7. APLIKASI INTEGRAL
MA1114 KALKULUS I
1
7.1 Menghitung Luas Daerah a.Misalkan daerah D = {( x, y ) | a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f ( x)} Luas D = ? f(x)
Langkah : 1. Iris D menjadi n bagian dan luas satu buah irisan dihampiri oleh luas persegi panjang dengan tinggi f(x) alas(lebar) ∆x
D a
∆x
b
∆A ≈ f ( x ) ∆x
2. Luas D dihampiri oleh jumlah luas persegi panjang. Dengan mengambil limitnya diperoleh: b Luas D = A =
∫ f ( x)dx a
MA1114 KALKULUS I
2
Contoh : Hitung luas daerah yang dibatasi oleh 2 kurva y = x , sumbu x, dan x = 2.
Luas irisan
∆A ≈ x 2 ∆x
y = x2
x2 ∆x 2
Luas daerah 2
A = ∫ x 2 dx = 0
MA1114 KALKULUS I
2
1 3⎤ 8 x = 3 ⎥⎦ 0 3
3
1
b) Misalkan daerah D = {( x, y ) | a ≤ x ≤ b, g ( x) ≤ y ≤ h( x)} h(x)
Luas D = ?
D
h(x)-g(x)
Langkah : 1. Iris D menjadi n bagian dan luas satu buah irisan dihampiri oleh luas persegi panjang dengan tinggi h(x)-g(x) alas(lebar) ∆x
g(x)
∆x
a
b
∆A ≈ (h( x) − g ( x))∆x
2. Luas D dihampiri oleh jumlah luas persegi panjang. Dengan mengambil limitnya diperoleh: b
Luas D = A =
∫ (h( x) − g ( x))dx a 4
MA1114 KALKULUS I
Contoh : Hitung luas daerah yang dibatasi oleh garis y = x+4 dan parabola y = x 2 − 2 Titik potong antara garis dan parabola
x + 4 = x2 − 2
( x + 4) − ( x 2 − 2)
x2 − x − 6 = 0
y = x2 − 2
y=x+4 -2
( x − 3)( x + 2) = 0
∆x 3
x = -2, x = 3
Luas irisan
∆A ≈ (( x + 4) − ( x 2 − 2))∆x 5
MA1114 KALKULUS I
Sehingga luas daerah : 3
A=
∫ (( x + 4 ) − ( x
3
2
− 2 )) dx =
−2
∫ (− x
2
+ x + 6 ) dx
−2 3
=−
1 3 1 2 125 ⎤ x + x + 6x⎥ = 3 2 6 ⎦ −2
Ctt :
Jika irisan dibuat tegak lurus terhadap sumbu x maka tinggi irisan adalah kurva yang terletak disebelah atas dikurangi kurva yang berada disebelah bawah. Jika batas atas dan bawah irisan berubah untuk sembarang irisan di D maka daerah D harus dibagi dua atau lebih
MA1114 KALKULUS I
6
2
Contoh : Hitung luas daerah yang dibatasi oleh sumbu x,
y = x2
dan y = -x + 2
Jawab Titik potong
x2 = −x + 2
x2 + x − 2 = 0
( x + 2)( x − 1) = 0 x = -2, x = 1
Jika dibuat irisan tegak, maka daerah harus dibagi menjadi dua bagian y = x2
y=-x+2
∆x1
∆x
Luas irisan I
∆A1 ≈ x 2 ∆x
2
Luas irisan II
∆A2 ≈ (− x + 2)∆x MA1114 KALKULUS I
7
Luas daerah I 1
A1 = ∫ x 2 dx = 13 x 3 |10 = 0
1 3
Luas daerah II 2
A2 = ∫ − x + 2 dx = − 12 x 2 + 2 x |12 1
= (−2 + 4) − (− 12 + 2) =
1 2
Sehingga luas daerah
A = A1 + A2 =
1 1 5 + = 3 2 6 MA1114 KALKULUS I
8
c). Misalkan daerah D = {( x, y ) | c ≤ y ≤ d , g ( y ) ≤ x ≤ h( y )} d g(y)
Luas D = ?
