or his Geometrie

Tapas of Descartian Geometry

Essays related to Rene Descartes and/or his G eometrie

Spring semester 2009

Table of Contents

Introduction Jan Hogendijk

3

Comparing Descartes’s La Géométrie and Discours de la Méthode Eric van Lit

5

Het construeren van oplossingen van vergelijkingen door Descartes Lorijn van Rooijen

21

Over dioptriek in Descartes’ Géométrie Anco Moritz

31

Handleiding bij Mathematica-notebooks voor het tekenen van enkele geometrische krommen van Descartes Wouter Duivesteijn

41

Driehoekslandmeetkunde op de manier van Descartes Auke Mollema

57

Jan de Witt, staatsman en wiskundige Marianne Hoksbergen

73

De kus van de winterprinses Thekla Teunis

2

89


Introduction Jan Hogendijk In the spring of 2009, a seminar on the Geometry of Rene Descartes (1596-1651) was held in the Department of Mathematics of the University of Utrecht. The seminar was attended by six mathematics students from the University of Utrecht, one student from the University of Leiden and one student from the University of Nijmegen. The seminar was supervised by Mrs. Jantien Dopper and Jan P. Hogendijk. The idea of the seminar arose in connection with the Ph.D. research project of Jantien Dopper on the mathematical manuscripts of Frans van Schooten junior (1615-1660). One of the important contributions of Van Schooten to history was his Latin translation of the Geometrie of Descartes, originally published in French in 1637. We thought that the Geometrie would be a good subject for a seminar for three reasons. First, the Geometrie is a seminal work in the history of mathematics, in which some concepts and notations which are now standard in mathematics (such as: algebraic notations using x and y) were introduced. Secondly, the Geometrie is easily available in the Dover series in a facsimile, with an English translation less than a century old (1925). This makes the text accessible to a modern generation of students who cannot read French. Third, the G'eometrie is in a sense a traditional research theme in Utrecht: it is very important in the book by Henk Bos, former Utrecht professor of the history of mathematics: Rede ning

Geometrical Exactness: Descartes' Transformation of the Early Modern Concept of Construction (New York: Springer, 2001). The seminar consisted of a total of fteen weekly meetings of two hours. The rst two meetings were essentially lectures by Jan Hogendijk, on the position of Descartes in history of mathematics in general, and on the rst part of Book 1 of the Geometrie. Almost all of the other meetings were prepared by the students. They were usually divided into two \hours" of 45 minutes, divided by a 15-minute break. In the beginning of the seminar, the three \Books" of the Geometrie were split up into various sections. In the rst \hour", one or two students would introduce a previously assigned part of the Geometrie for approximately 25 minutes, followed by questions and discussions by the audience, which was supposed to have read the part in advance. In these discussions we were able to resolve some but not all of the diculties in the text. In the second hour, another student would give a presentation on a subject related to the Geometrie or Descartes. Such student presentations were given on the ancient Greek theory of conic sections necessary for understanding the Geometrie ; other curves known in Greek antiquity (spiral, conchoid, quadratrix); the early development of Descartes' mathematical work; the philosophical ideas of Descartes related to Tapas of Descartian Geometry

3

Introduction

mathematics; the exchange of mathematical letters between Descartes and Princess Elisabeth; similaries and dierences between the Geometrie and works of Dscartes' contemporaries; the commentaries on and additions to the Geometrie by other mathematicians, such as Jan de Witt. All students were asked to write an essay, either on the last topic of their presentation or on a section of the Geometrie. In the course of the seminar, we were able to cover, in the rst \hours", the complete Books 1 and 2 and the rst half of Book 3, approximately until page 385.

The seven essays in this collection were written by the students who participated in the seminar on the

Geometry of Rene Descartes. They are arranged here in thematical order. The rst essay, by Eric van Lit, is about the relationship between the Geometrie and the philosophical ideas of Descartes. The Geometrie was published together with two other works, the Dioptriques and the

Meteores with a philosophical introduction entitled Discours de la Methode, and Eric refutes the common idea that the Geometrie is an \appendix" to the Discours de la Methode. The rst essay is in English but the remaining essays are in Dutch, the language that was used in the seminar. In the second essay, Lorijn van Rooijen discusses the end of Book III of the Geometrie, that is, the part which we did not cover in the rst \hours". In the third essay, Anco Moritz analyzes a complicated passage on lenses in Book II, which passage we were unable to understand during the discussions in the seminar. The fourth essay by Wouter Duivesteijn is devoted to the drawing of some of the complicated curves which occur in the second Book of the Geometrie. In the fth essay, Auke Mollema explains the method of Descartes to highschool mathematics students (and their teachers) by solving some early 17thcentury surveying problems. The sixth essay by Marianne Hoksbergen is about the work of the Dutch statesman Jan de Witt (1625-1672), who made important additions to the Geometry which was adopted by Frans van Schooten in the two-volume second edition of the Latin translation (1659-1661). In the nal essay, Thekla Teunis discusses the correspondence between Descartes and Princess Elizabeth on the famous problem on tangent circles of Apollonius (ca. 200 BC). A short appendix contains a reconstruction of one of Descartes' calculations that he uses (but does not explain) in the correspondence. In closing this introduction, I want to thank all student participants and Jantien Dopper for their enthousiasm and hard work. Utrecht, August 11, 2009, Jan Hogendijk.

4


Comparing Descartes’s La G´ eom´ etrie and Discours de la M´ ethode Eric van Lit How does Descartes's mathematics in La Geometrie relate to his Discours de la Methode ? We will take this question up from two perspectives. First of all, we will look into the structural connection, and see why La Geometrie is included in the publication of 1637 at all. After that, we will review the method Descartes proposed in his Discours and try to see if this will shed any light on unclear passages from

La Geometrie (it seems like on several occasions it does). As we will see, this is a very relevant and important question, although there seems to be no scholar who has systematically studied their relationship but instead compared La Geometrie to Descartes's Regulae ad Directionem Ingenii or to works by other (contemporary) mathematicians. This paper then, serves as a tentative approach to this question. Writing on such an interdisciplinary subject, readers must be aware that this paper is best read by people who have read or studied La Geometrie. Other readers are welcomed, but advised to obtain a copy of La Geometrie and read up whenever it is necessary.

The structural connection The connection between the G´ eom´ etrie and the Discours As you know, both Discours de la Methode and La Geometrie were published together with La Dioptrique and Les Meteores in 1637 under the title \Discours de la Methode pour bien conduire sa raison, & chercher la verite dans les sciences. Plus La Dioptrique, Les Meteores et La Geometrie. Qui sont des essays de cete Methode."1 An obvious question is why these four texts were published together. As history proved Descartes's philosophy as a milestone in Western thought, a lot of scholars argue that the Discours is for sure the main work and the three other texts merely appendixes. An example of this approach is Burton in his The History of Mathematics: An Introduction. He writes: \The year 1637 saw the publication of the work that is considered the most signi cant of Descartes's writings: Discours de la Methode pour bien conduire sa Raison et chercher la Verite 1 which

can be translated as: \`Discourse on the method' for rightly conducting the reason and to search for the truth in the sciences. Together with `The Dioptrics', `The Meteors' and `The Geometry', which are essays of this method". A facsimile is available at http://digbijzcoll.library.uu.nl/metadata.php?lang=nl&W=On&BoekID=1529c&style=fmw


5

Comparing Descartes’s La G´ eom´ etrie and Discours de la M´ ethode

dans les Sciences (Discourse on the Method of Rightly Conducting the Reason in the Search for Truth in the Sciences), with its scienti c appendages La Dioptrique, Les Meteores, and La Geometrie. [emphasis mine].2 A couple of pages later Burton admits himself that \although the Discours was intended to be a preface to La Dioptrique, Les Meteores, and La Geometrie, history has completely reversed the sequence".3 This is quite the other way around and there are scholars who put it this way and consider the Discours to be a preface for the three scienti c texts.4 A golden mean is probably most appropriate and sees the publication of 1637 as consisting of the Discours (Discours de la Methode ) and of the Essais (La Dioptrique, Les Meteores and La Geometrie ).5 From this perspective, the full title explains the relation between the Discours and the Essais. In the Discours, Descartes will take care of this `method' he speaks about and in the Essais he will show its application and use. As Sasaki shows, this is actually not the title Descartes originally had in mind. In a letter to Mersenne (March 1636) Descartes gives the following title: \Le projet d'une science universelle qui puisse elever nostre nature a son plus haut degre de perfection. Plus la Dioptrique, les Meteores, et la Geometrie; ou les plus curieuses Matieres que l'Autheur ait pû choisir, pour rendre preuve de la Science universelle qu'il propose, sont expliquees en telle sorte, que ceux mesmes qui n'ont point estudie les peuvent entendre."6 This can be translated as: \The project of a universal science which can elevate our nature to the highest level of perfection. Together with `The Dioptrics', `The Meteors' and `The Geometry'; in which are the most 2 Burton,

D.M., The History of Mathematics: An Introduction. (New York: McGraw-Hill, 2006), p.366. Just to give you an idea, here are two other scholars claiming the same: Bos, H., Rede ning Geometrical Exactness. (New York: Springer-Verlag, 2001), p.228. Gaukroger, S., \The nature of abstract reasoning: philosophical aspects of Descartes' work in algebra", in The Cambridge Companion to Descartes, ed. by J. Cottingham (Cambridge: Cambridge University Press, 1992), p.91. The list can be expanded at will. 3 Burton, p.369. I nd this especially strange coming from a historian of mathematics. La G eometrie is for sure just a milestone for mathematics as the Discours is for philosophy so there is no obvious reason to value the Discours higher than La Geometrie. 4 Two examples are: Garber, D., \Descartes, Ren e (1596-1650)", in Routledge Encyclopedia of Philosophy, ed. Craig, E. (London: Routledge, 1998). Cottingham, J., \Introduction", in The Cambridge Companion to Descartes, ed. by J. Cottingham (Cambridge: Cambridge University Press, 1992), p.4 5 Two examples are: Reiss, T.J., \Neo-Aristotle and method: between Zabarella and Descartes", in Descartes' Natural Philosophy, ed. by Gaukroger, S., Schuster, J. and Sutton, J. (London: Routledge, 2000), p.215. Schuster, J., \Descartes opticien: the construction of the law of refraction and the manufacture of its physical rationales, 1618-29", in Descartes' Natural Philosophy, ed. by Gaukroger, S., Schuster, J. and Sutton, J. (London: Routledge, 2000), p.311 6 Sasaki, Chikara. Descartes' Mathematical Thought. (Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2003), p.226

6


Eric van Lit

curious materials that the author could choose to illustrate the universal science in such a way, that even the ones who haven't studied before can understand it." It arms our claim that the Essais are examples of this `method'. Further, we see that ùniversal science' became `method', which shows that Descartes wanted to emphasize a universal way of knowing, regardless of the discipline it was used for. As a last remark we notice that Descartes dropped the dependent clause that èven the ones who haven't studied before can understand it'. Anyone who has read one of the Essais knows that this is indeed not tenable. For a better understanding on why these Essais are necessary to show how the `method' works we need to take a step back. As you may know, the search for a method was keeping Descartes busy for quite some time before 1637. I don't want to go into detail about the Regulae (which was never nished and only published after his death), but it suces to say that there he argued that as only mathematics (in particular geometry) is intuitively true and in no need of further proof, only mathematics can bring forth truth. He then wonders how the ancient Greek mathematicians came up with their results, what their method was, and says: \Indeed I could readily believe that this mathematics was suppressed by these writers with a pernicious craftiness, [. . . ] And I believe they preferred to show us in its place, as the product of their art certain barren truths which they cleverly demonstrate deductively so that we should admire them rather than teach us the method itself."7 Here it seems like Descartes is eager to know what the method was to discover (or invent) new knowledge. If we read the Discours we get the impression he by then not only knows what this method is, but also why the ancient Greeks suppressed it in their writings. In the rst part of his Discours he says: \My aim here is thus not to teach the method that everyone ought to follow in order to conduct his reason well, but solely to reveal how I have tried to conduct my own."8 The reason for this is a little bit technical but relies, in short, on the method itself in that the method stipulates a strictly personal reasoning. I can only judge to be true what I clearly and distinctively conceive as true, and you can only judge to be true what you clearly and distinctively conceive as true. Stipulating how you can conceive truth is then also suspect to disagreement (we will come back to this when we discuss the method). Descartes says that \as to that which concerns manners, everyone is so very full of his own sense that one could nd as many reformers as heads"9 , to show that imposing one way of thinking is bound to induce criticism. Here the Essais come into play, as they are for Descartes \some account of my actions and of my plans [. . . ] to show quite clearly that which I can 7I

take Lenoir's translation here. Lenoir, T., \Descartes & the Geometrization of Thought" in Historia Mathematica 6 (1979): 365 8 Heernan, G. [Descartes, R.], Discourse on the Method: A Bilingual Edition with an Interpretive Essay, (Notre Dame: University of Notre Dame Press, 1994 [1637]), p.17 9 Discours, p.85


7


or cannot do in the sciences."10 The Essais are thus arguments to show that he indeed discovered truths, which makes his method in turn a lot stronger against other people's methods.11 In this respect, Garber points towards a letter from Descartes to Mersenne (April 1637) discussing again the title (maybe Mersenne asked why he changed it, but we just don't know): \I did not call it Treatise on the Method but Discourse on the Method which is the same as

Advice on the Method, to show that I did not intend to teach it, but only to discuss it. Since, as one can see from what I said about it, it consists more in practice than in theory."12 And in the same letter he says: \I call the treatises that follow essays in this method because I claim that the things they contain couldn't have been found without it, and that through [what I have discovered] one can know the value [of the method]."13 This shows again that Descartes only wanted to talk about the method in an open way and leave it to the practical results to speak for itself.

Scholarship on the connection Now not a lot of scholars have studied this connection between the Discours and the Essais, probably because a lot of them think there is no clear connection. Garber, in reaction to the above mentioned letter to Mersenne thinks that \the practice in question is not exempli ed elsewhere in the Essays."14 He then draws the conclusion that \the Essays do not themselves use the method."15 He comes to this (rather remarkable) conclusion by quoting another letter from Descartes, this time to Vatier (February 1638). Here Descartes says: \I couldn't show the usage of the method in the three treatises which I gave because [the method] requires an order for investigating things that is very dierent from that which I thought necessary to use to explain them."16

10 Ibid., p.101 11 Ibid., p.93 12 Garber, D., 13 Ibid., p.43 14 Ibid. 15 Ibid. 16 Ibid.

8

Descartes Embodied (Cambridge: Cambridge University Press, 2001), p.40


Eric van Lit

It's not clear to me why this should prove that Descartes did not use the method for the Essais. It maybe only shows that a proof is usually dierent from a discovery, but this is something most mathematicians should know very well from their daily practice and I suspect it is no dierent with other sciences. In order to form a clear and consistent proof, you usually have to take quite another route than the one you took to discover the fact (or theorem) and this is what Descartes seems to say to Vatier. In fact, it is exactly what Descartes mentioned in the Regulae about the Greek mathematicians. This looks like there is no hope of nding a stable link between La Geometrie and the Discours but I must stress that Garber only uses La Dioptrique and Les Meteores and in fact uses only two examples from them extensively (and repeatedly).17 Besides that, as we already saw, mathematics takes in a special place for Descartes as he rst (in his Regulae ) thought that he could nd the method in mathematics itself.

Mathematics in the Discours Mathematics was, with his concept of mathesis universalis, the focal point of the Regulae, in which Descartes set out to nd a way to relate everything to mathematics. Crudely put, the Discours is not so much about mathematics but all about the `cogito argument' which tells us that no matter how much we doubt, we cannot doubt our doubt since it would infuse a doubt itself. This makes way for a being that doubts, and this is how Descartes came to say \I think, therefore I am". Leaving the more ner philosophical argument to this statement for what it is, the point that is important here is that the main argument of the Discours is qualitative (`philosophy rst'), while the main argument of the Regulae was quantitative (`mathematics rst'). Traces of this former attitude towards mathematics, and the process to the paradigm of the Discours, can be found in the Discours itself, since it gives some sort of an intellectual autobiography. In Part I of the

Discours Descartes re ects on his earlier study of mathematics and states: \I delighted, above all, in mathematics, because of the certitude and the evidence of its reasonings; but I did not yet notice its true use, and, thinking that it only served the mechanical arts, I was astonished thereby that, its foundations being so rm and so solid, one had built nothing more lofty thereupon. Just as, on the contrary, I compared the writings of the ancient pagans that deal with morals to very proud and very magni cent palaces that had been built only on sand and 17 This

is the example of Descartes's study of the rainbow: compare Garber, p.40, 94, 117 and 311. The second is the example of the anaclastic line: compare Garber, p.36, 87, 107, 117 and 309. All the passages show exactly the same reasoning, some even have the same tables.


9


on mud. [. . . ] As for the other sciences, I judged that, in so far as they borrow their principles from philosophy, one could have built nothing that were solid on foundations so little rm."18 This passage reports on a very early encounter with mathematics and shows how amazed Descartes was by its clarity and truth value. It also shows that Descartes decided it would be best to study the other sciences in as much as they only rely on mathematics as philosophy would only give `little rm' foundations. From here we can understand why Descartes did what he did in the Regulae, and indeed, re ecting on this period Descartes states: \I continued to train myself in the method that I had prescribed to myself; for, besides taking care generally to conduct all my thoughts according to its rules, I reserved for myself from time to time some hours that I spent particularly in practicing it in problems of mathematics, or even in some other problems, too, that I was able to render, as it were, similar to those of mathematics by detaching them from all the principles of the other sciences, which I did not nd rm enough, as you will see that I have done in many problems that are explained in this volume."19 It is probably the period of 1619-1628 which Descartes is speaking of here, the period which most scholars (like Schuster and Bos) point out as the period in which Descartes developed his mathematical achievements.20 This is in a nutshell the pre-Discours development, but as mentioned before, while this is an quantitative approach, the Discours shows a qualitative approach. The change of perspective is again best explained by citing a passage from the Discours : \I wanted to search for other truths, and, having set before myself the object of the geometers, of which I conceived as a continuous body, or a space inde nitely extended in length, breadth and height or depth, divisible into various parts that could have various shapes and sizes and be moved or transposed in all sorts of ways, for the geometers suppose all this in their object, I went through some of their simplest demonstrations. And, having taken note that that great certitude which everyone attributes to these demonstrations is founded only thereupon that one conceives them evidently, according to the rule that I have already stated, I also took note that there was nothing at all in these demonstrations that were to assure me of the existence of their object."21 18 Discours, p.21-23 19 Ibid., p.47-49 20 Schuster, J.A., Descartes

and the Scienti c Revolution, 1618-1634: An Introduction, unpublished PhD thesis (Ann Arbor: University Micro lms International, 1977). Bos, H., Rede ning Geometrical Exactness, (New York: Springer-Verlag, 2000). 21 Discours, p.55

10


Eric van Lit

This is the turning point for Descartes at which he even begins to doubt his intuitive concept of quantity (and for Descartes the most basic concept of quantity was length22 ), and thus comes to the question on what ground he thinks mathematical objects can independently exist. Like Garber points out, \method itself can no longer lead us to genuine knowledge [. . . ] when the reduction has reached an intuition it goes no further."23 This means that, while Descartes rst thought he could study truth in the sciences by neglecting philosophy all together, he now comes to the conclusion that \the principles of these sciences all had to be drawn from philosophy."24 . Philosophy, and in this regard we mean metaphysics, is immanent to all sciences and cannot be neglected. When you only consider the quantitative aspect of a certain phenomena, you will never get a complete truth on it. This is of course a major setback for him as he now comes to realize he has dedicated himself to mathematics for more than a decade, while there is no primal `method for rightly conducting the reason and to search for the truth in the sciences' in it, but should instead look for it (at least partly) in philosophy. He has realized this by at least 1630, as he remarks, rather frustrated, to Mersenne (who has asked him for some mathematical problems to work on): \As for problems, I shall send you a million of them to propose to others if you like; but I am so tired of mathematics and now hold them in so little esteem that I can no longer take the trouble to solve them myself."25 Reading this passage we can only assume that Descartes must have been really fed up with mathematics and indeed, after La Geometrie, Descartes didn't publish anything else on mathematics but rather continued his investigations in philosophy. However it does not mean that Descartes didn't nd any truth in mathematics. On the contrary, whatever he found in mathematics, using his method, he thought was truth absolutely. It just means that he couldn't extend his mathematical method (his mathesis universalis so to speak) to other sciences. For Descartes this was enough to stop his mathematical inquiries and focus his attention to philosophy (and continue to do this for the rest of his life), whatever the result of his mathematical method was, it wasn't good enough for him. To show that he still valued his mathematical method for what it's worth, a passage from the Discours will suce: \I dare to say that the exact observation of the few precepts that I had chosen gave me such facility for disentangling all the questions to which these two sciences [geometry and algebra] extend that, in the two or three months that I spent in examining them, having begun with the 22 Ibid., p.33-35 23 Garber, p.50 24 Discours, p.39,

emphasis mine. Additionally, Heernan translates `had to be drawn' as `had to be borrowed', I nd this too weak (the French is èmpruntes ') 25 Sasaki, p.205


11


most simple and the most general ones, and each truth that I found being a rule that later helped me to nd others, not only did I arrive at the solutions of many problems that I had once judged very dicult, but also it seemed to me, toward the end, that I was able to determine, even in those where I was ignorant, by what means and in how far it was possible to resolve them."26 Such a statement is not to be found about La Dioptrique or Les Meteores, so here La Geometrie de nitely stands out. Descartes makes this explicit to Mersenne by writing him: \in La Dioptrique and Les Meteores, I have only tried to persuade people that my method is better than the ordinary one. I have proved this in La Geometrie, for in the beginning I have solved a question which, according to Pappus, could not be solved by any of the ancient geometers."27 If you have read La Geometrie already you know that Descartes is here referring to his solution to the famous `locus problem' of Pappus, which is indeed quite an accomplishment. The reason we started this investigation on the evolution of Descartes's mathematical thought was to nd how La Geometrie could dier from La Dioptrique and Les Meteores. We can now conclude that there should be a major dierence, as Descartes rst tried to conceptualize his method in mathematics alone and reports that he got back very good results, even solving problems that he \once judged very dicult." The only reasonable reason for Descartes to include La Geometrie is that it should serve to prove that his method works exceptionally well to discover the truth. To conclude, if it is true that the method \consists more in practice than in theory"28 , then surely it consists more in La Geometrie than in the other two essays published in 1637.

The connection in regard to their content An explanation of the method So far, we have been busy with the structural connection between La Geometrie and the Discours. Now let's move on to a discussion of the content of the two works. If anything, we would expect that the content of the Discours, `the method', would somehow induce the content of La Geometrie. This means an explication of the method is rst needed. 26 Discours, p.37 27 Smith, D.E., Latham, M.L., [Descartes, R.], The

1954 [1925], [1637]), 28 See note 12

12

Geometry of Rene Descartes [La Geometrie] (Mineola: Dover Publications,

p.10, note 18


Eric van Lit

We've touched upon the method of the Discours already and saw that the premise on which it relies is the so called `cogito-argument'. The method could be described in the following eight rules: 1.

First rule : \Never to accept anything as true that I did not evidently know to be such [. . . ] and to include in my judgments nothing more than that which would present itself to my mind so clearly and so distinctly that I were to have no occasion to put it in doubt."29 For Descartes, this means in mathematics rst and foremost `straight lines', which are the most simple and most distinctly perceived of all mathematical objects.30

2.

Second rule : \To divide each of the diculties that I would examine into as many parts as would be possible and as would be required in order better to resolve them."31 This looks like we should break a problem up in just as much pieces as is required, Descartes does not give any further details how to know when we have a good balance between as much parts as possible and as few parts as necessary. It is clear that we should break the problem up such that we can conceive the problem in judgments that are strictly clear and distinct (rule one).

3.

Third rule : \To conduct my thoughts in an orderly manner, by beginning with those objects the most simple and the most easy to know, in order to ascend little by little [. . . ] and by supposing an order even among those which do not naturally precede one another."32 In contrast with the second rule, this is a bottom-up approach, in order to establish a link between the clear and distinct judgments and the problem. It also stipulates that you could use results obtained earlier.

4.

Fourth rule : \Everywhere to make enumerations so complete and reviews so general that I were assured of omitting nothing."33

5.

Starting rule : You wonder upon something. This is a step that is not explicitly mentioned by Descartes, but implied. He does say that we should start with \the most simple and the most easy to know"34 and from the context it is clear that this is mathematics and philosophy. Only after we have established the most easy things to know should we move on to more complex problems.

6.

Experiment rule : use experiments to search for the easiest and/or most obvious way to analyze the problem, in order to come to judgments as implied in step two. This is because Descartes tells us that \my greatest diculty is to nd out in which one of these ways [which reductions] it [the problem]

29 Ibid. 30 Ibid., p.37 31 Ibid., p.35 32 Ibid. 33 Ibid. 34 Discours, p.35


13


depends on them [the reductions]".35 Most scholars do not mention the use of experiments as part of the method as they think that only the four rules make up the method and don't see an explicit mention of the use of experiments. But not only the four rules are called Discours de la Methode, the whole text of the Discours is called this way and so we must not neglect what Descartes says in other parts of the Discours. He devotes the better part of Part VI on experiments and says \that, the further advanced in knowledge one is, the more necessary they are. For, in the beginning, it is better to make use only of those observations which of themselves present themselves to our senses."36 It could be argued that the use of experiments is actually the reason for Descartes to write his Discours. This is because one of the reasons he writes is \to urge the good minds to try to advance further by contributing [. . . ] to the experiments which it would be necessary to make."37 As he makes clear later on, the shortness of his life forbid him to do all the experiments himself, so he can only hope that other people will take his experiments over. 7.

