APLIKASI INTEGRAL TENTU
LUAS DAERAH Indikator Pencapaian Hasil Belajar Mahasiswa menunjukkan kemampuan dalam : 1. Menghitung luas pada bidang datar
Ringkasan Materi Perkuliahan Jika suatu daerah dibatasi oleh kurva f(x), g(x), garis x = a dan x = b dengan syarat f(x) > g(x) dan keduanya adalah fungsi yang kontinyu pada interval [a,b] maka daerahnya adalah sebagai berikut (daerah yang diarsir) : Y
f(x)
g(x)
a
O
b
X
Jika daerah yang dibatasi oleh dua kurva f(x) dan g(x) yang kontinyu dan berpotongan di (x 1 , y1 ) dan (x 2 , y2 ) maka daerahnya adalah sebagai berikut : g(x)
Y x2,y2 y2
f(x)
x1,y1
y1
O
x1
Henny Ekana
x2
X
Page 1
Contoh : Gambarlah daerah yang dibentuk dari kurva y = x2 dan y = x + 2 Jawab : Kurva y = x2 berupa parabola menghadap ke atas. Titik potong dengan sumbu X diperoleh jika y = 0 Jadi kurva y = x2 menyinggung sumbu X di (0, 0)
Kurva y = x + 2 berupa garis lurus. Titik potong dengan sumbu Y diperoleh jika x = 0 Jadi kurva y = x + 2 memotong sumbu Y di (0,2) Titik potong dengan sumbu X diperoleh jika y = 0. Jadi kurva y = x + 2 memotong sumbu X di (-2,0)
Tentukan titik potong kedua kurva tersebut x2 = x + 2 x2 – x – 2 = 0 (x – 2)(x + 1) = 0 x 1 = 2 atau x 2 = -1 x1 = 2 →
y1 = 2 + 2 =4
x2 = -1 →
y2 = -1 + 2 =1
Jadi kedua kurva akan berpotongan di titik (-1,1) dan (2,4)
Apabila daerah tersebut digambarkan sebagai berikut :
Henny Ekana
Page 2
Y
y = x2 y=x+2
4
(2,4)
2 (-1,1) -2
1
-1 O
1
2
X
1. LUAS DAERAH
A. LUAS DAERAH ANTARA KURVA DAN SUMBU X
Apabila kita mempunyai sebuah kurva seperti gambar berikut :
y = f(x)
Y
O
a
b
X
Bagaimanakah kita menghitung luas kurva tersebut yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X, garis x = a dan x = b (daerah yang diarsir).
Henny Ekana
Page 3
y = f(x)
Y
O
a
b
X
Untuk menjawab pertanyaan tersebut kita harus membuat pendekatan luas, yaitu dengan membuat beberapa garis vertical (strip) sehingga membentuk persegi panjang. Jumlah luas persegi panjang tersebut merupakan pendekatan luas daerah tersebut.
y = f(x) Q
Y
O
a
P(x,y)
Q' δx P'
b
X
Jika salah satu potongan persegi panjang tersebut diberi nama PP’Q’Q dengan koordinat titik P(x,y). Lebar persegi panjang P’Q’ kita namakan δx dan luas PP’Q’Q kita namakan
δL . Luas persegi panjang adalah panjang kali lebar, maka :
δL = y δx Jumlah luas persegi panjang dari x = a sampai dengan x = b dapat dinyatakan dengan : n
Luas Total = ∑ yi δxi i =1
dengan n adalah banyak persegi panjang. Perhitungan luas total akan akurat jika δx yang dipilih sangat kecil hingga mendekati nol (δx limit nol). n
Luas Total = lim ∑ yi δxi δx → 0
Henny Ekana
i =1
Page 4
Bentuk diatas dapat kita tuliskan sebagai bentuk integral seperti di bawah ini : b
L = ∫ y dx a
karena y = f(x) b
L = ∫ f ( x) dx a
b
Integral yang dituliskan dalam notasi ∫ f ( x) dx akan menghasilkan nilai tertentu sehingga a
integral tersebut disebut dengan Integral Tertentu, a disebut batas bawah dan b disebut batas atas integral.
Jadi dari bukti di atas dapat diketahui bahwa integral tertentu dapat kita gunakan untuk menghitung luas daerah suatu kurva dengan sumbu koordinat yang dibatasi oleh dua buah garis.
