MATERI MODUL 1 Standar Kompetensi
: :
Kompetensi Dasar
:
MATERI MODUL 2 Standar Kompetensi
:
Kompetensi Dasar Program Keahlian Kelas / Semester
: : :
IRISAN KERUCUT Menerapkan Konsep Irisan Kerucut memecahan masalah 1. Menyelesaikan model matematika dari yang berkaitan dengan lingkaran 2. Menyelesaikan model matematika dari yang berkaitan dengan parabola 3. Menyelesaikan model matematika dari yang berkaitan dengan ellips 4. Menyelesaikan model matematika dari yang berkaitan dengan hiperbola STATISTIKA Menerapkan Aturan Konsep Statistika pemecahan masalah Menyajikan data dalam bentuk tabel Tehnik Komputer dan Informatika XII / Ganjil
dalam masalah masalah masalah masalah dalam
MODUL IRISAN KERUCUT A.
LINGKARAN Lingkaran adalah tempat kedudukan titik - titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu yang digambarkan pada bidang cartesius. Jarak yang sama disebut jari - jarii lingkaran dan titik tertentu disebut pusat lingkaran
1.
Persamaan Lingkaran a. Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan berjari - jari r adalah : x2 + y 2 = r 2
Contoh : Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan berjari - jari : 1 a. 5 b. 2 √2 Pemecahan : a. Diketahui lingkaran berpusat di O(0,0) dan r = 5, maka persamaan lingkaran adalah x2 + y2 = 52 x2 + y2 = 25 1 b. Diketahui lingkaran berpusat di O(0,0) dan r = √2, maka persamaan lingkarannya 1
adalah x2 + y2 = ( √2)2 x2 + y2 = 2 b.
1 2
2
2x2 + 2y2 = 1
Persamaan Lingkaran yang berpusat di P(a,b) dan berjari - jari r adalah : ( x - a ) 2 + ( y - b ) 2 = r2 Contoh : 1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (6,-3) dan berjari - jari 5 2. Tentukan pusat dan jari - jari lingkaran yang persamaannya (x + 3)2 + (y - 2)2 = 8 Pemecahan : 1. Diketahui lingkaran berpusat di (6,-3) berarti a=6, b=-3 dan r = 5 maka persamaan lingkarannya adalah ( x - a )2 + ( y - b )2 = r2 (x - 6)2 + (y - (-3))2 = 52 (x - 6)2 + (y + 3)2 = 25 x2 - 12x + 36 + y2 + 6y + 9 = 25 x2 + y2 - 12x + 6y + 20 = 0 2. Persamaan lingkaran berpusat di (a,b): (x - a)2 + (y - b)2 = r2 (x + 3)2 + (y - 2)2 = 8 berarti x-a x+3 -a = 3 a=-3 dan y-b y-2 b=2 maka lingkaran tersebut berpusat di (-3,2) dan berjari - jari r2 = 8 r = √8 = 2√2
c.
Bentuk Umum Persamaan Lingkaran Persamaan lingkaran dengan Bentuk Umum : x2 + y2 + Ax + By + C = 0
1 Kadek Suwini, S. Pd NIP. 19710502 199803 2 008
memiliki Pusat ( −
𝐀 𝟐
,−
𝐁 𝟐
𝟐
𝟐
𝐀 𝐁 ) dan berjari - jari r = √ 𝟒 + 𝟒 − 𝐂
Contoh : Tentukan pusat dan jari - jari lingkaran dengan persamaan x2 + y2 - 4x - 2y + 4 = 0 Pemecahan : Persamaan lingkaran : x2 + y2 - 4x - 2y + 4 = 0 dimana A = -4, B = -2 dan C = 4 Pusat = P (−
(−𝟒) 𝟐
,−
(−𝟐) 𝟐
2
2
(−4) (−2) ) = (2,1) dan r = √ 4 + 4 − 4 = 1
Jadi lingkaran tersebut memiliki pusat (2,1) dan jari - jari r = 1 2.
Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran a.
Kedudukan titik terhadap lingkaran L : x2 + y2 = r2 Diberikan lingkaran L : x2 + y2 = r2 ■ Titik P1(x1,y1) terletak di luar lingkaran L jika x12 + y12 > r2 ■ Titik P2(x2,y2) terletak pada lingkaran L jika x22 + y22 = r2 ■ Titik P3(x3,y3) terletak di dalam lingkaran L jika x32 + y32 < r2
b.
Kedudukan titik terhadap lingkaran L: (x - a)2 + (y - b)2 = r2 Diberikan lingkaran L : (x - a)2 + (y - b)2 = r2 ■ Titik P1(x1,y1) terletak di luar lingkaran L jika (x1 - a)2 + (y1 - b)2 > r2 ■ Titik P2(x2,y2) terletak pada lingkaran L jika (x2 - a)2 + (y2 - b)2 = r2 ■ Titik P3(x3,y3) terletak di dalam lingkaran L jika (x3 - a)2 + (y3 - b)2 < r2 Contoh : 1. Jika titik (p,3) terletak pada lingkaran (x + 1)2 + (y - 7)2 = 25. Tentukan nilai p. Pemecahan : (p,3) → (p + 1)2 + (3 - 7)2 = 25 p2 + 2p + 1 + 16 - 25 = 0 p2 + 2p - 8 = 0 (p - 2)(p + 4) = 0 p = 2 atau p = - 4 2. Tentukan kedudukan titik - titik A(3,5), B(-1,-1) dan C(3,1) terhadap lingkaran (x - 2)2 + (y + 1)2 = 9. Pemecahan : A(3,5) → (x - 2)2 + (y + 1)2 = (3 - 2)2 + (5 + 1)2 = 1 + 36 = 37 > 9 B(-1,-1) → (x - 2)2 + (y + 1)2 = (-1 - 2)2 + (-1 + 1)2 = 9 + 0 = 9 C(3,1) → (x - 2)2 + (y + 1)2 = (3 - 2)2 + (1 + 1)2 = 1 + 4 = 5 < 9 Jadi, Kedudukan titik A(3,5) terletak di luar lingkaran, titik B(-1,-1) terletak pada lingkaran dan C(3,1) terletak didalam lingkaran 3. Jika titik (-5,k) terletak pada lingkaran x2 + y2 + 2x - 5y - 21 = 0, tentukan nilai k. Pemecahan : (-5,k) → x2 + y2 + 2x - 5y - 21 = 0 (-5)2 + k2 + 2(-5) - 5k - 21 = 0 25 + k2 - 10 - 5k - 21 = 0 k2 - 5k - 6 = 0 (k - 6)(k + 1) = 0 k = 6 atau k = -1 4. Jika titik (k,5) terletak pada lingkaran x2 + y2 = 34, tentukan nilai k. Pemecahan : (k,5) → x2 + y2 = 34 k2 + 52 = 34 k2 + 25 = 34 k2 = 34 - 25 = 9 k = ±√9 k = 3 atau k = -3
3.