Rule of practice : Immanent to the method Descartes is suggesting is practicing it a lot, because, as note before, the method is more in practice than in theory. This means that the method is an active way of discovering truth, because \they would take much less pleasure in learning it from me than from themselves; moreover, the habit that they will acquire of seeking rst the easy things and of passing little by little by degrees to others more dicult, will serve them better than all my instructions could do."38 This is also because the sixth rule asks people to rely solely on their own doubt.

8.

Base rule : We cannot doubt our doubt, so we think and therefore we are. This is the basic thought on which all other truths rely.39

The reason for this rather formal enumeration is because we can refer more easily to dierent aspects of the method in discussing La Geometrie. Now that we know what the method is, let's see if and how it is applied in La Geometrie.

The method in La G´ eom´ etrie A full discussion of the (alleged) role of the method in La Geometrie might not be necessary and for this preliminary study we can suce by treating only a couple of examples. 35 Ibid., p.89 36 Ibid., p.89 37 Ibid., p.87 38 Ibid., p.97 39 More precise,

14

all truths are true because of God but the argument for God is left out of this discussion. See Discours, p.53


Eric van Lit

Book I If we look at the rst book with the method in mind, we immediately see how Descartes came to write the way he wrote it. The rst line is: \Any problem in geometry can easily be reduced to such terms that a knowledge of the lengths of certain straight lines is sucient for its construction."40 If we didn't know the method this would be a strange opening sentence. Bos, for example, interprets this as indicating that Descartes \saw geometry as the art of solving geometrical problems."41 While this may be true, considering the method it makes much more sense to suggest that À42 implies that Descartes rst needs to stipulate what is considered a clear and distinct judgment. As we saw already in the Discours, for mathematics this is a quantity, and a quantity in its most basic form is seen as a straight line. If we look back at the rst line of La Geometrie, we see Descartes saying exactly this; reduce your problem to straight lines and you got yourself a clearly and distinctly perceived judgment on which you can rely. From the second line, a couple of dierent rules of the method come into play. Here Descartes wonders (Ä) whether arithmetical operations can be identi ed with geometrical operations. These are the most easiest problems which are necessary to solve before moving on to more dicult problems (staying true to Â). To prove that multiplication, division and taking the square root are possible, Descartes needs to break these problems up (Á) and judge that a straight line called ùnity' exists (À). As Descartes mentioned in the

Discours, geometry is \greatly tiring the imagination,"43 and this is why he suggests in La Geometrie that \often it is not necessary thus to draw the lines on paper, but it is sucient to designate each by a single letter."44 This is of course again in line with Â. To complete these problems, he states that \ nally, so that we may be sure to remember the names of these lines, a separate list should always be made as often as names are assigned or changed. For example, we may write, AB = 1, that is AB is equal to 1; GH = a, BD = b, and so on."45 This is again in line with the method, namely Ã.

40 La G eometrie, p.2 41 Bos, H., \The Structure

of Descartes's Geometrie ", in Lectures in the history of mathematics (Providence R.I.: American Mathematical Society, 1997), p.38. This is a reprint from: Descartes: il metodo e I saggi; Atti del convegno per il 350o anniversario della publicazione del Discours de la Methode e degli Essais, ed. G. Belgioioso (Florence: Armando Paoletti, 1990), p.349-369 42 Circled numbers refer back to the rules of the method 43 Discours, p.35 44 La G eometrie, p.5 45 Ibid., p.6


15


From these rst pages it is clear that almost all rules of the method are taken care of. What about Å, Æ and Ç? Well Ç is of course not relevant and is only included in the method for a formal epistemological basis. Å

and Æ on the other hand, are in the text, only implicit. In regard to Å, we can only guess whether Descartes had to experiment in order to come up with his solutions. He doesn't talk about it, but this is on the other hand exactly why he does implicitly include Æ. Take for example the explanation of the `square root of GH'. Descartes describes that you should add FG equal to a unity-length. Then draw a circle with FH as a diameter. The line from G to the circle, perpendicular to FH is the required root. It is not at all obvious why GI should be the square root of GH and Descartes gives no further details. The reader is thus forced to construct the gure himself and see, through practice (Æ), himself why this is the case. In treating the application of arithmetical operations in geometry, Descartes seem to use all rules of the method systematically. The rule of practice is actually one of the main features of La Geometrie. Almost everywhere Descartes gives results without further clari cation, sometimes only stating that: \I shall not stop to explain this in more detail, because I should deprive you of the pleasure of mastering it yourself, as well as of the advantage of training your mind by working over it, which is in my opinion the principal bene t to be derived from this science."46

Book II Let us now move on to Book II. Here Descartes takes the classi cation of curves from the Greek mathematicians as his subject topic. Before his time, this classi cation (plane, solid and linear) was pretty much the standard, but armed with his method, Descartes decided to reconsider its fundamentals. He gives three postulates (or in this context: judgments) the ancient made: 1. A straight line can be drawn between any two points. 2. About a given center a circle can be described passing through a given point. 3. Any given cone can be cut by a given plane.47

For Descartes, the rst two postulates are ne. A straight line is his basic notion for geometry and he sees no harm in a circle (i.e., he accepts ruler and compass without further ado). By explicitly formulating the postulates (following Á and À), he is now in the position to reject postulate 3, in accordance with Â. He 46 La G eometrie, 47 Ibid., p.43

16

p.10


Eric van Lit

does not mention why he doesn't accept it, but the reason can be guessed; the third postulate assumes the concepts of cone and plane, which is not in accordance with Â, let alone with À. Descartes immediately comes with a solution and this shows that La Geometrie is not to show how the method worked from moment to moment, it is in the rst place only to show what results can be obtained by it. In this respect, we shouldn't forget that Descartes worked more than twenty years on these results so we can safely assume that the realization that the third postulate was an error was a huge obstacle at rst.48 His proposed solution is the following: 3 0 . Two or more lines can be moved, one upon the other, determining by their intersection other curves.49

This is indeed a postulate that is closer to his `clearly and distinctly conceived straight lines' (À), involving only movement and intersection as new notions. From these postulates he can safely build up more advanced results, in accordance with Â. He then concludes that all curves that follow these postulates should be called `geometrical', in the sense that they can be related back to a straight line. All other curves are `mechanical'. Popular examples of this are the quadratrix and the spiral, because \they must be conceived of as described by two separate movements whose relation does not admit of exact determination" (emphasis mine).50 For Bos, this is hard to understand and he thinks it is a `curious point' that algebra should be a criterion for the demarcation of geometry.51 Considering the method, this is not a curious point at all, but a natural consequence of the fundamental notion of a straight line. To show what Descartes is talking about, he introduces a machine that produces increasingly complicated curves, but which can all be related to a simple equation. The machine moves YX up and down, and this will force C, E and G to move towards Z and B, D, F and H towards X. This is an interesting example because this is not the rst time Descartes has used this machine. As Schuster shows, Descartes had already come up with it in 1619, to work on the trisection and the n-section of an angle.52 This again shows the experimental nature of the method, which can give various results with the same objects (or instruments) as long as you keep on studying their behavior. 48 Compare

also the defence Descartes gives to people who want to argue with him straight away, pointing out that he has thought about all of this for a long time, probably a longer time than the one who wants to start an argument: Discours, p.103 49 La G eometrie, p.43 50 Ibid., p.44 51 Bos, The structure of Descartes' G eometrie, p.38 52 Schuster, J., \Descartes' Mathesis Universalis : 1619-28", in Descartes: Philosophy, Mathematics & Physics, ed. S. Gaukroger (Sussex: The Harvester Press, 1980), p.49-50


17


Another strange passage of La Geometrie can be found on page 71. Descartes gives a latus rectum of r o2 z2 4mpz2 + , with no explanation at all, not even a hint at how we could check whether this is correct. a2 a2

Maybe this is just common knowledge of that day, but it still leaves to wonder why he then spends a whole page on very simple manipulations, working his way through every possible o, z, a, m and p. On the one hand, the mere naming of the latus rectum is not helpful at all. On the other hand, the painstakingly enumeration of all possible numbers and their corresponding latus rectum gives a classi cation whether the curve is a circle, ellipse, parabola or hyperbola. This is Ã at its best.

Book III Let's also consider Book III brie y. Descartes is now reconsidering the curves and again mentions the machine of Figure 2. As to the curves used for a problem, he thinks we should not use \the one that leads to the easiest demonstration or construction of the problem, but rather the one of the simplest class that can be used to determine the required quantity."53 For a scholar like Lenoir this can be quite a hard passage to explain, as he thinks that for Descartes \the only object of concern was the geometric construction,"54 it's the same with Grosholz, who holds that there is an \emphasis on the constructability of the curve rather than on its equation."55 If the constructability was the most important aspect of Descartes's geometry, then surely he would have allowed the machine as it gives real easy constructions for complicated curves. If, however, we take the method in mind, we see that according to Â the rejection of the machine is merely necessary. For a good conduct of truth we cannot follow the most simple mechanical construction, but we have to follow the most simple epistemological `construction'. Only this way can we safely layer truth after truth on top of each other. Let us take as a last example take the nding of roots of equations. This is taken care of in Book III, where he conducts a thorough (Ã) research of equations, manipulating them however he wants them. His main aim for this is to reduce any equation into a standard one which he can solve (Á and Â). In this research he also encounters negative roots and imaginary roots. As for the negative roots, he consistently refers to them as `false roots' and gives their value in positive values. Taking the method in account, this can be explained with À, as a straight line can only have a positive length of course. On the imaginary roots, he gives an interesting opinion, he says that \however we may increase, diminish, or multiply them in accordance with 53 La G eometrie, p.155 54 Lenoir, p.356 55 Grosholz, E.E., \Descartes'

Uni cation of Algebra and Geometry", in Descartes: Philosophy, Mathematics & Physics, ed. S. Gaukroger (Sussex: The Harvester Press, 1980), p.160

18


Eric van Lit

the rules just laid down, [they] remain always imaginary."56 This shows that he has experimented (Æ) with it quite a lot but couldn't solve it to a `clear and distinct judgment', because of this, he neglects them altogether in the rest of the text.

Conclusion How does Descartes's mathematics in La Geometrie relate to his Discours de la Methode ? We have seen that La Geometrie is a remnant of his old `mathematics rst' method and as such shows the extend and capability of the method. Indeed, in the Discours, the method is not stipulated as one way to go, but rather only proposed. La Geometrie, together with the other two essays, are present to give Descartes's method more force and of these Essais it is La Geometrie that shows this the best. We then moved on to see how the method could shed light on vague passages of La Geometrie. Several suggestions were proposed, most notably the introduction of Book I and the new de nition of geometrical/mechanical in Book II. It is hoped that this paper has inspired you to continue to research the connection between the Discours and La

Geometrie, hopefully culminating in an extensive comparative study that can settle the relation between these two milestones of philosophy and mathematics once and for all.

56 La

Geometrie, p.175


19

20


Het construeren van oplossingen van vergelijkingen door Descartes Lorijn van Rooijen In dit essay kijken we naar de inhoud van het tweede deel van Boek 3 van La Geometrie [2] (blz.389-413). In deze tekst geeft Descartes een manier om de wortels van derde- en vierdegraadsvergelijkingen te construeren en hij bewijst deze constructie voor een speciaal geval. Hij past deze constructie toe op twee klassieke problemen: het vinden van twee middenproportionalen en de trisectie van een gegeven hoek. Hierna geeft Descartes een lange uitwerking om te laten zien dat, met behulp van de formule van Cardano, alle lichamelijke problemen (dit zijn de problemen die overeenkomen met het oplossen van een derde- of vierdegraadsvergelijking) gereduceerd kunnen worden naar een van deze twee problemen. Deze uitwerking zullen we in dit essay niet bekijken. Vervolgens geeft Descartes een methode om wortels van vijfde- en zesdegraadsvergelijkingen te construeren en hij sluit af met opmerkingen over de generalisatie van deze methode naar vergelijkingen van hogere graad. In het volgende hoofdstuk bekijken we hoe Descartes tot de inhoud van het laatste stuk van La Geometrie is gekomen en met welke tijdgenoten hij over de stof heeft gecommuniceerd. In de daaropvolgende drie hoofdstukken zullen we de lijn van Descartes in Boek 3 volgen en zijn constructies kritisch bekijken. Met name de constructie van 3e - en 4e - graadsvergelijkingen zullen we in detail bekijken. Hiernaast bevat paragraaf de laatste van deze drie hoofdstukken fragmenten uit correspondentie van Descartes. In het slothoofdstuk is iets te lezen over de ontvangst van de voorgestelde methoden. Bij het lezen van dit essay is het zeer aan te raden Boek 3 van La Geometrie [2] ernaast te houden. Overal waar La Geometrie wordt genoemd, wordt gedoeld op de uitgave [2], ook waar dit niet bij vermeld staat.

Voorgeschiedenis In de twintiger jaren van de 17e eeuw heeft Descartes zich beziggehouden met het construeren van twee middenproportionalen. Dit vraagstuk is een speciaal geval van het oplossen van een derdegraadsvergelijking, namelijk: gegeven a en q, vind z en x zodat a : z = z : x = x : q. Omdat geldt a : z = z :

z2 a

=

z2 a

:

z3 a2

, komt

dit probleem neer op het oplossen van de vergelijking z3 = a2 q. Tapas of Descartian Geometry

21

Het construeren van oplossingen van vergelijkingen door Descartes

Al in 1625 en 1626 heeft Descartes aan onder andere Mersenne en Mydorge beschreven hoe, met behulp van een cirkel en een parabool, zulke dubbele middenproportionalen geconstrueerd kunnen worden. Zij stuurden hem verschillende bewijzen voor de constructie toe [1] [3] (vol. X, blz.651-659). In 1628 gaf Descartes zijn constructie voor twee middenproportionalen, met daarbij het bewijs dat hij van Mydorge had ontvangen, aan Beeckman. Ook gaf hij hem een algemene constructie voor het construeren van wortels van derde- en vierdegraadsvergelijkingen met behulp van een parabool en een cirkel. De toepassing van deze algemene constructie op het vraagstuk van twee middenproportionalen komt overeen met de constructie die hij met dat doel in 1625 had gemaakt [1]. Het is onbekend welke van de twee constructies Descartes het eerst gevonden heeft, maar het is goed voor te stellen dat hij door het uitwerken van het vraagstuk met de middenproportionalen op het idee van de algemene constructie kwam. Beeckman publiceerde deze resultaten [3] (vol. X, blz.344-346). Bij deze publicatie schreef Mersenne een voorwoord, waarin hij het belang van de resultaten benadrukte. Er waren al constructies bekend die het probleem van de twee middenproportionalen oplosten, maar de manier van Descartes was de eerste die hiervoor slechts een kegelsnede nodig had. In de geest van Pappus werd het namelijk als fout gezien om bij het oplossen van meetkundige problemen krommen in te zetten die ingewikkelder waren dan strikt nodig. Om deze reden werd de methode van Descartes om de middenproportionalen te vinden beter gevonden [1].

Constructie van vergelijkingen van graad drie en vier In [1], blz.364, wordt de algemene constructie, die Descartes in 1628 aan Beeckman heeft gegeven, vergeleken met de constructie, zoals die in La Geometrie (blz.391-393) te lezen is. Er wordt opgemerkt dat de constructies bijna gelijk zijn, behalve dat Descartes op een andere manier met +/− gevalsonderscheidingen omgaat en in La Geometrie ook een bewijs voor de algemene constructie geeft. Op blz.257 van [1] wordt opgemerkt dat een fout is gemaakt (door Descartes of Beeckman) in de gevalsonderscheidingen in de publicatie van Beeckman. Opvallend is dat, alhoewel dit dus veranderd is in La Geometrie, het nog steeds niet klopt. Zie hiervoor punt 2 in de onderstaande constructie, en de uitleg na het bewijs. Overigens wordt dit niet opgemerkt in [1]. Het idee van de tekst is als volgt. Zij gegeven een vergelijking van graad 3 of 4 in een onbekende, zeg x. Van deze vergelijking willen we de wortels geometrisch construeren. Als de graad 3 is, vermenigvuldig

dan beide zijden van de vergelijking met x, om een vierdegraadsvergelijking te krijgen. Met behulp van de substitutiemethode op blz.376 in [2] kan de vergelijking omgeschreven worden naar een vergelijking waarin de coecient voor de derdemachtsterm gelijk aan nul is. 22


Lorijn van Rooijen

Met z − c = x, voor een zekere constante c, geeft dit z4 = ± apz2 ± a2 qz ± a3 r, waarbij p, q en r lijnsegmenten ≥ 0 voorstellen. In de notatie van Descartes is dit: z4 ∝∗.apzz.aaqz.a3 r. Als we nu a als eenheid kiezen, wordt de vergelijking z4 = ± pz2 ± qz ± r. Voor vergelijkingen in deze vorm geven we een methode om de wortels geometrisch te construeren, zoals Descartes dit op blz.391-393 doet. Voor alle geconstrueerde positieve wortels v geldt dat v + c een oplossing is van de oorspronkelijke vergelijking in x. Voor de negatieve wortels −w geldt dit voor −(w + c). De volgende constructie van de reele wortels van z4 = ± pz2 ± qz ± r wijkt alleen op punt 2 af van de constructie van Descartes, zie hiervoor de uitleg na het bewijs. 1. Construeer een parabool met een verticale as, waarvan de latus rectum 1 is. De constructie van een

parabool met een gegeven diameter en latus rectum is al te vinden in de Conica van Apollonius van Perga [4] (Boek I, propositie LII). In moderne notatie hebben we nu de parabool y = −x2 geconstrueerd. Het hoogste punt van de parabool noemen we A. Het punt dat binnen de parabool op de as op afstand 1 2

van A ligt noemen we C.

2. Vervolgens construeren we een punt D op afstand 12 p van C. Voor de juiste constructie is het nodig dat

wanneer de vergelijking +p bevat de volgorde van onder naar boven D, C, A is. Wanneer de vergelijking −p bevat moet het volgende gelden: als p ≤ 1, is de volgorde C, D, A, met AD =

1 2

− 12 p, en als p > 1

is de volgorde C, A, D, met AD = 12 p − 12 . 3. Teken een lijn DE loodrecht op de as van de parabool, zodat DE = 21 q. q 4. Maak de lengte EH = AD2 + 41 q2 ± r. De ± is een + als de vergelijking +r bevat, en is een −

als deze −r bevat. Deze lengte is te maken met behulp van de constructies die Descartes op blz.298 uitlegt. Descartes werkt deze tussenstappen op blz.392 uit. Teken dan de cirkel om het punt E met straal EH. 5. Er zijn hoogstens vier snij- en/of raakpunten van deze cirkel met de parabool. Noem deze G, F, g en f. Verbind deze punten met de punten K, L, k en l op de as van de parabool, zodat GK, FL, gk en fl

loodrecht op de as staan. 6. De bewering is nu dat, als deze lijnstukken GK, FL, gk en fl bestaan, hun lengte gelijk is aan de gezochte

wortels van z4 = ± pz2 ± qz ± r, en wel op de volgende manier: Als in de vergelijking −q staat, zijn de lijnstukken waarvan het snij- of raakpunt aan de andere

kant van de as ligt dan E de positieve wortels en degene waar het snij- of raakpunt aan dezelfde kant van de as ligt als E de negatieve wortels. Tapas of Descartian Geometry

23


Als in de vergelijking +q staat, zijn de lijnstukken waarvan het snij- of raakpunt aan dezelfde

kant van de as ligt als E de positieve wortels en degene waar het snij- of raakpunt aan de andere kant van de as ligt dan E de negatieve wortels. Als er niet zulke lijnstukken bestaan, betekent dit dat alle wortels imaginair zijn. Onderstaand plaatje geeft de situatie weer, in het geval dat de vergelijking +p bevat (blz.390 van [2]).

Descartes probeert enkel de uitspraak in stap 6 van de constructie voor een speciaal geval te bewijzen. Hij bekijkt de vergelijking z4 = +pz2 − qz + r en bewijst dat GK (waarbij K onder D ligt en G aan de andere 24


Lorijn van Rooijen

kant van de as dan E, zie bovengenoemd plaatje) daar een positieve wortel van is. Hieronder zullen we iets algemener bewijzen dat dit geldt voor alle geconstrueerde lijnstukken GK, waarbij G aan de andere kant van de as ligt dan E.

Bewijs van een speciaal geval van stap 6 van de constructie. De afstand GK noemen we z. Het punt G ligt op de parabool. We weten uit de Conica van Apollonius van Perga [4] (Boek I, propositie XI) dat GK dan de middenproportionaal is tussen de abscissa bij de ordinaat GK en de latus rectum, dus AK : GK = GK : 1. Dit geeft AK = GK2 = z2 . Omdat G op de parabool ligt en K op de as, geldt DK = AK − AC − CD (als de volgorde van de punten K, D, C, A is), of DK = AC + CD − AK (als de volgorde D, K, C, A of D, C, K, A is). Verder is bekend dat AC =

1 2

en CD = 12 p. De eerste volgorde leidt tot DK = z2 − 12 p − 21 , de tweede tot DK = −z2 + 12 p + 12 .

In beide gevallen geldt 1 1 1 DK2 = z4 − (p + 1)z2 + p2 + p + . 4 2 4

Teken M zodat KM loodrecht op de as staat en EM loodrecht op DE. Dan EM = DK en dus 1 1 1 EM2 = z4 − (p + 1)z2 + p2 + p + . 4 2 4

Verder geldt 1 GM = GK + KM = GK + DE = z + q, 2

dus 1 GM2 = z2 + qz + q2 . 4

Dit levert dat 1 1 1 1 EG2 (= EM2 + GM2 ) = z4 − pz2 + qz + p2 + p + q2 + . 4 2 4 4

Omdat het punt G op de cirkel om E ligt, geldt EG = EH. De vergelijking z4 = +pz2 − qz + r bevat +r, en daarom hebben we met stap 4 van de constructie EH = EG2 = EH2 =

q

AD2 + 14 q2 + r, dus

1 1 (1 + p)2 + q2 + r. 4 4

Stellen we nu de twee vergelijkingen voor EG2 aan elkaar gelijk, dan volgt 1 1 1 1 1 1 z4 − pz2 + qz + p2 + p + q2 + = (1 + p)2 + q2 + r. 4 2 4 4 4 4

Dus z4 = +pz2 − qz + r, oftewel GK is een wortel van de vergelijking. Tapas of Descartian Geometry

25


De afwijking in stap 2 van de hier weergegeven constructie vergeleken met Descartes' constructie betreft de plaats van het punt D. Descartes schrijft hierover op blz.391 in [2]: \Il faut faire CD ∝ 12 p, & la prendre du même côte, qu'est le point A au regard du point C, s'il y a +p en l'Equation; mais s'il y a − − p il faut la prendre de l'autre côte." Ook in de vertaling lezen we: \Lay o CD equal to 12 p so that the points D and A lie on the same side of C if the equation contains +p and on opposite sides if it contains −p." Wanneer in de vergelijking +p voorkomt, zou de volgorde van de punten van onder naar boven dus C, A, D of C, D, A worden, afhankelijk van hoe groot p is. Met deze constructie van het punt D geldt dat AD =

(als p ≤ 1) of AD = 12 p −

1 2

1 2

− 12 p

(als p > 1). In het bewijs van het geval op blz.393 in [2] is het nodig dat

AD = 12 p+ 12 . Anders gaat het mis, omdat voor K, C, D, A en K, C, A, D niet geldt dat AK−AC−CD = DK,

wat daar beweerd wordt. Het geval dat in de vergelijking −p voorkomt zit iets ingewikkelder in elkaar. Uit het moderne bewijs in [1], blz.364, is af te leiden dat in dit geval D zo geconstrueerd dient te worden als omschreven bij stap 2 van de hier weergegeven constructie. Na de behandeling van zijn standaardmethode voor het oplossen van vergelijkingen van graad 3 of 4 werkt Descartes twee toepassingen uit: het vinden van twee middenproportionalen en de trisectie van een hoek. In het vorige hoofdstuk is te lezen hoe het probleem van de twee middenproportionalen in een derdegraadsvergelijking (namelijk z3 = a2 q) te vangen is. Hetzelfde geldt voor het probleem van de trisectie van een hoek. Op blz.396 van [2] wordt uitgelegd hoe dit probleem tot de vergelijking z3 = 3z − q leidt. Descartes geeft vervolgens een lange uitwerking om te laten zien dat, met behulp van de formule van Cardano, alle lichamelijke problemen gereduceerd kunnen worden naar een van deze twee problemen. Hij gebruikt dit om te betogen dat de oplossing van lichamelijke problemen niet mogelijk is met enkel passer en lineaal. Zo lezen we hierover op blz.401 van [2] (in vertaling): \This follows at once from the fact that they1 all reduce to two constructions [. . . ] Inasmuch as the curvature of a circle depends only upon a simple relation between the center and all points on the circumference, the circle can only be used to determine a single point between two extremes, as, for example to nd one mean proportional between two given lines or to bisect a given arc; while, on the other hand, since the curvature of the conic sections always depend upon two dierent things, it can be used to determine two dierent points." 1 solid

26

problems


Lorijn van Rooijen

Deze passage, alhoewel niet erg precies, is volgens [1] (blz.379-380) de eerste keer dat gepoogd werd te bewijzen dat bepaalde constructies niet met passer en lineaal mogelijk zijn.

