MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ Lesnická a dřevařská fakulta Ústav nauky o dřevě
Modální analýza rezonanční desky kytary Diplomová práce
2012/2013
Martin Lukeš
Prohlašuji, že jsem diplomovou práci na téma „Modální analýza rezonanční desky kytary“ zpracoval sám a uvedl jsem všechny použité prameny. Souhlasím, aby moje diplomová práce byla zveřejněna v souladu s § 47b Zákona č. 111/1998 Sb., o vysokých školách a uložena v knihovně Mendelovy univerzity v Brně, zpřístupněna ke studijním účelům ve shodě s Vyhláškou rektora MENDELU o archivaci elektronické podoby závěrečných prací. Autor kvalifikační práce se dále zavazuje, že před sepsáním licenční smlouvy o využití autorských práv díla s jinou osobou (subjektem) si vyžádá písemné stanovisko univerzity o tom, že předmětná licenční smlouva není v rozporu s oprávněnými zájmy univerzity a zavazuje se uhradit případný příspěvek na úhradu nákladů spojených se vznikem díla dle řádné kalkulace.
V Brně, dne: ........................................
podpis studenta
Poděkování Rád bych poděkoval svému vedoucímu diplomové práce panu Ing. Janu Tippnerovi, Ph.D. za cenné rady, pomoc a čas, který mi věnoval. Rovněž děkuji výbornému kolektivu Ústavu nauky o dřevě. V neposlední řadě bych chtěl poděkovat své rodině za podporu.
Jméno a příjmení: Martin Lukeš Název práce:
Modální analýza rezonanční desky kytary.
Abstrakt: Práce je zaměřena na zkoumání vlivů různých faktorů, především materiálové skladby a geometrie rezonanční desky, na její vlastní frekvence a vlastní tvary kmitání. Je vytvořen konečně-prvkový model charakterizující mechanické chování tělesa v oblasti elastických deformací materiálu. Pro sestavení modelu a výpočty je použito řešiče (ANSYS) využívajícího metody konečných prvků. Numerický model předpokládá ortotropní lineárně-elastický materiál. Z výsledků modální analýzy je následně provedena optimalizace rezonanční překližované desky, kdy je snaha tuto desku nejvíce svými akustickými vlastnostmi přiblížit desce masivní. V závěru této práce je uvedena využitelnost výsledků v praxi.
Klíčová slova:
kytara, rezonanční deska, vlastní frekvence, vlastní tvary kmitání, ANSYS, metoda konečných prvků (MKP), modální analýza
Name and surname:
Martin Lukeš
Subject:
Modal analysis of guitar resonance plate.
Abstract: This thesis is focused on examining the effects of different factors, in particular material composition and geometry of the soundboard, the natural frequencies and vibration mode shapes. A finite element model is created to describing the mechanical behavior of solids in the elastic deformation of the material. To build the model and calculations is used solver (ANSYS) employing finite element methods. The numerical model assumes orthotropic linear-elastic material. The results of modal analysis are used for optimized resonant plywood. Goal of optimization is plywood with equal acoustic properties like a plate of solid wood. In the conclusion of this thesis is presented utility of the results in practise.
Key words:
guitar, soundboard, natural frequency, mode shapes, ANSYS, fine-element method (FEM), modal analysis
Obsah 1.
Úvod.......................................................................................................................... 8
2.
Literární přehled ..................................................................................................... 10 2.1. Historie vzniku kytary ......................................................................................... 10 2.2. Stavba kytary ....................................................................................................... 13 2.3. Rezonanční deska ................................................................................................ 14 2.3.1. Materiály na výrobu rezonanční desky ......................................................... 16 2.5. Akustické vlastnosti dřeva ................................................................................... 17 2.5.1. Základní akustické veličiny .......................................................................... 17 2.6. Kmity strun .......................................................................................................... 19 2.7. Kmity desek ......................................................................................................... 21 2.8. Metoda konečných prvků..................................................................................... 22 2.9. Modální analýza ................................................................................................... 23
3.
Cíl práce .................................................................................................................. 25
4.
Metodika ................................................................................................................. 26 4.1. Tvorba geometrie modelu .................................................................................... 26 4.2. Materiálový model ............................................................................................... 27 4.3. Konečně-prvková diskretizace modelu ................................................................ 28 4.3.1. Použité typy elementů................................................................................... 29 4.4. Definování okrajových podmínek ....................................................................... 29 4.5. Výpočet ................................................................................................................ 30
5.
Výsledky a diskuze ................................................................................................. 31 5.1. Vliv velikosti prvku sítě na frekvenci .................................................................. 31 5.2. Vliv ukotvení desky na frekvenci ........................................................................ 33 5.3. Vliv druhu dřeva na frekvenci ............................................................................. 35 5.4. Vliv tloušťky desky na frekvenci ......................................................................... 38 5.5. Vliv poměru tloušťek dýh na frekvenci ............................................................... 40 5.6. Vliv odklonu osy přířezu na frekvenci ................................................................ 43 5.7. Vliv odklonu vláken dýh překližované desky na frekvenci ................................. 46 5.8. Optimalizace rezonanční překližované desky...................................................... 47
6.
Závěr ....................................................................................................................... 54
7.
Summary ................................................................................................................. 56
8.
Použitá literatura ..................................................................................................... 57
9.
Přílohy..................................................................................................................... 63
1. Úvod
„Kytara je nevypočitatelný, nejméně spolehlivý hudební nástroj v dějinách, ale také nejsladší, nejohnivější, nejcitlivější, jejíž melancholický hlas probouzí v naší duši tu největší úctu“. Andrés Segovia
Kytary zajisté patří mezi nejpopulárnějšího hudební nástroje na světě, kterých se v dnešní době vyrábí ročně miliony kusů ve všech možných modifikacích. Její velká obliba pramení z jednoduchosti, ale také z velké všestrannosti. Neexistuje jiný nástroj, který by zkombinoval tolik melodických, harmonických, rytmických a výrazových možností, jež si můžete vzít kamkoli s sebou. Kytara pronikla dnes do všech hudebních žánrů. Je to nástroj člověku nejbližší. Vývoj akustických hudebních nástrojů byl v naprosté většině případů inspirován, motivován a konkrétně určován vývojem hudebního myšlení, se kterým šel ruku v ruce i vývoj interpretačního umění, zejména pak techniky hry (Syrový 2009). Dvě kytary vyrobené stejným způsobem, ze stejného druhu dřeva, tím samým výrobcem mohou mít úplně rozdílný zvuk. I přes důslednost, jakou umožňují nové procesy hromadné výroby, je nutné se smířit s tím, že dřevo si i nadále zachovává své jedinečné vlastnosti. Tyto rozdílné vlastnosti, jedná-li se o tentýž druh dřeva, jsou dány dědičností, pěstebními podmínkami, stářím stromu, vlivem abiotických a biotických činitelů apod. Akustické vlastnosti kytary jsou nejvíce ovlivněny její rezonanční deskou, která má rozhodující vliv na výsledný zvuk nástroje. Chování desky je dáno její geometrií a materiálem. V případě dřeva se jedná o druh dřeva, hustotu, vlhkost, orientaci anatomických os dřeva vůči geometrii desky, výskyt růstových vad, šířku letokruhů, procentuální zastoupení jarního a letního dřeva v letokruhu aj. Konečné vlastnosti jsou dále ovlivněny vlastním tvarem desky, přepětím napnutých strun, obvodovým vetknutím k lubu, způsobem žebrování a povrchovou úpravou (Dániel 2008). 8
Díky pokroku vědy lze v dnešní době pomocí počítačové techniky provádět složité výpočty v krátkém čase. Dochází k velkým finančním a časovým úsporám. Např. za pomoci programu ANSYS lze vytvořit zjednodušený model rezonanční desky, u kterého je možno určit jeho (akustické) vlastnosti, aniž by bylo potřeba pracně provádět experimentální měření skutečných desek. Pomocí modální analýzy je možné stanovit akustické vlastnosti vytvořeného tělesa, a to konkrétně jeho vlastní frekvence a vlastní tvary kmitání. Celkové pochopení dynamiky nástroje je rozhodujícím prvkem v pochopení toho, jak vyrábět kvalitní nástroje. Za poslední čtyři desetiletí byly základní fyzikální a technické vlastnosti kytary značně zkoumány vědeckými výzkumníky, staviteli kytar i samotnými hráči. Základní chování nástroje se zdá být již dobře známo, avšak méně známé jsou interakce mezi jednotlivými prvky nástroje ovlivňující celkový zvuk (Inta 2007).
9
2. Literární přehled
2.1. Historie vzniku kytary
Historii vzniku kytar popisují např. Malý (2002), Halabica (2009), French (2009) a Johnston et al. (2008). Tito autoři uvádějí následující. Kytara je považována dnes za nejpopulárnější instrument. První zmínky se datují již ve třináctém století. Podobné nástroje jsou nalezeny na obrazech a v církevních knihách. Ve Španělsku, které je považováno za její původ, byly známy dva druhy kytary - guitarra moresca (maurská), více podobná loutně svým klenutým tělem a aguitarra latina, konstrukcí připomínající dnešní klasickou kytaru.
Obr. 1: Guitarra moresca 1
V 16. století se ve Španělsku objevil nástroj zvaný vihuela, což byla aristokratická forma kytary. Měla šest zdvojených strun a většina z nich byla nádherně zdobena drahými materiály - slonovinou, ebenem a přírodní perletí. Na její stavbu se také používalo nejkvalitnějšího dřeva. Obvykle měla kytara vihuela deset pražců a způsob hry se příliš nelišil od hry na dnešní klasickou kytaru.
Obr. 2: Vihuela 2 1 2
http://www.viquiescoles.cat/viqui/Fitxer:Wartburg-Laute.JPG http://www.kirchmeyr.net/instrumente/vihuela/images/vihuela_vorne.jpg
10
Čtyřstrunná kytara zažila svůj rozkvět zejména v Itálii a potom ve Francii kolem roku 1550. Byl to malý, decentní nástroj, na kterém se dala dobře a jednoduchým způsobem obsáhnout harmonie, snadný na hraní a mnohem více použitelný pro amatéry než loutna nebo vihuela. Její popularita však byla dosti krátká a ustoupila kytaře pětistrunné, zvané také barokní. Pětistrunná kytara se pravděpodobně objevila opět ve Španělsku v polovině 16. století. Nástroje měly ve většině případů klenuté dno, které způsobovalo rychlý ozev, mnohem užší tvar v bocích a kobylku posunutou více směrem od ozvučného otvoru. Tím se prodloužila menzura a také kvalita basových tónů. Otvor byl téměř vždy umělecky dekorován, jako růžice u louten, ale často i formou různých spirál a použitím jiných materiálů − pergamen, tvrzený papír, slonovina. Ozvučná vrchní deska byla zapuštěna do hmatníku, což přinášelo větší fixaci mezi krk a tělo a zlepšovalo rezonanci. Byly používány pražce převazované a také pražce pevné, vsazené do hmatníku, většinou z ebenu, později i kovové. Ocelové struny totiž obrušovaly
střevové
převazy.
Hrálo
se
trsátkem
ze želvoviny. Ladící kolíčky byly z tvrdého dřeva jako u houslí. Obr. 3: 5-ti strunná kytara Battente 3
Kolem roku 1800 se na některých kytarách začala objevovat přidaná šestá struna a došlo také vlivem nových konstrukcí ke zjednodušení dvojitých sborů, tedy v podstatě k dnešnímu ostrunění. Tato redukce probíhala v Itálii a Francii. Španělsko konzervativně zůstávalo u zdvojení. Ale bylo to paradoxně Španělsko, kde docházelo k největším změnám ve stavbě a celkovém pojetí nástroje. Tvar těla se rozšiřuje, užívá se palisandr a španělský cypřiš na dno a luby. Zdobení se zaměřilo pouze na perleťové ornamenty a mozaiky kolem ozvučného otvoru, tak jak je známe dnes. Kobylka se zjednodušuje a krk je připevněn ke korpusu pomocí vnitřní patky, obdobně jako u současných kytar. Spojení je u šestého až osmého pražce a hmatník zasahuje až k otvoru. Tenké pražce jsou z kovové slitiny a zapuštěné do hmatníku. Byly činěny mnohé pokusy s vnitřním žebrováním a tahem strun na rezonanční desku. Při 3
http://www.guyguitars.com/eng/handbook/BriefHistory.html
11
ů se začaly také užívat fixační dřevěné kolíčky do kobylky a kostěné zjednodušení sborů sedlo. Kovové ladicí mechaniky se objevily asi od roku 1820. Předpokládá se, že první šestistrunná kytara se začala ve Španělsku užívat asi kolem roku 1825. V roce 1833 založil Christi Christian an Frederick Martin v USA firmu C.F. Martin & Company, nejproslulejší manufakturu na světě, jež se stala synonymem pro nejvyšší kvalitu kytar s plochou rezonanční deskou (flat top). Jako první v roce 1840 vyvinul vyztužení rezonanční desky pomocí žeber. V roce 1929 vznikl jeden z nejslavnějších modelů firmy a to model „OM“. Byl to první nástroj, na kterém bylo použito přip připojení krku k tělu na 14. pražci. Kytara měla velký korpus a delší menzuru. Obr. 4: Kytara Martin model OM 4
Vývoj oj moderní klasické kytary lze datovat do období kolem roku 1850. Je spojen se jménem Španěla Antonia Torrese, který nejvíce přispěl k vývoji v konstrukci a zvukové kvalitě nástroje. Stanovil nové rozměry kytary, větší a širší tělo, tvar a způsob vnitřního o žebrování, který se udržel až do dnešních dnů. Je to sedmiramenný vějíř tenkých žeber pod kobylkou. Určil standardní menzuru 650 65 mm, umožňující snadnou hratelnost, širší a vyšší hmatník a dekoraci zjednodušil na skromné lemování lubů a rozety kolem otvoru. ru. Jeho modely slouží jako naprosto dokonalé předlohy i pro současné stavitele. Obr. 5: Kytara podle Antonia Torrese 5
4 5
http://www.martinguitar.com/1887 http://www.martinguitar.com/1887-1929.html http://www.guyguitars.com/eng/handb http://www.guyguitars.com/eng/handbook/BriefHistory.html
12
2.2. Stavba kytary
1 - tělo, 2 - rezonanční deska, 3 - luby, 4 - kobylka, 5 - práh, 6 - rezonanční otvor, 7 - krk, 8 - hmatník, 9 - pražce, 10 - nultý pražec, 11 - hlava, 12 - ladící kolíky, 13 - patka, 14 - pickguard, 15 - rozeta
Obr. 6: Popis částí kytary
Popis jednotlivých částí je znázorněn na obr. 6. Podle Inta (2007) má moderní akustická (někdy nazývané folková) kytara obvykle 6 kovových strun, 1. až 3. struna je tvořena samotným jediným drátem, 4. až 6. struna má kovové jádro obtočené kovovým drátem. Naproti tomu klasická kytara má 1. až 3. strunu nylonovou, 4. až 6. struna má jádro z vláknitého hedvábí nebo nylonu obtočené kovovým drátem. Ladění strun se provádí pomocí ladící mechaniky umístěné na hlavě kytary. Standardní ladění vyžaduje napětí v rozmezí 100 až 140 N (viz. tab. 1).
