Pendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah-langkahnya 1. Andaikan X 1 , X 2 ,..., X n adalah contoh acak dari populasi dengan fungsi kepekatan f ( x; ) , dan parameter yang tidak diketahui nilainya. Andaikan T adalah penduga titik bagi . 2. Andaikan Y g (T ; ) memiliki sebaran penarikan contoh (sampling distribution) yang tidak bergantung pada . Y dinamakan besaran atau kuantitas pivotal. 3. Maka untuk besaran 1 tertentu, 0 1, ada y1 dan y2 sedemikian rupa sehingga P( y1 Y y2 ) 1 4. Selanjutnya pernyataan peluang di atas diubah menjadi pernyataan peluang yang setara P L1 (T ) L2 (T ) 1 .
5. Bila T diganti dengan nilainya berdasarkan data contoh, maka akan diperoleh pernyataan peluang P l1 (t ) l2 (t ) 1 dengan tingkat kepercayaan sebesar 1 . Jadi, selang kepercayaan 100(1 )% bagi ialah l1 (t ), l2 (t ) . Teladan 1. Andaikan contoh acak X 1 , X 2 ,..., X n diambil dari sebaran seragam U (0, ). Buat selang kepercayaan 90% bagi dan tafsirkan. Jawab Telah kita peroleh bahwa U max X i Adalah PKM bagi . Statistik U mempunyai fungsi kepekatan peluang nu n1 fU (u ) n , 0 u
Karena ini bergantung pada parameter , maka U bukan unsur pivot. Selanjutnya, kita U lakukan transformasi Y (untuk
menghilangkan ). Dengan menggunakan metode Jacobian, maka diperoleh fkp bagi Y, yaitu fY ( y ) ny n 1 , 0 y 1
Yang tidak bergantung pada . Jadi, Y
U
dapat dijadikan unsur pivot. Sekarang kita cari a dan b sedemikian rupa sehingga P a Y b 0.90
U P a b 0.90 Fungsi sebaran kumulatif bagi Y ialah FY ( y ) y n , 0 y 1. Kita ambil a dan b sehingga FY (a ) 0.05 dan FY (b) 0.95 Maka
a n 0.05 dan b n 0.95 Sehingga a n 0.05 dan b n 0.95 Dengan demikian, U n n P 0.05 0.95 0.90 , atau 1 1 P n n 0.90 , atau 0.05 0.95 U U U P n n 0.90 0.05 0.95 Jadi, selang kepercayaan 90% bagi ialah U U ,n n 0.95 0.05 Hasil ini dapat ditasirkan sebagai berikut: Bila penarikan contoh di atas dilakukan berulang-ulang, misalnya 1000 kali, dan untuk setiap contoh yang terambil dibuat selang kepercayaan menurut rumus di atas, maka kira-kira 90% (atau 900) selang
kepercayaan akan mencakup nilai yang sebenarnya. Selang Kepercayaan Contoh Besar: Kasus Satu Contoh Bila ukuran contoh cukup besar, maka menurut Teorema Limit Pusat statistik tertentu memiliki sebaran penarikan contoh yang menghampiri normal. Artinya, bila adalah parameter yang tidak diketahui (misalnya , p, 1 2 , p1 p2 ), maka ˆ Z ˆ Menghampiri sebaran normal baku. Bila , n 30 dianggap cukup besar. Bila adalah parameter binom p, maka n dipandang cukup besar bila np dan n(1 p) keduanya lebih besar dari 5. Prosedur untuk Menghitung Selang Kepercayaan Contoh Besar bagi
1. Carilah penduga (misalnya PKM) bagi , andaikan itu ˆ . 2. Tentukan galat bakunya, yaitu ˆ ˆ 3. Lakukan transformasi Z . Maka ˆ Z menghampiri sebaran normal baku. 4. Dari tabel normal baku, carilah z 2 dan z 2 . 5. Selang kepercayaan (1 )100% hampiran bagi ialah ˆ z 2 ˆ , ˆ z 2 ˆ