Y a O
b X y = f(x)
Besar luas daerah yang ditunjukkan pada gambar bernilai negatif, sebab hasil kali perkalian f(x) dan δx adalah negatif. Karena luas daerah selalu bernilai positif, maka : b
L = − ∫ f ( x) dx a
Henny Ekana
Page 5
B. Teorema Fundamental
Jika f adalah fungsi kontinyu pada interval [a,b] dan F adalah anti derivatif f pada [a,b], b
∫ f ( x) dx = F (b) − F (a)
maka
a
Bukti :
S P
Y
f(x)
O
Q R
y=f(x)
f(x+h)
P' h Q' a x (x+h) b
X
Daerah yang diarsir merupakan luas daerah yang dibatasi kurva y = f(x), sumbu X, garis x = a, dan x = b. Misalkan lebar persegi panjang pada gambar tersebut adalah h, maka luas PP’Q’Q adalah L(x + h) – L(x) Dan luas ini besarnya terletak di antara luas persegi panjang kecil PP’Q’R dan persegi panjang besar SP’Q’Q, sehingga Luas PP’Q’R < luas PP’Q’Q < luas SP’Q’Q h . f(x) < L(x + h) – L(x) < h . f(x + h) f ( x) <
L ( x + h) − L ( x ) < f ( x + h) h
Untuk h → 0 maka : L ( x + h) − L ( x ) ≤ lim f ( x + h) h→0 h→0 h
lim f ( x) ≤ lim h→0
f(x) ≤ L’(x) ≤ f(x) f ( x) ≤ L' ( x) ≤ f ( x) L’(x) = f(x) L( x) =
∫ f ( x) dx = F ( x) + c
Henny Ekana
Page 6
Luas daerah dari x = a sampai dengan x = b adalah b
L=
∫ f ( x) dx = L(b) − L(a) a
= F(b)+ c – [F(a) + c] = F(b) – F(a) (Terbukti)
Bentuk penulisan F(b) – F(a) biasanya dinyatakan dengan [ F ( x)]ba Penulisan tersebut secara lengkap adalah sebagai berikut : b
∫ f ( x) dx = [ F ( x)]
b a
= F (b) − F (a )
a
Contoh : 1. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2, sumbu X, garis x = 1 dan garis x = 2 Jawab : y = x2
Y
1
O
2
X
2
L =
∫x
2
dx
1
2
1 = x3 3 1 1 1 = ( .2 3 ) − ( .13 ) 3 3 8 1 = − 3 3 1 = 2 3
Henny Ekana
Jadi luasnya adalah 2
1 satuan luas. 3
Page 7
2. Hitunglah luas daerah di bawah sumbu X yang dibatasi oleh kurva y = 4 – 2x, sumbu X dan garis x = 4 Jawab : Y 4 y = 4 - 2x 4
O
2
X
Daerah yang diarsir berada di bawah sumbu X, maka luasnya : 4
L = − ∫ ( 4 − 2 x ) dx 2
4
∫ (−4 + 2 x)dx
=
2
[
= − 4x + x2
]
4 2
= ( −4.4 + 4 ) − ( −4.2 + 2 2 ) = ( −16 + 16) − ( −8 + 4) =4 2
Jadi, luasnya adalah 4 satuan luas
Henny Ekana
Page 8
2.2 LUAS DAERAH ANTARA KURVA DAN SUMBU Y
Lalu bagaimana dengan luas daerah kurva tertutup yang dibatasi sumbu Y ?
Y
x=f(y)
b
a O
X
Bagaimanakah kita menghitung luas kurva tersebut yang dibatasi oleh kurva x = f(y), sumbu Y, garis y = a dan y = b (daerah yang diarsir) ?.
Y
x=f(y)
b
a O
X
Untuk menjawab pertanyaan tersebut kita harus membuat pendekatan luas, yaitu dengan membuat beberapa garis vertikal (strip) sehingga membentuk persegi panjang. Jumlah luas persegi panjang tersebut merupakan pendekatan luas daerah tersebut.