Constructieschets van vergelijkingen van graad vijf en zes Ook de constructie van 5e - en 6e - graadsvergelijkingen werkt Descartes uit in Boek 3. In deze paragraaf geven we hier alleen een zeer globale schets van. Zoals in de vorige paragraaf wordt er een standaardvorm gegeven, waarin elke 5e - of 6e - graadsvergelijking geschreven kan worden (de methoden hiervoor zijn in het eerste deel van Boek 3 uitgewerkt). De standaardvorm is y6 − py5 + qy4 − ry3 + sy2 − ty + u = 0,

met q > ( p2 )2 , en p, q, r, s, t, u lijnsegmenten ≥ 0. Vervolgens is een constructie nodig, die later de Cartesische parabool is genoemd. We zijn deze constructie eerder tegengekomen bij het oplossen van het probleem van Pappus, op blz.337 in [2]. Op blz.320 in [2] is het idee van de constructie in een plaatje te zien, waarbij in dit geval in plaats van de driehoek een parabool op de verticale lijn ligt. De parabool (met geschikte parameters), die op deze lijn ligt, moet eerst op een apart vel geconstrueerd worden, zodat hij verticaal over de lijn kan bewegen. Tijdens het proces snijden de lineaal en de parabool elkaar in een Cartesische parabool. Vervolgens moet een zekere cirkel geconstrueerd worden. De wortels van de vergelijking kunnen dan gevonden worden als de afstand tussen de horizontale lijn en de snijpunten van de cirkel en de Cartesische parabool. Merk op dat de constructie vereist dat op verschillende papieren krommen geconstrueerd worden, die later samengevoegd worden. In de praktijk is deze constructie vrijwel ondoenlijk. Zoals we in de volgende paragraaf zullen zien, zijn de constructies voor hogere graden nog complexer.

Generalisatie naar hogere orden Over het construeren van wortels van vergelijkingen die een hogere graad dan 6 hebben schrijft Descartes (in vertaling) het volgende op blz.413 in [2]: \[. . . ] furthermore, having constructed all plane problems by the cutting of a circle by a straight line, and all solid problems by the cutting of a circle by a parabola; and nally, all that are but one degree more complex by cutting a circle by a curve but one degree higher than the parabola, it is only necessary to follow the same general method to construct all problems, more and more complex, ad in nitum; for in the case of a mathematical progression, whenever the rst two or Tapas of Descartian Geometry

27


three terms are given, it is easy to nd the rest." Hier laat Descartes erg veel over aan de lezer. De laatste zin is duidelijk niet in het algemeen waar. Ook in deze speci eke `mathematical progression' is het niet precies duidelijk hoe de methode van construeren voortgezet kan worden naar hogere graden. In [1] wordt op blz.372 uiteengezet welke generalisatie Descartes waarschijnlijk voor ogen had: vergelijkingen van graad 2n − 1 en 2n zouden moeten kunnen worden geconstrueerd door intersectie van een cirkel en een kromme van graad n, die net zo gerelateerd is aan de kromme van graad n − 1 als een parabool (graad 2) aan een rechte lijn (graad 1), en als een Cartesische parabool (graad 3, zie het vorige hoofdstuk ) aan een parabool (graad 2). Zoals opgemerkt in [1], blz.373, is het onduidelijk of Descartes echt dacht dat het makkelijk was om de overige constructies te vinden. De laatste zin van La Geometrie luidt (in vertaling): \I hope that posterity will judge me kindly, not only as to those things which I have explained, but also as to those which I have intentionally omitted so as to leave to others the pleasure of discovery." Alhoewel deze zin over La Geometrie als geheel gaat, zouden we hieruit af kunnen leiden dat Descartes geen problemen voorzag bij de generalisatie van de constructie. Hij schrijft hierover in januari van 1638 aan Mersenne [3] (vol. I, blz.493): \[. . . ] je ne trouve autant qu'elle est trouvable, lors que je voudray prendre la peindre d'en faire le calcul. Mais je croy pouvoir employer mon temps plus utilement a d'autre choses." Dit komt erop neer dat Descartes dacht dat met een hoop rekenwerk de overige constructies te vinden waren, maar dat hij zelf zijn tijd liever nuttiger aan andere dingen besteedde. In oktober 1637 schreef Descartes een brief aan Haestrecht (het is niet duidelijk of deze naam correct is: in [3] (vol. I, blz.458) wordt deze persoon met *** aangeduid, in [1] met de naam Haestrecht en een vraagteken), die over dit onderwerp iets anders van toon is dan bovenstaande citaten. Haestrecht probeerde namelijk constructies te vinden voor 7e - en 8e - graadsvergelijkingen, waarop Descartes reageerde met [3] (vol. I, blz.460): \[. . . ] mais a cause qu'il s'y trouvera peut-être plus de dicultez que vous n'en avez prevue, je croy qu'il y faut venir par degrez & que vous pourriez auparuant faire des regles pour soudre les problemes solide." In dit fragment waarschuwt Descartes Haestrecht dat er misschien nog onvoorziene moeilijkheden op zullen treden, maar blijft hij bij zijn geloof dat het mogelijk is. 28


Lorijn van Rooijen

Afsluiting: Descartes’ methode en commentaar Descartes gaf in boek 3 van La Geometrie een stappenplan om meetkundige problemen op te lossen: vang het probleem eerst in een vergelijking, probeer die vergelijking zo veel mogelijk te reduceren en construeer daar de oplossingen bij met de beschreven methoden. Wanneer het probleem correspondeerde met een vergelijking in twee onbekenden, moest men een onbekende vasthouden en dan hetzelfde te werk gaan als bij vergelijkingen met een onbekende. Dit stappenplan voerde in de eeuw na de publicatie van La Geometrie de boventoon [1]. Er kwamen wel enkele aanmerkingen op. Zo was er onvrede over het idee om de complexiteit van een kromme te koppelen aan de graad ervan. Ook waren sommige wiskundigen tegen het idee dat een van de krommen, die in de constructies gebruikt worden, een cirkel moet zijn. Zo vond Jakob Bernoulli (in 1695) dat je krommen moest gebruiken die op een natuurlijke manier met het probleem samenhingen, ook al zouden die van hogere graad zijn. Ook publiceerde l'Hôpital (in 1707) een methode waarbij voor het oplossen van vergelijkingen van graad 8 gebruik werd gemaakt van twee krommen van graad 3, in plaats van een cirkel en een kromme van graad 4 [1]. In dit essay hebben we gezien hoe de methode van Descartes om meetkundige problemen op te lossen in elkaar zit. We hebben vooral naar problemen die vergelijkingen van graad 3 of 4 opleveren gekeken. In Descartes' bespreking hiervan zijn we tegen een fout in de gevalsonderscheidingen aangelopen. Verder hebben we gekeken naar de constructie van vergelijkingen van graad 5, 6 en hoger. Uit correspondentie hierover blijkt dat deze generalisatie meer moeite kost dan in [2] lijkt.

Bibliografie [1] Bos, H.J.M., 2001. Rede ning Geometrical Exactness, Descartes' Transformation of the Early Mo-

dern Concept of Construction. Springer-Verlag, New York. [2] Descartes, R., 1954. The geometry of Rene Descartes, (translated and edited by D.E. Smith and M.L. Latham), Dover Publications, New York. [3] Descartes, R., 1964-1974. Oeuvres de Descartes (`nouvelle presentation' of the ed. 1897-1913, edited by Charles Adam and Paul Tannery), 12 vols., Vrin, Paris. [4] Apollonius of Perga, 1896. Treatise on Conic Sections (edited in modern notation by T.L. Heath), University Press, Cambridge.


29

30


Over dioptriek in Descartes’ G´ eom´ etrie Anco Moritz In Descartes' Geometrie komt een passage over dioptriek voor, die de meeste lezers vermoedelijk niet direct begrijpen. In dit stuk wordt een en ander opgehelderd. Voor het hele essay heb ik uitsluitend gebruik gemaakt van [Smith & Latham, 1954]. \Citaten" uit La Geometrie van Descartes zijn citaten van de Engelse vertaling in dit werk.

La G´ eom´ etrie Aan het begin van de 21e eeuw wordt La Geometrie van Rene Descartes door veel wiskundigen erkend als een van de belangrijkste werken in de geschiedenis van hun vakgebied. Wat adolescenten op de middelbare school zich eigen maken, kan voor een goed deel aan dit boek worden toegeschreven. Het meest fundamentele voorbeeld daarvan is waarschijnlijk het `Cartesische assenstelsel', waarmee men doelt op een X-as en een Y -as, die loodrecht op elkaar staan en waaraan zo alle punten in het platte vlak gerelateerd kunnen worden.

Dat Descartes in zijn Geometrie veelal koos voor assen die helemaal geen hoek van π/2 radialen maakten (zie bijvoorbeeld [Smith & Latham, 1954], pagina 27), lijkt bij veel minder mensen bekend. Zodra men het boek uit 1637 openslaat en een poging doet het te lezen, krijgt men een idee over de oorzaak van dat misverstand. Natuurlijk golden er, wat betreft het neerschrijven van wiskunde, toen andere conventies dan tegenwoordig. Maar dat is zeker niet het enige. De stijl van Descartes doet vermoeden dat hij maar weinig inkt tot zijn beschikking had: constant worden er denkstappen overgeslagen, waarbij de auteur zich verontschuldigt met zinnen als \(. . . ) for I am already wearied by so much writing." ([Smith & Latham, 1954], pagina 26). La Geometrie kan derhalve misschien nog het beste vergeleken worden met een modern wiskundeboek, waarin de schrijver bij iedere stelling noteert dat hij het bewijs als oefening aan de lezer overlaat. In dit essay stel ik mijzelf ten doel een klein aantal pagina's van La Geometrie op te helderen. Te weten: een passage aangaande dioptriek die begint op pagina 115 en eindigt op pagina 135 van [Smith & Latham, 1954]. Descartes' uiteenzetting over lenzen en de breking van licht gaat door tot pagina 150. Natuurlijk zou

ik ook dat resterende stuk kunnen behandelen, maar \it would require a much larger volume than I wish to write." ([Smith & Latham, 1954], pagina's 111-112). Tapas of Descartian Geometry

31

Over dioptriek in Descartes’ G´ eom´ etrie

Een manier om raaklijnen te maken Voordat we met het stuk over dioptriek beginnen, is het nuttig om Descartes' methode voor het construeren van raaklijnen aan een kromme te bestuderen ([Smith & Latham, 1954], pagina's 94-115). We zullen deze nodig hebben om bepaalde stappen in de passage over lenzen te begrijpen. Omdat dit essay gaat over dat laatste en niet over het maken van raaklijnen, zullen we de correctheid van de methode niet aantonen.

Notatie Met R[X] bedoel ik de polynoomring in een variabele X over R, en evenzo zijn R[X, Y] en R[X, Y, Z] de polynoomringen in twee respectievelijk drie variabelen over R. Zoals Descartes refereer ik aan een curve AB met twee punten A en B die op de curve liggen, en met |AB| geef ik de Euclidische afstand tussen die punten aan.

Descartes’ methode voor het construeren van raaklijnen Zij gegeven een kromme EC in het platte vlak met vergelijking f(X, Y) = 0, f ∈ R[X, Y], en laat het de opdracht zijn door C = (x, y) een lijn te trekken die rechte hoeken maakt met EC.1 Veronderstel dan dat het probleem is opgelost, en noem de getrokken normaallijn CP, met P het snijpunt van CP met de horizontale coordinaatas2 AG en A de oorsprong van het assenstelsel. De nieer s = |CP| en v = |AP|. Druk y2 uit in x, s en v,3 i.e., vind een φ ∈ R[X, Y, Z] zodanig dat y2 = φ(x, s, v).4 Beschouw g := f(X,

p φ(X, s, v)). De claim

luidt nu dat x een dubbel nulpunt5 is van g.6 Men kan dus schrijven: g = (X2 − 2xX + x2 )h, h ∈ R[X]. Uit een coecientsgewijze beschouwing van deze vergelijking kunnen de waarden van s en v als functies van x worden gedestilleerd.

1 Dit

is equivalent met het tekenen van een raaklijn in C, omdat het maken van een loodlijn op een rechte een trivialiteit is, die al door de oude Grieken werd beheerst. 2 Merk op dat we altijd mogen aannemen dat er een horizontale as is. Zelfs als de co ordinaatassen niet loodrecht op elkaar staan, kan men het platte vlak roteren totdat een van hen horizantaal ligt. 3 Evengoed zouden we x2 kunnen uitdrukken in y, s en v. 4 Het is de bedoeling dat f hierbij niet gebruikt wordt; met de stelling van Pythagoras is dit alsnog altijd mogelijk. Als het coordinatenstelsel loodrecht is, geldt bijvoorbeeld y2 = s2 + (x − v)2 . p 5 Door de worteluitdrukking in f(X, φ(X, s, v)) hoeft g niet in het algemeen een element van R[X] te zijn: dit is pas zo als er in f uitsluitend even machten van Y voorkomen. Heel `toevallig' bekijkt Descartes alleen curven waarbij dat inderdaad het geval is. 6 De motivatie die Descartes voor deze bewering geeft, zouden we tegenwoordig niet aanvaarden als een rigoreus bewijs; hij maakt de claim wel erg aannemelijk.

32


Anco Moritz

Voorbeeld Zijn gegeven twee loodrechte coordinaatassen en een ellips EC met latus rectum r en horizontale as q. De bijbehorende vergelijking luidt Y 2 − rX +

r 2 X = 0. q

(1)

Zij het de opdracht om een normaallijn door C = (x, y) te maken. De nieer s en v zoals zojuist beschreven, en merk op: s2 = (v − x)2 + y2 ,

ofwel y2 = s2 − (v − x)2 .

Invullen van Y 2 = s2 − (v − X)2 in (1) geeft s2 − (v − X)2 − rX +

r 2 X = 0, q

of X2 +

qrX − 2qvX + qv2 − qs2 = 0. q−r

De bewering is nu dat het eerste lid van deze vergelijking van de vorm (X2 − 2xX + x2 )h is, h ∈ R[X]. Uit vergelijking van de coecienten van X2 volgt h = 1. Vervolgens zien we, door naar de coecienten van X te kijken: qr − 2qv = −2x, q−r

en hieruit volgt v = (1 −

r 1 )x + r. q 2

Dit is voldoende om de normaallijn te kunnen trekken: we weten nu het snijpunt P van de lijn met de horizontale as, en het punt C.

Beschrijving van de curve Direct na zijn uiteenzetting over raaklijnen schrijft Descartes het volgende ([Smith & Latham, 1954], pagina's 115-116): Tapas of Descartian Geometry

33


Figuur op Geometrie p.352.

\To show that a consideration of these curves is not without its use, and that they have diverse properties of no less importance than those of the conic sections I shall add a discussion of certain ovals which you may nd very useful in the theory of catoptrics and dioptrics. They may be described in the following way: Drawing the two straight lines FA and AR intersecting at A under any angle, I choose arbitrarily a point F on one of them (more or less distant from A according as the oval is to be large or small). With F as center I describe a circle cutting FA at a point a little beyond A, as at the point 5. I then draw the straight line 567 cutting AR at 6, so that A6 is less than A5, and so that A6 is to A5 in any given ratio, as, for example, that wich measures the refraction, if the oval is to be used for dioptrics. This being done, I take an arbitrary point G in the line FA on the same side as the point 5, so that AF is to GA in any given ratio. Next,

along the line A6 I lay o RA equal to GA, and with G as center and a radius equal to R6 I describe a circle. This circle will cut the rst one in two points 1, 18 , through which the rst of the required ovals must pass. Next, with F as center I describe a circle which cuts FA a little nearer to or farther from A than the point 5, as, for example, at the point 7. I then draw 78 parallel to 56 and with G as center and a radius equal to R8 I describe another circle. This circle will cut the one through 7 in the points 1, 1 which are point of the same oval. We can this nd as many points as may be desired, by drawing lines parallel to 78 and describing circles with F and G as centers." Als men de lijn FA als X-as beschouwt en vervolgens, loodrecht hierop en door het punt A, een Y -as de nieert, kan men uit de beschrijving van de curve een bijbehorende vergelijking in X en Y a eiden. Dit wordt gedaan in voetnoot 173, pagina 135 van [Smith & Latham, 1954]; wij zullen in dit stuk een andere vergelijking a eiden, waarbij de assen niet loodrecht op elkaar staan. 7 Het refereren aan punten met Arabische 8 Dit volgt uit de ongelijkheid |G5| < |R6|,

34

cijfers leidt hier evident tot verwarring. die op zijn beurt volgt uit |A6| < |A5|.


Anco Moritz

De stelling; een lange afleiding Na de zojuist geciteerde passage vervolgt Descartes met beschrijvingen van nog drie andere curven. Die zullen we hier niet bekijken. We beschouwen, in plaats daarvan, een uitspraak die hij doet over de eerste curve ([Smith & Latham, 1954], pagina 124): \In the rst oval the portion toward A causes rays passing through the air from F to converge towards G upon meeting the convex surface 1A1 of a lens whose index of refraction, according to dioptrics, determines such ratios as that of A5 to A6, by means of which the oval is described." Enkele pagina's later merkt hij op dat zo'n stelling een bewijs verdient ([Smith & Latham, 1954], pagina 131, toevoegingen van de auteur tussen ronde haken):

Figuur op Geometrie p.360

\I must not, however, fail to prove the statements already made. For this purpose, take any point C on the rst part of the rst oval, and draw the straight line CP normal to the curve at C. This can be done by the method given above, as follows:

Let AG = b, AF = c, FC = c + z. Suppose the ratio of d to e, which I always take here to measure the refractive power of the lens under consideration, to represent the ratio of A5 to A6 or similar lines used to describe the oval. Then GC = b −

e z, d

(2)

whence AP =

bcd2 − bcde + bd2 z + ce2 z . bde + cd2 + d2 z − e2 z

"

(3)

De gelijkheid (2) is niet moeilijk aan te tonen: de nieer in de guur R, 5 en 6 als in de guur op p.352. Merk op dat per constructie geldt |CG| = |R6| = |AR| − |A6|. Uit de de nitie van het punt R volgt |AR| = |AG|, en zojuist heeft deze laatste grootheid de naam b gekregen, waaruit volgt |CG| = b − |A6|. Ook net gede nieerd Tapas of Descartian Geometry

35


is de verhouding |A5|/|A6| = d/e, en dus geldt |A6| = (e/d)|A5|. Ten slotte ziet men |A5| = |F5| − |AF| = |CF| − |AF| = c + z − c = z, en dus |CG| = b − (e/d)z.

Hoe Descartes vervolgens bij conclusie (3) arriveert, is een wat langer verhaal. Kort gezegd komt het neer op het vinden van een vergelijking voor de beschreven ovaal en het vervolgens toepassen van zijn methode voor het vinden van raaklijnen. In essentie is dit een interessant proces; de vele verschillende grootheden in het spel maken het in de praktijk wat langdradig. Niettemin lijkt het me een goed idee om na te gaan wat Descartes' gedachtengang geweest zou kunnen zijn, en in hoeverre die correct uit zijn methode volgt. Trek vanuit het punt C de lijn CM loodrecht op AG. De nieer x = |AM| en y = |CM|. Merk op dat er vanaf nu drie variabelen meespelen: niet alleen de waarden van x en y hangen af van de keuze van het punt C; ook die van z doet dat, want Descartes de nieerde zelf CF = c+z. Die laatste variabele is degene waarin de lengte van het lijnstuk AP uitgedrukt zal moeten worden. Waarschijnlijk kan dat op meerdere manieren. Zo zou men bijvoorbeeld een vergelijking in x en y af kunnen leiden, de methode kunnen toepassen met eliminatie van x (y) en dus |AP| verkrijgen als uitdrukking in y (x) en ten slotte y (x) op kunnen schrijven in termen van z. We kunnen ook een vergelijking in x (y) en z a eiden en vervolgens, bij toepassing van de methode, x (y) elimineren, waaruit direct de gewenste uitdrukking in z zou moeten verrijzen. Mijn insziens maakt

het qua bondigheid weinig uit welke weg men hier zou bewandelen { wij kiezen de laatstgenoemde. Een vergelijking in x en z is dus gewenst. Merk hiertoe op dat geldt

(c + z)2 − (c + x)2 = y2 = (b −

e 2 z) − (b − x)2 , d

door toepassing van de stelling van Pythagoras op verschillende driehoeken. Uitschrijven van de kwadratische termen geeft: e2 e c2 + 2cz + z2 − c2 − 2cx − x2 = b2 − 2 bz + 2 z2 − b2 + 2bx − x2 , d d

of e2 e −2(c + b)x + 2cz + z2 + 2 bz − 2 z2 = 0, d d

en uit deze vergelijking lezen we direct een f ∈ R[X, Z] af, die de gegeven ovaal beschrijft middels de vergelijking f(X, Z) = 0. 36


Anco Moritz

We introduceren nu s = |CP| en v = |AP| en stellen ons ten doel x uit te drukken in s, v en z. Weer met de stelling van Pythagoras zien we:

s2

= y2 + (v − x)2 =

(c + z)2 − (c + x)2 + (v − x)2

=

(c + z)2 + (v + c)(v − 2x − c),

en hieruit volgt:

x=

−s2 + 2cz + z2 + v2 =: φ(s, v, z). 2(v + c)

Zo zien we:

f(φ(s, v, Z), Z)

−(c + b)(−s2 + 2cZ + Z2 + v2 ) v+c e2 e +2cZ + Z2 + 2 bZ − 2 Z2 d d −d2 (c + b) − e2 (v + c) + d2 (v + c) 2 = Z d2 (v + c) −2c(c + b) e + + 2c + 2b Z+R v+c d =: g ∈ R[Z], =

waarbij R een zekere restterm is, bestaande uit constanten, die we verder niet nodig zullen hebben. De methode zegt nu dat er een h ∈ R[Z] is, zodanig dat g = (Z2 −2zZ+z2 )h. Vergelijking van de coecienten van Z2 geeft

h=

−d2 (c + b) − e2 (v + c) + d2 (v + c) . d2 (v + c)

Kijken we nu naar de coecienten van Z, dan zien we −2c(c + b) e −d2 (c + b) − e2 (v + c) + d2 (v + c) + 2c + 2b = −2zh = −2z , v+c d d2 (v + c) Tapas of Descartian Geometry

37


of −2cd2 (c + b) + 2cd2 (v + c) + 2bde(v + c) = −2z, −d2 (c + b) − e2 (v + c) + d2 (v + c)

waaruit volgt

(v + c)(cd2 + bde − e2 z + dz ) = cd2 (b + c) + d2 (b + c)z.

We concluderen

v = = =

cd2 (b + c) + d2 (b + c)z − c(cd2 + bde − e2 z + d2 z) cd2 + bde − e2 z + d2 z 2 2 2 bcd + c d + bd2 z + cd2 z − c2 d2 − bcde + ce2 z − cd2 z cd2 + bde − e2 z + d2 z bcd2 − bcde + bd2 z + ce2 z , bde + cd2 + d2 z − e2 z

zoals gewenst. We zien dat de overgeslagen stap in het laatstgeciteerde stuk een bijzonder grote is, die zelfs volgens Descartes' gebruiken veel eigen denkwerk van de lezer vereist.

Voltooiing van het bewijs We zetten het citaat op pagina 5 van dit essay voort ([Smith & Latham, 1954], pagina 131): \From P draw PQ perpendicular to FC, and PN perpendicular to GC. Now if PQ : PN = d : e, that is, if PQ : PN is equal to the same ratio as that between the lines which measure the refraction of the convex glass AC, then a ray passing from F to C must be refracted toward G upon entering the glass. This follows at once from dioptrics." (Merk op dat Q in de guur op pagina 360 erg op een O lijkt.) We gaan na hoe het een uit het ander volgt. Veronderstel dus dat |PQ|/|PN| = d/e, zij θ1 de invalshoek van een lichtstraal van F naar C en zij θ2 de uitvalshoek. Volgens de wet van Snellius, die in Descartes' tijd bekend was, geldt dan: sin θ1 d |PQ| = = . sin θ2 e |PN| 38


Anco Moritz

Zij nu η = ∠PCG. We moeten aantonen dat θ2 = η. Door de presentie van overstaande hoeken en per de nitie van de sinusfunctie kunnen we opmerken:

sin θ1 = sin ∠PCQ =

|PQ| , |PC|

en dus

|PC| =

|PQ|

sin θ1

.

Er volgt:

sin η =

|PN| sin θ1 = |PN| · = sin θ2 . |PC| |PQ|

Het resterende deel van het bewijs is helder neergeschreven. Voor de volledigheid zal ik het hier overnemen ([Smith & Latham, 1954], pagina's 132-135)(toevoegingen van de auteur tussen ronde haken). \Now let us determine by calculation if it be true that PQ : PN = d : e. The right triangles PQF and CMF are similar, whence it follows that CF : CM = FP : PQ, and

the right triangles PNG and CMG are similar, and therefore

GP·CM CG

FP·CM CF

= PQ. Again,

= PN. Now since the

multiplication or division of two terms of a ratio by the same number does not alter the ratio, if FP·CM CF

:

GP·CM CG

= d : e (4), then, dividing each term of the rst ratio by CM and multiplying

each by both CF and CG we have FP · CG : GP · CF = d : e (5).9 Now by construction,

FP = c +

bcd2 − bcde + bd2 z + ce2 z , cd2 + bde − e2 z + d2 z

or

FP =

bcd2 + c2 d2 + bd2 z + cd2 z , cd2 + bde − e2 z + d2 z

and 9 Merk

op hoe Descartes hier een implicatie (4) ⇒ (5) presenteert, maar vervolgens de (tevens juiste) implicatie (5) ⇒ (4) gebhruikt.


