LUAS DAERAH DI BAWAH KURVA SUATU FUNGSI

LUAS DAERAH DI BAWAH KURVA SUATU FUNGSI Afrizal, S.Pd, M.PMat Matematika MAN Kampar

Juli 2010

Afrizal, S.Pd, M.PMat (Matematika)

Luas Daerah Dibawah Kurva

Juli 2010

1 / 29

Outline

Outline 1

Limit dan Turunan

2

Titik Ekstrim

3

Teorema Nilai Rata-rata

4

Luas daerah dibawah kurva

5

Integral Tentu

6

Volume Benda Putar

7

Teknik Pengintegralan



Juli 2010

2 / 29

Outline

Outline 1

Limit dan Turunan

2

Titik Ekstrim

3


4


5

Integral Tentu

6

Volume Benda Putar

7




Juli 2010

2 / 29

Outline

Outline 1

Limit dan Turunan

2

Titik Ekstrim

3


4


5

Integral Tentu

6

Volume Benda Putar

7




Juli 2010

2 / 29

Outline

Outline 1

Limit dan Turunan

2

Titik Ekstrim

3


4


5

Integral Tentu

6

Volume Benda Putar

7




Juli 2010

2 / 29

Outline

Outline 1

Limit dan Turunan

2

Titik Ekstrim

3


4


5

Integral Tentu

6

Volume Benda Putar

7




Juli 2010

2 / 29

Outline

Outline 1

Limit dan Turunan

2

Titik Ekstrim

3


4


5

Integral Tentu

6

Volume Benda Putar

7




Juli 2010

2 / 29

Outline

Outline 1

Limit dan Turunan

2

Titik Ekstrim

3


4


5

Integral Tentu

6

Volume Benda Putar

7




Juli 2010

2 / 29

Limit dan Turunan

Limit dan turunan Limit dan turunan Misalkan kecepatan dengan aturan tertentu didapatkan formula V (t) = 3t 2 . Dapat dibuat tabel sebagai berikut : Waktu(t) 1 2 3 4 Kecepatan(V(t)) 3 12 27 ...

... ...

t 3t 2

Percepatan Rata-rata Percepatan rata-rata waktu t = 2 sampai dengan t = 5 adalah : (2) V (25 ) = V (5)−V = 75−12 = 63 5−2 3 3 = 21 Percepatan rata-rata waktu t = 2 sampai dengan t = 2,25 (2) V (22,25 ) = V (2,25)−V = 15,1875−12 = 3,1875 2,25−2 0,25 0,25 = 12, 75 Afrizal, S.Pd, M.PMat (Matematika)


Juli 2010

3 / 29

Limit dan Turunan

Limit dan turunan Percepatan sesaat Percepatan rata-rata waktu t = 2 sampai dengan t = mendekati 2 (lebih sedikit dari 2) (2) V (2dekat2 ) = V (dekat2)−V = dekat0 dekat2−2 dekat0 . Andaikan ; percepatan rata-rata waktu t = 2 sampai dengan t = 2+h 2 2 (2) V (22+h ) = V (2+h)−V = 3(2+h)h −3.2 ( h mendekati 0) 2+h−2 diperoleh 2 2 (2) V (22+h ) = limh→0 V (2+h)−V = limh→0 3(2+h)h −3.2 2+h−2 Keadaan seperti ini disebut dengan turunan atau percepataan sesaat (selang waktu mendekati 0), dapat dibuat 2 2 (2) V 0 (t = 2) = V (22+h ) = limh→0 V (2+h)−V = limh→0 3(2+h)h −3.2 2+h−2 Afrizal, S.Pd, M.PMat (Matematika)


Juli 2010

4 / 29

Limit dan Turunan

Limit dan turunan Sehingga 2 2 (2) = limh→0 3(2+h)h −3.2 = V 0 (t = 2) = limh→0 V (2+h)−V 2+h−2 2

)−12 limh→0 3(4+4h+h = limh→0 (12+4h+h h h limh→0 12 + 3h = 12 + 3.0 = 12

2 )−12

2

= limh→0 12h+3h = h

Jadi Percepataan sesaat pada t =2 atau percepatan rata-rata dari t=2 sampai t= mendekati 2 atau turunan dari kecepatan untuk t = 2 dari V (t) = 3t 2 adalah : 2 2 (2) V 0 (t = 2) = limh→0 f (2+h)−f = limh→0 3(2+h)h −3.2 = 12 h Latihan Tentukan turunan dari a. V (t) = 4t 2 pada t =3 b. f (x) = 3x 2 pada x = 5 Afrizal, S.Pd, M.PMat (Matematika)


