31
BAB VI. PENERAPAN INTEGRAL
6.1. Luas Daerah Bidang Datar Daerah di atas sumbu-x. Andaikan y = f(x) menentukan persamaan sebuah kurva di bidang-xy dan andaikan f kontinu dan tak negatif pada selang [a, b]. Luas daerah R yang dibatasi oleh y = f(x), x = a, x = b, dan y = 0 adalah b
A(R) =
∫ f ( x)
dx
a
Contoh 1: Tentukanlah luas daerah R dibawah kurva y = x4 – 2x3 + 2 di antara x = -1 dan x = 2.
y = x4- 2x3 + 2
Jawab: 2
A(R) =
4 3 ∫ ( x − 2 x + 2) dx = [ −1
=(
x5 x4 − − 2 x]2−1 5 2
32 16 1 1 51 − + 4) − ( − − − 2) = = 5,1 5 2 5 2 10
32
Penyelesaian dengan Derive:
AreaUnderCurve(f(x), x, a, b, y) adalah menggambar daerah R yang dibatasi grafik fungsi y = f(x) di atas sumbu-x di antara x = a dan x = b. 1. Tulislah: AreaUnderCurve(x4 – 2x3 + 2, x, -1, 2, y), enter, sama dengan 2. Klik icon gambar 3. Tulislah: A(R):= int(x4 – 2x3 + 2,x,-1,2), enter 4. Klik icon sama dengan, lalu aproksimasi.
Jadi luas daerah R adalah A(R) = 5,1
Daerah di bawah sumbu-x. Andaikan y = f(x) menentukan persamaan sebuah kurva di bidang-xy dan andaikan f kontinu dan tak negatif pada selang [a, b]. Luas daerah R yang dibatasi oleh y = f(x), x = a, x = b, dan y = 0 adalah b
A(R) = − ∫ f ( x) dx a
33
Contoh 2: Tentukanlah luas daerah R dibawah kurva y =
x2 − 4 di antara x = -2 dan x = 3. 3
y=
x2 −4 3
Jawab: 3
x2 x3 A(R) = − ∫ ( − 4) dx = [− + 4 x]3− 2 9 3 −2 = (−
27 8 145 + 12) − ( − 8) = = 16,11 9 9 9
Penyelesaian dengan Derive:
AreaOverCurve(f(x), x, a, b, y) adalah menggambar daerah R yang dibatasi grafik fungsi y = f(x) di bawah sumbu-x di antara x = a dan x = b. 1. Tulislah: AreaOverCurve(
x2 − 4 , x, -2, 3, y), enter 3
2. Klik icon gambar 3. Tulislah: A(R):= int(
x2 − 4 , x, -2, 3), enter 3
4. Klik icon sama dengan, lalu aproksimasi.
34
Jadi luas daerah R adalah A(R) = 145/9 = 16,11.
Daerah di kanan sumbu-y. Andaikan x = f(y) menentukan persamaan sebuah kurva di bidang-xy dan andaikan f kontinu dan tak negatif pada selang [a, b]. Luas daerah R yang dibatasi oleh x = f(y), y = a, y = b, dan x = 0 adalah b
A(R) =
∫ f ( y)
dy
a
Contoh 3: Tentukanlah luas daerah R yang dibatasi oleh kurva x = y + cos(y) di antara y = 0 dan y = 3.
35
x = y + cos(y)
Jawab: 3
A(R) =
∫ y + cos( y ) dy = [ 0
=
y2 + sin( y )]30 2
9 + sin(3) = 4,50 + 0,1411 = 4,64 2
Penyelesaian dengan Derive:
AreaUnderCurve(f(y), y, a, b, x) adalah menggambar daerah R yang dibatasi grafik fungsi x = f(y) di kanan sumbu-y di antara y = a dan y = b. 1. Tulislah: AreaUnderCurve(y + cos(y), y, 0, 3, x), enter 2. Klik icon gambar 3. Tulislah: A(R):= int(y + cos(y), y, 0, 3), enter 4. Klik icon sama dengan, lalu aproksimasi.