39


Anco Moritz

CG = b −

e z. d

Then

FP · CG =

b2 cd2 + bc2 d2 + b2 d2 z + bcd2 z − bcdez − c2 dez − bdez2 − cdez2 . cd2 + bde − e2 z + d2 z

Then

GP = b −

bcd2 − bcde + bd2 z + ce2 z ; cd2 + bde − e2 z + d2 z

or

GP =

b2 de + bcde − be2 z − ce2 z ; cd2 + bde − e2 z + d2 z

and CF = c + z. So that

GP · CF =

b2 cde + bc2 de + b2 dez + bcdez − bce2 z − c2 e2 z − be2 z2 − ce2 z2 . cd2 + bde − e2 z + d2 z

The rst one of these products divided by d is equal to the second divided by e, whence it follows that PQ : PN = FP.CG : GP.CF = d : e, which was to be proved."

Bibliografie Smith, D.E. & Latham, M.L. 1954. The Geometry of Rene Descartes. Dover Publications Inc., New York.

40


Handleiding bij Mathematica-notebooks voor het tekenen van enkele geometrische krommen van Descartes Wouter Duivesteijn In het afgelopen semester heeft een groepje Wiskundestudenten, onder wie ondergetekende, zich gestort op La Geometrie van Rene Descartes (voor de papieren versie die wij hebben gebruikt (inclusief Engelse vertaling!): zie [1]). Onder (heel veel) andere stuitten we daarbij op enkele curves die Descartes genereerde door middel van mechanische constructies. Bij de meeste van deze curves is het aanzienlijk moeilijker om analytisch een functievoorschrift te bepalen dat de curve beschrijft, dan om de constructie te geven die de curve genereert. Toen Descartes zijn werk publiceerde, kon hij om zo'n mechanische kromme te tekenen weinig anders dan zijn constructie daadwerkelijk knutselen (of uit de losse pols een benadering tekenen). Wij leven nu ruim 370 jaar later, en dus kunnen wij de mechanische krommen simuleren met onze computers. Ik heb dan ook

twee van Descartes' constructies uitgeprogrammeerd in Mathematica [2]. Het is niet prettig om te moeten werken met een kale lap code, dus dit is de handleiding bij, en tegelijkertijd demonstratie van, de notebooks. Na deze inleiding volgen er twee secties, een voor elke mechanische constructie. In elk van deze secties zal ik eerst beschrijven om welke mechanische constructie het gaat, vervolgens hoe we die constructie in een wiskundig model vangen, en tenslotte hoe ik dat model in Mathematica hebben geconstrueerd. Na de bibliogra e volgen twee appendices; zij bevatten de volledige code van beide notebooks.

De constructie van bladzijde 318 Op bladzijde 318 van La Geometrie vinden we de hiernaast afgebeelde constructie:


41

Handleiding bij Mathematica-notebooks voor het tekenen van enkele geometrische krommen

Werking Het werkt als volgt. De lineaal XY begint op dezelfde locatie als de as YZ, en roteert om het punt Y heen. We leggen het punt A vast. Vervolgens nemen we het punt B op de lineaal XY zodanig dat de lengte van YA gelijk is aan de lengte van YB, en vanuit dat punt B laten we een lat omlaag lopen, loodrecht op XY .

Het punt waar deze lat de as YZ snijdt noemen we C. Vanuit C trekken we een lat omhoog, loodrecht op YZ, en het punt waar deze lat de lineaal XY snijdt noemen we D. Vanuit punt D trekken we weer een lat

omlaag, loodrecht op XY , en het punt waar deze lat de as YZ snijdt noemen we E, enzovoorts. In de guur staat deze constructie doorgevoerd tot en met het punt H, maar dat is arbitrair: we kunnen ons latwerk zo uitgebreid maken als we zelf willen. Als we nu XY laten beginnen op de as YZ, en deze laten roteren tot hij een hoek van net niet1 21 π bereikt, dan maakt elk geconstrueerd punt op XY een baan door, en die banen zijn de mechanische krommen die we zoeken. De baan van punt B is niet zo interessant, want dat is een cirkel met straal YA, maar D volgt een vierdegraads kromme, F een achtstegraads, H een twaalfdegraads, enzovoorts (zie [1], bladzijde 47, voetnoot 75).

Model We zullen ons model opstellen in het voor ons vertrouwde (x, y)-assenstelsel, en in dat proces hergebruiken we dus wat letters uit de guur op een andere manier. We nemen Y uit de guur als de oorsprong O van ons stelsel, YZ als de x − as, en daar loodrecht op nemen we de y − as, dit alles zodanig dat de hele guur aan de kant van het stelsel ligt waar zowel x als y positief is. We mogen zelf een punt A op de positieve x-as vastleggen, dus laten we daarvoor (1, 0) nemen. We nemen aan dat de hoek die de lineaal maakt met de positieve x-as gelijk is aan θ, met 0 ≤ θ < 12 π. In het vervolg noteren we van een punt N de x-coordinaat met xN en de y-coordinaat met yN . Het is meteen duidelijk dat B het punt op de eenheidscirkel is, onder hoek θ, dus B = (cos θ, sin θ). Ook is meteen duidelijk dat yC = 0, en voor xC gebruiken we de goniometrieformule voor de cosinus in driehoek OBC . Daaruit volgt dat xC gelijk is aan de lengte van OB gedeeld door de cosinus van θ, dus √ C =

2 x2 B +yB ,0 cos θ

. Het punt D ligt loodrecht boven C, dus moet xD = xC . Voor yD gebruiken we de

goniometrieformule voor de tangens in driehoek OCD, en we vinden dat yD gelijk moet zijn aan xC maal de tangens van θ, dus D = (xC , xC tan θ). 1 anders

42

hebben we oneindige latten nodig


Wouter Duivesteijn

Voor punt E kunnen we dezelfde truuk toepassen als voor punt C: we weten dat yE = 0, en voor xE kunnen we dezelfde formule gebruiken als voor xC als we daarin de coordinaten van B vervangen door die van D. Voor punt F kunnen we vervolgens dezelfde truuk toepassen als voor punt D: xF = xE , en voor yF kunnen we dezelfde formule gebruiken als voor yD als we daarin de coordinaten van C vervangen door die van E. Met behulp van slechts deze formules kunnen we ieder volgend punt construeren uit zijn voorganger.

Implementatie De implementatie (zie appendix A) zit als volgt in elkaar: n=4; xaxis[x_]:=0; ruler[x_,theta_]:=x Tan[theta];

Hierin is n de enige parameter die je als gebruiker wilt veranderen: dit is het aantal krommen dat we gaan genereren. De andere twee functies zijn om de x-as en de lineaal te plotten. f[i_,j_]:=If[i==1, If[j==1, {1,0}, {Norm[f[2,j-1]]/Cos[t],0} ], If[j==1, {Cos[t],Sin[t]}, {f[1,j][[1]],f[1,j][[1]] Tan[t]} ] ];

Deze functie verdient wat aandacht, want hier worden de coordinaten bepaald. De variabele j kan waarden aannemen in {1, 2, . . . , n}, en correspondeert met een tweetal gegenereerde punten, namelijk het n-de punt op de x-as en het punt daar recht boven. De variabele i neemt waarden 1 en 2 aan, waarbij i = 1 overeen komt met punten op de x-as, en i = 2 met punten op de lineaal. Dus als i = 1, dan hebben we een punt op de x-as, en: als j = 1 dan hebben we punt A en leveren we coordinaten (1, 0) op; anders bepalen we de co ordinaten met de formule uit de vorige subsectie, gebruikmakend van de coordinaten van het punt op de lineaal uit het vorige tweetal. Tapas of Descartian Geometry

43


Maar als i 6= 1, dan hebben we een punt op de lineaal, en: als j = 1 dan hebben we punt B en leveren we coordinaten (cos t, sin t) op; anders bepalen we de co ordinaten met de formule uit de vorige subsectie, gebruikmakend van de

coordinaten van het punt op de x-as uit hetzelfde tweetal. Merk op dat de operator [[1]] het eerste element pakt van de verzameling die ervoor staat, dus hier zorgt het er handigerwijs voor dat we de x-co ordinaat krijgen.

In dit hele verhaal is t een nog nader te verklaren variabele. thetastart=0; thetaend=89 Degree; range=10; epsilon=0.001;

Dit bepaalt respectievelijk van waar we θ laten lopen, tot waar we θ laten lopen, tot welke x en y we het plaatje willen zien, en hoe ver we onze krommes stiekem verder tekenen dan onze lineaal echt reikt. Als we dat laatste namelijk niet doen, crasht Mathematica bij het genereren van het plaatje in de begintoestand, en bij deze lage waarde van is het verschil toch niet te zien. Manipulate[ Show[ Plot[ {xaxis[x],ruler[x,theta]},{x,0,10},Axes->None, PlotStyle->Black,PlotRange->{{0,range},{0,range}}, ImageSize->600 ], ParametricPlot[ Array[f,{2,n}][[2]],{t,thetastart,theta+epsilon}, PlotStyle->Red ]] {theta,thetastart,thetaend,Appearance->"Labeled"} ]

44


Wouter Duivesteijn

Dit ga ik van buiten naar binnen uitleggen. Het Manipulate-commando zegt, dat we de volgende dingen gaan weergeven met een schuifbalk waardoor we zelf de waarde van θ kunnen instellen. Daarbinnen combineert het Show-commando twee dingen. De eerste is een Plot van zowel de x-as als de lineaal in het zwart. De tweede is een ParametricPlot van een rij coordinatenparen, gegenereerd door onze functie f op diens tweede rij, corresponderend met i = 2, dus de punten op de lineaal. We laten dit lopen over een nieuwe variabele t (de variabele die onze functie f uitspuugt), van onze waarde voor θstart tot de huidige waarde van θ +

(omdat θ ook in deze bovengrens voorkomt hebben we dus die t nodig). Dit genereert dus de krommen tot dusver, in het rood. Met n = 8 en θ = 1.08423 levert deze code het volgende:


45


De constructie van bladzijde 320 Op bladzijde 318 van La Geometrie vinden we onderstaande constructie:

Werking Het werkt als volgt. De lineaal GL roteert om het punt G heen. We leggen het punt A vast, en laten een object (in de guur een driehoek met een doorgetrokken zijde) met de lineaal meebewegen over de as die loodrecht op GA staat. Dit object zit op een bepaalde manier vast aan de lineaal. De punten waar de lineaal de rand van het object snijdt, vormen de mechanische kromme die we zoeken. Descartes gebruikt zijn constructie onder andere door voor het object een parabool te nemen. De snijpunten vormen nu de hiernaast afgebeelde \Cartesische parabool", die voldoet aan de derdegraads vergelijking y3 − 2ay2 − a2 y + 2a3 = axy (zie bladzijden 336 en 337 van La Geometrie ).

46


Wouter Duivesteijn

Model Ook hier zullen we ons model opstellen in het (x, y)-assenstelsel. We nemen de G uit de guur als de oorsprong van ons stelsel, GA als de x-as, en daar loodrecht op nemen we de y-as, dit alles zodanig dat de hier afgebeelde guur aan de kant van het stelsel ligt waar zowel x als y positief is. We mogen zelf een punt A op de positieve x-as vastleggen, en nu gaan we voor (3, 0). Doordat we veel vrijheid hebben in deze constructie, is dat alle modellering die we nodig hebben.

Implementatie De nu volgende implementatie (zie ook appendix B) is grotendeels geschreven door Jantien Dopper. Ik heb hem iets uitgebreid, en soms geherformuleerd. Hij zit als volgt in elkaar: a=1; y[x_,b_]:=(x-3)+b; z[x_,a_,b_]:=(a+b)x;

Hierin is z onze lineaal, en y het object. Doordat deze laatste een term +b heeft beweegt het object met de lineaal mee, en doordat de richtingscoecient van de z een extra term a heeft, kan een hoogteverschil worden ingesteld. Dat gebeurt dus op de eerste regel. bstart=-55; bend=55; range=10; epsilon=0.001;

Niets nieuws onder de zon. De initiele waarde van b, de eindwaarde van b een parameter die bepaalt hoe groot het gebied is dat we gaan tekenen, en dezelfde als in de vorige sectie. qpunt[x_,a_,b_]:={x,z[x,a,b]};

Voer een x-waarde in en de huidige waarden van a en b, en deze functie levert de bijbehorende coordinaten van de lineaal. Qx[b_]:=xx/.NSolve[y[xx,b]==z[xx,a,b],xx];

Gegeven een waarde voor b, levert deze functie de x-waarden waar lineaal en object elkaar raken.


47

Handleiding bij Mathematica-notebooks voor het tekenen van enkele geometrische krommen snijpunten[b_]:=Transpose[qpunt[Qx[b],a,b]];

Combinatie van de vorige twee: gegeven een b-waarde, levert deze functie de coordinaten van de snijpunten. Resulterende matrix moet getransponeerd voor gebruik in volgende functie. Manipulate[ Show[ Plot[ {y[x,b],z[x,a,b]},{x,-10,10},PlotStyle->{Blue,Gray}, PlotRange->{{-range,range},{-3 range,3 range}}, ImageSize->800 ],

ParametricPlot[ snijpunten[beta],{beta,bstart,b+epsilon}, PlotStyle->Red ] ], {b,bstart,bend,Appearance->"Labeled"} ]

Net als in de vorige sectie worden hier guren getoond met een schuif waarmee we zelf b kunnen varieren, en worden in de Plot de lineaal en het object getekend, en in de ParametricPlot de geconstrueerde curve tot dusver. Voor y = x − 3 + b en b = −4.2 levert dat het volgende: 30

20

10

-10

-5

5

10

-10

-20

-30

48


Wouter Duivesteijn

Als we de constructie doortrekken, krijgen we het volgende: 30

20

10

-10

-5

5

10

-10

-20

-30

Prachtig, maar blijkbaar is ons computermodel niet opgewassen tegen asymptoten. Laten we daar wat aan doen: If[MatchQ[y[x,b],_+b+x], raakpunten:= b/.Solve[{D[y[x,b],x]==D[z[x,a,b],x]},{b,x}], b/.Solve[{y[x,b]==z[x,a,b],D[y[x,b],x]==D[z[x,a,b],x]},{b,x}], ]

Vervolgens sluiten we deze raakpunten uit in de opties van de ParametricPlot in het Manipulate-commando: Exclusions->raakpunten,ExclusionsStyle->Red

Nu genereren we de volgende curve: 30

20

10

-10

-5

5

10

-10

-20

-30

Dat werkt; tijd voor tweedegraads functies.


49


Als y =

p

(x − 3)2 + b2 en b = 19, dan krijgen we: 30

20

10

-10

-5

5

10

5

10

5

10

-10

-20

-30

Voor y = x2 − 2x + b en b = 20 krijgen we: 30

20

10

-10

-5

-10

-20

-30

Nice. Voor y = x2 + x + b en b = 20 krijgen we: 30

20

10

-10

-5

-10

-20

-30

Dat is vreemd. Even naar een derdegraads vergelijking kijken.

50


Wouter Duivesteijn

Voor y = x3 − 2x2 + b en b = 25 krijgen we: 30

20

10

-10

-5

5

10

-10

-20

-30

In de laatste twee voorbeelden heb ik rode lijntjes te veel. Maar in dit laatste geval wordt het nog erger, want voor b = −15 zien we: 30

20

10

-10

-5

5

10

-10

-20

-30

De lineaal raakt duidelijk de guur, maar door dat punt krijg ik geen rode lijn. Om het probleem op te lossen gaan we maar eens naar de snijpunten kijken: snijpunten[-15]

De uitvoer levert drie oplossingen: (−0.6 − 3.6i, 7.9 + 50.4i), (−0.6 + 3.6i, 7.9 − 50.4i) en (1.1, −15.8). Waarom die derde oplossing niet getekend wordt is mij een groot raadsel. Mogelijk een bug in Mathematica, of in mijn code natuurlijk. Maar blijkbaar worden er dus complexe oplossingen getekend, en die moeten er even tussenuit gevist:


51

Handleiding bij Mathematica-notebooks voor het tekenen van enkele geometrische krommen reelesnijpunten[b_]:=Select[snijpunten[b], Not[MatchQ[#[[1]],_Complex]] || Not[MatchQ[#[[2]],_Complex]] & ];

Als we dit nu inpluggen in de ParametricPlot binnen de Manipulate op de plek waar snijpunten[beta] stond, zou het moeten werken. Voor y = x2 + x + b en b = 20 krijgen we: 30

20

10

-10

-5

5

10

-10

-20

-30

We houden een kleine discontinuteit in de rechterboog over, maar de complexe dingen zijn verdwenen, dus dat is mooi. Voor y = x3 − 2x2 + b en b = 25 krijgen we: 30

20

10

-10

-5

5

10

-10

-20

-30

Ook hier zijn de complexe boogjes weg, en als extra bonus heb ik mijn ontbrekende oplossingstak gekregen. Maar de rest van de oplossing is helaas verdwenen, terwijl de betreende punten in uitvoer van snijpunten wel terug te vinden zijn. Dus tot slot een waarschuwing voor de gebruiker: de meeste resultaten kloppen redelijk, maar soms verdwijnen er hele oplossingstakken, dus vaar niet blind op dit notebook.

52


Wouter Duivesteijn

Bibliografie [1] Descartes, R., 1637. The Geometry of Rene Descartes, with a facsimile of the rst edition (vertaald door Smith, D.E. en Latham, M.L. in 1925, en opnieuw gepubliceerd in 1954). Dover Publications Inc., Mineola. [2] http://www.wolfram.com/products/mathematica/

Appendix A: Notebook voor de constructie van bladzijde 318 n=4; xaxis[x_]:=0; ruler[x_,theta_]:=x Tan[theta];

f[i_,j_]:=If[i==1, If[j==1, {1,0}, {Norm[f[2,j-1]]/Cos[t],0} ], If[j==1, {Cos[t],Sin[t]}, {f[1,j][[1]],f[1,j][[1]] Tan[t]} ] ];

thetastart=0; thetaend=89 Degree; range=10; epsilon=0.001;


53

Handleiding bij Mathematica-notebooks voor het tekenen van enkele geometrische krommen Manipulate[ Show[ Plot[ {xaxis[x],ruler[x,theta]},{x,0,10},Axes->None, PlotStyle->Black,PlotRange->{{0,range},{0,range}}, ImageSize->600 ], ParametricPlot[ Array[f,{2,n}][[2]],{t,thetastart,theta+epsilon}, PlotStyle->Red ]] {theta,thetastart,thetaend,Appearance->"Labeled"} ]

Appendix B: Notebook voor de constructie van bladzijde 320 a=1; y[x_,b_]:=(x-3)+b; (*y[x_,b_]:=Sqrt[(x-3)^2+b^2];*) (*y[x_,b_]:=x^2-2x+b;*) (*y[x_,b_]:=x^2+x+b;*) (*y[x_,b_]:=x^3-2x^2+b;*) z[x_,a_,b_]:=(a+b)x;

bstart=-55; bend=55; range=10; epsilon=0.001;

qpunt[x_,a_,b_]:={x,z[x,a,b]};

Qx[b_]:=xx/.NSolve[y[xx,b]==z[xx,a,b],xx];

54


Wouter Duivesteijn snijpunten[b_]:=Transpose[qpunt[Qx[b],a,b]];

If[MatchQ[y[x,b],_+b+x], raakpunten:= b/.Solve[{D[y[x,b],x]==D[z[x,a,b],x]},{b,x}], b/.Solve[{y[x,b]==z[x,a,b],D[y[x,b],x]==D[z[x,a,b],x]},{b,x}], ]

reelesnijpunten[b_]:=Select[snijpunten[b], Not[MatchQ[#[[1]],_Complex]] || Not[MatchQ[#[[2]],_Complex]] & ];

Manipulate[ Show[ Plot[ {y[x,b],z[x,a,b]},{x,-10,10},PlotStyle->{Blue,Gray}, PlotRange->{{-range,range},{-3 range,3 range}}, ImageSize->800 ], ParametricPlot[ reelesnijpunten[beta],{beta,bstart,b+epsilon}, PlotStyle->Red, Exclusions->raakpunten,ExclusionsStyle->Red ] ], {b,bstart,bend,Appearance->"Labeled"} ]


55

56


Driehoekslandmeetkunde op de manier van Descartes Auke Mollema Dit concept van een lesbrief bij het vak wiskunde is bedoeld voor scholieren uit VWO 3 en VWO 4. De stof die behandeld zal worden is inzichtelijk voor scholieren van het VWO vanaf de derde klas en in elk geval begrijpelijk voor de docent. Dit essay kan gebruikt worden als extra materiaal bij het onderwerp vergelijkingen oplossen of onderdeel zijn van een (tussen)toets. De verantwoording bevindt zich aan het einde van dit essay.

Inleiding We gaan terug naar de 17e eeuw. In 1637 schreef de losoof Rene Descartes zijn werk La Geometrie. Hoewel Descartes een Fransman was, verscheen zijn boek in Nederland. Dat boek gaat over meetkundige problemen en Descartes gaat deze proberen op te lossen door ze tot een vergelijking te brengen. Dit was geheel nieuw in die tijd. Zo voert Descartes bijvoorbeeld x in als lengte van de onbekende zijde. Descartes begint met te zeggen dat het probleem dat hij bekijkt al opgelost is! Pas daarna vindt hij de oplossing. Dit lijkt op het eerste gezicht een vreemde oplossingsmethode maar wij gaan proberen zijn manier ook te gebruiken. In het bijzonder zullen we, nadat we de methode van Descartes onder ogen hebben gezien, kennis maken met driehoekslandmeetkundige problemen.

La G´ eometrie Geschiedenis Rene Descartes werd geboren in Frankrijk in 1596 en leefde tot 1650. In de periode van 1620 tot 1628 reisde hij veel en verbleef onder andere in Parijs. Van 1628 tot 1648 was hij in Nederland in bijvoorbeeld Utrecht. In 1648 ging Descartes naar Zweden en stierf daar in 1650 aan een longontsteking. Descartes richtte zich vooral op de wiskunde en wijsbegeerte. Hij zocht naar methoden om de waarheid in de wetenschap te vinden, en wilde zo het ontdekken van nieuwe waarheden stimuleren en de wereld door het menselijke verstand begrijpen. In 1637 schreef Descartes La Geometrie in het Frans over het oplossen van meetkundige Tapas of Descartian Geometry

57

Driehoekslandmeetkunde op de manier van Descartes

problemen. Opvallend in dit boek was dat de klassieke meetkunde binnen het bereik van de algebra werd gebracht. Zo vulden meetkundige en algebrasche methoden elkaar aan. (zie [Struik, pp.134-138])

De methode Descartes vertelt aan het begin van zijn boek: \Alle problemen in de Meetkunde kunnen gemakkelijk tot zodanige termen worden teruggebracht, dat men daarna alleen de lengte van een paar rechte lijnen (d.w.z. lijnsegmenten) hoeft te kennen om ze (die problemen) te construeren" [Reader Geschiedenis van de wiskunde, pp.89] Anders gezegd beweert Descartes dat elk meetkundig probleem teruggebracht kan worden tot een algebrasch probleem. Ten slotte leidt dat algebrasch probleem tot het oplossen van een vergelijking met een onbekende. Descartes brengt een stappenplan om van een probleem tot een vergelijking te komen. Dit stappenplan, dat in dit essay ook gebruikt zal worden voor het oplossen van driehoekslandmeetkundige problemen, gaat als volgt: 1. Neem aan dat het probleem al opgelost is. 2. Geef namen aan de lijnstukken in het meetkundige guur (x en y aan onbekende en bijvoorbeeld a en b aan bekende lijnstukken. 3. Probeer een lijnstuk op twee verschillende manieren uit te drukken. 4. Stel die twee uitdrukkingen uit stap 3 aan elkaar gelijk, dat geeft een vergelijking. 5. Los de vergelijking op door middel van algebra. 6. Maak de meetkundige oplossing.

Door middel van verschillende vraagstukken, die oplopen in moeilijkheidsgraad, zullen we nu deze methode gaan toepassen. Hopelijk ontdek je overeenkomsten tussen jouw oplossingsmethode en de bovenstaande methode. Nadat Descartes zijn methode beschreven heeft zegt hij: \Maar ik zal niet stoppen om dit in meer detail uit te leggen, omdat ik dan u het plezier zou afnemen om dit zelf uit te zoeken, en ook het nut van uw geest te cultiveren door u erin te oefenen, hetgeen colgens mij het belangrijkste nut is dat men uit deze wetenschap kan trekken." [Reader Geschiedenis van de Wiskunde, pp.90] 58


Auke Mollema

Vraagstukken Nu de methode bekend is kunnen we daarmee een aantal vraagstukken oplossen. De manier van Descartes zal af en toe tegen je intutie ingaan doordat je de problemen op een eenvoudigere manier zou kunnen en willen oplossen. Toch zullen we dan de methode van Descartes gaan gebruiken, omdat die methode ook werkt voor problemen waarbij je het antwoord niet direct ziet. Bij de Vraagstukken 1 en 2 zal de methode van Descartes heel duidelijk per stap worden aangegeven. Daarna zal de oplossing worden verteld in een stuk tekst net zoals Descartes dat deed.

