PERANCANGAN PERANGKAT LUNAK PENERAPAN INTEGRAL DALAM MENGHITUNG ISI PERPUTARAN KURVA. Oleh :

Sudi Suryadi

J. Informatika AMIK-LB Vol.2 No.1/Januari/2014

PERANCANGAN PERANGKAT LUNAK PENERAPAN INTEGRAL DALAM MENGHITUNG ISI PERPUTARAN KURVA Oleh : SUDI SURYADI, S.Kom, M.Kom Dosen Prodi Manajemen Informatika, AMIK Labuhanbatu Rantauprapat, Medan; [email protected]

ABSTRAK Integral adalah salah satu ilmu perhitungan kalkulas yang merupakan kebalikan dari fungsi turunan. Secara umum, fungi integral dapat dibedakan menjadi fungsi integral tak tentu dan fungsi integral tentu. Fungsi Integral tak tentu tidak memiliki batas nilai variable sedangkan funsi integral tentu ini sering digunakan untuk menyelesaikan persoalan dalam bidang ilmu pengetahuan. Dengan adanya aplikasi Perancangan Perangkat Lunak Penerapan Fungsi Integral Tentu untuk Menghitung Isi Benda Putar yang dibentuk dari Perputaran Kurva, program ini dapat digunakan untuk mempermudah penggambaran grafik secara manual dan dapat digunakan sebagai media alternatif untuk membantu mengerjakan penerapan fungsi integral tetu untuk menghitung isi benda putar. Keyword : kurva, hitung, integral, perputaran, Benda Putar yang dibentuk dari Perputaran Kurva”. 1.2 Perumusan Masalah Berdasarkan latar belakang pemilihan judul, maka yang menjadi permasalahan adalah bagaimana penggambaran grafik fungsi dan proses penyelesaian funsi integral untuk menghitung isi / volume dari fungsi kurva yang membentuk benda putar tersebut. 1.3 Tujuan dan Manfaat Penulisan Tujuan penelitian ini adalah untuk merancang suatu perangkat lunak yang mampu menggambarkan fungsi kurva dengan menggunakan fungsi integral tentu secara cepat dan tepat. Manfaat penyusunan penilitian ini yaitu : 1. Menjadi perangkat lunak alternative untuk menggambarkan fungsi kurva secara cepat. 2. Membantu pembelajaran fungsi integral 3. Menambah pengetahuan pembaca cara membuat perangkat lunak dengan penerapan fungsi integral tertentu

I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Apabila suatu kurva dilakukan perputaran terhadap sumbu x atau sumbu y sejauh 360˚ (satu kali putaran), maka terjadilah suatu benda pejal yang disebut benda putar . isi (volume) dari bangun ruang tersebut dapat dihitung dengan menggunakan integral tentu. Integral adalah salah satu ilmu perhitungan kalkulas yang merupakan kebalikan dari fungsi turunan. Secara umum, fungi integral dapat dibedakan menjadi fungsi integral tak tentu dan fungsi integral tentu. Fungsi Integral tak tentu tidak memiliki batas nilai variable sedangkan funsi integral tentu ini sering digunakan untuk menyelesaikan persoalan dalam bidang ilmu pengetahuan . Berdasarkan uraian diatas, penulis bermaksud untuk meranang suatu perangkat lunak yang mampu menggambarkan fungsi kurva dan juga mampu untuk menghitung isi atau volume dari yang membentuk benda putar dengan mengajukan penelitian yang berjudul “Perancangan Perangkat Lunak Penerapan Fungsi Integral Tentu untuk Menghitung Isi 22

Sudi Suryadi


besar, contoh : A,B,C, … dan elemen-elemen atau anggota dari himpunan dilambangkan dilambangkan dengan menggunakan huruf kecil, Contoh : a,b,c, … Himpunan dapat dituliskan dengan menggunakan dua metode yaitu : 1. Metode Roster yaitu dengan cara mencantumkan seluruh anggota dari himpunan tersebut. Contohnya himpunan A = {Andi,Budi,Chandra} 2. Metode Rule yaitu dengan cara menyebutkan satu atau beberapa sifat dari himpunan tersebut. Contohnya himpunan A = {x | x adalah bilangan prima} Notasi Himpunan yang digunakan adalah ∈, contoh : 2 ∈ A yang berarti 2 adalah elemen dari A atau 2 anggota dari A. 2.1.2 Jenis-jenis Himpunan Secara garis besar, himpunan terdiri dari 3 jenis, yaitu : 1. Himpunan terhingga adalah suatu himpunan dimana elemen-elemen nya terhingga. Contohnya himpunan mahasiswa AMIK – Labuhanbatu angkatan 2002 2. Himpunan tak terhingga adalah himpunan yang elemennya tidak terhingga. Contohnya himpunan bilangan genap. 3. Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempnyai elemen sama sekali dan dinyatakan dengan notasi ∅ atau { } . Contohnya himpunan bilangan prima yang lebih kecil dari nol. 2.1.3 Relasi Antar Himpunan Relasi-relasi yang terdapat pada himpunan adalah : 1. Ekivalen Himpuanan A dikatakan Ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika cardinal (jumlah elemen) dari kedua himpunan tersebut sama. Dinotasikan dengan A~B↔|A| = |B| Contoh : jika A = {1,3,5,9} dan B={a,b,c,d} maka A~B.

untuk menghitung isi benda putar yang dibentuk dari perputaran kurva. 1.4 Pembatasan Masalah Karena keterbatasan waktu dan pengetahuan penulis, maka ruang lingkup permasalahan dalam merancang perangkat lunak ini antara lain : 1. Input dari perangkat lunak berupa : a. Jenis perputaran (terhadap sumbu x atau sumbu y). b. Fungsi kurva berupa fungsi persamaan kuadrat dengan satu variable dan jumlah fungsi maksimal dua buah. c. Batas-batas dari kurva yang akan dilakukan perputaran . 2. Perangkat lunak akan menggambarkan grafik fungsi 3. Perangkat lunak akan menampilkan langkah perhitungan. 4. Perangkat lunak dirancang dengan menggunakan bahasa pemrograman Visual Basic 6.0. . 1.5 Metodologi Penyelesaian Masalah Langkah-langkah pembuatan perangkat lunak ini antara lain : 1. Membaca dan mempelajari Bukubuku kalkulus yang bberhubungan dengan integral. 2. Mempelajari penerapan integral dengan menghitung volume benda putar. 3. Merancang antarmuka pemakaian(interface) 4. Merancang Perangkat lunak yang mampu menggambarkan fungsi kurva dan menghitung isi benda putar yang dibentuk dari perputaran kurva dengan menggunakan fungsi integral tertentu. 5. Melakukan Proses pengujian dan perbaikan terhadap kesalahan yang timbul II. LANDASAN TEORI 2.1 Himpunan 2.1.1 Definisi Himpunan adalah kumpulan dari beberapa unsur yang memiliki sifat atau keterkaitan tertentu. Suatu himpunan biasanya dilambangkan dengan menggunakan huruf

2. Himpunan Bagian Himpunan A dikatakan bagian dari himpunan B,jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B , yang memungkinkan bahwa A=B . 23

Sudi Suryadi


Dalam hal ini dikatakan A adalah subset dari B . Dinotasikan dengan : A ⊆ B Contoh : A = {1,3}; B = {1,3,5,7,9} maka A ⊈ B karena 3 ∈ A tetapi 3∉ B sedangkan dikatakan A ⊆ C karena elemen A juga elemen C Untuk menyatakan bahwa A asdalah himpunan bagian dari B tetapi A ≠ B; ada setidaknya satu elemen di B yang tidak ada di A . Dalam hal ini A adalah proper subset dari B . Dinotasikan dengan A ⊂ B karena A adalah sebuah subset dari B , Tetapi A ≠ B sedangkan dikatakan A ⊈ C karena A=C,meskipun A adalah subset dari C.

2.

3.

4. 2.1.4

Diagram Venn Salah satu cara untuk menggambarkan relasi antara dua himpunan atau lebih adalah dengan menggunakan diagram venn, dimana suatu himpuanna dinyatakan sebagai luas dari suatu bidang yang dibatasi oleh lengkungan tertutup da digambarkan dengan himpunan semestanya.

5.