Garis Singgung Lingkaran a. Persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat O(0,0) yang melalui titik A(x 1,y1) yang terletak pada lingkaran dapat dirumuskan sebagai berikut : x1x + y1y = r2 Contoh : Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x 2 + y2 = 45 yang melalui titik (3,6) Pemecahan : x1=3, y1=6 dan r2=45 maka persamaan garis singgungnya adalah :
2 Kadek Suwini, S. Pd NIP. 19710502 199803 2 008
x1x + y1y = r2 3x + 6y = 45 x + 2y = 15 b.
Persamaan garis singgung lingkaran ( x - a )2 + ( y - b )2 = r2 yang melalui A(x1,y1) yang terletak pada lingkaran dapat dirumuskan sebagai berikut : (x - a)(x1 - a) + (y - b)(y1 - b) = r2 Contoh : Tentukan persamaan garis singgung lingkaran (x-2)2 + (y+1)2 = 5 yang melalui titik (3,1) Pemecahan : a=2, b=-1, x1=3, y1=1 dan r2=5 maka persamaan garis singgungnya adalah : (x - a)(x1 - a) + (y - b)(y1 - b) = r2 (x - 2)(3 - 2) + (y + 1)(1 + 1) = 5 (x - 2)(1) + (y + 1)(2) = 5 x - 2 + 2y + 2 = 5 x + 2y = 5
c.
Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 + Ax + Bx + C = 0, melalui titik (x1,y1) yang terletak pada lingkaran dapat dirumuskan sebagai berikut : x1x + y1y + ½A (x1 + x) + ½B (y1 + y) + C= 0 Contoh : Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x 2 + y2 - 4x + 6y - 12 = 0 di titik (5,1) Pemecahan : A=-4, B=6, C=-12, x1=5, y1=1 maka persamaan garis singgungnya adalah : x1x + y1y + ½A (x1 + x) + ½B (y1 + y) + C = 0 5x + y + ½(-4)(5 + x) + ½(6) (1 + y) + (-12) = 0 5x + y - 2(5 + x) + 3 (1 + y) - 12 = 0 5x + y - 10 - 2x + 3 + 3y - 12 = 0 3x + 4y - 19 = 0
d.
Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien tertentu Persamaan garis singgung pada lingkaran yang bergradien m dengan pusat di (0,0) dan berjari - jari r dapat ditentukan dengan rumus : y = mx ± 𝒓 √ 𝟏 + 𝒎𝟐 Sedangkan untuk lingkaran bergradien m dengan pusat di (a,b) dan berjari - jari r, persamaan garis singgungnya sebagai berikut : y - b = m(x - a ) ± 𝒓 √ 𝟏 + 𝒎𝟐 Contoh : Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x 2 + y2 + 6x + 8 = 0 dan bergradien 3. Pemecahan : Diketahui lingkaran dengan persamaan x 2 + y2 + 6x + 8 = 0 maka pusat lingkaran : 2
2
A B 6 0 A B P (− 2 ,− 2 ) = (− 2,− 2) = (-3,0) dan jari - jari lingkaran r = √ 4 + 4 − C 2
=
2
√ 6 + 0 − 8 = 1 berarti a=-3, b=0, m=3 maka persamaan garis singgung lingkaran 4 4 dapat dituliskan : y - b = m(x - a ) ± 𝑟 √ 1 + 𝑚 2 y - 0 = 3(x - (-3) ) ± 1 √ 1 + 32 y = 3(x+3) ± 1√10 y = 3x + 9 ± √10 berarti : y = 3x + ( 9 + √10 ) atau y = 3x + ( 9 - √10 ) e.
Garis Polar pada lingkaran
1. Jika titik P(x1,y1) di luar lingkaran L : x2 + y2 = r2 maka persamaan garis polarnya adalah : x1.x + y1.y = r2 2. Jika titik P(x1,y1) di luar lingkaran L : (x - a)2 + (y - b)2 = r2 maka persamaan garis polarnya adalah : (x - a)(x1 - a) + (y - b)(y1 - b) = r2 3. Jika titik P(x1,y1) di luar lingkaran L : x2 + y2 + Ax + By + C= 0 maka persamaan garis polarnya adalah : 3 Kadek Suwini, S. Pd NIP. 19710502 199803 2 008
x1.x + y1.y + ½A(x + x1) + ½B(y + y1) + C = 0 Contoh : Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 25 yang ditarik dari (7,1) Pemecahan : (7,1) → x2 + y2 = 25 (7)2 + (1)2 = 49 + 1 = 50 > 25, berarti kedudukan titik (7,1) ada diluar lingkaran karena x2 + y2 > r2, sehingga Persamaan garis polarnya : x1.x + y1.y = r2 7.x + 1.y = 25 7x + y = 25 y = 25 - 7x y = 25 - 7x substitusi ke : x2 + y2 = 25 x2 + (25 - 7x)2 = 25 x2 + 625 - 350x + 49x2 = 25 50x2 - 350x + 600 = 0 x2 - 7x + 12 = 0 (x - 3)(x - 4) = 0 x = 3 atau x = 4 untuk x = 3 → y = 25 - 7x = 25 - 7.3 = 25 - 21 = 4 maka koordinat titik singgung (3,4) untuk x = 4 → y = 25 - 7x = 25 - 7.4 = 25 - 28 = -3 maka koordinat titik singgung (4,-3) Persamaan garis singgungnya adalah : utk titik (3,4) → x1.x + y1.y = r2 3.x + 4.y = 25 3x + 4y = 25 3x + 4y - 25 = 0 utk titik (4,-3) → x1.x + y1.y = r2 4.x + -3.y = 25 4x - 3y = 25 4x - 3y - 25 = 0 Jadi persamaan garis singgungnya : 3x + 4y - 25 = 0 dan 4x - 3y - 25 = 0 Contoh Soal Tambahan : 1. 2. 3.
Tentukan persamaan lingkaran yang berdiameter PQ dengan P(8,-4) dan Q(-8,4) Tentukan persamaan lingkaran yang berdiameter AB dengan A(-3,3) dan B(7,3) Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik A(8,9), B(2,9), dan titik C(2,3)
Pemecahan : 1. Koordinat pusat lingkaran adalah : 𝑥 +𝑥 𝑦 +𝑦 8+(−8) −4+4 [ 𝑝 𝑞 , 𝑝 𝑞] = [ , 2 ] = (0,0) 2 2 2 Jari - jari lingkaran :
2
2
1 r = ½PQ = 2 √[𝑥𝑞 − 𝑥𝑝 ] + [𝑦𝑞 − 𝑦𝑝 ]
=
1 2
√[−8 − 8]2 + [4 − (−4)]2 = ½ . √[16]2 + [8]2 = ½ . √256 + 64
= ½ . √320 = ½ . √64𝑥5 = ½ . 8√5 = 4√5 maka r = (4√5)2 = 16.5 = 80 jadi persamaan lingkaran yang berpusat di (0,0) dan berjari - jari 4√5 adalah : x2 + y2 = r2 x2 + y2 =80 2
2.