6. Kesimpulan: Kita yakin (1 )100% bahwa parameter sebenarnya , tercakup di dalam selang ˆ z 2 ˆ , ˆ z 2 ˆ . Teladan.
Andaikan , ˆ X , dan contoh yang diambil cukup besar (n 30) , maka selang kepercayaan (1 )100% bagi ialah , X z 2 X z 2 n n Bila tidak diketahui, ˆ S . Sehingga selang hampirannya ialah S S , X z 2 X z 2 n n Teladan Dari dua kelas besar metode statistik diambil contoh acak masing-masing 50 nilai UTS dan hasilnya sebagai berikut: 1. Kelas 1: x1 77.01, s1 10.32 2. Kelas 2: x2 72.22, s2 11.02 Hitunglah selang kepercayaan 95% bagi rataan nilai UTS sebenarnya untuk kedua kelas itu. Jawab
Karena n 50 adalah cukup besar, maka kita dapat menggunakan hampiran normal. Untuk 0.05, dari tabel normal diperoleh z 2 z0.025 1.96 . Jadi, selang kepercayaan yang diminta ialah: 1. Kelas 1: s1 10.32 x1 z 2 77.01 1.96 n 50 Yang menghasilkan selang kepercayaan 95% (74.149, 79.871). 2. Kelas 2: s1 11.02 x1 z 2 72.22 1.96 n 50 Yang menghasilkan selang kepercayaan 95% (69.165, 75.275). Teladan. Limabelas mobil dipilih secara acak dan diamati kecepatan mereka di jalan raya yang kecepatannya dibatasi 70 mil per jam.
Ternyata rata-rata kecepatan mereka 73.3 mil per jam. Andaikan berdasarkan pengalaman dapat diasumsikan bahwa kecepatan menyebar normal dengan simpangan baku 3.2. Buat selang kepercayaan 90% bagi rataan kecepatan sebenarnya mobil-mobil yang melaju di jalan raya itu. Jawab Karena diketahui populasinya normal dengan simpangan baku 3.2 , maka ukuran contoh tidak perlu besar. Karena x 73.3, 3.2, n 15 , dan 0.10 , maka z 2 z0.05 1.645 . Sehingga selang kepercayaan 90% bagi ialah x z 2 x z 2 n n 3.2 3.2 73.3 1.645 73.3 1.645 15 15 Atau
71.681 74.919 Jadi, kita percaya 90% bahwa kecepatan rata-rata kendaraan yang melalui jalan raya itu antara 71.681 dan 74.919 mil per jam.
Selang Kepercayaan untuk Proporsi Perhatikan sebaran binom dengan parameter p. Andaikan X adalah banyaknya keberhasilan dalam n tindakan. Telah X diperoleh PKM bagi p ialah pˆ . Bila n n cukup besar, dapat diperlihatkan bahwa pˆ (1 pˆ ) pˆ (1 pˆ ) P pˆ z 2 p pˆ z 2 1 n n
Sehingga selang kepercayaan (1 )100% bagi parameter p ialah pˆ (1 pˆ pˆ (1 pˆ , pˆ z 2 pˆ z 2 n n
Pertanyaan yang relevan ialah “Bagaimana kita tahu bahwa ukuran contoh sudah mencukupi untuk menggunakan hampiran normal?” Ada yang menyarankan agar np dan n(1 p) harus lebih besar dari 10. Ada pˆ (1 pˆ ) lagi yang menyarankan pˆ 2 n
tercakup di dalam selang (0, 1). Yang lain lagi menyarankan agar np(1 p) 10 dan ada pula yang menyarankan np dan n(1 p) keduanya lebih besar dari 5. Teladan. Sebuah perusahaan elektronik memberikan jaminan 3 tahun bagi produk barunya. Dari contoh acak 60 produk yang terjual, ternyata 20 membutuhkan layanan perbaikan selama masa garansi. Dugalah proporsi sebenarnya barang elektronik itu yang membutuhkan layanan perbaikan selama masa garansi dengan tingkat kepercayaan 95%.
