1
V´ ypoˇ cet inverzn´ı matice
Vˇ eta 1 Necht’ PU element´ arn´ı matice vznikl´ a el. u ´pravou U . Pak je PU regul´ arn´ı. D˚ ukaz: Protoˇze element´arn´ı u ´prava U je invertovateln´ a, existuje el. u ´prava U ′ , kter´a vrac´ı zmˇeny U zpˇet, tj. PU ′ · PU = E. Je snadn´e si rozmyslet, ˇze pokud nejprve provedeme s matic´ı Eu ´pravu U ′ , pak U vrac´ı zase vˇse zpˇet, tj. PU · PU ′ = E. Uk´azky element´arn´ıch matic a jejich inverz´ı: 0 1 ··· 0 1 0 · · · 0 , P1 = . . . . . ... .. .. 0 0 ···
P−1 1 = P1 ,
1
1/α 0 · · · 0 0 1 · · · 0 = P−1 .. .. . . .. , 2 . . . . 0 0 ··· 1 1 0 ··· 0 −α 1 · · · 0 P−1 = .. .. . .. . . 2 . . . . 0 0 ··· 1
α 0 ··· 0 0 1 · · · 0 P2 = . . . .. , . . . . . . . 0 0 ··· 1 1 0 ··· 0 α 1 · · · 0 P3 = . . . .. , . . . . . . . 0 0 ··· 1
Vˇ eta 2 Pokud A ∼ E, pak A je regul´ arn´ı. D˚ ukaz: Pokud A ∼ E, pak E = C · A, kde C je souˇcin el. matic. Tvrd´ıme, ˇze C = A−1 . Mus´ıme tedy jeˇstˇe ovˇeˇrit, ˇze A · C = E. Protoˇze C je souˇcin el. matic, kter´e jsou regul´ arn´ı, C je tak´e regul´ arn´ı, protoˇze souˇcin regul´ arn´ıch matic je regul´ arn´ı. Z rovnosti E = C · A po vyn´ asoben´ı C−1 zleva dostaneme, C−1 = A. To ale znamen´a, ˇze A · C = C−1 · C = E. Pˇredchoz´ı vˇeta n´am d´av´a n´avod, jak inverzn´ı matici hledat. Pokud budeme schopni naj´ıt el. u ´pravy, kter´e pˇrevedou zadanou matici na jednotkovou, pak souˇcin odpov´ıdaj´ıc´ıch el. matic n´am d´a matici inverzn´ı. Necht’ A je matice typu (n, n) a E je jednotkov´a matice stejn´eho typu. Pokud A ∼ E, pak m˚ uˇzeme A−1 naj´ıt pomoc´ı Gaussovy eliminaˇcn´ı metody n´asledovnˇe: (A | E) ∼ (E | B), tj. upravujeme obˇe matice A, E stejn´ ymi el. u ´pravami tak, aby se A pˇrevedla na E. Matice E se tˇemito u ´pravami pˇrevede na matici B. Pak existuje souˇcin el. matic C t.ˇz. E = C · A a B = C · E. To ale znamen´a, ˇze B = C. Z d˚ ukazu pˇredchoz´ı vˇety −1 v´ıme, ˇze C = A . Pˇ r´ıklad
2 1 1 1 1 −1 6 4 1
2 1 1 A = 1 1 −1 6 4 1 1 1 −1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 ∼ 2 1 1 0 0 ∼ ··· ∼ 0 1 0 1 6 4 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
1
5 3 −2 −7 −4 3 −2 −2 1
A−1
5 3 −2 3 = −7 −4 −2 −2 1
Vˇ eta 3 Necht’ A je regul´ arn´ı matice typu (n, n). Pak A ∼ E. D˚ ukaz: Sporem: budeme pˇredpokl´ adat, ˇze A 6∼ E a A je regul´ arn´ı (tj. A−1 existuje). V´ıme, ˇze A ∼ B, kde B je horn´ı troj´ uheln´ıkov´a. Uk´aˇzeme, ˇze pokud A 6∼ E, pak B mus´ı obsahovat nulov´ y ˇr´adek. Kdyby ne, tak vzhledem k tomu, ˇze B je typu (n, n), mus´ı b´ yt na diagon´ale matice B nenulov´e prvky, protoˇze kaˇzd´ y n´asleduj´ıc´ı ˇr´adek m´ a na zaˇc´atku alespoˇ n o jednu nulu v´ıc. Pak ale m˚ uˇzeme pomoc´ı Gaussovy-Jordanovy eliminace uk´azat, ˇze A ∼ B ∼ E, coˇz je spor s naˇs´ım pˇredpokladem, ˇze A 6∼ E. Skuteˇcnˇe, situace vypad´ a takto (symbol × oznaˇcuje libovoln´e nenulov´e ˇc´ıslo a ⋄ libovoln´e ˇc´ıslo): × ⋄ ⋄ ⋄ ⋄ × ⋄ ⋄ ⋄ 0 × ⋄ ⋄ 0 0 × 0 0 0 0 0 × ⋄ ⋄ ⋄ 0 × ⋄ ⋄ 0 0 × ⋄ 0 0 0 × 0 0 0 0 0 × ⋄ ⋄ ∼ 0 0 × ⋄ 0 ∼ 0 0 × 0 0 ∼ ··· ∼ 0 0 × 0 0 0 0 0 × ⋄ 0 0 0 × 0 0 0 0 × 0 0 0 0 × 0 0 0 0 0 × 0 0 0 0 × 0 0 0 0 × 0 0 0 0 × Alespoˇ n posledn´ı ˇr´ adek matice B tedy mus´ı b´ yt nulov´ y. Pak 0 ··· 0 1 · B = 0 ··· 0 0 .