Tab. 1: Mechanické vlastnosti kovových kytarových strun (D'Addario EJ16), standardní ladění (komorní A - 110 Hz), menzura 648 mm (Inta 2007) Struna
Ladění
Frekvence (Hz)
Průměr struny (mm)
Statické napětí (N)
Napětí/Délka (Nm-1)
1
E4
329,6
0,300
103,6
159,9
2
B3
246,9
0,406
103,6
159,9
3
G3
196,0
0,610
134,3
207,2
4
D3
146,8
0,813
135,5
209,2
5
A2
110,0
1,067
132,9
205,1
6
E2
82,4
1,346
115,5
178,3
13
Obr. 7: Varianty žebrování rezonančních desek firmy C.F. Martin & Company (Probert 2007)
Napětí strun má tendenci deformovat kobylku a rezonanční desku. Chceme-li, aby nástroj byl hlasitý, musí být rezonanční deska tenká a rozměrově velká. Z toho důvodu je nutné rezonanční desku vyztužit žebry. Vyztužovací systém žeber X (viz. obr. 7), který je v dnešní době nejčastějším způsobem u akustických kytar, byl patentován firmou C.F. Martin & Company v roce 1850. Zpočátku byl systém žebrování vyvinut s cílem šetřit matriál, avšak od začátku používání kovových strun (kolem roku 1900) byl tento systém schopen zvládnout vyšší napětí s minimálními rozměrovými změnami (Probert 2007). Systém žebrování X je používán v různých modifikacích většiny výrobci kytar. Podle Procházky (2012) je možno systém X dělit na tři základní typy, a to standardní (poskytuje plný pevný zvuk s menším počtem vyšších harmonických tónů, nástroje jsou charakteristické spektrem posunutým k nižším středům), scallope (žebra jsou uprostřed snížena, méně pevné, bohatý barevný zvuk s výraznými basy a výškami, slabší ve středových frekvencích) a dvojité X (verze používaná firmou Gibson).
2.3. Rezonanční deska
Při konstrukci kytar se setkáváme s pojmy překližovaný, polomasivní a celomasivní nástroj. Nástroje z překližovaného materiálu se skládají zpravidla z lichého počtu tenkých dýh (0,5–1,2 mm). Pojivem je tvrdé lepidlo, které dýhy prosytí a po vytvrdnutí určuje do značné míry vlastnosti desky. U těchto desek se akustické vlastnosti dají ovlivnit složitě a málo. Většina nástrojů pak má horší zvuk, postrádající barvu a kulturu. U polomasivních nástrojů je rezonanční deska masivní, luby a zadní 14
deska jsou překližované. Výsledný zvuk lze již ovlivnit pomocí rezonanční desky. Tyto nástroje se řadí mezi poloprofesionální, poskytují průměrné akustické vlastnosti. Celomasivní nástroje patří mezi nejhodnotnější. Hlavní výhodou kvalitního masivu je, že jak stárne, vyhrává se. Tudíž takové kytary např. ze 70–80tých let minulého století jsou vysoce ceněny (Procházka 2012). Rezonanční deska vyrobená z vrstveného dřeva je odolnější vůči mechanickému namáhání a je rozměrově stálá při změně vlhkosti prostředí. Deska masivní je z hlediska akustických vlastností výhodnější, nicméně je náchylnější ke zborcení (Bucur 1995). Obr. 8 ukazuje způsob výroby masivní desky složené ze dvou polovin principem "rozevírání knihy". Dřevní vlákna a rozdělení hustoty je symetrické kolem podélného směru (Inta 2007).
Obr. 8: Skládání přířezů rezonanční desky (Inta 2007)
Rezonanční deska je tenká, původně plochá, dřevěná deska. Díky malé tloušťce má nízkou hmotnost na relativně velkou plochu. To umožňuje efektivní přenos vibrací do okolního prostředí. Nicméně musí být dostatečně tuhá, aby vydržela zatížení napnutím strun. Některé kytary vyšších kvalit mají jejich rezonanční desku po obvodě ztenčenou ještě před nalepením na luby. Okraje jsou pružnější a méně masivní. V ideálním případě tvoří luby a dno tuhou část korpusu tak, že značná část zvuku je vyzařována jen z horní rezonanční desky. To je více prioritou pro klasické kytary oproti kytarám akustickým, a to z důvodu použití klasických kytar v koncertním prostředí (tj. silně vyzařovat zvuk směrem k publiku). V důsledku toho musí mít materiály pro luby a dno vysoký odpor, např. dřevo palisandru či mahagonu (Inta 2007). Elejabarrieta et al. (2000) dokazuje, že při zeštíhlení rezonanční desky po obvodu dochází ke snížení hodnot vlastních frekvencí desky, což dokazuje, že tuhost má větší vliv než hmotnost materiálu. Stejné výsledky jsou dosaženy i po opatření desky vyztužujícími žebry. 15
2.3.1. Materiály na výrobu rezonanční desky
Volba vhodného materiálu pro výrobu jednotlivých částí akustické kytary hraje nesmírnou roli. Jak už bylo v úvodu nastíněno, největší důraz je kladen na rezonanční desku, která velkou mírou ovlivňuje výsledný zvuk celého nástroje. Navzdory rozmanitosti stavebních materiálů, které jsou v současné době k dispozici (např. syntetické polymery a vláknité kompozity - karbon), se stále nejvíce používá přírodní produkt - dřevo (Besnainou 1995). Dřevo se odebírá ze starších stromů ze spodní části kmene bez suků. U stojících stromů se posuzuje rovný, válcovitý, pravidelně rostlý kmen s bezsukatou spodní částí v délce 5–6 m (Ille 1968). Mezi základní požadavky na strukturu dřeva patří nízká objemová hmotnost dřeva (400–500 kg/m3), úzké letokruhy (1–2 mm) a nízký podíl letního dřeva do 20 % (Maulis 2007). Vrstva rezonančního dřeva se začíná tvořit přibližně ve věku 90 let (Požgaj et al. 1997). Rezonanční desky se výhradně vyrábějí jako desky radiální (s kolmými letokruhy k ploše). Výřezy z dodaných kmenů jsou nejprve rozčtvrceny a každý blok dále rozřezán tak, aby dřeňové paprsky probíhaly po celé šířce desek (Lexa et al. 1952). Největší význam radiální desky tkví v tom, že se při sesychání málo smršťuje, proto se nebortí a nepraská. V radiálním směru je pevnost dřeva a modul pružnosti vyšší a tím je zároveň i v tomto směru větší rychlost zvuku než ve směru tangenciálním. Dalším důvodem jsou patrné dřeňové paprsky (tzv. zrcátka) na radiální ploše, které dávají zvláště smrkovému dřevu hedvábný lesk (Maulis 2007). Druh dřeviny nám předurčuje, jaký zvuk bude kytara vydávat. Mezi nejčastěji používané dřevo při výrobě kytar patří zajisté dřevo smrku ztepilého (Picea abies L. Karst.). Takzvané rezonanční smrky jsou kusy rostoucí velmi pomalu ve tvrdých horských podmínkách, a to se odráží především v hustotě letokruhů, tloušťce buněčných stěn apod. Evropský smrk je považován za zvukově nejkvalitnější, a proto se hojně používá při výrobě rezonančních desek. Zásadním požadavkem je hustota letokruhů, která koreluje s podnebím či stářím stromu. Jednou z hypotéz, proč zvuková stránka Stradivariho houslí nebyla dosud překonána, stojí na tvrzení, že „malá doba ledová“ která v 16. – 18. století Evropu postihla, měla vliv na vlastnosti dřeva smrků (Gruchala 2010).
16
Mezi druhé nejpoužívanější dřevo na výrobu rezonanční desky akustických kytar se řadí dřevo zeravu obrovského (Thuja plicata L.), anglicky zvaném Western redcedar, česky nesprávně cedrové dřevo. V porovnání se smrkem je lehčí, méně pevný, avšak zeravové desky se mnohem dříve rozehrávají. Akustická reakce zeravu je rychlá, kytary působí velmi živě, hlasitě a průrazně. Poskytuje brilantní výsky, ale spíše kulatější, méně pevné basy (Gruchala 2010).
2.5. Akustické vlastnosti dřeva
Zvukem rozumíme mechanické vlnění prostředí, jehož vnější příčinou je uspořádaný kmitavý pohyb molekul přenášený působením sil, kterými na sebe vzájemně molekuly působí (Gandelová et al. 2004). Z pohledu smyslového vnímání chápeme zvuk jako sluchem registrovaný pohyb hmoty, kterou nejčastěji představují částice vzduchu v bezprostřední blízkosti našeho ucha. Vlastnosti zvuku lze dělit na objektivní (frekvence, amplituda, frekvenční spektrum, fáze) a subjektivní (výška, hlasitost, barva), (Syrový 2009). Syrový (2008) popisuje akustickou definici hudebního nástroje jako vhodně uspořádané, mechanického rozkmitáni schopné hmoty, která svou kmitavou energii vyzařuje do prostoru ve formě zvukové vlny. Akustickou kytaru tvoří tři funkční části: excitátor (prst, trsátko), oscilátor (struna) a rezonátor (ozvučná skříňka).
2.5.1. Základní akustické veličiny
Rychlost šíření zvuku Rychlost šíření zvuku ve dřevě je závislá na materiálových charakteristikách (hustota, Youngův modul pružnosti) a dále na vlhkosti a teplotě prostředí. Lze ji zjednodušeně vypočítat podle vztahu: ா
ܿ = ටఘ
[m.s−1]
(1)
kde E – Youngův modul pružnosti, ρ – hustota dřeva. 17
Z uvedeného vyplývá, že rychlost šíření zvuku ve dřevě je tím větší, čím je větší modul pružnosti a menší hustota dřeva. Je taktéž závislá na druhu dřevině a má anizotropní charakter. Poměr rychlosti zvuku v podélném, radiálním a tangenciálním směru lze zjednodušeně vyjádřit 15 : 5 : 3 (Gandelová et al. 2004).
Akustická konstanta Významným ukazatelem rezonančních vlastností dřeva je konstanta vyzařování nazývaná akustickou konstantou. Za rezonanční se považuje takové dřevo, jehož akustická konstanta K > 12 (m4.kg−1.s−1). Akustická konstanta K je závislá na hustotě dřeva a modulu pružnosti, proto je výrazně ovlivňována zejména anatomickou stavbou (točitost vláken) a vnitřními napětími vzniklými během sušení dřeva. Se zvyšující se hustotou se akustická konstanta dřeva snižuje. Rezonanční smrk má hodnotu konstanty 12 m4.kg−1.s−1, zatímco např. javor má hodnotu 5,8 m4.kg−1.s−1 (Horáček 2008).
Logaritmický dekrement útlumu Pokud přestanou působit síly vyvolávající vynucené vibrace, amplituda vibrací se začne snižovat a těleso se vrátí do klidového stavu. Přirozená energie je rozptýlená částečně radiací zvuku, částečně vnitřním třením měnící se na teplo, které se nazývá kapacitou tlumení. Při volných netlumených vibrací se pokles amplitud dvou následujících vibračních cyklů (A1, A2) vyjadřuje logaritmickým zákonem. Poměr jejich amplitud se nazývá logaritmický dekrement útlumu a vypočítá se podle vztahu (Požgaj 1997):
ߜ = ݈݊ భ ∗ 100 మ
[%]
(2)
Gandelová et al. (2004) dokazuje, že tlumení způsobené radiací závisí především na poměru rychlosti šíření zvuku a hustoty dřeva. Kapacita tlumení dřeva rezonancí a vnitřním tření je větší než u jiných konstrukčních materiálů, proto je dřevo materiál s velmi dobrými akustickými vlastnostmi.
18
Akustický vlnový odpor Jak poukazuje Horáček (2008), rychlost šíření zvuku ve dřevě je závislá na odporu prostředí. Akustický vlnový odpor vyjadřuje odpor prostředí proti šíření zvukové vlny (vnitřní tření) a je závislý na hustotě dřeva a rychlosti šíření zvuku ve dřevě podle vztahu: ܼ = ߩܿ = ߩට
ா
ఘ
[kg.m−2.s−1]
(3)
kde Z – akustický vlnový odpor, E – Youngův modul pružnosti, ρ – hustota dřeva. Za rezonanční považujeme takové dřevo, ve kterém dochází k nízkému tlumení vnitřním tření a naopak k vysoké radiaci zvukové energie (Horáček 2008).
2.6. Kmity strun
Syrový (2008) popisuje strunu jako základní kmitající elementem (oscilátor) strunných nástrojů. Převládá u ní jeden rozměr nad ostatními rozměry, je tedy lineární oscilátor. Jednotlivé body struny kmitají s různými amplitudami kolmo na podélný směr struny, konají tedy příčné kmity. Struna kytary je upnuta mezi kobylkou a nultým pražcem, které vytvářejí uzly. Jednotlivé frekvence, které přísluší vlnovým délkám λ se nazývají vlastní frekvence soustavy a vypočítají se podle vztahu: ௩
݂ = =݊∗ ఒ
௩
ଶ∗
[Hz]
(4)
kde f – frekvence, v – rychlost šíření vlnění, λ – vlnová délka. Frekvence pro n = 1 se nazývá základní (první) harmonická, další jsou vyšší harmonické (n-té). Vyšší harmonické frekvence ovlivňují tzv. barvu základního tónu. Pro získání tónu některé vyšší harmonické frekvence je možno rozkmitanou strunu lehce přitlačit v 1/n délky struny od konce pro n-tou harmonickou. Mód kmitů je označení stavu, kdy soustava (struna) kmitá na n-té harmonické frekvenci, jinak řečeno že kmitá v n-tém módu. Různými módy mohou kmitat i dvou a třírozměrná tělesa. Na dokonale tuhém upevnění struny dochází k úplnému odrazu vlny. Od pevného konce se odráží vlna s opačnou fází (Syrový 2008). 19
Obr. 9: Prvních sedm módů kmitů struny (Hanák 2011)
V případě že se frekvence budící síly rovná vlastní frekvenci soustavy, dochází k rezonanci soustavy. Při nucených kmitech závisí velikost výchylky a rychlosti i fázový posuv mezi působením vnější síly k vlastní frekvenci netlumené soustavy. Rezonance pak znamená dosažení maxima výchylky příp. rychlosti kmitání soustavy při rezonanční frekvenci. Čím je tlumení soustavy menší, tím je uvedené maximum vyšší. Při velmi malém tlumení je možno považovat rezonanční frekvenci za rovnou frekvenci vlastních kmitů soustavy (Syrový 2008). Jelikož má struna relativně malou hmotnost, je i energie vyzařovaná strunou nepatrná. Aby se intenzita vyzařování zvýšila, napíná se struna pevně přes kobylku k rezonanční desce, která má oproti struně větší plošný rozměr a hmotnost. Kmitání rezonanční desky resp. celého korpusu vyvolá v okolním vzduchu periodické tlakové změny značné velikosti. Struna i rezonanční deska mají své vlastní frekvence a mechanickou vazbou jsou vzájemně ovlivňovány. Rezonanční skříňky jsou rezonátory silně tlumené, aby mohly reagovat na větší interval frekvencí struny. Tento problém souvisí s šířkou rezonanční křivky. Čím je rezonanční křivka systému širší a plošší, tím více je systém tlumený a tím širší interval frekvencí muže rezonancí zesílit (Čermáková 2002).
20
2.7. Kmity desek
Rozložení výchylky stojatých vln při chvění mechanických soustav lze zkoumat i plošně (např. na rezonanční desce). Těmto výzkumům se jako jeden z prvních věnoval Ernst Florens Friedrich Chladni (1756 – 1827), jehož jméno obrazce rozložení uzlů na čtvercových deskách nesou. Zatímco struna nebo tyč jsou lineárními zářiči akustické energie, deska představuje zářič rovinný, poněvadž dva její rozměry převažují nad rozměrem třetím. Deska podobně jako tyč nekmitá pouze příčně, avšak koná složité ohybové kmity. Na rozdíl od tyče se však její pohyb skládá z ohybových kmitů ve dvou na sebe kolmých směrech, a proto je ještě o mnoho složitější než kmity tyče (Miláček 2001).