Jawab Margin of Error dan Ukuran Contoh Di dalam hasil survei sering dilaporkan tentang besarnya margin of error. Besaran ini tidak lain adalah setengah lebar selang kepercayaan maksimum pada tingkat kepercayaan 95% dinyatakan dalam persentase. Andaikan b adalah lebar selang kepercayaan 95% bagi parameter p. Andaikan pˆ
x n
adalah nilai dugaan bagi p dan x adalah banyaknya keberhasilan. Maka
x x x x 1 1 x n n x n n b 1.96 1.96 n n n n x x 1 1 n n 3.92 3.92 n 4n x x 1 Karena 1 pˆ (1 pˆ ) n n 4
Jadi, margin of error bagi proporsi dugaan dinyatakan dalam persentase ialah 100d % dengan 1 3.92 max b 1.96 4 n d 2 2 2 n
Tentu saja bila tingkat kepercayaannya (1 ) diganti, bilangan 1.96 juga harus diganti dengan z 2 . Jelas terlihat dari rumus di atas bahwa semakin besar ukuran contoh n, semakin
kecil margin of errornya. Akan tetapi, n yang besar berimplikasi biaya survei menjadi semakin mahal. Pertanyaannya sekarang ialah berapa ukuran contoh harus diambil untuk mencapai margin of error tertentu. Selang kepercayaan (1 )100% bagi p untuk contoh besar ialah pˆ (1 pˆ pˆ (1 pˆ , pˆ z 2 pˆ z 2 n n
Maka pˆ p z 2
pˆ (1 pˆ ) z 2 n n
pˆ (1 pˆ )
Itu menunjukkan bahwa, dengan peluang 1 , nilai dugaan pˆ berada dalam jarak 1 z 2 pˆ (1 pˆ ) n dari p. Karena pˆ (1 pˆ ) , 4
maka pertidaksamaan terakhir di atas dapat ditulis menjadi pˆ p
z 2 n
1 z 2 4 2 n
Kalau kita ingin menduga p pada tingkat kepercayaan 1 sehingga nilai dugaannya berada dalam jarak d dari nilai parameter sebenarnya, dengan kata lain pˆ p d , maka ukuran contohnya harus memenuhi syarat z 2 2 n
d atau n
z2 2 4d 2
Kalau kita memiliki nilai dugaan awal pˆ berdasarkan survei pendahuluan, misalnya, maka kita dapat menggunakan rumus n
z2 2 pˆ (1 pˆ ) d2
Dalam hal rumus-rumus di atas tidak menghasilkan bilangan bulat, maka lakukan pembulatan ke bilangan bulat berikutnya. Perhitungan serupa untuk ukuran contoh untuk pendugaan rataan populasi pada tingkat kepercayaan (1 ) dengan margin of error E menghasilkan
n
z2 2 2 E2
Walaupun di dalam praktek ragam populasi 2 pada umumnya tidak diketahui, namun mungkin saja itu dapat diduga dari penelitian serupa yang mungkin pernah dilakukan sebelumnya atau dari penelitian awal (pendahuluan). Teladan Sebuah lembaga penelitian akan melakukan survei untuk menduga besarnya dukungan terhadap kebijakan presiden dalam masalah ekonomi dengan margin of error 3% pada tingkat kepercayaan 95%. (a) Berapa responden yang harus diwawancarai kalau tidak ada informasi awal yang dapat dimanfaatkan? (b) Kalau ada informasi awal bahwa yang mendukung kebijakan presiden adalah
70%, berapa responden yang harus disurvei? Jawab (a) Dalam masalah ini 0.05 , z 2 1.96 , dan d 0.03. Karena tidak ada informasi awal apa-apa, maka digunakan rumus: z2 2
(1.96) 2 n 2 1067.1 1068 2 4d 4(0.03)
Jawab (b) Karena ada informasi awal pˆ 0.7 , maka n
z2 2 pˆ (1 pˆ )
d2 (1.96) 2 (0.7)(0.3) 896.37 897 2 (0.03)
Terlihat bahwa adanya informasi dapat memperkecil ukuran contoh yang berarti memperkecil biaya. Selang Kepercayaan Contoh Kecil bagi Rataan Populasi
Andaikan X 1 , X 2 ,..., X n adalah suatu contoh acak dari sebuah populasi normal. Telah diketahui bahwa X T S n
mempunyai sebaran-t dengan n 1 derajat bebas yang tidak bergantung kepada 2 . Jadi, T dapat digunakan sebagai unsur pivot. Jadi, untuk n kecil (n 30) dan 2 tidak diketahui, selang kepercayaan (1 )100% bagi rataan populasi ialah S S , X t 2;n1 X t 2;n1 n n