(1)
Protoˇze A ∼ B, existuje regul´ arn´ı matice C (souˇcin el. matic) t.ˇz. B = C · A. Vzhledem k tomu ˇze pˇredpokl´ ad´ ame, ˇze A je tak´e regul´ arn´ı, mus´ı b´ yt regul´ arn´ı i B, jelikoˇz souˇcin dvou −1 regul´ arn´ıch matic je zase regul´ arn´ı matice, tj. B existuje. Vyn´asob´ıme zprava rovnici (1) matic´ı B−1 a dostaneme: 0 · · · 0 1 = 0 · · · 0 0 · B−1 = 0 · · · 0 0 , coˇz je ale spor.
Vˇ eta 4 Necht’ A je matice typu (n, n). Pak A je regul´ arn´ı p.t.k. hod A = n. D˚ ukaz: Pokud A je regul´ arn´ı, pak A ∼ E, tj. hod A = hod E = n. Pokud hod A = n, pak A ∼ B, kde B je horn´ı troj´ uheln´ıkov´a matice bez nulov´ ych ˇr´adk˚ u, tj. na diagon´ ale m´ a nenulov´e prvky. Pak je moˇzn´e pomoc´ı Gaussovy-Jordanovy eliminaˇcn´ı metody pˇrev´est B na E, tj. B ∼ E. Z´aroveˇ n, ale v´ıme, ˇze z A ∼ E plyne, ˇze A je regul´ arn´ı.
2
Determinant
Definice 1 Permutac´ı mnoˇziny {1, 2, . . . , n} rozum´ıme libovolnou uspoˇra ´danou n-tici jej´ıch prvk˚ u, kde se ˇza ´dn´y prvek neopakuje. Mnoˇzinu vˇsech permutac´ı {1, 2, . . . , n} budeme znaˇcit Sn .
2
Je dobˇre zn´ amo, ˇze poˇcet |Sn | = n!. Necht’ π = (j1 , . . . , jn ) ∈ Sn . Uspoˇr´adanou dvojici (ji , jk ) nazveme inverz´ı v π, jestliˇze i < k a ji > jk . Je-li p celkov´ y poˇcet inverz´ı v π, pak ˇc´ıslo (−1)p naz´ yv´ ame znam´enkem permutace π a znaˇc´ıme sgn π. Definice 2 Necht’ A = (aij ) je matice typu (n, n). Determinantem matice A naz´yv´ ame ˇc´ıslo: X det A = sgn(j1 , . . . , jn ) a1j1 a2j2 · · · anjn . (j1 ,...,jn )∈Sn
Pˇ r´ıklad sgn(1, 2) = 1 , sgn(2, 1) = −1 a11 a12 a21 a22 = a11 a22 − a12 a21
Pˇ r´ıklad
sgn(1, 2, 3) = 1 ,
sgn(2, 3, 1) = 1 ,
sgn(3, 1, 2) = 1
sgn(3, 2, 1) = −1 , sgn(1, 3, 2) = −1 , sgn(2, 1, 3) = −1 a11 a12 a13 a21 a22 a23 = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33 a31 a32 a33
Vˇ eta 5 Necht’ A je horn´ı (doln´ı) troj´ uheln´ıkov´ a matice typu (n, n). Pak det A = a11 a22 · · · ann . D˚ ukaz: Pˇredpokl´ adejme, ˇze A je horn´ı troj´ uheln´ıkov´a typu (4, 4) (pro ˇctvercovou matici jin´ ych rozmˇer˚ u bude d˚ ukaz prob´ıhat analogicky). a11 a12 a13 a14 0 a22 a23 a24 det A = 0 a33 a34 0 0 0 0 a44
Jedin´ y nenulov´ y souˇcin z definice determinantu je souˇcin a11 a22 a33 a44 odpov´ıdaj´ıc´ı permutaci (1, 2, 3, 4). Protoˇze sgn(1, 2, 3, 4) = 1, je d˚ ukaz hotov.
