUNGSI KUADRAT f(x) = ax2 + bx + c, a  0

Daerah kawan

Daerah hasil

Tabel Koordinat

Koefisien Persamaan Fungsi kuadrat (a, b, c)

Diskriminan D = b2 – 4ac

D>0 D=0 D<0

Titik Potong Sumbu absis

Sketsa Grafik

 y = ax2 + bx + c  y = a(x – x1)(x – x2) 2  y = a(x – x1) 2  y = a(x – h) + k

a>0 a<0

Nilai Maks. Atau Min

y   D 4a

Pers. Sumbu simetri

x  b 2 a

Titik balik maks atau min P = b 2 a ,  D 2 a 

Karakteristik Fungsi Kuadrat

Menyusun Fungsi Kuadrat

Grafik Fungsi Kuadrat

214

Buku Matematika Siswa SMA/MA/SMK/MAK Kelas X

BUKU PEGANGAN SISWA

223

C. MATERI PEMBELAJARAN I. PERSAMAAN KUADRAT 1. Menemukan Konsep Persamaan Kuadrat Satu Peubah Banyak permasalahan dalam kehidupan yang pemecahannya terkait dengan konsep dan aturan-aturan dalam matematika. Secara khusus keterkaitan konsep dan prinsip-prinsip persamaan kuadrat, sering kita temukan dalam permasalahan kehidupan nyata yang menyatu/bersumber dari fakta dan lingkungan budaya kita. Konsep persamaan kuadrat dapat dibangun/ditemukan di dalam pemecahan permasalahan yang kita hadapi. Untuk itu perhatikan dan selesaikan dengan cermat permasalahan-permasalahan yang diberikan. Di dalam proses pemecahan masalah-masalah yang diberikan, kamu cermati objek-objek budaya atau objek lingkungan budaya yang dilibatkan dalam permasalahan yang diberikan. Objek-objek itu menjadi bahan aspirasi/inspirasi, karena terkadang ada konsep matematika melekat pada objek itu yang tidak kita sadari dan ternyata sebagai kata kunci dalam penyelesaian masalah. Demikian juga kamu tidak boleh mengabaikan atau melupakan konsep-konsep dan aturan-aturan matematika yang telah dipelajari sebelumnya, baik di tingkat SD, SMP, bahkan pada materi yang baru saja kamu pelajari. Dalam menyelesaikan masalah matematika, kamu bisa pada kesepakatan antara kamu dan teman-teman serta guru, saling terkait materinya, menggunakan variabelvariabel, bersifat abstrak sebab matematika adalah hasil abstraksi pemikiran manusia. Matematika menganut kebenaran konsistensi atau tidak boleh ada di dalamnya, unsurunsur, simbol-simbol, konsep-konsep, dan rumus-rumus yang saling bertentangan. Alat ukur kebenarannya, jika konsep yang ditemukan, ukuran kebenarannya apabila konsep tersebut diterima pada struktur matematika yang sudah ada sebelumnya. Jika prinsip (rumus-rumus, sifat-sifat) yang ditemukan, ukuran kebenarannya dapat dibuktikan kebenarannya menggunakan konsep atau aturan yang sudah ada sebelumnya.

Bab 7 Persamaan dan Fungsi Kuadrat

215

Masalah-7.1 Arsitek Ferdinand Silaban merancang sebuah rumah adat Batak di daerah Tuk-tuk di tepi Danau Toba. Ia menginginkan luas penampang atap bagian depan 12 m2. Di dalam penampang dibentuk sebuah persegi panjang tempat ornamen (ukiran) Batak dengan ukuran lebar 2 m dan tingginya 3 m. Bantulah Pak Silaban menentukan panjang alas penampang atap dan tinggi atap bagian depan!

Gambar 7.1 Rumah Adat

Pahamilah masalah di atas, artinya kamu tuliskan hal apa yang diketahui, apa yang ditanyakan, dan sajikan/dekati masalah dalam gambar. Gunakan variabel untuk menyatakan masalah dalam matematika. Ingat konsep dan aturan-aturan apa saja yang terkait dengan masalah yang dihadapi supaya dapat terpecahkan. Perhatikan konsep apa yang melekat pada penampang depan atap rumah adat tersebut. Gunakan sebagai langkah awal untuk menyelesaikan masalah. Ingat kembali apa yang dimaksud dua bangun dikatakan kongruen dan lakukan perbandingan panjang sisi-sisi kedua bangun tersebut untuk memperoleh persamaan tinggi penampang atap. Ingat kembali materi persamaan kuadrat yang telah dipelajari di SMP, bagaimana cara menentukan nilai variabel dengan menggunakan manipulasi aljabar pada persamaan yang diperoleh? Berdasarkan nilai variabel akan ditentukan tinggi penampang atap dan panjang alasnya. Alternatif Penyelesaian Diketahui: Luas penampang atap bagian depan 12 m2 Ukuran persegi panjang tempat ornamen adalah 3 m × 2 m Ditanya: a. Panjang alas penampang atap b. Tinggi atap

216


Kamu ilustrasikan masalah di atas seperti gambar berikut!

• Memperhatikan konsep apa yang melekat pada penampang depan atap rumah adat tersebut.

Gambar 7.2 Penampang Atap Bagian atas

Kamu cermati segitiga sama kaki ABC dan lakukan hal berikut. Misalkan panjang AE = FB = x m. Karena penampang atap rumah berbentuk segitiga sama kaki, maka 1 Luas = × panjang alas × tinggi 2 1 1 Luas × panjang + EF + alas L = =× ( AE FB )××tinggi t 2 2 1 L == 1×t ((xAE + 2++EF 12 x) + FB ) × t 22 = t1(1t (+x x+) 2 +................................................................................ 112 2= (1) x) GT 2 TB t 1+ x Perhatikan = CTB dan segitiga GFB. Kedua segitiga tersebut sebangun. 2 = =t (1 + x⇔ )segitiga 1GF 3 FB x GT 3TB t 1 + x + 3⇔ x = ⇒ t == GF FBx 3 x 3 + 3x 3  3x ⇒t = t= (2) x  ................................................................................

x

(b)

Substitusikan persamaan 2) ke persamaan 1) sehingga diperoleh Sehingga diperoleh

12 = (

3  3x ) (1 + x)  12x = (3 + 3x) (1 + x) x  12x = 3 + 3x + 3x + 3x2  3x2 + 6x – 12x + 3 = 0  3x2 - 6x + 3 = 0

2

 x - 2x + 1 = 0


217

(1)

Ingat kembali materi persamaan kuadrat yang telah dipelajari di SMP, bagaimana ca

t= Sehingga diperoleh

(b)

x

3  3x diperoleh 12 =Sehingga ( ) (1 + x)  12x = (3 + 3x) (1 + x) x 3  3x ) (1 + x) +2x) 12 = (  12x12x = 3 =+ (3 3x++3x) 3x +(13x x 2 + 6x=–312x = 0+ 3x2  3x  12x + 3x+ +3 3x  x2 - 2x + 1 = 0

2 2 +3=0  3x - 6x  3x + 6x – 12x + 3 = 0

(1)

 3x2 - 6x + 3 = 0

 x2 - 2x + 1 = 0 ...................................................................................... (3) (1) Ingat kembali materi persamaan kuadrat yang telah dipelajari di SMP, bagaimana cara

Ingat kembali materi persamaan kuadrat yang telah dipelajari di SMP, bagaimana menentukan nilai-nilai x dengan melakukanmanipulasi manipulasi aljabar pada persamaan (1). cara menentukan nilai-nilai dengan melakukan pada di persamaan Ingat kembali materi xpersamaan kuadrat yang telahaljabar dipelajari SMP, bagaimana cara (3). Berdasarkan persamaan(1) (3)akan akanditentukan ditentukan nilai-nilai Berdasarkan persamaan nilai-nilaix.x

menentukan nilai-nilai x dengan melakukan manipulasi aljabar pada persamaan (1). x - Berdasarkan 2x + 1 = 0  x2 - x – x + = 0 ditentukan nilai-nilai Apax makna dari a  b = 0 persamaan (1)1 akan 2

x - 2x + 1 = 0 x(xx2– -1)x –– 1(x x + -1) 1 = =0 0  (x 1)–=1(x 0 -1) = 0 -1) x (x(x––1) 2

• Apa makna dari a × b = 0 dan apadan kaitannya dengan dengan apa kaitannya (x – 1) (x – Apa 1) = 0makna dari a  b = 0

2  (x 0 – 1) = 0 –(x1)-1)= (x

 x= (x 1 – 1)2 = 0

(x – 1) (x – 1) = 0 dan apa kaitannya dengan (x – 1) (x – 1) = 0

Dengan menggunakan nilai x akan ditentukan nilai t Dengan menggunakan nilai x =x1akan ditentukan nilai t. 33 − 33xxxakan ==6.6.ditentukan nilai t Untuk 1 diperoleht t==nilai Dengan Untuk x =x1=menggunakan diperoleh x x Sehingga diperolehpanjang panjang alas atap atap rumahrumah adalah adalah 4 m dan 4m dan 3 dan 3x tinggi penampang Sehingga diperoleh penampang x = 1 diperoleh t = alas dan=tinggi 6. 6Untuk m. x 6m. Sehingga diperoleh panjang alas dan tinggi penampang atap rumah adalah 4m dan Sering temui orangorang tua yang sudah lanjut usia, menghitungharga harga telur (banyak kita Sering kita temui tua yang sudah lanjut usia,mampu mampu menghitung telur 6m. (banyak telur, cukup banyak) tanpa menggunakan kalkulator dengan waktu cukup telur, cukup banyak)orang tanpa tersebut menggunakan kalkulator dengan waktu cukup singkat. singkat. Sementara tidaklanjut pernahusia, menduduki pendidikan. Sering kita temui orang tua tua yang sudah mampujenjang menghitung harga telur (banyak Ternyataorang mereka dari leluhur cara menjumlahkan dan mengalikan Sementara tuamemiliki tersebutwarisan tidak pernah menduduki jenjang pendidikan. Ternyata mereka telur, cukup banyak) tanpa menggunakan kalkulator dengan bilangan. Agar kamu mengetahuinya, gunakan jari tanganmu dan pecahkanwaktu Masalahcukup singkat. memiliki warisan dari leluhur cara menjumlahkan dan mengalikan bilangan. Agar kamu 7.2 berikut. Sementara orang tua tersebut tidak pernah menduduki jenjang pendidikan. Ternyata mereka mengetahuinya, gunakan jari tanganmu dan pecahkan masalah 7.2 berikut. memiliki warisan dari leluhur cara menjumlahkan dan mengalikan bilangan. Agar kamu

Masalah-7.2

mengetahuinya, gunakan jari tanganmu dan pecahkan masalah 7.2 berikut.

Nenek moyang salah satu suku di Indonesia dalam melakukan operasi hitung penjumlahan dan perkalian mereka menggunakan basis lima dengan fakta bahwa banyak jari tangan kiri atau kanan adalah lima. Coba bantu temukan aturan perkalian untuk menentukan hasil kali bilangan x dan y dengan

BUKU PEGANGAN SISWA 218


BUKU PEGANGAN SISWA

227 227

a. 5 < x, y < 10, dengan x, y ∈ N b. x = 5 dan y ≥ 5, dengan x, y ∈ N

Gambar 7.3 Jari Tangan

Sebelum menemukan aturan perkalian bilangan-bilangan yang dibatasi pada bagian a) dan b), coba pilih dua bilangan x dan y, 5 < x, y < 10, dengan x, y ∈ N (misalnya, 6 × 8). Ingat apa arti basis 5, lakukan pencacahan bilangan 6 di jari tangan kiri dan bilangan 8 di jari tangan kanan. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut! 1) Setelah kamu mencacah satu kali bilangan x di tangan kiri, ada berapa banyak jari yang terpakai dan yang tidak terpakai pada pencacahan kedua kali? 2) Setelah kamu mencacah satu kali bilangan y di tangan kanan, ada berapa banyak jari yang terpakai dan yang tidak terpakai pada pencacahan kedua kali? 3) Berapa jumlah banyak jari yang terpakai pada tangan kiri dan banyak jari yang terpakai pada tangan kanan pada saat pencacahan kedua kali? 4) Berapa hasil kali jumlah jari yang terpakai di tangan kiri dan jari di tangan kanan dengan hasil pada langkah 3)? 5) Berapa banyak jari yang tidak terpakai di tangan kiri saat pencacahan kedua kali ? 6) Berapa banyak jari yang tidak terpakai di tangan kanan saat pencacahan kedua kali? 7) Berapa hasil kali bilangan pada langkah 5) dan 6)? 8) Berapa hasil jumlah bilangan pada langkah 4) dan 7) Berdasarkan 8 langkah penentuan hasil perkalian bilangan x dan y, bekerjasama dengan temanmu satu kelompok untuk menemukan aturan perkalian dua buah bilangan x dan y, 5 < x, y < 10, dengan x, y ∈ N.


219

Alternatif Penyelesaian Misalkan: z adalah bilangan basis (dalam contoh = 5) x = z + a, a < z y = z + b, b < z 1. hitung (a + b) 2. hitung (z + z ) = 2z 3. kalikan hasil langkah 1) dan 2), yaitu (a + b) 2z 4. hitung (z – a) 5. hitung (z – b) 6. kalikan hasil langkah 4) dan 5), yaitu (z – a) (z – b) 7. jumlahkan hasil langkah 3) dan 6), yaitu (a + b) 2z + (z – a) (z – b) 8. diperoleh x × y = (a + b) 2z + (z – a) (z – b), 5 < x, y < 10, x, y ∈ N Untuk contoh di atas diperoleh 6 × 8 = (a + b) 2z + (z – a)(z – b) 48 = 8z + (z – 1) (z – 3) ∴ z2 + 4z - 45 = 0 ...................................................................... (1)

Latihan 7.1 Cermati aturan perkalian pada bagian a) dan mencoba menemukan aturan perkalian bilangan pada bagian b). Awali kerja kamu dengan memilih dua bilangan x = 5 dan y ≥ 5, dengan x, y ∈ N. Ingat apa arti basis 5, lakukan pencacahan bilangan x di jari tangan kiri dan bilangan y di jari tangan kanan.

Masalah-7.3 Pak Anas memiliki tambak ikan mas di hulu sungai yang berada di belakang rumahnya. Setiap pagi, ia pergi ke tambak tersebut naik perahu melalui sungai yang berada di belakang rumahnya. Dengan perahu memerlukan waktu 1 jam lebih lama menuju tambak dari pada pulangnya. Jika laju air sungai 4 km/jam dan jarak tambak dari rumah 6 km, berapa laju perahu dalam air yang tenang? Ilustrasi masalah dapat dicermati pada gambar berikut.

220


Gambar 7.4 Sungai

2) Jika diasumsikan perahu tidak pernah berhenti sebelum sampai ditujuan, apa yang dapat Selesaikanlah masalah di keadaan atas, agarperahu? pekerjaan kamu lebih efektif renungkan beberapa kamu simpulkan dari pertanyaan berikut. 3) Coba temukan bentuk perasamaan langkah masalahsaat tersebut? 1) Bagaimana kecepatan perahu saat kuadrat menuju dalam hulu sungai danpemecahan kecepatan perahu Pak Anas pulang? 2) Jika diasumsikan perahu tidak pernah berhenti sebelum sampai ditujuan, apa Alternatif Penyelesaian yang dapat kamu simpulkan dari keadaan perahu? Misalkan kecepatan air sungaikuadrat dengan dalam Va = 4 langkah km/jam pemecahan masalah 3) Coba Vtemukan perasamaan a adalah bentuk tersebut? V adalah kecepatan perahu kehulu hu

hi adalah kecepatan perahu saat pulang Alternatif VPenyelesaian Misalkan VVta adalah adalahkecepatan kecepatanperahu air sungai dengan Va = 4 km/jam dalam air tenang Vhu adalah kecepatan perahu kehulu t1 adalah waktu yang diperlukan menuju Tambak Vhi adalah kecepatan perahu saat pulang tV yang perahu digunakan menuju rumah (pulang) 2 adalah adalahwaktu kecepatan dalam air tenang t adalahjarak waktu yang diperlukan Tambak St1adalah tambak dari rumah menuju Pak Anas t2 adalah waktu yang digunakan menuju rumah (pulang) BagaimanaSkecepatan perahu saat dari pergirumah kehulu dan saat menuju hilir (pulang)? adalah jarak tambak Pak Anas Bagaimana kecepatan saat pergi kehulu dan saat menuju hilir (pulang)? Kecepatan perahu saatperahu menuju hulu sungai Asahan menentang kecepatan air dan saat Pak Kecepatan perahu saat menuju hulu sungai menentang kecepatan air dan saat Pak Anas pulang, kecepatan perahu searah dengan kecepatan air sungai mengalir. Sehingga, Anas pulang, kecepatan perahu searah dengan kecepatan air sungai mengalir. Jika dimisalkan Vat = x km/jam Sehingga, Jika dimisalkan Vat = maka x km/jam maka VVhu == xx –– 44 dan V = x + 4 dan Vhihi = x + 4 hu Diasumsikan perahu tidak pernah berhenti sebelum sampai di tujuan, berarti Diasumsikan perahu tidak pernah berhenti sebelum sampai di tujuan berarti

x ≠ – 4 dan x ≠ 4. t1 - t2 =

S S =1  Vhu Vhi

6 6  =1 x- 4 x  4 6 (x + 4) – 6 (x – 4) = (x + 4) (x – 4) 6x + 24 - 6x + 24 = x2 + 4x – 4x - 16 48 = x2 – 16  x2 – 64 = 0

..................................................................................... (1)

(1)

x2 – 64 = 0  (x – 8) (x + 8) = 0  x - 8 = 0 atau x + 8 = 0  x = 8 atau x = -8

BUKU PEGANGAN SISWA


221

231

6 6  =1 x- 4 x  4 6 (x + 4) – 6 (x – 4) = (x + 4) (x – 4) 6x + 24 - 6x + 24 = x2 + 4x – 4x - 16 48 = x2 – 16  x2 – 64 = 0

(1)

2

x – 64 = 0  (x – 8) (x + 8) = 0  x - 8 = 0 atau x + 8 = 0  x = 8 atau x = -8

Kecepatan perahu di air tenang adalah Vat = x = 8 km/jam. Nilai x = –8 tidak berlaku sebab kecepatan perahu bergerak maju selalu bernilai positif. 231 BUKU PEGANGAN SISWA Kejadian dalam Masalah 7.4 yang akan dibahas, sering dialami oleh penggembala kerbau di tengah padang rumput yang penuh dengan pepohonan. Tentu kamu mengenal ketapel yang sering digunakan para petani untuk mengusir burung dikala padi sedang menguning. Mari kita temukan sebuah model matematika berupa persamaan kuadrat dari permasalahan berikut.