Juli 2010

5 / 29

Limit dan Turunan

Limit dan turunan Turunan suatu fungsi Selanjutnya dilihat turunan dari sebuah fungsi f (x) = 3x 2 pada x = x 2

2

(x) = limh→0 3(x+h)h −3.x = f 0 (x = x) = limh→0 f (x+h)−f h 2

2

2

2

2

2

2

)−3x −3x limh→0 3(x +2xh+h = limh→0 3x +6xh+h = limh→0 6xh+h = h h h h(6x+h) = limh→0 6x + h = 6x + 0 = 6x limh→0 h

Jadi turunan dari f (x) = 3x 2 , adalah f 0 (x) = 6x Dengan mudah kita dapat menentukan turunan f (x) = 3x 2 pada x= 2 dan x = 5 adalah ; f 0 (x) = 6x f 0 (2) = 6.2 = 12, dan f 0 (5) = 6.5 = 30 Afrizal, S.Pd, M.PMat (Matematika)


Juli 2010

6 / 29

Limit dan Turunan

Limit dan turunan

Defenisi Turunan suatu fungsi f adalah fungsi lain f 0 (dibaca ”f aksen”) yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah (c) f 0 (c) = limh→0 f (c+h)−f h

asalkan limit itu ada



Juli 2010

7 / 29

Titik Ekstrim

Titik Ekstrim Titik Ekstrim Kita tahu bahwa turunan atau kecepatan sesaat atau kecepatan rata-rata tidak lain adalah merupakan gradien. Perhatikan defenisi berikut Andaikan S, daerah asal f, mengandung titik c, kita katakan bahwa : 1

f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f (c) ≥ f (x) untuk semua x di S.

2

f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f (c) ≤ f (x) untuk semua x di S.

3

f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum.

Dari defenisi tersebut andaikan f(c) bukan merupakan tititk ujung, maka f 0 (c) ≤ 0 dan f 0 (c) ≥ 0 didapatkan f 0 (c) = 0 Afrizal, S.Pd, M.PMat (Matematika)


Juli 2010

8 / 29

Titik Ekstrim

Titik Ekstrim

sehingga kita bisa buat sebuah teorema : Teorema nilai antara Suatu fungsi f terdeferensial pada S, dan c bagian dari S, dan f(c) bukan maksimum atau minimum pada ujung f maka terdapat f 0 (c) = 0 Dengan kata lain Suatu fungsi f terdefenisial pada S, dan nilai fungsi dari batas bawah dan batas atas pada S sama maka terdapat f 0 (c) = 0



Juli 2010

9 / 29


Teorema Nilai Rata-rata Teorema Nilai Rata-rata untuk turunan Misalkan dua fungsi f(x) dan g(x) saling berpotongan pada (a,f(a)) dan (b,f(b)).

Pada fungsi g(x) kita bisa dapatkan gradien g(x) − f (a) =

f (b)−f (a) b−a (x


f (b)−f (a) b−a ,

sehingga

− a) Luas Daerah Dibawah Kurva

Juli 2010

10 / 29


Teorema Nilai Rata-rata Karena s(x) = f (x) − g(x), akan menghasilkan s(x) = f (x) − g(x) = f (x) − f (a) −

f (b)−f (a) b−a (x

− a)

Diperoleh s(b)=f(b)-g(b)=f(b)-f(b)=0, dan s(a)=s(b)=0, menurut teorema nilai antara terdapat c pada interval tertutup a dan b sehingga s0 (c) = 0 Dan s0 (x) = f 0 (x) − s0 (c) = f 0 (c) − f 0 (c) =

f (b)−f (a) b−a f (b)−f (a) b−a ,

s0 (c) = 0

f (b)−f (a) b−a

Persamaan terakhir sering dikatakan dengan teorema nilai rata-rata untuk turunan Afrizal, S.Pd, M.PMat (Matematika)


Juli 2010

11 / 29



Teorema nilai rata-rata Jika f kontinu pada selang tutup [a,b] dan terdefenisi pada titik-titik dalam (a,b), maka terdapat paling sedikit satu bilangan c sehingga dalam (a,b) dengan f 0 (c) =


f (b)−f (a) b−a


Juli 2010

12 / 29


Luas daerah dibawah kurva Pengertian integral Integral tidak lain didefenisikan dengan anti turunan atau kebalikan R turunan dengan simbol Luas daerah dibawah kurva