36
Jadi luas daerah R adalah A(R) = 4,64
Daerah di kiri sumbu-y. Andaikan x = f(y) menentukan persamaan sebuah kurva di bidang-xy dan andaikan f kontinu dan tak negatif pada selang [a, b]. Luas daerah R yang dibatasi oleh x = f(y), y = a, y = b, dan x = 0 adalah b
A(R) = - ∫ f ( y ) dy a
AreaOverCurve(f(y), y, a, b, x) adalah menggambar daerah R yang dibatasi grafik fungsi x = f(y) di kiri sumbu-y di antara y = a dan y = b. Contoh 4: Tentukan luas daerah R yang dibatasi oleh x = cos( y ) − y di antara y = 1 dan y = 3 (lihat tugas kelompok)
37
Daerah di antara Dua Kurva. Andaikan kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) ≥ g(x) pada selang [a, b]. Luas yang dibatasi oleh f(x) – g(x), x = a, x = b b
adalah ∫ ( f ( x) − g ( x)) dx a
Contoh 5: Tentukanlah luas daerah di antara kurva y = x 4 dan y = 2 x − x 2
y = x4 y = 2x-x2
Jawab:
A(R) = [ x 2 −
x3 x5 1 − ]0 3 5 1
= (1 −
1 1 7 − )= = 0,47 ∫ (2 x − x 2 − x 4 ) dx = 3 5 15 0
Penyelesaian dengan Derive:
AreaBetweenCurves(f(x), g(x), x, a, b, y) adalah menggambar daerah R yang dibatasi grafik fungsi y = f(x) dan y = g(x) di antara x = a dan x = b. 1. Deklasikan: f(x):= 2x – x2 dan g(x):= x4 2. Tulislah: AreaBetweenCurves(2x – x2, x4, x, 0, 1, y)
38
3. Klik icon gambar 4. Tulislah: A:= int(f(x)-g(x), x, 0, 1), enter 5. Klik icon sama dengan, lalu aproksimasi.
Jadi luas daerah di antara y = 2x – x2 dan y = x4 adalah 0,47.
AreaBetweenCurves(f(y), g(y), y, a, b, x) adalah menggambar daerah R yang dibatasi grafik fungsi x = f(y) dan x = g(y) di antara y = a dan y = b.
Tugas Kelompok 1. Konstruksi langkah-langkah menentukan luas daerah R yang dibatasi oleh x = cos( y ) − y di antara y = 1 dan x = 3, Jawab: 2,47.
2.
Konstruksi langkah-langkah menentukan luas daerah R yang dibatasi oleh y = x 3 − 3x 2 − x + 3 di antara x = -1 dan x = 2, Jawab: 23/4
3. Konstruksi langkah-langkah menentukan luas daerah R yang dibatasi oleh kurva y 2 = 4 x dan 4 x − 3 y = 4 . Jawab: 125/24
39
Soal-Soal Latihan Gambarlah daerah yang dibatasi grafik persamaan-persamaan yang diketahui, kemudian tentukanlah luas daerah yang terbentuk. 1.
1 y = 3 − x 2 , y = 0, di antara x = 0 dan x = 3 3
2.
y = ( x − 4)( x + 2) , y = 0, di antara x = 0 dan x = 3
3.
y=
4.
y = 3 x , y = 0, di antara x = -2 dan x = 2
5.
y = ( x − 3)( x + 1) , y = x
6.
y = x 2 − 2 x, y = − x 2
1 2 ( x − 7) , y = 0, di antara x = 0 dan x = 2 4
7. x = 8 y − y 2 , x = 0 8. x = y 2 − 2 y, x − y − 4 = 0 9. 4 y 2 − 2 x = 0, 4 y 2 + 4 x − 12 = 0 10. y = x + 6, y = x 3 , dan 2 y + x = 0 11. Tinjaulah kurva y =
1 untuk 1 ≤ x ≤ 6 x2
(a) Hitunglah luas dibawah kurva ini (b) Tentukanlah c sedemikian sehingga garis x = c membagi dua luas pada (a) sama besar (c) Tentukanlah d sedemikian sehingga garis y = d membagi dua luas pada (a) sama besar
40
6.2.