Obr. 10: Chladniho obrazce (Hanák 2011)
Obr. 11: Rozložení uzlů na těle kytary při různých frekvencích (Hanák 2011)
U desek nebo membrán dochází ke chvění při každé budící frekvenci, avšak zvlášť silné chvění nastává jen při rezonančních frekvencích, které netvoří obecně harmonickou řadu. Polohu uzlů lze pak zjistit posypem desky jemným práškem, který při jejím chvění odskakuje z kmiten a hromadí se v uzlových čarách. Každé rezonanční frekvenci přísluší jiný obrazec uzlových čar, zvaný těž jako Chladniho obrazec (Syrový 2008). 21
2.8. Metoda konečných prvků
Metoda konečných prvků (MKP) je moderní metoda pro řešení okrajových úloh mechaniky kontinua, tj. úloh, kdy v určitých místech řešené oblasti jsou zadány hodnoty funkcí, respektive hodnoty derivací těchto hledaných funkcí. Její vznik je možno datovat do roku 1943, kdy matematik Richard Courant publikoval práci zabývající se problémem torse a v ní nastínil matematický postup, který byl základem MKP. Dnes je MKP všeobecně známa jako varianta zobecněné Ritzovy metody se speciální bází tj. jako metoda variační. Její použití je zvláště široké, nejčastěji při řešení problémů mechaniky neformovatelných těles (Teplý 1991). Metoda je založena na zcela jiném principu než analytické metody pružnosti. Zatímco analytické metody jsou založeny na diferenciálním a integrálním počtu, MKP je založena na obecně méně známém počtu variačním, hledá minimum nějakého funkcionálu. Při variačních metodách se hledá řešení dané úlohy pomocí pokusného řešení. Postupuje se tak, že se daný funkcionál vyjádří jako funkce předpokládaného pokusného řešení. Ze všech možných řešení, splňujících okrajové podmínky, se poté vybere to, které činí daný funkcionál stabilní – zajistí jeho minimum. Variačním principem nazýváme matematický postup, který umožňuje výběr řešení problému z celé třídy možných řešení (Benešová 2007). Kolář (1997) charakterizuje MKP jako zobecněnou Ritz-Galerkinova variační metodu, užívající bázových funkcí s malým kompaktním nosičem, úzce spjatým se zvoleným rozdělením řešené oblasti na konečné prvky. Základní myšlenkou metody konečných prvků je rozložení tělesa na menší části – elementy (konečné prvky), na kterých je analýza chování poměrně jednoduchá. Základním prvkem v rovině je čtyřúhelník, v prostoru pak šestistěn (anglicky brick), někdy je nutné použít zjednodušené tvary prvku (trojúhelník, čtyřstěn). Rohy těchto prvků, případně některé další význačné body, jsou uzlovými body, v nichž se určují neznámé hodnoty posuvů, strany (hrany) prvků vytvářejí síť, jejíž hustota je rozhodující pro přesnost výsledků. Hrany prvků jsou obvykle přímé, ale pomocí kvadratických prvků lze realizovat i zakřivené. Kvadratické prvky mají kromě rohových uzlů ještě další uzly uprostřed stran (resp. hran), čímž dostáváme v rovině prvek osmiuzlový a v prostoru prvek (brick) dvacetiuzlový. Tyto prvky lépe vystihují lokální koncentraci napětí i při použití hrubé sítě.
22
Elementy představují obecný předpis, jehož výstupem je matice tuhosti elementu K, která definuje přírůstek deformační energie elementu v závislosti na vektoru lokálních zobecněných uzlových posuvů. Druhým výstupem je pak vektor ekvivalentních uzlových sil, pole posuvů a pole deformace. V deformační variantě, která je nejrozšířenější, se vychází z nahrazení posuvů náhradními funkcemi. Tyto funkce se berou ve tvaru polynomů prostorových souřadnic (Fusek, Halama 2011). Hlavní výhoda MKP spočívá možnosti dokonale aproximovat vyšetřované těleso a zautomatizování celého výpočtový proces na počítačích. Celý postup metody konečných prvků se dá vyjádřit v několika krocích: •
Rozdělení řešené oblasti (tělesa, soustavy) na podoblasti, tzv. konečné prvky či elementy.
•
Formulace chování jednotlivých elementů.
•
Opětovné složení a získání výsledné soustavy rovnic popisujících chování celého systému využitím rovnic získaných při analýze elementů.
•
Aplikace okrajových či počátečních podmínek.
•
Vlastní řešení systému rovnic. Získání primárních neznámých. V případě deformační varianty MKP se jedná o posuvy.
•
Získání dodatečných (odvozených) výsledků. V případě pružného tělesa se jedná např. o přetvoření a napětí, popř. další veličiny.
2.9. Modální analýza
Miláček (2001) charakterizuje modální analýzu jako moderní obor dynamiky, který k popisu kmitavých vlastností a kmitavého chování soustavy (konstrukce) využívá možnosti rozkladu složitého kmitavého děje na dílčí tzv. modální (též vlastní) příspěvky. Každý příspěvek je charakterizován vlastní frekvencí soustavy, vlastním tvarem kmitu a vlastním tlumením tvaru kmitu. Cílem modální analýzy je popsat mechanický systém pomocí lineárního matematického modelu s konečným počtem stupňů volnosti. Model je popsán systémem vzájemně vázaných lineárních diferenciálních rovnic druhého řádu. Z jejich řešení vyplynou mimo jiné také vlastní čísla (vlastní frekvence) a vlastní vektory, tj. tvary 23
kmitání
příslušné
jednotlivým
vlastním
frekvencím,
nazývané
také
módy.
V přenosových funkcí vyšetřovaného mechanického systému odpovídá každému jeho stupni volnosti jedno rezonanční maximum (Píštěk 1993). Modální analýzu můžeme provádět buď v teoretické rovině jako výpočtovou anebo v rovině praktické provedením experimentálního měření reálné struktury. Hodnoty vypočtené jsou často porovnávány s hodnotami naměřenými, avšak v technické praxi se jen zřídka shodují. Při matematickém modelování kmitavého chování jsou sestaveny pohybové rovnice a výsledné vlastnosti modální analýzy vypočteny užitím tzv. modální transformace. Tato transformace spočívá v náhradě soustavy
vzájemně
vázaných
homogenních
diferenciálních
rovnic
soustavou
nezávislých, izolovaně řešitelných homogenních diferenciálních rovnic. Složité výpočty soustavy pohybových rovnic je v mnohých případech nutné podrobit matematickému zjednodušení, které může vést k možným chybám. Teoretická modální analýza se stává nenahraditelnou v případě neexistence reálné soustavy, ale pouze softwarového modelu (Dvořák 2011). Při experimentální modální analýze se určují vlastní frekvence, vlastní tvary kmitu a modální útlum dané soustavy pomocí experimentálně naměřené vhodné množiny dat frekvenční odezvové funkce H (ω). Tyto funkce bývají také často nazývány jako kmitočtové charakteristiky. Jen korektně provedená experimentální modální analýza nejpřesněji určí skutečné modální vlastnosti (Dvořák 2011). Snímání kmitů se provádí buď kontaktně pomocí mechanických snímačů (např. akcelerometrů), nebo bezkontaktně laserovým paprskem. Použití mechanických snímačů negativně ovlivňuje registrované kmity a u vzácných nástrojů vzhledem k nutnosti fixace polohy snímače např. lepením nepřipadá v úvahu. Přesto však kombinace poklepového kladívka a akcelerometru je používána při klasické modální analýze, která na základě výpočtu matice přenosových funkcí mezi body stanovené sítě modeluje dynamické chování např. rezonanční desky nebo celého nástroje (Syrový 2008).
24
3. Cíl práce Hlavním cílem této práce je studovat vlivy různých faktorů na vlastní frekvence desky a vlastní tvary kmitání, zejména vliv materiálové skladby a následně porovnat dva typy konstrukce rezonanční desky akustické kytary, a to desku z masivního dřeva a desku překližovanou. Za pomoci softwaru ANSYS budou vytvořeny konečně-prvkové modely desek, které budou následně podrobeny dynamickým analýzám ve frekvenční oblasti. Ze získaných výsledků bude provedena optimalizace překližované desky. Snahou je navrhnout takovou překližovanou desku, která se bude co nejvíce podobat svými akustickými vlastnostmi desce masivní.
25
4. Metodika Hlavní úkol spočívá ve vytvoření numerického modelu, jenž věrohodně napodobí reálný objekt. S důvodu vysokých nároků na výpočet je potřeba model zjednodušit, ne však natolik, aby vypočtené hodnoty byly příliš zkreslené. Pro navržení numerického modelu je využit americký počítačový software ANSYS ve verzi 13.0. Jedná se o program obecně nelineární, pracující na principu metody konečných prvků. Vytvoření modelu a jeho vyřešení probíhá parametricky ve vnitřním skriptovacím jazyku APDL (Ansys Parametric Design Language). Parametrizování je velmi přínosné, neboť značně zkracuje čas řešení např. při změnách konstant či podmínek výpočtu. Řešení úlohy v programu ANSYS lze rozčlenit do tří kroků, a to preprocessing, solution a postprocessing. První část (preprocessing) zahrnuje vytvoření geometrie modelu, definování materiálových konstant a konečně-prvkovou diskretizaci. Ve druhé části (solution), po definování okrajových podmínek, probíhá vlastní výpočet. Poslední třetí část (postprocessing) má za úkol vypočtené výsledky číselně či graficky interpretovat.
4.1. Tvorba geometrie modelu
V programu ANSYS lze geometrii vytvořit několika způsoby, volba vhodného způsobu závisí zejména na složitosti objektu. Objekty je možno vytvořit jednak pomocí implementovaného nástroje Workbench, tak i metodou importu geometrie vytvořené v jiném patřičném grafickém softwaru (např. v CAD systému). S důvodu optimalizace je však vhodné využít při tvorbě geometrie vnitřní skriptovací jazyk APDL. Díky parametrizaci je možno zkoumat vlivy předvolených hodnot na výsledné vlastnosti objektu, v našem konkrétním případu vliv parametrů rezonanční desky na její vlastní frekvence a tvary kmitání. Při návrhu geometrie modelu rezonanční desky kytary se vycházelo z konstrukčního výkresu kytary vyrobenou firmou C.F. Martin & Company. Tento výkres je volně dostupný z webové stránky (Grellier 2007). Jedná se o typ Orchestra Model (OM-28), jehož rezonanční deska je vyrobena ze smrku o tloušťce 2,8 mm. Jako první bylo vytvořeno 16 bodů (keypointů) tvořící obrys jedné poloviny desky. Jednotlivé body byly spojeny křivkou (splinou) a konce křivky následně propojeny 26
přímkou. Z ohraničené oblasti byla vytvořena plocha (area), která se pomocí funkce zrcadlení zdvojila. Poté byly obě symetrické poloviny spojeny do jedné a celá plocha byla vytažena do požadované tloušťky desky. Tím byl vytvořen výsledný objem rezonanční desky.
4.2. Materiálový model
Dřevo vykazuje různé vlastnosti v různých směrech, říkáme, že se jedná o materiál anizotropní. Za určitých podmínek lze uvažovat o dřevu jako o materiálu ortrotopním. Jedná se o určité zjednodušení, kdy rozeznáváme tři směry dřeva (podélný, tangenciální a radiální) a těmto směrům přiřazujeme hodnoty vlastností. Při zanedbání plastického chování materiálu není potřeba brát v zřetel změnu vlastností vlivem času, změn vlhkosti a teplot apod. S takovým model je možno v oblasti pružných deformací pracovat
jako
s
modelem
lineárně
elastickým.
Mezi
základní
materiálové
charakteristiky potřebné k výpočtu patří hustota, Poissonova čísla, normálové moduly pružnosti (Youngovy) a smykové moduly pružnosti. Dle Kohnke (1998) se Poissonovy čísla dají rozlišit na tzv. malá (minor) a velká (major). Rozborem této problematiky se podrobněji zabývá ve své práci Tippner (2010). Z jeho výsledků vyplývá, že na výsledky modální analýzy v programu ANSYS nemá volba sady Poissonových čísel velký vliv. V této práci jsou použita spolehlivější malá (minor) Poissonova čísla. Materiálové charakteristiky dřeva smrku ztepilého (Picea abies L. Karst.) a zeravu obrovského (Thuja plicata L.) byly čerpány z publikace „Wood handbook: wood as an engineering material, 2010ˮ (viz. tab. 2). Program ANSYS pracuje defaultně v elementovém souřadném systému globálním (kartézském). Za účelem odklonu anatomických os masivní rezonanční desky vzhledem k osám geometrických je potřeba natočit pracovní rovinu (WP – Working Plane) a zavést nový lokální souřadný systém (CSYS). Odklon vláken je zajištěn síťováním modelu v souřadném systému prvku (ESYS) odkazující na nově vytvořený CSYS (Tippner 2010). U rezonanční desky zhotovené z vrstveného překližovaného materiálu se odklon vláken jednotlivých vrstev (layers) provádí za pomoci elementu SOLID186, který umožňuje změnit homogenní struktura na strukturu vrstvenou. Každé vrstvě je následně přiřazena vlastní tloušťka, typ elementu a odklon anatomických os. 27
Tab. 2: Materiálové charakteristiky vybraných dřev (Kretschmann et al. 2010) smrk ztepilý
zerav obrovský
MOEL [MPa]
13 650
7 700
MOER [MPa]
789
624
MOET [MPa]
289
424
µLR [–]
0,023
0,378
µLT [–]
0,014
0,296
µRT [–]
0,687
0,484
GLR [MPa]
573
670
GLT [MPa]
474
662
GRT [MPa]
53
39
ρ [kg.m-3]
445
320
4.3. Konečně-prvková diskretizace modelu
Síťování (meshing) je postup diskretizace modelu na konečný počet malých prvků s množinou parametrů. Program ANSYS nabízí rozložení objemů (3D objektů) do sítě šestistěnů (hexahedral), popřípadě do sítě čtyřstěnů (tetrahedral). Dále se rozlišují postupy volného (free mash) a mapovaného (mapped mesh) síťování, eventuálně síťování taženého (sweep mesh). S důvodu volby vrstveného elementu SOLID186 (viz. další podkapitola), bylo nutnost aplikovat rozsíťování sweep mesh, tedy síťování tažené. Prvky sítě jsou specifikovány délkou hrany, tedy vzdáleností mezi uzly ve vrcholech prvku. Tato vzdálenost je přímo úměrná podrobnějšímu resp. přesnějšímu popisu chování a nepřímo úměrná náročností na výpočet (delší potřebný čas). Délka hrany byla parametrizací stanovena na trojnásobek tloušťky desky.
28
4.3.1. Použité typy elementů
Výběr vhodného typu elementu je ovlivněn zejména tvarem (dimenzí) modelu a fyzikální oblastí. Podle dimenze se elementy dělí na jednorozměrné (1D), dvourozměrné (2D) a třírozměrné (3D). Pro rezonanční desku byl v programu ANSYS vybrán 3D element s názvem SOLID186.
Obr. 12: SOLID186 vrstvená struktura
Jedná se o element tvaru šestistěnu s dvaceti uzly, pro každý uzel platí tři stupně volnosti (posunutí ve směru osy X, Y a Z). Důvodem volby právě tohoto elementu je možnost jeho změny ve vrstvený a tím možnost imitovat jednotlivé vrstvy překližované desky. Program ANSYS nabízí u tohoto elementu nastavení počtu vrstev, jejich tloušťky, ke každé vrstvě je možno přiřadit vlastní materiál a orientaci (směr) anatomické osy.