Masalah-7.4 Ronald anak Pak Sulaiman sedang asyik menunggang kerbau. Tiba-tiba ia melihat seekor burung yang berada di pohon dengan ketinggian 8m dari tanah. Ronald mengarahkan ketapelnya dengan sudut 30o, ternyata batu ketapel mengenai burung saat batu mencapai ketinggian maksimum. Berapa kecepatan batu bergerak? (gravitasi bumi = 10 m/det2). Ilustrasi masalah, dapat kamu cermati pada gambar di bawah ini.

Gambar 7.5 Posisi Burung di Pohon

Coba jelaskan pada temanmu pernyataan berikut. Pada Sumbu-x, batu bergerak lurus beraturan, apa artinya? Pada Sumbu-y, batu bergerak lurus berubah beraturan, apa artinya? Renungkan beberapa pertanyaan berikut, agar kamu lebih mudah memecahkan masalah. 222


1) Bagaimana hubungan kecepatan anak ketapel bergerak menuju burung dengan kecepatan anak ketapel arah vertikal? 2) Saat batu mencapai ketinggian maksimum dan mengenai burung, Bagaimana kecepatan 1) Bagaimana hubungan kecepatan anak ketapel bergerak menuju burung dengan batu (VyP) ?anak ketapel arah vertikal? kecepatan 2) Bagaimana Saat batu mencapai ketinggian maksimum (hmaks) anak dan mengenai burung,detiknya? 3) menentukan ketinggian yang dicapai ketapel setiap Bagaimana kecepatan batu (VyP) ? gravitasi bumi yang dalamdicapai hal ini anak ? 3) Bagaimana Bagaimanapengaruh menentukan ketinggian ketapel setiap detiknya? Bagaimana pengaruhanak gravitasi bumi dalam hal ini ? 4) Tentukan kecepatan ketapel dengan memanfaatkan apa yang diketahui dalam soal! 4) Tentukan kecepatan anak ketapel dengan memanfaatkan apa yang diketahui dalam soal! Diketahui: hmax = 8m dan  = 300 Alternatif Penyelesaian V0x = V0 cos ; V0y = V0 sin  o Diketahui: hmaks = 8 m dan a = 30 Pada Sumbu-x, Vox = V cos a; Vbatu = Vbergerak sin a lurus beraturan o oy o Pada Sumbu-x, Pada Sumbu-y, batu batu bergerak bergerak lurus lurusberaturan berubah beraturan Pada Sumbu-y, batu bergerak lurus berubah beraturan Saat batu mencapai mencapai ketinggian ketinggian maksimum maksimumdan danmengenai mengenaiburung, burung,VVyP= =0 0 yP

VyP = V0y – gt  0 = V0y – gt  toP =  toP = hmax = V0y toP –

V0 y • Apa dimaksud ketinggian Apayangyang dimaksud ketinggian maksimum yang dicapai anak maksimum yang dicapai anak ketapel. ketapel. Bagaimana kecepatan Bagaimana kecepatan anak ketapel saat anak ketapel saat mencapai mencapai ketinggian maksimum ketinggian maksimum

g V0 sin α g

1 2 gt oP 2

V sin α 1  V0 sin α  = V0 sin  0 – g   g 2  g  hmax =

2

1 V0 sin α  2 g

2

Untuk hmax = 8 m,  = 300, dan g = 10 m/det2 diperoleh



2 1 V0 sin 30 0 1 V0 sin α  hmax = 8= 2 10 2 g

8=



1 14 V02 2 10



2

 Bab 7 Persamaan dan Fungsi Kuadrat

BUKU PEGANGAN SISWA

223

233

8=  V02 - 640 = 0

1 2 V0 80

.......................................................................................... (1)

V02 - 640 = 0  (V0 +

 (V0 +

(1)

640 )(V0 - 640 ) = 0 640 ) = 0 atau (V0 - 640 ) = 0

 V0 = - 640 atau V0 = 640  V0 = - 8 10 atau V0 = 8 10 Jadi kecepatan batubatu (anak) ketapel meluncur adalahadalah V0 = 8 V10 Jadi kecepatan (anak) ketapel meluncur 8 10 m/det. 0 =m/det. • Bagaimana untuk V0 = - 8 10 m/det, apakah berlaku? 10 kecepatan untuk V0 = - 8sebab m/det, apakah berlaku? V0 = - Bagaimana anak ketapel bergerak arah ke atas 8 10 m/det tidak berlaku (positif).

V0 = - 8 10 m/det tidak berlaku sebab kecepatan anak ketapel bergerak arah ke at

• (positif). Temukan persamaan kuadrat pada langkah pemecahan Masalah 7.1, 7.2, 7.3, danTemukan 7.4 persamaan kuadrat pada langkah pemecahan masalah 7.1, 7.2, 7.3, dan 7.4

• x2 – 2x 2 +1=0

• z2 + 24z – 45 = 0

• 3z2 + 22z – 85 = 0

• x2 – 64 = 0

 x -3x+2=0

 z + 4z - 45 = 0  3z + 2z - 85 = 0  2 x2 – 64 = 0

• v0 – 640 = 0  V 2 - 640 = 0 • Tuliskan0ciri-ciri dari persamaan kuadrat secara individual dan diskusikan dengan teman secara klasikal. Tuliskan ciri-ciri dari persamaan kuadrat secara individual dan mendiskusikanny

Ciri-ciri persamaan kuadrat. dengan teman secara klasikal. • Sebuah persamaan • Pangkat tertinggi peubahnya adalah 2 dan pangkat terendah adalah 0 kuadrat. • Ciri-ciri Koefisienpersamaan variabelnya adalah bilangan real • Koefisien berpangkat 2, tidak sama dengan nol Sebuahvariabel persamaan • Koefisien berpangkat 1 dan 0 dapat bernilai 0. terendah adalah 0 Pangkatvariabel tertinggi peubahnya adalah 2 dan pangkat

 Koefisien variabelnya adalah bilangan real 224

Buku Matematika Siswa SMA/MA/SMK/MAK Kelas X  Koefisien variabel berpangkat 2, tidak sama dengan nol

 Koefisien variabel berpangkat 1 dan 0 dapat bernilai 0.

Berdasarkan ciri-ciri persamaan kuadrat di atas, coba kamu tuliskan pengertian persamaan kuadrat dengan kata-katamu sendiri dan diskusikan hasilnya dengan temanmu secara klasikal. Dari hasil diskusi siswa secara klasikal ditetapkan didefinisi berikut.

Definisi 7.1 Persamaan kuadrat dalam x adalah suatu persamaan yang berbentuk ax2 + bx + c = 0, dengan a, b, dan c bilangan real dan a ≠ 0.

Keterangan: x adalah variabel atau peubah a adalah koefisien dari x2 b adalah koefisien dari x c adalah konstanta persamaan

Contoh 7.1 Persamaan 2x + 5 = 0, bukan persamaan kuadrat sebab persamaan 2x + 5 = 0 dapat dibentuk menjadi persamaan 0x2 + 2x + 5 = 0, tetapi koefisien x2 adalah nol. Hal ini menunjukkan bahwa persamaan 2x + 5 = 0 tidak memenuhi syarat Definisi 7.1, sebab koefisien x2 adalah 0. Persamaan 2x + 5 = 0 adalah persamaan linear satu peubah.

Contoh 7.2 Sebuah bola bergerak dari ketinggian h m. Ketinggian bola dari tanah untuk setiap detiknya ditentukan fungsi waktu h(t) = 20t – 5t2. Saat bola tiba di atas tanah, apa yang kamu temukan? Penyelesaian Saat bola tiba di atas tanah, h(t) = 0. h(t) = 0 ⇒ h(t) = 20t – 5t2 = 0. Persamaan 20t – 5t2 = 0 termasuk persamaan kuadrat sebab persamaan 20t – 5t2 = 0 dapat ditulis menjadi -5t2 + 20t + 0 = 0, dengan koefisien a = -5 ≠ 0, b = 20 dan c = 0. Berdasarkan Definisi 7.1 persamaan 20t – 5t2 = 0 merupakan persamaan kuadrat dengan satu variabel, yaitu t.


225

Contoh 7.3 Persamaan x2 + y2 – 2x + 5 = 0, bukan persamaan kuadrat satu peubah sebab persamaan tersebut memuat dua peubah, yaitu x dan y.

Latihan 7.2 Di depan sebuah sekolah akan dibangun lapangan bola basket. Tanah kosong yang tersedia berukuran 60 m × 30 m. Karena dana terbatas, maka luas lapangan yang direncanakan adalah 1000 m2. Untuk memperoleh luas yang diinginkan, ukuran panjang tanah dikurangi x m dan ukuran lebar dikurangi x m. Dapatkah kamu menemukan sebuah persamaan kuadrat dari masalah ini?

Uji Kompetensi 7.1 1. Apakah persamaan yang diberikan merupakan persamaan kuadrat? Berikan alasanmu! a. x2y = 0, y ∈ R, y ≠ 0. 1 b. x + = 0, x ≠ 0. x 2. Robert berangkat kesekolah mengenderai sepeda. Jarak sekolah dari rumahnya 12 km. Robert berangkat dengan kecepatan awal sepeda bergerak 7 km/jam. Karena Robert semakin lelah, kecepatan sepedanya mengalami perlambatan 2 km/jam. Berapa lama waktu yang digunakan Robert sampai di sekolah. 3. Pada sebuah kerucut lingkaran tegak diketahui bahwa: penambahan volume karena jari-jarinya ber226

tambah sepanjang 24 cm sama dengan penambahan volume karena tingginya bertambah 24 cm. Jika tinggi semula kerucut 3 cm, berapakah jari-jari kerucut semula ? 4. Dua buah jenis printer komputer akan digunakan untuk mencetak satu set buku. Jenis printer pertama, 1 x jam lebih cepat dari jenis printer kedua untuk menyelesaikan cetakan satu set buku. Jika kedua jenis printer digunakan sekaligus, maka waktu yang digunakan untuk mencetak satu set buku adalah 4 jam. Berapa waktu yang dibutuhkan printer jenis kedua untuk mencetak satu set buku.


untuk mencetak satu set buku adalah 4 jam. Berapa waktu yang dibutuhkan p kedua untuk mencetak satu set buku. 5. Jika

maka nilai terbesar yang mungkin dari adalah. . . .

6. Jika 5. Jika a2 + a – 3 = 0, maka nilai terbesar 7. yang mungkin 7. dariBentuk a3 + faktorisasi 4a2+9988 dari : adalah. . . . 8. 8. Jika 6. Jika a3 + b3 = 637 dan a + b = 13, maka nilai dari (a–b)2 adalah. . . .

) adalah. . . . , maka nilai dari ( Bentuk faktorisasi dari : 4kn + 6ak + adalah. . . 6an + 9a2 adalah. . . Jika a + b + c =, maka 0 dengan a, b, c ≠ 0, maka nilai [ (

Projek

)

(

)

(

)]

Rancanglah minimal dua masalah nyata di lingkungan sekitarmu yang terkait dengan persamaan kuadrat dan berilah penyelesaian kedua masalah tersebut. Buatlah laporan hasil kerjamu dan sajikan di depan kelas. 2. Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat Ada beberapa cara (aturan) menentukan akar-akar (penyelesaian) persamaan kuadrat. Aturan tersebut seluruhnya diturunkan dari konsep (Definisi-7.1) yang telah kita temukan. Aturan tersebut antara lain, cara memfaktorkan, melengkapkan kuadrat sempurna, dan rumus ABC. Ketiga aturan ini memiliki kelebihan dan kelemahan terkait dengan efisiensi waktu yang digunakan untuk menentukan akar-akar sebuah persamaan kuadrat. Agar lebih terarah pembahasan kita, mari kita coba memecahkan masalah-masalah yang diberikan. 1) Cara Pemfaktoran

Latihan 7.3

BUKU PEGANGAN SISWA

Temukan pola atau aturan memfaktorkan, melengkapkan kuadrat sempurna, dan menemukan rumus ABC berdasarkan konsep persamaan kuadrat untuk menentukan akar-akarnya (harga-harga x yang memenuhi persamaan). Selesaikanlah masalah di atas, agar pekerjaan kamu lebih efektif pahamilah beberapa pertanyaan berikut! a) Apa yang dimaksud dengan memfaktorkan? Berdasarkan Definisi-7.1, kita memiliki bentuk umum persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0. Nilai x dapat kita tentukan dengan cara


227

Temukan pola atau aturan memfaktorkan, melengkapkan kuadrat sempurna, dan menemukan rumus ABC berdasarkan konsep persamaan kuadrat untuk menentukan akarakarnya (harga-harga x yang memenuhi persamaan). Selesaikanlah masalah di atas, agar pekerjaan kamu lebih efektif pahamilah beberapa pertanyaan berikut! a) Apa yang dimaksud dengan memfaktorkan? Berdasarkan Definisi-7.1, kita memiliki pemfaktoran. Cara pemfaktoran dapat kita lakukan dengan memperhatikan koefisien x2, x, dan konstanta bentuk umum persamaan kuadrat c. ax2 + bx + c = 0, dengan a, b, c adalah bilangan real b) Ada berapa kasus yang dapat kamu pilah agar pemfaktoran persamaan kuadrat dan a ≠ 0. Nilai x dapat kita tentukan dengan cara pemfaktoran. Cara pemfaktoran dapat dapat terwakili seluruhnya. kita lakukan dengan memperhatikan koefisien x2, x, dan konstanta c. b) Ada Contoh berapa kasus yang dapat kamu pilah agar pemfaktoran persamaan kuadrat dapat 7.4 terwakili seluruhnya. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 3z2 + 2z – 85 = 0 dengan cara pemfaktoran. c) Perhatikan masalah 7.2 bagian b), kita telah peroleh persamaan kuadrat 3z2 + 2z - 85 = Penyelesaian 0. Untuk menentukan harga z yang memenuhi sebagai berikut.

3z2 + 2z - 85 =

1 ( 9z2 + 6z - 255) = 0 3



1 ( 9z2 + 3(17 - 15)z + (17  (-15)) = 0 3

 

1 ((9z2 + 51z) - (45z + 255)) = 0 3

= 17 m =m17 n = n = -15–15 m +mn+=n2==2b= b = –255 m mn×=n-255 = ac= ac

1 ((3z + 17)3z - 15(3z + 17)) = 0 3

 (3z +SISWA 17)(3z – 15) = 0 atau (3z + 17)(z – 5) = 0 238 BUKU PEGANGAN −17 17  −17  Harga-harga z yang memenuhi memenuhi adalah 5 atau himpunan penyelesaian Harga-harga adalahzz == atau z =, 55. Sehingga himpunan penye33   3 

−17 17 −17   2 = 0 adalah Hp =  - 85 persamaan 3z2 + 2z 3z lesaian persamaan + 2z – 85 = 0 adalah   , 5 , 5 . 3 3  3 .  2) Cara Melengkapkan Kuadrat Sempurna

2) Cara Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Untuk menemukan aturan penentuan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara

Untuk menemukan aturan penentuan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara

melengkapkan kuadrat sempurna cermati beberapa pertanyaan berikut.berikut. melengkapkan kuadrat sempurna cermati beberapa pertanyaan a) a) ApaApa yangyang dimaksud melengkapkan kuadrat sempurna ? dimaksud melengkapkan kuadrat sempurna?