Volume Benda Putar Apabila sebuah daerah rata, yang terletak seluruhnya pada satu sisi dari
sebuah garis tetap dalam bidangnya, diputar mengelilingi garis tersebut, daerah itu akan membentuk sebuah benda putar. Garis tetap disebut sumbu benda putar.
Metode Cakram Menentukan volume benda yang dibentuk oleh daerah R yang dibatasi kurva y = f(x), x = a, x = b diputar mengelilingi sumbu-x dengan metode cakram adalah b
V = ∫ π ( f ( x) 2 ) dx a
Contoh 6: Tentukanlah volume benda putar yang dibentuk oleh daerah R yang dibatasi oleh kurva y = x , sumbu-x, dan garis x = 4 apabila R diputar mengelilingi sumbu-x.
Jawab: 4
V
4
= ∫ π ( x ) ) dx = ∫ π .x dx 2
0
0
41
= π[
x2 4 16 ]0 = π ( ) = 8π = 25,13 2 2
Penyelesaian dengan Derive Cara 1: b
Menggunakan rumus V= ∫ π ( f ( x)) 2 dx a
1. Menggambar daerah R: AreaUnderCurve( x , x, 0, 4, y) enter 2. Klik icon gambar 3. Deklarasikan: V:= π . int( x, x,0,4) enter 4. Klik sama dengan, lalu klik aproksimasi
Jadi volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x , sumbu-x, dan garis y = 4 apabila R diputar mengelilingi sumbu-x adalah V = 8π = 25,13.
42
Cara 2:
Volume_Of_Revolution(f(x), x, x1, x2) adalah menghitung volume daerah yang dibatasi oleh y = f(x), sumbu-x, di antara x = x1 dan x = x2 di putar mengelilingi sumbu-x. 1. Menggambar daerah R: AreaUnderCurve( x , x, 0, 4, y) enter 2. Klik icon gambar 3. Tuliskan: VOLUME_OF_REVOLUTION( x , x, 0, 4) enter 4. Klik sama dengan, lalu aproksimasi
43
Menentukan volume benda yang dibentuk oleh daerah R yang dibatasi kurva x = f(y), y = a, y = b diputar mengelilingi sumbu-y adalah b
V = ∫ π ( f ( y ) 2 ) dx a
Contoh 6: Tentukanlah volume benda putar yang dibentuk oleh daerah R yang dibatasi oleh kurva y = x 3 , sumbu-y, dan garis y = 3 apabila R diputar mengelilingi sumbu-y.
Jawab: 4
V
4
= ∫ π ( y ) dx = ∫ π . y 2 / 3 dx 3
0
2
0
3 16 9.3 9 = π [ y 5 / 3 ]30 = π ( ) = π = 11,76 5 2 5 Penyelesaian dengan Derive Cara 1: b
Menggunakan rumus V= ∫ π ( f ( y )) 2 dx a
1. Menggambar daerah R: AreaUnderCurve( 3 y , y, 0, 3, x) enter
44
2. Klik icon gambar 3. Deklarasikan: V:= π . int( y 2 / 3 , y,0,3) enter 4. Klik sama dengan, lalu klik aproksimasi
Cara 2:
Volume_Of_Revolution(f(y), y, y1, y2) adalah menghitung volume daerah yang dibatasi oleh x = f(y), sumbu-y, di antara y = y1 dan y = y2 di putar mengelilingi sumbu-y. 1. Menggambar daerah R: AreaUnderCurve(y1/3 , y, 0, 3, x) enter 2. Klik icon gambar 3. Tuliskan: VOLUME_OF_REVOLUTION(y1/3 , y, 0, 3) enter 4. Klik sama dengan, lalu aproksimasi
45
Metode Cincin. Menentukan volume benda yang dibentuk oleh daerah R yang dibatasi kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) ≥ g(x) diantara x = a, x = b diputar mengelilingi sumbu-x dengan metode cincin adalah b
V = ∫ π ( f ( x) 2 − g ( x) 2 ) dx a
Contoh 7: Tentukanlah volume benda putar yang dibentuk oleh daerah R yang dibatasi oleh kurva y = x 2 dan y 2 = 8 x diputar mengelilingi sumbu-x.