4.4. Definování okrajových podmínek
K okrajovým podmínkám se řadí ukotvení modelu tj. omezení stupňů volnosti posunutí. V práci byl zkoumán vliv ukotvení masivní a překližované desky na vlastní frekvence, avšak pro vlastní vypočet modální analýzy není takové ukotvení třeba. Omezení stupňů volnosti dochází při obvodu rezonanční desky, případně ve styku žebrování a desky.
29
4.5. Výpočet
Pro zhodnocení dynamických vlastností rezonanční desky kytary byla provedena modální netlumená analýza vypočtená algoritmem block Lanczos. Tato analýza nám dává možnost nastavit počet požadovaných výstupních vlastních frekvencí a mezní (maximální a minimální) hodnoty frekvenčního pásma, ve kterém jsou frekvence hledány. Výstupem jsou zjištěné vlastní frekvence a vlastní tvary volného kmitání. Pro potřeby této práce bylo vybráno prvních šest vlastních frekvencí (módů), rozsah frekvencí byl omezen od 10 do 1000 Hz.
30
5. Výsledky a diskuze 5.1. Vliv velikosti prvku sítě na frekvenci
Velikost prvku sítě, jinak řečeno hustota sítě, nám ovlivňuje vlastní frekvence desky. Tento vliv není zdaleka tak bezvýznamný, jak se poněkud zdá a je potřeba jej v jistých případech s opatrností hodnotit. Velikost sítě je nepřímo úměrná času „rozsíťováníˮ, tedy celkovému času výpočtu. Se snižující se velikostí sítě se čas výpočtu prodlužuje, nicméně výsledky poté dosahují vyšších přesností. Pro srovnání byla zvolena smrková rezonanční deska překližovaná, celkové tloušťky 3,3 mm, třívrstvá, s odklonem vláken dýh 0°_90°_0°. K porovnání přesnosti měření je uváděna průměrná relativní odchylka, určená podílem průměrné odchylky a aritmetického průměru z naměřených hodnot. Bylo vybráno celkem jedenáct velikostí sítě. Hodnoty frekvencí 1., 2., 4. a 6. módu udává tab. 3. U prvních šesti zjišťovaných módů nepřekročila průměrná relativní odchylka hodnotu 3,27 %. Rozdíl mezi nejmenší absolutní hodnotou frekvence a největší činí u prvního módu 4,5 Hz, u módu šestého již 14,2 Hz.
Tab. 3: Vliv velikosti sítě na 1., 2., 4. a 6. vlastní frekvenci velikost sítě [mm]
1. mód frekv. [Hz]
2. mód
odchylka
frekv. [Hz]
4. mód
odchylka
frekv. [Hz]
6. mód
odchylka
frekv. [Hz]
odchylka
3,0 4,5 6,0 7,5 9,0 10,5 12,0 13,5 15,0 16,5 18,0
37,8 35,1 33,3 34,3 34,4 34,6 34,4 34,8 33,6 34,8 36,7
2,9 0,2 -1,6 -0,6 -0,5 -0,3 -0,5 -0,2 -1,3 -0,1 1,8
47,7 46,8 50,7 48,3 51,0 49,8 50,7 49,9 54,5 52,1 48,6
-2,3 -3,2 0,7 -1,7 1,0 -0,2 0,7 -0,1 4,5 2,1 -1,4
107,4 106,0 108,1 106,0 108,6 109,7 108,0 107,9 109,7 109,3 109,3
-0,7 -2,2 -0,1 -2,2 0,4 1,5 -0,2 -0,3 1,6 1,1 1,1
203,7 195,5 189,5 195,5 191,4 190,3 192,4 194,7 189,9 196,2 192,7
9,9 1,7 -4,3 1,7 -2,4 -3,5 -1,4 0,9 -3,9 2,4 -1,1
průměr
34,9
0,9
50,0
1,6
108,2
1,0
193,8
3,0
průměrná rel. odchylka
2,57 %
3,27 %
0,96 %
1,56 %
31
250
frekvence [Hz]
200
1. mód
150
2. mód 3. mód
100
4. mód 5. mód 50
6. mód
18,0
16,5
15,0
13,5
12,0
10,5
9,0
7,5
6,0
4,5
3,0
0
velikost prvku sítě [mm]
Obr. 13: Vliv velikosti prvku sítě na frekvenci desky
Pro další výpočty byla optimální velikost prvku sítě volena jako trojnásobek tloušťky desky, a to pomocí předdefinovaného parametru.
32
5.2. Vliv ukotvení desky na frekvenci
Byl sledován rozdíl ukotvené a volné desky, a to jak masivní, tak i překližované na výsledné vlastní frekvence. Ukotvení, čili omezení stupňů volnosti, bylo použito na boční plochu po celém obvodu desky. Zjištěné hodnoty jsou zobrazeny na obr. 14 a v tab. 4. Z grafu je patrný jasný rozdíl mezi ukotvenou a překližovanou deskou, konkrétně se jedná o výrazné zvýšení frekvencí, v případě že byla deska po obvodu ukotvena. To je dáno zvýšením tuhosti soustavy jako celku. U ukotvené desky je rovněž zřejmé prudší tempo růstu hodnot frekvence.
400 350
frekvence [Hz]
300 250 ukotvená_překližka
200
ukotvená_masiv 150
volná_překližka
100
volná_masiv
50 0 1
2
3
4
5
6
mód [-]
Obr. 14: Vliv ukotvení na masivní a překližovanou desku
Tab. 4: Hodnoty prvních šesti frekvencí volné a ukotvené desky
mód [-] 1 2 3 4 5 6
volná_masiv 28,1 40,6 66,9 84,5 93,7 103,1
frekvence [Hz] volná_překližka ukotvená_masiv 33,5 103,9 52,3 185,3 95,4 232,7 106,5 286,1 149,2 291,9 187,7 351,6
ukotvená_překližka 101,9 176,1 208,9 255,0 332,6 374,0
33
Tvary kmitání prvních třech módů jsou zobrazeny na obr. 15. U prvního módu nejsou ještě patrné rozdíly ve tvarech, u dalších je rozdíl již zřejmý.
1. mód
2. mód
3. mód
volná_masiv_28,1 Hz
volná_masiv_40,6 Hz
volná_masiv_66,9 Hz
volná_překližka_33,5 Hz
volná_překližka_52,3 Hz
volná_překližka_95,4 Hz
ukotvená_masiv_103,9 Hz
ukotvená_masiv_185,3 Hz
ukotvená_masiv_232,7 Hz
ukotvená_překližka_101,9 Hz
ukotvená_překližka_176,1 Hz
ukotvená_překližka_208,9 Hz
Obr. 15: Vlastní tvary kmitání první třech módů ukotvené a volné masivní a překližované desky
34
5.3. Vliv druhu dřeva na frekvenci
Jelikož se k výrobě rezonančních desek akustických kytar používá v největší míře dřevo smrku ztepilého (Picea abies L. Karst.) a zeravu obrovského (Thuja plicata L.), byly právě tyto dva druhy mezi sebou porovnány. Materiálové konstanty obou dřev použité k analýze jsou uvedeny v kapitole 4.2. Materiálový model. Dřevo zeravu obecně vykazuje nižší hodnotu hustoty, čili byly očekávány vyšší hodnoty vlastních frekvencí zeravových desek, oproti deskám ze smrku. Významnost jednotlivých vlastních frekvencí je vyvozena z tzv. participačního faktoru, respektive podílu vykmitané hmoty při konkrétním tvaru (Kohnke 1998). Pro srovnání byla zvolena smrková rezonanční deska překližovaná, celkové tloušťky 3,3 mm, třívrstvá, s odklonem vláken dýh 0°_90°_0° a deska masivní, rovněž tloušťky 3,3 mm a odklonem anatomické osy přířezů o 5°. Byly porovnány tvary kmitání masivní desky smrkové a zeravové v prvních šesti módech (obr. 16). Změny jsou patrné v prvních třech módech, zbylé módy vykazují přibližně shodné tvary.
2. mód
3. mód
28,1 Hz
40,6 Hz
66,9 Hz
34,4 Hz
42,5 Hz
63,9 Hz
zerav _masiv
smrk_masiv
1. mód
Obr. 16: Vlastní tvary kmitání masivní desky smrkové a zeravové v 1., 2. a 3. módu
35
Zjištěné hodnoty frekvencí a participačních faktorů jsou pro masivní desku uvedeny na obr. 17 a tab. 5, pro desku překližovanou na obr. 18 a tab. 6. Tab. 5: Hodnoty prvních šesti vlastních frekvencí a participačních faktorů masivní desky
1 2 3 4 5 6
28,1 40,6 66,9 84,5 93,7 103,1
particip_smrk_masiv freq_zerav_masiv [-] [Hz] 3,94E-11 5,47E-11 6,43E-12 4,52E-12 3,19E-12 4,15E-12
particip_zerav _masiv [-]
34,4 42,5 63,9 91,8 97,0 110,6
1,70E-11 6,58E-11 6,27E-12 5,31E-12 1,01E-13 2,08E-12
120
7,00E-11
100
6,00E-11 5,00E-11
80
4,00E-11 60 3,00E-11 40
2,00E-11
20
1,00E-11
0
0,00E+00 1
2
3
4
5
participační faktor - směr Z [-]
freq_smrk_masiv [Hz]
frekvence [Hz]
mód [-]
6
mód [-] freq_smrk_masiv
freq_zerav_masiv
particip_smrk_masiv
particip_zerav_masiv
Obr. 17: Porovnání prvních šesti vlastních frekvencí a participačních faktorů masivní desky
U obou typů desek je obdobný trend růstu vlastních frekvencí. U desky masivní jsou kromě třetího módu hodnoty frekvencí u dřeva zeravu vyšší než u dřeva smrku, to průměrně o 5,3 Hz. Participační faktor ve směru Z (kolmo na plochu desky) je u smrkové masivní desky obecně vyšší než u desky zeravové, významné se jeví první dva módy, kdy lze říci, že deska kmitá největší amplitudou.
36
Tab. 6: Hodnoty prvních šesti vlastních frekvencí a participačních faktorů překližované desky mód [-]
freq_smrk překližka [Hz]
particip_smrk překližka [-]
freq_zerav překližka [Hz]
particip_zerav překližka [-]
1 2 3 4 5 6
33,5 52,3 95,4 106,5 149,2 187,7
3,19E-11 4,38E-11 2,21E-12 2,70E-12 2,21E-12 3,85E-14
38,6 51,1 94,1 108,4 144,4 188,9
5,09E-11 1,52E-11 9,13E-12 4,30E-12 2,13E-13 2,34E-13
200
6,00E-11 5,00E-11
160 frekvence [Hz]
140
4,00E-11
120 100
3,00E-11
80 2,00E-11
60 40
1,00E-11
participační faktor - směr Z [-]
180
20 0
0,00E+00 1
2
3
4
5
6
mód [-] freq_smrk_překližka
freq_zerav_překližka
particip_smrk_překližka
particip_zerav_překližka
Obr. 18: Porovnání prvních šesti vlastních frekvencí a participačních faktorů překližované desky
U překližované desky je rozdíl ve vlastních frekvencí nevýznamný, průměr rozdílů mezi frekvencemi je pouze 0,12 Hz. Druh materiál v tomto případě nehraje takovou roli jako u desky masivní. Změna participačního faktoru je opět nejvíce evidentní v prvním a druhém módě.
37
5. mód
6. mód
52,3 Hz
149,2 Hz
187,7 Hz
51,1 Hz
144,4 Hz
188,9 Hz
zerav_překližka
smrk_překližka
2. mód
Obr. 19: Vlastní tvary kmitání překližované desky smrkové a zeravové v 2., 5. a 6. módě
Tvary kmitání smrkové a zeravové překližované desky jsou odlišné v 2., 5., a 6. módě (obr. 19). Ostatní zjišťované módy mají změny pouze nepatrné.
5.4. Vliv tloušťky desky na frekvenci
Ke stanovení vlivu tloušťky desky na její výsledné vlastní frekvence bylo vybráno pět druhů tloušťek (1,2; 2,4; 3,6; 4,8; 6,0 mm). Krajní hodnoty tloušťek jsou pouze teoretické, v praxi se nejčastěji setkáváme s tloušťkou kolem 2,8 mm (tj. 0,11 palců). Bylo provedeno zhodnocení masivní desky s odklonem anatomické osy přířezů o 5° a třívrstvé překližované desky s odklonem vláken dýh 0°_90°_0°. U obou desek byl použit materiál dřevo smrku. Výsledky jsou vyobrazeny na obr. 20, obr. 21 a vypočtené hodnoty v tab. 7, tab. 8. Rostoucí tloušťka desky vede ke zvýšení vlastních frekvencí, a to jak u masivní desky, tak i u překližované. Se zvyšováním tloušťky dochází ke snížení schopnosti desky kmitat. Důvodem je větší hmotnost (resp. tuhost) desky. S každým dalším módem vykazuje nárust frekvencí strmější průběh. Průměrný rozdíl mezi frekvencemi prvního módu je u masivní desky 10,1 Hz, u šestého módu to 38
je již 37,2 Hz. Průměrný rozdíl mezi frekvencemi prvního módu u desky překližované je 11,9 Hz, u šestého módu 66,0 Hz. Vlastní tvary zůstávají pro všechny tloušťky bez patrných změn.
200
frekvence [Hz]
150 6. mód 5. mód
100
4. mód 3. mód 2. mód
50
1. mód
0 1,2
2,4
3,6
4,8
6,0
tloušťka masivní desky [mm]
Obr. 20: Porovnání pěti různých tloušťek masivní desky a jejich vliv na prvních šest vlastních frekvencí
Tab. 7: Hodnoty frekvencí prvních šesti módů masivní desky u šesti různých tloušťek frekvence [Hz] mód [-]
1,2 mm
2,4 mm
3,6 mm
4,8 mm
6,0 mm
1 2 3 4 5 6
10,3 14,8 24,6 31,0 34,7 37,6
20,5 29,6 48,9 61,7 68,7 75,1
30,6 44,3 72,8 92,0 101,9 112,4
40,7 58,9 96,2 121,8 134,2 149,5
50,6 73,5 119,1 151,1 165,6 186,3
39
350 300
frekvence [Hz]
250 6. mód
200
5. mód 4. mód
150
3. mód 100
2. mód 1. mód
50 0 1,2
2,4
3,6
4,8
6,0
tloušťka překližované desky [mm]
Obr. 21: Porovnání pěti různých tloušťek překližované desky a jejich vliv na prvních šest vlastních frekvencí
Tab. 8: Hodnoty frekvencí prvních šesti módů překližované desky u šesti různých tloušťek frekvence [Hz] mód [-]
1,2 mm
2,4 mm
3,6 mm
4,8 mm
6,0 mm
1 2 3 4 5 6
12,4 19,3 35,3 39,2 55,6 69,5
24,5 38,3 69,9 77,9 109,6 137,6
36,5 57,0 103,9 116,0 162,3 204,3
48,3 75,5 137,3 153,5 213,8 269,6
59,9 93,7 170,2 190,4 264,2 333,5
5.5. Vliv poměru tloušťek dýh na frekvenci
U desky překližované, čili zhotovené slepením z vrstev dýh, byl zkoumán vliv poměru tloušťek jednotlivých vrstev na výsledné vlastní frekvence desky. Vrstvy desky jsou ze stejného materiálu (smrku) a s odklonem vláken dýh 0°_90°_0°. Jako referenční celková tloušťka byla zvolena hodnota 3,3 mm. Podmínkou bylo zachování pravidla symetrie. Jednotlivé tloušťky vnějších vrstev jsou odstupňovány po 0,2 mm, vrstva 40
středová je stupňována krokem po 0,4 mm. Výsledky jsou zobrazeny na obr. 22 a v tab. 9. Se snižující se tloušťkou středové vrstvy a současně se vzrůstající tloušťkou vrstev vnějších dochází ke snižování vlastní frekvence u všech prvních šesti zjišťovaných módů desky, přičemž s každým dalším módem vykazuje pokles frekvencí strmější průběh. Průměrný rozdíl mezi frekvencemi prvního módu je 0,8 Hz, u šestého módu je to již 7,2 Hz.