Vraagstuk 1 Dit eerste vraagstuk is ontleend aan een boek van Ludolf van Ceulen uit 1615 (pp.119). Gegeven: Een driehoekig stuk land ABC met bekende zijden. Gevraagd: Twee even grote stukken land verdeeld vanuit een hoek. Oplossing: 1. We nemen aan dat het probleem opgelost is. Driehoek ABC is in twee even grote driehoeken ABD en BCD gedeeld. (Zie guur 1) 2. We tekenen vanuit C een loodlijn op AB en het snijpunt met AB noemen we E. Verder geven we een

aantal zijden een letter: |CB| = a,|AC| = b, |AB| = c, |AD| = y, |ED| = d en |BD| = x. Hieruit weten we ook dat |AE| = y − d. Verder is de hoogte (|CE|) van de driehoek ABC met behulp van de stelling van Pythagoras gelijk aan

p

b2 − (y − d)2

3. We bekijken de oppervlakte van driehoek ADC en driehoek BCD: p basis · hoogte y · b2 − (y − d)2 Opp(ADC) = = 2 2 p basis · hoogte x · b2 − (y − d)2 = Opp(BCD) = 2 2 4. De twee oppervlaktes bij de vorige stap moeten aan elkaar gelijk zijn. Dus er moet gelden: p p y · b2 − (y − d)2 x · b2 − (y − d)2 Opp(ADC) = = = Opp(BCD) 2 2 5. Deze vergelijking kunnen we oplossen: y x = 2 2

Hieruit blijkt dat x gelijk moet zijn aan y. Tapas of Descartian Geometry

59

Driehoekslandmeetkunde op de manier van Descartes 6. Dus de lijn vanuit C die twee evengrote driehoeken geeft moet precies halverwege de lijn AB eindigen.

Figuur 1: Constructie bij Vraagstuk 1

Toen ik het vraagstuk voorlegde aan de middelbare scholiere herkende ze het meteen. Ze zei: \Dit is toch gewoon een zwaartelijn tekenen? Dat doe je door de desbetreende hoek met de helft van de overstaande zijde te verbinden." Toen ik vroeg om het vraagstuk op de manier van Descartes op te lossen, kon ze de eerste stap overslaan aangezien ze het probleem al opgelost had. Verder leverde het geen problemen op. Ze zei tenslotte: \Nou snap ik waarom vergelijkingen leren oplossen best nuttig kan zijn!" Als je interesse hebt in het letterlijke probleem uit de 17e eeuw verwijs ik je door naar de bijlage. Daar staat een digitale foto van het desbetreende vraagstuk.

Vraagstuk 2 Het volgende vraagstuk lijkt sterk op Vraagstuk 1. Daardoor zal dit vraagstuk niet zo uitgebreid beschreven worden. Dit tweede vraagstuk is ontleend aan een boek van Sybrandt Hansz Cardinael uit 1614 (pp.24). Gegeven: Een driehoekig stuk land ABC met bekende zijden. Gevraagd: Twee driehoekige stukken land waarbij die landstukken zich verhouden als 1 : 2. Oplossing: 1. We nemen aan dat het probleem opgelost is. Driehoek ABC is in twee driehoekige stukken land (ADC

en BCD) gedeeld met de verhouding van 1 : 2 tussen de twee stukken land. 2. We tekenen vanuit C een loodlijn op AB en het snijpunt met AB noemen we E. Verder geven we een

aantal zijden een letter: |CB| = a,|AC| = b, |AD| = c |DB| = d en |EC| = y. De hoogtes van de beide driehoeken zijn hetzelfde. 3. We bekijken de oppervlakte van driehoek ABD en driehoek BCD:

Opp(ADC) = 60

basis · hoogte 2

=

c·y 2 Tapas of Descartian Geometry

Auke Mollema

Opp(BCD) =

basis · hoogte 2

=

d·y 2

4. De twee oppervlaktes bij de vorige stap moeten in de verhouding 2 : 1 staan. Dus er moet gelden: 2 · Opp(ADC) = 2 ·

c·y d·y = = Opp(BCD) 2 2

5. Deze vergelijking kunnen we oplossen: c=

d 2

Hieruit blijkt dat d gelijk moet zijn aan 2c. 6. Dus de lijn vanuit C die twee driehoeken geeft die in de verhouding 1 : 2 staan, moet precies op een

derde van de lijn AB eindigen.


Het commentaar bij dit vraagstuk was: \De oplossing lijkt sterk op die van Vraagstuk 1, alleen moet je nu de zijde AB in 2 stukken verdelen met punt D zodat 2|AD| = |DB|."

Vraagstuk 3 Dit vraagstuk is net als vraagstuk 1 ontleend aan een boek van Ludolf van Ceulen uit 1615 (pp.84). Gegeven: Een driehoekig stuk land ABC met bekende zijden. Gevraagd: Een rechthoekig stuk land met de langste zijde van de driehoek als zijde van de rechthoek en

dezelfde oppervlakte als de driehoek. Oplossing: 1. We nemen aan dat het probleem opgelost is. Bij driehoek ABC hoort een rechthoek ABEF waarbij de

langste zijde van de driehoek een zijde van de rechthoek is. En ook geldt dat de oppervlakte van de driehoek ABC gelijk is aan de oppervlakte van de rechthoek ABEF. Tapas of Descartian Geometry

61

Driehoekslandmeetkunde op de manier van Descartes 2. We tekenen vanuit C een loodlijn op lijnstuk AB en het snijpunt met AB noemen we D. Verder geldt |CB| = a, |AC| = b, |AB| = c, |AD| = d en |AF| = |BE| = x. Verder is de hoogte (|CD|) van de driehoek √ ABC met behulp van de stelling van Pythagoras gelijk aan b2 − d2 3. We bekijken de oppervlakte van de driehoek ABC en de oppervlakte van de rechthoek ABEF: √ basis · hoogte c · b2 − d2 Opp(ABC) = = 2 2

Opp(ABEF) = basis · hoogte = c · x 4. Aangezien de twee oppervlaktes bij de vorige stap aan elkaar gelijk moeten zijn geldt: √ c · b2 − d 2 Opp(ABC) = = c · x = Opp(ABEF) 2 5. De vergelijking oplossen geeft dan:

√

b2 − d2 =x 2

We zien dat de linkerkant van de vergelijking gelijk is aan 12 |CD|. 6. Dus de rechthoek heeft een hoogte (x) van

.

1 2 |CD|


\Dat is een makkie", zei de scholiere na het stellen van de vraag. \Als de oppervlakte van een driehoek de helft van basis maal hoogte en de oppervlakte van een rechthoek basis maal hoogte is, moet je dus de helft van de driehoek als hoogte van de rechthoek nemen!" Het oplossen op de manier van Descartes zorgde overigens voor geen problemen.

Vraagstuk 4 De volgende twee vraagstukken zijn ontleend aan Frans van Schooten 1659-1660 (pp.56,57). Gegeven: Een gelijkzijdig driehoekig stuk land ABC met bekende zijde (a). Gevraagd: Drie afgesneden identieke gelijkzijdige driehoekige stukken land die samen dezelfde omtrek

hebben als het overgebleven zeshoekige stuk land. Oplossing: 62


Auke Mollema

We nemen weer aan dat het probleem opgelost is. We geven alle lijnstukken een naam: |AD| = |AI| = |DI| = |CE| = |CF| = |EF| = |BG| = |BH| = |GH| = x (Vanwege identieke gelijkzijdige driehoeken), |DE| = |FG| = |HI| = b = a − 2x (Je haalt 2x van elke zijde van een gelijkzijdige driehoek af) en |AB| = |BC| = |AC| = a = x + x + b. Nu geldt (met Om=Omtrek):

Om(ADI) = Om(CEF) = Om(BGH) = 3x Om(DEFGHI) = 3x + 3b = 3(a − 2x) + 3x = 3a − 3x Nu moeten de omtrekken van de drie driehoekjes samen gelijk zijn aan de omtrek van de zeshoek: 3 · (3x) = 9x = 3a − 3x

(1)

Oplossen geeft: 12x = 3a

→

x=

1 a 4

Dit betekent dat de zijden van de kleine driehoekjes even groot zijn als een kwart van de zijde van de grote driehoek.


Na de opdracht gezien te hebben concludeerde de scholiere: \Dit lijkt lastig, maar ze hebben een gedeelte van de omtrek gemeenschappelijk, dus het lijkt me dat b gelijk moet zijn aan 2x." Verder zei ze: \Naarmate de problemen moeilijker worden, verschilt onze methode niet zo veel met die van Descartes. Hij mag in vergelijking (1) ook 3x aan beide kanten weghalen." Daarmee bedoelde ze dat je 3x aan beide kanten optelt.

Vraagstuk 5 Gegeven: Een gelijkzijdig driehoekig stuk land ABC met bekende zijde (a). Gevraagd: Drie identieke gelijkzijdige driehoekige stukken land die samen dezelfde oppervlakte hebben als Tapas of Descartian Geometry

63


het overige zeshoekige stuk land. Oplossing:

We nemen weer aan dat het probleem opgelost is. We geven alle lijnstukken een naam: |AD| = |AI| = |DI| = |CE| = |CF| = |EF| = |BG| = |BH| = |GH| = x (Vanwege identieke gelijkzijdige driehoeken), |DE| = |FG| = |HI| = b (Je haalt 2x van elke zijde van een gelijkzijdige driehoek af) en |AB| = |BC| = |AC| = a = x + x + b.

Nu geldt dat de hoogte van driehoek ABC gelijk is aan: s

Hoogte(ABC) =

a2

−

1 a 2

2

r =

3 2 1√ a = 3a 4 2

Dus is de oppervlakte van driehoek ABC: Opp(ABC) =

basis · hoogte 2

=

1√ 1√ 2 3a · a = 3a 4 4

Aangezien de oppervlakte van de drie driehoekjes met de oppervlakte van de zeshoek gelijk moeten zijn aan de oppervlakte van de driehoek ABC geldt dat de driehoekjes een oppervlakte van En dus geldt:

1 8

√

3a2 moeten hebben.

√

Opp(ADI) = Opp(BEF) = Opp(CGH) =

3 2 a 24

De hoogte van een driehoekje is met behulp van de Stelling van Pytaghoras gelijk aan oppervlakte van een driehoekje:

√

. Dus dan is de

3 2 x

√

Opp(ADI) = Opp(BEF) = Opp(CGH) =

3 2 x 4

Nu hebben we twee vergelijkingen voor een driehoekje. Deze kunnen we aan elkaar gelijkstellen: √

√ 3 2 3 2 Opp(ADI) = Opp(BEF) = Opp(CGH) = a = x 24 4

Oplossen geeft dan: 1 2 1 2 a = x 24 4

→

1 x= √ a 6


64


Auke Mollema

Opvallend bij dit vraagstuk was de reactie van de scholiere: \Dit moet je volgens mij wel oplossen op de manier van Descartes. Ik zou echt niet weten hoe je dit anders zou moeten doen." Ze wilde alleen de oppervlakte van die driehoeken en die van de zeshoek aan elkaar gelijk stellen. Terwijl een gemakkelijkere methode zou zijn de helft van de oppervlakte van de grote driehoek gelijk te stellen aan de kleine driehoeken.

Vraagstuk 6 Dit laatste vraagstuk is ontleend aan een boek van Sybrandt Hansz Cardinael uit 1614 (pp.35). Men wil een hek om een stuk driehoekig stuk land plaatsen waarin een rechte hoek zit. Er is gegeven wat de lengte van de schuine `zijde' van het stuk land is. Gegeven is ook wat de oppervlakte van het stuk land is opgeteld bij de overige `zijden' van het stuk land. Met andere woorden: Gegeven: Een rechthoekig driehoekig stuk land ABC met de volgende eigenschappen: |AC| =

√

(2)

605

|AB| + |BC| + Opp(ABC) = 154

(3)

Gevraagd: De lengtes |AB| en |BC|. Oplossing:

Aangenomen dat het probleem is opgelost geven we alle lijnstukken een naam: |BC| = a, |AB| = c en |AC| = b =

√

605. Als eerste berekenen we de oppervlakte van driehoek ABC:

Opp(ABC) =

basis · hoogte 2

=

c·a 2

Dan kunnen we deze gegevens invullen in vergelijking (3): |AB| + |BC| + Opp(ABC) = c + a +

c·a = 154 2

(4)

Bij een rechthoekige driehoek kunnen we de Stelling van Pythagoras toepassen zodat: |AB|2 + |BC|2 = |AC|2

m.b.v. (2)

−−−−−−→

c2 + a2 = b2 = 605

(5)

Nu hebben we met vergelijkingen (4) en (5) twee vergelijkingen gevonden met twee onbekenden, die we kunnen oplossen. We schrijven met behulp van (5): a=

p

605 − c2

(6)

Deze invullen in vergelijking (4) geeft dan: √ p 605 − c2 + c + Tapas of Descartian Geometry

605 − c2 · c = 154 2

(7) 65


Deze vergelijking oplossen geeft na enig rekenwerk c = 11. Dit invullen in (6) geeft: a=

p

605 − c2 =

p

605 − 112 =

√ 484 = 22

Dus de gevraagde driehoek heeft |AB| = 11 en |BC| = 22 als gevraagde zijden.

Figuur 6: Situatieschets bij Vraagstuk 6

\Dit is het eerste vraagstuk waarbij mijn gra sche rekenmachine goed van pas kwam!", vertelde de scholiere na a oop. \Ik zou vergelijking (7) niet zonder de rekenmachine kunnen oplossen. " Nadat ik haar verteld had dat Descartes deze oplossing wel zou weten zei ze: \Wat een slim mannetje moet dat geweest zijn!".

Conclusies Er zijn mij een aantal dingen opgevallen tijdens de behandeling van de zes vraagstukken.

De werkwijze van de scholiere De scholiere bezat een aantal `trucjes' en kennis van bepaalde formules (zoals bij Vraagstuk 3) die ze zo kon gebruiken bij het oplossen van de vraagstukken. Nadat ze het vraagstuk gehoord had zocht ze allereerst naar een gemakkelijke manier of naar een manier die ze herkende uit het vraagstuk (zoals de zwaartelijn in Vraagstuk 1). Nadat ze de methode van Descartes uitgelegd kreeg ontdekte ze dat ze die manier zelf ook wilde gebruiken. Opvallend waren hierin de opmerkingen: \Nou snap ik waarom vergelijkingen leren oplossen best nuttig kan zijn!" en \Gelukkig geeft de methode van Descartes hetzelfde antwoord als waar ik op uitkwam bij Vraagstuk 1."

66


Auke Mollema

De methode De beschreven methode herkende de scholiere niet. Overigens herkende ze x en y als het noemen van de onbekenden en a, b en c als bekenden wel. Het feit dat je op deze manier vraagstukken kon uitdrukken in twee uitdrukkingen, die dan aan elkaar gelijk kon stellen en zo een vergelijking moest oplossen, interesseerde haar. Zo zei ze: \Ik was vanaf het moment dat ik kennismaakte met vergelijkingen oplossen er al fan van. Daarom vind ik het leuk dat ik het nu kan toepassen op een meetkundig vraagstuk!" Ik vond zelf de methode erg leuk, omdat ik altijd al graag vergelijkingen wil oplossen. Ik herkende me dus wel in de scholiere. De methode is duidelijk en volledig.

De vraagstukken Bij de eerste drie vraagstukken gebruikte de scholiere een andere methode dan degene die Descartes beschrijft. Toch vond de scholiere het leuk om een `simpel' vraagstuk om te zetten in een vergelijking en dan die kennis te gebruiken om het vraagstuk op te lossen. Zo zei ze: \Het zou best wel eens een goede toetsvraag kunnen zijn. Als je een beetje nadenkt weet je het antwoord al terwijl je als er gevraagd wordt het op te lossen door middel van een vergelijking meteen kan controleren of je antwoord goed is!" Vooral de aanpak van Vraagstuk 4 vond ik opvallend om te zien. Ze ging het vraagstuk zo analyseren dat het steeds makkelijker werd. Met Vraagstuk 5 en Vraagstuk 6 had ze meer moeite. Ze gebruikte de methode van Descartes als eigen werkwzijze om Vraagstuk 5 op te lossen. Uiteindelijk gebruikte ze bij het laatste vraagstuk een gra sche rekenmachine.

Conclusie van de scholiere \Ik vond het erg leuk om te doen! Vergelijkingen oplossen is altijd al mijn ding geweest. Bovendien was het een goede herhaling en heb ik ook nieuwe inzichten gekregen. De methode van Descartes is achteraf toch best wel bekend, maar wordt op de middelbare school niet zo duidelijk verteld. Ik denk dat het zinvol kan zijn om deze zes vraagstukken aan het begin van VWO 4 te behandelen. Zeg maar als eerste lesje!" Natuurlijk blijft dit een reactie van een scholiere. Maar ik verwacht dat het zinvol kan zijn om de vraagstukken ook bij andere scholieren neer te leggen.


67


Mijn conclusie Naast het feit dat ik het interessant vond om te ontdekken hoe de scholiere reageerde op de vraagstukken en hoe ze met de oplossing bezig was, begreep ik het nut van de vraagstukken. Het waren aan de ene kant herhalingen en aan de andere kant werden er nieuwe dingen geleerd. De scholiere had er echt wat aan, iets wat ik erg opvallend vind! Buiten dit alles vond ik de laatste opmerking van de conclusie van de scholiere erg leuk om te horen. Het nut van de methode en van de vraagstukken was blijkbaar aanwezig. Toen ik vroeg aan de scholiere of het leuk zou zijn om ook de oude teksten waar de vraagstukken uitkomen erbij te zetten, wist ze dat niet. Ze zei: \Ik zou het leuk vinden, maar ik ben bang dat er dan veel zullen afhaken en dat je dan zo niet je doel bereikt". Ik zou nu heel graag de vraagstukken aan meer middelbare scholieren willen voorleggen! Uit dit alles blijkt dat een lespakket met òude' vraagstukken erg nuttig kan zijn! Door ze zo te formuleren zodat ze toepasbaar zijn voor middelbare scholieren ontstaan er meer toepassingen. Die toepassingen willen scholieren graag zien. Vergelijkingen oplossen is nutig! En zo blijkt de methode van Descartes voor het oplossen van vraagstukken nuttig als aanvulling en toepassing voor middelbare scholieren.

Verantwoording Voor dit essay heb ik uiteraard La Geometrie van Rene Descartes gebruikt. In het bijzonder gebruikte ik de vertaalde versie (naar het Engels) met voetnoten. Deze vertaling hebben we ook gebruikt bij het seminarium Geschiedenis van de Wiskunde. Descartes' methode voor het oplossen van een meetkundig probleem staat beschreven op de eerste tien pagina's van zijn boek. Deze zijn vertaald naar het Nederlands en te zien op http://www.math.uu.nl/people/hogend/descartes1.pdf. Verder zijn de vraagstukken ontleend aan problemen uit de eerste helft van de zeventiende eeuw. Ik heb voor die vraagstukken de boeken

Mathematische Oefeningen van Frans van Schooten, Arithmetische en Geometrische fundamenten van Ludolf van Ceulen en Hondert geometrische questien met hare solutien van Sybrandt Hansz Cardinael gebruikt. Ik heb sommige van deze vraagstukken iets vereenvoudigd om ze zo geschikt te maken voor de middelbare scholieren. In de bijlage zijn de digitale foto's van de vraagstukken toegevoegd. Ik heb gekozen voor zes vraagstukken die oplopen in moeilijkheidsgraad. Ook heb ik gebruik gemaakt van de informatie uit een gesprek met ir. H.J. Hietbrink. Hij is leraar in onderzoek aan de Universiteit Utrecht en werkt aan een project over de combinatie tussen oude wiskundeteksten en middelbare scholieren. Hij heeft onder andere de website www.fransvanschooten.nl gemaakt. 68


Auke Mollema

Voor de historische context heb ik gebruikt gemaakt van het boek Geschiedenis van de Wiskunde van D.J. Struik en het diktaat Geschiedenis van de Wiskunde dat is samengesteld door Prof. dr. J.P. Hogendijk en dr. S.A. Wepster. Aan het eind van elk vraagstuk vermeld ik de reactie van een middelbare scholiere. Zij zit in de vierde klas van het VWO. Zij heeft bij ieder vraagstuk eerst haar manier van oplossen gebruikt, daarna kennis gemaakt met de manier van Descartes en tenslotte het vraagstuk op die manier geprobeerd op te lossen. Met uitzondering van de vraagstukken die ik uit de oude boeken heb gehaald en de reactie van de scholiere op de vraagstukken is het hele essay mijn eigen werk.

Bibliografie Jan Hogendijk en Steven Wepster. Reader Geschiedenis van de Wiskunde 2e editie. Universiteit Utrecht, september 2008. Struik, D.J.. Geschiedenis van de wiskunde, herdruk 1990. Het Spectrum BV, Utrecht. (Online: http: //www.dbnl.org/tekst/stru008gesc01_01/)

Ludolf van Ceulen. De arithmetische en geometrische fondamenten. Met het ghebruyck van dien in

veele verscheydene constighe questien, soo geometrice door linien, als arithmetice door irrationale ghetallen, oock door den regel coss, ende de tafelen nuum ghesolveert. Leyden, 1615. (Online: http: //books.google.com)

Sybrandt Hansz Cardinael, 1614 Hondert geometrische questien met hare solutien. Het exemplaar dat ik gezien heb maakt deel uit van: L.Sems et al., 1614 Pracktijck des landmetens. Amsterdam. (Online: http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?IDDOC=312895).

Frans van Schooten, 1659-1660. Mathematische Oeeningen begrepen in vijf boecken (-) waerbij gevougt

is een Tractaet handelende van reeckening in speelen van geluck door d'Heer Christianus Hugenius, Desen druck vermeerdert met een korte verhandeling van de fondamenten der perspective. Amsterdam, \Bij Gerrit van Goedesbergh, boeckverkooper op 't water in d." (Online: http://digbijzcoll.library. uu.nl)

D.E. Smith en M.L. Latham, 1954 The Geometry of Rene Descartes, New York: Dover Publications. (Online: http://books.google.nl )


69


Bijlagen

Bijlage bij Vraagstuk 1


70


Auke Mollema


Bijlage bij Vraagstuk 4 en 5


71


Auke Mollema


72


Jan de Witt, staatsman en wiskundige Marianne Hoksbergen De uitdrukking jongens van Jan de Witt zal veel mensen in Nederland bekend in de oren klinken. Ook de gruwelijke dood van Jan en zijn broer Cornelis spreekt waarschijnlijk nog tot de verbeelding. Maar dat er achter de raadpensionaris van Holland ook een wiskundige stak, zal zeker niet iedereen weten. Toch heeft Jan de Witt meerdere wiskundige werken geschreven en daarmee een belangrijke bijdrage geleverd aan de verspreiding van de ideeen van de tegenwoordig bekende wiskundige en losoof Rene Descartes. In dit essay zal deze bijdrage centraal staan. Allereerst zal ik kort ingaan op het bewogen leven van Jan de Witt. Daarna zal ik de wiskundige werkwijze van Jan de Witt schetsen aan de hand van voorbeelden uit zijn eigen werk. Ten slotte zal ik deze werkwijze vergelijken met die van Descartes, om zo duidelijk te maken op welke manier De Witt heeft bijgedragen aan de verspreiding van de nieuwe analytische meetkunde van Descartes.

Jan de Witt, staatsman Jan de Witt leefde van 1625 tot 1672. Hij werd geboren in Dordrecht als jongste zoon van Jacob de Witt en Anna van de Corput. Jacob de Witt was een belangrijk man in de Hollandse politiek en hij had een grote intellectuele interesse. Hij zorgde er dan ook voor dat zijn twee zoons, Jan en zijn twee jaar oudere broer Cornelis, een goede opleiding kregen. Ondanks het leeftijdsverschil doorliepen de kinderen samen de basisschool en daarna de Latijnse school in Dordrecht. Jan en Cornelis kregen hier onder andere les in vakken als Nederlands, Latijn, medicijnen, Grieks en geschiedenis. Na de Latijnse school gingen Jan en Cornelis beiden rechten studeren in Leiden, waar Jan de Witt een uitmuntend student bleek te zijn en opviel door zijn kennis van en inzicht in het rechtssysteem. Na zijn studie ging hij samen met Cornelis op grand tour in Europa en deed onder andere Frankrijk, Zwitserland en Engeland aan. Bij zijn terugkeer in Holland kreeg Jan de Witt een aanbieding om als leerjongen bij een advocaat in Den Haag aan de slag te gaan, welke hij graag aannam. Intussen was Jan de Witt sterk genteresseerd geraakt in politiek en toen er in 1650 een plaats vrijkwam in de raad van Dordrecht werd hij verkozen om deze plek op te vullen. Hiermee nam hij tevens plaats als afgevaardigde in de Staten van Holland, alwaar hij in 1653 benoemd werd tot raadpensionaris van Holland. Deze post van raadpensionaris was door de bestuurders van de Republiek der Nederlanden ingesteld naar aanleiding van de dood van de verspilzieke stadhouder Willem II in 1650. Diens zoon, Willem III, zou pas later dat jaar geboren worden. De bestuurders zagen het niet zitten om de dynastie van de Oranjes voort Tapas of Descartian Geometry

73

Jan de Witt, staatsman en wiskundige

te zetten en kozen ervoor om hun eigen regeerders aan te wijzen: de raadpensionarissen. Omdat Holland de machtigste provincie was in die tijd, werd Jan de Witt met zijn benoeming tot raadpensionaris van Holland een van de meest invloedrijke personen in de Republiek. Op het moment dat Jan de Witt raadpensionaris werd, was de Republiek verwikkeld in een oorlog met Engeland. Jan de Witt sloot in 1654 vrede, maar bij dit pact was een geheime clausule opgenomen waarin stond dat de zoon van de overleden stadhouder Willem II geen stadhouder mocht worden. De Witt was een groot voorstander van een republiek zonder stadhouders en in de jaren die volgden op de Engels-Nederlandse vrede werd de stadhouderloze Republiek onder zijn leiding zeer welvarend en invloedrijk. De Witt probeerde te vrede te bewaren en herstellen door middel van onderhandelingen en ook het con ict tussen de aanhangers van de republiek en de Orangisten (aanhangers van het huis van Oranje) heeft hij willen verzachten. In het rampjaar 1672 ging het echter mis. De Republiek werd aangevallen door zowel Frankrijk als Engeland en de Orangisten grepen de macht. De Witt werd samen met zijn broer Cornelis beschuldigd van verraad en uiteindelijk door een woedende menigte vermoord op het Groene zoodje in Den Haag.