46
y = x2
y2 = 8x
Jawab: 2
V = ∫ π (8 x − x 4 ) dx = π [ 0
8 x 2 x 5 2 48π − ]0 = = 30,16 2 5 5
Penyelesaian dengan Derive b
Menggunakan rumus V= ∫ π ( f ( x) 2 − g ( x) 2 dx : a
1. Deklarasikan f(x):
8 x dan g(x): = x2
2. Tulislah: AreaBetweenCurves( 8 x , x2, x, 0, 2, y) 3. Klik icon gambar 4. Deklarasikan: V:= π . int( f ( x) 2 − g ( x) 2 , x,0,2) enter 5. Klik sama dengan, lalu klik aproksimasi
47
Jadi volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = 8 x dan y = x 2 mengelilingi sumbu-x adalah V = 4 8π /5 = 30,16.
Tugas Kelompok: 1. Konstruksilah langkah-langkah mencari volume benda putar yang dibentuk oleh daerah R yang dibatasi oleh kurva x = y 2 , sumbu-y, dan garis y = 2 apabila R diputar mengelilingi sumbu-y. 2. Konstruksilah langkah-langkah mencari volume pada contoh 6, untuk R diputar mengelilingi sumbu-y (Metode Kulit Tabung). Gunakan: a. Rumus V = ∫ 2π . f ( x) dx b. VOLUMEY_OF_REVOLUTION (y, x, 0, 4)
48
3. Konstruksilah langkah-langkah mencari volume benda putar dengan metode kulit tabung diputar mengelilingi sumbu y = c, c konstan. b
(Gunakan: rumus V= ∫ 2π (c − x) y dx ) a
4. Konstruksilah langkah-langkah mencari volume benda putar yang dibentuk oleh daerah R yang dibatasi oleh kurva y = x 2 dan y 2 = 8 x mengelilingi sumbu-y.
Soal-Soal Latihan Dalam soal-soal (1-5) gambarlah daerah R yang dibatasi oleh grafik persamaan, kemudian tentukan volume benda putar yang terbentuk apabila R diputar mengelilingi sumbu-x.
x2
1.
y=
2.
y=
3.
y = 9 − x 2 , x = −2, x = 4, y = 0
π
, x = 4, y = 0
1 , x = 2, x = 4, y = 0 x
4. x = y 2 , x = 0, y = 1 5. x =
y + 1, x = 0, y = 4, y = 0
Dalam soal-soal (4-6) gambarlah daerah R yang dibatasi oleh grafik persamaan, kemudian tentukan volume benda putar yang terbentuk apabila R diputar mengelilingi sumbu-y. 6. x = y 2 , x = 0, y = 3
49
7. x = 2 y , x = 0, y = 4 8. x = y 3 / 2 , x = 0, y = 9 9.
y=
1 , x = 1, x = 4, y = 0 x
10. y = x , x = 3, y = 0 Dalam soal-soal (11-14) gambarlah daerah R yang dibatasi oleh grafik persamaan, kemudian tentukan volume benda putar yang terbentuk apabila R diputar mengelilingi garis yang diberikan. 11. y = x , x = 5, y = 0 mengelilingi garis x = 5 12. y = 9 − x 2 ( x ≥ 0), x = 0, y = 0 mengelilingi garis x = 3 13. x = y 2 , x = 0, y = 2 mengelilingi garis y = 2 14. x = 2 y + 1, x = 0, y = 0, y = 2 mengelilingi garis y = 3
50
6.3.