Tab. 9: Hodnoty frekvencí prvních šesti módů překližované desky u šesti různých poměrů tloušťek frekvence [Hz] mód [-]
0,7_1,9_0,7
0,9_1,5_0,9
1,1_1,1_1,1
1,3_0,7_1,3
1,5_0,3_1,5
1 2 3 4 5 6
35,7 52,2 104,1 107,1 157,0 203,1
34,6 52,7 100,1 107,5 154,0 197,7
33,5 52,3 95,4 106,5 149,2 187,7
32,8 51,8 91,9 105,4 145,2 178,9
32,4 51,4 90,1 104,5 142,7 174,4
250
200
frekvence [Hz]
6. mód 150
5. mód 4. mód 3. mód
100
2. mód 1. mód 50
0 poměr tloušťek dýh [mm]
Obr. 22: Vliv pěti různých poměrů tloušťek vrstev desky na její vlastní frekvence
41
5. mód
6. mód
52,2 Hz
157,0 Hz
203,1 Hz
52,7 Hz
154,0 Hz
197,7 Hz
51,8 Hz
145,2 Hz
178,9 Hz
1,3_0,7_1,3
0,9_1,5_0,9
0,7_1,9_0,7
2. mód
Obr. 23: Vlastní tvary kmitání 2., 5., 6. módu volné překližované desky s poměrem tloušťek dýh 0,7_1,9_0,7 mm; 0,9_1,5_0,9 mm; 1,3_0,7_1,3 mm
Obr. 23 zobrazuje tvary kmitání desky s poměrem dýh 0,7_1,9_0,7 mm; 0,9_1,5_0,9 mm a 1,3_0,7_1,3 mm. Se změnou poměru tloušťek dýh se významně mění vlastní tvary kmitání desky, a to ve 2., 3., 5. a 6. módě. U prvního a čtvrtého módu žádné patrné změny tvaru nejsou.
42
5.6. Vliv odklonu osy přířezu na frekvenci
Masivní rezonanční deska kytary je zhotovena ze dvou symetrických polovin, vzájemně slepených boční plochou k sobě (viz. obr. 24).
Obr. 24: Rezonanční masivní deska s odklonem anatomické osy přířezů o 6°
Bylo vybráno devět referenčních odklonů (od 0° do 16°) s krokem po dvou stupních. Je nutno podotknou, že odklony nad 8° se v praxi nevyskytují a byly použity k názornějšímu zobrazení trendu. Byl zvolen smrkový materiálový model, s tloušťkou desky 3,3 mm. Zjištěné hodnoty frekvencí při změně odklonu jsou uvedeny v tab. 10, grafické znázornění vlivu je na obr. 25.
Tab. 10: Hodnoty prvních šesti frekvencí u devíti různých odklonů osy přířezů frekvence [Hz] mód [-]
0°
2°
4°
6°
8°
10°
12°
14°
16°
1 2 3 4 5 6
27,8 40,5 69,8 81,3 94,3 103,3
27,9 40,6 68,7 82,6 94,0 103,1
28,0 40,6 67,5 83,8 93,8 103,0
28,2 40,6 66,2 85,1 93,5 103,2
28,5 40,7 64,8 86,1 93,4 103,5
28,8 40,8 63,4 86,9 93,2 104,1
29,1 40,9 62,0 87,5 93,1 104,9
29,4 41,1 60,6 87,8 93,0 105,9
29,8 41,3 59,2 87,8 92,9 107,2
43
110 100 90
frekvence [Hz]
80 6. mód 70
5. mód
60
4. mód 3. mód
50
2. mód 40
1. mód
30 20 0
2
4
6
8
10
12
14
16
úhel odklonu osy přířeu [°]
Obr. 25: Porovnání vlivu velikosti odklonu osy přířezu na prvních šest vlastních frekvencí
Změna vlastní frekvence desky je při změně odklonu osy přířezu v 1., 2., 4., 5., a 6. módě nevýrazná, průměrná relativní odchylka nepřekročila hodnotu 2,33 %. Třetí mód vykazuje určitou závislost, kdy se zvětšováním odklonu se vlastní frekvence desky snižuje. Průměrná relativní odchylka je zde rovna 4,67 %, absolutní hodnota rozdílu mezi odklonem 0° a 16° činí 10,6 Hz. Z výsledků vyplývá, že odklon osy přířezu do 16° nemá, kromě třetího módu, významný vliv na výsledné frekvence.
44
1. mód
3. mód
5. mód
27,8 Hz
69,8 Hz
94,3 Hz
28,2 Hz
66,2 Hz
93,5 Hz
29,8 Hz
59,2 Hz
92,9 Hz
0°
6°
16°
Obr. 26: Vlastní tvary kmitání 1., 3., 5. módu volné masivní desky s odklonem osy přířezů 0°, 6° a 16°
Vliv odklonu osy přířezu na vlastní tvary je podstatně větší. U prvních šesti módů byly zpozorovány výrazné tvary kmitání s měnícím se odklonem, ke znázornění byly vybrány módy 1, 3, 5 (viz. obr. 26).
45
ken dýh překližované desky na frekvenci 5.7. Vliv odklonu vláken
Byl zhodnocen vliv odklonu vláken jednotlivých vrstev (dýh)) od podélné osy X (viz. obr. 27).
Obr. 27: Znázornění os přířezu překližované desky
Byla zvolena třívrstvá překližovaná deska celk celkové ové tloušťky 3,3 mm, jednotlivé dýhy jsou zhotoveny ze smrkového dřeva. Odklony dýh jsou stupňovány krokem po 15 ° v každé z vrstev. stev. To nám dává úhly 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150 a 165. Jelikož můžeme natočit každou vrstvu desky jiným úhl úhlem, em, dostáváme celkem 1 728 možností (12x12x12) (12x12x12). Tyto kombinace jsou zredukovány na 938 možností, poněvadž se určité varianty shodují, např. odklon 0_15_30 je totožný s odklonem 30_15_0. Těchto 938 variant odklonů bylo hodnoceno u pěti různých poměrů tloušťek tlouš dýh, s tím že byla dodržena již zmíněná celková tloušťka 3,3 mm. Jednotlivé poměry byly následující: 7_19_7 mm, 9_15_9 mm, 11_11_11 mm, 13_7_13 mm a 15_3_15 mm. Celkem dostáváme 4 690 výsledků. Mezi odklonem vláken vrstev (dýh) a vlastními frekvencemi desky nelze jednoznačně stanovit žádnou závislost. Názorné zobrazení rozložení hodnot první vlastní frekvence u všech možných kombinací odklonu pro pět různých poměrů tloušťek vrstev je připojeno v příloze této práce. Nejmenší zjištěná první vlastní frekve frekvence nce byla 22,6 Hz a největší 43,3 Hz, v tomto rozmezí se nacházely všechny vypočtené výsledky.
46
5.8. Optimalizace rezonanční překližované desky
Cílem optimalizace překližované desky byla snaha o co nejvěrohodnější napodobení zvolené masivní desky. Pro oba typy desek byl použit smrkový materiálový model uvedený v tab. 2 na straně 28. Předem stanovenou podmínkou bylo dodržení celkové tloušťky desky 3,3 mm. Vzorová masivní deska byla zhotovena ze dvou symetrických polovin s odklonem anatomické osy přířezů 5° od osy X. Při hledání optimální varianty překližované desky bylo využito změny odklonů vláken vrstev (dýh) desky od podélné osy X (viz. obr. 27) a změna poměru tloušťek vrstev dýh. Tab. 11: Hodnoty 1. vl. frekvence a participačních faktorů překližovaných desek nejvíce blízkých desce masivní
poměr tloušťek dýh [mm] 7_19_7 7_19_7 7_19_7 7_19_7 9_15_9 11_11_11 11_11_11 11_11_11 11_11_11 11_11_11 13_7_13 13_7_13 13_7_13 13_7_13 13_7_13 13_7_13 13_7_13 15_3_15 15_3_15 15_3_15 15_3_15 15_3_15 15_3_15 15_3_15 15_3_15
úhel odklonu vláken dýh od podélné osy X [°] vnější
středová
vnitřní
30 30 45 45 120 30 45 45 75 105 30 30 30 45 45 45 45 30 30 30 45 45 45 45 45
60 75 120 75 60 120 15 105 165 15 30 120 150 90 105 120 135 30 45 60 90 105 135 150 165
75 60 105 45 135 90 45 120 135 135 90 60 90 120 120 120 45 45 45 45 120 120 120 120 120
1. vl. frekvence [Hz]
particip. faktor v ose Z [-]
28,074 28,149 28,055 28,078 28,115 28,113 28,115 28,109 28,143 28,111 28,130 28,090 28,076 28,094 28,055 28,102 28,069 28,149 28,117 28,139 28,149 28,149 28,146 28,117 28,141
1,56E-12 1,92E-11 3,37E-11 5,93E-11 1,08E-11 5,53E-11 6,11E-12 2,14E-11 4,30E-11 5,46E-12 3,99E-11 3,40E-12 4,44E-11 1,01E-11 5,40E-11 1,28E-11 1,30E-11 2,95E-11 1,74E-11 1,36E-11 4,55E-11 8,67E-11 3,00E-11 3,43E-12 2,10E-11
47
Z celkového počtu 4 690 výsledků pro překližovanou desku byly vybrány pouze ty, u nichž se první vlastní frekvence s přesností na jednu desetinnou číslici shodovala s frekvencí vzorové masivní desky. Těchto kombinací bylo nalezeno 25 (viz. tab. 11). Optimální varianta překližované desky byla zvolena ta, jejíž průměr hodnot prvních šesti módů byl nejvíce blízký hodnotám vzorové masivní desky. Pro průměr hodnot prvních šesti vlastních frekvencí vychází nejlépe kombinace odklonů vláken dýh – vnější 45°, středová 120° a vnitřní 120°, při poměru tloušťek dýh – vnější 13 mm, středová 7 mm a vnitřní 13 mm (viz. tab. 12, obr. 28). Při posuzování průměru participačních faktorů vychází nejlépe varianta s odklonem vláken dýh – vnější 45°, středová 105° a vnitřní 120°, při poměru tloušťek dýh – vnější 15 mm, středová 3 mm a vnitřní 15 mm (viz. tab. 13, obr. 29). Dále byla stanovena podmínka, kdy se z důvodu estetiky žádá, aby vrchní (vnější) vrstva dýhy byla rovnoběžně s osou X. Při této podmínce se masivní desce nejvíce blíží kombinace odklonů dýh – vnější 0°, středová 90° a vnitřní 90°, při poměru tloušťek dýh – vnější 9 mm, středová 15 mm a vnitřní 9 mm.
48
Tab. 12: Srovnání hodnot 1. vl. frekvence a particip. faktoru masivní desky a desky překližované s nejlepší shodou ve frekvenci překližovaná deska masivní deska 1. vl. frekvence [Hz]
1. vl. frekvence participační faktor v ose [Hz] Z [-]
28,115 40,621 66,860 84,464 93,658 103,095
3,94E-11 5,47E-11 6,43E-12 4,52E-12 3,19E-12 4,15E-12
28,102 37,357 63,831 81,217 91,245 114,832
1,28E-11 3,08E-11 4,92E-12 6,07E-12 9,40E-13 4,48E-12
69,469
1,87E-11
69,431
1,00E-11
průměr
frekvence [Hz]
participační faktor v ose Z [-]
140
6,00E-11
120
5,00E-11
100
4,00E-11
80 3,00E-11 60 2,00E-11
40 20
1,00E-11
0
0,00E+00 1
2
3
4
5
participační faktor - směr Z [-]
mód [-] 1 2 3 4 5 6
[45°_120°_120°] x [13_7_13 mm]
6
mód [-] freq_smrk_masiv freq_smrk_překližka [45°_120°_120°] x [13_7_13 mm] particip_smrk_masiv particip_smrk_překližka [45°_120°_120°] x [13_7_13 mm]
Obr. 28: Srovnání hodnot 1. vl. frekvence a particip. faktoru masivní desky a desky překližované s nejlepší shodou ve frekvenci
49
Tab. 13: Srovnání hodnot 1. vl. frekvence a particip. faktoru masivní desky a desky překližované s nejlepší shodou v participačním faktoru překližovaná deska masivní deska 1. vl. frekvence [Hz]
participační faktor v ose Z [-]
1. vl. frekvence participační faktor v ose [Hz] Z [-]
28,115 40,621 66,860 84,464 93,658 103,095
3,94E-11 5,47E-11 6,43E-12 4,52E-12 3,19E-12 4,15E-12
28,149 37,443 63,210 81,342 90,542 114,625
8,67E-11 3,03E-11 5,03E-12 3,69E-13 2,20E-12 1,21E-12
69,469
1,87E-11
69,219
2,10E-11
průměr
140
1,00E-10 9,00E-11
120 frekvence [Hz]
8,00E-11 100
7,00E-11
80
6,00E-11 5,00E-11
60
4,00E-11
40
3,00E-11 2,00E-11
20
1,00E-11
0
participační faktor - směr Z [-]
mód [-] 1 2 3 4 5 6
[45°_105°_120°] x [15_3_15 mm]
0,00E+00 1
2
3
4
5
6
mód [-] freq_smrk_masiv freq_smrk_překližka [45°_105°_120°] x [15_3_15 mm] particip_smrk_masiv particip_smrk_překližka [45°_105°_120°] x [15_3_15 mm]
Obr. 29: Srovnání hodnot 1. vl. frekvence a particip. faktoru masivní desky a desky překližované s nejlepší shodou v participačním faktoru
50
Tab. 14: Srovnání hodnot 1. vl. frekvence a particip. faktoru masivní desky a desky překližované při podmínce vrchní dýhy rovnoběžně s osou X překližovaná deska masivní deska 1. vl. frekvence [Hz]
1. vl. frekvence participační faktor v ose [Hz] Z [-]
28,115 40,621 66,860 84,464 93,658 103,095
3,94E-11 5,47E-11 6,43E-12 4,52E-12 3,19E-12 4,15E-12
31,292 32,860 71,508 73,745 100,625 132,380
5,03E-12 5,04E-12 4,38E-12 1,80E-12 4,11E-12 2,52E-12
69,469
1,87E-11
73,735
3,81E-12
průměr
frekvence [Hz]
participační faktor v ose Z [-]
140
6,00E-11
120
5,00E-11
100
4,00E-11
80 3,00E-11 60 2,00E-11
40 20
1,00E-11
0
0,00E+00 1
2
3
4
5
participační faktor - směr Z [-]
mód [-] 1 2 3 4 5 6
[0°_90°_90°] x [9_15_9 mm]
6
mód [-] freq_smrk_masiv freq_smrk_překližka [0°_90°_90°] x [9_15_9 mm] particip_smrk_masiv particip_smrk_překližka [0°_90°_90°] x [9_15_9 mm]
Obr. 30: Srovnání hodnot 1. vl. frekvence a particip. faktoru masivní desky a desky překližované při podmínce vrchní dýhy rovnoběžně s osou X
51
2. mód
3. mód
28,102 Hz
37,357 Hz
63,831 Hz
28,149 Hz
37,443 Hz
63,210 Hz
31,292 Hz
32,860 Hz
71,508 Hz
28,115 Hz
40,621 Hz
66,860 Hz
vzorová masivní deska
0°_90°_90° 9_15_9 mm
45°_105°_120° 15_3_15 mm
45°_120°_120° 13_7_13 mm
1. mód
Obr. 31: Srovnání vlastních tvarů kmitání 1., 2. a 3. módu variant překližovaných desek s deskou masivní
52
Obr. 31 zobrazuje srovnání vlastních tvarů kmitání 1., 2. a 3. módu třech variant překližované desky a vzorové desky masivní. Mezi variantami desek překližovaných je možno vypozorovat odlišnosti, avšak základ kmitání je „stejný“. Masivní deska má zcela jiný tvar kmitání, což je dáno skladbou desky, kdy deska masivní je vyrobena ze dvou polovin vzájemně slepenými bočními plochami, kdežto deska překližovaná je vyrobena z jednotlivých vrstev (dýh) slepených k sobě vrchními plochami. Z toho také vyplývá, že žádnou možnou kombinací odklonů vláken jednotlivých vrstev, poměrem tloušťek vrstev ani celkovou tloušťkou překližované desky není možno napodobit tvar kmitání desky masivní. Nicméně tvary kmitání nejsou zdaleka tak významné jako frekvence desky, v níž dochází k rezonanci a velikost amplitudy kmitání.