D h(y)
∆∆ yy h(y)-g(y) c
Langkah : 1. Iris D menjadi n bagian dan luas satu buah irisan dihampiri oleh luas persegi panjang dengan tinggi h(y)-g(y) alas(lebar) ∆y
∆A ≈ (h( y ) − g ( y ))∆y 2. Luas D dihampiri oleh jumlah luas persegi panjang. Dengan mengambil limitnya diperoleh: d
Luas D = A =
∫ (h( y) − g ( y)) dy c
MA1114 KALKULUS I
9
3
Contoh: Hitung luas daerah yang dibatasi oleh x = 3 − y 2
y = x −1
dan Jawab :
Titik potong antara garis dan parabola
y = x −1
y +1 = 3 − y2
y2 + y − 2 = 0
1
( y + 2)( y − 1) = 0
∆y
y = -2 dan y = 1
(3 − y 2 ) − ( y + 1)
x = 3− y
Luas irisan
2
-2
∆A = ((3 − y 2 ) − ( y + 1)) ∆y
10
MA1114 KALKULUS I
Sehingga luas daerah : 1
1
L = ∫ ((3 − y 2 ) − ( y + 1))dy = ∫ ( − y 2 − y + 2)dy −2
−2
1
=−
1 3 1 2 9 ⎤ y − y + 2 y⎥ = . 3 2 ⎦ −2 2
Ctt :
Jika irisan sejajar dengan sumbu x maka tinggi irisan adalah kurva yang terletak disebelah kanan dikurangi kurva yang berada disebelah kiri. Jika batas kanan dan kiri irisan berubah untuk sembarang irisan di D maka daerah D harus dibagi dua atau lebih
11
MA1114 KALKULUS I
7.2 Menghitung volume benda putar 7.2.1 Metoda Cakram a. Daerah D = {( x, y ) | a ≤ x ≤ b , 0 ≤ y ≤ f ( x)} diputar terhadap sumbu x f(x) D a Daerah D
b
? Volume benda putar MA1114 KALKULUS I
Benda putar 12
4
Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatan Iris , hampiri, jumlahkan dan ambil limitnya. Jika irisan berbentuk persegi panjang dengan tinggi f(x) dan alas ∆x diputar terhadap sumbu x akan diperoleh suatu cakram lingkaran dengan tebal ∆x dan jari-jari f(x). sehingga
f(x) D
∆x
a
b
∆V ≈ π f 2 ( x) ∆x
f(x) b
V = π ∫ f 2 ( x) dx a
∆x
MA1114 KALKULUS I
13
Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jika 2 daerah D yang dibatasi oleh y = x , sumbu x, dan garis x=2 diputar terhadap sumbu x
Jika irisan diputar terhadap sumbu x akan diperoleh cakram dengan jari-jari x 2 dan tebal ∆x
y = x2
x2 ∆x
Sehingga
∆V ≈ π ( x 2 ) 2 ∆x = π x 4 ∆x
2
Volume benda putar 2
x2
V = π ∫ x 4 dx = 0
∆x
π 5
MA1114 KALKULUS I
b. Daerah D
x 5 | 02 =
32 π 5 14
= {( x, y ) | c ≤ y ≤ d , 0 ≤ x ≤ g ( y )}
diputar terhadap sumbu y d
d
x=g(y) D
c
c
Daerah D
Benda putar ? Volume benda putar MA1114 KALKULUS I
15
5
Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatan Iris , hampiri, jumlahkan dan ambil limitnya. Jika irisan berbentuk persegi panjang dengan tinggi g(y) dan alas ∆y diputar terhadap sumbu y akan diperoleh suatu cakram lingkaran dengan tebal ∆y dan Jari-jari g(y).
d
∆y
x=g(y) D
sehingga
c
∆V ≈ π g 2 ( y ) ∆y g ( y)
d
V = π ∫ g 2 ( y ) dy
∆y
c
MA1114 KALKULUS I
16
Contoh : Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh y = x 2 garis y = 4, dan sumbu y diputar terhadap sumbu y Jika irisan dengan tinggi y dan tebal ∆y diputar terhadap sumbu y akan diperoleh cakram dengan jari-jari y dan tebal ∆y
4
∆y y = x2
y
⇔x=
Sehingga
y
∆V = π ( y ) 2 ∆y = π y ∆y Volume benda putar 4
y
∆y
V = π ∫ ydy = 0
π 2
y 2 |04 = 8π
MA1114 KALKULUS I
17
7.2.2 Metoda Cincin a. Daerah
D = {( x, y ) | a ≤ x ≤ b , g ( x) ≤ y ≤ h( x)}
diputar terhadap sumbu x h(x) D g(x) a
b
Daerah D ? Volume benda putar MA1114 KALKULUS I
Benda putar 18
6
Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatan Iris , hampiri, jumlahkan dan ambil limitnya. h(x)
Jika irisan berbentuk persegi panjang dengan tinggi h(x)-g(x) dan alas ∆x diputar terhadap sumbu x akan diperoleh suatu cincin dengan tebal ∆x dan jari –jari luar h(x) dan jari-jari dalam g(x).