Juli 2010

13 / 29


Luas daerah dibawah kurva Misalkan kurva atau fungsi pada gambar diatas adalah fungsi f 0 (x) , dengan luas dibawah kurva dengan batas dari a sampai dengan b. Selanjutnya interval a dan b dibagi beberapa bagian. Dengan bantuan teorema nilai rata-rata, didapatkan (a) Interval f 0 (c) = f (b)−f luas persegi panjang b−a batas an dan an−1 (a) a s/d a1 f 0 (x1 ) = f (aa11)−f f (a1 ) − f (a) = f 0 (x1 )(a1 − a) −a a1 s/d a2

f 0 (x2 ) =

a2 s/d a3 . . . an−1 s/d b

f 0 (x3 ) = . . . f 0 (xn ) =


f (a2 )−f (a1 ) a2 −a1 f (a3 )−f (a2 ) a3 −a2

f (b)−f (an−1 ) b−an−1

Ke

x1

f (a2 ) − f (a1 ) = f 0 (x2 )(a2 − a1 ) f (a3 ) − f (a2 ) = f 0 (x3 )(a3 − a2 ) . . . f (b) − f (an−1 ) = f 0 (xn )(b − an−1 )


Juli 2010

14 / 29


Luas daerah dibawah kurva Untuk n menuju tak hingga, artinya kita sama saja menentukan luas daerah dibawah kurva f 0 (x) Jadi Luas = f 0 (x1 )(a1 − a) + f 0 (x2 )(a2 − a1 ) + f 0 (x3 )(a3 − a2 ) + ... + f 0 (xn )(b − an−1 )=f (a1 ) − f (a) + f (a2 − f (a1 ) + f (a3 ) − f (a2 ) + ... + f (b) − f (an−1 ) Kita ambil an+1 P − an0 = ∇xn L = lim∇xi →0 i=n i=1 f (xi )∇xi = −f (a) + f (b) , atau Pb 0 L = lim∇x→0 a f (x)∇x = f (b) − f (a) , jadi Luas daerah dibawah kurva f 0 (x) adalah L = f (b) − f (a), atau dengan perkataan lain Luas daerah dibawah kurva f (x), Radalah L = F (b) − F (a), dimana F (x) = f (x)dx Afrizal, S.Pd, M.PMat (Matematika)


Juli 2010

15 / 29


Luas daerah dibawah kurva F (b) − F (a) disimbolkan saja dengan

Rb a

f (x)dx

Dapat kita simpulkan Luas daerah dibawah kurva f (x), adalah Rb P L = lim∇xi →0 i=n i=1 f (xi )∇xi = a f (x)dx = F (b) − F (a)



Juli 2010

16 / 29

Integral Tentu

Integral Tentu Integral Tentu Rb Kita sudah dapatkan dan disepakati bahwa a f (x)dx adalah simbol dari F (b) − F (a), untuk mudahnya dalam penulisan kita buat saja Rb b a f (x)dx = F (x)|a = F (b) − F (a). Rb a f (x)dx sering disebut dengan integral tentu dengan batas bawah a dan batas atas b. Sehingga: R5 2 3 2 5 1 3 2 (x + 3x)dx = 3 x + 2 x |2 75 = 13 53 + 32 52 − ( 13 23 + 32 52 ) = 125 3 + 2 − 63 234 189 45 3 1 = 117 3 − 2 = 6 − 6 = 6 = 76 = 72.


8 3

−


12 2

Juli 2010

17 / 29

Integral Tentu

Integral Tentu

Latihan Tentukan nilai dari integral tentu berikut : R3 1. 1 (3x + 1)dx R2√ 2. 0 x 3



Juli 2010

18 / 29

Volume Benda Putar

Volume benda putar Volume benda putar Misalkan suatu daerah dibatasi fungsi f (x) dan sumbu x pada a sampai dengan b diputar 3600 pada sumbu x akan membentuk benda putar.



Juli 2010

19 / 29

Volume Benda Putar

Volume benda putar

Volume benda putar pada ∇xi adalah ∇Vi = π[f (xi )]2 .∇xi Sehingga jumlah volume benda putar untuk kesuluruhan pada ∇xi → 0 adalah volume benda putar yang kita inginkan, yakni; Rb P 2 2 V = lim∇xi →0 i=n i=1 π[f (xi )] .∇xi = a π[f (x)] dx Afrizal, S.Pd, M.PMat (Matematika)


Juli 2010

20 / 29

Volume Benda Putar

Volume benda putar Contoh Daerah yang dibatasi oleh garis y = x + 2, sumbu x, sumbu y, dan garis x = 2, diputar sejauh 3600 mengelilingi sumbu x. Hitunglah volume benda putar yang terjadi. Jawab : Rb Dengan bantuan V = a π[f (x)]2 dx, kita dapat menentukan volumenya yakni: R2 V = 0 π(x + 2)2 dx = 18 23 π Latihan Latihan di Erlangga halaman 67 dan 68.