Koordinat pusat lingkaran adalah : 𝑥 +𝑥 𝑦 +𝑦 −3+7 3+3 [ 𝐴 𝐵 , 𝐴 𝐵] = [ , 2 ] = (2,3) 2 2 2
Jari - jari lingkaran : 1 r = ½AB = 2 √[𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 ]2 + [𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 ]2 =
1 2
√[7 − (−3)]2 + [3 − 3]2 = ½ . √[10]2 + [0]2 = ½ . √100 + 0
= ½ . √100 = ½ . 10 = 5 maka r = ( 5 )2 = 25 jadi persamaan lingkaran yang berpusat di (2,3) dan berjari - jari 5 adalah : (x - a)2 + (y - b)2 = r2 (x - 2)2 + (y - 3)2 = 25 x2 – 4x + 4 + y2 – 6y + 9 = 25 x2 + y2 – 4x – 6y + 13 – 25 = 0 x2 + y2 – 4x – 6y – 12 = 0 2
3.
Cara 1 : persamaan lingkaran dengan pusat (a,b) adalah : (x - a)2 + (y - b)2 = r2 Kemudian masukkan titik – titik tersebut ke persamaan lingkaran diatas, sehingga diperoleh : A(8,9) → (8 - a)2 + (9 - b)2 = r2 a2 + b2 - 16a - 18b + 145 = r2 ………. ( 1 ) B(2,9) → (2 - a)2 + (9 - b)2 = r2 a2 + b2 - 4a - 18b + 85 = r2 ….………. ( 2 ) C(2,3) → (2 - a)2 + (3 - b)2 = r2 a2 + b2 - 4a - 6b + 13 = r2 … ……. ( 3 ) Substitusi persamaan (1) dan (2) diperoleh :
4 Kadek Suwini, S. Pd NIP. 19710502 199803 2 008
a2 + b2 - 16a - 18b + 145 = a2 + b2 - 4a - 18b + 85 -12a = -60 a = 5 Substitusi persamaan (2) dan (3) diperoleh : a2 + b2 - 4a - 18b + 85 = a2 + b2 - 4a - 9b + 13 -9b = -72 b = 6 a=5, b=6 disubstitusi ke persamaan (3) diperoleh : a2 + b2 - 4a - 6b + 13 = r2 25 + 36 - 20 - 36 + 13 = r2 r2 = 18, Jadi persamaan lingkaran tersebut adalah : (x - a)2 + (y - b)2 = r2 (x - 5)2 + (y - 6)2 = 18 x2 – 10x + 25 + y2 – 12y + 36 = 18 x2 + y2 – 10x – 12y + 43 = 0 Cara 2 : persamaan lingkaran dengan bentuk umum : x2 + y2 + Ax + By + C = 0 Kemudian masukkan titik – titik tersebut ke bentuk umum tersebut, sehingga diperoleh : A(8,9) → 82 + 92 + 8A + 9B + C = 0 8A + 9B + C + 145 = 0 ……………………………( 1 ) A(2,9) → 22 + 92 + 2A + 9B + C = 0 2A + 9B + C + 85 = 0 …………….………………( 2 ) A(2,3) → 22 + 32 + 2A + 3B + C = 0 2A + 3B + C + 13 = 0 …………….………………( 3 ) Eleminasi ( 1 ) dan ( 2 ) didapat : Eleminasi ( 2 ) dan ( 3 ) didapat : 8A + 9B + C + 145 = 0 2A + 9B + C + 85 = 0 2A + 9B + C + 85 = 0 2A + 3B + C + 13 = 0 6A + 60 = 0 6B + 72 = 0 A = - 10 B = - 12 Substitusi A = - 10, B = - 12 ke salah satu persamaan [ ambil persamaan ( 3 ) ] didapat : 2A + 3B + C + 13 = 0 2( -10 ) + 3( -12 ) + C + 13 = 0 -20 + ( -36 ) + C + 13 = 0 -56 + C + 13 = 0 C – 43 = 0 C = 43 Jadi Persamaan lingkarannya : x2 + y2 + Ax + By + C = 0 x2 + y2 + (-10)x + (-12)y + 43 = 0 x2 + y2 - 10x – 12y + 43 = 0 B.
PARABOLA Parabola adalah tempat kedudukan titik - titik pada bidang datar yang mempunyai jarak yang sama terhadap suatu titik tertentu dan suatu garis tertentu. Titik tersebut disebut titik api ( fokus) dan garis tersebut disebut garis arah ( direktris ).
I.
Persamaan Parabola yang berpuncak di (0,0) Bentuk Umum :
y
x² = 4py
Parabola tegak / parabola vertikal / Parabola terbuka ke atas Puncak : (0,0) Fokus ( F / titik api ) : (0,p) Direktriks ( g / garis arah ) : y = - p Panjang Lactus Rectum : l 4p l Sumbu Simetri : x=0 Jika p<0 parabola terbuka ke bawah
F(0,p) ●
x
0
g
Contoh 1: Tentukan koordinat fokus, persamaan sumbu simetri, persamaan direktris, dan panjang lactus rectum dari parabola berikut ! a. x2 = - 16y b. x2 = 2y Pemecahan : a. x2 = 4py x2 = - 16y maka 4p = -16 <=> p = - 4 Parabola ini merupakan parabola yang terbuka ke bawah Koordinat fokus F (0,p) F (0,- 4) Sumbu simetri berhimpit dengan sumbu y, maka persamaannya x = 0 Persamaan direktris : y = -p y = 4 Panjang lactus Rectum ( LR ) = l 4p l = l 4.-4 l = 16 b.
x2 = 4py x2 = 2y maka 4p = 2 p =
2 4
=½
Parabola ini merupakan parabola yang terbuka ke ke atas 5 Kadek Suwini, S. Pd NIP. 19710502 199803 2 008
Koordinat fokus F (0,p) F (0,½) Sumbu simetri berhimpit dengan sumbu y, maka persamaannya x = 0 Persamaan direktris : y = -p y = - ½ Panjang lactus Rectum ( LR ) = l 4p l = l 4.½ l = 2
Contoh 2 : Tentukan persamaan parabola yang puncaknya di titik (0,0) dan direktriksnya y=5 Pemecahan : Direktriks : y = -p y = 5 maka p = -5 Jadi persamaan parabolanya : x2 = 4.p.y = 4.(-5).y = -20y x2 = -20y Contoh 3 : Tentukan persamaan parabola yang puncaknya di titik (0,0) dan fokusnya (0,-2) Pemecahan : Fokus : (0,p) (0,-2) maka p = -2 Jadi persamaan parabolanya : x2 = 4py = 4(-2)y = -8y x2 = -8y C.
