IKA ARFIANI,S.T.
Luas daerah yang dibatasi oleh beberapa kurva dapat ditentukan dengan menghitung integral tertentu.
Andaikan kurva y = f(x) dan kurva y = g(x) kontinu pada interval a ≤ x ≤ b, dan kurva y = f(x) terletak di atas atau pada kurva y = g(x), maka luas daerah yang dibatasi kurva y = f(x), kurva y = g(x), garis x = a Dan x = b adalah sebagai berikut:
y1 =f(x)
Y Luasnya ?
O x =a 1 b
y2 =g(x)
X
x2 = b
L = f ( x) g ( x)dx ; f(x) > g(x) a
Langkah-langkah Menghitung Luas Daerah : 1.
Tentukan daerah yang diminta dengan menggambar daerahnya 2. Perhatikan daerah yang dimaksud untuk menentukan batas-batas integrasinya 3. Tentukan rumus luas yang lebih mudah digunakan (L = ∫ y dx atau L = ∫ x dy ) 4. Hitung nilai integral sebagai hasil luas daerah
I. Garis dan sumbu-sumbu koordinat a. Daerah yang dibatasi oleh garis Y= 2x + 4, sb.Y dan sb.X Langkah 1. : Garis Y = 2X + 4,
Sb.Y
Y= 2x + 4
Tentukan titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat Titik pot. dgn. Sb.X (2, 0) Titik pot. dgn. Sb.Y (0, 4) Langkah 2. : Gambar garis tersebut yang melalui titik pot. dan sumbu-sumbu koordinat Langkah 3. : Arsir daerah yang ada diantara garis Sb.Y dan Sb.X
4
Daerah yang diminta 2
Sb.X
II. Kurva dan sumbu-sumbu koordinat b. Daerah yang dibatasi oleh Kurva Y= X2 5X + 4 dan sb.X Langkah 1. : Garis Y = X2 5X + 4 , Tentukan titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat Sb.Y Titik pot. dgn. Sb.X (1, 0) & (4,0) Titik pot. dgn. Sb.Y (0, 4) Y= X2 5X + 4
4
0 1
4
Sb.X
Langkah 2. : Gambar kurva tsb. yang melalui titik potong dan sumbu x Langkah 3. : Arsir daerah yang ada diantara kurva dan Sb.X
Daerah yang diminta
Catatan:
Untuk mencari titik potong dengan sumbu X, gunakan faktorisasi Letak daerah ada di bawah sumbu, maka luasnya = nilai integral
II. Kurva dan sumbu-sumbu koordinat c. Daerah yang dibatasi oleh Kurva Y= X2 5X + 4, sb.Y dan sb.X Langkah 1. : Kurva Y = X2 – 5x + 4, Tentukan titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat Titik pot. dgn. Sb.X (1, 0) & (4,0) Titik pot. dgn. Sb.Y (0, 4) Sb.Y Daerah yang diminta
Y= X2 5X + 4 4 0
1
Langkah 2. : Gambar kurva tsb. yang melalui titik potong dan sumbusumbu koordinat Langkah 3. : Arsir daerah yang ada diantara kurva Sb.Y dan Sb.X
4
Sb.X
Catatan: Untuk mencari titik potong dengan sumbu X, gunakan faktorisasi
III. Kurva dan garis d. Daerah yang dibatasi oleh Kurva Y= X2 + 3X 4, dan 2Y+X 4 = 0 Langkah 1. : Garis Y = X2 + 3X– 4, Tentukan titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat Titik pot. dgn. Sb.X (1, 0) & (-4,0) Titik pot. dgn. Sb.Y (0, -4) Sb.Y Y=
2Y+ X - 4 = 0
4 Daerah yang diminta
1 2 4
X2
Langkah 2. : Garis 2Y+ X – 4 = 0, 5X + 4 Tentukan titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat Sb.X Titik pot. dgn. Sb.X (-4, 0) Titik Pot. Dgn. Sb.Y (0, -2) Langkah 3. : Gambar kurva tsb. yang melalui titik potong dan Garisnya Langkah 4. : Arsir daerah yang ada diantara kurva Sb.Y dan Sb.X
Catatan:
Batas-batas daerah tersebut adalah kedua titik potong kurva dan garis
1. 2.