Panjang Kurva Bidang dan Luas Permukaan Benda Putar
Panjang Kurva Kurva bidang ditentukan sepasang persamaan parametrik x = f(t), y = g(t), a ≤ t ≤ b,
dengan fungsi f dan g kontinu pada selang tersebut. Anggp t
menyatakan waktu, apabila t bertambah dari a ke b maka (x, y) menyelusuri suatu kurva di bidang. Rumus panjang kurva: b
L=∫
f ' (t ) 2 + g ' (t ) 2 dt ; bentuk parametrik x = f(t), y = g(t), dan a ≤ t ≤ b.
a
Contoh 8: Carilah panjang kurva x = 3 t2 +2, y = 2 t3-
1 dengan 1 ≤ t ≤ 4 2
Jawab: dx/dt = 6t, dy/dt = 6t2 b
L=∫
4
f ' (t ) 2 + g ' (t ) 2 dt =
∫
(6t ) 2 + (6t 2 ) 2 dt
1
a
4
4
= 6 ∫ t 2 + t 4 dt = 6 ∫ t 1 + t 2 dt 1
1
Misalkan u = 1 + t2 maka du = 2t dt Untuk t = 1 diperoleh u = 2 dan t = 4 diperoleh u =17 Sehingga: 4
6 ∫t 1+ t 1
17 2
3/2 3/2 dt = 3 ∫ u du = 2[u 3 / 2 ]17 2 = 2(17 -2 ) = 134,53 2
Jadi panjang kuva adalah 134,54 satuan panjang
51
PARA_ARC_LENGTH(v, t, a, b) adalah menghitung panjang kurva bentuk parametrik bentuk vektor v = [x(t), y(t)] dengan a ≤ t ≤ b. Cara 1 (menggunakan PARA_ARC_LENGTH(v, t, a, b): 1. Tulislah: PARA_ARC_LENGTH([3t2 + 2 , 2 t3-1/2], t, 1, 4) enter. 2. Klik sama dengan, lalu aproksimasi
Cara 2 (menggunakan rumus): 1. Deklarasikan: f(t):= dif(3t2 + 2, t) dan g(t):= dif(2 t3 – 1/2, t) 2. Deklarasikan: L:=int(√(f(t)2 + g(t)2), t, 1, 4). aproksimasi
Klik sama dengan, lalu
52
Rumus panjang kurva: b
L = ∫ 1 + f ' ( x) 2 dx ; bentuk y = f(x), dan a ≤ x ≤ b. a
Contoh 9: Carilah panjang kurva y = x 3 / 2 dari titik (1,1) ke titik (4,8). Jawab: dy/dx =
3 1/ 2 x 2 4
b
L = ∫ 1 + f ' ( x) a
2
dx =
∫ 1
3 1 + ( x1 / 2 ) 2 dx = 2
Misal u = 1 + 9/4 x maka du = 9/4 dx
4
∫ 1
1+
9 x dx 4
53
Untuk x = 1 diperoleh u =13/4 dan x = 4 diperoleh u =10 4
∫ 1
10
4 9 4 2 8 13 1 + x dx = ∫ u du = [ u 3 / 2 ]10 [10 3 / 2 − 13 / 4 = 4 9 13 / 4 9 3 27 4
3/ 2
] = 7,63
Penyelesaian dengan Derive:
ARC_LENGTH(f(x), x, a, b) adalah menghitung panjang kurva bentuk y = f(x) dengan a ≤ x ≤ b. Cara 1 (menggunakan ARC_LENGTH(f(x), x, a, b): 1. Tulislah: ARC_LENGTH( x 3 / 2 , x, 1, 4) enter. 2. Klik sama dengan, lalu aproksimasi
Jadi panjang kurvanya adalah 7,63 Cara 2 (menggunakan rumus): 1. Deklarasikan: f(x):=dif(x3/2, x)
54
2. Deklarasikan: L:=int(√(1 + (f(x))2), x, 1, 4) 3. Klik sama dengan, lalu aproksimasi
Tugas Kelompok:: Selesaikan contoh 9 dengan menggunakan: b
a. Rumus: L = ∫ 1 + f ' ( y ) 2 dy ; bentuk x = f(y), dan a ≤ y ≤ b. a
b. Konstruksi dengan Derive
55
Luas Permukaan Benda Putar Rumus luas permukaan benda putar: b
A = 2π ∫ g (t ) f ' (t ) 2 + g ' (t ) 2 dt ; bentuk parametrik x = f(t), y = g(t), a ≤ t ≤ b a
diputar mengelilingi sumbu-x. b
A = 2π ∫ f ( x) 1 + f ' ( x) 2 dx ; bentuk y = f(x), dan a ≤ x ≤ b diputar mengelilingi a
sumbu-x.