ELLIPS Ellips adalah tempat kedudukan titik - titik pada bidang datar yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu yang diketahui adlah tetap (konstan). Dua titik tertentu itu disebut fokus atau titik api ( F1 dan F2 ), jarak F1 dan F2 adalah 2c dan jumlah jarak tetap adalah 2a ( a>0 ). Perhatikan gambar berikut !! B2(0,b) K D T A1(-a,0)
F1(-c,0)
E
1. 2. 3.
P
F2(c,0)
A2(a,0)
L
B1(0,-b)
Unsur - Unsur Pada Ellips F1 dan F2 disebut fokus. Jika T adalah sembarang titik pada ellips maka TF 1 + TF2 = 2a F1F2 = 2c dengan 2a > 2c A1A2 merupakan sumbu panjang ( sumbu mayor ) yang panjangnya sama dengan jarak tetap yaitu 2a. B1B2 merupakan sumbu pendek ( sumbu minor ) yang panjangnya sama dengan 2b. Karena itu a > b Lactus rectum yaitu segmen garis yang dibatasi ellips, tegak lurus sumbu mayor, dan melalui fokus ( DE dan KL ) panjang lactus rectum DE = KL =
2𝑏 2 𝑎
4. 5. 6.
Titik pusat ( P ) yaitu titik potong sumbu mayor dengan sumbu minor Titik puncak ellips terletak pada A1 dan A2, atau B1, dan B2 Berlaku b2 = a2 - c2
I.
Persamaan Ellips yang berpusat di O (0,0) :
■ ■ ■ ■
𝒙𝟐
𝒚𝟐
𝒂
𝒃𝟐
+ 𝟐
=𝟏
Fokus (±c,0) Titik Puncak (±a,0) Panjang sumbu mayor = 2a Panjang sumbu minor = 2b
■ Panjang lactus rectum (LR) =
2𝑏 2 𝑎
6 Kadek Suwini, S. Pd NIP. 19710502 199803 2 008
Contoh : 1. Tentukan persamaan ellips dengan titik puncak (13,0) dan fokus F 1(-12,0) dan F2(12,0) Pemecahan : Diketahui pusat ellips (0,0) Titik puncak (13,0) → a = 13 dan titik fokus (-12,0) dan (12,0) → c = 12 berarti : b2 = a2 - c2 = 132 - 122 = 25 b = 5, maka persamaan ellipsnya adalah :
𝑥2 132
+
𝑦2
=1
52
𝑥2 169
+
𝑦2 25
𝑥2
𝑦2
𝑎
𝑏2
+ 2
=1
=1 𝑥2
2. Diketahui ellips dengan persamaan
81
+
𝑦2 25
= 1.
Tentukan fokus, titik puncak, panjang
sumbu mayor, panjang sumbu minor, dan panjang lactus rectumnya. Pemecahan : 𝑥2 81
+
𝑦2 25
=1
berarti a2 = 81 a = 9 dan b2 = 25 b = 5, maka b2 = a2 - c2
25 = 81 - c2 c2 = 81 - 25 = 56 c = √56 = √4.14 = 2√14 ■ Fokus (2√14, 0) dan (-2√14, 0) ■ Titik Puncak (9,0) dan (-9,0) ■ Panjang sumbu mayor = 2a = 2.9 = 18 ■ Panjang sumbu minor = 2b = 2.5 = 10 ■ Panjang lactus rectum (LR) = D.
2𝑏 2
2.52 9
=
50 9
HIPERBOLA Hiperbola adalah tempat kedudukan titik - titik pada bidang datar yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu adalah tetap. Kedua titik tertentu disebut fokus ( titik api ) Y D
● F1(-c,0)
E g1 1. 2
=
𝑎
K
M
A
B
O
N
● F2(c,0)
X
L g2
4.
Pusat hiperbola adalah O dan F adalah fokus Sumbu utama adalah sumbu x ( yang melalui fokus ). Sumbu sekawan adalah sumbu y ( garis yang melalui pusat hiperbola dan tegak lurus sumbu utama 0 Sumbu nyata yaitu AB = 2a, dimana A dan B merupakan puncak hiperbola dengan koordinat A(-a,0) dan B(a,0) Sumbu imajiner yaitu MN = 2b
5.
Lactus rectum DE dan KL yang panjangnya DE = KL =
6.
Garis g1 dan g2 adalah asimtot
I.
Persamaan Hiperbola yang berpusat di O (0,0) :
3.
𝒙𝟐 𝒂𝟐
1. 2. 3. 4. 7
−
𝒚𝟐 𝒃𝟐
2𝑏 2 𝑎
dengan b2 = c2 - a2
=𝟏
Hiperbola terbuka ke kiri dan ke kanan Fokus F1(-c,0) dan F2(c,0) Puncak A(-a,0) dan B(a,0) Sumbu simetri : Kadek Suwini, S. Pd NIP. 19710502 199803 2 008
5. 6. 7.
■ Sumbu utama adalah sumbu x ■ Sumbu sekawan adalah sumbu y Sumbu Nyata = AB = 2a Sumbu imajiner MN = 2b 𝑏 Asimtot : 𝑦 = ± 𝑎 𝑥 Contoh : 1. Tentukan persamaan hiperbola dengan fokus (-13,0) dan (13,0) serta puncaknya (-5,0) dan (5,0) Pemecahan : Fokus (-13,0) dan (13,0) → c = 13 dan puncak (-5,0) dan (5,0) → a = 5 b2 = c2 - a2 b2 = 132 - 52 b2 = 169 - 25 = 144 b = 12 Jadi persamaan hiperbolanya adalah :
𝑥2 𝑎2
−
𝑦2 𝑏2
= 1
𝑥2 25
−
𝑦2 144
=1
2. Tentukan koordinat titik puncak, fokus, dan persamaan asimtot hiperbola berikut : 𝑥2 9
−
𝑦2 25
=1
Pemecahan : a2 = 9 a = 3, b2 = 25 b = 5 dan b2 = c2 - a2 25 = c2 - 9 c2 = 34 c = √34 ■ Titik Puncak (-a,0) = (-3,0) dan (a,0) = (3,0) ■ Fokus (-c,0) = (- √34,0) dan (c,0) = (√34,0) 𝑏 5 5 5 ■ Persamaan asimtot : 𝑦 = ± 𝑥 = ± 𝑥 berarti 𝑦 = 𝑥 atau 𝑦 = − 𝑥 𝑎
3
3
3
Petunjuk : Kerjakan Latihan dibawah ini pada double folio dan dikumpulkan !!! Tugas Matematika I ( Irisan Kerucut ) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.
Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat ( -2,5 ) dan jari - jari 5√2 Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat ( 0,0 ) dan jari - jari 3√3 Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik ( 3,2 ) dan melalui titik ( 3,7 ) Tentukan persamaan lingkaran dengan ujung diameter A ( 2,4 ) dan B ( - 4,2 ) Tentukan persamaan lingkaran yang berdiameter PQ dengan P( 3,-2 ) dan Q (-3,2 ) Diketahui persamaan lingkaran x2 + y2 - 4x + 10y + 13 = 0. Tentukan pusat dan jari - jari lingkaran tersebut Jika titik ( -12,k ) terletak pada lingkaran x2 + y2 = 169 maka tentukan nilai k Jika titik ( 2,k ) terletak pada lingkaran x2 + y2 - 4x - 2y - 4 = 0 maka tentukan nilai k Tentukan persamaan garis singgung melalui titik (5,1) pd lingkaran x2 + y2 - 4x + 6y - 12 = 0 Tentukan persamaan garis yang menyinggung lingkaran x 2 + y2 = 10 dengan gradien ⅓ Tentukan persamaan garis singgung melalui titik (2,3) pada lingkaran x2 + y2 = 13 Tentukan koordinat fokus, persamaan sumbu simetri, persamaan direktris dan panjang lactus rectum dari parabola x2 = - 2y Tentukan persamaan parabola dengan titik puncak (0,0) dan fokus (0,-8) Tentukan persamaan parabola yang puncaknya di titik (0,0) dan direktriksnya y=10 Diketahui ellips dengan persamaan
𝑥2 16
+
𝑦2 4
= 1.
Tentukan fokus, titik puncak, panjang
sumbu mayor, panjang sumbu minor, dan panjang lactus rectumnya. 16. Tentukan persamaan hiperbola dengan fokus (-17,0) dan (17,0) serta puncaknya (-5,0) dan (5,0) 17. Tentukan koordinat titik puncak, fokus, dan persamaan asimtot hiperbola berikut : 𝑥2 9
−
𝑦2 4
=1 MODUL STATISTIKA
A. Pengertian Statistik dan Statistika 8 Kadek Suwini, S. Pd NIP. 19710502 199803 2 008
Statistik adalah kumpulan fakta / data yang berupa angka yang disusun dalam daftar yang menggambarkan suatu persoalan.Statistika adalah pengetahuan / ilmu tentang cara-cara dan aturan mengumpulkan, mengolah, menganalisa, menyajikan dan menafsirkan atau menarik kesimpulan dari data yang berupa angka. Dari pengertian Statistika di atas, secara garis besar dapat digolongkan menjadi dua metode, yaitu : statistika deskriptif (deduktif) dan statistika inferensial (induktif). Bagian dari Statistika yang berhubungan dengan pengumpulan data, pengolahan data, penyajian data, pembuatan tabel, grafik atau diagram disebut statistika deskriptif. Adapun bagian dari Statistika yang berhubungan dengan penarikan kesimpulan maupun penafsiran mengenai populasi disebut statistika inferensial. Dalam hal ini yang dipelajari antara lain teori probabilitas, sampling, penaksiran terhadap parameter dan pengujian hipotesis. (parameter adalah kumpulan data yang diperoleh dari populasi) B. Data Statistika Data adalah sejumlah informasi yang dapat memberikan gambaran tentang suatu keadaan atau persoalan. Contoh-contoh data diantaranya adalah data pegawai, data siswa, data keuangan, data penjualan dan sebagainya. Jika data yang diambil hanya sebagian dari anggota suatu objek penelitian maka data yang demikian disebut sampel, anggota sampel dimaksudkan sebagai wakil dari seluruh objek penelitian. Keseluruhan objek penelitian disebut populasi.Dalam membuat suatu keputusan diperlukan data yang benar, agar tidak terjadi kesalahan yang mengakibatkan kerugian besar maka data yang baik harus memenuhi persyaratan berikut ini. Syarat data yang baik :
1. harus obyektif , artinya data yang diperoleh harus menggambarkan keadaan yang sebenarnya.
2. harus relevan , artinya data yang diperoleh harus ada kaitannya dengan permasalahan yang akan diteliti.
3. harus sesuai zaman ( up to date ) , artinya data jangan ketinggalan ( usang ) 4. harus representatif , artinya sampel yang dipilih harus memiliki sifat yang sama atau menggambarkan keadaan populasinya 5. harus reliable (dapat dipercaya) , sumber data ( nara sumber ) harus dari sumber yang tepat
6. representative, artinya karakteristik yang diteliti tercermin dalam data yang diambil Macam-macam data
1. Data tunggal dan data kelompok Data tunggal yaitu data yang disusun sesuai observasi Contoh : data nilai matematika 15 siswa : 8, 5, 6, 5, 8, 7, 6, 6, 5, 8, 9, 7, 9, 6, 6 Ada jenis data tunggal yang disebut data berbobot, yaitu data yang disajikan berkelompok tetapi tidak dalam interval tertentu. Contoh : data nilai matematika dari 40 siswa di kelas XII Nilai Jumlah / frekuensi
2 1
3 3
4 3
5 6
6 12
7 4
8 6
9 4
10 1
Data kelompok yaitu data yang disajikan dalam bentuk kelompok interval tertentu, sesuai dengan yang dikehendaki. contoh : penghasilan orang tua dari 50 siswa SMK per bulan (dalam ratusan ribu rupiah ) sebagai berikut : 1 - 5 ada 1 6 - 10 ada 3 11 - 15 ada 9 16 - 20 ada 12 21 - 25 ada 10 26 - 30 ada 6 31 - 35 ada 5 36 - 40 ada 4 9 Kadek Suwini, S. Pd NIP. 19710502 199803 2 008
Penghasilan per bulan ( dalam ratusan ribu rupiah )
Jumlah / frekuensi
1-5 6 - 10 11 - 15 16 - 20 21 - 25 26 - 30 31 - 35 36 - 40 Jumlah
1 3 9 12 10 6 5 4 50
2. Data kualitatif dan data kuantitatif Data kualitatif yaitu data yang tidak berbentuk angka, seperti penjualan merosot, mutu barang baik, harga daging naik daya beli menurun dsb. Data kuantitatif yaitu data yang berbentuk bilangan ( angka ). Berdasarkan nilainya terdiri atas data diskrit dan kontinu. Data diskrit adalah data yang diperoleh dari hasil menghitung contoh : ▪ jumlah siswa di kelas XII ada 100 orang, ▪ banyaknya kendaraan di tempat parker ada 50 buah ▪ gaji yang diterima bulan ini Rp 3.000.000,00 ▪ penjualan buku semester ganjil 250 eksemplar