Jan de Witt, wiskundige Naast zijn taken als raadpensionaris van Holland had Jan de Witt ook tijd om zich met zijn hobby bezig te houden: de wiskunde. Net als in de rechtswetenschap bleek De Witt ook in wiskunde zeer getalenteerd te zijn. Het is echter opvallend dat hij geen wiskundeonderwijs heeft genoten. Uit het wiskundige werk van De Witt blijkt dat hij zeer veel kennis had van de ideeen van Descartes over de nieuwe analytische meetkunde. Het is niet geheel duidelijk op welke manier De Witt precies kennis heeft gemaakt met deze ideeen. Op de Latijnse school kwam hij in elk geval in aanraking met Isaac Beeckman, de toenmalige rector van de school, die leermeester en vriend van Rene Descartes geweest was. Wellicht werd hier zijn interesse voor de methoden van Descartes gewekt. Een hardnekkig misverstand is dat Jan de Witt tijdens zijn studententijd in Leiden bij de wiskundige (en aanhanger van de ideeen van Descartes) Frans van Schooten in huis zou hebben gewoond. In verschillende bronnen wordt dit aangenomen als de reden voor De Witts interesse in de nieuwe analytische meetkunde.1 Het is echter onwaarschijnlijk dat de broers De Witt werkelijk in dit huis gewoond hebben. Dit zou tevens bij Frans van Schooten sr. moeten zijn geweest, daar Frans van Schooten jr. van 1641 tot 1643 op grand

tour was.2 Veel aannemelijker is het dat Jan en Cornelis aan het begin van hun studietijd hun intrek namen 1 o.a. Coolidge, 2 Hofmann

74

p.119


Marianne Hoksbergen

bij hun professor, de in mei 1641 aangestelde professor in de rechtsgeleerdheid Bernard van Schooten, ook wel Bernardus Schotanus genoemd. In de administratie van de universiteit Leiden is hier helaas niets over te vinden, maar zeker is dat het in die tijd gebruikelijk was dat studenten bij hun professor in huis gingen wonen. Onder andere de geschiedschrijvers Rowen en Japikse gaan van dit feit uit.3 Het is echter wel met zekerheid bekend dat Jan de Witt de wiskundige Frans van Schooten jr. gekend heeft, getuige hun briefwisselingen. Frans van Schooten jr. (1605-1660) heeft een belangrijke bijdrage geleverd aan de verspreiding van de wiskundige ideeen van Descartes. In de oorspronkelijke taal, het Frans, maakte hij een grondige studie van de

Geometrie van Descartes die in 1637 verschenen was. Hij was overtuigd van het belang van deze nieuwe analytische methode en besloot het boek in het Latijn te vertalen, op dat moment de lingua franca van de wetenschappelijke wereld. Op deze manier werd het werk toegankelijker voor overige wiskundigen. De eerste editie van zijn Latijnse vertaling van het werk werd in 1649 uitgegeven door Jan Maire in Leiden, dezelfde uitgever als waar 12 jaar eerder de originele Geometrie was verschenen. Bij deze vertaling had Van Schooten bovendien zijn eigen annotaties gevoegd. De editie van Van Schooten werd een succes en Van Schooten zelf bleef zijn enthousiasme voor het uitdragen van het gedachtegoed van Descartes behouden. Hij droeg zijn enthousiasme over aan zijn collega's en zijn leerlingen, waaronder Jan Hudde en Jan de Witt, en besloot nog een editie van de Geometrie te maken. Deze editie verscheen in twee delen, de eerste in 1659 en de tweede in 1661, en bevatte naast het hoofdwerk tevens bijdragen van zijn collega's en leerlingen. In het tweede deel van de uitgave was een grote plaats ingeruimd voor het werk van Jan de Witt. De bijdrage van Jan de Witt aan de tweede uitgave van de Geometrie door Van Schooten jr. bestond uit twee boeken, Elementa curvarum linearum liber primus en Elementa curvarum linearum liber secundus. Dit werk had De Witt al in 1648 geschreven, voordat hij raadpensionaris werd, maar het werd pas voor het eerst uitgegeven bij de editie van de Geometrie in 1661. Het eerste boek was feitelijk bedoeld als inleiding op de hoofdtekst in het tweede boek. Beide boeken hebben echter ongeveer dezelfde omvang (boek een telt in de editie van Van Schooten 83 pagina's en boek twee telt 97 pagina's). In de twee boeken behandelt Jan de Witt de kegelsneden, oftewel de rechte lijn, de parabool, de hyperbool en de ellips. Het eerste boek handelt volledig over de constructie van deze krommen. Het was De Witt namelijk opgevallen dat kegelsneden (en ook andere krommen) zeer vaak gede nieerd worden als doorsnede van een lichaam (bijvoorbeeld een kegel) met een vlak, terwijl ze ook kunnen worden verkregen door methodes die alleen met het vlak te maken hebben. Op deze manier konden volgens De Witt hun eigenschappen gemakkelijker afgeleid worden. In de inleiding van het eerste boek geeft hij dit feit dan ook als reden voor het verschijnen van zijn werk. De 3 Japikse,

p.19, Rowen, p.13


75


opvatting dat er bij het oplossen van een geometrisch probleem uit een bepaalde klasse niet zomaar een kromme mag worden gebruikt van een hogere klasse zien we ook terug in de Geometrie van Descartes. Zo schrijft Descartes in het begin van boek drie: \Encore que toutes les lignes courbes, qui peuvent estre descrites par quelque mouvement regulier, doivent estre recuees en la Geometrie, ce n'est pas a dire qu'il soit permis de se seruir indieremment de la premiere qui se rencontre, pour la construction de chasque problesme: mais il faut avoir soin de choisir tousiours la plus simple, par laquelle il soit possible de le resoudre." [While it is true that every curve which can be described by a continuous motion should be recognized in geometry, this does not mean that we should use at random the rst one that we meet in the construction of a given problem. We should always choose with care the simplest curve that can be used in de solution of a problem]4 Dat Jan de Witt de betreende passage heeft gelezen, is duidelijk terug te zien in een brief aan Nicolaas Heinsius van 7 april 1660, waarin De Witt zijn mening geeft over een tractaat van Vincentius Viviani over maxima en minima: \Wyders is UEd. bekent, dat de geometrae voor een faulte houden, tot de solutie van eenich problema, dat door rechte linien ende beschryvinge van circulen alleen geconstrueerd kan worden, eenige conyque sectie ofte andere cromme linie van hooger soorte te hulp te roepen (vide Carthesii Geom. lib. III circa principium)[. . . ]"5 Nadat De Witt in het Liber Primus de constructie van de kegelsneden uiteen heeft gezet, beschouwt hij in zijn Liber Secundus alle standaardvormen van vergelijkingen van graad een en twee. Hij toont vervolgens aan dat deze vergelijkingen allemaal precies een kromme voorstellen die tot de kegelsneden wordt gerekend (rechte lijn, parabool, hyperbool, ellips en cirkel). Dat wil zeggen, hij toont aan dat de coordinaten van elk punt op zo'n kromme voldoen aan de betreende vergelijking. De omkering hiervan (elk punt waarvan de coordinaten aan de vergelijking voldoen, ligt op de kromme) wordt door De Witt in zeer weinig gevallen aangetoond. De Witt laat vervolgens zien hoe men vergelijkingen die een van de kegelsneden voorstellen, kan herleiden tot hun standaardvorm. De manier waarop De Witt te werk gaat is zeer gestructureerd en volledig. Dit in tegenstelling tot de

Geometrie van Descartes, waar lang niet alle beweringen toegelicht of bewezen worden. Het werk van De Witt wordt daarom wel gezien als het eerste systematische leerboek over de analytische meetkunde. De hel4 Descartes, p.369-370 5 Fruin, p.440

76


Marianne Hoksbergen

dere werkwijze van De Witt oogstte de bewondering van onder andere Frans van Schooten jr., zoals blijkt uit een brief van Van Schooten aan De Witt van februari 1658 over de Elementa Curvarum Linearum : \Staet my uyttermaten wel aen, also ick de inventie seer aerdich vinde en dat UEd.t syne gedachten seer net en klaer weet uyt te drucken."6 Het belang van het werk wordt in dezelfde brief door Van Schooten benadrukt: \Oordeele, dattet selve tractaet nevens de geometrie van Des Cartes, wiens methodus boven andere heden 's daechs van verscheydene uytmuntende verstanden insonderheyt geexcoleert wordt, tot grooten aenwas van de rechte kennis en leering van de mathesis te sullen konnen strekken."7 Van Schooten besluit hierop zoals gezegd het werk van De Witt op te nemen in zijn omvangrijke tweede uitgave van de Geometrie. Het werk blijkt echter nog niet helemaal klaar te zijn voor opname en Van Schooten biedt in zijn brief aan om het werk dusdanig aan te passen dat het aansluit bij de stijl van Descartes. Ook zal Van Schooten zorgen voor afbeeldingen bij de tekst. Hij beseft dat De Witt zich inmiddels (het is 1658 en De Witt is al een aantal jaren raadpensionaris) met landszaken bezig moet houden:

\Weshalven, indien UEd.t geraden vindt, het gemelte tractaet op desen voet te laten in 't licht komen, so wil ick ter liefde van het gemeene beste en tot UED.ts lof, die selfs in de mathesis tot roem van ons vaderlandt soo heerlijck voorlicht, op my neemen alle calculatien volgens den stijl van Des Cartes' methodus [. . . ] op nieuw te hermaecken en alles sorchvuldelijck naer te sien en accuraet uyt te schryven, mits daerby vougende beknopte en curieuse gueren, dienende niet alleen tot cieraet en volkomentheyt van 't werck, maer selfs oock om UEd.t , die sijn tijt in hoogere en wichtiger occupatien, de Republycq betreende, seer lo ijck weet te besteden, van alle verdere moeyte deses aengaende te ontlasten, doch behoudende overal, so veel 't mogelijck is, UED.ts eygene woorden, genoug achtende, dat UED.t alleenlijck, naer alles klaer sijn sal, de moeyte neeme van 't selve te overlesen."8 De Witt is verheugd over de brief van Van Schooten, zoals blijkt uit hun verdere correspondentie, en volgt zijn advies op alles zelf grondig over te lezen. Er volgt een uitgebreide briefwisseling over de laatste details van het werk tot het uiteindelijk in de nitieve versie naar de gebroeders Elzevier wordt gestuurd om te worden uitgegeven.

6 Fruin, 7 Fruin, 8 Fruin,

p.458 p.458 p.459


77


Het is ten slotte goed om op te merken dat de wiskundige activiteiten van Jan de Witt niet enkel als hobbyisme bestempeld kunnen worden. De tot zover besproken wiskundige bezigheden van Jan de Witt leken daar wel op. Hij hield zich echter op wiskundig gebied niet slechts bezig met de analytische meetkunde, maar ook met de theorie over lijfrentes en verzekeringen. Als staatsman kwam hij uiteraard met dit soort geldkwesties in aanraking en daarom was het van publiek belang dat hij zich hierin grondig verdiepte. En zo verscheen in 1671 van zijn hand het eerste gestructureerde werk over de achterliggende theorie van lijfrenten, getiteld Waerdije van Lijf-renten Naer Proportie van Los-renten. Dit werk wordt wel gezien als het begin van de verzekeringswiskunde. In dit essay wordt dit werk echter buiten beschouwing gelaten.

De parabool Om de werkwijze van De Witt in zijn twee boeken Elementa curvarum linearum te illustreren, volgt hieronder een uiteenzetting over de behandeling van de parabool zoals De Witt deze geeft in zijn werk. De manier waarop De Witt de parabool behandelt is representatief voor de werkwijze die De Witt hanteert bij de behandeling van de overige kegelsneden; de rechte lijn, de hyperbool, de ellips en de cirkel.

Liber Primus De parabool is de eerste kromme die De Witt behandelt in zijn eerste boek. Voordat hij aan de daadwerkelijke constructie van de parabool toekomt, geeft hij allereerst een behoorlijk aantal de nities. Laten er een vaste rechte zijn (die niet beweegt) en een punt. De rechte wordt de directrix genoemd en het punt de pool. Er is bovendien een vaste rechte die door de pool en door de directrix gaat. Het lijnstuk op deze rechte tussen de pool en de directrix noemen we het interval. De kromme die met behulp van deze gegevens geconstrueerd kan worden, ontstaat op de volgende manier: Laat een hoek α met de pool als vertex, een passieve arm en een actieve arm, de bewegende hoek zijn die roteert rond de pool. Wanneer α roteert, snijdt de passieve arm de directrix in een zeker punt. Vanuit dit punt wordt een lijn parallel aan het interval geconstrueerd, de generator, die de actieve arm snijdt in een zeker punt Q. De kromme wordt gevormd door al deze verschillende punten Q bij rotatie van α rond de pool. Wanneer de generator samenvalt met het interval is het systeem in zijn beginpositie. Om de situatie te verduidelijken heeft Frans van Schooten guren ontworpen aan de hand waarvan de theorie gellustreerd kon worden. Bij het bovenstaande horen de volgende guren:

78


Marianne Hoksbergen

Figuur 29

Figuur 1

In deze guren geldt: PG is de actieve lijn (de uitbreiding van de actieve arm naar de andere kant van de vertex) AC is de actieve lijn in beginpositie BD is het interval EF is de directrix

B is de pool HBG is de bewegende hoek FHG en EHG zijn de hoeken met de directrix

BH is de passieve arm

BG is de actieve arm

HG is de generator

DK is de generator in beginpositie

HBP is de aanliggende hoek van HBG en wordt tevens bewegende hoek genoemd

We kunnen nu zeggen dat de kromme BG gegenereerd is door de actieve lijn AC met interval BD. In zijn eerste stelling zegt Jan de Witt het volgende over de kromme die verkregen is door middel van bovengenoemde constructie: als de bewegende hoeken gelijk zijn aan de hoeken met de directrix aan dezelfde kant van de generator, dan heeft de kromme de eigenschap dat het vierkant op het lijnsegment GK van een willekeurig punt G op de kromme tot de generator DBK, parallel aan de actieve as, gelijk is aan de rechthoek van het interval BD en het stuk van de generator dat ligt tussen de pool en het genoemde lijnsegment, oftewel BK. Bij deze situatie horen de guren die Van Schooten maakte (zie boven). Voorwaarde voor deze eigenschap is dus dat de hoeken FHG en HBG gelijk aan elkaar zijn, evenals de hoeken EHG en HBP. De Witt bewijst zijn eerste stelling heel systematisch. Als eerste neemt hij het geval dat de bewegende hoeken en de hoeken met de directrix rechte hoeken zijn, zoals in de eerste guur. Dan volgt dat de driehoeken BIH en GIB gelijkvormig zijn, zodat IB : IG = HI : IB. Aangezien verder geldt dat BK = IG, DB = HI en GK = IB, volgt hieruit onmiddellijk dat GK2 = DB · BK. 9 Grootendorst 2000,

p.53


79


Het kan echter ook zo zijn dat een van de bewegende hoeken stomp is. In dat geval zullen de actieve lijn en de directrix elkaar snijden aan de andere kant van het interval, waar de bewegende hoek scherp is. Stel dit snijpunt is L. Dit geval is te zien in guur 2. Er geldt nu dat ∠LBD = ∠LDB (gegeven vanwege de voorwaarde van de stelling) en omdat DB en HI parallel zijn geldt dus ook dat ∠LIH = ∠LHI. Vanwege de gelijkbenigheid van de driehoeken HLI en DBL geldt dat DH = BI. Er zijn nog meer gelijke hoeken te ontdekken in de guur. Zo is ∠DBH = ∠IBG = ∠BGK en omdat zoals gezegd geldt dat ∠LBD = ∠LDB, geldt ook dat ∠BDH = ∠DBI = ∠BKG. De driehoeken BDH en GKB zijn zodoende gelijkvormig en dus geldt dat GK : KB = BD : DH met DH = BI zoals opgemerkt. Bovendien is BI per de nitie gelijk aan GK, zodat ten slotte volgt dat ook als een van de bewegende hoeken stomp is, geldt dat GK2 = DB · BK. Aan het einde van het bewijs merkt Jan de Witt op dat de op deze manier verkregen kromme een parabool is. Inderdaad vinden we de genoemde eigenschap (in de notatie behorende bij de guren: GK2 = DB · BK) voor de parabool al terug bij Apollonius. De pool is de vertex van de parabool, de generator in beginpositie is de diameter en het interval is de latus rectum of parameter. De Witt heeft op deze manier dus een parabool verkregen zonder gebruik te maken van lichamelijke guren. Deze methode wordt door Coolidge zeer origineel genoemd.10 Dat Jan de Witt met zijn methode tevens alle mogelijke parabolen kan verkrijgen is iets dat hij zelf niet aanstipt, maar dat wel gemakkelijk is in te zien. Hiervoor is het nuttig te kijken naar Apollonius, die de parabool uitgebreid behandelde in zijn Konika. Apollonius vindt voor elke parabool een latus rectum, een diameter en een zogenaamde ordinaatshoek. De ordinaatshoek is de hoek tussen de ordinaten en de abscissa-as, oftewel de hoek tussen de segmenten x en y in de vergelijking y2 = px. In het geval van de methode van De Witt is de ordinaatshoek gelijk aan de

bewegende hoek, de diameter is de generator in beginpositie en het latus rectum is het interval. De Witt kan zijn methode gebruiken voor een willekeurige ordinaatshoek, latus rectum en diameter en met zijn methode is het dus mogelijk om alle bestaande parabolen te construeren.

Liber Secundus We hebben in het voorgaande gezien hoe Jan de Witt een parabool construeert. Hij deed dit in de inleiding op zijn hoofdwerk, het Liber Secundus. In dit tweede boek past Jan de Witt de analytische meetkunde van Descartes toe om te laten zien dat alle vergelijkingen van graad een en twee een kegelsnede voorstellen. In hoofdstuk twee van dit boek gaat hij in op de vergelijkingen die een parabool voorstellen. Net als in zijn eerste boek gaat Jan de Witt ook hier weer zeer gestructureerd te werk. Allereerst geeft hij de vier 10 Coolidge,

80

p.120


Marianne Hoksbergen

(standaard)gedaanten weer die de vergelijking van een parabool kan aannemen. In moderne notatie komen deze vergelijkingen op het volgende neer: 1. y2 = ax, of omgekeerd: ay = x2 2. y2 = ax + b2 , of omgekeerd: ay + b2 = x2 3. y2 = ax − b2 , of omgekeerd: ay − b2 = x2 4. y2 = −ax + b2 , of omgekeerd: b2 − ay = x2

De Witt maakt gebruik van de letters a, x en y in zijn Latijnse tekst, waarbij x en y staan voor onbekende grootheden en a voor een bekende grootheid. Dit sluit zeer goed aan bij de notatie van Descartes in de

Geometrie. Verder is het opvallend dat a enkel een positieve grootheid mag zijn, zodat gevallen twee en vier apart behandeld dienen te worden. Allereerst geeft De Witt, na deze opsomming te hebben gegeven, per geval de determinatio (ofwel descrip-

tio ) en de demonstratio. In de determinatio introduceert De Witt een parabool. Deze komt voor de lezer tamelijk uit de lucht vallen, maar blijkt door De Witt zeer goed gekozen te zijn. In het gedeelte van de demonstratio laat De Witt vervolgens zien dat de coordinaten van de punten op de gekozen parabool voldoen aan de vergelijking die in beginsel gegeven was. De composito (ofwel synthesis ), waarin wordt aangetoond dat elk punt waarvan de coordinaten aan de vergelijking voldoen op de aangegeven kromme ligt, behandelt De Witt in de meeste gevallen niet. In het geval van de eerste vergelijkingen gaat De Witt als volgt te werk. Laat x beginnen in het punt A en laat x zich langs de rechte AB onbeperkt uitstrekken (hier wordt een soort x-as gede nieerd). Laat de gegeven of aangenomen hoek gelijk zijn aan ABC. Laat AB in het geval van de vergelijking y2 = ax de middellijn zijn van een parabool. Laat de rechte zijde AF, die de gegeven of aangenomen hoek maakt met de middellijn, gelijk zijn aan de bekende a. De Witt stelt dan dat de genoemde vergelijking de parabool ADC voorstelt, met A als top op de middellijn AB en rechte zijde (latus rectum) AF. Inderdaad blijken alle

punten op deze parabool aan de genoemde vergelijking te voldoen, zoals De Witt aantoont. Neem namelijk een willekeurig punt D op de parabool ADC. Construeer het lijnstuk DE onder de hoek AED die gelijk is aan de gegeven of aangenomen hoek ABC. Wanneer nu dit lijnstuk DE y genoemd wordt, volgt uit de eigenschap van de parabool (die bij de constructie van de parabool in het eerste boek al ter sprake kwam) dat het vierkant op DE gelijk moet zijn aan de rechthoek FAE, dat wil zeggen: y2 = ax. Tapas of Descartian Geometry

81


Figuur 311

De parabool die de voorstelling is van de tweede vergelijking (ay = x2 ) heeft als middellijn echter niet AB, maar AH evenwijdig aan BC. De aangenomen of gegeven hoek is wederom gelijk aan ABC en de rechte zijde is AF, die de gegeven of aangenomen hoek maakt met de middellijn AH. Vervolgens kun je op dezelfde manier te werk gaan als hierboven beschreven is bij de eerste vergelijking. Er volgt dat de parabool ADC wordt voorgesteld door de genoemde vergelijking. Met de eigenschap van de parabool en de de nitie dat AE = x volgt dat het vierkant op AE gelijk is aan de rechthoek die is ingesloten door FA en AG, oftewel dat

inderdaad voor alle punten op de parabool geldt: ay = x2 .

Figuur 412

De Witt herhaalt deze procedure voor alle vier de gevallen, waarbij de parabolen telkens iets verschillen. Opvallend is dat De Witt niet telkens de hele kromme tekent, maar vaak volstaat met het geven van de toppen, de middellijnen en de rechte zijden. 11 Grootendorst 2003, 12 Grootendorst 2003,

82

p.73 p.75


Marianne Hoksbergen

Na deze uiteenzetting laat De Witt zien hoe je vergelijkingen van de tweede graad die een parabool voorstellen maar niet in een van de standaardvormen staan, kunt omvormen tot ze wel in een van deze vormen staan. Stel bijvoorbeeld dat de volgende vergelijking gegeven is: y2 + 2ay = bx − a2 . Wanneer je nu de substitutie y = z − a uitvoert dan volgt uit de gegeven vergelijking: z2 − 2az + a2 + 2az − 2a2 = bx − a2

oftewel: z2 = bx

Deze vergelijking staat in de vorm van de eerste standaardvergelijking en zoals we net zagen, volgt hieruit dat de gezochte plaats een parabool is. De Witt is met deze conclusie echter nog niet tevreden. Hij wil ook laten zien welke parabool dan wordt voorgesteld door de oorspronkelijke vergelijking y2 +2ay = bx−a2 . Laat hiervoor wederom A het beginpunt zijn van x en laat x zich onbeperkt uitstrekken over de rechte AE. Laat de gegeven of aangenomen hoek EAF zijn. Als y uitsteekt boven de lijn AE, dan moet (omdat z = y + a) het punt G op lijnstuk AF

worden bepaald op afstand a van punt A, gemeten langs AF. Vervolgens dient de lijn GB evenwijdig aan AE getrokken worden. Deze lijn GB wordt nu verder genomen als middellijn van de parabool.

Figuur 513

Deze parabool heeft G als top en GF met lengte b als rechte zijde en zal precies de kromme zijn waarvan alle punten voldoen aan de oorspronkelijke vergelijking y2 + 2ay = bx − a2 . Kies namelijk een willekeurig punt D op de kromme en trek de lijn DE (dat wil zeggen een lijn van het punt D naar de rechte AE) evenwijdig aan AF. De lengte van deze DE noem je y. Verleng het lijnstuk tot de rechte GB, dan zal de 13 Grootendorst 2003,

p.87


83


lengte van het verlengde lijnstuk DB gelijk zijn aan y + a = z. Vanwege de parabooleigenschap die we al eerder tegenkwamen geldt dat het vierkant op DB gelijk is aan de rechthoek ingesloten door FG en GB, oftewel door FG en AE. Er geldt dus voor elk willekeurig punt op de parabool dat, in moderne notatie, (y + a)2 = bx, oftewel y2 + 2ay = bx − a2 .