Area_Of_Revolution(f(x), x, a, b) adalah menghitung luas permukaan bila y = f(x) antara x = a dan x = b diputar mengelilingi sumbu-x.
Areay_Of_Revolution(f(x), x, a, b) adalah menghitung luas permukaan bila y = f(x) antara x = a dan x = b diputar mengelilingi sumbu-y. Contoh 10: Carilah luas permukaan benda putar bila kurva y = x , 0 ≤ x ≤ 4 diputar mengelilingi sumbu-x. Jawab: dy/dx = 1/2√x 4
b
A = 2π ∫ f ( x) 1 + f ' ( x)
2
dx = 2π ∫ x 1 + (
a
0
1 2 x
4
)
2
dx = π ∫ 4 x + 1 dx 0
1 2 = [π . . (4 x + 1) 3 / 2 ]04 = 36,18 4 3 Penyelesaian dengan Derive: Cara 1 (menggunakan Area_Of_Revolution(f(x), x, a, b) ): 1. Tulislah: Area_Of_Revolution(√, x, 0, 4) enter.
56
2. Klik sama dengan, lalu aproksimasi
Jadi luas permukaan benda putar adalah 36,18 Cara 2 (menggunakan rumus): 1. Deklarasikan: f(x):=√x enter 2. Deklarasikan: g(x):=dif(f(x), x) enter 3. Deklarasikan: A(R):= 2π.int(√(1 + (g(x))2), x, 0, 4) 4. Klik sama dengan, lalu aproksimasi
57
Tugas Kelompok: 1. Konstruksilah langkah-langkah mencari panjang kurva x = y2; 0 ≤ y ≤ 2 dalam dua cara. 2. Konstruksilah langkah-langkah mencari luas permukaan benda putar bila kurva y = x 3 / 2 , 1 ≤ x ≤ 4 diputar mengelilingi sumbu-y dalam dua cara. 3. Konstruksilah langkah-langkah mencari luas permukaan benda putar bila kurva x = 2 cos(t ) y = 4 sin(t ) , -2 ≤ t ≤ 2 diputar mengelilingi sumbu-x.
58
Soal-soal Latihan Carilah panjang kurva-kuva yang diberikan 1. y = x 2 , diantara x = −1 dan x = 3 2.
y = sin( x), diantara x = 0 dan x = 2π
3.
y = 2 x + 3, diantara x = 1 dan x = 3
4.
y = 4 x 3 / 2 , diantara x = 1 / 3 dan x = 5
5.
y = (4 − x 2 / 3 ) 3 / 2 , diantara x = 1 dan x = 8
y4 1 + 2 , diantara y = −2 dan y = −3 6. x = 16 2 y 7. x = sin( y ), diantara y = 0 dan y = 2π 8. x = t 3 , y =
t2 ; 0 ≤ t ≤1 2
9. x = 4 sin(t ), y = 4 cos(t ) − 5; 0 ≤ t ≤ π 10. x = a sin 3 (t ), y = a cos 3 (t ); 0 ≤ t ≤ 2π Carilah luas permukaan benda putar yang terbentuk bila kurva-kurva: 11. y = 6 x, 0 ≤ x ≤ 1 mengelilingi sumbu − x 12. y = 6 x, 0 ≤ x ≤ 1 mengelilingi sumbu − y 13. y = x 3 / 3, 1 ≤ x ≤ 7 mengelilingi sumbu − x 14. y = x 3 / 3, 1 ≤ x ≤ 7 mengelilingi sumbu − y 15. x = t , y = t 3 , 0 ≤ x ≤ 1 mengelilingi sumbu − x
59
6.4.
Momen dan Pusat Massa
Momen Hasil kali massa m suatu partikel dengan jarak berarahnya dari suatu titik (lengan tuas) dinamakan momen partikel terhadap titik tersebut. Dengan kata lain Momen = panjang lengan tuas kali massa atau M = x ∑ m m ∆
x Gambar 1.