53
6. Závěr V programu ANSYS byl vytvořen konečně-prvkový model rezonanční desky kytary, který byl následně podroben modální analýze. Pro zjednodušení byl materiálový model uvažován jako lineárně elastický, což pro potřeby této práce dostačuje. Vytvoření modelu a jeho vyřešení probíhalo parametricky ve vnitřním skriptovacím jazyku APDL, díky čemuž se zlehčily případné změny v konstrukci, materiálové skladbě apod. Práce je zaměřená na zkoumání a posouzení vlivů na výsledné vlastní frekvence desky, participační faktory a vlastní tvary kmitání. Jedná se o vliv velikosti prvku sítě, vliv ukotvení desky, vliv druhu dřeva, vliv tloušťky desky, vliv poměru tloušťek dýh, vliv odklonu osy přířezu a vliv odklonu vláken dýh překližované desky. Vlastní frekvence nám říkají, při jaké budící frekvenci dochází k rezonanci desky, tedy maximálnímu zesílení zvuku. Vibracemi desky se uskutečňuje přenos energie do vzduchu. Amplituda kmitání je taktéž významných faktorem pro posouzení intenzity zvuky. Díky modální analýze jsou získány jak vlastní frekvence, tak i participační faktory, které zjednodušeně v této práci nahrazují výše zmiňovanou amplitudu. Faktory jsou jistým ukazatelem podílu vykmitané hmoty při konkrétní frekvenci. Cílem práce bylo následně stanovit takovou variantu překližované desky, která se nejvíce podobá vzorové desce masivní ve vlastních frekvencích, participačních faktorech popř. tvarech kmitání. Podmínkami této optimalizace bylo dodržení stejného druhu materiálového modelu, stejného tvaru desky a její celkové tloušťky. Za pomoci změny poměru tloušťek vrstev desky a odklonů vláken dýh od osy X bylo vypočteno celkem 4 690 variant. Následně bylo provedeno srovnání prvních šesti vypočtených vlastních frekvencí s frekvencemi zvolené vzorové masivní desky. Za nejlepší variantu vyšla kombinace odklonů vláken dýh – vnější 45°, středová 120° a vnitřní 120°, při poměru tloušťek dýh – vnější 13 mm, středová 7 mm a vnitřní 13 mm. Tato varianta se liší od běžně vyráběných akustických kytar díky netypickému odklonu vnější vrstvy dýhy. Je to určitá estetická odlišnost, která může mít negativní vliv na prodejnost a odrazovat potenciální zákazníky od koupě kytary. Proto byla dále stanovena podmínka, kdy vnější vrstva desky bude bez odklonu, přesněji řečeno bude mít odklon vláken od podélné osy desky 0°. Jako nejlepší varianta takovéto desky vyšla kombinace vláken dýh – vnější 0°, středová 90° a vnitřní 90°, při poměru tloušťek dýh – vnější 9 mm, středová 15 mm a vnitřní 9 mm. Tato varianta má ovšem od předešlé horší shodu v prvních šesti vlastních frekvencích.
54
Využitelnost v praxi
Změna odklonu vláken dýh a poměru tloušťek jednotlivých vrstev nabízí velké množství variant překližovaných rezonančních desek. Je potřeba zmínit, že na konečné rezonanční frekvence desky se nepodílí pouze deska samotná, ale i ostatní prvky kytary jako např. žebrování, ukotvení po obvodu, tah napnutých strun apod. Výsledkem práce nebylo nalezení rezonanční desky kytary s nejlepšími akustickými vlastnostmi, ale snaha o navržení takové překližované desky, která se nejvíce blíží svými vlastnostmi desce masivní. Jako nejlepší varianta náhrady masivní desky vyšla překližovaná deska s odklonem vrchní vrstvy dýhy 45°. To se však může negativně promítnout do poptávky potenciálních zákazníků. Vzhled takovéto rezonanční desky, respektive kytary, se odlišuje od běžně nabízených nástrojů a může zákazníky odrazovat od koupě. Pokud však dodáme důkaz v podobě výsledků zpracované analýzy, že se ona varianta dokáže svými akustickými vlastnostmi vyrovnat desce masivní, ne-li ji v kvalitě předčit, je poté šance zákazníky dostat na svou stranu. Ve prospěch překližované desky mluví i nižší výrobní cena, která je dána jak levnější vstupní surovinou, tak i možností použít na neviditelné vrstvy dýhu méně hodnotnou. Přesto vše lze využít i praktičtější alternativu, kdy je vrchní vrstva dýhy rovnoběžně s osou kytary. Tato volba by přišla v úvahu, pokud by rozdíl mezi ní a deskou s odkloněnou vrchní dýhou nebyl v praxi zdaleka o tolik výrazně lepší v rezonančních vlastnostech, jenž by upřednostnil desku s odklonem. Součástí přílohy je dávkový soubor APDL, který obsahuje soubor příkazů k výpočtu modální analýzy. Tento soubor může sloužit při návrhu libovolné rezonanční desky kytary, a to díky parametrizaci, která umožňuje jednoduše měnit její geometrii, materiálovou skladbu, počet vrstev a jejich odklony apod. Pokud by byl v programu ANSYS vytvořen numerický model celé kytary, bylo by možné změnou odklonů vláken a poměru tloušťek jednotlivých vrstev naladit rezonanční frekvence desky, tak aby se přibližovaly frekvencím použitých strun při daném typu ladění. Kytara s takto navrženou deskou by měla vynikající rezonanční vlastnosti.
55
7. Summary Finite element model guitar soundboard was created by ANSYS, it was subsequently subjected to modal analysis. To simplify the material model was considered as linearly elastic, which for the purposes of this work is sufficient. Creating a model and solution conducted parametrically in internal scripting language APDL, it helped with any changes in construction , material composition, etc. The thesis is focused to research on effects of the natural frequencies, participation factors and mode shapes of vibration. This is the effect of the element size, the anchor plates, the type of wood, the plate thickness, the ratio of thickness of veneers, the deflection of axis dimension timber and the deflection grains of veener in plywood. Goal of work was determine a variant of plywood, which most closely resembles the predetermined plate of solid wood. Terms of this optimization were respect the same type of material model, the same shape of plate and total thickness. It was found 4 690 options by modal analysis. The lowest detected first natural frequency was 22,6 Hz and highest was 43,3 Hz, in this range are found all calculated results. Comparison was made between the first six calculated natural frequencies and the frequencies of the predetermined plate of solid wood. The best option was a combination of the deflection grains of veeners – external 45°, middle 120° and internal 120°, with the ratio of thickness of veneers – external 13 mm, middle 7 mm and internal 13 mm. This variant differs from the usual acoustic guitars due atypical deflection of external layers of veneer. The reason for the replacement plate of solid wood is effort to obtain plate with better acoustic characteristics and lower production costs. Lower price is dictated by used lower quality veener like invisible layers.
56
8. Použitá literatura BENEŠOVÁ, Soňa. Materiálové modelování a numerická simulace jako nástroj pro vývoj technologických procesů. Plzeň, 2007. Dizertační práce. Západočeská univerzita v Plzni. BESNAINOU, Charles. From wood mechanical measurements to composite materials for musical instruments: New technology for instrument makers. MRS Bulletin, 20(3):34–36, 1995. BUCUR, Voichita. Acoustics of wood. Boca Raton: CRC Press, c1995, 284 s. ISBN 08493-4801-3. ČERMÁKOVÁ, M. Akustika pro studenty středních škol. Brno, 2002. Diplomová práce. Masarykova univerzita. DÁNIEL, Vladimír. Modely mechanického kmitání konstrukcí ze dřeva a na bázi dřeva. Brno, 2008. Disertační práce. Mendelova univerzita v Brně. ELEJABARRIETA, M. J. et al.. Evolution of the vibrational behavior of a guitar soundboard along successive construction phases by means of the modal analysis technique. The Journal of the Acoustical Society of America. 2000, 369 s. ISSN 00014966. DOI: 10.1121/1.429470. FRENCH, Richard Mark. Engineering the guitar: theory and practice. Online-Ausg. New York: Springer, 2009. ISBN 978-038-7743-684. GANDELOVÁ, Libuše, Jarmila ŠLEZINGEROVÁ a Petr HORÁČEK. Nauka o dřevě. 2., nezměn. vyd. V Brně: Mendelova zemědělská a lesnická univerzita, 2004, 176 s. ISBN 978-80-7157-577-12008. GRUCHALA, Štěpán. Lexikon dříví znělého. Muzikus: magazín pro muzikanty. 2010, 1,6,10,12. ISSN 1210-1443. HANÁK, Vojtěch. Kmity a vlny. Brno, 2011. Diplomová práce. Masarykova univerzita. HORÁČEK, Petr. Fyzikální a mechanické vlastnosti dřeva I. 2., přeprac. vyd. Brno: Mendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně, 2008, ii, 124 s. ISBN 978-807375-169-2. INTA, Ra, The Acoustics of Steel String Guitar, The University of New South Wales, School of Physics, Sydney, Australia, PhD Thesis, 2007. JOHNSTON, Richard et al.. Martin guitars: a history. 1st ed. New York: Hal Leonard, c2008, x, 227 s. ISBN 06-340-3785-4.
57
KOHNKE, Peter. ANSYS – Theory reference. Canonsburg, PA, USA, ANSYS, Inc. 1998, 965 s. KOLÁŘ, Vladimír. FEM Principy a praxe metody konečných prvků. 1. vyd. Praha: Computer Press, 1997, 401 s. ISBN 80-722-6021-9. LEXA, Jaroslav et al.. Technologia dreva I.: Mechanické a fyzikálné vlastnosti dreva, Bratislava: Práca, vydavateľstvo ROH, 1952, 431 s. MALÝ, Luboš. Sedm století kytary: I: II: III: IV: V. Muzikus: magazín pro muzikanty. 2002, 01 - 05. ISSN 1210-1443. MAULIS, Vladimír. Rezonanční dříví. Praha, 2007. Bakalářská práce. Česká zemědělská univerzita v Praze. MILÁČEK, Stanislav. Modální analýza mechanických kmitů. Vyd. 2. Praha: Vydavatelství ČVUT, 2001c1992, 154 s. ISBN 80-010-2333-8. PÍŠTĚK, Václav. Pevnost a životnost. 1. vyd. Brno: VUT Brno, 1993, 205 s. ISBN 80214-0474-4. PROBERT, Stephen. Design, Manufacture and Analysis of a Carbon Fiber Epoxy Composite Acoustic Guitar, University of Washington, Seattle, Washington, Ing Thesis, 2007. POŽGAJ, Alexander et al.. Štruktúra a vlastnosti dreva. 2. vyd. Bratislava: Príroda, 1997, 485 s. ISBN 80-07-00960-4. SYROVÝ, Václav. Hudební zvuk: příspěvek k teorii zvukové tvorby. 1. vyd. V Praze: Akademie múzických umění, 2009, 303 s. ISBN 978-80-7331-161-2. SYROVÝ, Václav. Hudební akustika. 2., dopl. vyd. V Praze: Akademie múzických umění, 2008, 440 s. ISBN 978-80-7331-127-8. TEPLÝ, Břetislav. Metoda konečných prvků. 4. vyd. Brno: VUT, 1991, 98 s. ISBN 80214-0234-2. TIPPNER, Jan. Numerická simulace rezonanční desky klavíru. Brno, 2010. Disertační práce. Mendelova univerzita v Brně.