Data kontinu adalah data yang diperoleh dari hasil mengukur contoh : ▪ tinggi badan siswa kelas XII rata-rata 160 cm ▪ pemakaian listrik bulan ini 150 kWh ▪ suhu udara hari ini 27 0 celcius ▪ berat badan minimal calon mahasiswa 47 kg
3. Data primer dan data sekunder Data primer adalah data yang dikumpulkan atau diolah sendiri oleh suatu organisasi atau perorangan. contoh : ▪ data harga sembilan bahan pokok yang dikumpulkan oleh Biro Pusat Statistik langsung dari pasar kemudian mengolahnya. ▪ data penggunaan sabun cuci oleh ibu rumah tangga yang dilakukan oleh sebuah perusahaan
Data sekunder adalah data yang diperoleh suatu organisasi atau perusahaan dalam bentuk yang sudah jadi contoh : ▪ data penduduk, data pendapatan nasional, indeks harga konsumen, daya beli masyarakat yang diperoleh dari Biro Pusat Statistik 4. Data Internal dan Eksternal Data Internal adalah data yang menggambarkan keadaan dalam suatu organisasi. contoh : ▪ data pegawai ▪ data peralatan ▪ data produksi
Data Eksternal adalah data yang menggambarkan keadaan di luar suatu organisasi. contoh : ▪ data selera masyarakat ▪ data saingan dari barang sejenis 10 Kadek Suwini, S. Pd NIP. 19710502 199803 2 008
▪ data perkembangan harga C. Penyajian Data Data yang telah dikumpulkan atau diperoleh dari sampel maupun populasi biasanya masih dalam bentuk data kasar atau data mentah ( raw data ). Agar data dapat dibaca dengan mudah dan cepat biasanya data disajikan dalam bentuk tabel atau daftar dan dalam bentuk diagram atau grafik. Penyajian data dalam bentuk tabel distribusi frekuensi 1. Tabel Distribusi Frekuensi Data Tunggal : Berikut ini adalah daftar nilai ujian matematika dari 30 siswa sebagai berikut : 5
7
6
6
8
4
5
6
7
5
6
9
3
6
6
7
9
7
7
8
5
5
8
8
9
5
6
7
8
7
Data diatas bisa dirangkum dalam tabel berikut : Nilai (x)
frekuensi (f)
3 4 5 6 7 8 9
1 1 6 7 7 5 3
Jumlah
30
Tabel ini disebut daftar distribusi frekuensi data tunggal atau daftar distribusi frekuensi berbobot. Jumlah total frekuensi selalu sama dengan ukuran data 2. Tabel Distribusi Frekuensi Data Berkelompok Tabel distribusi frekuensi data berkelompok adalah statistika untuk menyusun data dengan cara membagi nilai observasi ke dalam kelas-kelas dengan interval tertentu. Contoh : Perhatikan nilai ujian matematika untuk 100 siswa berikut: 80
80
70
68
90
92
80
70
63
76
49
84
71
72
35
93
91
74
60
63
48
90
92
85
83
76
61
99
83
88
74
70
38
51
73
71
72
95
82
70
81
91
56
65
74
90
97
80
60
66
98
93
81
93
43
72
91
59
67
88
87
82
74
83
86
67
88
71
89
79
82
78
73
86
68
75
81
47
75
63
108
99
78
98
90
106
100
108
32
30
107
105
30
35
67
50
51
76
80
75
11 Kadek Suwini, S. Pd NIP. 19710502 199803 2 008
● Untuk membuat daftar distribusi frekuensi dengan panjang kelas yang sama dilakukan langkah-langkah berikut: ● Tentukan Rentangan / jangkauan / range (R), yaitu data terbesar ( Xmax ) dikurangi data terkecil (Xmin ) Data terbesar dari data di atas adalah 108, sedangkan data terkecil = 30, maka Rentangan R = Xmax - Xmin = 108 - 30 = 78 ● Tentukan banyaknya kelas yang diperlukan, misalnya 7 kelas atau 8 kelas sesuai dengan keperluan. Cara lain dengan menggunakan aturan Sturgess : Banyaknya kelas ( k ) k = 1 + 3,3 log n , dimana n = banyaknya data k = 1 + 3,3 log n = 1 + 3,3 log 100 = 1 + 3,3x2 = 1 + 6,6 = 7,6 Kita dapat membuat daftar dengan banyaknya kelas ( k ) = 7 atau 8 [ diambil k = 8 ] ● Tentukan panjang kelas interval ( i ) secara perkiraan ditentukan dengan aturan berikut: 𝑅 78 𝑖 = 𝑘 = 8 = 9,75
Kita dapat membuat daftar dengan Panjang kelas ( i ) = 9 atau 10 [ diambil I = 10 ]
● Pilih batas bawah kelas interval pertama Batas bawah interval kelas pertama dapat diambil dari data yang terkecil atau data yang lebih kecil dari data terkecil tetapi selisihnya kurang dari panjang kelas dan kelas pertama tidak boleh mempunyai frekuensi sama dengan nol. Dengan mengambil banyak kelas 8, panjang kelas 10 dan dimulai dengan batas bawah interval pertama sama dengan 30 diperoleh tabel distribusi frekuensi berkelompok sebagai berikut: Nilai
Tally ( Turus )
frekuensi ( f )
30 - 39
//// /
6
40 - 49
////
4
50 - 59
////
5
60 - 69
//// //// ///
13
70 - 79
//// //// //// //// ////
25
80 - 89
//// //// //// //// ///
23
90 - 99
//// //// //// ///
18
100 - 109
//// /
6
Beberapa istilah yang digunakan dalam tabel distribusi frekuensi antara lain: ■ Interval kelas Tiap-tiap kelompok disebut dengan interval kelas. Pada tabel di atas terdiri atas 8 interval atau kelas. ■ Batas atas ( BA ) dan Batas bawah ( BB ) Bilangan paling kiri pada tiap kelas disebut batas bawah atau batas bawah adalah nilai yang terkecil dari masing – masing kelas bersangkutan, yaitu 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100 disebut batas bawah sedangkan bilangan yang paling kanan pada tiap interval disebut batas atas kelas atau batas atas kelas adalah nilai yang terbesar dari masing – masing kelas bersangkutan, yaitu 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99, 109 disebut batas atas. ■ Tepi kelas atas ( TA ) dan Tepi kelas bawah ( TB ) 12 Kadek Suwini, S. Pd NIP. 19710502 199803 2 008