2 2 + 2b)2 = a2 + 2ab Apakah kamu masih pelajaran di bahwa SMP bahwa b) b) Apakah kamu masih ingatingat pelajaran di SMP (a + b)2 (a = a + 2ab + b2 + b ?

c) Dapatkah kamu membentuk persamaan kuadrat ax + bx + c = 0, dengan a, b, c

2 c) Dapatkah membentuk kuadrat ax(a ++bxb)+2 =c a=2 0, 2 b, c adalah adalahkamu bilangan real danpersamaan a ≠ 0 dalam bentuk + dengan 2ab + ba, ? 2 2 2 d) Apakah persamaan kuadrat akarnya dengan = a + dapat 2ab + bditentukan . bilangan real seluruh dan a ≠ 0bentuk dalam bentuk (a + b)

teknik kuadrat sempurna?

d) Apakah seluruh bentuk persamaan kuadrat dapat ditentukan akarnya dengan teknik kuadrat 228 sempurna ? Berdasarkan


Definisi-7.1,

kita

memiliki

bentuk

umum

persamaan

ax2 + bx + c = 0, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0. Untuk a = 1 ax2 + bx + c = 0  x2 + bx + c - c = 0 – c 2

2

kuadrat

b) Apakah kamu masih ingat pelajaran di SMP bahwa2(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 c) Dapatkah kamu membentuk persamaan kuadrat ax + bx + c = 0, dengan a, b, c adalah c) Dapatkah kamu membentuk persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0 dalam bentuk (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. bilangan real dan a ≠ 0 dalam bentuk (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. d) Apakah seluruh bentuk persamaan kuadrat dapat ditentukan akarnya dengan teknik d) Apakah seluruh bentuk persamaan kuadrat dapat ditentukan akarnya dengan teknik kuadrat sempurna ? kuadrat sempurna ? Berdasarkan Definisi-7.1, kita memiliki bentuk umum persamaan kuadrat Berdasarkan Definisi-7.1, kita memiliki bentuk umum persamaan kuadrat Definisi-7.1, kita memiliki bentuk umum +2 c = 0, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠persamaan 0. Untuk akuadrat =1 ax2 + bxBerdasarkan 2 ax + bx + c = 0, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0. a = 1, 1 ax + bx +2 c = 0, dengan a, b,2 c adalah bilangan real dan a ≠ 0. Untuk a = Untuk ax + bx + c = 0  x + bx + c - c = 0 – c ax2 + bx + c = 0  x2 + bx + c - c =20 – c 2 1  1   x2 + bx +  b  2 =  b  2 – c 1  1   x2 + bx +  2 b  =  2 b  – c 2  2  2 1 2  1 2  (x + b) =  1 b  – c 1    (x + 2 b)2 =  2 b  – c 2 2   1  (x + b) = 1  (x + 2 b) = 2 1 x =- b 1 x =-2b 2

2

2

1   1 2  1 b   c , jika  1 b  2  c  0  2   b   c , jika  2 b   c  0 2  2  2 2 1   1 2  1 b   c , jika  1 b  2  c  0  2   b   c , jika  2 b   c  0 2  2 

 

3) Menggunakan Rumus ABC Masih ingatkah kamu rumus abc waktu belajar persamaan kuadrat di SMP? Darimana rumus itu diturunkan? Bagaimana cara menemukannya?. Untuk itu beberapa pertanyaan berikut. 239 BUKU perhatikan PEGANGAN SISWA

239 BUKU PEGANGAN SISWA a) Dapatkah kamu membagi persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dengan koefisien a? mengapa? b) Setelah kamu membagi persamaan dengan koefisien a, dapatkah kamu melakukan manipulasi aljabar untuk mendapatkan bentuk kuadrat sempurna? c) Bagaimana memanipulasi dan menyederhanakan persamaan agar diperoleh nilai x1 dan x2? d) Akar persamaan kuadrat adalah dua bilangan, dapatkah kamu membedakan jenis akar-akar itu dari segi jenis bilangannya dan nilainya? Apa yang membedakan akar-akar tersebut? e) Temukanlah jenis-jenis akar-akar persamaan kuadrat dilihat dari nilai diskriminan. Berdasarkan Definisi-7.1, bentuk umum persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0.


229

Minta siswa siswa menemukan menemukan rumus rumus abc, abc, bagaimana bagaimana cara cara menentukan menentukan nilai-nilai nilai-nilai xx yang yang Minta memenuhi persamaan persamaan dengan dengan rumus rumus abc. abc. Diharapkan Diharapkan jawaban jawaban siswa siswa sebagai sebagai memenuhi berikut. berikut. Berdasarkan Definisi-7.1, Definisi-7.1, bentuk bentuk umum umum persamaan persamaan kuadrat kuadrat ax ax222 ++ bx bx ++ cc == 0, 0, Berdasarkan dengan a, a, b, b, cc adalah adalah bilangan bilangan real real dan dan aa ≠≠ 0. 0. dengan bb cc cc bb ax222 + bx + 0, aaa ≠  xxx222 +  xxx222 + ax ax ++ bx bx ++ ccc = == 0, 0, ≠≠ 000   ++ xxx + ++ = == 000   ++ xxx + ++ = == 000 aa

aa

aa

22

Menyuruh siswa siswa Menyuruh melakukan melakukan manipulasi manipulasi aljabar, aljabar,

dengan dengan

mengingat sifat sifat mengingat persamaan. persamaan.

aa

22

bb cc  bb 2  bb 2 x +  xxx +  ++   = == --- + ++   aa aa  22aa   22aa  xx222 ++

bb 222  (x (x +  ))) = ==  (x ++ 22aa

22

 bb 2 cc   -- 22aa  aa

bb  (x (x +  ))) = ==    (x ++

bb222  44ac ac    222  44aa 

11 bb  xxx =    == --- 

ac bb222  44ac

22aa

22aa

22aa 22

ac bb bb2 44ac x   x    111,,,222 22aa

Sifat-1

222

Persamaan kuadrat axbx ++ 0, dengan dengan a,cb, b,bilangan adalah bilangan real dan dan Persamaan kuadrat == 0, a, cc adalah bilangan Persamaan kuadrat ax2 +ax + bx cbx=++0,ccdengan a, b, dan real dan a ≠ real 0, maka persamaan tersebut adalah maka rumus abc abc untuk menentukan akar-akar akar-akar persamaan persamaan tersebut tersebut aa ≠≠akar-akar 00,, maka rumus untuk menentukan a ≠ 0, maka rumus abc untuk menentukan akar-akar persamaan tersebut

−b ± b 2 − 4ac ac bb. bb222 44ac adalah xx 2a adalah

x1, 2 =

adalah x111,,,222 

22aa

3. Menemukan Rumus Untuk Menentukan Hasil Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat

Suruh siswa siswa mencermati mencermati nilai nilai diskriminan diskriminan dan dan menentukan menentukan sifat-sifat sifat-sifat akar akar sebuah sebuah Suruh

Akar-akar sebuah persamaan kuadrat dapat dijumlahkan atau dikalikan. persamaan kuadrat. Diharapkan Diharapkan siswa dapatkali menemukan hal kaitannya berikut. dengan persamaan kuadrat. siswa menemukan hal berikut. Bagaimana menentukan hasil jumlah dan dapat hasil akar-akar dan koefisien-koefisien persamaan kuadrat tersebut? Untuk itu selesaikanlah masalah Sifat akar-akar akar-akar persamaan persamaan kuadrat kuadrat dapat dapat ditinjau ditinjau dari dari nilai nilai diskriminan, diskriminan, yaitu yaitu Sifat berikut.

D D

4ac. Sifat Sifat akar-akar akar-akar tersebut tersebut adalah. adalah. == bb222 –– 4ac. = b – 4ac. Sifat akar-akar tersebut adalah.

Temukan aturan (rumus) menentukan hasil dan hasil kali akar-akar 1) jika jika D >> 0, 0, maka maka persamaan persamaan kuadrat kuadrat ax ax222 ++ bx bxjumlah 0, dengan dengan a, a, b, b, cc adalah adalah bilangan bilangan 1) D ++ cc == 0, persamaan kuadrat!

real dan dan aa ≠≠ 00 memiliki memiliki dua dua akar akar real real yang yang berbeda. berbeda. Misalkan Misalkan kedua kedua akar akar tersebut tersebut xx111 real dan xx222,, maka maka xx111 ≠≠ xx222.. dan 230


BUKU PETUNJUK PETUNJUK GURU GURU BUKU BUKU PETUNJUK GURU

252 252 252

Selesaikanlah masalah di atas, lakukan tugas bersama temanmu satu kelompok. Beberapa pertanyaan yang kamu harus cermati untuk menemukan rumusaturan hasil jumlah a) Dapatkah kamu menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan yang sudah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat antara lain: milikikamu ? Aturan mana yang kamupersamaan pilih darikuadrat tiga cara di atas terkait a) kamu Dapatkah menentukan akar-akar dengan aturan yangdengan sudah kamu miliki? Aturan mana yang kamu pilih dari tiga cara di atas terkait menemukan rumus hasilrumus jumlah dan jumlah hasil kalidan akar-akar persamaan kuadrat? dengan menemukan hasil hasil kali akar-akar persamaan kuadrat? b) Bagaimana syarat menjumlahkan dan mengalikan dua bentuk akar ? b) Bagaimana syarat menjumlahkan dan mengalikan dua bentuk akar? c) Dapatkah kuadrat c) Dapatkahkamu kamumenyatakan menyatakanhasil hasiljumlah jumlahdan danhasil hasilkali kaliakar-akar akar-akarpersamaan persamaan kuadrat dalam koefisien-koefisien dalam koefisien-koefisien persamaanpersamaan tersebut? tersebut? Alternatif Penyelesaian Alternatif Penyelesaian Berdasarkan rumus rumusABC ABCdi diatas, atas,akar-akar akar-akarpersamaan persamaankuadrat kuadratadalah adalah Berdasarkan

x1 

 b  b 2  4ac  b  b 2  4ac dan x2  2a 2a

a. Jumlah Akar-akar Persamaan Kuadrat x1 + x2 =

 b  b 2  4ac  b  b 2  4ac + 2a 2a

x1 + x2 =

b a

b. Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat

  b  b 2  4ac   x1  x2 =    2 a   x1  x2 =

b 2  (b 2  4ac) 4a 2

x1  x2 =

c a

  b  b 2  4ac      2 a  

Berdasarkan kedua rumus di atas, disimpulkan Persamaan kuadrat

ax2 + bx + c = 0, dengan a, b, c adalah bilangan real

dan a ≠ 0 dengan akar-akar x1 dan x2, maka diperoleh x1 + x2 =

b a

dan

c Babx7 Persamaan dan Fungsi Kuadrat x = 1

2

a

231

Berdasarkan kedua rumus di atas, disimpulkan Sifat-2 Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0 dengan akar-akar x1 dan x2, maka diperoleh −b c x1 + x2 = dan x1 × x2 = a a 4. Persamaan Kuadrat Dengan Akar-akar x1 dan x2 Jika diketahui akar-akar persamaan kuadrat x1 dan x2, maka kita dapat menemukan persamaan kuadratnya. Sehingga permasalahan kita saat ini adalah sebagai berikut. Temukan aturan untuk menentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya x1 dan x2. Selesaikanlah masalah di atas, lakukan bersama temanmu satu kelompok. Agar pekerjaan kamu lebih efektif pahamilah beberapa pertanyaan berikut a) Bagaimana kamu akan mengkonstruk sebuah persamaan kuadrat dengan Mengarahkan siswa menemukan persamaan kuadrat, jika diketahui akar-akarnya akar-akar yang diberikan? dengan memanfaatkan rumushasil hasiljumlah jumlahdan danrumus hasil hasil kali akar-akar persamaan yang b) Apa keterkaitan rumus kali akar-akar yang diberikan?

diinginkan. Diharapkan siswa dapat melakukan hal berikut.

Jika Jika diketahui akar-akar danx2 xmaka menemukan 2 maka diketahui akar-akarpersamaan persamaan kuadrat kuadrat xx11dan kitakita dapatdapat menemukan

persamaan kuadratnya. Berdasarkan definisi-1, kita memiliki bentuk umum persamaan kuadratnya. Berdasarkan definisi-1, kita memiliki bentuk umum persamaan 2 persamaan kuadrat ax + bx + c = 0, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0.

kuadrat ax2 + bx + c = 0, dengan ba, b, cc adalah bilangan real dan a ≠ 0

ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 ⇒ x2 + x + = 0 b cc a ax + bx + c = 0, a ≠ 0  x2 + 2x + =0 ⇒ x – (x a a1 + x2)x + x1 × x2 = 0 2

– x1)x –x2 (x – x1) = 0  x2 –⇒x(x 1  x 2  x + x1  x 2 = 0 ⇒ (x – x )(x – x ) = 0  (x – x1) x – x12 (x – x21) = 0

Sifat-3

b a c x1  x2 = a

x1 + x2 =

 (x -– x1)(x – x2) = 0

Persamaan kuadrat dengan akar-akar x1 dan x2 adalah (x – x1)(x – x2) = 0.

Persamaan kuadrat dengan akar-akar x1 dan x2 adalah

(x - x1)(x – x2) = 0 232


a. Berapa jam waktu yang digunakan mesin jenis p padi.

Uji Kompetensi 7.2

50 m

50 m

50 m

50 m

50 m

50 m

505050 mmm

b. Berapa jam waktu yangdigunakan digunakan mesinjenis jen Berapa jam jam waktu b.b. Berapa waktu yang yang digunakanmesin mesin jen padi. padi. padi. mesin kedua untuk menggiling b.digunakan Berapa yang digunakan mesin jenissatk 1. Persamaan b. (m Berapa – 1)x2 +jam 4x +waktu 2m = yang 0 5. Jika a2 +jam a – waktu 3 =jenis 0, maka nilai terbesar 5.5. Jika makanilai nilaiterbesar terbesaryang yang mu Jika maka mung Jika mempunyai akar-akar yang mungkin dari maka nilai terbesar yang mu padi. real. Tentukan 5. padi. b. Berapa jam waktu yang b.digunakan mesin jenis kedua untuk menggiling Berapa jam waktu yang digunakan mesin jen nilai mb.yang memenuhi! a3 +4 a2 + 9988 adalah .... adalah. . ..2.+. 4x jamDengan waktu Akar-akar yang digunakan mesin jenis kedua untuk menggiling satu p adalah. 5.Berapa Jika maka nilai terbesar yang mungkin dari x2 Persamaan (m – nilai 1)x + 2m = 1. Persamaan Kuadrat x1 dan adalah. . . . 5. Jika maka terbesar padi. 6. Pada sebidang tanah akan didirikan yang mungk padi. 2. Jika a dan b adalah akar-akar padi. 0 mempunyai akar-akar2real. Tentukan nilai msebuah yang memenuhi! sekolah SD. Bentuk tanah 5.Persamaan Jika ax + terbesar yang mungkin dari terbesar persamaan + adalah. c2 =+ 0, . nilai (mbx– 1)x 4xmaka +. .6. 2m = at Dengan Akar-akar x1 dan x2kuadrat adalah. . .dilihat .didirikan 5. Jika maka nilai yang muS 6. Pada sebidang tanah akan sebuah sekolah 2 dan ukuran pada Pada sebidang tanah akan didirikan sebuah sekola adalah akar-akar persamaan + bxmungkin +tanah ctanah = 0,dapat tunjukkan bahwa 2. Jika maka nilaikuadrat terbesar yang dari 5. dan Jikabahwa tunjukkan 6. Padaaxsebidang akan didirikan sebuah sekola akar real. Tentukan nilai m yang memenuhi! dapat dilihat pada pada gambar. adalah. . dapat .gambar. . dilihat gambar. 4 2 2 2 2 adalah. . . . tanah dan ukuran dapat dilihat pada b  4 ab c  2 a c b  4ac gambar. 2 6. Pada sebidang tanah akan didirikan sebuah sekolah SD. Bentuk 4 4 2 C adalah. . . . 6. Pada sebidang tanah akan didirikan sebuah sekolah SD akar-akar persamaana.kuadrat tunjukkan bahwa  + ax =+ bx + c = 0, b. (   ) = C Berapakah ukur 2 4 Berapakah uk C a a Berapakah uk dapat 2 dilihat pada gambar. dapat dilihat pada gambar. bangunan 1 sebidang tanah akan6.didirikan sebuah tanah sekolah SD.didirikan Bentukluas tanah dan uku 4ab 2 c  2a 2 c 2  4ac 2 2 6. b Pada Pada sebidang akan sebuah sekola luas bangunan 3. Akar-akar persamaan kuadrat x 2x + 5 = 0 adalah p dan q. Temukan persamaan b. ( - ) = C 2 4 luas bangunan C Berapakah ukuran bangunan sekolah agar 6. Pada sebidang tanah akan didirikan sebuah sekolah SD. Bentuk tanah dan ukuran tan a dilihat pada gambar. a Berapakah ukuran dapat E F dilihat pada gambar. kuadrat yang akar-akarnya (p + 2) dan (q + 2)!dapat E 2 2 2 3. +Akar-akar persamaan – F bangunan 1500 E m? dilihat gambar.x persamaan Cpada an kuadrat x - 2x 5 = 0dapat adalah p dan q.kuadrat Temukan luas bangunan 15 FCluasuntuk Berapakah ukuransatu bangunan sekolah agar 4. Dua mesin padi digunakan menggiling peti padi. Berapakah uk 2x + buah 5 = 0Cjenis adalah p danpenggiling q. Temukan akarnya (p + 2) dan (q + 2)! 2 Berapakah ukuran bangunan sekolah agar D B E A luas bangunan 1500 m ? persamaan kuadrat yang akarE F 100 m luas banguna F pertama D12 jam Bdari mesin A menggiling satu peti lebih cepatD esin penggiling padiUntuk digunakan menggiling satumesin peti jenis padi.luas akarnya (p +untuk 2) dan (q + 2)!padi, Abangunan 100 m 1500 m2 ? B 100 m E F E 4. Dua buah jenis mesin penggiling 1 F sekaligus, 7. , nilai dari D B A jenis kedua. Sementara jika kedua mesin digunakan dapat menggiling satu D B satu peti padi, mesin padi jenis digunakan pertama lebih cepat jam dari mesin E A 100menggiling m2 untuk F 7. , nilai dari 100 m , nilai dari peti jam. menggiling D 7.8. Jika √ satupadi petiselama padi.6 Untuk A dapat menggiling satuB A√ D B√ ntara jika kedua mesinsatu digunakan sekaligus, 100 m 8. Jika untuk √ peti7. padi, mesin jenis pertama 100untuk m menggiling √satu peti , nilaiD dari 7.Bmesin a. Berapa jenis√pertama 8. Jika , nilai dari Ajam waktu yang digunakan am. untuk √ √ m mesin jenis lebih cepat 1 jam100 dari untuk padi.8. Jika 2 √ maka √ 7. , nilai dari √ pemfaktoran √ nilai yang mu √√ √√ ktu yang digunakan jenis Sementara pertama untukjika menggiling 7.9.petiHasil , nilai dari dari : mesin kedua. kedua8.satuJika b. Berapa jam waktu yang digunakan mesin jenis kedua untuk menggiling satu peti untuk , nilai dari nilai yang mungkindari untuk 9. Hasil pemfaktoran : untuk 7. digunakan mesin dapat 9. Hasil pemfaktoran dari : maka nilai yang 8. Jika sekaligus, √ √ adalah …√ √ peti padi selama 6 8. √√Jika √ padi. menggiling satu √ untuk ktu yang digunakan mesin jenis √ kedua untuk menggiling satu peti maka nilai 8. Jika 9. Hasil pemfaktoran : 9. √ adalah. . . yang mung jam. 5. Jika maka nilaidari terbesar yang mungkin dari dari : Hasiluntuk pemfaktoran adalah … √ √ untuk jam waktu yang digu a. Berapa √ √ 9. Hasil pemfaktoran dari : 9. Hasil pemfaktoran dari : adalah. . . jenis. . .pertama adalah … √ √ mesin maka nilai terbesar yangnakan mungkin dariadalah. satudari peti: padi. adalah. .... .. 9. untuk Hasilmenggiling pemfaktoran b. Berapa jam waktu yang digunaadalah. . . . 6. Pada sebidang tanah akan didirikan sebuah sekolah SD. Bentuk tanah dan ukuran tanah kan mesin jenis kedua untuk dapatmenggiling dilihat pada satu gambar. peti padi. h akan didirikan sebuah sekolah SD. Bentuk tanah dan ukuran tanah C Berapakah ukuran bangunan sekolah agar ambar. luas bangunan 1500 m2? Berapakah ukuran bangunan sekolah agar E F luas bangunan 1500 m2? E D