Perlu ditekankan di sini bahwa asumsi populasi normal tidak boleh diabaikan. Teladan Berikut ini diberikan suatu data acak dari sebuah populasi normal: 7.2, 5.7, 4.9, 6.2, 8.5, 2.8
Buat selang kepercayaan 95% bagi rataan populasi . Jawab Perhitungan dengan kalkulator, misalnya, menghasilkan rataan contoh x 5.883 dan simpangan baku contoh s 1.959 . Untuk 5 derajat bebas dan 0.05 , dari tabel-t diperoleh t0.025 2.571. Jadi, selang kepercayaan 95% bagi ialah S S , X t 2;n1 X t 2;n1 n n 1.959 1.959 5.883 2.571 , 5.883 2.571 6 6 (3.827, 7.939)
Selang Kepercayaan bagi Ragam Populasi Andaikan X 1 , X 2 ,..., X n masing-masing menyebar normal dengan rataan dan
2 2 ragam . Andaikan dan keduanya tidak diketahui. Kita tahu bahwa
n
X i 1
i
X
2
(n 1) S 2
2 2 Mempunyai sebaran dengan (n 1) derajat bebas, tidak bergantung pada nilai 2 . Maka besaran itu dapat digunakan 2 sebagai pivot. Selanjutnya kita cari L dan U2 sedemikian rupa sehingga 2
2 (n 1) S 2 2 P L U 1 2 Pernyataan peluang di atas dapat dituliskan dalam bentuk 2 (n 1) S 2 ( n 1) S 2 P 1 2 2 L U Jadi, selang kepercayaan (1 )100% bagi 2 ialah
(n 1) S 2 (n 1) S 2 , 2 2 U L 2 2 2 2 Bila diambil U , maka L 2 dan 1 2
selang kepercayaan bagi menjadi (n 1) S 2 (n 1) S 2 , 2 2 1 2 2 2
Teladan. Suatu contoh acak berukuran 21 diambil dari populasi normal dengan simpangan baku 9. 2 Tentukan selang kepercayaan 90% bagi . Teladan Berikut adalah data kolesterol dari 10 pasien yang diambil secara acak di sebuah rumah sakit besar: 360 352 294 160 146 142 318 200 142 116 2 Tentukan selang kepercayaan 95% bagi .
Selang Kepercayaan Dua Parameter Populasi Andaikan X 11 ,..., X 1n1 adalah suatu contoh acak dari sebaran normal dengan rataan 1 2 dan ragam 1 . Andaikan X 21 ,..., X 2 n2 adalah suatu contoh acak dari sebaran normal 2 dengan rataan 2 dan ragam 2 . Andaikan kedua contoh bebas (independent), sehingga X 1 dan X 2 juga bebas. Dengan demikian 12 22 X 1 X 2 N 1 2 , n n 1 2 Ada dua kemungkinan 1. Bila 1 dan 2 diketahui, maka selang kepercayaan (1 )100% contoh besar bagi 1 2 diberikan oleh rumus 12 22 X1 X 2 z 2 n n 1 2
2. Bila 1 dan 2 tidak diketahui, maka keduanya diganti oleh simpangan baku contoh S1 dan S 2 bila ni 30, i 1, 2. Sehingga selang kepercayaan bagi 1 2 ialah
X
1
X 2 z 2
S12 S22 n1 n2
Selang Kepercayaan Contoh Kecil bagi Selisih Dua Rataan Populasi Bila ukuran contohnya kecil, pembuatan selang kepercayaan bagi selisih dua rataan populasi bisa menjadi sangat sulit. Akan tetapi, bila diasumsikan kedua populasi mempunyai ragam yang sama, walaupun tidak diketahui nilainya, katakanlah 12 22 2 , maka kita dapat menduga ragam itu dengan cara menggabungkan kedua ragam dugaan. Andaikan
n1
S p2
X i 1
1i
n2
X 1 X 2i X 2 2
2
i 1
n1 n2 2
(n1 1) S12 (n2 1) S 22 n1 n2 2 Bila kedua contoh itu bebas, maka X 1 X 2 1 2 T 1 1 Sp n1 n2 Mempunyai sebaran-t dengan n1 n2 2 derajat bebas. Maka selang kepercayaan bagi 1 2 ialah 1 1 X 1 X 2 t 2;n1 n2 2 S p n n 1 2 Soal Berikut adalah dua contoh bebas yang diambil dari dua populasi normal dengan ragam yang sama
Contoh 1: 1.2 3.1 1.7 2.8 3.0 Contoh 2: 4.2 2.7 3.6 3.9 (a) Dugalah ragam gabungannya (b) Tentukan selang kepercayaan 90% bagi 1 2