Henny Ekana
Page 9
x=f(y)
Y b Q'
Q
P'
P(x,y)
δy
a O
X
Jika salah satu potongan persegi panjang tersebut diberi nama PP’Q’Q dengan koordinat titik P(x,y). Lebar persegi panjang P’Q’ kita namakan δy dan luas PP’Q’Q kita namakan
δL . Luas persegi panjang adalah panjang kali lebar, maka :
δL = x δy
Jumlah luas persegi panjang dari y = a sampai dengan y = b dapat dinyatakan dengan : n
Luas Total = ∑ xi δyi i =1
dengan n adalah banyak persegi panjang. Perhitungan luas total akan akurat jika δy yang dipilih sangat kecil hingga mendekati nol ( δy limit nol). n
Luas Total = lim ∑ xi δyi δy → 0
i =1
Bentuk diatas dapat kita tuliskan sebagai bentuk integral seperti di bawah ini : b
L = ∫ x dy a
Contoh : Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2, sumbu Y, garis y = 1 dan garis y = 2 Jawab :
Henny Ekana
Page 10
Y x = y2 2 1 O
X
2
L =
∫
y 2 dy
1
2
1 = y3 3 1 1 1 = ( .2 3 ) − ( .13 ) 3 3 8 1 = − 3 3 1 = 2 3 Jadi luasnya adalah 2
1 satuan luas. 3
2.3 LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVA DAN SUMBU X
Misalkan : f dan g adalah fungsi yang kontinyu di [a,b] dan ≥f(x) g(x) dalam interval tersebut, dengan syarat y1 = f(x) dan y2 = g(x) tidak saling berpotongan pada [a,b] seperti pada gambar (fungsi f dan g non negatif)
Henny Ekana
Page 11
f(x)
Y
g(x)
a
O
b
XX
tampak pada gambar bahwa luas daerah yang dibatasi oleh kurva f dan g dalam [a,b] adalah : L = (luas daerah f) – (luas daerah g) b
b
a
a
L = ∫ f ( x) dx − ∫ g ( x) dx b
L = ∫ ( f ( x) − g ( x)) dx a
Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan bahwa rumus tersebut juga berlaku untuk fungsi f dan g yang negatif atau fungsi f positip dan fungsi g negatif seperti pada gambar berikut :
Y
f(x)
a O
Henny Ekana
b X g(x)
Page 12
Y a
b
O
X f(x) g(x)
Contoh : Hitunglah luas yang dibatasi oleh kurva y = x2 + 3x dan y = 2x + 2 Jawab : Tentukan terlebih dahulu titik potong kedua kurva tersebut, sebagai batas atas dan batas bawahnya x2 + 3x = 2x + 2 x2 + x – 2 = 0 (x + 2)(x – 1) = 0 x = -2 atau x = 1 Jadi, batas-batasnya adalah x = -2 dan x = 1 Y
2 -2 -3
Henny Ekana
-1
O 1
X
Page 13
1
L = ∫ [(2 x + 2) − ( x 2 + 3 x)]dx −2 1
= ∫ (2 − x − x 2 )dx −2
1
1 1 = 2 x − x 2 − x 3 2 3 −2 1 1 8 = 2 − − −− 4 − 2 + 2 3 3 1 =42 Jadi luasnya
4 12
satuan luas
2.4 LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVA DAN SUMBU Y
Misalkan : f dan g adalah fungsi yang kontinyu di [a,b] dan f(y) ≥ g(y) dalam interval tersebut, dengan syarat x 1 = f(y) dan x 2 = g(y) tidak saling berpotongan pada [a,b] seperti pada gambar (fungsi f dan g non negatif)
Y b
a X
O
f(y)
g(y)
tampak pada gambar bahwa luas daerah yang dibatasi oleh kurva f dan g dalam [a,b] adalah : L = (luas daerah f) – (luas daerah g)
Henny Ekana
Page 14
b
L=
∫ a
b
f ( y ) dy − ∫ g ( y ) dy a
b
L = ∫ ( f ( y ) − g ( y )) dy a
Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan bahwa rumus tersebut juga berlaku untuk fungsi f dan g yang negatif atau fungsi f positip dan fungsi g negatif seperti pada gambar berikut :
Y b
a g(y)
O
f(y)
X
Y b
a g(y)
f(y) O
X
Contoh : Hitunglah luas yang dibatasi oleh kurva x = 4 - y, garis x = y dan sumbu X Jawab : Tentukan terlebih dahulu titik potong kedua kurva tersebut sebagai batas atas dan bawahnya y = 4-y 2y = 4 y =2 Jadi, batas-batasnya adalah y = 0 (karena berbatasan dengan sumbu X) dan y = 2
Henny Ekana
Page 15
Y
x=y
2 O
X x=4-y
2
L = ∫ [(4 − y ) − ( y )]dy 0
2
= ∫ (4 − 2 y )dy 0
[
= 4y − y2
]
2 0
= (8 − 4 ) − (0 − 0 ) =4 Jadi luasnya 4 satuan luas
LATIHAN 1. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x 3 − x 2 − 6 x dan sumbu- x diantara x = −2 dan x = −3 2. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva a. y = 2 − x 2 dan y = x b. y = x − 1 dan y 2 = 3 − x c. y 2 = 4 x dan 4 x = 3 y + 4
Henny Ekana
Page 16