A

B

100 m

D

B


SISWA 4. persamaan kuadratnya. Sehingga permasalahanBUKU kita saatPEGANGAN ini adalah

ya. Sehingga permasalahan kita saat ini adalah

Masalah7.7

233

Projek Himpunlah informasi penggunaan sifat-sifat dan aturan yang berlaku pada persamaan kuadrat di bidang ekonomi, fisika, dan teknik bangunan. Kamu dapat mencari informasi tersebut dengan menggunakan internet, buku-buku dan sumber lain yang relevan. Temukan berbagai masalah dan pemecahannya menggunakan aturan dan sifat-sifat akar persamaan kuadrat. Buatlah laporan hasil kerjamu dan sajikan di depan kelas!

II. FUNGSI KUADRAT 1. Menemukan Konsep Fungsi Kuadrat Fungsi kuadrat sering kita temukan dalam permasalahan kehidupan nyata yang menyatu pada fakta dan lingkungan budaya kita. Konsep fungsi kuadrat dapat ditemukan di dalam pemecahan permasalahan yang kita hadapi. Untuk itu perhatikan dengan cermat permasalahan-permasalahan yang diberikan.

Masalah-7.5 Untuk pengadaan air bersih bagi masyarakat desa, anak rantau dari desa tersebut sepakat membangun tali air dari sebuah sungai di kaki pegunungan ke rumah-rumah penduduk. Sebuah pipa besi yang panjangnya s dan berdiameter d ditanam pada kedalaman 1 m di bawah permukaan air sungai sebagai saluran air. Tentukanlah debit air yang mengalir dari pipa tersebut. (Gravitasi bumi adalah 10 m/det2).

Gambar 7.6 Sumber Air Bersih

Pahamilah masalah di atas, artinya kamu tuliskan hal apa yang diketahui, apa yang ditanyakan, dan interpretasikan masalah dalam Gambar 7.6. Gunakan variabel 234


untuk menyatakan masalah dalam matematika. Ingat konsep dan aturan-aturan apa saja yang terkait dengan masalah yang dihadapi sehingga masalah tersebut dapat 2) Bagaimana tekanan air pada pangkal pipa dan diujung pipa dan aturan apa yang terka diselesaikan. dengan Beberapa pertanyaan yang harus kamu pahami untuk dapat memecahkan keadaan tersebut? masalah dengan baik antara lain sebagai berikut. 3) kamu jika menentukan kecepatan dari pipa menggunak 1) Dapatkah Apa yang terjadi luas permukaan sungaiair jauhyang lebihkeluar luas dari luasmulut permukaan pipa? pada pertanyaan 2)? aturan 2) Bagaimana tekanan air pada pangkal pipa di ujung pipa serta aturan apa yang 4) Dapatkah kamu menentukan terkait dengan keadaan tersebut? besarnya debit air yang mengalir dari pipa denga 3) mengingat Dapatkah kamu kecepatan air belajar yang keluar dari Dasar mulutkelas pipa V ? rumusmenentukan debit zat cair, saat Kamu di Sekolah menggunakan aturan pada pertanyaan 2)? 5) keterkaitan luas penampang pipadebit dengan kecepatan airdari mengalir. 4) Apa Dapatkah kamu menentukan besarnya air yang mengalir pipa dengan mengingat rumus debit zat cair, saat kamu belajar di SD? 5) Apa keterkaitan luas penampang pipa dengan kecepatan air mengalir?

Alternatif Penyelesaian Alternatif Penyelesaian

V2

A2

Pipa

h1

A1 …………………… h…………………… Sungai …………………… …………………… …………………… p1 = gh ……………………

h2

Gambar 7.7 Ilustrasi Posisi Pipa di Dalam Sungai

Gambar 7.7: Ilustrasi Posisi Pipa di Dalam Sungai Misalkan: Misalkan: p1 adalah tekanan air pada mulut pipa adalah tekanan pipa pp12 adalah tekananair airpada padaujung mulut pipa h adalah kedalaman pipa di bawah permukaan air sungai = 1 m ph2 adalah tekanan airpipa pada pipa tanah adalah ketinggian dariujung permukaan 1 adalah kedalaman ketinggian permukaan air sungai hh2adalah pipa di bawah permukaan air sungai. V adalah kecepatan air sungai mengalir h11 adalah ketinggian pipa dari permukaan tanah. V2 adalah kecepatan air mengalir dari ujung pipa hA2 adalah ketinggian permukaan permukaanairairsungai sungai. adalah penampang 1 adalah penampang permukaan ujung pipa VA12 adalah kecepatan air sungai mengalir g adalah gravitasi bumi = 10 m/det2.

V2 adalah kecepatan air mengalir dari ujung pipa.

A1 adalah penampang permukaan Bab air sungai 7 Persamaan dan Fungsi Kuadrat

235

A2 adalah penampang permukaan ujung pipa

Apa yang terjadi jika A1 jauh lebih luas dari A2. Diharapkan jawaban siswa sebag

• Apa yang terjadi jika A1 jauh lebih luas dari A2. Diharapkan jawaban siswa sebagai berikut.

Jika A1 >>> A2 maka V1 <<< V2, akibatnya V1 menuju 0 (nol). Jika A1 >>> Amaka V<<< V, 2akibatnya , akibatnya V1 menuju 0 (nol). 2 maka 1 <<< Jika A1A>>> A2Amaka V1V<<< V2V, 2akibatnya V1Vmenuju 0 0(nol). Jika (nol). 1 >>> 1 menuju Jika >>> A21 <<< maka <<< V22, akibatnya akibatnya menuju (nol). Atekanan V2air V2, 1pangkal 0 (nol). Jika Jika A1 >>> A1 >>> AA V VV ,11akibatnya akibatnya V1 menuju V1 menuju (nol). V VV110menuju 00 (nol). 1 <<< 2 1maka 2 maka 2pada Karena pipa dan diujung pipa sama maka berdasarkan gambar di Karena tekanan air pada pangkal pipa dan diujung pipa sama maka berdasarkan gamba Karena tekanan air pada pangkal pipa dan diujung pipa sama maka berdasarkan Karena tekanan airair pada pangkal pipa dan diujung pipa sama maka berdasarkan gambar di Karena tekanan pada pangkal pipa dan diujung pipa sama maka berdasarkan Karena tekanan air pada pangkal pipa dan diujung pipa sama maka berdasarkan gambar di di gambar d Karena tekanan air pada pangkal pipa dan diujung pipa sama maka berdasarkan gambar digambar Karena tekanan air pada pangkal pipa dan diujung pipa sama maka berdasarkan atas diperoleh persamaan gambar di atas diperoleh persamaan atas diperoleh persamaan atas diperoleh persamaan atas diperoleh diperoleh persamaan atas atas diperoleh persamaan atas diperoleh ρ11persamaan = ρpersamaan 1 22 p1 +1 gh1 1 + 1 1 1 V11 2 = p221 + 1gh21+ 1 1 V1222 2 2gh22 2 = p +1gh pV+222gh + p+1gh gh p+22p= +2gh +2+V22 22+ V2V2V2 1= 1p++ +1p 1gh +  p1 + p1gh V1 1p+21=++Vp1V +=+ + +gh V V222gh 22gh V21p2V+2gh 1= 1 1 2  11+ 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 1 g(h11 – 1h22) =12 1 12V12222 (karena nol) V122 menuju 22 2 2  g(h – h ) =  (karena menuju nol) 2 2V1 nol) V  V g(h1 g(h – h )g(h –= h ) =  (karena (karena menuju menuju nol) nol) – h ) =  (karena menuju V V V V V 2 1 2 12 2 1 2 g(h h ) = menuju nol) V 2 =  2 2h 1V (karena 2 V 1 21(karena 1– g(h – )  menuju nol) V 2 1 1 2 1 2 22 2 2 2 2 1 2 1 21gh = 1 2 (karena 1 2Vh21(karena V(karena hh12 =– h(karena )– hh1)– h2) gh =gh =Vgh h12)=– h h12= V(karena 2 =2V 2 gh 2 = (karena h h= =hh21h=–1h–h12h–) 2h) 2) =2 =22=1V2V 2 (karena 2 2ghgh 2 2 22 2 2 2 2 2gh =22V=2 2V2 2 Vgh 2gh V 2gh =  V  =gh V2 =2gh = 2 =2 gh2 gh 2V2 2 2 =V 2gh 2 gh 2gh = V=2V=2V V2V=2V=2 =2 gh 2  2gh 2 gh 2 Kecepatan air mengalir dari adalah Kecepatan air mengalir dari pipa pipa adalah V = Vadalah Kecepatan air dari pipa adalah V 2=gh 2=gh Kecepatan airmengalir mengalir dari pipa V 2=gh 2 gh Kecepatan air mengalir dari pipa adalah 2 gh air mengalir dari pipa adalah Kecepatan Kecepatan air mengalir dari pipa adalahV V= V = =2 gh 2 gh Debit mengalir dari sebuah pipa adalah volume air yang mengalir persatuan DebitDebit airDebit yang air yang mengalir mengalir dari dari sebuah sebuah pipa pipa adalah adalah volume volume air yang air yang mengalir mengalir persatuan persatuan waktu. waktu. air yang mengalir dari sebuah pipa adalah volume air yang persatuan waktu. waktu. air yang mengalir dari sebuah pipa adalah volume airmengalir yang mengalir persatuan Debit air yang mengalir dari sebuah pipa adalah volume air yang mengalir persatuan wa waktu. Debit air yang mengalir dari sebuah pipa adalah volume air yang mengalir persatuan waktu. Debit air yang mengalir dari sebuah pipa adalah volume air yang mengalir persatuan waktu q .

.

.

.

1 1 1 . (penampang . 2).gh q = (q = (qd2=)((d22)(gh (penampang pipa pipa berbentuk berbentuk lingkaran, lingkaran, luas luas penampang penampang pipa pipa adalah adalah A adalah A A d22))(gh ) (penampang pipa berbentuk lingkaran, luas penampang pipa 4 4 41 2

q = ( 11 d12 )( 22 gh ) (penampang pipa berbentuk lingkaran, luas penampang pipa adalah A

q( 4= ) (penampang pipa berbentuk lingkaran, luas penampang pipa adala 2)gh =1= (penampang pipa berbentuk lingkaran, luas penampang pipa adalah A pipa berbentuk lingkaran, luas penampang ( 1( d4  d)(2d)( 2)(gh ) (penampang (penampang pipa berbentuk lingkaran, luas penampang pipa adalah 2 gh 1q q , dd2adalah diameter pipa) pipa) = r2==r2==dr2,=4dd42adalah , diameter d adalah diameter pipa) pipa adalah A) 4 4 41

= r22 = 12 1 d122, d 2adalah diameter pipa) d, 2d,d dari =yang = dmengalir , adalah d(dadalah diameter pipa) adalah diameter pipa)) air mengalir pipa dinyatakan dalam fungsi berikut DebitDebit air Debit mengalir dari pipa dinyatakan dalam fungsi berikut dari pipa dinyatakan dalam fungsi berikut =yang =2 r=4yang diameter pipa) rair dadalah diameter pipa) =r 44 4 Debit dari pipa dinyatakan dalam fungsi berikut 20yang 20 air 2 20 2mengalir yang mengalir dalam fungsi berikut  q(d) = Debit ( air ,mengalir d R, dari 0dpipa air  q(d) =Debit ( q(d) , d )dyang R, d 0ddari (1) (1) (1)   =)d ( yang )dd2,mengalir R, dari 0 dinyatakan  pipa dinyatakan dalam fungsi berikut Debit air pipa dinyatakan dalam fungsi berikut Debit 4 4air 4yang mengalir dari pipa dinyatakan dalam fungsi berikut 20  q(d) = ( 2020 )d22, d2 R, d  0 (1) 20  q(d) = ( , R, d R, d 0 0 )d, 2)d 4  q(d) = ( )d d d  0 (1) (1)   q(d) = ( , d R, d   tenun yang dari Sumatera atau yang lebih dikenal dengan songket KainKain tenun yang berasal dari Sumatera BaratBarat atau yangatau lebih dikenal dengan songket Kain tenun yang berasal dari Sumatera Barat yang lebih dikenal dengan songket (1) 4 4berasal 4 merupakan hasil karya tradional perlu dipertahankan. kekayaan Minangkabau Minangkabau merupakan suatusuatu hasil karya tradional yangyang perlu dipertahankan. kekayaan Minangkabau merupakan suatu hasil karya tradional yang perlu dipertahankan. kekayaan

Kain tenun yang berasal dari Sumatera Barat atau yang lebih dikenal dengan songket Kain tenun yang berasal dari Sumatera Barat atau yang lebih dikenal dengan songk Minangkabau merupakan suatu hasildiantaranya karya tradional yang perlu dipertahankan. dari kain songket Minangkababu tersebut diantaranya adalah motif Pucuk Rabuang, motifmotif dari kain songket Minangkababu tersebut adalah motif Pucuk Rabuang, motif dari kain songket Minangkababu tersebut diantaranya adalah motif Pucuk Rabuang,kekayaan Minangkabau merupakan suatu hasil karya tradional yang perlu dipertahankan. kekay Minangkabau merupakan suatu hasil karya tradional yang perlu dipertahankan. kekayaan Minangkabau merupakan suatu hasil karya tradional yang perlu dipertahankan. kekayaa motifnya ternyata juga memiliki arti dan nilai kebersamaan tersendiri. Adapun jenis-jenis Itiak Pulang Patang, motif Kaluak Paku, dan yang lainnya. Motif Kaluak PakuPaku motifmotif Itiak Pulang Patang, motif Kaluak Paku, dan yangdan lainnya. Motif Kaluak Paku motif Itiak Pulang Patang, motif Kaluak Paku, yang lainnya. Motif Kaluak motifnya ternyata juga memiliki dan nilai kebersamaan tersendiri. Adapun jenis-j motifnya ternyata juga memiliki arti dan nilai kebersamaan tersendiri. Adapun jenis-jenis motifnya ternyata juga memiliki artiarti dan nilai kebersamaan tersendiri. Adapun jenis-jen misalnya memiliki makna bahwa kita sebagai manusia haruslah mawas diri sejak kecil, dan danRabuang, misalnya memiliki makna bahwa kita sebagai haruslah mawas diri sejak kecil, dankecil, misalnya memiliki makna bahwa kitamanusia sebagai manusia haruslah mawas diri sejak motif dari kain songket Minangkababu tersebut diantaranya adalah motif Pucuk motif songket Minangkababu tersebut diantaranya adalah motif Pucuk Rabua motif daridari kainkain songket Minangkababu tersebut diantaranya adalah motif Pucuk Rabuang,

236 juga memiliki arti nilai kebersamaan tersendiri. Adapun jenis-jenis motifnya motifnya ternyata ternyata juga memiliki arti dan nilai kebersamaan tersendiri. Adapun jenis-jenis motifnya ternyata juga memiliki arti dan nilai kebersamaan tersendiri. Adapun jenis-jenis Kain tenun yang berasal dari Sumatera Barat yang lebih dikenal dengan song Buku Matematika Siswa SMA/MA/SMK/MAK Kelas X atau Kain tenun yang berasal daridan Sumatera Barat atau yang lebih dikenal dengan songket

Kain tenun yang berasal dari Sumatera Barat atau yang lebih dikenal dengan songket Minangkabau merupakan suatu hasil karya tradional yang perlu dipertahankan. kekayaan motifnya ternyata juga memiliki arti dan nilai kebersamaan tersendiri. Adapun jenis-jenis motif dari kain songket Minangkababu tersebut diantaranya adalah motif Pucuk Rabuang, motif Itiak Pulang Patang, motif Kaluak Paku, dan yang lainnya. Motif Kaluak Paku misalnya memiliki makna bahwa kita sebagai manusia haruslah mawas diri sejak kecil dan perlu belajar sejak dini mulai dari keluarga. Pendidikan dalam keluarga menjadi bekal utama untuk menjalankan kehidupan di masyarakat. Setelah dewasa kita harus bergaul ke tengah masyarakat, sehingga bekal hidup dari keluarga bisa menjadikan diri lebih kuat dan tidak mudah terpengaruh hal negatif. Selain itu juga, motif Kaluak Paku juga memiliki makna lainnya, yaitu seorang pemimpin harus mampu menjadi teladan bagi masyarakat yang ada disekitarnya. Ukuran panjang dan lebar kain songket cukup bervariasi. Ukuran panjang dan lebar kain songket cukup bervariasi. Sekarang mari kita perhatikan salah satu jenis kain songket yaitu kain sonket motif Kaluak Paku, dalam hal ini kita jadikan bahan inspirasi mengangkat masalah matematika terkait fungsi kuadrat.