Dinotasikan dengan : A ∪ B = {x | x ∈ A atau x ∈ B} Irisan (Intersection) Himpunan irisan dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya dimiliki oleh A dan juga dimiliki oleh B secara bersamaan. Dinotasikan dengan : A ∩ 𝐵 = {x | x ∈ A atau x ∈ B} Komplemen suatu himpunan (Absolute complement) Komplemen dari suatu himpunan dari elemen-elemen yang merupakan anggota semesta tapi bukan anggota A. Dinotasikan dengan : A = {x | x ∈ U atau x ∉ B}. Selisih dari 2 buah himpunan (The relative complement) Himpunan selisih dari 2 himpunan A dan B adalah himpunan dari elemenelemen yang merupakan anggota dari A tetapi bukan anggota dari B . Dinotasikan dengan A – B = { x | x ∈ A dan x ∉B } = A ∩ 𝐵 Beda Setangkup (Symmetric difference). Beda setangkup dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya ada pada himpunan A atau B , tetapi tidaka ada pada keduanya. Dinotasika dengan : A ⊕ B = (A ∪ B) – (A ∩ 𝐵 )

2.2 Relasi dan Fungsi 2.2.1 Relasi Relasi yaitu hubungan antara objek-objek. Ada dua definisi tentang Relasi yaitu: 1. Hasil kali Kartesian Perkalian kartesian (Crtesian Products) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemnnya semua pasangan terurut (ordered pairs) yang mungkin terbentuk dengan komponen pertama dari himpunan A dan komponen kedua dari Himpunan B . Dinotasikan dengan :

Gambar 2.1 Diagram Venn 2.1.5 Operasi Hantar Himpunan Operasi-operasi yang berlaku pada himpunan,antara lain: 1. Gabaungan (Uniom). Himpunan gabungan dari dua himpunan A dan B adalah dimana himpunan anggota-anggotanya adalah anggota yang berada di A atau berada di B atau berada dikedua-duanya.

A × B = {(x,y) | x ∈ A atau y ∈ B} Contoh : A = {a,b) dan B ={1,2,3} maka A × B = {(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)}. 24

Sudi Suryadi


2.2.3

Jenis-jenis fungsi Misalkan A dan B merupakan dua himpunansembarang dan f adalah fungsi dari A ke B, atau dituliskan : f : A→B , maka fungsi dapat dibagi menjadi : 1. Fungsi injektif atau satu-satu : jika elemen-elemen yang berbeda dalam domain A mempunya range yang berbeda.

2. Relasi pada himpunan Relasi biner R antara x dan y adalah himpunan bagian dari x × y. jika (x,y) ∈ R, ditulis x R y dihubungkan dengan y oleh R, dan jika (x,y) ∉ R maka ditulis x R y artinya x dihubungkan y oleh R,dan jika (x,y) ∉ R,maka ditulis x R y artinya x tidak dihubungkan dengan y oleh relaris R . Dinotasikan dengan : R ⊆ (A×B). Contoh P = {2,4,8,9,15} dan Q = {2,3,4}. Jika didefinisikan relasi R dari P ke Q dengan (p,q) ∈ R , jika p habis dibagi q maka diperoleh R = {(2,2),(4,2),(4,4),(8,2),(8,4),(9,3),(15,3)}

1

A

2

B

3

c

Gambar 2.3 Fungsi Injektif 2. Fungsi subjektif jika setiap elemen himpunan B merupakan bayangan dari satu atau lebih elemen himpuna A . jadi fungsi f adalah onto bila semua elemen B merupakan daeraah hasil dari f. A B

2.2.2 Fungsi Definisi suatu relasi dari himpunan B dikatakan fungsi pemetaan jika : 1. Setiap Anggota A memiliki pasangan tepat 1 di B . 2. Setiap anggota A habis dipasangkan dengan anggota B . Dapat ditulis f : A → B yang artinya f memetakan A ke B. Beberapa Istilah yang haris dipahami dalam mempelajari konsep fungsi adalah : a. Himpunan A disebut sebagai domain f atau disebut juga dengan daerah definisi dari f. b. X ∈ A,dikatakan sebagai prpeta dari y ∈ B,dikatan peta dari x ∈ 𝐴 c. Himpunan dari y= f(x) di B dinamakan sebagai range f. Contoh :

A

1

B

2

C

3

D

Gambar 2.4 fungsi surjektif 3. Fungsi bijektif : jika dan hanya jika fungsi tersebut injektif dan juga surjektif. A B

A

1

B

2

A 1

c

3

B 2 C

Gambar2.2 Contoh dari fungsi Keterangan Gambar 2.2 : = {1,2,3}

3 D

Domain f

Kodomai n f= {a,b,c} Range f = {a,c}

Gambar 2.5 Fungsi bijektif 4. Fungsi invers (balikan ) 25

Sudi Suryadi


5. Balikan fungsi dilambangkan dengan f ˉⁱ . misalkan a aadalah anggota himpunan A dan b adalah anggota himpunan B . maka f ˉⁱ (b)=a jika f(a)=b . Contoh :A ={1,2,3} dan B = {x,y,z} adalah fungsi injektif (satu-satu), dimana f = {(1,x), (2,y), (3,z)}] maka balikan fungsi f adalah f ˉⁱ = {(x,1),(y,2),(z,3)}

koordinat ditunjukkan dengan simsymbol,b). contoh : titik P mempunyai koordinat (a,b) dan titik yang mempunyai koordinat (-a,-b). y B P -a

O

x Q

2.3 Fungsi dan Grafik 2.3.1 Variabel fungsi Sebuah variable sebuah symbol yang mengasumsikan sembarangan nilai dari suatu himpunan nilai-nilai dan biasanya digunakan huruf-huruf pada akhir abjad seperti x, y, z, u, v, w. sebuah konstanta adalah sebuah symbol yang berlaku hanya untuk satu nilai khusus dan biasanya menggunakan huruf-huruf pada awal abjad seperti a, b, c. Sebuah variable y dikatakan sebuah fungsi dari sebuah variable x apabila ada hubungan antara x dan y sedemikian rupa sehingga untuk tiap-tiap harga x dapat diasumsikan ada satu hubungan atau lebih dengan harga y. Contoh : y = x2 – 5x +2 mendefinisikan hubungan antara variabel x dan y jadi apabila x=0, 1, 2, -1 maka masingmasing y= -2, -2, -4, 8. Variabel z dikatakan sebagai fungsi dari dua variabel yaitu variabel x dan y apabila ada sebuah hubungan sedemikian rupa sehingga tiap-tiap pasangan harga x dan y bersesuaian dengan satu atau lebih harga z maka x=a dan y=b asalkan fungsi terdefinisikan untuk hargaharga itu . Contoh : f(x,y)= x3+ xy2– 2x, maka f(2.3) =23 + 2.32 – 2.3 = 20. 2.3.2 Koordinat tegak lurus Sistem koordinat tegak lurus digunakan untuk membentuk sebuah gaambar dari hubungan antara dua variabel. Dua garis yang slaing tegak lurus dinamakna sumbu koordinat, perpotongannya diberi label O dan disebut titik asala. Garis yang mendatar sumbu x (horizontal) dan garis tegak dinamakan sumbu y (vertikal). Misalkan diberikan sebuah titik P pada bidang xy, titik P tegak lurus ke sumbu x dan sumbu y .Nilai-nilai dari x dan y pada titik-titik dimana sumbu x dan y bertemu secara tegak lurus masing-masing menentukan absis dan ordinat dari titik P . Koordinat-

-b

Gambar 2.6 Koordinat P(a, b) dan Q(-a, -b) 2.3.3 Grafik fungsi Grafik sebuah fungsi adaah tempat kedudukan dari semua titik (x,y) yang memenuhi persamaan y= f(x).secara umum, grafik dari y = ax + b dimana a, b sebagai konstanta adalah sebuah garis lurus yang disebut funsi linear. Disebut sebagai fungsi linear karena dua titik membentuk sebuah garis lurus, maka hanya dua titik yang perlu digambarkan dan ditarik garis penghubungnya.

Gambar 2.7 Grafik Fungsi Liniar Grafik dari y = ax2 + bx + x mewakili parabola yang titik puncaknya merupakan titik maksimum atau minimum, tergantung masingmasing apakah a negative atau positif. Fungsi f(x) = ax2 + bx + x disebut juga fungsi kuadrat 26

Sudi Suryadi


5. lim

. Gambar dibawah menunjukkan grafik fungsi kuadrat dengan titik terendah P , disebut titik minimum atau titik parabola.