Na dit hoofdstuk, waarin De Witt alle standaardvergelijkingen van de parabool laat zien en enkele vergelijkingen omschrijft naar deze standaardvergelijkingen, doet De Witt hetzelfde voor vergelijkingen van de hyperbool, ellips en cirkel. In hoofdstuk vier geeft Jan de Witt vervolgens een totaaloverzicht van alle vergelijkingen die er bij het onderzoek naar vergelijkingen van kegelsneden voor kunnen komen. Hij maakt een classi catie en onderzoekt de bijbehorende kegelsnede. Dit hoofdstuk bevat geen voorbeelden meer, omdat deze voorbeelden al grotendeels aan bod zijn gekomen in de voorgaande hoofstukken. Wat opvalt is dat De Witt er bij zijn behandeling van de vergelijkingen door het hele tweede boek heen vanuit gaat dat er vooraf duidelijk is welke kromme een vergelijking zal voorstellen. Zo luidt de titel behorend bij zijn algemene regel voor het herleiden van vergelijkingen in hoofdstuk twee bijvoorbeeld als volgt: \Algemene regel en een manier om alle vergelijkingen die voortkomen uit een daartoe leidende berekening | in het geval waarin de gezochte plaats een parabool is | te herleiden tot een van de vier gevallen die reeds uiteengezet zijn, met behulp van de | eveneens vier | voorafgaande stellingen."14 Uit de titel bij deze regel blijkt dus duidelijk dat er wel van tevoren vast staat dat de kromme waarnaar gezocht wordt een parabool zal zijn. Onder deze regel vallen vergelijkingen waarin een onbekende grootheid tot de macht twee is verheven en daarin ook voorkomt als eerste macht vermenigvuldigd met een andere (bekende en/of onbekende) grootheid. Een voorbeeld hiervan is hierboven beschreven. Een ander voorbeeld is y2 +

2bxy a

+ 2cy = bx −

b2 x 2 a2 −c2

, een vergelijking die nogal uit de lucht komt vallen en waaraan niet

onmiddellijk duidelijk te zien is dat het hier een parabool betreft. Ook in hoofdstuk drie is een dergelijke aanpak te vinden. Onder de algemene regel voor het herleiden van vergelijkingen voor de hyperbool en ellips vallen vergelijkingen waarin twee onbekende grootheden niet enkel met zichzelf of met elkaar vermenigvuldigd voorkomen, maar ook beide kunnen voorkomen in de eerste macht in een product met een andere bekende of onbekende grootheid. Zodoende valt de hiervoor genoemde voorbeeldvergelijking in principe onder deze regel, ware het niet dat deze een parabool voorstelt en dus niet onder deze algemene regel voor hyperbolen en ellipsen valt. Deze verwarring merkt ook Jan de Witt op, want in zijn beschrijving van de algemene regel voor het bewerken van vergelijkingen van hyperbolen en ellipsen schrijft hij in de laatste alinea het volgende: 14 Grootendorst 2003,

84

p.84


Marianne Hoksbergen

\Wanneer men hierna, zonodig na herhaling (van deze bewerking, vert.), niet uitkomt op de formules voor parabolen die in het tweede hoofdstuk uiteengezet zijn, dan zal de vergelijking zijn herleid tot een van de vier bovenstaande gevallen en dus zal het voor de lezer niet moeilijk zijn de bijbehorende plaats te bepalen en te beschrijven met behulp van datgene wat hierboven uiteengezet is."15 De algemene regel bevat zodoende een zekere vaagheid. Immers, wanneer de lezer niet uitkomt op een parabolische vergelijking, na het eventueel herhalen van bepaalde bewerkingen, dan zou de conclusie moeten zijn dat men te maken heeft met een hyperbool of ellips. Het is echter niet duidelijk hoe vaak deze bewerking dan zou moeten worden uitgevoerd en er schuilt ook het gevaar van het uitvoeren van de verkeerde bewerkingen. Wanneer je echter de tekst van Jan de Witt nauwkeurig opvolgt en geen rekenfouten maakt, zou je met zijn algemene regels voor een willekeurige gegeven kwadratische vergelijking ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 (waarbij a tot en met f zowel positief als negatief kunnen zijn) in principe kunnen nagaan welke kegelsnede deze vergelijking voorstelt. Dit is echter veel rekenwerk en Jan de Witt behandelt dit zeer algemeen gestelde probleem niet direct. Hij geeft enkel voorbeelden van vergelijkingen waarbij hij van tevoren weet dat deze een parabool, hyperbool of ellips voorstellen. Deze vergelijkingen komen zoals eerder opgemerkt voor de lezer nogal uit de lucht vallen, maar aan de hand van deze welgekozen voorbeelden kan De Witt zijn methode illustreren. Ook in hoofdstuk vier, waarin De Witt een overzicht geeft van alle vergelijkingen die je bij het onderzoeken van kegelsneden zou kunnen tegenkomen, wordt het algemene probleem niet direct behandelt. Kortom, in alle hoofdstukken lijkt het vooraf duidelijk te zijn met welke kromme we te maken hebben en wordt hier naar toe gewerkt. Ondanks dit kleine punt, geeft Jan de Witt in zijn tweede boek een helder overzicht van de vergelijkingen van graad een en twee met bijbehorende kegelsneden. Hij is zeer gestructureerd te werk gegaan en heeft zelfs de rechte in zijn boek behandeld, een kegelsnede die vele andere wiskundigen in hun behandeling van de kegelsneden links lieten liggen. Het is de lezer duidelijk gemaakt hoe een vergelijking herleid moet worden tot een van de standaardvergelijkingen, zeker als vooraf bekend is welke kromme de vergelijking voorstelt, en tevens is er een methode gegeven om vervolgens de bijbehorende kromme te construeren.

15 Grootendorst 2003,

p.136


85


Een vergelijking met de G´ eom´ etrie van Descartes In de uitgave van Van Schooten ging de Geometrie van Descartes vooraf aan het werk van De Witt. Van Schooten heeft er dan ook op toegezien dat onder andere de berekeningen in het werk van De Witt aansloten bij de methode van Descartes. Dit is onder meer duidelijk terug te zien in de aanpak van De Witt bij het maken van de substituties in vergelijkingen, zoals in de vorige paragraaf beschreven is. Descartes voert dergelijke substituties uit in het derde boek van de Geometrie. Opvallend is dat De Witt de letters van het alfabet op eenzelfde manier als Descartes gebruikt: de letters x en y voor onbekende grootheden en a en b voor bekende grootheden. Deze grootheden liggen bij De Witt overigens enkel `boven' de abscissa-as en rechts van het gekozen punt A. Ze liggen dus als het ware in het eerste kwadrant, alhoewel dat concept toen nog niet bestond. Niet alleen in de notatie en de berekeningen sluit het boek van Jan de Witt aan bij de Geometrie. Ook vinden we enkele ideeen van Descartes terug in de behandeling van de kegelsneden door De Witt. Descartes verwijst voor kegelsneden terug naar de Konika van Apollonius, waarin deze als snij guren van een kegel met een vlak worden gede nieerd. Descartes laat echter ook zien dat bijvoorbeeld de hyperbool geconstrueerd kan worden door een soort machine in het vlak, overigens zonder daar verder eigenschappen van de hyperbool uit af te leiden. De Witt beperkt zich niet tot slechts de hyperbool, maar breidt deze ideeen uit naar alle kegelsneden. Tevens laat hij zien dat de eigenschappen van alle kegelsneden met behulp van zijn de nities met draaiende lijnen (zoals we hierboven zagen voor het geval van de parabool) kunnen worden afgeleid. Een opvallend verschil met de Geometrie is dat de boeken van de Witt ontzettend gestructureerd zijn. Elke stelling is bewezen en elk voorbeeld is volledig uitgewerkt. Waar Descartes vaak het bewijs aan de lezer zelf overlaat, komt de Elementa curvarum linearum over als een soort leerboek, waarin alles systematisch is uitgelegd. Zoals het citaat in hoofdstuk drie van dit essay al aangaf, was Van Schooten behoorlijk onder de indruk van de systematiek van De Witt en zag hij het als een groot voordeel het werk van De Witt samen met de Geometrie uit te geven.

Conclusie In de voorgaande paragrafen heb ik een beeld geschetst van de werkwijze van de wiskundige Jan de Witt. Zijn manier van denken en zijn methode van het bepalen van een kromme aan de hand van een vergelijking sluit direct aan bij de wijze waarop Descartes krommen behandelt in zijn Geometrie. Het is dan ook niet verwonderlijk dat Van Schooten ervoor koos om de boeken van Jan de Witt tezamen met deze Geometrie uit te geven. Het werk van Jan de Witt biedt een goede en bovenal gestructureerde illustratie van de ideeen 86


Marianne Hoksbergen

van Descartes. Bovendien is het werk zeer volledig en wordt er | in tegenstelling tot de Geometrie | geen enkel bewijs of uitwerking aan de lezer zelf overgelaten. Dit maakt de Elementa curvarum linearum toegankelijker dan het werk van Descartes en de bijdrage die het werk zal hebben geleverd tot de verspreiding van de ideeen van Descartes en zijn nieuwe analytische meetkunde moet daarom zeker niet onderschat worden. Het is verbazingwekkend dat Jan de Witt naast zijn drukke politieke functies nog tijd had zich bezig te houden met wiskunde op dit niveau en hij kan dan ook met recht een jongen van De Witt genoemd worden.

Bibliografie Coolidge, J.L., The Mathematics of Great Amateurs. New York 1963. Descartes, R., The Geometry. New York. Fruin, R., Brieven van Johan de Witt. Vierde deel, 1670-1672. Amsterdam 1913. Grootendorst, A.W., Jan de Witt's Elementa curvarum linearum, liber primus. New York 2000. Grootendorst, A.W., Jan de Witt | Elementa curvarum linearum, liber secundus. Amsterdam 2003. Hofmann, J.E., Franz van Schooten der Jungere. Wiesbaden 1962. Japikse, N., Johan de Witt. Amsterdam 1928. Rieu, W.N. du, Album Studiosorum Academiae Lugduno Batavae MDLXXV-MDCCCLXXV. Den Haag 1875.

Rowen, H.H., John de Witt, grand pensionary of Holland, 1625-1672. Princeton 1978.


87

88


De kus van de winterprinses Thekla Teunis The Kiss Precise For pairs of lips to kiss maybe Involves no trigonometry. 'Tis not so when four circles kiss Each one the other three. To bring this o the four must be As three in one or one in three. If one in three, beyond a doubt Each gets three kisses from without. If three in one, then is that one Thrice kissed internally. Four circles to the kissing come, The smaller are the benter. The bend is just the inverse of The distance from the centre. Though their intrigue left Euclid dumb There's now no need for rule of thumb. Since zero bend's a dead straight line And concave bends have minus sign, The sum of the squares of all four bends Is half the square of their sum.1

1 [Sod1936]


89

De kus van de winterprinses

Dit is het verhaal van de grote losoof en wiskundige Rene Descartes en een prinses zonder prins. De prinses, Elizabeth van Bohemen, inspireerde Descartes tot het opstellen van een algebrasche stelling voor het probleem van de cirkels van Apollonius, de Kiss Precise. In dit essay, dat wellicht doet denken aan een sprookje, maar daarom niet minder waargebeurd is, beschrijf ik kort de levens van de prinses en Descartes. Vlak na hun eerste ontmoeting schrijven zij over de Kiss Precise. Ik zal onderzoeken wat zij hierover geschreven hebben en proberen te achterhalen wat de invloed is geweest van prinses Elizabeth op de redenatie van Descartes die leidde tot diens Cirkelstelling, een algemeen geldende stelling die een oplossing geeft voor het probleem van de Perfect Kiss. Was de prinses een briljante wiskundige?

De ontmoeting Er waren eens een koning en een koningin. De koningin, Elizabeth Stuart, was alom bekend om haar oogverblindende schoonheid. Grote vorsten als Maurits van Oranje-Nassau en Graaf Adolf dongen naar haar hand, maar de jonge Frederik van de Palts trok uiteindelijk aan het langste eind. In 1614 kregen zij hun eerste kind, Frederik Henderik. In 1618 werd hun eerste dochter geboren, Elizabeth. In die tijd namen de onlusten tussen de protestanten en de rooms-katholieken in Duitsland toe. Keizer Ferdinand de Tweede van Bohemen werd van zijn troon verstoten in Praag en Frederik de Vijfde werd voorgedragen als Koning van Bohemen in november 1616. Het gezin verhuisde naar Praag, maar niet voor lang; keizer Ferdinand de Tweede vocht zich terug en in de lente van 1620 leden de legers van Frederik V grote verliezen, waarna de protestanten de troon weer moesten afstaan. Vanaf toen werden Elizabeth en Frederik V de Winterkoning en Winterkoningin genoemd, ze hadden immers slechts een seizoen op de troon mogen plaatsnemen. Ze vluchtten naar het westen, maar konden nergens onderdak vinden. Uiteindelijk werden ze gered door de oom van Frederik, Maurits van Oranje-Nassau, die zijn macht liet gelden in de Staten-Generaal. De Winterkoning- en koningin kregen een prachtige woning in Den Haag en de kinderen werden grootgebracht en onderwezen in de Prinsenhof in Leiden. Koningin van Bohemen Elizabeth Stuart bleef een exorbitant leven leiden en stond bekend om haar uitzonderlijke talent om mannen te verleiden en om haar vinger te winden. Ze leefde op de pof bij de Nederlandse staat en haar kinderen zag ze niet vaak.2 Op het Leidse Prinsenhof leefden de dertien Winterprinsen- en prinsessen een leven waarin hun ouders een kleine rol speelden. De oudste dochter, Elizabeth, was een bijzonder meisje. Haar kansen om uitgehuwelijkt te worden waren bijzonder klein, vanwege de ballingschap waarin zij verkeerde, de armoede van haar familie 2 Instituut

voor Nederlandse Geschiedenis - Elizabeth Stuart; http://www.inghist.nl/Onderzoek/Projecten/DVN/lemmata/

data/ElizabethStuart

90


Thekla Teunis

en het feit dat ze protestants was. Zij besloot zich volledig te storten op haar studie: ze studeerde Grieks, Latijn, loso e en wiskunde. Ze werd onder andere onderwezen door Johan Stampioen, een Nederlandse wiskundige. Binnen de Leidse intellectuele kring had zij veel contact met de heer Alphonse Pollot, een oude strijder uit het protestantse leger en kennis van Constantijn Huygens, Henricus Regius en Rene Descartes. Pollot werd de vertrouweling van de jonge Elizabeth en hij was al snel onder de indruk van haar intellectuele capaciteiten.3 Rene Descartes, een van de grondleggers van de moderne loso e4 , was geboren dichtbij Tours op 31 mei 1596. Hij was dus 20 jaar ouder dan de Winterprinses. Descartes kwam uit een vooraanstaande familie en

werd in zijn jeugd onderwezen door de Jezueten. Hij was met name genteresseerd in wiskunde. Na een tijdje in Parijs te hebben verbleven, besloot Descartes zich aan te sluiten bij het leger van Beieren, om zo verstoken te blijven van sociale a eiding die hem van de wijsbegeerte a eidde. Op het moment dat de Winterkoning Frederik de Vijfde de Praagse troon besteeg in november 1619, losofeerde de 23 jarige Rene Descartes in de afgezonderde kwartieren van het leger. Hij legde daar de grondslagen voor zijn later wereldberoemde

Discours de la Methode.5 Na drie jaar ging Descartes uit het leger en zwierf hij een tijdje rond door Europa, totdat hij in 1629 in Nederland neerstreek. Daar verbleef hij het grootste deel van de rest van zijn leven. Descartes stond al voordat hij daadwerkelijk iets gepubliceerd had bekend als de grote Monsieur

Descartes en correspondeerde met alle belangrijke intellectuelen van zijn tijd. In 1637 publiceerde hij zijn Filoso sche Essays, die ook de Discours de la Methode bevatten, samen met La Dioptrique (optica), Les Meteores en La Geometrie. Deze werken bleken van ontzaglijke waarde. In de Discours legde Descartes de grondslagen voor de moderne loso e. En minder bekend maar zeker niet minder belangrijk: met de Geometrie werd de analytische meetkunde geboren, een van de belangrijkste grondvesten van de moderne wiskunde. De centrale vraagstelling van de Geometrie betreft de oplosbaarheid van meetkundige problemen. Descartes introduceert in het eerste deel, aan de hand van het probleem van Pappus van de locus van vijf lijnen,6 een methode om meetkundige problemen op te lossen door middel van algebra. Revolutionair is de manier waarop Descartes een assenstelsel introduceert en een vergelijking opstelt waarin x en y onbekenden zijn en hij letters a, b, c, .. toekent aan bekende waarden. Op deze manier kan hij ieder meetkundig probleem vatten in algebra en herleiden tot een vergelijking in x en y. Deze vergelijkingen deelt hij vervolgens op in klassen, nadat hij ze heeft vereenvoudigd tot de laagst mogelijke graad. Vergelijkingen van graad 1 en 2 behoren tot 3 [Ver2003], 259 4 [Mat2000] 316-323 5 [Mat2000] 316-323 6 [Pap1660]


91


de eerste klasse: deze problemen zijn te construeren met behulp van passer en liniaal, nadat de wortel(s) van de vergelijking gevonden zijn. Vergelijkingen van de tweede klasse (3e en 4e graad), geven 3 of 4 wortels en zijn meetkundig te construeren met behulp van kegelsneden.7 Met behulp van hogeregraads krommen (zoals de Cartesische parabool), zijn volgens Descartes ook hogeregraads vergelijkingen op te lossen, hij merkt echter wel op dat dit een onderneming is die veel geduld en precisie vergt. Het is echter niet zijn bedoeling om in de Geometrie alle constructies weg te geven. Hij wil namelijk dat de lezers zelf aan de slag gaan met zijn methode; hij wil slechts laten zien op welke manier de oplosbaarheid van een meetkundig probleem kan worden bepaald met behulp van algebra en hoe vervolgens de wortels (oplossingen) gevonden kunnen worden, die benodigd zijn voor de meetkundige constructie van de oplossing.8 Tegenwoordig is de samenhang tussen meetkundige krommen en algebrasche vergelijkingen middelbare schoolstof. Voor Descartes waren meetkunde en algebra echter grotendeels gescheiden disciplines binnen de wiskunde. Onder tijdgenoten van Descartes bestond veel onbegrip over zijn Geometrie. Volgens wetenschappers9 was Pollot een van de weinigen die het boek wel begrepen. Dat schiep een band. Pollot was het ook die in 1642 Descartes attent maakte op het feit dat de intelligente prinses Elizabeth van Bohemen, dochter van

de Winterkoning, zijn eerste boek, de Meditationes (1641), had gelezen. Descartes was vereerd door deze hoelijke belangstelling en hij was nieuwsgierig naar de prinses. Er vond een eerste ontmoeting plaats tussen de grote losoof en wiskundige `Monsieur Descartes' en de ijverige Winterprinses in 1643. Elizabeth was toen 24 jaar oud. Door haar leraar Stampioen was zij onderwezen in de nieuwe algebrasche methode om meetkundige problemen op te lossen. De ontmoeting was het begin van een langdurige briefwisseling tussen de prinses en de wiskundige/ losoof, die duurde tot de dood van Descartes in 1650.

De kus Op 21 oktober 1643 schreef Descartes in een brief aan Pollot dat hij Elizabeth het probleem van de drie cirkels van Apollonius had voorgelegd. Dit probleem luidde als volgt:

Gegeven drie objecten; punten, lijnen of cirkels: construeer een cirkel die door de punten gaat en die raakt aan de lijnen en cirkels.10 Probleem 1.

7 [Des1654], 316-319 8 [Des1654], 339-340 9 [Ver2003], 290-291 10 Apollonius van Perga (260-170

voor Chr.) was een Griekse wiskundige, in wiens hoofdwerk, de Konika, de kegelsneden bijzonder uitgebreid beschreven werden. Zijn werk De Tactionibus, dat de oplossing van bovenstaand probleem bevatte, is kwijt geraakt. Delen van dit werk zijn in Arabische vertaling terugevonden, echter niet het gedeelte waarin de oplossing wordt gegeven voor de vraag hoe de cirkel kan worden gevonden die raakt aan drie gegeven cirkels.

92


Thekla Teunis

Dit is een probleem uit de oudheid, en de gevraagde constructie moet dus uitgevoerd kunnen worden met behulp van passer en liniaal. De meest interessante versie van het probleem betreft het geval waarin alle drie de objecten cirkels zijn. In het begin van de 17e eeuw stond dit als zeer moeilijk bekend.11 Francois Viete, een Franse wiskundige, had een poging gedaan de oplossing van Apollonius te reconstrueren met behulp van passer en liniaal. Een eenduidige algebrasche oplossing van het probleem bestond in 1643 echter nog niet. Descartes, die ervan overtuigd was dat hij met de methode uit de Geometrie ieder meetkundig probleem kon terugbrengen tot een vergelijking en dat hij, indien de graad van de vergelijking 1 of 2 was, de oplossing kon construeren met passer en liniaal, veronderstelde dat hij ook het vraagstuk van de cirkel die raakt aan drie gegeven cirkels kon oplossen op deze manier. Ter oefening en als uitdaging had hij Elizabeth deze opgave gegeven, maar het lijkt erop dat hij de complexiteit van de vergelijkingen die ontstaan had onderschat; in oktober 1643 schreef hij aan Pollot dat het hem speet dat hij de prinses had gevraagd het probleem van de drie cirkels van Apollonius op te lossen. car elle est si dicile, qu'il me semble qu'un ange, qui n'aurait point eu d'autres instructions d'Algebre que celles que St.12 lui aurait donnees, n'en pourrait venir a bout sans miracle.13 In november vroeg Descartes aan Pollot om een brief te bezorgen aan Elizabeth, waarin hij zijn oplossing uit de doeken deed. Elizabeth mocht natuurlijk eerst zelf proberen de oplossing te vinden, maar Descartes verzocht Pollot om haar zijn brief te laten lezen, als ze bij haar pogingen om een oplossing te vinden verstrikt zou raken in de eindeloze berekeningen.14 De oplossing die Descartes gaf is inderdaad volledig consistent met de methode die hij beschreef in de Geometrie.

11 In [Pap1660] boek VII zijn een aantal meer eenvoudige gevallen uitgewerkt. 12 Met St. wordt waarschijnlijk Johan Stampioen de Jonge bedoeld, de leermeester van Elizabeth, 13 [Des2005], p.1820. No. 420, Descartes a Pollot, Egmond aan den Hoef, 21 ottobre 1643 14 [Des2005], 1847, No. 430, Descartes a Pollot, Egmond aan den Hoef, novembre 1643


een Leids wiskundige.

93


De kus van Descartes

Figuur 1: De cirkels met het assenstelsel van Descartes

Gegeven zijn de drie cirkels met middelpunten A, B en C en de bijbehorende stralen, respectievelijk a, b en c. Volgens de methode van Descartes15 , willen we nu graag een assenstelsel construeren, waarbij twee assen

loodrecht op elkaar staan. Daartoe tekenen we BE, de loodlijn uit B op AC. Vervolgens veronderstellen we dat het probleem al opgelost is. Dat betekent dat er een cirkel met middelpunt D is en straal x, die raakt aan de drie gegeven cirkels. Het is nu de bedoeling een vergelijking op te stellen voor deze x. Teken vanuit D een loodlijn DF op AC en een loodlijn DG op BE. We geven nu de bekende en onbekende lijnstukken letters: de bekende lijnstukken BE = e, EC = f en AE = d. Verder voeren we notaties in voor twee onbekende lijnstukken: DF = y en DG = z. Merk op: AD = a + x

BD = b + x

CD = c + x

AF = d − z

BG = e − y

CF = f + z

Nu stellen we vergelijkingen op, zoveel als er onbekenden zijn. Voor het opstellen van deze vergelijkingen kunnen we de stelling van Pythagoras gebruiken.16 15 [Des1654],

16 Ik

94

p.6-10 gebruik in dit essay, omwille van de leesbaarheid, de moderne notatie voor kwadraten. Descartes noteert e2 met ee.


Thekla Teunis

Figuur 2: Driehoek op basis van loodrecht assenstelsel

In driehoek ADF: (d − z)2 + y2 = (a + x)2 d2 − 2dz + z2 + y2 = a2 + 2ax + x2

(8)

In driehoek DCF: (f + z)2 + y2 = (c + x)2 f2 + 2fz + z2 + y2 = c2 + 2cx + x2

(9)

In driehoek BDG: (e − y)2 + z2 = (b + x)2 e2 − 2ey + z2 + y2 = b2 + 2bx + x2

(10)

Volgens Descartes waren deze vergelijkingen nog niet eenvoudig genoeg, omdat ze kwadraten van x, y en z bevatten. Door vergelijking (8) af te trekken van (9) en (10), krijgen we twee vergelijkingen die lineair zijn in x, y en z. We krijgen dan voor (10) − (8): b2 − a2 + 2bx − 2ax = e2 − 2ey − d2 + 2dz

(11)

c2 − a2 + 2cx − 2ax = f2 + 2fz − d2 + 2dz

(12)

en (9) − (8):

Vervolgens gebruiken we (12) om z uit te drukken in x: z

= =


c2 − a2 + 2cx − 2ax − f2 + d2 2f + 2d 1 1 c2 − a2 + 2cx − 2ax − f+ d+ 2 2 2f + 2d

(13) (14) 95


We doen hetzelfde voor (11), waarbij we nu y willen uitdrukken in x. We maken gebruik van (14): c2 − a2 + 2cx − 2ax a2 − b2 − 2bx + 2ax + e2 − d2 + 2d −1/2f + 1/2d + 2f + 2d c2 d − a2 d + 2cdx − 2adx 2 2 2 2 2 = a − b − 2bx + 2ax + e − d − df + d + f+d 2 2 c d + 2cdx + a f + 2afx = −b2 − 2bx + e2 − df + f+d df c2 d + 2cdx + a2 f + 2afx b2 bx 1 − + e− + y = − 2e e 2 2e 2ef + 2ed

2ey

=

(15) (16) (17) (18)

Descartes merkte vervolgens op dat deze vergelijkingen voor z en y vervolgens kunnen worden ingevuld in (8), (9) en (10), waarna er een stelsel van tweedegraadsvergelijkingen ontstaat, waaruit de onbekende x kan worden opgelost. Omdat het hier een tweedegraadsvergelijking betreft, is het volgens de methode

uit de Geometrie mogelijk om nu de oplossing van het probleem te construeren met behulp van passer en liniaal. \il n'est pas besoin de passer outre, car il reste ne sert point pour cultiver ou recreer l'esprit, mais seulement pour exercer la patience de quelque calculateur laborieux."17 Hij verontschuldigde zich vervolgens voor het feit dat hij de prinses had opgezadeld met deze opgave, die volgens hem nogal \ennuyeux" was.