D g(x)
∆x
a
sehingga
b
∆V ≈ π ( h 2 ( x) − g 2 ( x))∆x
∆x
h(x)
g(x)
b
V = π ∫ (h 2 ( x) − g 2 ( x))dx a
19
MA1114 KALKULUS I
Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah D yang dibatasi oleh y = x 2 , sumbu x, dan garis x=2 diputar terhadap garis y=-1 Jika irisan diputar terhadap garis y=1 Akan diperoleh suatu cincin dengan Jari-jari dalam 1 dan jari-jari luar 1 + x 2 Sehingga
y = x2
D 1
∆V = π (( x 2 + 1) 2 − 12 )∆x
1+ x2 ∆x
2
= π ( x 4 + 2 x 2 + 1 − 1)∆x y=-1
= π ( x 4 + 2 x 2 )∆x
Volume benda putar : 2
V = π ∫ x 4 + 2 x 2 dx = π ( 15 x 5 + 23 x 3 |02 ) = π ( 325 + 163 ) = 186 15 π 0
20
MA1114 KALKULUS I
7.2.3 Metoda Kulit Tabung Diketahui D = {( x , y ) | a ≤ x ≤ b , 0 ≤ y ≤ f ( x )} Jika D diputar terhadap sumbu y diperoleh benda putar
f(x) D a
b
Daerah D
Benda putar Volume benda putar ?
MA1114 KALKULUS I
21
7
Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatan Iris , hampiri, jumlahkan dan ambil limitnya. Jika irisan berbentuk persegi panjang dengan tinggi f(x) dan alas ∆x serta berjarak x dari sumbu y diputar terhadap sumbu y akan diperoleh suatu kulit tabung dengan tinggi f(x), jari-jari x, dan tebal ∆x
f(x) D
x
a
b
∆x
sehingga
∆x
∆V ≈ 2π x f ( x ) ∆x f(x) b
x
V = 2π ∫ xf ( x)dx a
22
MA1114 KALKULUS I
Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah D yang dibatasi oleh y = x 2 , sumbu x, dan garis x=2 diputar terhadap sumbu y 2
Jika irisan dengan tinggi x ,tebal ∆x dan berjarak x dari sumbu y diputar terhadap sumbu y akan diperoleh kulit tabung 2 dengan tinggi x , tebal ∆x dan jari jari x
y = x2
x2
D ∆x
x
2
Sehingga
∆V = 2π x x 2 ∆x = 2π x 3 ∆x Volume benda putar 2
V = 2π ∫ x 3 dx = 0
π 2
x 4 | 02 = 8π
MA1114 KALKULUS I
23
Catatan : -Metoda cakram/cincin Irisan dibuat tegak lurus terhadap sumbu putar - Metoda kulit tabung
Irisan dibuat sejajar dengan sumbu putar Jika daerah dan sumbu putarnya sama maka perhitungan dengan menggunakan metoda cakram/cincin dan metoda kulit tabung akan menghasilkan hasil yang sama Contoh Tentukan benda putar yang terjadi jika daerah D yang dibatasi Oleh parabola y = x 2 ,garis x = 2, dan sumbu x diputar terhadap a. Garis y = 4 b. Garis x = 3
MA1114 KALKULUS I
24
8
a. Sumbu putar y = 4 (i) Metoda cincin
y=4
(4 − x ) 2
y=x
Jika irisan diputar terhadap garis y=4 akan diperoleh cincin dengan Jari-jari dalam =rd = ( 4 − x 2 ) Jari-jari luar = rl = 4
4
2
Sehingga D
∆V ≈ π ((4) 2 − (4 − x 2 ) 2 )∆x
∆x 2
= π (8 x 2 − x 4 )∆x
Volume benda putar 2
V = π ∫ (8 x 2 − x 4 )dx = π ( 83 x 3 − 15 x 5 ) |02 = π ( 643 − 325 ) = 0
224 15
π 25
MA1114 KALKULUS I
(ii) Metoda kulit tabung
y=4 4− y
Jari-jari = r = 4 − y
y = x2
Tinggi = h = 2 − y
∆y
y
Jika irisan diputar terhadap garis y=4 akan diperoleh kulit tabung dengan
Tebal = ∆y
D 2− y
Sehingga
2
∆V ≈ 2π (4 − y)(2 − y )∆y = 2π (8 − 4 y − 2 y + y y )∆y
Volume benda putar 4