58
Internetové zdroje: DVOŘÁK, Vítězslav. Experimentální modální analýza [online]. Plzeň, 2009 [cit. 2012-09-15]. Dostupné z: http://old.fst.zcu.cz/_files_web_FST/_SP_FST(SVOC)/_2009/_sbornik/PapersPdf/Ing/ Dvorak_Vitezslav.pdf. Doktorská práce. Západočeská univerzita v Plzni. FUSEK, Martin a Radim HALAMA. MKP a MHP [online]. Ostrava, 2011 [cit. 2012-09-15]. Dostupné z: http://mi21.vsb.cz/sites/mi21.vsb.cz/files/unit/metoda_konecnych_prvku_a_hranicnich_ prvku.pdf. Výukový materiál. Vysoké škole báňské - Technické univerzitě v Ostravě. GRELLIER, Christophe. Plans. Christophe Grellier Luthier [online]. 2007 [cit. 2012-10-06]. Dostupné z: http://www.grellier.fr/plans.php?lang=en HALABICA, Otto. História gitár. [online]. 2009 [cit. 2013-02-16]. Dostupné z: http://www.rock.cz/clanek/117-historia-gitar KRETSCHMANN, David E. et. al.. Wood handbook: wood as an engineering material [online]. Rev. ed. Madison, Wis: Forest Products Society, 2010 [cit. 2013-03-02]. ISBN 978-189-2529-022. Dostupné z: http://www.fpl.fs.fed.us/documnts/fplgtr/fplgtr190/chapter_05.pdf PROCHÁZKA, Petr. Kytary Procházka [online]. 2012 [cit. 2012-08-22]. Dostupné z: http://www.guitar-makers.com/
59
Seznam obrázků
Obr. 1: Guitarra moresca .............................................................................................. 10 Obr. 2: Vihuela ............................................................................................................... 10 Obr. 3: 5-ti strunná kytara Battente ............................................................................... 11 Obr. 4: Kytara Martin model OM .................................................................................. 12 Obr. 5: Kytara podle Antonia Torrese ........................................................................... 12 Obr. 6: Popis částí kytary ............................................................................................... 13 Obr. 7: Varianty žebrování rezonančních desek firmy C.F. Martin & Company .......... 14 Obr. 8: Skládání přířezů rezonanční desky ..................................................................... 15 Obr. 9: Prvních sedm módů kmitů struny ....................................................................... 20 Obr. 10: Chladniho obrazce
................................................................. 21
Obr. 11: Rozložení uzlů na těle kytary při různých frekvencích ................................... 21 Obr. 12: SOLID186 vrstvená struktura........................................................................... 29 Obr. 13: Vliv velikosti prvku sítě na frekvenci desky ...................................................... 32 Obr. 14: Vliv ukotvení na masivní a překližovanou desku .............................................. 33 Obr. 15: Vlastní tvary kmitání první třech módů ukotvené a volné masivní a PD ......... 34 Obr. 16: Vlastní tvary kmitání masivní desky smrkové a zeravové v 1., 2. a 3. módu .... 35 Obr. 17: Porovnání prvních šesti vl. frekvencí a participačních faktorů masivní desky 36 Obr. 18: Porovnání prvních šesti vlastních frekvencí a participačních faktorů PD....... 37 Obr. 19: Vlastní tvary kmitání PD smrkové a zeravové v 2., 5. a 6. módě ..................... 38 Obr. 20: Porovnání pěti tloušťek masivní desky a jejich vliv na prvních šest vl. frekv. . 39 Obr. 21: Porovnání pěti tloušťek PD a jejich vliv na prvních šest vlastních frekvencí .. 40 Obr. 22: Vliv pěti různých poměrů tloušťek vrstev desky na její vlastní frekvence ........ 41 Obr. 23: Vlastní tvary kmitání 2., 5., 6. módu volné překližované desky ........................ 42 Obr. 24: Rezonanční masivní deska s odklonem anatomické osy přířezů o 6° ............... 43 Obr. 25: Porovnání vlivu velikosti odklonu osy přířezu na prvních šest vl. frekvencí.... 44 Obr. 26: Vlastní tvary kmitání 1., 3., 5. módu volné masivní desky s odklonem osy přířezů 0°, 6° a 16° ......................................................................................................... 45 Obr. 27: Znázornění os přířezu překližované desky ....................................................... 46 Obr. 28: Srovnání hodnot 1. vl. frekvence a particip. faktoru masivní desky a desky překližované s nejlepší shodou ve frekvenci ................................................................... 49
60
Obr. 29: Srovnání hodnot 1. vl. frekvence a particip. faktoru masivní desky a desky překližované s nejlepší shodou v participačním faktoru ................................................. 50 Obr. 30: Srovnání hodnot 1. vl. frekvence a particip. faktoru masivní desky a desky překližované při podmínce vrchní dýhy rovnoběžně s osou X ........................................ 51 Obr. 31: Srovnání vlastních tvarů kmitání 1., 2. a 3. módu variant překližovaných desek s deskou masivní ............................................................................................................. 52
Seznam tabulek
Tab. 1: Mechanické vlastnosti kovových kytarových strun (D'Addario EJ16) .............. 13 Tab. 2: Materiálové charakteristiky vybraných dřev ..................................................... 28 Tab. 3: Vliv velikosti sítě na 1., 2., 4. a 6. vlastní frekvenci ........................................... 31 Tab. 4: Hodnoty prvních šesti frekvencí volné a ukotvené desky.................................... 33 Tab. 5: Hodnoty prvních šesti vl. frekvencí a participačních faktorů masivní desky ..... 36 Tab. 6: Hodnoty prvních šesti vl. frekvencí a participačních faktorů PD ...................... 37 Tab. 7: Hodnoty frekvencí prvních šesti módů masivní desky u šesti různých tloušťek.. 39 Tab. 8: Hodnoty frekvencí prvních šesti módů PDy u šesti různých tloušťek ................. 40 Tab. 9: Hodnoty frekvencí prvních šesti módů PD u šesti různých poměrů tloušťek ..... 41 Tab. 10: Hodnoty prvních šesti frekvencí u devíti různých odklonů osy přířezů ............ 43 Tab. 11: Hodnoty 1. vl. frekvence a participačních faktorů překližovaných desek nejvíce blízkých desce masivní .................................................................................................... 47 Tab. 12: Srovnání hodnot 1. vl. frekvence a particip. faktoru masivní desky a desky překližované s nejlepší shodou ve frekvenci ................................................................... 49 Tab. 13: Srovnání hodnot 1. vl. frekvence a particip. faktoru masivní desky a desky překližované s nejlepší shodou v participačním faktoru ................................................. 50 Tab. 14: Srovnání hodnot 1. vl. frekvence a particip. faktoru masivní desky a desky překližované při podmínce vrchní dýhy rovnoběžně s osou X ........................................ 51
61
62
9. Přílohy Příloha č. 1: Grafy vlivu odklonů na první vlastní frekvenci pro pět různých poměrů tloušťek vrstev
Pozn.: Na následujících grafech je na ose Y vynesena hodnota první vlastní frekvence a na ose X je uvedeno číslo odklonu, které označuje konkrétní kombinaci odklonu. Seznam přiřazených čísle k dané kombinaci je uveden v přílohách 4–23.
45 40 35 30 25
551
601
651
701
751
801
851
901
551
601
651
701
751
801
851
901
501
451
401
351
301
251
201
151
101
51
1
20
7_19_7
45 40 35 30 25
501
451
401
351
301
251
201
151
101
51
1
20
9_15_9
63
751 801 851 901
751
801
851
901
501
451
401
351
301
251
201
151
101
51
1
701
20
701
25 651
30
651
35 601
40
601
45 551
13_7_13
551
501
451
401
351
301
251
201
151
101
51
1
901
851
801
751
701
651
601
551
501
451
401
351
301
251
201
151
101
51
1
Příloha č. 2: Grafy vlivu odklonů na první vlastní frekvenci pro pět různých poměrů tloušťek vrstev 45
40
35
30
25
20
11_11_11
45
40
35
30
25
20
15_3_15
64
1 19 37 55 73 91 109 127 145 163 181 199 217 235 253 271 289 307 325 343 361 379 397 415 433 451 469 487 505 523 541 559 577 595 613 631 649 667 685 703 721 739 757 775 793 811 829 847 865 883 901 919
frekvence [Hz]
Příloha č. 3: Společný graf vlivu odklonů na první vlastní frekvenci pro pět různých poměrů tloušťek vrstev
15_3_15
13_7_13
11_11_11
9_15_9
7_19_7
číslo odklonu [-]
65
kombinace odklonů [°]
poměr tloušťek vrstev [mm]
vnější x středová x vnitřní
vnější x středová x vnitřní 7_19_7
9_15_9
11_11_11
13_7_13
15_3_15
první vlastní frekvence [Hz]
číslo odklonu
číslo odklonu
Příloha č. 4: Hodnoty prvních vlastních frekvencí v závislosti na odklonu vláken a poměru tloušťek vrstev kombinace odklonů [°]
poměr tloušťek vrstev [mm]
vnější x středová x vnitřní
vnější x středová x vnitřní 7_19_7
9_15_9
11_11_11
13_7_13
15_3_15
první vlastní frekvence [Hz]
1
0
0
0
32,1
32,1
32,1
32,1
32,1
25
0
30
0
38,0
35,7
33,8
32,7
32,2
2
0
0
15
33,9
33,5
33,1
32,8
32,6
26
0
30
15
35,4
34,3
33,4
32,9
32,6
3
0
0
30
36,1
35,4
34,6
33,9
33,5
27
0
30
30
34,5
34,1
33,7
33,3
33,2
4
0
0
45
36,5
35,8
35,0
34,3
33,7
28
0
30
45
35,3
34,7
34,0
33,6
33,3
5
0
0
60
35,5
34,9
34,3
33,7
33,2
29
0
30
60
35,5
34,6
33,8
33,2
32,9
6
0
0
75
34,2
33,7
33,3
32,9
32,5
30
0
30
75
35,3
34,3
33,3
32,7
32,4
7
0
0
90
33,7
33,2
32,8
32,5
32,2
31
0
30
90
35,8
34,6
33,5
32,6
32,3
8
0
0
105
34,1
33,6
33,1
32,7
32,4
32
0
30
105
37,3
36,0
34,3
32,9
32,3
9
0
0
120
35,2
34,5
33,9
33,3
32,7
33
0
30
120
40,2
37,8
35,0
33,2
32,5
10
0
0
135
35,9
35,1
34,2
33,4
32,8
34
0
30
135
42,3
38,4
35,2
33,4
32,7
11
0
0
150
35,4
34,5
33,7
33,0
32,4
35
0
30
150
41,9
38,1
35,0
33,1
32,5
12
0
0
165
33,4
33,0
32,5
32,2
32,0
36
0
30
165
40,4
37,1
34,4
32,8
32,2
13
0
15
0
34,3
33,4
32,7
32,3
32,1
37
0
45
0
39,4
36,9
34,5
32,9
32,3
14
0
15
15
33,6
33,3
33,0
32,8
32,6
38
0
45
15
36,9
35,4
33,9
33,0
32,7
15
0
15
30
35,4
34,9
34,3
33,7
33,3
39
0
45
30
34,8
34,1
33,5
33,1
33,1
16
0
15
45
36,4
35,7
34,8
34,1
33,6
40
0
45
45
33,8
33,4
33,2
33,1
33,2
17
0
15
60
35,8
35,0
34,3
33,6
33,1
41
0
45
60
33,7
33,2
32,8
32,6
32,7
18
0
15
75
35,0
34,2
33,4
32,8
32,5
42
0
45
75
34,1
33,3
32,6
32,3
32,2
19
0
15
90
34,8
33,9
33,1
32,5
32,2
43
0
45
90
35,0
34,0
33,2
32,6
32,2
20
0
15
105
35,7
34,6
33,5
32,8
32,4
44
0
45
105
36,7
35,6
34,6
32,8
32,2
21
0
15
120
37,4
35,8
34,3
33,3
32,7
45
0
45
120
39,4
37,7
34,9
33,0
32,4
22
0
15
135
38,6
36,5
34,7
33,5
32,8
46
0
45
135
41,8
38,3
35,1
33,1
32,5
23
0
15
150
38,4
36,1
34,2
33,1
32,5
47
0
45
150
42,1
38,3
35,0
33,0
32,4
24
0
15
165
36,6
34,8
33,3
32,5
32,1
48
0
45
165
41,2
37,9
34,8
32,9
32,2
66
kombinace odklonů [°]
poměr tloušťek vrstev [mm]
vnější x středová x vnitřní
vnější x středová x vnitřní 7_19_7
9_15_9
11_11_11
13_7_13
15_3_15
první vlastní frekvence [Hz]
číslo odklonu
číslo odklonu
Příloha č. 5: Hodnoty prvních vlastních frekvencí v závislosti na odklonu vláken a poměru tloušťek vrstev kombinace odklonů [°]
poměr tloušťek vrstev [mm]
vnější x středová x vnitřní
vnější x středová x vnitřní 7_19_7
9_15_9
11_11_11
13_7_13
15_3_15
první vlastní frekvence [Hz]
49
0
60
0
38,3
36,3
34,4
33,0
32,3
73
0
90
0
35,7
34,6
33,5
32,8
32,4
50
0
60
15
36,7
35,3
34,0
33,1
32,7
74
0
90
15
35,6
34,6
33,7
33,0
32,7
51
0
60
30
35,0
34,2
33,4
33,1
33,1
75
0
90
30
35,3
34,4
33,6
33,2
33,2
52
0
60
45
33,4
33,1
32,8
32,8
33,1
76
0
90
45
34,6
33,9
33,2
32,9
33,1
53
0
60
60
32,3
32,1
32,1
32,2
32,5
77
0
90
60
33,4
32,8
32,3
32,2
32,5
54
0
60
75
32,4
32,1
31,8
31,9
32,1
78
0
90
75
32,0
31,7
31,5
31,7
32,0
55
0
60
90
33,6
32,9
32,4
32,4
32,2
79
0
90
90
31,4
31,3
31,4
32,0
32,2
56
0
60
105
35,2
34,2
33,2
32,3
32,1
80
0
90
105
31,9
31,6
31,4
31,5
31,9
57
0
60
120
37,1
35,5
33,7
32,5
32,2
81
0
90
120
33,1
32,3
31,7
31,6
31,9
58
0
60
135
38,6
36,3
34,1
32,7
32,3
82
0
90
135
34,1
33,1
32,3
31,9
32,1
59
0
60
150
39,3
36,7
34,3
32,7
32,2
83
0
90
150
34,9
33,7
32,7
32,1
32,1
60
0
60
165
39,2
36,7
34,4
32,8
32,2
84
0
90
165
35,4
34,2
33,1
32,4
32,1
61
0
75
0
36,5
35,2
33,8
32,8
32,4
85
0
105
0
36,4
35,1
33,8
32,8
32,4
62
0
75
15
35,8
34,7
33,7
33,0
32,7
86
0
105
15