Masalah-7.6 Sebuah kain songket dengan ukuran panjang 9 m dan lebar 3 m. Di bagian 4 4 tengah terdapat 5 bagian daerah yang 451 m luas seluruhnya m. Tentukan ukuran 400 bagian kain songket yang berwarna merah dan daerah berambu benang. Gambar 7.8 Kain Songket

• Coba sendiri! Pahamilah masalah di atas, artinya kamu tuliskan hal apa yang diketahui, apa yang ditanyakan, dan interpretasikan dalam gambar. Gunakan variabel untuk menyatakan masalah dalam matematika. Ingat konsep dan aturan-aturan apa saja yang terkait dengan masalah yang dihadapi sehingga dapat terpecahkan. Cermatilah beberapa pertanyaan yang mengarahkan kamu bekerja lebih efektif. 1) Berbentuk apakah daerah bagian dalam kain songket. Bagaimana kamu menentukan luas daerah tersebut?


237

2) Apakah ada keterkaitan konsep dan prinsip persamaan kuadrat untuk menentukan ukuran daerah bagian dalam kain songket? Kenyataan hidup terkadang berbeda dengan apa yang kita harapkan. Seperti Pak Ketut yang memiliki Ijazah Sarjana Pertanian telah lama dan berulangkali melamar pekerjaan di kota Jakarta. Ternyata, Ia belum beruntung memanfaatkan ijazahnya sampai saat ini. Akhirnya, Ia kembali ke Pulau Dewata dan berencana membuat keramba ikan Gurami dan Udang. Tetapi, Ia mendapat masalah sebagai berikut.

Masalah-7.7 Pak Ketut memiliki jaring jala sepanjang 60 m. Ia ingin membuat keramba ikan gurami dan udang. Kedua keramba ikan dibuat berdampingan, seperti tampak pada gambar berikut. Gambar 7.9 Keramba Ikan Gurami dan Udang

Misalkan panjang keramba y m dan lebarnya x m, serta kelilingnya keramba k m. Tentukanlah ukuran keramba agar luasnya maksimum! Coba amati gambar keramba yang diinginkan dan renungkan beberapa pertanyaan berikut. 1) Bagaimana bentuk keramba yang direncanakan Pak Ketut? 2) Adakah konsep dan prinsip matematika yang terkait untuk menentukan panjang keliling permukaan keramba? 3) Adakah konsep dan prinsip matematika untuk menentukan luas daerah permukaan keramba ? 4) Bagaimana menentukan ukuran panjang dan lebar permukaan keramba agar luasnya maksimum dengan jaring jala yang tersedia? Alternatif Penyelesaian Penampang permukaan keramba dapat digambarkan sebagai berikut.

238


Gambar 7.10 Posisi Tambak

Karena panjang jaring jala yang tersedia adalah 60 m maka keliling keseluruhan permukaan keramba ikan adalah 1 1 1 1 1 2 3 3 4 K = 2y + 3x = 60 ⇒ 2y = 60 – 3x ⇒ y = 30 – x 5 6 2 3 4 3 4 2 3 Luas keseluruhan permukaan keramba ikan adalah L = panjang × lebar L=y×x 1 1 1 1 1 2 3 3 4 1 1 1 1 1 2 3 3 4 y = 30 – x ⇒ L = y × x ⇒ L = (30 – x)x 5 6 2 3 4 3 4 2 3 5 6 2 3 4 3 4 2 3 ⇒ L = 30x – x2 Karena luas permukaan keramba tergantung nilai x maka persamaan fungsi luas dapat dinyatakan sebagai berikut. 1 1 1 1 1 2 3 3 42 ∴ L(x) = 30x – x , x ∈ R, x ≥ 0 5 6 2 3 4 3 4 2 3

Dengan mengambil beberapa harga x, diperoleh beberapa harga L dan disajikan pada tabel Dengan mengambil beberapa harga x, diperoleh beberapa harga L dan disajikan pada

berikut. tabel berikut

7.1 Nilai L dengan x merupakan bilangan genap positif Tabel Tabel 7.1: Nilai L dengan x merupakan bilangan bulatbulat genap positif

Nilai x

0

2

4

Nilai L

0

54

96

6

8

10

12

14

16

18

20

126 144 150 144

126

96

54

0

Sekarang mari kita gambarkan grafik fungsi L(x) = 30x – x32 pada bidang koordinat Sekarangdengan mari kita gambarkan L(x) 30x di– atas.x2 pada bidang koordinat bantuan nilai-nilai grafik x dan Lfungsi yang ada pada= tabel

2

dengan bantuan nilai-nilai x dan L yang ada pada tabel di atas. L


200 175 150

P (10,150)

239

L 200 175

P (10, 150)

150 125 100 75 50 25 0

2

4

6

8

10

12 14

16 18

20

x

Gambar 7.11 Grafik Fungsi Kuadrat

Coba cermati harga-harga x dan L di dalam Tabel 7.1 dan grafik fungsi L(x) = 30x – 3 x2, x ≥ 0 memiliki ciri-ciri sebagai berikut. 2 a) Kurva terbuka ke bawah b) Grafik memotong sumbu-x pada dua titik yang berbeda yaitu titik (0, 0) dan titik (20, 0). c) Grafik fungsi mencapai puncak pada titik (10, 150). d) Garis x = 10 membagi dua luas (sama besar) daerah di bawah kurva, sehingga garis x = 10 dapat dikatakan sebagai sumbu simetri grafik fungsi 3 L(x) = 30x – x2. 2 Berdasarkan grafik fungsi di atas, luas maksimum diperoleh saat lebar dan panjang permukaan keramba ikan, yaitu x = 10 m dan y = 15 m 3 x = 10 m dan y = 30 – x ⇒ y = 15 m 2 Luas maksimum permukaan keramba ikan adalah L= 150 m2 Perhatikan kembali setiap langkah pemecahan Masalah 7.5, 7.6, dan Masalah 7.7. Masih ingatkah kamu contoh fungsi kuadrat ketika belajar di SMP. Coba temukan model-model matematika dari setiap permasalahan yang merupakan fungsi kuadrat. Kemudian coba temukan ciri-ciri dari fungsi itu dan tuliskan konsep (pengertian) fungsi kuadrat berdasarkan ciri-ciri yang kamu ditemukan, serta hasilnya diskusikan dengan temanmu. 240


Definisi 7.2 Fungsi kuadrat dalam x adalah suatu fungsi yang berbentuk f(x) = ax2 + bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0.

Misalkan A, B ⊂ R, didefinisikan fungsi f : A → B, dengan f(x) = ax2 + bx + c; a, b, c ∈ R dan a ≠ 0. Dengan

: x adalah variabel bebas atau peubah bebas a adalah koefisien dari x2 b adalah koefisien dari x c adalah konstanta persamaan f(x) adalah nilai fungsi yang tergantung pada nilai variabel x.

Selanjutnya ujilah beberapa fungsi berikut, apakah merupakan fungsi kuadrat?

Latihan 7.4 Apakah fungsi berikut merupakan fungsi kuadrat? 1. Misalkan A, B ⊂ R, didefinisikan fungsi

g : A → B, dengan g(x) = c, ∀x ∈ A, c ∈ B.

2. Didefinisikan h(t) = (t – 2)2, t ∈ R, apakah h merupakan fungsi kuadrat? 3. Misalkan himpunan A = {x | -2 ≤ x < 3, x ∈ R}

B = {y | -8 ≤ y < 20, y ∈ R}

Didefinisikan f : A → B f : x → x3, ∀x ∈ A

4. Misalkan himpunan A = {x | 0 ≤ x ≤ 3, x ∈ R} dan B = {y | 8 ≤ y ≤ 26, ∀y ∈ R}

Didefinisikan f : A → B, dengan f (x) = x2 + 3x + 8, ∀x ∈ A


241

UJI KOMPETENSI-7.3

Didefinisikan f : A  B

1. Pekerjaan Pak Suradi adalah pembuat Talang Air. Ia mendapat pes

sebuah Talang Air dari lembaran seng yang lebarnya 30 cm dengan m

f : x  x3, x  A

atas tiga bagian seperti terlihat pada Gambar.

4. Misalkan himpunan A = x  0  x  3, x  R dan B = y  8  y  26, y  R

Bantulah menentukan

Didefinisikan f : A  B, dengan

Uji Kompetensi 7.3 f (x) = x2 + 3x + 8, x  A

Pak ukuran

Sur x

a

volume air yang tertampu x

maksimal.

x

1. Pekerjaan Pak Suradi adalah terhadap Sumbu-x dan Sumbu-y UJI KOMPETENSI-7.3 30 - 2x pembuat Talang Air. Ia mendapat sehingga terbentuk persegi panjang 2. dengan Titik A(x,Iay)diagonal terletak pada OA. garis g Perhatikan dengan persamaan 2 x + y = 10. Da membuat sebuah Talang Air Talang 1.pesanan Pekerjaan Pak Suradi adalah pembuat Air. mendapat pesanan membuat garis-garis berikut! tegak lurus terhadap Sumbu-x dan Sumbu-y sehingga ter dari lembaran seng yang lebarnya 30 gambar sebuah Talang Air dari lembaran seng yang lebarnya 30 cm dengan melipat lebarnya panjang dengan diagonal OA. Perhatikan Gambar berikut. cm dengan melipat lebarnya atas tiga y atas tiga bagianterlihat seperti terlihat pada Gambar. bagian seperti pada Gambar di bawah ini. a) Jika L menyatakan Bantulah menentukan

Pak ukuran

A (x, y)

daerah

Suradi x

agar

b) Apakah L sebagai fu

maksimal.

x

merupakan fungsi kua x

0

30 - 2x

dalam x ?

a) Jika luasAdaerah Titik A(x,Pak y) terletak pada garis g dengan persamaan 2 xL+menyatakan y = 10. Dari titik dibuat 2.Bantulah Suradi menentukan persegi panjang yang terbentuk, ukuran x agar volume air yang garis-garis tegak lurus terhadap Sumbu-x dan Sumbu-y sehingga terbentuk persegi BUKU PEGANGAN SISWA nyatakan lah L sebagai fungsi x. tertampung maksimal. panjang dengan diagonal OA. Perhatikan Gambar b) berikut. Apakah L sebagai fungsi y 2. Titik A(x, y) terletak pada garis g merupakan fungsi kuadrat dengan persamaan 2x + y = 10. Dari dalam x? a) Jika L menyatakan luas titik A dibuat garis-garis tegak lurus daerah

persegi

panjang

yang terbentuk, nyatakan

Projek

A (x, y)

lah L sebagai fungsi x. b) Apakah L sebagai fungsi

Rancanglah permasalahan terkait gerakan peluru dan ekonomi yang menerapmerupakan fungsi kuadrattersebut kan konsep dan aturan fungsi kuadrat. Buatlah pemecahan masalah x depan kelas. dalam x ? dalam sebuah laporan serta sajikan di 0

BUKU PEGANGAN SISWA

242


pan

lah L sebagai fungsi x.