𝑥→𝑐

lim

𝑥→𝑐

6. lim 𝑥→𝑐

lim

𝑥→𝑐

7. lim 𝑥→𝑐

[f(x)

-

f(x) - lim

g(x)

[f(x)

g(x)]

𝑥→𝑐

.

f(x) - lim

𝑥→𝑐 lim 𝑓(𝑥) 𝑥→𝑐

= 𝑔(𝑥) n

lim

𝑥→𝑐

8. lim

f(x) = [lim

9. lim

n

𝑥→𝑐 𝑥→𝑐

g(x)]

𝑥→𝑐

√𝑓(𝑥)

= =

g(x) 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)

f(x)]n =

n

√lim 𝑓(𝑥) b. Jika f suatu fungsi polinom atau fungsi rasionalmaka, lim f(x) =f(c) 𝑥→𝑐

Asalkan dalam kasus fungsi rasional nilai penyebut c tidak nol. c. Andaikan f,g dan h adalah fungsi yang memenuhi f)x) ≤ g(x) ≤ h(x) untuk semua x dekat c,kecuali mungkin di c . jika, lim f(x) lim h(x) = L

Gambar 2.8 Grafik fungsi kuadrat 2.4 Limit 2.4.1 Definisi Limit merupakan suatu gagasan yang membedakan kalkulus dari cabang-cabang matematika lainnya sehingga kalkulus sering didefinisikan sebagai pengkajian tentang limit. Limit dikenal sebaga proses tak hingga. Dalam kalkulus , limit ditulis dalam bentuk : Lim f(x) = L x→c yang berarti bahwa bilaman x dekat tapi berlaainan dengan c, maka f(x) dekat ke L.

𝑥→𝑐

𝑥→𝑐

2.5 Diferensial (Turunan) 2.5.1 Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi lain f’(dibaca “f aksen”) nilainya pada sembarang bilangan c adalah : 𝑓(𝑥)−𝑓(𝑐) f’(c) = lim , asalkan limit ini ada . 𝑥−𝑐

2.4.2 Teorema tentang limit Untuk memudahkan dalam penyelesaian masalah limt, maka digunakan teoremateorema tentang limit. Teorema-teorema tersebut adalah sebagai berikut. a. Andaikan n bilangan bulat positif, k konstanta, dan f dan g adalah fungsifungsi yang mempunyai limit di c maka, 1. lim k = k

𝑥→𝑐

maka dikatakan bahwa f terdefenisialkan (terturunkan) di c . Pencarian turunan disebut pendiferensilan, dan bagian kalkulus yang berhubungan dengan turunandisebut kalkulus diferensial. 2.5.2 Aturan Pencarian Turunan Turunan dapat ditentukan tanpa proses limit. Untuk itulah dirancang beberapa teorema tentang turunan. Turunan suatu fungsi f adalah fungsi lain f’. Misalkan rumus untuk f(x) = x2 maka f’(x)=2x. Beberapa teorema yang sering digunakan dalam proses perhitungan turunan yaitu: a. Aturan fungsi konstanta

𝑥→𝑐

2. lim

x=c

3. lim

k.f(x)= k.lim

4. lim

[f(x)

𝑥→𝑐 𝑥→𝑐 𝑥→𝑐

lim

𝑥→𝑐

𝑥→𝑐

f(x)

+

g(x)]

f(x) + lim

g(x)

𝑥→𝑐

𝑥→𝑐

Maka, lim g(x) = L

=

27

Sudi Suryadi

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h. i.


jika f(x)= k dengan k suatu konstanta maka untuk sembarang x, f(x) = 0 Aturan fungsi identitas Jika f(x)=x, maka f(x) 1 Aturan pangkat Jika f(x)=xn, dengan n bilangan-bilangan bulat positif maka f(x) = n.xn-1 Aturan kelipatan konstanta Jika k konstanta dan f suatu fungsi yang terdiferensialkan, maka (kf)’(x)= k . f’(x) Aturan jumlah Jika f dan g fungsi-fungsi terdiferensialkan, maka (f + g)’(x) = f’(x) + g’(x). Aturan selisih Jika f dan g fungsi-fungsi terdiferensialkan, maka (f - g)’(x) = f’(x) - g’(x). Aturan hasil kali Andaikan f dan g fungsi-fungsi yang dapat terdiferensialkan, maka (f . g)’(x) = f’(x) . g’(x)+ g’(x). f’(x) Aturan hasil bagi Andaikan f dan g fungsi fungsi yang dapat didiferensialkan dengan g(x) ≠ 0 𝑓 f’(x) .g’(x) + g’(x) .f’(x) Maka, (𝑔) (𝑥) = 𝑔2(𝑥)

Andaikan g suatu fungsi yang dapat diiferensialkan dan r suatu bilangan rasional yang bukan -1 , maka

0≤𝑥≤1

= 1,2, … n, kemudian buat persegi panjang dengan ukuran alas = ∆xi = xi –xi-1 dan tinggi f (ci) = ci∈ [xi-1 , xi]. Luas persegi panjang ke-I pada gambar berikut adalah ∆𝐿i= f(ci) . ∆xi sehingga luas daerahA yang dihampiri oleh n sebuah persegi panjang adalah : Luas A ≈ ∑𝑛𝑖−1 𝑓(𝑐i). ∆xi

2.6 Integral tak tentu dan integral tentu 2.6.1 Integral tak tentu Anti penurunan adalah juga mengintegralkan. Dalam lambang ∫ f(x) dx, ∫ disebut tanda integral dan f(x) disebut integran. Jadi, dengan mengintegralkan integral akan didapatkan integral tak tentu . Beberapa aturan yang sering dipakai dalam penyelesaian masalah anti turunan adalah sebagai berikut : a. Aturan pangkat Jika r adalah sembarang bilangan rasional keciali -1,maka x r−1 ∫ 𝑥 r dx = 𝑟+ 1 + C b. c. d. e.

[g(x)]

[g(x)rg’(x) dx = 𝑟+ 1 r+1+ C Dengan menganggap u = g’(x) dx sehingga aturan diatas menjadi, u ∫ urdu = 𝑟+ 1r+1 + C 2.6.2 Integral tentu Newton dan Leibniz keduanya memperkenalkan versi yag dini dari konsep ini. Tetapi Reimann yang memberi definisi modern. Sekarang, anggap sebuah fungsi f didefinisikan pada selang tutup [a, b] yang boleh bernilai positif ataupun negative pada selang tersebut dan bahkan tidak perlu kontinu. Anggap suatu partisi P dari selang tertutup [a, b] menjadi n selang bagian memakai titik a=x0< x1 < x2 < x3< … < Xn-1< Xn = b. panjang selangnya ∆xi = xi – xi-1 panjang partisi P ditulis |P| didefiniikan sebagai |P| = max ∆xi. pilih ci∈ [xi-1 , xi], I ∫

Gambar 2.9 Jumlah Riemann ditafsirkan jumlah aljabar dari luas lebih lanjut ∑𝑏𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 disebut integral tentu (atau integral Riemann ) f dari a ke b, Sehingga 𝑏 ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim ∑𝑛𝑖=1 𝑓(𝑐i) ∆xi pada

|𝑃|→0 𝑏 penulisan ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥; 𝑓(𝑥), 𝑎, 𝑏 berturut-

turut dinamakan integran , limit bawah dan limit atas dari integral tertentu. Sifat-sifat dari integral tentu adalah sebagai berikut : 1. Sifat penambahan selang . Jika f fungsi kontinu dalam sebuah selang tutup yang mengandung tiga 𝑐 titik a, b dan c maka :∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =

∫ k.f(x) dx = k. ∫ f(x) dx ∫ [f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx ∫ [f(x) - g(x)] dx = ∫ f(x) dx - ∫ g(x) dx Aturan pangkat yang diperumum.

𝑏

𝑐

∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫𝑏 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 28

Sudi Suryadi


2. Sifat pembandingan 3. Jika f dan g diintegralkan pada [a, b] dan jika f(x) ≤ g(x) untuk semua x dalam [a, b], maka: 𝑐 M (b-a) ≤ ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≤ 𝑀(𝑏 − 𝑎) 4. Pendiferensial suatu integral tentu. Andaikan f kontinu pada selang tertutup [a, b] dan andaikan x sebuah titik (variable) dalam [a, b],maka: 𝑏 Dx[∫𝑎 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = f(x) 5. Teorema nilai rata-rata untuk integral . Jika f kontinu pada [a, b], maka terdapat suatu bilangan c antara a dan b sedemikian sehingga 𝑏 :∫𝑎 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑓(𝑐)(𝑏 − 𝑎) 6. Teorema simetri Jika fungsi genap,maka 𝑎 𝑏 :∫−𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫0 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 Jika fungsi ganjil, maka: 𝑎 ∫−𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0 7. Jika f periode dengan periode p , 𝑏+𝑝 𝑏 maka : ∫𝑎+𝑝 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

metode cakram. Cara kerja dari metode ini adalah sebagai berikut : 1. Misalkan diketahui suatu fungsi y=f(x) yang diputar terhadap sumbu x.