Batas-batas integrasi merupakan nilai awal dan akhir pada sumbu koordinat dari suatu daerah yang akan dihitung. Batas-batas integrasi tergantung pada arah integrasi yang dilakukan:
b
L f ( x ) dx
a merupakan batas bawah (awal) b merupakan batas atas (akhir) a dan b terletak pada sumbu x
a
d
L f ( y ) dy c
c merupakan batas bawah (awal) d merupakan batas atas (akhir) c dan d terlat pada sumbu y
I. Garis dan sumbu-sumbu koordinat a. Daerah yang dibatasi oleh garis Y= 2x + 4, sb.Y dan sb.X Batas-batas integrasi ada dua, yaitu: Sb.Y
(1) 0 sampai 2, jika perhitungan integral berbasis (ke arah) Sb. X 2
L 2 x 4 dx
Y= 2x + 4
0
4
(2) 0 sampai 4, jika perhitungan integral berbasis (ke arah) Sb. Y
y4 L dy 2 0 4
Daerah yang diminta
2
Sb.X
II. Kurva dan sumbu-sumbu koordinat b. Daerah yang dibatasi oleh Kurva Y= X2 5X + 4, sb.Y dan sb.X Batas-batas integrasi ada dua, yaitu: (1) 0 sampai 1, jika perhitungan integral berbasis (ke arah) Sb. X 1
L x 2 5 x 4 dx
Sb.Y
Daerah yang diminta
0 Y= X2 5X + 4
(2)
4
0 sampai 4, jika perhitungan integral berbasis (ke arah) Sb. Y
Karena basis yang kita gunakan adalah Sb.y, maka Persamaan kurva f(x) diubah menjadi f(y). 1
4
Sb.X
y x2 5x 4 y ( x 52 ) 2 25 4 ( x 52 ) 2 94 4 x
y 94 52
4
L y 94 52 dy 0
III. Kurva dan garis b. Daerah yang dibatasi oleh Kurva Y= X2 + 3X 4, dan 2Y+X + 4 = 0 Batas- batas integrasi (berbasis Sb.x) Sb.Y
Dengan memperhatikan gambar, maka batas-batas diperoleh dengan cara mencari titik-titik potong kurva dan garis, yaitu
Y= X2 3X 4
Y= X2 + 3X 4, disubtitusikan ke
2( x 2 3 x 4 ) x 4 0
4
1
Sb.X
2 4
2x2 6x 8 x 4 0 2x2 7x 4 0
2Y+ X – 4 = 0
( 2 x 8)(2 x 1) 0 x1 4 dan x 2
Daerah yang diminta
2Y+X 4 = 0
1 2
L ( x 2 3 x 4) ( 4
1 2
4 x )dx 2
Contoh 1: Hitunglah luas daerah yang dibatasi kurva y = 3x2 + 6x , sumbu X, dan garis-garis x = 0 dan x = 2
Penyelesaian: Sketsalah terlebih dahulu grafik y = 3x2 + 6x Titik potong dengan sumbu X y = 0 → 3x2 + 6x = 0 → 3x(x + 2) = 0 x = 0 atau x = -2 sehingga titik potong dengan sumbu X adalah di (0,0) dan (-2,0)
Sketsa grafik y = 3x2 + 6x Y y = 3x2 + 6x
L=?
-2
O
x =2
X
Y
-2
y = 3x2 + 6x
X
L=?
O
x =2
2
L=
(3x 0
2
6 x)dx x 3x 3
2 2 0
(2 3.2 ) 0 20 satuan luas 3
2
Contoh 2: Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x3, sumbu Y, garis y = 8 adalah…
Penyelesaian: Sketsa grafik fungsi y = x3 dan garis y = 8 Y
y = x3
y=8 X
O
Y
y = x3
xy
1 3
y=8 X
O d
L xdy c
8
y 0
1 3
dy
1 4 3
8
3 43 y y 4 0
8
4 3
0
8
8
3 43 y y dy 0 4 0 4 3 43 (8 0 3 ) 4 3 43 3 3. 43 .8 .2 4 4 3 4 .16 12 4 Jadi, luasnya adalah 12 satuan 1 3
luas
Contoh 3: Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2, sumbu Y, dan garis y = x + 6 adalah…
Saturday, May 18, 2013
22
Penyelesaian: Sketsa grafik y = x2 dan garis y = x + 6 Y
y = x2 6
X –6
Y
y = x2
6
? X
–6
batas atas ditentukan oleh perpotongan kedua grafik
Y
y = x2 6
X –6
Titik potong antara y = x2 dan y = x + 6 x2 = x + 6 x 2 – x – 6 = 0 (x – 3)(x + 2) = 0
Y9 y = x2 6
X –6
-2
(x – 3)(x + 2) = 0
x = 3 y = 9 (3,9) x = -2 y = 4 (-2,4)
3
Y9 y = x2 6
X –6 -2
3
Jadi batas-batas pengintegralannya
adalah x1 = 0 dan x2 = 3
Y9 y = x2 6
X –6 -2
3
3
L = ( x 6 x ) dx ( 12 x 6 x 13 x ) 0 2
0 1 2
3 3
2
.3 6.3 .3 ( .0 6.0 .0 ) 2
1 3
3
1 2
2
1 3
3
L = .3 6.3 .3 ( .0 6.0 .0 ) 1 2
2
1 3
3
1 2
2
1 3
4 12 18 9 0
13 12 Jadi, luasnya adalah 13 12 satuan luas
3
SELESAI
SOAL PENUGASAN 1. Diketahui D adalah daerah yang dibatasi oleh kurva 2 x y 4 dan garis y x 2 2. Diketahui R adalah daerah yang dibatasi oleh garis y x4 dan parabola y x 2 2 3. Diketahui Q adalah daerah yang dibatasi oleh sumbu X, y x 2 dan y x 2 Dari ketiga soal tersebut, carilah : a. Gambar daerahnya b. Hitung titik potongnya (jika ada) c. Hitung luasnya