volume air yang tertampung x

persegi

yang terbentuk, nyat

253

Grafik Fungsipipa Kuadrat d R, d  0. Misalkan 2. ukuran diameter adalah x dan besar debit air yang20 mengalir 2. Grafik Fungsi Kuadrat 2. Grafik Fungsi Kuadrat menyatakan besar Fungsi debit airKuadrat yang mengalir dari sebuah pipa adalah q(d) = (  ) d2, 2. Grafik 2. Grafik Fungsi Kuadrat 4 20 2 ) x , x R, x persamaan 0. adalah y. Berarti y dapat Dari dinyatakan dalam x, yaitu y = f(x) = (  hasil pemecahan masalah 7.8,besar kita telah air peroleh fung d R, d  0. Misalkan ukuran diameter pipa adalah xkita dan debit yang mengalir 4 peroleh Dari hasil pemecahan masalah 7.8, telah persamaan fungsi kuad Dari hasil pemecahan masalah 7.8, kita telah peroleh persamaan fungsi kuadr Dari hasil pemecahan masalah 7.8, kita telah peroleh persamaan fungsi kuadrat yang Dari hasil pemecahan masalah 7.8, kita telah peroleh fungsi kuadrat ya 20 persamaan 2 sebuah pipa adalah q(d) menyatakan besar x,debit air yang mengalir dari 2 Masalah 7.11kuadrat h persamaan yang ) x , x R, x  0. q(d) adalah y. fungsi Berarti y dapat dinyatakan dalam yaitu y = f(x) = (  20==( ( 20 menyatakan besar debit air yangmengalir mengalir dari sebuah pipaq(d) adalah menyatakan besar yang dari pipa adalah 4 sebuah menyatakan besar debit airdebit yangair mengalir dari sebuah pipa adalah = q(d) (  ) d424, 20 menyatakan besarR, debit air Misalkan yang mengalir sebuahpipa pipaadalah adalahx dan q(d) besar = (4 debit  )ai 2. Grafik20 Fungsi Kuadrat d  0. ukurandari diameter 4 ) d0.2, Misalkan h pipa adalah q(d) = d ( R, dd 20 2pipa ukuran diameter adalah xdan dan besar debit air yangm R,4 Misalkan d pemecahan  0. Misalkan diameter xgrafik besar yang Masalah Dari hasil telah fungsi kuadrat Temukan kuadrat y Masalah = f(x)ukuran =7.8, (- kita xperoleh , pipa x xadalah Rpersamaan daribesar fungsi kuadrat  ) adalah d grafik R,7.11 dd fungsi 0. ukuran diameter pipa dan debit airdebit yangair mengalir 20 menga d R, d  0. Misalkan ukuran diameter 4 pipa adalah x dan besar debit air yang adalah y. debit Berarti dapatmengalir dinyatakan yaitu y = f(x) = =( 2 2  ) x2, x besar airyyang dari dalam sebuahx,pipa adalah q(d) 20 dan besar debityang air menyatakan yang mengalir 20 20==( ( 2 ) )x x,4x adalah Berarti ydapat dapatdinyatakan dinyatakan dalam yaitu f(x) y.y.Berarti dalam x,x,yaitu R, x ,x 0.R,R,x x adalah20y.adalah Berarti dapat ydinyatakan dalam yaitu f(x) y=y=(=f(x)  ) x4,4x 20 20x, diameter 2debit 2 2, dy ∈ R, 2 y =pipa d d ≥ 0. Misalkan ukuran adalah x dan besar R, x  0. y.) xBerarti dinyatakan (4  ) x , x , xkuadrat R,y dapat x  0. yTemukan =20 f(x) = (adalah grafikfungsi y= f(x) = (- dalam ) xyaitu , xy R= f(x) dari=grafik fungsi kuadrat  x, 4 4 R, x  0. Masalah 7.11 4 x) = (  ) x2, x air yang mengalir adalah y. Berarti y dapat dinyatakan dalam x, yaitu y = f(x) = 4 Masalah 7.11 Masalah Beberapa pertanyaan arahan7.11 yang perlu kamu cermati untuk memperoleh grafik fungsi Masalah 7.11 20 22, x7.11 x ∈ R, x Masalah 0. y = f(x) = (  ) x , x R, x ≥ 0. 20 420 20 x0.R dari grafi Temukan grafikfungsi fungsikuadrat kuadratf(x) y == f(x) = (- ) 2x22, x  )R,x2x,  20 20 R dari grafik ( y = f(x) = ( ) x2, x 20 4 Temukan grafik fungsi kuadrat y = f(x) = () x , x R dari grafikkuadrat fungs  2 Temukan grafik fungsi kuadrat y = f(x) = () x , x R dari grafik fungsi  4 4 Beberapa pertanyaan arahan perluy kamu untuk grafik fungsi fungsi Temukan grafik fungsiyang kuadrat = f(x) cermati = (, x R dari grafik  ) x4 4memperoleh 20 2 Temukan grafik grafik fungsi kuadrat y = yf(x)= =f(x) ( 20 ) x 2, x ∈ R dari grafik fungsi Temukan fungsi kuadrat = ) x , x R dari grafik fungsi kuad  π(-4 2 4 untuk4 menggambar grafik fungsi 20 apa saja yang kamu butuhkan 2 , x1)R Pikirkan dari grafik20 fungsi kuadrat 20 20= () x 2, x ∈ 2= f(x) y ==Rf(x) ) xx, ≥x  R, (dari 0. R, x  0. 20 π grafik 20 x20 , x y = f(x) = (- kuadrat =) yf(x)  ) x2, x R, x  0. 2 2 fungsi kuadrat f(x) = ( 4) )x x,4x y = ( , x R, x  0. 2 R, x  0. y = f(x) = ( 4 = ( 2 20 4 y = f(x)  ) x4,4x 20 2 R, x  0. ) x , x R, x  0.  f(x) = (y = f(x) R, x  0 dan ingat kembali bagaimana menggambar grafik fungsi  =) x(4, x pertanyaan arahan untuk yang perlu kamu cermati memperol 1) Pikirkan 4 apa saja4Beberapa yang kamu butuhkan menggambar grafikuntuk fungsi Beberapa pertanyaan arahan yang perlu kamu cermati untuk memperoleh graf Beberapa pertanyaan arahan yang perlu kamu cermati untuk memperoleh grafik Beberapa yang perlu perlu kamu kamucermati cermatiuntuk untuk memperoleh grafik fungsi Beberapapertanyaan pertanyaan arahan arahan yang memperoleh grafik 20 yang 2perlu kamu cermati untuk memperoleh grafik 20 fun kuadratBeberapa di20SMP. 2pertanyaan arahan f(x) =fungsi ( 2 2  ) x2, y =R,f(x)  ) x , x R dari grafik fungsi kuadratgrafik 20 i untuk memperoleh fungsi 20 20 ) x 20 , x x20 =0(-dan f(x) = (fungsi grafik 2 ingat kembali bagaimana menggambar 24 20===( ( 2 ) )x x,4x dari grafikfungsi fungsi kuadrat f(x)== , xRRdari dari grafik fungsikuadrat kuadratf(x) f(x) , xR,R,x x grafik ) )x x, x 4 y=y=(-=f(x) ) x42,4x y = f(x) (-( ) x4,4x 20 20 20 fungsi 2 R dari grafik 2 R, x  0. 2 kuadrat f(x) = ( = (4 fungsi , x R, x  0. y = f(x) = fungsi (-4 1) kuadrat  ) x , x  ) x kuadrat x , xkuadrat R, x  butuhkan 0f(x) dengan 2) Apa f(x)R =dari ( grafik  )fungsi 20 perbedaan yang kamu 4 Pikirkan apa saja 4 untuk menggambar 4 SMP. (x) = ( kuadrat R, x  0.  ) x2di, x Pikirkan apayang saja kamu yang kamu kamu butuhkan butuhkan untuk menggambar menggambar grafik 1)1) Pikirkan apa saja yang 4 1) Pikirkan apa saja butuhkan untuk untuk menggambar grafik grafik fungsi 20 1) Pikirkan apasajasaja kamu butuhkan untuk menggambar fun 2 1) Pikirkan yangyang kamu untuk menggambar grafik fungsi grafik 20 apa 20 f(x) , x  0 R, dan kembali bagaimana menggam  ) xbutuhkan 2020 tuk 2) menggambar y = f(x) = (- grafik x2,kuadrat x R= ( f(x)  ) fungsi )R,x2x, x x ingat  0 dengan fungsi kuadrat Apa perbedaan fungsi  2 = ( 24 20 f(x)==()(x2, x ,x R,x4xingat 0 0dan dan ingatkembali kembalibagaimana bagaimana menggambar graf  )x xx, x ingat menggambar grafik f(x) = 4( f(x) 0R, dan kembali bagaimana menggambar grafik fungsi 20 4 4 2 )R, f(x) = (4 ) x , xdiR,SMP. x  0 dan bagaimanamenggambar menggambar grafik fun  kuadrat daningat ingatkembali kembali bagaimana 4fungsi 3) Apa kaitan konsep pencerminan dengan masalah ini? gaimana menggambar grafik 20 kuadrat diSMP. SMP. y = f(x) kuadrat = grafik (- kuadrat ) x2kuadrat , di x R SMP. fungsi di SMP. di 20 4 di SMP. 4) Bagaimanakuadrat komponen-komponen grafik fungsi setelah dicerminkan? 2) Apa perbedaan fungsi kuadrat f(x) = ( 2 2  ) x2, x R, x  0 dengan 20 20 20 x dengan fungsi fungs 2) Apa Apa perbedaan fungsikuadrat kuadrat f(x) ) )x x,4,x R,R,x x0 0dengan 2)perbedaan perbedaan fungsi =20 kuadrat 5) kamu memberikan perbedaan kedua grafik tersebut? 3) Dapatkah Apa2)kaitan konsep pencerminan dengan masalah ini? f(x) = ( f(x) )( x42,4 x Apa fungsi kuadrat =(fungsi 2) Apa perbedaan fungsi kuadrat 2 R, x  0 dengan fungsi kuadrat 2) Apa perbedaan fungsi kuadrat f(x) = (4  ) x , x R, x  0 dengan fungsi kuad 20 fungsi 4sumbu 6) Bilamana grafik memotong sumbugrafik x dan memotong y? komponen-komponen dicerminkan?  R, 4) x Bagaimana 0 dengan fungsi kuadrat 2 setelah fungsi kuadrat y = f(x) = (- 2 2  ) x , x R 20 20 20==(-(- 2perbedaan y=(-=f(x) f(x) , kedua xRR grafik fungsi kuadrat tersebut? y=memberikan )R)x x,4x 5) Dapatkah kamu y = f(x) ) x , x  20 2 4 4 3) yApa kaitan konsep pencerminan dengan masalah ini? = f(x) = () x , x R  4 3)komponen-komponen kaitan xkonsep pencerminan dengan masalah ini? 4Apasumbu 4) grafik Bagaimana grafik fungsi setelah 6) Bilamana memotong dan memotong sumbu y?dicerminkan? 3) Apa kaitan konsep pencerminan dengan masalah ini? 3) Apa kaitan konsep pencerminan dengan masalah ini? kamu memberikan perbedaan grafik fungsifungsi kuadratsetelah tersebut? 3) 5) ApaDapatkah kaitan konsep pencerminan dengan kedua masalah ini? 4) Bagaimana komponen-komponen grafik dicerminkan? 3) Apa kaitangrafik konsep pencerminan dengan masalahsumbu ini? y? 255 6) Bilamana memotong sumbu x dan memotong BUKU PEGANGAN SISWA 4) Bagaimana komponen-komponen grafik fungsi setelah dicerminkan? 4) Bagaimana komponen-komponen grafik fungsi setelah dicerminkan? 4) Bagaimana komponen-komponen grafik fungsi setelah dicerminkan? Dapatkah kamu memberikan perbedaan grafik fungsi kuadrat ters 4) Bagaimana5)komponen-komponen grafik fungsi setelahkedua dicerminkan? 5) Dapatkah kamu memberikan perbedaan kedua grafik fungsi kuadrat tersebut? • Ingat kembali, bagaimana menggambarkan grafik persamaan fungsi kuadrat dan tersebut? 5) Dapatkah kamu memberikan perbedaan kedua grafik fungsi kuadrat ah dicerminkan? 5) Dapatkah kamu perbedaan kedua grafikx fungsi kuadrat tersebut? 6) memberikan Bilamana grafik memotong sumbu danfungsi memotong sumbu y? memanfaatkan sifat pencerminan untuk memperoleh grafik persamaan fungsi 5) Dapatkah kamu memberikan perbedaan kedua grafik kuadrat tersebut? BUKU PEGANGAN SISWA Bilamana grafikmemotong memotong sumbu danmemotong memotong sumbuy?y? 255 6)6) Bilamana grafik x xdan sumbu fungsi kuadrat 6) tersebut? Bilamana grafikbaru. memotong sumbu xsumbu dan memotong sumbu y? kuadrat yang 6) Bilamana grafik memotong sumbu x dan memotong sumbu y? sumbu y? Bab 7 Persamaan dan Fungsi Kuadrat

BUKU PEGANGAN SISWA BUKU PEGANGAN SISWA BUKU PEGANGAN BUKU PEGANGAN SISWASISWA BUKU PEGANGAN SISWA 255

243

255 255

aan an n fungsi fungsi fungsi kuadrat kuadrat kuadrat dan dan dan . .. ersamaan rsamaan ersamaanfungsi fungsi fungsikuadrat kuadrat kuadrat Ingat kembali, bagaimana menggambarkan grafik persamaan fungsi fungsi kuadrat kuadrat dan dan Ingat kembali, bagaimanamenggambarkan menggambarkan grafik grafik persamaan persamaan Ingat kembali, bagaimana fungsi kuadrat dan memanfaatkan sifat pencerminan untuk memperoleh grafik persamaan persamaan fungsi kuadrat kuadrat memanfaatkan sifat pencerminanuntuk untukmemperoleh memperoleh grafik grafik memanfaatkan sifat pencerminan persamaan fungsi fungsi kuadrat yang baru. yang baru. baru. ng gngmenyatakan menyatakan menyatakanyang besarnya besarnya besarnya 20 22 Perhatikan fungsi kuadrat yang menyatakan menyatakan besarnya besarnya  ) fungsi Ingat kembali, kuadrat R, x dan0,memanfaatkan yang Perhatikan fungsibagaimana kuadrat ymenggambarkan y == f(x) f(x) == (( 20grafik 2x , x Perhatikan fungsi menyatakan besarnya Perhatikan fungsi kuadrat kuadrat y = f(x) = ( 4  ) x , x R, x  0, yang menyatakan alir lir alirdari dari daripipa pipa pipa tergantung tergantung tergantung sifat pencerminan untuk memperoleh grafik4persamaan fungsi kuadrat yang baru. debit air yang dari Besarnya debit air mengalir dari pipa pipa tergantung yang mengalir dari pipa. Besarnya debit airmengalir yang mengalir daritergantung air yangairmengalir mengalir dari pipa. pipa. Besarnya yang dari dalah alah lah yyy===f(x) f(x) f(x)besarnya == =debit f(0) f(0) f(0)= ==debit 0.0. 0. 20 debit Perhatikan air yangfungsi mengalir pipa. yang mengalir dari pipa tergantung kuadrat dari y = f(x) = ( Besarnya R, x  air 0, yang menyatakan besarnya  ) x2, xdebit pipa tergantung besarnya ukuran diameter = 0, maka debit air 4 Jika besarnya ukuran diameter (x) = 0, Jika makax debit adalah f(x) == f(0) f(0) == 0.0. besarnya ukuran diameter (x) pipa. pipa. Jika(x)xpipa. air adalah yy ==adalah f(x) dalam alam dalamtabel tabel tabelberikut. berikut. berikut. besarnya ukuran diameter (x) pipa. Jika x = 0, maka debit air adalah y = f(x) = f(0) = 0. y = debit f(x) =airf(0) = 0. Untuk beberapa nilai x diberikan, diperoleh nilai y = f(x) disajikan yang mengalir dari pipa. Besarnya debit air yang mengalir dari pipa tergantung Untuk nilai disajikan dalam dalam tabel tabel berikut. berikut. Untukbeberapa beberapa nilaixx diberikan, diberikan, diperoleh diperoleh nilai y = f(x) disajikan dalam tabelukuran berikut. besarnya diameter (x) pipa. Jika x = 0, maka adalah y = f(x) dalam = f(0) =tabel 0. Untuk beberapa nilai x diberikan, diperoleh nilaidebit y =airf(x) disajikan berikut. Untuk beberapa nilai x diberikan, diperoleh nilai y = f(x) disajikan dalam tabel berikut.

xx

00

11

22

33

4

x X 0 0 11 2 3 4 4 f(x) 00 3,51 3,51 214,04 14,043 31,6 31,6 56,17 56,17 yy==f(x) y = f(x) 14,04 31,6 31,656,1756,17 y = f(x)0 0 3,51 3,51 14,04

x000dapat dapat dapatdigambarkan digambarkan digambarkan 20 ) x2, x R, x  0 dapat digambarkan 20 = ( 2 Grafik persamaanfungsi fungsi kuadrat  yy === ( f(x) x  0 dapat dapat didigambarkan Grafik persamaan fungsi kuadrat Grafik kuadrat Grafikpersamaan persamaan fungsi kuadrat y = f(x) , x R, x  0 dapat digambarkan  ) x 20 4 2 4 ) x , x R, x  0 dapat digambarkan Grafik persamaan fungsi kuadrat y = f(x) = (  gambarkan sebagai berikut. 4 sebagaiberikut. berikut. sebagai berikut. sebagai sebagai berikut. y yy 20 70 2 22 y = f(x) = ( R, x  0  ) x2, x20 xx, ,x , x xR,R, R,xxx000 70 y 20  ) x22, x R, x  0 4 60 70 yy = = f(x) f(x) = = ((  ) x , x R, x  0 44 60 5060 20 70 y = f(x) = (  ) x2, x R, x  0 40 50 4 50 60 30 40 50 20 40 . 30 10 30 40 Ingat kembali, bagaimana xmenggambarkan grafik persam 20 30020 1 2 3 4 5 6 10 20 memanfaatkan sifat untuk memperoleh grafik p 10 Gambar20 7.12: Grafik fungsi = f(x) =( R, pencerminan x  0.  ) x2, x 4 xxx xx baru. 4 5 6 10 00 11 22 33 yang 20 2 4 5kuadrat 6 y = f(x) Dengan mencerminkan grafik persamaan fungsi 20 = ( 2  ) x , x R, x  xxx0.0. 0. Gambar 7.12: Grafik fungsi = f(x) = ( 20  ) x42, x R, x  0. Gambar07.12: fungsi = ( kuadrat xf(x) R, = x(  20 0.  )xx2, x R, x  0, ya 4  ) x y, = Perhatikan fungsi kuadrat 1 Grafik 2 persamaan 3sebuah 4 parabola 5= f(x) 6fungsi Dengan mencerminkan grafik 0 terhadap Sumbu-y, maka diperoleh berikut. 4 4 20 2 200. 20 20 20 2 22 Gambar 7.12: Grafik fungsi = f(x) = ( ) x , x R, x   20 Dengan mencerminkan grafik persamaan fungsi kuadrat y = f(x) = ( R, x   )) xx22,, x (( , x x R,R, R, xxmencerminkan x0 terhadap Sumbu-y, ) ))xxx, ,x maka diperoleh sebuah parabola berikut. Dengan grafik persamaan fungsi kuadrat y = f(x) = ( xair R, yang x  meng 4 debit air yang mengalir dari pipa. Besarnya debit 4 444 4 20 2 maka debit air a besarnya ukuran diameter pipa. 0 terhadap Sumbu-y, grafik maka diperoleh sebuah parabola berikut. Dengan mencerminkan persamaan fungsi kuadrat y =(x) f(x) = ( Jika x )=x0, , x R, x  0 terhadap Sumbu-y, maka diperoleh sebuah parabola berikut. 4 Untuk beberapa nilai x diberikan, diperoleh nilai y = f(x) disajikan 0 terhadap Sumbu-y, maka diperoleh sebuah parabola berikut. BUKU PEGANGAN SISWA

x

0

1

2

3

4255

y = f(x) 0 3,51 14,04 31,6 56,17 244 BUKU PEGANGAN SISWA Buku Matematika Siswa SMA/MA/SMK/MAK Kelas X 256 256 256 PEGANGAN SISWA BUKU

256 256

BUKU PEGANGAN SISWA Grafik persamaan fungsi kuadrat y = f(x) = ( 20  ) 256 x2, x R, 4

sebagai berikut.