18

Dat de berekeningen het geduld op de proef stellen, is zeker waar.

Dat de oplossing na geduldig vergelijkingen uitschrijven eenvoudig te vertalen is naar een oplossing in de vorm van een constructie met passer en liniaal, durf ik te betwijfelen. Substitutie van (14) en (18) in (8) geeft een oplossing voor x in 87 termen.19 Het is niet erg waarschijnlijk dat Descartes hiervoor daadwerkelijk een constructie kon geven.

De kus van Elizabeth Op 21 november 1643 schreef Elizabeth een brief terug aan Descartes. Hiervan is alleen het oplegvel nog bewaard gebleven.20 Ze had in de brief, op verzoek van Pollot, haar oplossing van het probleem beschreven. 17 [Des2005], 1846, No. 429, Descartes a Elisabetta, Egmond aan den Hoef, novembre 1643 18 [Des2005], 1846, No. 429, Descartes a Elisabetta, Egmond aan den Hoef, novembre 1643 19 [Ver2003], p.207 20 Veel van de brieven van Elizabeth zijn verdwenen. Na de dood van Descartes, werd zijn

correspondentie gepubliceerd. Daarbij werden aanvankelijk de wiskundige brieven uit 1643 weggelaten. Later zijn deze toch in de publicaties opgenomen. De brieven van Elizabeth aan Descartes zijn na de dood van Descartes gevonden door Pierre Chanut. Elizabeth gaf hem echter geen toestemming de brieven die van haar hand waren te publiceren. Chanut beloofde de prinses zelfs de brieven niet te zullen lezen. In ieder geval een deel van deze brieven is echter toch gekopieerd. Deze kopieen zijn eind negentiende eeuw teruggevonden door Frederik Muller in kasteel Rozendael in Arnhem.21 Ze worden momenteel bewaard in kasteel Zypendael, eveneens in Arnhem.

96


Thekla Teunis

Ze was bijzonder verheugd met de brief die Descartes haar had geschreven, waarin hij zijn oplossing voor het probleem beschreef. Ze was er zelf ook al achter gekomen dat de berekeningen omvangrijk waren. Opmerkelijk is de opmerking over haar leraar, Stampioen, van wie ze in zes maanden niet zoveel zou leren als van deze ene brief van Descartes: \et m'apprend plus que je n'aurais fait en six mois de mon ma^tre."22 Op de 29e reageerde Descartes op haar brief en uit zijn reactie blijkt dat hij onder de indruk was van de manier waarop Elizabeth het probleem had benaderd. Hij was verheugd over haar vaardigheid met zijn algebrasche methode en hij toonde bewondering voor haar geduld.23 Vervolgens ging hij in op haar methode om het probleem aan te pakken. Het lijkt erop alsof hier wederom een veeg uit de pan werd uitgedeeld aan Stampioen. Descartes legde uit dat de methode die hij beschreef geschikt was om te bepalen of een meetkundig probleem op te lossen is met behulp van passer en liniaal of dat een andere meetkundige constructie nodig is. Hij vergeleek dit met de oplossing die Elizabeth zocht: een algemeen geldende stelling. Dit was in lijn met wat zij van haar leermeester Stampioen onderwezen kreeg. Stampioen had in zijn Openbaeringhe der Vertooghen 24 (1639) een \Algebra" gentroduceerd, zoals hij het zelf noemde, waarin regels beschreven waren om alle wiskundige problemen op te lossen. Hij had voor tientallen problemen de oplosmethode beschreven. Het betroen met name handels-, landmeet- en landbouwproblemen, die maatschappelijk relevant waren in de zeventiende eeuw. In het laatste deel van

Openbaeringhe der Vertooghen schetste Stampioen ook de contouren voor een wiskundige methode die volgens hem alle problemen oploste. Er moesten met behulp van algebra bewijzen gegeven worden voor alle mogelijke wiskundige stellingen. Met behulp van een algemeen geldende stelling konden namelijk alle speci eke problemen gemakkelijk opgelost worden. Als voorbeeld werkte hij onder andere een bewijs van de stelling van Pythagoras uit.25 Hij stelde voor dat wiskundigen zouden beginnen met het vinden van goede vertooghen (bewijzen) voor de meest elementaire Griekse wiskunde van Euclides en Apollonius.26 . In het laatste deel werkte Stampioen ook volgens de methode van Descartes oplossingen voor tweedegraadsvergelijkingen uit. Hij gebruikte daarbij een rechthoekig assenstelsel. Het is dus zeer aannemelijk dat Elizabeth door Stampioen getraind was in de algebrasche methode van Descartes en dat zij bekend was met zijn rechthoekige assenstelsel om vergelijkingen bij krommen te vinden en meetkundige problemen op te lossen. Bovendien had zij hoogstwaarschijnlijk van Stampioen geleerd dat de ultieme oplossing van een wiskundig probleem gegeven kon worden door een algemeen geldende stelling. 22 [Des2005], p.1848, Elisabetta a Descartes, l'Aia, 21 23 [Des2005], p.1854, No. 434, Descartes a Elisabetta, 24 [Sta1639] 25 [Sta1639], 359-360 26 [Sta1639], 1-2, 324


novembre 1643 Egmond aan den Hoef, 29 novembre 1643

97


Descartes schreef aan Elizabeth dat het zoeken van bewijzen en constructies in de nieuwe algebra voor reeds bestaande stellingen van Euclides iets was waar slechts de minder goede meetkundigen zich mee bezig houden: \n'est qu'un amusement pour les petits Geometres"27 Echter, in dit geval, waarin een nieuw probleem voorlag waarvoor nog geen algemeen geldende stelling gevonden was, en die ook niet direct in te zien was, was het zoeken naar een bewijs allerminst eenvoudig. Het lukte Elizabeth dan ook niet om deze te vinden: de vergelijkingen die zij vond waren niet voldoende helder \pour en conclure un theoreme"28 . We weten niet precies wat de prinses heeft gedaan, maar door de reactie die Descartes gaf op haar brief, kunnen we enigszins destilleren welke weg Elizabeth bewandeld heeft in haar poging een stelling voor de Kiss Precise te vinden. Descartes nam haar idee over om een algemeen geldende stelling te vinden. Deze stelling moest vertellen wat de straal van de vierde cirkel is, die raakt aan de drie andere cirkels. Hij gebruikte bovendien een andere notatie, namelijk die van Elizabeth. Dat blijkt uit zijn beschrijving van de manier waarop de oplossing te vinden is. Het was volgens Descartes beter om de letters a, b en c toe te wijzen aan de zijden van de driehoek ABC, omdat deze in gelijke verhoudingen staan tot de afstanden AH, BH en CH (de middelpunten van de

cirkels tot de vierde, te vinden cirkel). In plaats van D noemde hij nu dus het middelpunt van de gevraagde cirkel H. Hij beweerde dat met het uitschrijven van vergelijkingen op deze manier, een vergelijking te vinden moest zijn in een onbekende, namelijk de straal van de cirkel om H. Deze methode was, zo schreef Descartes, beter dan die van hemzelf, omdat de stelling die gevonden wordt symmetrisch is in A, B en C. Dat was niet het geval met zijn methode, die immers door de keuze van het loodrechte assenstelsel de symmetrie in de driehoek verbreekt (\car il est meilleur pour cela, que celuy que j'avois propose."29 ) Echter, ook het oplossen van het probleem met deze methode was volgens Descartes te tijdrovend (de berekeningen zouden te geestdodend zijn).30 Dat dit inderdaad het geval is, blijkt wanneer we de berekeningen uitvoeren met behulp van Mathematica. We vinden acht verschillende oplossingen voor x. Iedere oplossing bestaat uit 78 termen.31 Descartes zag dit hoogstwaarschijnlijk aankomen toen hij begon met de uitwerking en hij besloot het probleem terug te brengen tot een speciaal (en simpeler) geval: de drie cirkels met middelpunten A, B en C raken elkaar, zoals in het gedicht over de kus. Het is wel haalbaar om voor dit geval een stelling af te leiden. 27 [Des2005], p.1854 28 [Des2005], p.1848, 29 [Des2005], p.1856, 30 [Des2005], p.1856, 31 [Ver2003], p.207

98

No. 431, Elisabetta a Descartes, l'Aia, 21 novembre 1643 No. 434, Descartes a Elisabetta, Egmond aan den Hoef, 29 novembre 1643 No. 434, Descartes a Elisabetta, Egmond aan den Hoef, 29 novembre 1643


Thekla Teunis

In het vervolg van zijn brief nam hij de prinses als het ware aan de hand: hij gaf haar een tussenresultaat dat ze zou vinden als ze de berekeningen op haar manier zou uitvoeren.

De cirkels van Elizabeth

In de nieuwe notatie zijn d, e en f de stralen van de gegeven cirkels en merk op dat nu geldt vanwege de kus: AB = a = d + e

BC = b = f + e

AC = c = d + f

HK is de loodlijn vanuit H op AC en BD is de loodlijn vanuit B op AC. De prinses zou op deze vergelijkingen

moeten komen: AK =

d2 + df + dx − fx d+f

(19)

AD =

d2 + df + de − fe d+f

(20)

die volgens hem te vinden waren door te kijken naar de driehoeken AHC en ABC respectievelijk. Het feit dat we naar de gehele driehoek moeten kijken, wijst erop dat Descartes deze vergelijkingen niet heeft gevonden met de stelling van Pythagoras, maar met een andere stelling, die de gevraagde lijnstukken uitdrukt in de zijden van de driehoeken.


99


Als we kijken naar onderstaande driehoek met zijden a, b en c en hoogtelijn h (zie guur 4):

Figuur 4: De stelling van Heron

We nemen aan dat de hoogtelijn h van de driehoek de basis a verdeelt in twee segmenten u en v. We zien dat: u+v=a

(21)

b2 = h 2 + u 2

(22)

c2 = h2 + v2

(23)

c 2 − b2 = v 2 − u 2

(24)

Nu trekken we vergelijking (22) van (23) af:

en vervolgens delen we beide kanten door u + v: c 2 − b2 =v−u u+v

(25)

c2 − b2 + a2 = 2v a

(26)

c2 − b2 + a2 = v. 2a

(27)

−c2 + b2 + a2 = u. 2a

(28)

en we tellen aan beide kanten u + v erbij op:

Op dezelfde manier vinden we voor u:

100


Thekla Teunis

Deze vergelijkingen volgen ook direct uit de stelling van Heron,32 die algemeen bekend was in de zeventiende eeuw. Vanwege het onderricht dat Elizabeth had gekregen in de wiskunde, is het zeer aannemelijk dat zij op de hoogte was van deze stelling en deze heeft toegepast op het probleem.33 . We passen nu de vergelijkingen (27) en (28) toe op driehoek AHC, en we stellen x de (onbekende) straal van de gevraagde cirkel. AK

= = =

(f + d)2 + (d + x)2 − (f + x)2 2(f + d) 2 2d + 2df + 2dx − 2fx 2(f + d) d2 + df + dx − fx (f + d)

(29) (30) (31)

Op dezelfde manier, als we (28) toepassen in driehoek ABC, vinden we vergelijking (20) voor AD. Descartes heeft nu nog een andere vergelijking nodig (tussen AD en AK) om x te vinden.34 \En n"35 , zei Descartes toen, komen we op de volgende vergelijking:

(32)

d2 e2 f2 + d2 e2 x2 + d2 f2 x2 + e2 f2 x2 = 2def2 x2 + 2de2 fx2 + 2d2 efx2 + 2de2 f2 x + 2d2 ef2 x + 2d2 e2 fx

(33)

Tegenwoordig staat dit resultaat bekend als de Cirkelstelling van Descartes.36 Nadat Descartes de stelling had afgeleid, die later naar hem vernoemd zou worden, omdat hij waarschijnlijk de eerste is die deze stelling heeft gevonden37 , werkte hij nog een voorbeeld uit, waarin hij voor de stralen van de cirkels respectievelijk 2, 3 en 4 kiest.

32 De

stelling van Heron zegt dat in bovenstaande driehoek geldt dat

p

s(s − a)(s − b)(s − c) = 1/2ah,

waarbij s = 1/2(a +

b + c).

33 [Ver2003], 206-207 34 Jan Hogendijk heeft

deze vergelijking gevonden en gebruikt bij zijn reconstructie van de a eiding van de Cirkelstelling, die

te vinden is op www.math.uu.nl/people/hogend/elizabeth.pdf 35 [Des2005] p.1856, No. 434, Descartes a Elisabetta, Egmond aan den Hoef, 29 novembre 1643 36 In moderne notatie: 2(ρ2 + ρ2 + ρ2 + ρ2 ) = (ρ + ρ + ρ + ρ )2 , waarbij ρ de straal is van cirkel i en de vier cirkels 1 2 3 4 i 1 2 3 4 i = 1, 2, 3, 4 elkaar raken. Als we vergelijking (33) delen door d2 e2 f2 x2 en stellen ρ1 = 1/d, ρ2 = 1/e, ρ3 = 1/f, ρ4 = 1/x, krijgen we ρ21 + ρ22 + ρ23 + ρ24 = 2(ρ1 ρ2 + ρ1 ρ3 + ρ1 ρ4 + ρ2 ρ3 + ρ2 ρ4 + ρ3 ρ4 ). Door uitwerken zie je dat (ρ1 + ρ2 + ρ3 + ρ4 )2 de som van deze twee termen is, die dus gelijk zijn aan elkaar. Dus is (ρ1 + ρ2 + ρ3 + ρ4 )2 = 2(ρ21 + ρ22 + ρ23 + ρ24 ). Zie bijvoorbeeld: [Ped1967] 37 [Ped1967]


101


De glimlach Het is de vraag hoe Descartes op dit resultaat is gekomen. Waarschijnlijk heeft hij het volgende gebruikt: AD

=

HG

= =

e · AK x AK − AD (x − e)(d2 + df + dx − fx) fx + dx

(34) (35) (36)

Het is waarschijnlijk dat Descartes, op de manier die Elizabeth volgde, tot het antwoord is gekomen door ook BG = BD − HK met behulp van de stelling van Heron te bepalen en vervolgens de stelling van Pythagoras

toe te passen in driehoek BDG, waarbij (e + x) = BH.38 Descartes re ecteerde aan het eind van zijn laatste brief op beide methodes om het probleem aan te pakken. Daarbij merkte hij resumerend op dat, wanneer men de oplosbaarheid van het probleem wil bepalen, een oplossing met behulp van een rechthoekig assenstelsel het snelst is. Wanneer men een algemeen geldende stelling wil vinden, is het beter om slechts een onbekende te veronderstellen, en deze uit te drukken in de stralen van de drie gegeven cirkels, zoals de prinses deed. Descartes was bijzonder verheugd over haar bijdrage aan deze ontdekking en hij spoorde haar aan verder te gaan in de wiskunde, een wetenschap die zowel intelligentie als geduld vergde, twee eigenschappen waarvan hij overtuigd was dat de prinses daar bovenmatig over beschikte. Hij wilde haar daar graag bij helpen: \je ne doute point que Votre Altesse ne voie bientôt jusqu'ou peut atteindre l'esprit humain dans cette science. Je m'estimerais extrêmement heureux, si j'y pouvais contribuer quelque chose, comme etant porte d'un zele t`res particulier a être." Na deze opening van hun briefwisseling, waarin het intellect van de jonge prinses onmiddellijk aan het licht kwam voor Descartes, bleven de twee nog tot aan de dood van Descartes brieven schrijven. Het onderwerp van de brieven veranderde: in plaats van wiskunde betrof het later voornamelijk loso e (vooral de passies van de ziel waren een geliefd onderwerp van het koppel) en familiekwesties. Dat Descartes veel waarde hechtte aan zijn correspondentie met de prinses, blijkt uit het feit dat hij zijn Principia philosophiae (1644) aan haar opdroeg. Ook de Latijnse vertaling van de Geometrie, die door Frans van Schooten was gemaakt en voor het eerst werd gepubliceerd in 1649, werd opgedragen aan Elizabeth.39 38 Het

is mogelijk de berekening te herconstrueren. www.math.uu.nl/people/hogend/elizabeth.pdf 39 [Ver2003], p.259

102

Dit is Jan Hogendijk gelukt. De reconstructie is te vinden op


Thekla Teunis

We kunnen concluderen dat een aantal grote wiskundigen uit de tijd van prinses Elizabeth van Bohemen40 bijzonder onder de indruk was van haar capaciteiten. De oplosmethode die zij voorstelde voor het probleem van de cirkels van Apollonnius getuigt van een grote mate van intelligentie, aangezien zij een van de weinigen was die de algebrasche methode begreep en daadwerkelijk kon toepassen op hoog niveau. Daarnaast laat het haar vindingrijkheid zien, omdat ze op het idee kwam om de stelling van Heron toe te passen en het probleem te beschouwen met een onbekende. Ze wist in feite de lessen van haar leraar Johan Stampioen, die zelf waarschijnlijk geen briljante wiskundige was, te combineren met de methode van Descartes uit de Geometrie en daar zelf een oplossing mee te creeren. Het is niet waarschijnlijk dat Stampioen haar hiermee veel geholpen heeft, gezien de negatieve toespelingen aan zijn adres vanuit zowel Elizabeth als Descartes in de brieven over dit probleem en gezien het niveau van de wiskundige publicaties die Stampioen publiceerde. Daarin komt het oplossen van dit probleem of soortgelijke problemen van hetzelfde niveau met de algebrasche methode niet voor. We kunnen met vrij grote zekerheid stellen dat Descartes zonder Elizabeth nooit op het idee was gekomen van de Cirkelstelling. Zonder haar was hij namelijk niet op het idee gekomen om een stelling te formuleren over het probleem, en ook de manier waarop hij tot die stelling kwam was hem inge uisterd door Elizabeth. Eigenlijk zou deze stelling dus de Cirkelstelling van Elizabeth en Descartes moeten heten. De vraag, die we ons in het begin van dit essay stelden, of de prinses briljant was, kunnen we dus met behoorlijk grote zekerheid bevestigend beantwoorden. Descartes had het wiskundige intellect van de prinses wakker gekust. In haar leven verscheen er echter geen prins met wie zij haar passies van de ziel kon delen. Desalniettemin leefde Elizabeth van Bohemen nog lang, wijs en gelukkig in een klooster in Heidelberg, waar zij actief correspondeerde met grote geleerden uit de zeventiende eeuw.

Bibliografie [Des2005]

(2005) Descartes, R., onder toezicht van Belgioioso, G., Tutte le Lettere 1619-1650, Testo

francese, latino e olandese, Milaan [Des1654]

(1654) Descartes, R., vert. door Eugene, D. en Latham, M.L., The Geometry of Rene Descar-

tes, with a facsimile of the First edition, Dover, New York [Pap1660] (1660) Pappus Alexandrinus Pappi Alexandrini Mathematicae collectiones 40 Ren e

Descartes, Alphonse Pollot, Frans van Schooten


103


[Ped1967]

(1967) Pedoe, D. \On a Theorem in Geometry" The American Mathematical Monthly, Vol. 74, No. 6, pp.627-640

[Mat2000] Matson, W. (2000) A New History of Philosophy, Volume Two: From Descartes to Searle Second Edition, Harcourt College Publishers [Sod1936]

(1936) Soddy, F. The Kiss Precise, Nature, 20 juni 1936. Online via: Soddy's Formula http: //www.pballew.net/soddy.html

[Sta1639]

(1639) Algebra ofte nieuwe stel-regel, waer door alles ghevonden wordt inde wis-konst, wat

vindtbaer is : noyt voor desen bekendt / gevonden, ende beschreven door Johan Stampioen d'Jonghe `s Graven-Hage, ghedruckt ten huyse vanden autheur. In sphaera mundi. [Ver2003]

(2003) Verbeek, T., Bos, E.J., Ven, J. van de, The Correspondence of Rene Descartes 1643 Zeno Amsterdam

Appendix: reconstructie afleiding cirkelstelling (door Jan H.) Het probleem is als in guur 1: cirkels met stralen d, e en f raken elkaar uitwendig in drie punten. De middelpunten van de cirkels zijn A, B en C. De kleine cirkel die de drie cirkels inwendig raakt heeft straal x. Gevraagd is x te vinden in termen van d, e en f. BD is de loodlijn op AC met voetpunt D, H is het middelpunt van het gevraagde cirkeltje; HK is de loodlijn

op AC met voetpunt K, verder staat in de guur nog een loodlijn HG getrokken uit H op BD. Descartes leidt eerst af in driehoek ABC: (zie Thekla's essay) AD =

d2 + df + (d − f)e d+f

AK =

d2 + df + (d − f)x d+f

en op dezelfde manier in driehoek AGC:

Daarna geeft hij onmiddelijk een ingewikkelde (kwadratische) vergelijking voor x. De vraag is hoe deze is afgeleid. Hier komt de hypothese van Jan H. Je zou aan het volgende kunnen denken. Eerst rekenen we een beetje verder met de gevonden uitdrukkingen: HG = KD = AD − AK = 104

(d − f)(e − x) d+f Tapas of Descartian Geometry

Thekla Teunis

Nu is verder BH = e + x. Je kunt dan met de stelling van Pythagoras een mooie uitdrukking voor BG vinden, namelijk (d + f)2 BG2 = (d + f)2 (e + x)2 − (d − f)2 (e − x)2 = 4(de + fx)(ef + dx) BG kan echter ook op andere manieren gevonden worden met de stelling van Heron. Deze levert als opperp p vlaktes van driehoeken ABC en AHG fraaie waarden, namelijk def(d + e + f) en dxf(d + x + f).

Door te vermenigvuldigen met

2 d+f

krijg je de lengtes van BD en GD = HK. (Je gebruikt hierbij: oppervlakte

is half maal basis maal hoogte). Dan krijg je BG als het verschil hiervan, namelijk BG =

p 2 p def(d + e + f) − dxf(d + x + f) d+f

Zo krijg je een tweede mooie uitdrukking voor (d + f)2 BG2 = 4

2 p p def(d + e + f) − dxf(d + x + f)

Dit leidt tot Jan's eerste vergelijking (we halen rechts de factor (de + fx)(ef + dx) = df

p

√

e(d + e + f) −

df buiten haakjes en kwadrateren: p

x(d + x + f)

2

Dit is echter nog geen kwadratische vergelijking (door de wortels). We gaan het kwadraat uitwerken en dan blijken de vervelende termen weg te vallen. Er komt namelijk (als we de kwadraten van de wortels naar links brengen) p (de + fx)(ef + dx) − dfe(d + e + f) − dfx(d + x + f) = −2df ex(d + e + f)(d + x + f)

In het linkerlid vallen de termen met ±dfx2 en ±de2 f weg, er blijft over ex d2 + f2 −df(de+ef+dx+xf) =

x e d2 + f2 − df(d + f) − def(d + f).

Dus: x e d2 + f2 − df(d + f) − def(d + f) = −2df ex(d + e + f)(d + x + f). (Jan's tweede vergelij

p

king) Door Jan's tweede vergelijking te kwadrateren ontstaat een kwadratische vergelijking, Jan's derde vergelijking. 2 x2 e d2 + f2 − df(d + f) −2xdef(d+f) e d2 + f2 − df(d + f) +d2 e2 f2 (d+f)2 = 4d2 f2 ex(d+e+f)(d+x+f)

Het uitwerken is minder erg als we alle termen uit het rechterlid (van het kwadraat van Jan's derde vergelijking) naar links halen en de coecienten van x2 , x en de constante term apart berekenen. We ordenen ze dan naar machten van e (omdat we op zoek gaan naar factoren d + f). Zo krijgen we: Tapas of Descartian Geometry

105


Thekla Teunis

De coecient van x2 is 2 e d2 + f2 − df (d + f) − 4d2 f2 e(d + e + f) 2 2 = e2 d2 + f2 − 2def (d + f) d2 + f2 + d2 f2 (d + f) − 4d2 f2 e (d + f) − 4d2 e2 f2 h i 2 2 = e2 d2 − f2 + (d + f) d2 f2 + def (d + f) −2d2 − 2f2 − 4df 2 = (d + f) e2 d2 − 2df + f2 + d2 f2 − 2def (d + f) 2 = (d + f) d2 e2 + e2 f2 + d2 f2 − 2d2 ef − 2def2 − 2de2 f

Deze klopt. De coecient van x in de vergelijking zou moeten zijn −2def (d + f) e d2 + f2 − df (d + f) − 4d2 f2 e (d + e + f) (d + f) = 2def (d + f) −e d2 + f2 + df (d + f) − 2df (d + e + f) = 2def (d + f) −e d2 + f2 − df (d + f) − 2def h i 2 = 2def (d + f) −e (d + f) − df (d + f) cp 2 = (d + f) −2d2 e2 f − 2de2 f2 − 2d2 ef2

Zo krijgen we de vergelijking

+

2

x2 d2 e2 − 2x2 de2 f + x2 e2 f2 − 2x2 d2 ef − 2x2 def2 + x2 d2 f2 x −2de2 f2 − 2d2 ef2 − 2d2 e2 f + d2 e2 f2

(d + f)

= 0

Als we de factor (d + f)2 uitdelen, krijgen we de vergelijking van Descartes. (Henk Bos, p.209). Jantien wordt hartelijk bedankt voor het corrigeren van diverse onnauwkeurigheden in een eerdere versie!

106


or his Geometrie

Recommend Documents