Gambar 2.10 Perputaran aebuah parabola terhadap sumbu x. 2. Diambil Sepotong (sebagian) dari benda putar tersebut. Misalkan diambil potongan pada nilai x sehingga nilai fungsinya adalah y.

2.6.3 Volume Benda Putar Integral tentu dapat digunakan untuk menghitung luas.ini tidak mengherankan karena integral diciptakan untuk keperluan itu .akan tetapi, integral juga banyak digunakan untuk persoalan lainnya. Hamper tiap besaran yang dapat dianggap sebagai hasil pemotongan sesuatu menjadi bagian-bagian yang lebih kecil. Aproksimasi tiap bagian ,penjumlahan dan pengambilan limit apabila tiap bagian mengecil, dapat diartikan sebagai suatu integral. Apabila sebuah daerah rata, yang terletak seluruhnya pada satu bidang yang terbagi oleh sebuah garis lurus tetap, diputar melalui garis tersebut. daerah tersebut akan membuat sebuah benda putar, garis yang tetap tersebut dinamakan sumbu putar. Misalkan beberapa cara yang digunakan untuk mencari volume benda putar ini . salah satu caranya adalah dengan menggunakan

Gambar 2.11 Potongan benda putar 3. Karena potongan tersebut berbentuk silinder (taabung) maka untuk mencari volume dari potongan tersebut dapat digunakan rumus volume silinder. Sesuai gambar diatas, maka jari-jari silinder aaadalah sama dengan y dan tinggi dari silinder adalah sama dengan selisih dari nilai pada sumbu x yaitu nilai b dikurangi nilai a,sehingga volumenya dapat dirumuskan sebagai berikut : 29

Sudi Suryadi


∆𝑉 = 𝜋𝑟 2t = 𝜋𝑦2∆x = 𝜋y2(x2-x1) 4. Sehingga rumus untuk mencari volume benda putar adalah : 𝑏 𝑉 = ∫𝑎 𝜋y2 dx Dengan melakukan sedikit modifikasipada rumus diatas, maka rumus untuk mencari volume pada benda putar untuk sebuah fungsi kurva dengan menggunakan integral tertentu yaitu : a. Perputaran terhadap sumbu x(y=f(x))

Gambar 2.14 (a) perputaran dua fungsi parabola terhadap sumbu x

Gambar 2.12 perputaran sebuah fungsi terhadap sumbu x 𝑏 𝑉 = 𝜋 ∫𝑎 y2 dx b. Perputaran terhadap sumbu y(x=f(y))

Gambar 2.14 (ab) Potongan benda putar untuk gambar 2.14(a) diatas Untuk mencari potongan benda diatas, dapat digunakan rumus perhitungan volume silinder kecil. ∆V1= 𝜋𝑟2t = 𝜋y12∆𝑥 ∆V2= 𝜋𝑟2t = 𝜋y22∆𝑥 ∆V=∆V2-∆V1= 𝜋y22− 𝜋y12∆𝑥 = 𝜋(y22- y12) ∆𝑥 𝑏 𝑉 = ∫𝑎 𝜋(y22- y12) dx atau V = |V2 – V1| Dengan melakukan sedikit perubahan pada rumus diatas, maka rumus untuk mencari volume benda putar untuk dua fungsi menggunakan integral yaitu, a. Perputaran terhadap sumbu x

Gambar 2.13 perputaran sebuah fungsi terhadap sumbu y 𝑏 𝑉 = 𝜋 ∫𝑎 x2 dy Ada kalanya apabila sebuah benda putar dipotong tegak lurus pada sumbu putarnya, maka akan diperoleh sebuah cakram yang ada lubangnya ditengahnya. Daerah demikian disebut cincin,sehingga metoda untuk mencari volume benda putar tersebut disebut motoda cincin.

30

Sudi Suryadi


Gambar 2.15 Perputaran dua buah fungsi terhadap sumbu x 𝑏 𝑉 = 𝜋 ∫𝑎 𝜋(y22- y12) dx atau V = |V2 – V1| b. Perputaran terhadap sumbu y

4. Perhitungan volume benda putar yang dihasilkan Dalam tahapan ini, fungsi yang di-input akan dimasukkan kedalam fungsi integral dengan batasan yang telah di-input sebelumnya. Agar lebih jelas mengenai proses kerja tersebut, perhatikan contoh berikut ini. Misalkan diketahui sebuah fungsi : Y =X2 + 2X + 1 dengan batasan mulai dari -5 sampai 5 maka grafik fungsi akan diputar terhadap sumbu x dan menghasilkan putaran berikut ini:

Gambar 2.16 perputaran dua buah fungsi terhadap sumbu y 𝑏 𝑉 = 𝜋 ∫𝑎 𝜋(x22- x12) dys atau V = |V2 – V1| II. PEMBAHASAN DAN PERANCANGAN 3.1 Pembahasan Perangkat lunak penerapan fungsi ntegral tentu menghitung volume benda putar yang memiliki proses kerja sebagai berikut : 1. Inputfungsi Fungsi yang di-input maksimal dua buah dan berupa fungsi persamaan kuadrat dengan satu variable. Dalam tahapan ini juga harus ditentukan jenis perputaran kurva yaitu terhadap sumbu x dan sumbu y. 2. Input batas perputaran kurva Dalam tahapan ini ditentukan batas-batas kurva yang akan dilakukan perputaran. 3. Penggambaran grafik fungsi Fungsi yang di-inputakan digambarkan dalam diagram cartesius. Koordinat cartesius digambarkan dengan menggunakan skala. Sumbu x dan y digambarkan dengan menggunakan skala tersendiri. Skala tersebut diatur sesuai dengan fungsi yang digambarkan. Tujuan dari pembuatan skala ini adalah untuk memperbesar grafik fungsi yang akan digambarkan

Gambar 3.1 Benda putar hasil perputaran grafik fungsi Y=X2 + 2X + 1 Volume benda putar yang dihasilkan adalah : = ∏ ∫ (Y12)2 dx = ∏ ∫ (x2 + 2 x+1)2dx = ∏ ∫ (x2 + 2 x+1)(x2 + 2 x+1)2dx = ∏ ∫ (x4 + 2x3 + x 2 + 2x 3 +4x2 +2x + x2+ 2 x+1)2dx Volume benda putar yang dihasilkan adalah : Volume benda putar I = ∏ ∫ (Y12)2 dx =∏ ∫ (x2 + 2 x+1)2dx =∏ ∫ ( x 2 + 2 x+1) ( x 2 + 2 x+1)dx =∏ ∫ (x4 + 2x3 + x 2 + 2x 3 +4x2 +2x + x2+ 2 x+1)2dx =∏ ∫ (x4 + 4x3 + 6x 2 + 4x + 1)2dx =∏ ∫ (0,2x2 + x4 + 2x3 +2x2+ x) untuk X1 = 5 sampai dengan X2 =5 =∏ ∫ |(1555) − (−205)| = 1760 ∏ satuan volume Volume benda putar II = ∏ ∫ (Y22)2 dx =∏ ∫ (2x2 + x+1)2dx =∏ ∫ (2x2 + x+1) (x2 + x+1)dx 31

Sudi Suryadi


=∏ ∫ (4x4 + 2x3 +2x 2 + 2x 3 +x2 +x + 2x2+ x+1)dx =∏ ∫ (4x4 + 4x3 + 5x 2 + 2x+1)dx =∏ ∫ (0,8x5 + x4 + 1,67x3 + x2+ x) untuk X1= -5 sampai dengan X2=5 =∏ |(363.3) − (2063.33)| = 5426.66 ∏ satuan volume Volume benda putar = |volume benda putar II – volume benda putar I| =|5426.67 ∏ - 1760∏ | = 3666.67 ∏ satuan volum Contoh perputaran grafik fungsi terhadap sumbu y dapat dilihat pada contoh berikut ini : Misalkan diketahui sebuah fungsi : X =Y2 + 3Y +2dengan batasan mulai dari -2 sampai 5, maka grafik fungsi akan diputar terhadap sumbu y dan menghasilkan benda putar berikut ini :

Contoh lainnya : Misalkan diketahui dua buah fungsi : X = Y2 + 3Y +2 dan X + 2Y + 1dengan batasan mulai dari -2 sampai 5,maka grafik fungsi akan diputar terhadap sumbu Y dengan menghasilkan benda putar berikut ini:

Gambar 3.4 benda putar hasil perputaran grafik fungsi X=Y2 +3Y +2 dan X = 2Y+1 Volume benda putar yang dihasilkan adalah : Volume benda putar I = ∏ ∫ (X12)2 dy =∏ ∫ (Y2 + 3Y+2 )2dy =∏ ∫ (Y2 + 3Y + 2) (Y2 + 3Y + 2)dy =∏ ∫ (Y4+ 3Y3 +2Y 2 + 3Y 3 + 9Y2 + 6Y + 2Y2+ 6Y + 4)dy =∏ ∫ (Y4 + 6Y3 + 13Y 2 + 12Y+4)dy =∏ ∫ [0,2y5 + 1.5y4 + 4.33y3 + 6y2+ 4y] untuk Y1= -2 sampai dengan Y2=5 =∏ |(221.67) − (−4.67)| = 226.32 ∏ satuan volume Volume benda putar = |Volume benda putar II – Volume benda putar I| =|226.33 ∏ −2275.23 ∏ =2048.9 ∏ satuan volume 3.2 Perancangan Perangkat lunak penerapan fungsi integral tentu untuk menghitung volume benda putar ini dirancang dengan menggunakan Microsoft xisual basic 6.0. perancangan perangkat lunak ini dapat dibagi menjadi dua abagian yaitu perancangan menu dan perancangan form. 3.2.1 Perancangan menu

Gambar 3.3 Benda putar hasil perputaran grafik fungsi X = Y2+3Y+2 Volume benda putar yang dihasilkan adalah : Volume benda putar I = ∏ ∫ (X12)2 dy =∏ ∫ (Y2 + 3 x+2)2dy =∏ ∫ ( Y2 + 3x+2) ( Y2 + 3Y+ 2)dy =∏ ∫ (Y4 + 3Y3 + 2Y 2 + 3Y 3 + 9Y2 +6Y + 2Y2+ 6Y+4) 2dy =∏ ∫ (Y4 + 6Y3 + 13Y 2 + 12Y +4 )2dx =∏ ∫ (0,2Y2 + 1.5Y4 + 4.33Y3 +6Y2+ 4Y) untuk Y1 = -2 sampai dengan Y2 =5 =∏ ∫ |(274.17) − (−1.07)| = 2275.24 ∏ satuan volume 32

Sudi Suryadi


menu yang diranang dari perangkat lunak ini adalah sebagai berikut :

4. Label,untuk menampilkan keterangan program stui dan nama kampus. 5. Timer,sebagai control yang digunakan untuk masuk ke form selanjutnya. 3.2.2.2 Form menu Form menu merupakan form utama dari program. Form ini merupakan media interface user untuk memilih menu-menu yang tersedia pada program. Rancangan form menu diperlihatkan pada gambar berikut:

3.2.2 Perancangan form Form-form yang terdapat dalam perangkat lunak ini,yaitu: 1. From splash screen 2. Form menu 3. Form input fungsi 4. Form penggambaran grafik fungsi 5. Form perhitungan volume 6. Form pengaturan grafik 7. From about

Gambar 3.6 Rancangan form menu Keterangan : 1. Commondialo,untuk membuka kotak dialog save / open 2. Menu bar,merupakan menu utama yang dirancang untuk setiap program aplikasi. Pada menu bar ini terdapatt beberapa menu antara lain: a. File dengan sub-sub menu : i. Buka,untuk membuka file yang telah disimpan dan memasukkan isi file ke dalam textbox. ii. Simpan,untuk menyimpan isi textbox kedalam sebuah file data iii. Keluar, untuk menutup form menu dan keluar dari program . b. Persaan Grafik Fungsi,dengan subsub menu : i. Input fungsi, untuk menampilkan form input fungsi ii. Grafik fungsi, hasil perhitungan volume,untuk menampilkan form penggambaran grafik fungsi

3.2.2.1 Form splash screen Form splash screen merupakan from yang pertama kali muncul pertama kali pada saat program dijalankan. Rancangan form splash screen diperlihatkan pada gambar berikut :

Gambar 3.5 Rancangan From splash screen Keterangan : 1. Label,untuk menampilkan judul topic tugas akhir . 2. Label,untuk menampilkan keterangan nama dan nim perancang perangkat lunak. 3. Image,untuk menampilkan gambar icon dari perangkat lunak .

33

Sudi Suryadi


iii.

Hasil perhitungan volume. Untuk menampilkan form perhitungan volume iv. Export grafik dan hasil perhitungan Ms.word,untuk mengekspor grafik dan hasil perhitungan ke Microsoft word . c. Pengaturan, untuk menampilkan form pengaturan Grafik. d. Tentang, untuk menampilkan from about. 3.2.2.3 From input fungsi From Input fungsi merupakan form pertama setelah form menu yang harus diinput untuk mendapatkan nilai fungsi. Rancangan form input fungsi diperlihatkan pada gambar berikut :

b. textbox, sebagai tempat penginputan nilai konstanta yang diinginkan. c. RichTextBox, sebagai tempat keterangan dari persamaan kuadrat setelah konstanta dimasukkan. 3. ComandButton ‘OK’, untuk menyimpan data hasil input ke dalam memori dan kembali ke form menu. 4. CommandButton ‘Batal’ untuk membatalkan input data. 5. CommandButton ‘Keluar’ untuk menutup form input fungsi dan kembali ke form menu. 3.2.2.4 Form penggambaran grafik fungsi Form penggambaran grafik fungsi digunakan untuk menampilkan gambar dari fungsi yang telah diinput pada from input fungsi. Rancangan form penggambaran grafik fungsi diperlihatkan pada gambar berikut :

Gambar 3.8 Rancangan Form Penggambaran grafik fungsi. Keterangan : 1. PictureBox, untuk daerah penggambaran grafik fungsi. 2. RichTextBox, untuk daerah tampilan besar volume benda putar. 3. Shape, sebagai keterangan dari proses penggambaran dan legenda dari gambar grafik fungsi 4. progressBar, untuk menampilkan lamanya proses kerja penggambaran grafik fungsi. 5. Timer, mengatur pergerakan dari progress bar 6. CommandButton ‘Gambar’, untuk menggambar ulang grafik fungsi. 7. commandButton ‘Stop’, untuk menghentikan proses penggambaran\

Gambar 3.7 Rancangan form input fungsi . Keterangan : 1. OptionButton, untuk memilih jenis perputaran yang diinginkan. 2. Frame, merupakan daerah penginputan data untuk fungsi kurva dengan perputaran terhadap sumbu yang diinginkan. Didalam frame terdapat beberapa toolbox yang digunakan,seperti: a. CheckBox, untuk memilih banyaknya fungsi yang akan dilakukan.

34

Sudi Suryadi


8. CommandButton ‘keluar’,untuk menutup form penggambaran grafik fungsi dan kembali ke form menu 3.2.2.5 Form perhitungan volume Form perhitungan volume digunakan untuk menampilkan hasil perhitungan dari fungsi yang telah diinput pada form input fungsi. Rancangan form perhitungan volume diperlihatkan pada gambar berikut :

Gambar 3.10 Rancangan form pengaturan grafik. 1. PictureBox, untuk pengaturan warna grafik 2. CommandButton’Default’ , untuk mengatur warna kembali seperti semula / warna standart yang telah ditentukan. 3. CommandButton’Simpan’, untuk menyimpan perubahan warna grafik 4. CommandButton’Keluar’, untuk menutup form pengaturan grafik dan kembali ke form menu.

Gambar 3.9 Rancangan Form Perhitungan Volume Keterangan : 1. RichTextBox, untuk daerah tampilan hasil perhitungan. 2. CommandButton ‘Hitung’ untuk menghitung ulang volume benda putar. 3. CommandButton’Keluar’, untuk menutup form perhitungan volumedan kembali ke form menu.