Jadi, n
M x= = m
∑x m i
i
i =1 n
∑m
i
i =1
Titik x dinamakan pusat massa (titik kesetimbangan) Contoh 11: Massa sebesar 4, 2, 6, dan 7 kilogram masing-masing diletakkan pada titik-titik 0, 1, 2, dan 4 sepanjang sumbu-x. Carilah pusat massanya. Jawab: x=
(0)(4) + (1)(2) + (2)(6) + (4)(7) 42 = = 2,21 4+2+6+7 19
Distribusi massa yang kontinu sepanjang kawat dengan kepadatan di x adalah δ(x) adalah
60
b
M x= = m
∫ xδ ( x)
dx
a b
∫ δ ( x)
dx
a
Contoh 12: Kepadatan δ(x) sepotong kawat di titik yang terletak x sentimeter dari salah satu ujungnya adalah δ(x) = 3x2 gram/sentimeter. Tentukan pusat massa kawat antara x = 0 dan x = 10. Jawab: b
∫ x.3x x=
2
dx =
a b
∫ 3x
2
dx
7500 = 7,5 cm 1000
a
Tugas: Hitung contoh 12 di atas menggunakan derive
Pusat Massa (centroid) Area_Centroid(x, a, b, y, f(x), g(x)) adalah untuk menghitung pusat massa daerah R yang dibatasi oleh a ≤ x ≤ b dengan y = f(x) dan y = g(x). Contoh 13: Tentukanlah pusat massa daerah R yang dibatasi oleh 0 ≤ x ≤ 1, y = √x, dan y = x3. Penyelesaian dengan Derive: 1. Gambar daerah R: AreaBetweenCurves(√x, x3, x, 0, 1, y) 2. Gambar pusat massa: Area_Centroid(x, 0, 1, y, (√x, x3) 3. Klik sama dengan, lalu aproksimasi
61
Jadi pusat massa daerah R adalah (0,48; 0,43)
Tugas: Hitunglah contoh 13 di atas dengan menggunakan rumus: b
∫ x[ f ( x) − g ( x)] x=
dx
a b
∫ [ f ( x) − g ( x)
dx
a
b
∫ x[ f ( x) y=
2
− g ( x) 2 ] dx
a b
∫ [ f ( x) − g ( x) a
dx
62
Soal-Saol Latihan 1. Partikel-partikel bermassa m1 = 5, m2 = 7, dan m3 = 9 terletak di x1 = 2, x2 = -2, dan m3 = 1 sepanjang suatu garis. Carilah pusat massanya. 2. Feni dan Wati beratnya masing-masing 25 dan 15 kilogram duduk pada ujungujung papan yang panjangnya 3 meter dengan titik tumpu di tengah-tengah papan. Dimanakah Ari dengan berat 10 kilogram harus duduk agar papan tersebut dalam keadaan setimbang? 3. Sepotong kawat lurus panjangnya 7 satuan mempunyai kepadatan δ(x) = √x pada sebuah titik yang jauhnya x-satuan dari salah satu ujungnya. Tentukan jarak dari ujung ini ke pusat massa kawat. Dalam soal-soal 4-5, Massa-massa dan koordinat-koordinat suatu sistem partikel dalam bidang koordinat diberikan. Tentukanlah momen dan pusat massanya. 4. 2, (1,1); 3, (7,1); 4, (-2,-5); 6, (-1,0); 2, (4,6) 5. 5, (-3,2); 6, (-2,-2); 2, (3,5); 7, (4,3); 1, (7,-1) Dalam soal-soal 6-8, Carilah centroid daerah yang dilingkupi oleh kurva yang diberikan dan buatlah grafiknya. 6.
y = 2 − x2 , y = 0
7.
y = x 3 , y = 0, x = 1
8.
y = 2 x − 4, y = 2 x , x = 1
9. Untuk setiap lamina homogen R1 dan R2 yang ditunjukkan dalam gambar, carilah m, Mx, My, x, dan y .
63
10. Untuk lamina homogen R yang ditunjukkan dalam gambar, carilah m, Mx, My, x, dan y .