Tepi atas dan tepi bawah dihitung berdasarkan ketelitian data yang digunakan. Jika data dicatat teliti hingga satuan, maka tepi bawah diperoleh dengan cara mengurangi batas bawah dengan 0,5 atau ( TB = BB – 0,5 ) untuk kelas yang bersangkutan, yaitu 30 – 0,5 = 29,5 ; 40 – 0,5 = 39,5 ; 50 – 0,5 = 49,5 ; dst sedangkan Tepi atas diperoleh dengan cara menambahkan batas atas dengan 0,5 atau ( TA = BA + 0,5 ) untuk kelas yang bersangkutan, yaitu 39 + 0,5 = 39,5 ; 49 + 0,5 = 49,5 ; 59 + 0,5 = 59,5 ; dstnya ■ Nilai tengah interval / Titik tengah ( Xt ) Titik tengah kelas adalah nilai tengah dari masing - masing kelas. Xt = ( BA + BB ) : 2, Yaitu : (30+39):2 = 34,5 ; (40+49):2 = 44,5 ; (50+59):2 = 54,5 ; (60+69):2 = 64,5 ; dst ■ Frekuensi Komulatif ( fk ) : a. Frekuensi Komulatif Kurang dari ( f k≤ ) adalah Jumlah frekuensi yang memiliki nilai kurang dari tepi atas kelas intervalnya b. Frekuensi Komulatif Kurang dari ( fk≥ ) adalah Jumlah frekuensi yang memiliki nilai lebih dari tepi bawah kelas intervalnya ■ Frekuensi Relatif ( fr ) adalah Frekuensi dalam bentuk persentase dengan jalan membagi frekuensi dengan jumlah frekuensi tiap – tiap kelas dikalikan 100%,
f
rA
f f
A
x100% yaitu fr 1 = 6/100 x 100% = 6% ; 4/100
x 100% = 4% ; 5/100 x 100% = 5% ; 13/100 x 100% = 13%, dstnya Sesuai dengan uraian diatas, maka tabel dibawah ini bisa dilengkapi, sebagai berikut : Nilai
f
BB
BA
TB
TA
Xt
fk≤
fk≥
fr
30 - 39
6
30
39
29,5
39,5
34,5
6
94 + 6 = 100
6%
40 - 49
4
40
49
39,5
49,5
44,5
6+4=10
90 + 4 = 94
4%
50 - 59
5
50
59
49,5
59,5
54,5
10 + 5 =15
85 + 5 = 90
5%
60 - 69
13
60
69
59,5
69,5
64,5
15 + 13 = 28
72 + 13 = 85
13%
70 - 79
25
70
79
69,5
79,5
74,5
28 + 25 =53
47 + 25 = 72
25%
80 - 89
23
80
89
79,5
89,5
84,5
53 + 23 = 76
24 + 23 = 47
23%
90 - 99
18
90
99
89,5
99,5
94,5
76 + 18 = 94
6 + 18 = 24
18%
100 - 109
6
100
109
99,5
109,5
104,5
94 + 6 = 100
6
6%
3. Penyajian data dalam bentuk diagram dan grafik Tujuan menggambarkan data statistika dalam bentuk diagram atau grafik agar mudah memberikan informasi secara visual. Biasanya untuk membuat diagram atau grafik kita mulai dengan membuat tabel terlebih dahulu. Untuk contoh pembuatan grafik, perhatikan tabel di bawah ini :
13 Kadek Suwini, S. Pd NIP. 19710502 199803 2 008
HASIL PENJUALAN TELEVISI TOKO “ JAYA ELEKTRONIK” TAHUN 2006 - 2010
Merk
2006
2007
2008
2009
2010
SHARP
30
40
45
50
55
LG
40
50
20
80
60
PANASONIC
30
40
60
70
50
SONY
60
50
80
20
40
Dari Tabel di atas akan dibuat beberapa contoh diagram dan grafik : a. Diagram batang tunggal untuk merk SHARP b. Diagram batang berganda untuk semuanya c. Diagram batang horisontal untuk merk PANASONIC d. Diagram batang bertumpuk untuk merk LG dan SONY e. Diagram garis untuk merk SHARP f. Diagram lingkaran untuk merk PANASONIC a.
Hasil Penjualan Televisi merk SHARP Toko “ JAYA ELEKTRONIK “ Tahun 2006 - 2010
b.
Hasil Penjualan Televisi “ JAYA ELEKTONIK “ Tahun 2006 - 2010
60 50 40 30 20 10 0 2006
2007
2008
2009
2010
c. Hasil Penjualan Televisi merk PANASONIC Toko “ JAYA ELEKTRONIK “ Tahun 2006 - 2010
90 80 70 60 50 40 30 20 10 0
SHARP LG PANASONIC SONY
2006 2007 2008 2009 2010
d. Hasil Penjualan Televisi merk LG dan SONY
Toko “ JAYA ELEKTRONIK “ Tahun 2006 – 2010
2010
100% 80%
2009
60% 2008
SONY
40%
LG
20% 2007
0% 2006 2007 2008 2009 2010
2006 0
20
40
60
80
14 Kadek Suwini, S. Pd NIP. 19710502 199803 2 008
e.
Hasil Penjualan Televisi merk SHARP Toko “ JAYA ELEKTRONIK “ Tahun 2006 - 2010
f. Hasil Penjualan Televisi Panasonic Toko “ JAYA ELEKTRONIK “ Tahun 2006 - 2010
60 50 2010 20%
40 30
2006 12% 2007 16%
20 10
2009 28%
0 2006
2007
2008
2009
2010
2008 24%
D. Ukuran Pemusatan Data Pengertian :
Ukuran pemusatan data adalah nilai tunggal dari data yang dapat memberikan gambaran
yang lebih jelas dan singkat tentang di sekitar mana data memusat, serta mewakili seluruh data. Yang termasuk ukuran gejala pusat misalnya rata-rata hitung ( mean ), rata-rata ukur ( rata-rata geometris ), rata-rata harmonis, modus. Sedangkan ukuran gejala letak meliputi median, kuartil, desil dan persentil.
1. Rata-rata Hitung ( Mean ) a. Rata-rata hitung dari data tunggal n
x x2 x3 ......... xn x 1 n
atau
x
Keterangan :
x i 1
i
n
x rata rata hitung n
x i 1
i
jumlah seluruh nilai data
n banyaknya data Contoh soal :
Hitunglah rata-rata hitung ( mean ) dari data : 6, 5, 9, 7, 8, 8, 7, 6
Jawab : 6597 8 8 7 6 56 x 7 8 8 jadi rata-rata hitungnya = 7 b. Rata-rata hitung data tunggal berbobot
x
fx n
x rata rata hitung
fx
f 1 x1 f 2 x 2 .... f n x n
n banyaknya data Contoh soal : Pada pengukuran berat badan 40 siswa ditunjukkan oleh tabel berikut :
Jawab :
15 Kadek Suwini, S. Pd NIP. 19710502 199803 2 008
Berat ( kg ) 40 45 50 55 60
Berat 40 45 50 55 60 Jumlah
Frekuensi ( f ) 4 12 15 6 3
(f) 4 12 15 6 3 40
f.x 160 540 750 330 180 1960
1960 49 , jadi rata-rata hitungnya adalah 49 kg 40
x
c. Rata-rata hitung data kelompok Untuk mencari rata-rata hitung data kelompok, bisa menggunakan : i ) nilai tengah ii) rata-rata sementara
Contoh soal :
Tentukan rata-rata hitung dari data pada tabel berikut ini :
Nilai 60 - 64 65 - 69 70 - 74 75 - 79 80 - 84 Jumlah
Frekuensi 8 16 24 20 12 80
i. Menggunakan nilai tengah : Nilai 60 65 70 75 80
-
Nilai tengah (xi)
f
fi . x i
62 67 72 77 82
8 16 24 20 12
496 1072 1728 1540 984
80
5820
64 69 74 79 84
Jumlah
x
f
i
xi
n
5820 72,75 80
ii. Menggunakan rata-rata sementara : Nilai
fi
xi
60 - 64 65 - 69 70 - 74 75 - 79 80 - 84 Jumlah
8 16 24 20 12 80
62 67 72** 77 82
Keterangan : x0 = rata-rata sementara = 72 i = interval kelas ( 70 sd 74 ) = 5 n = banyaknya data ( f ) = 80
ci
fi. ci
-2 -1 0 1 2
-16 -16 0 20 24 12
x x0 = 72 +
i n
f
i
ci
5 .12 80
= 72 + 0, 75 = 72, 75
Jadi rata-rata hitungnya = 72,75
16 Kadek Suwini, S. Pd NIP. 19710502 199803 2 008
2. Nilai Tengah ( Median = Me ) Median adalah nilai tengah dari kumpulan data yang telah diurutkan ( disusun ) dari data terkecil sampai data terbesar.