Vˇ eta 6 Necht’ A, B jsou matice typu (n, n). Pak det (A · B) = det A · det B. Element´ arn´ı u ´ pravy Gaussovy eliminaˇ cn´ı metody: U1 – pˇrehozen´ı ˇr´ adk˚ u, U2 – vyn´ asoben´ı i-t´eho ˇr´ adku re´aln´ ym ˇc´ıslem α 6= 0, U3 – pˇriˇcten´ı α-n´ asobku j-t´eho ˇr´ adku k i-t´emu. Vˇ eta 7 Necht’ Pi je el. matice vznikl´ a el. u ´pravou Ui . Pak det P1 = −1 ,
det P2 = α ,
Nav´ıc det PTi = det Pi . 3
det P3 = 1 .
D˚ ukaz: 1 0 det P2 = 0 .. . 0
0 0 ··· 1 0 ··· 0 α ··· .. .. . . . . . 0 0 ···
0 0 0 = 1 · 1 · α · · · 1 = α .. . 1
Protoˇze PT2 = P2 , plat´ı i det PT2 = det P2 . 1 1 0 α · · · 0 0 0 1 0 · · · 0 0 0 1 · · · 0 det P3 = = 1 = α .. .. .. .. . . . . . . . . .. 0 0 0 0 · · · 1
0 0 ··· 1 0 ··· 0 1 ··· .. .. . . . . . 0 0 ···
0 0 0 = det PT 3 .. . 1
Vˇsimˇeme si nejprve, ˇze el. u ´prava U1 lze udˇelat pouze pomoc´ı el. u ´prav U2 a U3 takto: a a a − (a + b) −b −b b ∼ ∼ = ∼ ∼ . b a+b a+b a+b a a To znamen´a, ˇze matici P1 m˚ uˇzeme vyj´adˇrit jako souˇcin P1 = C4 · C3 · C2 · C1 · E, kde C1 , C2 , C3 jsou el. matice odpov´ıdaj´ıc´ı el. u ´pravˇe U3 a C4 el. matice odpov´ıdaj´ıc´ı el. u ´pravˇe U2 pro α = −1. Takˇze det C1 = det C2 = det C3 = 1 a det C4 = −1. Pouˇzit´ım vˇety o determinantu souˇcinu dostaneme: det P1 = det (C4 · C3 · C2 · C1 · E) = det C4 · det C3 · det C2 · det C1 · det E = −1 . Vˇ eta 8 Necht’ A je matice typu (m, n) a Ai je matice, kter´ a vznikne z A el. u ´pravou Ui . Pak det A1 = − det A ,
det A2 = α · det A ,
det A3 = det A .
D˚ ukaz: det A1 = det (P1 · A) = det P1 · det A = − det A det A2 = det (P2 · A) = det P2 · det A = α · det A det A3 = det (P3 · A) = det P3 · det A = det A D˚ usledek 1 Pokud m´ a ˇctvercov´ a matice A dva stejn´e ˇra ´dky, pak det A = 0. D˚ ukaz: A1 = A ⇒ det A = det A1 = − det A ⇒ 2 · det A = 0 ⇒ det A = 0
4
Vˇ eta 9 Pro kaˇzdou ˇctvercovou matici A plat´ı: det AT = det A. D˚ ukaz: Necht’ A = C · T, kde C = C1 · · · Cn je souˇcin el. matic a T je horn´ı troj´ uheln´ıkov´a matice. Pak det AT = det (C · T)T = det (TT · CT ) = det TT · det CT = det CT · det TT . t11 t12 t13 0 t22 t23 T 0 t33 det T = 0 .. .. .. . . . 0 0 0
··· ··· ··· .. . ···
T t11 0 0 t1n t12 t22 0 t2n t3n = t13 t23 t33 .. .. .. .. . . . . t1n t2n t3n tnn
Protoˇze det CTi = det Ci , dostaneme
··· ··· ··· .. . ···
(2)
= t11 · · · tnn = det T . tnn 0 0 0 .. .
det CT = det (C1 · · · Cn )T = det (CTn · · · CT1 ) = det CTn · · · det CT1 = = det Cn · · · det C1 = det C1 · · · det Cn = det (C1 · · · Cn ) = det C . Dosazen´ım do rovnice (2) dostaneme det AT = det CT · det TT = det C · det T = det (C · T) = det A . D˚ usledek 2 Analogick´ a vˇeta k Vˇetˇe 8 by platila i pro el. sloupcov´e u ´pravy. Pˇ r´ıklad 2 −3 1 1 4 −2 3 −1
4 1 3 4 =
1 1 2 3
= −
1 1 0 −1 0 0 0 0
1 1 1 1 1 0 2 −3 4 1 = − 4 −2 3 2 0 0 3 −1 4 3 1 1 1 1 0 −1 2 −5 = − 0 −5 4 0 0 0 1 −4
5
1 1 1 1 −5 2 −1 0 = −6 −1 −2 0 −4 1 0 0 1 1 1 1 0 −1 2 −5 = − 0 1 −4 0 0 0 −5 4
1 1 1 −1 2 −5 = −2 −1 −6 0 1 −4 1 1 2 −5 = −16 1 −4 0 −16