y y 20 70 f(x) = ( 20  )2x2, x  R 70 y f(x) = ( 4 ) x , x  R 60 4 D’’ 60 D20 D 70 50 f(x) = (D  ) x2, x  R 50 4 60 40 D’ D 40 ’ 50 C’ 30 C C40 30 C 20 C’ 30 B’’ 20 C B B B 10 ’ 20 10 ’ B AA’ B0 AA 10 xx ’ A A 0 1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 x -6 -5 -4 -3 -2 0 -1 y 1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 20 20 Gambar 7.13: 7.13:Grafik Grafikfungsi fungsi (x)==( (7020 ) )x2x,2x, xRR Gambar 20(x) f(x) = ( ) Gambar 7.13: Grafik fungsi (x) = (  ) x2, x 44R 4 60 4 D’ D 50 y 20 20 = ( 2 20 Ciri-ciri fungsi kuadrat f(x) )xx2,2,parabola xRRdan dan parabola di di atas adalah Ciri-ciri fungsi kuadrat dan parabola atas adalah x parabola Ciri-ciri fungsi kuadrat = Ciri-ciri fungsi kuadrat y = f(x)yy=== ( f(x) R)dan di40 atas  )( x , 4x 70adalahdi atas adalah f(x) = ( 20  4 4 sebagai berikut. C’ 30 C 4 60 ’ D 20 20 20 D 2 2 20 ’ a=  • Koefisien x adalah adalah a = > 0  > 0  Koefisien 50 B B adalah  Koefisien xxx22adalah 4a = 44  > 0 10 ’ • Kurva terbuka ke atas A 40 A  Kurva terbuka ke atas ’ Kurva terbuka ke atas atas(titik balik minimum) diCtitik 0300)  Memiliki ke •  titik puncak 1 2 3 4 C5 6 -6 di -5titik -4 O -3(0,-20)-1 O (0,  • Memiliki titik puncak (titik balik minimum) Memiliki sumbu simetri yang membagi dua daerah kurva sama  Memiliki titik puncak (titik balik minimum) di titik O (0, 0)  puncak (titik balik minimum) di titik’ O (0, 20 0) besar, yaitu garis  Memiliki simetri yang membagi B besar, yaitu garis B x =200 x = 0 sumbu dan nilai minimum y = f(0)dua = 0daerah kurva sama 2 10 Gambar 7.13: Grafik (x)besar, =besar, ( yaitu xgaris , x x=  )garis  simetri2yang yang membagi membagi dua daerah kurva sama yaitu xR=  Memiliki sumbu simetri dua daerah kurva sama 00 ’fungsi y = f(0) • dan nilai Nilaiminimum diskriminan, D ==0b – 4ac = 0 A A 4 0 minimum == f(0) dan nilai minimum f(0) =0pada 0 titik menyinggung sumbu O(0, = 0 =x  • NilaiKurva diskriminan, D = b2 –yy4ac 1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 0) -3 -2 -1  Nilai diskriminan, D bb22 ––titik 4ac ==000) 4acO(0,  diskriminan, D x==pada  Kurva menyinggung sumbu 20 20 di 2atas adala = f(x) = 7.13: ( parabola Ciri-cirifungsi fungsikuadrat kuadrat y Gambar  ) x2, x R dan • Cerminkan grafik terhadap  )x ,xR  Kurva menyinggung menyinggung sumbu  sumbu xxpada padatitik titik O(0,0)20) 4 Grafik fungsi (x) = ( 20O(0, Cerminkan grafik fungsi kuadrat y = f(x) = (  ) x , x R terhadap Sumbu-x dan 4 4 Sumbu-x dan selidiki sifat-sifat grafik fungsi kuadrat yang ditemukan. 2 20 20( 20 2 grafik fungsi kuadrat y = f(x) = Cerminkan grafik fungsi kuadrat y = f(x) = ( > 0) )x x,2,x xRRterhadap terhadapSumbu-x Sumbu-xdan dan adalah a =ditemukan.  grafik Koefisien menyelidiki sifat-sifat fungsixkuadrat yang 4 4 20 4 Ciri-ciri fungsikuadrat kuadrat20y = f(x) =( dan parabola di atas a  ) x2, x R terhadap Kita cerminkan grafik fungsi 2 menyelidiki sifat-sifat grafik fungsi kuadrat yang ditemukan. 4 Kita cerminkan grafik fungsi kuadrat y = f(x) = ( ) x , x R terhadap  menyelidiki sifat-sifat fungsi kuadrat yang ditemukan.Sumbu-x atau  Kurvagrafik terbuka ke atas Sumbu-x atau garis y = 0. Dengan mengingat4 kembali sifat-sifat pencerminan bahwa pencerminan sifat-sifat 20bahwa  Memiliki titik puncak (titik minimum) di titik O (0, 0) 2 = balik 220y =berlawanan garis y =benda 0. Dengan mengingat kembali arah benda dengan arah dengan bayangannya nilai fungsi Kita cerminkan grafik fungsi kuadrat ( (20 ,2,x terhadap Sumbu-x atau >) )0x2xSehingga f(x)  xselalu x R 20 berubah dari positif menjadi  x , adalah a =  Koefisien arah. Kita cerminkan grafik fungsi kuadrat y = f(x) = xRRbernilai terhadap Sumbu-x atau n   4 4 4 4  Memiliki sumbu simetri yang membagi dua daerah kurva sama besar, ya bayangannya selalu berlawanan arah. Sehingga y = f(x) =  20  nilai fungsi kuadrat  x 2 , x R berubah  dari bernilai positif menjadi negatif. Peru  kuadrat y = f(x) = berubah dari bernilai positif menjadi garis yy = = 0. 0. Dengan mengingat kembali nilai Kurva terbuka keysifat-sifat atas garis Dengan mengingat sifat-sifat pencerminanbahwa bahwaarah arahbenda bendadengan dengan dan = f(0) = 0pencerminan kembali  4 minimum 20 2 bayangannya selalu berlawanan arah. nilai fungsi kuadrat y )y= == 2 fungsinya perubahan yy== f(x) = (titik O (0, x =,f(x) x me negatif. Perubahan diikuti perubahan dari f(x)  Memiliki titik puncak (titik minimum) di 0) bayangannya selalu berlawanan arah. fungsi kuadrat f(x)R  tersebut Nilai diskriminan, D Sehingga =Sehingga bfungsinya – 4acbalik =nilai 0dari 4 20 2 ) x , xkurva R menjadi = f( perubahan fungsinya dariyang = f(x) = (O(0,dua  daerah Memiliki sumbu simetri membagi sama ybesar   Kurva menyinggung x ypada titik 4 0) persamaan fungsi kuad R. Secarasumbu lengkap bayangan grafik 245 dan nilai minimum y = f(0) =dan 0 Fungsi Kuadrat BUKU PEGANGAN SISWA Bab 7 Persamaan 20256 R. Secaraterhadap lengkap bayanganadalah grafik persamaan fungsi2 kuadrat y = f(x Sumbu-x sebagai berikut Cerminkan grafik fungsi kuadrat y = f(x) = (  ) x , x R terhadap  Nilai diskriminan, D = b2 – 4ac = 0 terhadap Sumbu-x adalah sebagai berikut 4 y  Kurva menyinggung sumbu x pada titik O(0, 0) menyelidiki 257 BUKU PEGANGAN SISWA sifat-sifat grafik fungsi kuadrat yyang ditemukan. 70 257 BUKU PEGANGAN SISWA 60 ’ 70 20 2 20 2) x , x R terha D Cerminkan grafik fungsi kuadrat y =Df(x) = (

bernilai positif menjadi  20 negatif. Perubahan tersebut diikuti

 2 x R berubah dari bernilai positif menjadi negatif. Perubahan tersebut diikuti   4  x ,   20  2   x R berubah dari bernilai positif menjadi negatif. Perubahan tersebut diikuti  4  x , 20 20 20 2 menjadi 20 grafik =( R y = f(x)  ) xx22,,xx ∈ menjadi R. RSecara lengkap x2, x menjadi y = f(x)bayangan = (perubahan fungsinya dari y= =(-f(x) = (  ) x ,) x  ) x2, x 4 4 4 4 20 20 R menjadi y = f(x) = (perubahan fungsinya dari y = f(x) (f(x) setelah  ) x2, xdicerminkan  ) x2, x adalah fungsi y ==grafik terhadap 4dicerminkan R. Secara lengkap persamaan fungsi kuadrat y = f(x)4Sumbu-x setelah dicerminkan ik persamaanpersamaan fungsi kuadrat ykuadrat =bayangan f(x) setelah

berikut y

70 60 50 40 30 20 B’ 10 A’ 0 -2 -1

R.terhadap Secara lengkap bayangan persamaan Sumbu-x adalahgrafik sebagai berikut fungsi kuadrat y = f(x) setelah dicerminkan sebagai berikut. terhadap Sumbu-x adalah sebagai berikut y

y

70

70 60 20 D D f(x) =(  )x2, x  R 60 ’ 20 50 20 2 2 D 4 D f(x) = ( )x , x  R  =( xR  )x , 50 40 4 4 ’ 40 C 30 C C’ 30 20 C ’ 20 B B 10 B’ B ’ 10 A A ’ A0 A x 1 2 3 4 5 x6 0 -6 -5-6-4-5-3-4-2-3-1 -2 -11 2 3 4 5 6 ’

D

f(x)

C B A 1 2 3 4 5 6

x 20 20 f(x) = (- f(x) =(-) x2, x  R) x2, x  R 4 4

20  ) x2, x  R 4 dari bernilai positif menjadi negatif. Perubahan diikuti Gambar 7.14: Grafik fungsitersebut f(x) dan grafik pencerminan f(x)

f(x) = (-

20

Gambar 7.14: Grafik fungsi f(x) dan grafik pencerminan f(x) 20 Ciri-ciri fungsi kuadrat y = f(x) = (x2, x R2 dan parabola hasil pencerminan  ) 20 Ciri-ciri fungsi kuadrat y = f(x) =4 ( ) x , x R dan parabola hasil pencerminan

20

2

2

4  ) x , x R dan parabola hasil pencer) x , fungsi x R menjadi y = f(x) = (terhadap Ciri-ciri kuadrat sumbu-x (Gambar-7.14) afik fungsi f(x) grafik pencerminan f(x) adalah 4 dan 4 terhadap sumbu-x (Gambar-7.14) adalah minan terhadap2 sumbu-x (Gambar-7.14) adalah sebagai berikut. 20

= f(x) = (

adalah a =y- = f(x) 0  Koefisien  <setelah 20 grafik persamaan fungsi xkuadrat dicerminkan 20 pencerminan = (, x R dan  )• x2 2 2parabola4 hasil adalah a = < 0 Koefisien x  Koefisien x adalah a = 4 4 bagai berikut  Kurva terbuka ke bawah • Kurva terbuka ke bawah Kurva titik terbuka ke bawah puncak (titik balik maksimum) di titik O (0, 0) adalah y  Memiliki

Memiliki titik (titik balik maksimum) titik Obesar, (0, Memiliki sumbu simetri membagi dua daerah kurva sama yaitu garis y = 0 Memiliki titikpuncak puncakyang (titik balik maksimum) didi titik O (0, 0) 0) 70 •   danMemiliki nilai minimum = 0 yang sumbuf(0) simetri yangmembagi membagi dua besar, yaitu garis y=0 60 •  ’ < 0 20 Memiliki sumbu simetri dua daerah daerahkurva kurvasama sama besar, yaitu garis D f(x) = )x2, x  R  2( – 4ac = 0 diskriminan, D = b 50  Nilai nilainilai minimum f(0) =f(0) 40 = 0 =dan 0 dan minimum 40  yKurva menyinggung Sumbu x2 pada titik O(0, 0)  Nilai diskriminan, D = b2 – 4ac = 0 C’ 30 • Nilai diskriminan, C lik maksimum) di titik O (0, 0) D = b – 4ac = 0  Kurva menyinggung Sumbu x pada titik O(0, 0) 20 ’ B B kurva • daerah Kurva menyinggung Sumbu x pada titik membagi dua sama besar, yaitu garis y O(0, = 0 0) 10 A PEGANGAN SISWA 257 A’ BUKU 0Apa 1kesimpulan x 2 3 4 5 6 dari hasil pencerminan tersebut? 4 -3 -2 -1 258 BUKU PEGANGAN SISWA c=0 246

pada titik O(0, 0)


f(x) = (-

20  ) x2, x  R 4

258

Kesimpulan Misalkan g(x) = ax2, x ∈ R, jika dicerminkan terhadap Sumbu-x maka diperoleh g*(x) = -ax2, x ∈ R dengan sumbu simetri adalah Sumbu-y dan memiliki titik puncak O (0, 0).

Masalah-7.8 Diberikan fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0. a. Temukan persamaan garis simetri (sumbu simetri) dan titik puncak grafik fungsi kuadrat tersebut. b. Temukan grafik fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0 dari grafik fungsi kuadrat g(x) = ax2, x ∈ R, a ≠ 0. c. Temukan titik potong grafik dengan sumbu x dan sumbu y. d. Temukan sifat-sifat grafik fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0 terkait nilai koefisien a dan titik puncak parabola.

Untuk memecahkan masalah di atas, cermati beberapa grafik fungsi kuadrat yang telah digambar sebelumnya dan beberapa pertanyaan berikut: 1) Apa yang dimaksud dengan grafik fungsi kuadrat? 2) Apa yang dimaksud dengan persamaan garis sumbu simetris grafik fungsi kuadrat? 3) Apa yang dimaksud dengan titik puncak grafik fungsi kuadrat? 4) Bagaimana menemukan aturan penentuan persamaan garis simetris dan titik puncak grafik fungsi kuadrat? 5) Apa yang dimaksud dengan transformasi geser ?. 6) Apa kaitan transformasi geser dan sifat-sifatnya untuk memperoleh sebarang grafik fungsi kuadrat dari grafik fungsi kuadrat g(x) = ax2, x ∈ R, dan a ≠ 0?

7) Temukan arah pergeseran grafik fungsi kuadrat g(x) = ax2, x  R untuk

7) Temukan arah pergeseran grafik fungsi kuadrat g(x) = ax2, x ∈ R untuk



  b     D  dan syarat-syarat  dan syarat-syarat yang diperluk  2a    4a 

mendapatkan grafik grafik fungsi f ( x)  g  x   fungsi     yang diperlukan!

8) Sifat-sifat



apa

saja

yang

kamu

simpulkan

dari

grafik

fun

2

   b    D  f ( x)  a x        , dengan a, b, c adalah bilangan 247 real dan a dan Fungsi Kuadrat   7 Persamaan  4a    2aBab

dengan nilai koefisien a dan titik puncak grafik fungsi?

9) Dapatkah kamu memberi beberapa kemungkinan gambaran grafik fungsi k

nilai koefisien a, nilai diskriminan, titik potong terhadap sumbu-x, nilai fun

7) Temukan grafik fungsi kuadrat g(x) =g(x) ax2, = x 7) Temukanarah arahpergeseran pergeseran grafik fungsi kuadrat axR2, untuk x  Rmendapatkan untuk mendapatkan

    b b  D D  yang diperlukan! grafik grafikfungsi fungsif (fx()x) g gx x 2a   4a dansyarat-syarat dan syarat-syarat yang diperlukan! 2a 4a 8) Sifat-sifat

8) Sifat-sifat

apa

apa

saja



saja



yang

 



kamu

yang

simpulkan

kamu

dari

simpulkan

grafik

fungsi

dari

grafik

8) Sifat-sifat apa saja yang kamu simpulkan dari grafik fungsi kuadrat 2

kuadrat

fungsi

kuadrat

   b    D  , dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0 berkaitan f ( x)  a x   b 2  D   dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0   b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0 berkaitan f ( x)  a  x  2 a     4a   , dengan

   2 a    4a   dengan nilai koefisien a dan titik puncak grafik fungsi? berkaitan dengan nilai koefisien a dan titik puncak grafik fungsi? dengan nilai koefisien abeberapa dan titikkemungkinan puncak grafik fungsi? 9) Dapatkah gambaran grafik fungsi kuadrat terkait 9) Dapatkahkamu kamumemberi memberi beberapa kemungkinan gambaran grafik fungsi kuadrat 9) nilai Dapatkah memberi beberapa gambaran grafik fungsi kuadrat terkait koefisien a, nilai diskriminan, titik kemungkinan potongtitik terhadap sumbu-x, nilai fungsinya. terkait nilaikamu koefisien a, nilai diskriminan, potong terhadap sumbu-x, nilai fungsinya. nilai koefisien a, nilai diskriminan, titik potong terhadap sumbu-x, nilai fungsinya. 2

Berdasarkan Definisi fungsi kuadrat adalah f(x) f(x) = ax= +axbx 2 + c, dengan Berdasarkan Definisi7.2, 7.2,bentuk bentukumum umum fungsi kuadrat adalah + bx + c, dengan a, b, cbilangan adalah bilangan a, b, c adalah real dan areal ≠ 0.dan a ≠ 0. 2

Berdasarkan Definisi 7.2, bentuk umum fungsi kuadrat adalah f(x) = ax + bx + c, dengan b a

2 2 f(x) + bx bilangan + c, a ≠ 0  = a(x a, b,=cax adalah realf(x) dan a ≠ +0. x +

f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0  f(x) =2 a(xb2 +  f(x) = a(x +

a

b

x +a

c ), a ≠ 0 a

xb 2+

c

b),2 a ≠c0 + ), a ≠ 0 4a 2 a4a 2 a 2

2

b b b 2 b4ac b c  f(x)f(x) = a[(x + 2 +)2 -x( + 2 2 -)], a 2≠+0 ), a ≠ 0 = a(x 2a a 44a a a 4a b 2 b b 2  4acb 2  4ac  f(x) = a(x + ) - ( )2 - ( ), a ≠ 0 )], a ≠ 0  f(x) = a[(x 4a 2a + 2