a. Median data tunggal Contoh soal :
Tentukan median dari data : 6, 5, 9, 7, 8, 8, 7, 6, 6
Jawab :
Data setelah diurutkan adalah : 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9 Jumlah data ganjil ( n = 9 ) maka mediannya adalah data yang terletak di tengahtengah . Jadi Me = 7
Contoh soal :
Tentukan median dari data : 3, 2, 5, 2, 4, 6, 6, 7, 9, 6
Jawab :
Data terurut : 2, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 6, 7, 9
56 5,5 2
Jumlah data genap ( n = 10 ), maka median ( Me ) =
b. Median data tunggal berbobot Pada prinsipnya sama dengan data tunggal. Apabila jumlah data banyak, maka tidak dibedakan genap atau ganjil. Rumusnya : Me = 𝑋
(𝑛+1) 2
Contoh soal :
Diketahui data tentang upah pekerja per hari PT “ Maju Mundur “ disajikan dengan tabel berikut ini. Tentukan mediannya .
Jawab :
Upah pekerja ( dalam ribuan rupiah )
frekuensi
50 55 60 65 70 75
12 18 25 13 10 2
Upah pekerja ( dalam ribuan rupiah )
f
50 55 60 65 70 75
12 18 25 13 10 2
Frekuensi kumulatif kurang dari
12 30 55 68 78
+ + + + +
18 25 13 10 2
= = = = =
12 30 55 ** 68 78 80
Dari tabel sebelah kanan, banyak data ( n ) = 80, maka mediannya terletak pada :
n 1 81 40,5 yaitu pada frekuensi kumulatif 55 2 2 X 40 X 41 60 60 120 Me = 60 2 2 2 Median dari data di atas adalah Rp. 60.000,00
c. Median data kelompok Rumusnya :
1 n F sbl 2 Me = Tb .i F median
Keterangan : Tb n F sbl
= = =
F median = i =
tepi bawah kelas median banyak data frekuensi kumulatif sebelum kelas median frekuensi kelas median interval
Contoh soal : 17 Kadek Suwini, S. Pd NIP. 19710502 199803 2 008
Nilai Ulangan Matematika kelas XII SMK “ JAYA “ seperti tabel berikut. Tentukan mediannya.
Jawab :
Nilai
40 50 60 70 80 90
frekuensi
-
49 59 69 79 89 99
f
Frekuensi kumulatif kurang dari
4 5 14** 10 4 3
4 9 23** 33 37 40
Nilai
4 5 14 10 4 3
40 50 60 70 80 90
-
49 59 69** 79 89 99
Langkah – langkah penyelesaian: ▪ n = 40 ▪ Tentukan kelas median, terletak pada data ke
40 = 20 , yaitu di interval 60 - 69 2
▪ Tepi Bawah ( TB ) = 60 – 0,5 = 59,5 ▪ frekuensi kumulatif sebelum kelas median ( f sbl ) = 9 ▪ frekuensi kelas median ( f me ) = 14 ▪ interval adalah banyak data (60-69) = i = 10 Me = 59,5
20 9 110 (10 ) 59,5 59,5 7,86 67, 36 14 14
3. Nilai yang sering muncul ( Modus ) Modus adalah nilai data yang mempunyai frekuensi terbesar ( tertinggi ) Kadangkala ada data yang mempunyai 1 modus, atau lebih atau ada data yang sama sekali tidak mempunyai modus. a. Modus data tunggal
Contoh soal :
Tentukan modus dari data berikut : 45, 50, 60, 45, 70, 50, 60, 50, 80, 50 Frekuensi terbesar adalah 50 ( f = 4 ) Jadi modusnya = 50 b. Modus data tunggal berbobot
Contoh soal :
Tentukan modus dart data berikut :
Nilai Frekuensi
20 4
30 6
40 12
50 8
60 10
70 6
Pada tabel di atas frekuensi terbesar = 12 untuk nilai 40 Jadi modusnya = 40 c. Modus data kelompok Rumus:
d1 Mo = Tb .i d1 d 2
Keterangan : Tb d1
= =
d2
=
i
=
tepi bawah kelas modus selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya interval
Contoh soal : Tentukan modus dari data di bawah ini : 18 Kadek Suwini, S. Pd NIP. 19710502 199803 2 008
Kelas 10 15 20 25 30
-
Frekuensi
14 19* 24 29 34
Kelas modus : 15 - 19 Tb = 15 – 0,5 = 14,5 Frekuensi kelas modus = 16 d 1 = 16 – 4 = 12 d2 = 16 – 8 = 8 I = banyak data dari 15 sd 19 = 5 Jadi :
4 16* 8 7 5
Jumlah
40
Mo = 14,5 +
12 12 ( 5 ) 14,5 . 5 17,5 12 8 20
Petunjuk : Kerjakan Latihan dibawah ini pada double folio dan dikumpulkan !!! Tugas Matematika II ( Statistika) I. Perhatikan data dibawah ini merupakan nilai ujian matematika dari 50 orang siswa.
36 76 36 76 51
51 76 84 84 60
84 89 50 95 50
60 60 33 76 58
50 89 76 84 95
84 84 60 89 60
60 89 36 58 33
76 76 76 76 60
36 84 60 84 33
33 76 51 58 33
Buatlah tabel distribusi frekuensi berkelompok dari data di atas. ( log 50 = 1,699 ) II. Tentukan : a. Rata-rata hitung ( Mean ) b. Nilai Tengah ( Median ) c. Nilai yang sering muncul ( Modus ) dari setiap data di bawah ini 1. Pengukuran berat badan beberapa siswa SMK : 45, 42, 44, 47, 50, 52, 47, 35, 42, 47, 44, 40, 49, 47, 49 2. Hasil seleksi ujian penerimaan pegawai suatu instansi
Nilai Ujian
Frekuensi
3 4 5 6 7 8 Jumlah
50 65 55 45 60 25 300
3. Usia karyawan di Perusahaan “ XYZ” pada tahun 2012 Usia 41 46 51 56 61 66 71
-
Frekuensi 45 50 55 60 65 70 75
Jumlah
2 8 11 18 10 8 3 60
19 Kadek Suwini, S. Pd NIP. 19710502 199803 2 008