V = 2π ∫ (8 − 4 y − 2 y + y y )dy = 2π (8 y −
8 3
y 3 / 2 − y 2 + 52 y 5 / 2 ) | 04 =
224 15
π
0
26
MA1114 KALKULUS I
b. Sumbu putar x=3 (i) Metoda cincin
x=3
Jika irisan diputar terhadap garis x=3 diperoleh cincin dengan Jari-jari dalam = rd = 1 Jari-jari luar = rl = 3 − y
y = x2
∆y
1
Sehingga
3− y
D
y
∆V ≈ π ((3 − y ) 2 − (1) 2 )∆y
2
= π (8 − 6 y + y )∆y
3 Volume benda putar 4
V = π ∫ (8 − 6 y + y )dy = π (8 y − 4 y 3 / 2 + 8 | 04 ) = 8π 0
MA1114 KALKULUS I
27
9
(ii) Metoda kulit tabung
x=3 Jika irisan diputar terhadap garis x=3 diperoleh kulit tabung dengan Tinggi = h = x 2
y = x2
Jari-jari = r = 3-x Tebal = ∆x
x2 D
Sehingga
∆x 2 3-x
x
∆V ≈ 2π (3 − x) x 2 ∆x
3
= 2π (3 x 2 − x 3 )∆x
Volume benda putar 2
V = 2π ∫ (3x 2 − x 3 )dx = 2π ( x 3 − 14 x 4 ) | 02 = 2π (8 − 4) = 8π 0
28
MA1114 KALKULUS I
7.3 Panjang Kurva Persamaan parameter kurva dibidang x = f(t) y = g(t)
,a ≤ t ≤ b
(1)
Titik A(f(a),g(a)) disebut titik pangkal kurva dan titik B(f(b),g(b)) disebut titik ujung dari kurva. Definisi : Suatu kurva dalam bentuk parameter seperti (1) disebut mulus jika (i) f ' dan g ' kontinu pada [a,b] Kurva tidak berubah sekonyong-konyong (ii) f ' dan g '
tidak secara bersamaan nol pada (a,b)
29
MA1114 KALKULUS I
Misal diberikan kurva dalam bentuk parameter (1), akan dihitung panjang kurva Langkah 1. Partisi [a,b] menjadi n bagian, dengan titik-titik pembagian
a = t o < t1 < t 2 < ... < t n = b Qi −1
●
Qi
●
● a t1
● ● t i −1 t i
● t n −1 b
Qn ●
Qo
Q1●
●
Partisi pada [a,b] Paritisi pada kurva
MA1114 KALKULUS I
30
10
2. Hampiri panjang kurva
∆s i
Qi
∆s i
panjang busur Qi −1Qi
∆wi
panjang tali busur Qi −1Qi
Panjang busur dihampiri dengan panjang tali busur ∆wi
∆y i
∆s i ≈ ∆wi = (∆xi ) 2 + (∆yi ) 2
∆xi
Qi −1
= [ f (t i ) − f (t i −1 )]2 + [ g (t i ) − g (t i −1 )]2 Dengan menggunakan teorema nilai rata-rata untuk turunan, terdapat tˆi , t i ∈ (t i −1 , t i ) sehingga
f (t i ) − f (t i −1 ) = f ' (t i )∆t
g (t i ) − g (t i −1 ) = g ' (tˆi )∆t 31
MA1114 KALKULUS I
∆t i = t i − t i −1
dengan sehingga
∆wi = [ f ' (ti )∆ti ]2 + [ g ' (tˆi )∆ti ]2 = [ f ' (ti )]2 + [ g ' (tˆi )]2 ∆ti Panjang kurva dihampiri oleh jumlah panjang tali busur n
L ≈ ∑ [ f ' (ti )]2 + [ g ' (tˆi )]2 ∆ti i =1
Dengan mengambil panjang partisi(||P||) menuju nol diperoleh b
L = ∫ [ f ' (t )]2 + [ g ' (t )]2 dt a
32
MA1114 KALKULUS I
Ctt: Jika persamaan kurva y=f(x), a ≤ x ≤ b b
L = ∫ [ f ' (t )]2 + [ g ' (t )]2 dt a
b
=∫ ( a
2
b
=∫ [ a
dx 2 dy 2 ] + [ ] dt dt dt 2
dx 2 ⎛ dy ⎞ ⎛ dy ⎞ ) (1 + ⎜ ⎟ )dt = ∫ 1 + ⎜ ⎟ dx dt ⎝ dx ⎠ ⎝ dx ⎠ a b
Jika persamaan kurva x=g(y), c ≤ y ≤ d d
L = ∫ [ f ' (t )]2 + [ g ' (t )]2 dt c
d
=∫ ( c
d
=∫ [ c
dx 2 dy 2 ] + [ ] dt dt dt
2 2 d dx 2 ⎛⎜ ⎛ dy ⎞ ⎟⎞ ⎛ dy ⎞ ) 1 + ⎜ ⎟ dt = ∫ 1 + ⎜ ⎟ dx dt ⎜⎝ ⎝ dx ⎠ ⎟⎠ ⎝ dx ⎠ c
MA1114 KALKULUS I
33
11
Contoh : Hitung panjang kurva 1.