2a

4a

b D 2  f(x) = a(x - ( ) )b2 + ( ), a ≠ 0 2 4a b  4ac 2 a  f(x) = a(x + ) -( ), a ≠ 0

2a

a f(x) 0 = a(x - ( Misalkan g(x) = ax2, x  R, f(x) = a(x - (

b 2 D )) + ( ), a ≠ 0 2a 4a

Misalkan axR2, x  R, a  0 dan g(x) =g(x) ax2, = x



4a

b 2 D )) + ( ), a ≠ 0 2a 4a f(x) = g(x - (

b D )) + ( ) 2a 4a

b 2 D )) + ( ), a ≠ 0 b D b D 2 a 4 a )kuadrat f(x) = g(x - ( kuadrat ) + (g(x)g(x) Grafik fungsi adalah grafik fungsi Grafik fungsif(x) f(x)==g(x g(x –- ( ) ) + ( ) adalah grafik fungsi =) ax=2,axx2, R 2 a 4 a 2 a 4 a 2 dan = ax , x sejauh R x ∈ Rg(x) yang digeser satuan kearah Sumbu-x dan digeser sejauh satuan ke arah

f(x) = a(x - (

Sumbu-y. yang digeser sejauh (

b D ) satuan kearah Sumbu-x dan digeser sejauh satuan ke arah 2a 4a

Sumbu-y. 260 BUKU PEGANGAN SISWA 2 Grafik fungsi kuadrat f(x) = ax + bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan riel dan a ≠ 0, memiliki 248 Buku Matematika Siswa SMA/MA/SMK/MAK Kelas X b a. Persamaan sumbu simetri x = dan 2a b  D b. Titik puncak P( ,SISWA ). 260 BUKU PEGANGAN 2a 4a

2a

4a

b

D

Grafik fungsi f(x) = g(x - ( ) ) + ( D ) adalah grafik fungsi kuadrat g(x) = ax2, x  R b a 4a satuan ke arah ) satuan kearah Sumbu-x dan digeser 2sejauh 2a 4a yang digeser sejauh (

b D ) satuan kearah Sumbu-x dan digeser sejauh satuan ke arah 2a 4a

 b 2 + bx Sumbu-y. D+ c, dengan a, b, c adalah bilangan riel 2dan a ≠ 0, t f(x) )) + ( (x - ( = ax ) adalah grafik fungsi kuadrat g(x) = ax , x  R 2a 4aSifat-4 2

Grafik fungsi kuadrat f(x) = ax + bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan riel dan a ≠ 0,

 b memiliki b Grafik fungsi dan kuadrat f(x) =sejauh ax2 + bx+Dc, dengan c adalah bilangan real dan u simetri x = kearah dan ) satuan Sumbu-x digeser satuan a,keb,arah 2a a ≠ 0, memiliki 2a  b4a a. Persamaan sumbu simetri x = dan b D 2−b a a. Persamaan sumbu simetri x = dan , ). 2a b  D a 4a b. Titik puncak P( −b, − D ). 4a ). bilangan riel dan a ≠ 0, t f(x) = ax2 + bxb. + c, dengan Titik puncaka, Pb, (2ac ,adalah 2a 4a grafik persamaan fungsi kuadrat sebelumnya turunkan sifat-sifat beberapa sajian grafik persamaan fungsi kuadrat sebelumnya turunkan sifat-sifat  bDari kuadrat menyajikan beberapa kemungkinan kondisi grafik ugsi simetri x = dan dan Dari beberapa sajian grafikkuadrat persamaan fungsi kuadrat sebelumnya turunkan kondisi sifat- grafik grafik persamaan fungsi dan menyajikan beberapa kemungkinan 2 a 2 sifat grafik persamaan fungsi kuadrat dan menyajikan beberapa kemungkinan kondisi n koefisien x , nilai diskriminan dan nilai fungsi2tersebut. b D tersebut terkaitterkait dengan koefisien x , nilai diskriminan dan dan nilainilai fungsi tersebut. grafik tersebut dengan koefisien x2 , nilai diskriminan fungsi tersebut. , ).  b  D 2 a = 4a(x a - ( )) + (  b bilangan  Dreal dan a ), dengan a, b, c adalah x) dengan a, a,b,b,ccadalah adalahbilangan bilanganreal dan a ), dengan Darifungsi fungsi kuadrat f(x) = a(x - ( ) )2 + ( 2a Dari 4a kuadrat 2a 4a beberapa sifat. real a ≠diturunkan 0,kuadrat dapat diturunkan beberapa sifat. sifat-sifat grafik persamaan fungsi sebelumnya ≠ 0,dan dapat beberapa sifat. turunkan

gsi kuadrat danSifat-1 menyajikan beberapa kemungkinan kondisi grafik Sifat-5  b 2tersebut.  Dkuadrat f(x) = ax2 + bx  b 2 dengan  Da, nkkoefisien x2 ,fungsi nilai nilai Jikadiskriminan a>> 0,0, maka maka grafik persamaan fungsi ) ) fungsi persamaan f(x)dan = a(x - (fungsi + ( kuadrat ) terbuka Jika akuadrat grafik persamaan f(x) =kea(x - ( +) c, ) +( ) terbuka ke a dan memiliki titik2balik a b, dan c bilangan real a ≠ 02aterbuka ke 4atas minimum 4a b D x) = a(x - ( ) )2 +(b  ),D dengan a, b, c adalah bilangan  b real D dan a , ). 2a atas balik minimum P( dan4,amemiliki ). titik balik minimum P( 2a 4a 2a 4a beberapa sifat. Sifat-2

Sifat-6 b D  b 2 fungsi D ) terbuka ke Jika a < 0, maka grafik persamaan kuadrat f(x) = a(x - ( ) )2 + (  b  D ( ) ) + ( ) terbuka ke k persamaan fungsi kuadrat f(x) = a(x 2 2ac, dengan4a,a b, Jika kuadrat a < 0, maka f(x) = ax + bx + k persamaan fungsi f(x)grafik = a(xpersamaan - ( 2a ) )2 fungsi + ( 4kuadrat ) terbuka ke a 2a ke bawah 4a dan dan c bilangan real a ≠ 0 terbuka titik balik maksimum  b memiliki D bawah dan memiliki titik balik maksimum P( , ).  b bD  D 2a 4a tik balik maksimum balik minimum P( P( , , ). ).

2a Sifat-3

24aa 4a

Grafik persamaan fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan real dan 2 Sifat-7 gsi kuadrat f(x) =a ax +Misal bx +Dc,=dengan a, b,adalah cb adalah bilangan real dan D 2 diskriminan) ≠ 0. b2=–a(x 4ac-(D 2 ) terbuka ke ( ) ) + ( k persamaan fungsi kuadrat f(x) Grafik persamaan fungsi kuadrat f(x) = ax + bx + c, dengan a, b, c bilangan real 4a Sumbu-x pada dua titik berbeda 4ac (D adalah diskriminan) a.danJika 0 maka y 2=a(D f(x)adalah memotong a ≠D 0. >Misal D =grafik b2 – 4ac diskriminan) a. JikaSumbu-x D grafik = f(x)berbeda memotong Sumbu-x pada dua titik berbeda b >0Dmaka rafik y = f(x) memotong pada duaytitik tik balik maksimum P( , ). b. Jika2aD = 40amaka grafik y = f(x) menyinggung Sumbu-x pada satu titik c. Jika D < 0 maka grafik y = f(x) tidak memotong Sumbu-x

2 BUKU SISWA gsi kuadrat f(x) = ax + bxPEGANGAN + c, dengan a, b, c adalah bilangan real dan Bab 7 Persamaan dan Fungsi Kuadrat 261 N SISWA 4ac (D adalah diskriminan)

rafik y = f(x) memotong Sumbu-x pada dua titik berbeda

249

261

Pada gambar berikut diperlihatkan berbagai kemungkinan letak parabola terhadap Sumbu-x

250


3. Hubungan Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat Kita cermati konsep persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat sebagai berikut. • Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan aljabar yang dinyatakan dalam bentuk ax2 + bx + c = 0, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0. • Fungsi kuadrat adalah suatu fungsi yang dinyatakan dalam bentuk f(x) = ax2 + bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0.

Latihan 7.5 Berdasarkan kedua konsep di atas, jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut 1. Apakah sebuah persamaan kuadrat dapat diperoleh dari sebuah fungsi kuadrat? 2. Jika disubtitusikan nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 ke dalam persamaan fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c apa yang kamu dapatkan 3. Dapatkah persamaan fungsi kuadrat dipandang sebuah persamaan kuadrat? Jelaskan. 4. Apa perbedaan konsep fungsi dengan konsep persamaan? Sifat-8 Jika sebuah fungsi kuadrat diberi nilai k, dengan k ∈ R maka diperoleh sebuah persamaan kuadrat.


251

Uji Kompetensi 7.4 1. Sebuah fungsi kuadrat mempunyai nilai maksimum -3 pada saat x = 2, sedangkan untuk x = - 2 fungsi bernilai -11. Tentukan fungsi kuadrat tersebut ! 2. Tentukan luas minimum segi empat EFGH di bawah ini !

4. Persegi ABCD dengan panjang sisinya a cm. Pada sisi AB diberi titik E dengan panjang AE adalah x cm. Diantara sisi BC diberi titik F dengan panjang BF = AE. Panjang EB = FC. Tentukan luas minimum DEF ! 5. Daerah asal fungsi kuadrat f(x) = -2x2 + 4x + 3 adalah himpunan A = {x |-2 ≤ x ≤ 3, x ∈ R . Tentukan daerah hasil fungsi f ! 6. Gambarkanlah grafik fungsi kuadrat di bawah ini.(untuk setiap x bilangan real) a. f(x) = 3x2+5x-4, x ∈ R. b. f(x) =-2x2–3x+7, x ∈ R.

3. Temukan grafik fungsi kuadrat f(x) = 4x2 – 8x + 3 dari grafik fungsi kuadrat g(x) = 4x2!

Projek Rancanglah masalah nyata yang melibatkan grafik fungsi kuadrat pada bidang teknik bangunan dan fisika. Buatlah pemecahan masalah tersebut dengan menerapkan berbagai sifat grafik fungsi kuadrat yang telah kamu pelajari. Buat laporan hasil kerjamu dan sajikan di depan kelas.

252


6. Gambarkanlah 6.grafik Gambarkanlah fungsi kuadrat grafik di fungsi bawahkuadrat ini.(untuk di bawah setiap xini.(untuk bilangan setiap real) x bilangan re a. b.

( ) ( )

a. b.

6. Gambarkanlah grafik fungsi kuadrat di bawah ini.(untuk setiap x bilang ( ) a. ( ) ( ) b. ( )

D. PENUTUP PENUTUP PENUTUP

PENUTUP Telah kita temukan konsep dan aturan yang berlaku pada persamaan dan fungsi Telah kita temukan Telah konsep kitaTelah temukan dan kita aturan konsep yang dan berlaku aturan pada yang persamaan berlaku pada dan fungsi persamaan temukan konsep aturan yang berlaku kuadrat. Beberapa hal yang penting sebagai pegangan kitadan untuk mendalami dan pada persa kuadrat.melanjutkan Beberapa kuadrat. hal yang Beberapa penting hal sebagai yang penting pegangan sebagai kita untuk pegangan mendalami kita untuk men kuadrat. haldapat yang penting sebagai sebagaiberikut. pegangan kitadanuntuk materi pada bahasanBeberapa berikutnya, dirangkum melanjutkan materi melanjutkan pada bahasan materi berikutnya, pada bahasan dapat dirangkum dapat sebagai dirangkum berikut. sebagai berikut. melanjutkan materi pada berikutnya, bahasan berikutnya, dapat dirangkum sebagai ber 1. Bentuk umum Persamaan kuadrat adalah 1. Bentuk umum 1. Persamaan Bentuk umum kuadrat Persamaan adalah kuadrat adalah 1. Bentuk umum Persamaan kuadrat adalah ax2 + bx + c =2 0, dengan 2a, b, c ∈ R dan a ≠ 0. bxdengan c =c+0, R+dan ≠dengan b, 0. c a,Rb,dan 0. a ≠ 0. ax2 + bx + c = 0, dengan ax + bxa,+ b, c = a0,a, c a R≠ dan ax 2. Untuk menentukan akar-akar suatu persamaan kuadrat dapatpersamaan dilakukan dengan 2. Untuk menentukan akar-akar suatu dapat 2. Untuk menentukan 2. Untuk akar-akar menentukan suatu persamaan akar-akar suatu kuadrat persamaan dapat dilakukan kuadratkuadrat dapat dengan dilakukan caradilaku cara berikut. berikut. berikut. berikut. a. Memfaktorkan. a. Memfaktorkan. a. Memfaktorkan. a. Memfaktorkan. b. Melengkapkan Bentuk Kuadrat Sempurna. b. Melengkapkan Bentuk Kuadrat Sempurna. b. Melengkapkan b. Bentuk Melengkapkan Kuadrat Sempurna. Bentuk Kuadrat Sempurna. c. Menggunakan Rumus abc. c. Menggunakan Rumus abc.Rumus abc. c. Menggunakan c.Rumus Menggunakan abc. Rumus untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat atau sering dis Rumus untuk menentukan untuk akar-akar menentukan persamaan akar-akar kuadrat persamaan atau sering kuadrat disebut atau dengan sering disebut Rumus abcRumus adalah sebagai berikut. Rumus abc adalah sebagai berikut.

Rumus abc adalah Rumus sebagai abc berikut. adalah sebagai berikut. 2  b  b  4ac

 b  b 2  4ac  b x1, 2 b2  4ac 2a x1, 2  x1, 2  2a a Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat 3. Jumlah2dan 3. Jumlah HasilAkar-Akar Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat 3. Jumlah dan Hasil 3.danJumlah Kali danAkar-akar HasilPersamaan Kali Akar-Akar Kuadrat Persamaan Kuadrat persamaan kuadrat ax2+ bx + c = 0, berhubungan erat d 2 2 2 Akar-akar persamaan kuadrat ax + bx + c = 0, berhubungan erat dengan koefisienAkar-akar persamaan Akar-akar kuadrat persamaan ax kuadrat ax + bx + c = 0, berhubungan + bx + c = erat 0, berhubungan dengan koefisieneratpersama denga koefisien a, b, dan c. Jika x1 dan x2 merupakan akar-akar koefisien a, b, dan c. Jika x dan x merupakan akar-akar persamaan kuadrat, 1 x2c.merupakan 2Jika x1 dan akar-akar x2 merupakan persamaan akar-akar kuadrat, persamaan maka ku koefisien a, b, dan koefisien c. Jikaa, x1b,dan dan berlaku. b c berlaku.maka berlaku. berlaku. x1  x 2   x1 . x 2  dan b b c c a a dan x1dan . x2  x1  x 2   x1  xdan  x1 . x 2  2persamaan dan x adalah (x - x1)(x 4. Bentuk kuadrat dengan akar-akar x 1 a a a a 2 4. Bentuk persamaan kuadrat dengan akar-akar x1 dan xakar-akar adalah (x x )(x x2 –adalah x ) = (x 0 - x1)(x – x2) 4. Bentuk persamaan kuadrat dengan x1-dan 4. Bentuk persamaan kuadrat dengan akar-akar x dan2 x adalah (x - 1x )(x – x2 ) = 0 1

2

1

2

5. Karakteristik Grafik Fungsi Kuadrat Fungsi kuadrat memiliki bentuk umum dengan a, b, c ∈ R dan a ≠ 0. Dari BUKU PEGANGAN SISWA bentuk aljabar tersebut, grafik fungsi kuadrat dapat diilustrasikan sebagi bentuk lintasan lengkung atau parabola dengan karakteristik sebagai berikut. 264 BUKU PEGANGAN BUKU SISWA PEGANGAN SISWA a. Jika a > 0, maka parabola terbuka ke atas. b. Jika a < 0, maka parabola terbuka ke bawah. c. Jika D < 0, maka parabola tidak memotong maupun menyinggung sumbu x. d. Jika D = 0, maka parabola menyinggung sumbu x. e. Jika D > 0, maka parabola memotong sumbu x di dua titik. 6. Langkah-langkah yang diperlukan untuk membuat sketsa grafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx adalah sebagai berikut


253

a. Menentukan titik potong dengan sumbu x, diperoleh jika y = 0. b. Menentukan titik potong dengan sumbu y, diperoleh jika x = 0.

c.

b

Menentukan persamaan sumbu simetri x = − . 2a D d. Menentukan nilai ekstrim grafik y = . −4a  b D , . e. Koordinat titik balik sebuah grafik fungsi kuadrat adalah  −

 2a 4a 

Kita telah menemukan berbagai konsep dan sifat-sifat yang berlaku pada persamaan dan fungsi kuadrat. Demikian juga, kita telah terapkan dalam berbagai pemecahan masalah nyata. Selanjutnya akan kita bahas tentang geometri terkait kedudukan titik, garis, sudut, dan bidang pada bidang datar dan ruang dimensi tiga. Penguasaan kamu pada materi pada setiap bahasan akan bermanfaat dalam mendalami materi selanjutnya.

254


Persamaan dan Fungsi Kuadrat

Recommend Documents