Juli 2010

21 / 29


Teknik Pengintegralan Integral fungsi aljabar Terdahulu sudah kita peroleh bahwa

R

ax n dx =

a n+1 n+1 x

+ C,

sehingga dengan mudah kita bisa dapatkan : Z Z 2 x(x − 1) x −x √ √ dx dx = x x Z Z 3 1 = x 2 dx − x 2 dx 3 1 1 1 x 2 +1 − 1 x 2 +1 + C +1 2 +1 2 5 2 3 = x2 − x2 +C 5 3 2 2√ 2 √ = x x − x x +C 5 3

=


3 2


Juli 2010

22 / 29


Teknik Pengintegralan Integral fungsi Trigonometri Misalkan fungsi f (x) = sin(x), maka f (x + h) − f (x) h sin(x + h) − sin(x) = limh→0 h sin(x)cos(h) + cos(x)sin(h) − sin(x) = limh→0 h sin(x)(−1 + cos(h)) + cos(x)sin(h) = limh→0 h −sin(x)(1 − cos(h)) + cos(x)sin(h) = limh→0 h = −sin(x).0 + cos(x).1

f 0 (x) = limh→0

= cos(x) Afrizal, S.Pd, M.PMat (Matematika)


Juli 2010

23 / 29



sehingga R

cos(x)dx = sin(x) + C



Juli 2010

24 / 29


Teknik Pengintegralan Pengintregralan yang dapat diubah ke dalam bentuk

R

f (u)du.

Contoh : R Tentukanlah integral dari (2x + 5)9 Jawab: 1 Misalkan u = 2x + 5, maka du dx = 2 atau dx = 2 du, sehinnga Z Z 1 9 (2x + 5) dx = u 9 ( du) 2 Z 1 u 9 du = 2 1 1 = ( u 9+1 ) + C 2 9+1 1 = u 10 + C 2 1 = (2x + 5)10 + C 2 Afrizal, S.Pd, M.PMat (Matematika)


Juli 2010

25 / 29


Teknik Pengintegralan Pengintegralan yang memuat bentuk

√

±a2 ± x 2

Contoh : R√ Tentukan pengintegralan dari a2 − x 2 Jawab √ Misalkan a2 − x2 = acosθ ⇒ dx = acosθdθ, sehingga Z p Z a2 − x 2 = acosθ(acosθdθ) Z = a2 cos2 θdθ Z a2 = (1 + cos2θ)dθ 2 a2 1 = (θ + sin2θ) + C 2 2 2 a = (θ + sinθcosθ) + C 2 Afrizal, S.Pd, M.PMat (Matematika)


Juli 2010

26 / 29


Teknik Pengintegralan Pengintegralan dengan rumus Parsial Teknik pengintegralan bisa juga dilakukan dengan integral parsial Misalkan u(x) dan v (x) masing-masing adalah fungsi dalam variabel R x, maka pengintegralan u dv di tentukan oleh hubungan R R udv = uv − vdu. Bukti : du dv misalkan y = uv maka dy dx = dx v + u dx , dan Z

Z dy =

Z duv +

Z

udv Z

y=

Z


vdu + udv Z udv = uv − vdu Luas Daerah Dibawah Kurva

Juli 2010

27 / 29


Teknik Pengintegralan Contoh : Dengan menggunakan rumus integral parsial, tentukanlah R √ x 1 + xdx Jawab Misalkan u = x,√sehingga du = dx, dan dv = 1 + xdx, sehingga R R R√ 1 3 v = dv = 1 + xdx = (1 + x) 2 dx = 23 (1 + x) 2 , dan Z √ Z 3 3 2 2 x 1 + xdx = x(1 + x) 2 − (1 + x) 2 dx 3 3 3 5 2 4 = (1 + x) 2 − (1 + x) 2 + C 3 15 Bangkinang, Minggu, 20 Juni 2010 Afrizal, S.Pd, M.PMat (Matematika)


Juli 2010

28 / 29


SELESAI



Juli 2010

29 / 29

LUAS DAERAH DI BAWAH KURVA SUATU FUNGSI

Recommend Documents