3.2.2.7 Form about Form about digunakan untuk meenampilkan tentang nama perancang dan judul dari perancangan. Rancangan about diperlihatkan pada gambar berikut :

3.2.2.6

Form pengaturan grafik Form pengaturan grafik digunakan untuk mengatur tampilan warna grafik. Rancangan formpengaturan grafik dapat diperlihatkan pada gambar berikut:

Gambar 3.11 Rancangan Form about Keterangan : 1. Label,untuk menampilkan judul topic tugas akhir . 2. Label,untuk menampilkan keterangan nama dan nim perancang perangkat lunak. 35

Sudi Suryadi


3. Image,untuk menampilkan gambar icon dari perangkat lunak . 4. Label,untuk menampilkan keterangan program stui dan nama kampus. 5. Commandbutton‘OK’ untuk menutup form about dan kembali ke form menu 6. CommandButton ‘Teori’, untuk menampilkan teori yang berhubungan dengan integral tentu. IV.ALGORITMA DAN IMPLEMENTASI 4.1 Algoritma Algoritma perancangan peangkat lunak penerapan fungsi integral tentu untuk menghitung isi benda putar yang dibentuk dari perputarankurva menjadi dua bagian yaitu : 1. Algoritma penggambaran grafik,dibagi menjadi tiga bagian, yaitu : a. Algoritma perhitungan skala untuk sumbu X dan Y. b. Algoritma penggambaran grafik fungsi c. Algoritma pengarsiran batas daerah perputaran kurva 2. Algoritma perhitungan besar isi benda putar dengan fungsi integral tentu

suatu daerah grafik,penulis merancang algoritma perhitungan skala untuk sumbu X dan Y . algoritma perhitungan skala menghitung besar skala untuk sumbu x dan y sedemikian rupa hingga persamaan kurva yang di input dapat digambarkan dengan baik pada daerah grafik yang telah ditentukan. Algoritma perhitungan skala untuk sumbu x dan y adalah sebagai berikut : 1. Menghitung titik puncak parabola dengan rumus (-b / 2a). Jika P1.A <> 0 Maka (X=-B/2a) Temp1 = Round (-P1.B / (2 * P1.A), 2) Jika Temp1 < Min1 maka Min1 = Temp1 Jika Temp1 < Max1 maka Max1 = Temp1 (Y = -(b^2–(4ac))/(4a))) Temp1 = -bagi ( ( ( P1. B ^ 2) – (4 * P1.A * P1.C)), Jika Temp1 < Min2 maka Min2 = Temp1 Jika Temp1 < Max2 maka Max2 = Temp1 End Jika Algoritma diatas diulang untuk fungsi yang kedua

4.1.1 Algoritma penggambaran grafik Algoritma ini digunakan untuk menghitung skala sumbu X dan sumbu Y, menggambar grafik fungsi dan memberi arsiran pada daerah perputaran sesuai dengan fungsi yang di-input. Pada intinya,algoritma menggambarkan grafik dengan cara menggambar piksel peer piksel pada posisi koordinat tentu yang akan membentuk satu grafik fungsi.

2. Menghitung nilai fungsi dengan nilai substitusi batas atas dan batas bawah. Jika B1 < Min1 maka Min1= B1 Jika B1 > Max1 maka Max1= B1

4.1.1.1 Algoritma perhitungan skala untuk sumbu X dan sumbu Y Pada penggambaran grafik,terdapat input fungsi dengan nilai variabel (a, b, c) yang bervariasi,dari nilai kecil hingga nilai besar. Input dengan nilai variabel dan batas daerah yang relative kecil hanya memerlukan daerah (space) penggambaran yang kecil, tetapi input dengan nilai variabel dan batas daerah yang relatif besar memerlukan daerah (sapce) penggambaran yang besar. Untuk dapat menggambar grafik fungsi dengan nilai variabel yang relative besar pada suatu pada

Jika B2 < Min1 maka Min1= B2 Jika B2 > Max1 maka Max1= B2 (Nilai substitusi untuk fungsi) Jika P1.aktif maka ‘Y=ax2+ bx + c ↔ B1 Templ = (P1.A * (B1 ^ 2))+(P1.B * B1)+(P1.C) Jika Templ < Min2 maka min2 = Templ Jika Templ > Max2 maka Max2 = Templ ‘Y=ax2+ bx + c ↔ B2 36

Sudi Suryadi


Templ = (P1.A * (B2 ^ 2))+(P1.B * B2)+(P1.C) Jika Templ < Min2 maka min2 = Templ Jika Templ > Max2 maka Max2 = Templ End Jika

End jika 4.1.1.2 Algoritma penggambaran grafik fungsi Algoritma Penggambaran grafik fungsi melakukan penggambaran grafik sesuai dengan fungsi yang di-input. Prosedur penggambaran dari algoritma ini adalah melakukan test point (tes titik) dengan menggunakan rumus berupa fungsi yang di kurang input untuk menghasilkan posisi penempatan piksel, nilai posisi penempatan piksel kemudian dikalkulasikan dengan skala yang telah dihasilkan sebelumnya untuk mendapatkan nilai posisi representatif pada daerah sketsa. Setelah nilai posisi representative dihasilkan, Algoritma menggambar satu piksel pada posisi tersebut pada daerah sketsa. Penggambaran piksel dilakukan beulangkali hingga didapat suatu grafik fungsi Algoritma penggambaran grafik fungsi adalah sebagai berikut, 1. Menggambar grafik fungsi I dari posisi : b1 – Abs(2 * b1) hingga b2+ Abs(2 * b2).(b1=nilai batas yang paling kecil, b2 = nilai batas yang paling besar). With P1 Jika . Aktif maka (Gambar dari nilai templ) Templ= IIf(B1<=B2,B1,B2) Templ= Templ – Abs (2 * Templ) (Cek apakah keluar dari daerah penggambaran) If strperputaran = “x”Then If Templ <- SkalaX Then Templ =-SkalaX End If Else

(Nilai substitusi untuk fungsi II) Jika P2.aktif maka ‘Y=ax2+ bx + c ↔ B1 Templ = (P2.A * (B1 ^ 2))+(P2.B * B1)+(P2.C) Jika Templ < Min2 maka min2 = Templ Jika Templ > Max2 maka Max2 = Templ ‘Y=ax2+ bx + c ↔ B1 Templ = (P2.A * (B2 ^ 2))+(P2.B * B2)+(P2.C) Jika Templ < Min2 maka min2 = Templ Jika Templ > Max2 maka Max2 = Templ 3. Mengambil nilai maksimum x dan y yang didapatkan dari fungsi dari batas bawah hingga batas atas Max1 = IIf (Abs (Max1) > Abs (Min1),Abs (Max1), Abs(Min1)) Max2 = IIf (Abs (Max2) > Abs (Min2),Abs (Max2), Abs(Min2)) 4. Kalikan nilai maksimum x dan y yang didapat sebesar 1,4+1, sehingga gambar grafik masih terdapat space (jarak) dibagian atas dan samping. Jika Strperputaran =”x”maka SkalaX = Round (Max1 * 1.4) + 1 SkalaY = Round (Max2 * 1.4) + 1 Jika tidak, maka SkalaX = Round (Max2 * 1.4) + 1 SkalaY = Round (Max1 * 1.4) + 1

If Templ <- SkalaY Then Templ =-SkalaY End If End If (Gambaran sampai nilai temp2) Temp2= IIf(B1>=B2, B1, B2) Temp2= temp2 + Abs (2* temp2)

37

Sudi Suryadi

(Cek apakah keluar penggambaran) If strperputaran = “x”temp If Temp2 > SkalaX Then Temp2 = SkalaX End If Else


dari

Jika (Round(x, 2 <> Round(Temp1, 2))

daerah Maka

PictGrafik.Line (X1, y)- (X2, Y2),_ (Delay Sebentar) Jika bDoEvents Maka DoEvents End Jika (Nilai Piksel sebelumnya) X2 = X1 Y2 = y Wend End jika End With

If Temp2 > SkalaY Then Temp2 = SkalaY End If Else (Selisih penggambaran antar piksel) nInc = Round (Abs(temp2- temp1)/ 3000 , 5) x = temp1-nInc (Set Progress bar value = 0) Bar . value = 0 Bar. Max = bagi((temp2-x),nInc)+1 (Mulai looping untuk penggambaran dari batas temp1 ke temp2) while x
2. Menggambar Fungsi II . Algoritma ini sama dengan algoritma di atas. 4.1.1.3 Algoritma Penggambaran batas daerah perputaran kurva Algoritma penggambaran batas daerah kurva menggambarkan peta grafik dari fungsi yang di-input dan memberikan arsiran pada daerah yang dibatasi oleh fungsi yang akan dicari besar volume putarnya. Peta dari grafik yang terletak pada bidang putar yang bersebrangan dengan bidang grafik sebenarnya adalah persamaan yang di-input dikali -1 (Misalkan : persamaan garis y = ( 2x + 1) Memiliki peta grafik persamaan garisy +-1 * (2x +1) atau y = -2x – 1) Algoritma penggambaran batas daerah perputaran kurva adalah sebagai berikut : 1. Menggambar peta grafik dari fungsi I dari ats bawah hingga ata, Daerah arsiran fungsi I dan gambar elips utnuk grafik benda putar (Counter untuk penggambaran garis arsiran setiap 15 piksel) Temp3 = 0 With P1 Jika .Aktif Maka (Nilai batas yang kecil) Temp1 = IIf (B1 <+ B2, B1, B2) (Nilai batas yang besar) Temp2 = IIf(B1 >= B2, B1, B2) 38