x = t3, y = t2; 0 ≤ t ≤ 4 x' (t ) = 3t 2 , y ' (t ) = 2t Panjang kurva 4
4
4
L = ∫ (3t 2 ) 2 + (2t ) 2 dt = ∫ 9t 4 + 4t 2 dt = ∫ t 2 (9t 2 + 4)dt 4
= ∫ t (9t 2 + 4)1 / 2 0
0
=
0
0
0
4
= ∫ t 9t 2 + 4 dt 1 2 18 3
(9t + 4) 2
3/ 2
=
| 04
1 27
d (9t 2 + 4) 18t
(40 40 − 8) =
1 27
(80 10 − 8)
34
MA1114 KALKULUS I
2.
y = 2x 3 / 2
antara x =1/3 dan x=7
Jawab :
dy = 3x1 / 2 dx
(
7
L=
∫
)
7
2
1 + 3x 1 / 2 dx =
1/ 3
=
2 27
(1 + 9 x )
3/ 2 7 1/ 3
|
=
∫
1 + 9 x dx =
7
1 9
∫ (1 + 9 x)
1/ 3
1/ 3
2 27
(512 − 8) = 37 13
1/ 2
d (1 + 9 x)
MA1114 KALKULUS I
35
Soal Latihan A. Gambarkan dan hitung luas daerah yang dibatasi oleh 1.
y = x 2 dan y = x + 2
2.
y = x 3 , y = − x, dan y = 8
3.
y = x , y = 4x , y = -x +2
4.
y = sin x, y = cos x, x = 0 , x = 2π.
MA1114 KALKULUS I
36
12
B. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang di batasi oleh grafik fungsi-fungsi berikut diputar terhadap sumbu x 1.
y = x 3 , y = 0, dan x = 2
2.
y = 9 − x 2 dan y = 0
3.
y = x 2 dan y = 4 x
4.
y = sin x, y = cos x, x = 0 , x = π/4
5.
y = x 3 dan y = x, di kuadran 1
37
MA1114 KALKULUS I
C. Daerah D dibatasi oleh kurva y = x dan garis x = 2y. Hitung volume benda putar, jika D diputar terhadap : (1) sumbu x (2) garis x = -1 (3) garis y = 4
(4) sumbu y (5) garis y = -2 (6) garis x = 4
D. Daerah D dibatasi oleh parabol y = 4 x − x 2 dan garis x+ y = 4. Hitung volume benda putar, jika D diputar terhadap : (1) sumbu x (2) garis x = 6
(3) sumbu y (4) garis y = -1
MA1114 KALKULUS I
38
E. Hitung panjang kurva berikut 1.
x = 4 sin t , y = 4 cos t − 5; 0 ≤ t ≤ π
2.
x = 3t 2 + 2, y = 2t 3 − 1 / 2; 1 ≤ t ≤ 4
3. 4.
1 y = ( x 2 + 2) 3 / 2 , 0 ≤ x ≤ 1 3 x 2 ln x y= − , 2≤ x≤4 2 4
5.
y = ln(1 − x 2 ), 0 ≤ x ≤ 1 / 2
6.
x=
1 y ( y − 3), 0 ≤ y ≤ 9 3 MA1114 KALKULUS I
39
13