Sudi Suryadi


X2 = X1 Y2 = y

(Selisih penggambaran antar piksel) nInc = Round(Abs(Temp2) / 300, 5) x = Temp1 – nInc

Wend (Gambar ellips untuk perputaran fungsi I) Jika strperputaran = “X” Maka (Gambar ellips utnuk batas-1) Temp1 = MidX + (B1 * bagi (MidX , skalaX)) Temp2 = ( ( .A * (B1 ^ 2 ) ) + (.B * B1) + .C) Temp2 = Round(Temp2 * Bagi(MidY, SkalaY), 2) PictGrafik.Circle (Temp1, MidY), Abs(Temp2), _

(Mulai looping penggambaran penggambaran) While x < Temp2 (Tambah x dan counter Temp3) x = x + nInc Temp3 = Temp3 + 1 (Hitung nilai substitusi terhadap persamaan garis daan nilai posisi (x1,y) sebagai representasi posisi(x,y) pada daerah penggambaran) Jika strperputaran = “X” Maka (perputaran terhadap sumbu x) X1 = MidX + (x * bagi (MidX , skalaX)) (Nilai substitusi Y) y = - ( ( .A * (x ^ 2 ) ) + (.B * x) + .C) y = MidY + ( y* Bagi (MidY, SkalaY)) (Nilai substansi X) X1 = ( ( .A * (x ^ 2 ) ) + (.B * x) + .C) X1 = MidX + ( X1 * Bagi (MidX, SkalaX)) End jika (Gambar piksel pada posisi (xl, y)) PictGrafik.Pset (X1, y), Warna.Kurva1 (Gambar garis dari posisi Piksel sekarang keposisi piksel sebelumnya) Jika (Round(x, 2 <> Round(Temp1, 2)) Maka PictGrafik.Line (X1, y)- (X2, Y2), Warna. Kurva1 (Gambar arsiran apabila fungsi -2 tidak ada) Jika P2 aktif = False And Temp3 Mod 15 = 0 Maka Jika str perputaran = “X” Maka PictGrafik.Line (X1, y)- (X2, Y2) MidY - _ (y – MidY)), Warna. Kurva1 Jika tidak, maka PicrGrafik. Line (X1, y) – (MidX - _ (X1 – MidX )), y) , Warna kurava1 End Jika End Jika End Jika (Nilai Sebelumnya)

Warna.Kurva1,0, 0, 10 (Gambar elips untuk batas -2) Temp1 = MidX + (B2 * bagi (MidX , skalaX)) Temp2 = ( ( .A * (B2 ^ 2 ) ) + (.B * B2) + .C) Temp2 = Round(Temp2 * Bagi(MidY, SkalaY), 2) PictGrafik.Circle (Temp1, MidY), Abs(Temp2), _ Warna.Kurva1,0, 0, 10 Jika tidak, maka (Gambar ellips untuk batas-1) Temp1 = MidY + (-B1 * bagi (MidX , skalaX)) Temp2 = ( ( .A * (B1 ^ 2 ) ) + (.B * B1) + .C) Temp2 = Round(Temp2 * Bagi(MidY, SkalaY), 2) PictGrafik.Circle (MidX, Temp1), Abs(Temp2), _ Warna.Kurva1, 0, 0, 0.1 (Gambar ellips untuk batas-1I) Temp1 = MidY + (-B1 * bagi (MidY, skalaY)) Temp2 = ( ( .A * (B2 ^ 2 ) ) + (.B * B2) + .C) Temp2 = Round(Temp2 * Bagi(MidY, SkalaY), 2) PictGrafik.Circle (MidX, Temp1), Abs(Temp2), _ Warna.Kurva1, 0, 0, 0.1 End Jika 39

Sudi Suryadi


End Jika End With 2. Menggambar fungsi II dan gambbar elips untuk grafik benda putar. Algoritma ini sama dengan algoritma di atas.

mempunyai spesifikasi minimal adalah sebagai berikut: 1. Processor Intel Pentium I 300 Mhz. 2. Memori 64 MB. 3. Hardisk dengan free space minimal 300 MB 4. VGA card 1 MB dan minitor dengan resolusi 1024 x 768 Piksel Aplikasi ini adalah lingkungan system operasi windows Me, 2000, XP Home dan XP Visual Basic 6.0 dengan didukung oleh windows API. 4.2.2 Pengujian Program Sebagai contoh, penulis meng-input data sebagai berikut. Contoh – 1 (fungsi berputar terhadap sumbu x : a. Fungsi I : Y1 = X2 + 1 b. Fungsi II : Y2 = X + 3 c. Batas Bawah (X1) = -1 batas atas (X2) =2 d. Proses penggambaran grafik fungsi, adalah sebagai berikut :

4.1.2 Algoritma perhitungan besar isi benda putar dengan fungsi integral tentu Fungsi dari Algoritma ini adalah menghasilkan nilai integral dari persamaan dengan batas atas dan batas bawah yang telah diinput . penulis merancang algoritma ini dalam bentuk fungsi berikut : (Batas bawah) Hasil1 = (0.2 * (A ^ 2) * (Batas1 ^ 5)) + _ (0.5 * A * B * (Batas1 ^ 4)) + _ (( 1 / 3) * ( 2 * A * C) + (B ^ 2)) * (Batas1 ^ 3)) + _ (( B * C * (Batas1 ^ 2)) + _ (( C ^ 2) * Batas1) (Batas Atas) Hasil1 = (0.2 * (A ^ 2) * (Batas2 ^ 5)) + _ (0.5 * A * B * (Batas2 ^ 4)) + _ (( 1 / 3) * ( 2 * A * C) + (B ^ 2)) * (Batas2 ^ 3)) + _ (( B * C * (Batas2 ^ 2)) + _ (( C ^ 2) * Batas1) (Fungsi Integral) FgsIntegral = Round(Abs (Hasil2 – Hasil1), 2)

-

4.2

Implementasi system Implementasi system program ini mencakup spesifikasi kebutuhan perangkat keras (hardware) dan spesifikasi perangkat lunak(software). 4.2.1 Spesifikasi perangkat keras dan perangkat lunak Program ini dijalankan dengan menggunakan perangkat keras (hardware)yang

40

Gambar 4.1 Hasil penggambaran grafik fungsi kuadrat dengan persamaan garis Y1 = X2 + 1 dan Y2 = X + 3 dengan batas X1 = -1 dan X2 = 2 Tahapan perhitungan volume benda putar yang ditampilkan oleh program adalah sebagai berikut: INPUT Fungsi I : X2 + 1 Fungsi II :X+3 ⟹dengan batas bawah (X1) = -1 dan batas atas (X2) = 2 Volume benda putar I = ∏ ∫ (Y1)2 dx =∏ ∫ (x2+1)2dx =∏ ∫ ( x 2 +1) ( x 2 +1)dx =∏ ∫ (x4 + x 2 + x2 +1)2dx =∏ ∫ (x4 + 2x 2 + 1)2dx

Sudi Suryadi


=∏ ∫ (0,2x5 + 0,67x3+ x) untuk X1 = -1 sampai dengan X2 =2 =∏ ∫ |(13.73) − (−1.87)| = 15.6∏ satuan volume Volume benda putar II = ∏ ∫ (Y2)2 dx =∏ ∫ (x + 3)2dx =∏ ∫ ( x + 3) (x+ 3)dx =∏ ∫ (x 2 + 3x+3x+9)dx =∏ ∫ (x 2 + 6x+9)dx =∏ ∫ (0,33x3 + x2+ 9x) untuk X1= -1 sampai dengan X2=2 =∏ |(32.67) − (−6.33)| = 39∏ satuan volume Volume benda putar = |volume benda putar II – volume benda putar I| =|39 ∏ - 15.6 ∏ | = 23.4∏ satuan volum Contoh – 2(fungsi berputar terhadap sumbu x): a. Fungsi I : Y1 = X2 +2X + 1 b. Fungsi II : Y2 = 3X +2X + 3 c. Batas Bawah (X1) = -5 batas atas (X2) = 7 d. Proses penggambaran grafik fungsi, adalah sebagai berikut :

⟹dengan batas bawah (X1) = -5 dan batas atas (X2) = 7 Volume benda putar I = ∏ ∫ (Y1)2 dx =∏ ∫ (x2+ 2X + 1)2dx =∏ ∫ ( x 2 + 2X + 3) ( x 2 + 2X +3) dx =∏ ∫ (x4 + 2x 3+ 3x2 +2x3+ 4x2 + 6x+ 3x2 +6x +9)2dx =∏ ∫ (x4 + 2x3 +10x2 +12x + 9)2dx =∏ ∫ (0,2x5 + 4x3 +3,33x3+ 6x2+ 9x) untuk X1 = -1 sampai dengan X2 =2 =∏ ∫ |(7262.7) − (−311.67)| = 7574.4∏ satuan volume Volume benda putar II = ∏ ∫ (Y1)2 dx =∏ ∫ (3x2+ 2X + 4)2dx =∏ ∫ ( 3x 2 + 2X + 4) ( 3x 2 + 2X +4) dx =∏ ∫ (9x4 + 6x 3+ 12x2 +6x3+ 4x2 + 8x+ 12x2 +8x + 16)2dx =∏ ∫ (9x4 + 12x3 + 28x2 +16x + 16)2dx =∏ ∫ (1,8x5 + 3x4 + 9,33x3+ 8x2+ 16x) untuk X1 = -5 sampai dengan X2 =7 =∏ ∫ |(41160.93) − (−4796.67)| = 45957.6 ∏ satuan volume Volume benda putar = |volume benda putar II – volume benda putar I| =|45957.6 ∏ - 7574.4 ∏ | = 3838.2 ∏ satuan volum Contoh – 3 (Fungsi berputar terhadap sumbu y ) : a. Fungsi I : X1 = 2Y2 +Y + 3 b. Fungsi II : Y2 = Y2 +Y + 3 c. Batas Bawah (Y1) = -3 batas atas (X2) = 3. d. Proses penggambaran grafik fungsi, adalah sebagai berikut :

Gambar 4.2 Hasil penggambaran grafik fungsi kuadrat dengan persamaan garis Y1 = X2 + 2X + 3 dan Y2 = 3X + 2X + 3 dengan batas X1 = -5 dan X2 = 7 Tahapan perhitungan volume benda putar yang ditampilkan oleh program adalah sebagai berikut: FUNGSI : - Fungsi I : X2 + 2X + 3 - Fungsi II : 3X2 + 2X + 4 41

Sudi Suryadi


=∏ ∫ (0,2Y5 + 0.5Y4 + 2.33Y3+ 3Y2+ 9Y) untuk Y1 = -3 sampai dengan Y2 =3 =∏ ∫ |206.1 − (−71.1)| = 277.2∏ satuan volume Volume benda putar = |volume benda putar II – volume benda putar I| =|277.2∏ - 676.8∏ | = 399.6∏ satuan volum Contoh – 4 (Fungsi berputar terhadap sumbu y ) : e. Fungsi I : X1 = 2Y+ 1 f. Fungsi II : Y2 = 5Y + 8 g. Batas Bawah (Y1) = 1 batas atas (Y2) = 5. h. Proses penggambaran grafik fungsi, adalah sebagai berikut :

Gambar 4.3 Hasil penggambaran grafik fungsi kuadrat dengan persamaan garis X1 = 2Y2+ Y + 3 dan X2 = Y2 +Y + 3 dengan batas Y1 = -3 dan X2 = 3 Tahapan perhitungan volume benda putar yang ditampilkan oleh program adalah ssebagai berikut : FUNGSI : - Fungsi I : 2Y2 + Y + 3 - Fungsi II : Y2 + Y + 3 ⟹dengan batas bawah (X1) = -5 dan batas atas (X2) = 7 Volume benda putar I = ∏ ∫ (X1)2 dy =∏ ∫ (2Y2+ Y + 3)2dy =∏ ∫ (2Y2+ Y + 3)(2Y2+ Y + 3)dy =∏ ∫ (4Y4 + 2Y 3+ 6Y2 +2Y3+ Y2 + 3Y+ 6Y2 +3Y + 9)dy =∏ ∫ (4Y4 + 4Y3 +13Y2 + 6Y + 9)2dy =∏ ∫ (0,8Y5 + Y4 + 4,33Y3+ 3Y2+ 9Y) untuk Y1 = -3 sampai dengan Y2 =3 =∏ ∫ |(446.4) − (−230.4)| = 676.8∏ satuan volume Volume benda putar II = ∏ ∫ (X1)2 dy =∏ ∫ (Y2+ Y + 3)2dy =∏ ∫ (Y2+ Y + 3)(Y2+ Y + 3)dy =∏ ∫ (Y4 + Y 3+ 3Y2 +Y3+ Y2 + 3Y+ 3Y2 +3Y + 9)dy =∏ ∫ (Y4 + 2Y3 +7Y2 + 6Y + 9)2dy

Gambar 4.4 Hasil penggambaran grafik fungsi kuadrat dengan persamaan garis X1 = 2Y+ 1 dan X2 = 5Y + 8 dengan batas Y1 = 1 dan Y2 = 5 Tahapan perhitungan volume benda putar yang ditampilkan oleh program adalah ssebagai berikut : FUNGSI : - Fungsi I : 2Y+ 1 - Fungsi II : 5Y+ 8 ⟹dengan batas bawah (Y1) = 1 dan batas atas (Y2) = 5 Volume benda putar I = ∏ ∫ (X1)2 dy =∏ ∫ (2Y+ 1)2dy =∏ ∫ (2Y+ 1)(2Y+ 1)dy =∏ ∫ (4Y2 + 2Y + 1)dy =∏ ∫ (4Y2+ 4Y+ 1)2dy =∏ ∫ (1.33Y3 + 2Y2+Y) untuk Y1 = 1 sampai dengan Y2

42

Sudi Suryadi


= 5=∏ ∫ |(221.67) − (4.33)| = 217.34∏ satuan volume Volume benda putar II = ∏ ∫ (X2)2 dy =∏ ∫ (5Y+ 8)2dy =∏ ∫ (5Y+ 8) (5Y+ 8) dy =∏ ∫ (25Y2 + 40Y + 40Y + 64)dy =∏ ∫ (25Y2+ 80Y+ 64)2dy =∏ ∫ (8.33Y3 + 4Y2 +64Y) untuk Y1 = 1 sampai dengan Y2 = 5 =∏ ∫ |(2361.67) − (ℎ𝑢112.33)| = 2249.34∏ satuan volume Volume benda putar = |volume benda putar II – volume benda putar I| =|2249.33∏ - 217.33∏ | = 2032∏ satuan volum

5.2 saran Adapun saran yang diberikan penulis yaitu : 1. Perangkat lunak dapat dikembangkan untuk fungsi kurva berorde lebih besar dari dua dan fungsi integral lain yang lebih kompleks. 2. Perancangan dapat menggunakan perangkat lunak yang menyediakan fitur animasi seperti macromedia flash agar tampilan grafik dan animasinya lebih bagus dan menarik DAFTAR PUSTAKA Ario Suryokusumo, Microsoft Visual Basic 6.0, PT Elekmedia Komputindo, 2001 Djoko Promono, Mudah Menguasai Visual Basic 6.0, PT.Elekmedia Komputindo, 2002 Edwin J. Purcell, Dale Varberg, Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid 1, Edisi Keima, PT. gelora Aksara Pratama, 1987 James Stewart, Kalkulus, jilid 1, edisi Keempat, PT. gelora aksara Pratama, 1998 Hadi, Rahadian, Pemrograman Microsoft Visual Basic, PT. Elekmedia Komputindo, Jakarta, 2001 Ismail Basari, Matematika Universitas, Armico, Bandung 1980 Koko Martono, Kalkulus, PT. Gelora Aksara Pratama, 1999 Murray R. Sipegel, Kasir Iskandar, seri Buku Schau, PT. Gelora Aksara Pratama, 1984 Rinaldi MUnir, Buku Teks lmu KOmputer, Matematika Diskrit, Penerbit Informatika Bandung, 2001 Seymour Lipscutz, Marc Lars Lipson, Matematika Diskrit, Tim Editor Salemba Teknika, Jilid 1.

V. KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan Dari pembahasan-pembahasan sebelumnya dan percobaan-percobaan yangtelah dilakukan, maka dapat diambil beberapa kesimpulan yaitu: 1. Program dapat digunakan untuk mempermudah penggambaran grafik secara manual. 2. Program dapat digunakan sebagai media alternatif untuk membantu mengerjakan penerapan fungsi integral tetu untuk menghitung isi benda putar. 3. Semakin besar nilai variabel, batas atas dan batas bawah yang dimasukkan, perhitungan skala gambar da nisi benda putar akan semakin besar.

43

PERANCANGAN PERANGKAT LUNAK PENERAPAN INTEGRAL DALAM MENGHITUNG ISI PERPUTARAN KURVA. Oleh :

Recommend Documents