36,9
35,5
34,2
33,2
32,8
63
0
75
30
34,8
34,1
33,4
33,1
33,1
87
0
105
30
36,9
35,6
34,3
33,4
33,2
64
0
75
45
33,7
33,2
32,8
32,8
33,1
88
0
105
45
36,4
35,3
34,1
33,3
33,2
65
0
75
60
32,3
32,0
31,9
32,1
32,5
89
0
105
60
35,3
34,3
33,2
32,6
32,6
66
0
75
75
31,4
31,3
31,4
31,6
32,0
90
0
105
75
33,7
33,0
32,3
32,0
32,1
67
0
75
90
32,0
31,8
31,7
32,1
32,2
91
0
105
90
32,2
31,9
31,8
32,1
32,2
68
0
75
105
33,5
32,7
32,1
31,8
31,9
92
0
105
105
31,4
31,3
31,3
31,5
31,9
69
0
75
120
34,9
33,7
32,6
32,0
32,0
93
0
105
120
31,9
31,6
31,4
31,5
31,9
70
0
75
135
35,9
34,4
33,0
32,2
32,2
94
0
105
135
33,1
32,4
31,8
31,7
32,0
71
0
75
150
36,5
34,8
33,3
32,4
32,1
95
0
105
150
34,3
33,3
32,4
32,0
32,0
72
0
75
165
36,7
35,1
33,6
32,5
32,1
96
0
105
165
35,5
34,2
33,1
32,4
32,1
67
kombinace odklonů [°]
poměr tloušťek vrstev [mm]
vnější x středová x vnitřní
vnější x středová x vnitřní 7_19_7
9_15_9
11_11_11
13_7_13
15_3_15
první vlastní frekvence [Hz]
číslo odklonu
číslo odklonu
Příloha č. 6: Hodnoty prvních vlastních frekvencí v závislosti na odklonu vláken a poměru tloušťek vrstev kombinace odklonů [°]
poměr tloušťek vrstev [mm]
vnější x středová x vnitřní
vnější x středová x vnitřní 7_19_7
9_15_9
11_11_11
13_7_13
15_3_15
první vlastní frekvence [Hz]
97
0
120
0
38,0
36,2
34,3
33,0
32,3
121
0
150
0
37,5
35,5
33,7
32,6
32,2
98
0
120
15
39,3
37,1
35,0
33,4
32,8
122
0
150
15
40,4
37,5
35,0
33,4
32,8
99
0
120
30
39,8
37,5
35,3
33,8
33,3
123
0
150
30
42,3
38,9
35,9
34,2
33,5
100
0
120
45
39,3
37,3
35,2
33,8
33,4
124
0
150
45
42,6
39,2
36,2
34,4
33,7
101
0
120
60
37,6
36,3
34,5
33,2
32,8
125
0
150
60
40,4
38,3
35,6
33,8
33,1
102
0
120
75
35,6
34,7
33,6
32,5
32,2
126
0
150
75
37,6
36,3
34,6
33,1
32,5
103
0
120
90
33,8
33,2
32,7
32,6
32,3
127
0
150
90
35,9
34,9
33,7
32,8
32,3
104
0
120
105
32,4
32,0
31,8
31,9
32,1
128
0
150
105
35,3
34,3
33,4
32,7
32,3
105
0
120
120
31,8
31,6
31,5
31,6
32,0
129
0
150
120
34,9
34,1
33,3
32,7
32,4
106
0
120
135
32,5
32,1
31,7
31,7
32,0
130
0
150
135
34,0
33,5
33,0
32,5
32,3
107
0
120
150
34,1
33,1
32,3
32,0
32,0
131
0
150
150
33,2
32,8
32,4
32,2
32,1
108
0
120
165
36,1
34,7
33,3
32,4
32,1
132
0
150
165
34,4
33,5
32,7
32,2
32,0
109
0
135
0
38,9
36,6
34,4
32,9
32,3
133
0
165
0
34,0
33,3
32,6
32,3
32,1
110
0
135
15
41,2
38,2
35,4
33,5
32,8
134
0
165
15
36,9
35,2
33,9
33,1
32,7
111
0
135
30
42,6
39,2
36,1
34,1
33,5
135
0
165
30
38,9
36,9
35,1
34,1
33,5
112
0
135
45
42,8
39,3
36,2
34,2
33,5
136
0
165
45
39,1
37,2
35,5
34,4
33,8
113
0
135
60
40,0
38,6
35,6
33,6
33,0
137
0
165
60
37,7
36,2
34,8
33,8
33,2
114
0
135
75
37,2
36,3
35,0
33,0
32,4
138
0
165
75
35,8
34,8
33,7
33,0
32,5
115
0
135
90
35,3
34,5
33,7
32,9
32,3
139
0
165
90
34,8
34,0
33,2
32,6
32,3
116
0
135
105
34,1
33,4
32,7
32,4
32,2
140
0
165
105
34,8
34,1
33,3
32,8
32,4
117
0
135
120
33,1
32,7
32,3
32,1
32,2
141
0
165
120
35,3
34,6
33,8
33,2
32,6
118
0
135
135
32,6
32,3
32,0
32,0
32,1
142
0
165
135
35,4
34,7
33,9
33,2
32,6
119
0
135
150
33,5
32,8
32,3
32,0
32,0
143
0
165
150
34,2
33,8
33,2
32,6
32,3
120
0
135
165
36,0
34,5
33,2
32,3
32,0
144
0
165
165
32,8
32,6
32,3
32,1
32,0
68
kombinace odklonů [°]
poměr tloušťek vrstev [mm]
vnější x středová x vnitřní
vnější x středová x vnitřní 7_19_7
9_15_9
11_11_11
13_7_13
15_3_15
první vlastní frekvence [Hz]
číslo odklonu
číslo odklonu
Příloha č. 7: Hodnoty prvních vlastních frekvencí v závislosti na odklonu vláken a poměru tloušťek vrstev kombinace odklonů [°]
poměr tloušťek vrstev [mm]
vnější x středová x vnitřní
vnější x středová x vnitřní 7_19_7
9_15_9
11_11_11
13_7_13
15_3_15
první vlastní frekvence [Hz]
145
15
0
15
33,7
32,6
31,8
31,4
31,2
169
15
30
45
31,7
31,4
31,0
30,6
30,4
146
15
0
30
35,0
33,2
31,9
31,1
30,7
170
15
30
60
31,9
31,4
30,8
30,3
30,0
147
15
0
45
35,5
33,5
32,0
31,0
30,5
171
15
30
75
32,0
31,3
30,7
30,2
29,7
148
15
0
60
35,0
33,2
31,6
30,7
30,1
172
15
30
90
32,4
31,8
31,1
30,6
30,2
149
15
0
75
34,4
32,8
31,3
30,4
29,8
173
15
30
105
33,8
33,2
32,5
32,1
31,7
150
15
0
90
34,5
33,0
31,7
30,8
30,2
174
15
30
120
36,3
35,6
34,9
34,5
34,3
151
15
0
105
35,6
34,3
33,0
32,2
31,7
175
15
30
135
39,2
38,2
37,3
36,6
36,2
152
15
0
120
37,6
36,4
35,3
34,5
34,2
176
15
30
150
40,1
38,6
37,2
36,2
35,8
153
15
0
135
39,5
38,5
37,5
36,8
36,0
177
15
30
165
38,3
36,8
35,5
34,7
34,4
154
15
0
150
39,5
38,6
37,5
36,4
35,7
178
15
45
15
34,2
33,2
32,2
31,6
31,3
155
15
0
165
36,9
36,3
35,6
34,9
34,4
179
15
45
30
32,0
31,5
31,0
30,7
30,6
156
15
15
15
31,2
31,2
31,2
31,2
31,2
180
15
45
45
31,0
30,8
30,5
30,3
30,3
157
15
15
30
31,7
31,4
31,0
30,8
30,7
181
15
45
60
31,1
30,7
30,2
29,9
29,8
158
15
15
45
32,5
31,9
31,3
30,8
30,5
182
15
45
75
31,6
30,9
30,2
29,8
29,6
159
15
15
60
32,4
31,8
31,1
30,6
30,1
183
15
45
90
32,4
31,6
30,8
30,3
30,1
160
15
15
75
32,1
31,5
30,9
30,3
29,9
184
15
45
105
34,0
33,1
32,3
31,8
31,6
161
15
15
90
32,3
31,8
31,3
30,8
30,3
185
15
45
120
36,5
35,6
34,8
34,3
34,2
162
15
15
105
33,6
33,1
32,6
32,2
31,8
186
15
45
135
40,0
39,0
37,8
36,5
35,9
163
15
15
120
35,8
35,3
34,8
34,5
34,3
187
15
45
150
41,5
39,2
37,2
35,9
35,6
164
15
15
135
38,1
37,5
37,0
36,7
36,2
188
15
45
165
39,5
37,5
35,7
34,6
34,3
165
15
15
150
38,8
38,0
37,2
36,5
35,8
189
15
60
15
34,6
33,5
32,5
31,8
31,4
166
15
15
165
37,0
36,2
35,5
34,8
34,5
190
15
60
30
32,6
32,0
31,3
30,9
30,7
167
15
30
15
32,4
32,0
31,6
31,3
31,2
191
15
60
45
31,0
30,7
30,4
30,2
30,2
168
15
30
30
31,1
31,0
30,8
30,7
30,6
192
15
60
60
30,0
29,8
29,7
29,6
29,7
69
kombinace odklonů [°]
poměr tloušťek vrstev [mm]
vnější x středová x vnitřní
vnější x středová x vnitřní 7_19_7
9_15_9
11_11_11
13_7_13
15_3_15
první vlastní frekvence [Hz]
193
15
60
194
15
195
15
196 197
číslo odklonu
číslo odklonu
Příloha č. 8: Hodnoty prvních vlastních frekvencí v závislosti na odklonu vláken a poměru tloušťek vrstev kombinace odklonů [°]
poměr tloušťek vrstev [mm]
vnější x středová x vnitřní
vnější x středová x vnitřní 7_19_7
9_15_9
11_11_11
13_7_13
15_3_15
první vlastní frekvence [Hz]
75
30,3
29,9
29,5
29,4
29,4
217
15
90
105
31,1
30,9
30,8
30,9
31,3
60
90
31,4
30,8
30,2
29,9
29,9
218
15
90
120
33,5
33,1
32,8
33,0
33,7
60
105
33,2
32,5
31,8
31,4
31,4
219
15
90
135
35,8
35,1
34,5
34,4
35,0
15
60
120
35,6
34,8
34,1
33,8
33,9
220
15
90
150
37,0
35,9
35,0
34,7
35,0
15
60
135
38,8
37,8
36,6
35,7
35,5
221
15
90
165
36,6
35,4
34,5
34,1
34,2
198
15
60
150
40,5
38,4
36,5
35,5
35,3
222
15
105
15
36,2
34,8
33,3
32,1
31,5
199
15
60
165
38,7
37,0
35,4
34,4
34,3
223
15
105
30
35,2
33,9
32,5
31,4
30,8
200
15
75
15
34,3
33,4
32,5
31,8
31,4
224
15
105
45
34,2
33,0
31,7
30,7
30,4
201
15
75
30
32,9
32,2
31,5
31,0
30,7
225
15
105
60
33,0
31,8
30,7
29,9
29,7
202
15
75
45
31,5
31,0
30,5
30,2
30,2
226
15
105
75
31,6
30,7
29,8
29,3
29,3
203
15
75
60
30,0
29,8
29,5
29,5
29,6
227
15
105
90
30,6
30,0
29,6
29,5
29,7
204
15
75
75
29,3
29,1
29,0
29,1
29,3
228
15
105
105
30,8
30,6
30,7
30,9
31,2
205
15
75
90
30,1
29,8
29,6
29,6
29,8
229
15
105
120
32,7
32,5
32,6
33,0
33,7
206
15
75
105
32,1
31,6
31,2
31,1
31,3
230
15
105
135
34,9
34,4
34,0
34,2
34,9
207
15
75
120
34,5
33,9
33,4
33,3
33,7
231
15
105
150
36,5
35,5
34,8
34,6
35,0
208
15
75
135
37,2
36,2
35,3
34,9
35,2
232
15
105
165
37,1
35,8
34,7
34,2
34,2
209
15
75
150
38,4
36,9
35,6
35,0
35,1
233
15
120
15
39,2
36,8
34,2
32,4
31,5
210
15
75
165
37,2
35,9
34,8
34,2
34,2
234
15
120
30
38,3
35,9
33,5
31,7
30,9
211
15
90
15
34,6
33,6
32,7
31,9
31,5
235
15
120
45
37,0
35,0
32,7
31,1
30,4
212
15
90
30
33,5
32,7
31,8
31,1
30,8
236
15
120
60
35,6
33,8
31,8
30,3
29,8
213
15
90
45
32,4
31,7
30,9
30,4
30,3
237
15
120
75
34,2
32,6
30,9
29,7
29,4
214
15
90
60
31,1
30,5
29,9
29,6
29,7
238
15
120
90
33,1
31,8
30,5
29,8
29,8
215
15
90
75
29,8
29,4
29,1
29,1
29,3
239
15
120
105
32,3
31,6
31,1
31,0
31,2
216
15
90
90
29,5
29,3
29,3
29,4
29,7
240
15
120
120
32,6
32,5
32,5
32,9
33,7
70
kombinace odklonů [°]
poměr tloušťek vrstev [mm]
vnější x středová x vnitřní
vnější x středová x vnitřní 7_19_7
9_15_9
11_11_11
13_7_13
15_3_15
první vlastní frekvence [Hz]
číslo odklonu
číslo odklonu
Příloha č. 9: Hodnoty prvních vlastních frekvencí v závislosti na odklonu vláken a poměru tloušťek vrstev kombinace odklonů [°]
poměr tloušťek vrstev [mm]
vnější x středová x vnitřní
vnější x středová x vnitřní 7_19_7
9_15_9
11_11_11
13_7_13
15_3_15
první vlastní frekvence [Hz]
241
15
120
135
34,3
33,9
33,8
34,1
34,8
265
15
150
165
37,5
36,3
35,2
34,5
34,3
242
15
120
150
36,4
35,5
34,8
34,6
35,0
266
15
165
15
38,8
35,7
33,3
31,9
31,3
243
15
120
165
38,3
36,7
35,2
34,3
34,2
267
15
165
30
40,1
36,2
33,2
31,5
30,8
244
15
135
15
42,3
38,5
34,9
32,5
31,5
268
15
165
45
40,3
36,2
33,1
31,3
30,6
245
15
135
30
41,9
38,0
34,3
31,9
30,9
269
15
165
60
39,4
35,7
32,6
30,8
30,1
246
15
135
45
40,7
37,2
33,7
31,4
30,5
270
15
165
75
38,2
35,1
32,2
30,4
29,7
247
15
135
60
38,9
36,0
32,8
30,7
29,9
271
15
165
90
37,7
35,2
32,5
30,8
30,1
248
15
135
75
37,1
34,8
32,1
30,1
29,5
272
15
165
105
38,1
36,2
33,7
32,1
31,5
249
15
135
90
35,8
34,0
31,8
30,2
29,9
273
15
165
120
39,0
37,7
35,8
34,3
34,0
250
15
135
105
34,9
33,6
32,2
31,3
31,3
274
15
165
135
39,2
38,0
36,7
35,8
35,5
251
15
135
120
34,2
33,5
33,1
33,1
33,6
275
15
165
150
38,0
37,1
36,3
35,7
35,4
252
15
135
135
34,3
34,0
34,0
34,2
34,9
276
15
165
165
36,4
35,8
35,2
34,7
34,4
253
15
135
150
35,9
35,3
34,8
34,7
35,0
277
30
0
30
35,6
32,8
30,8
29,6
29,1
254
15
135
165
38,7
37,0
35,4
34,5
34,3
278
30
0
45
35,8
32,7
30,3
28,9
28,3
255
15
150
15
42,5
38,2
34,6
32,3
31,4
279
30
0
60
35,4
32,3
29,8
28,3
27,7
256
15
150
30
43,3
38,4
34,3
31,8
30,9
280
30
0
75
35,0
32,0
29,5
27,9
27,3
257
15
150
45
43,0
38,0
33,9
31,4
30,5
281
30
0
90
35,3
32,4
29,8
28,2
27,6
258
15
150
60
42,1
37,2
33,2
30,8
30,0
282
30
0
105
36,7
33,7
31,0
29,4
28,8
259
15
150
75
39,9
36,5
32,6
30,4
29,6
283
30
0
120
39,1
35,8
33,0
31,4
30,9
260
15
150
90
38,1
36,2
32,7
30,6
30,0
284
30
0
135
41,8
38,3
35,4
33,9
33,6
261
15
150
105
37,4
35,9
33,4
31,8
31,4
285
30
0
150
42,4
40,4
38,0
36,7
36,6
262
15
150
120
36,9
35,7
34,3
33,6
33,7
286
30
0
165
39,7
38,8
37,8
36,9
36,3
263
15
150
135
36,2
35,4
34,8
34,7
35,1
287
30
15
30
31,0
30,1
29,5
29,2
29,0
264
15
150
150
35,8
35,4
35,1
35,0
35,1
288
30
15
45
31,4
30,1
29,1
28,5
28,2
71
kombinace odklonů [°]
poměr tloušťek vrstev [mm]
vnější x středová x vnitřní
vnější x středová x vnitřní 7_19_7
9_15_9
11_11_11
13_7_13
15_3_15
první vlastní frekvence [Hz]
číslo odklonu
číslo odklonu
Příloha č. 10: Hodnoty prvních vlastních frekvencí v závislosti na odklonu vláken a poměru tloušťek vrstev kombinace odklonů [°]
poměr tloušťek vrstev [mm]
vnější x středová x vnitřní
vnější x středová x vnitřní 7_19_7
9_15_9
11_11_11
13_7_13
15_3_15
první vlastní frekvence [Hz]
289
30
15
60
31,4
29,9
28,8
28,0
27,6
313
30
45
120
32,8
32,3
31,8
31,4
31,1
290
30
15
75
31,2
29,8
28,6
27,8
27,4
314
30
45
135
35,6
35,1
34,6
34,3
34,1
291
30
15
90
31,7
30,2
29,0
28,2
27,7
315
30
45
150
37,9
37,3
36,9
37,0
37,4
292
30
15
105
33,0
31,6
30,3
29,4
28,9
316
30
45
165
37,2
36,4
35,8
35,6
35,8
293
30
15
120
35,4
33,8
32,5
31,6
31,1
317
30
60
30
30,6
30,1
29,6
29,3
29,1
294
30
15
135
38,2
36,5
35,1
34,3
33,9
318
30
60
45
28,9
28,6
28,4
28,2
28,1
295
30
15
150
40,1
38,8
37,7
37,1
37,0
319
30
60
60
27,9
27,7
27,5
27,4
27,4
296
30
15
165
39,1
38,3
37,3
36,6
36,1
320
30
60
75
28,1
27,7
27,4
27,1
27,0
297
30
30
30
29,0
29,0
29,0
29,0
29,0
321
30
60
90
29,1
28,5
28,0
27,6
27,4
298
30
30
45
28,9
28,7
28,4
28,3
28,1
322
30
60
105
30,6
29,9
29,3
28,9
28,7
299
30
30
60
29,2
28,7
28,2
27,8
27,6
323
30
60
120
32,6
31,9
31,3
30,9
30,9
300
30
30
75
29,3
28,7
28,2
27,7
27,3
324
30
60
135
35,3
34,6
34,0
33,7
33,8
301
30
30
90
29,8
29,2
28,6
28,1
27,7
325
30
60
150
38,0
37,4
36,9
36,8
37,1
302
30
30
105
31,0
30,4
29,9
29,4
29,0
326
30
60
165
37,2
36,3
35,6
35,4
35,7
303
30
30
120
33,1
32,6
32,0
31,6
31,2
327
30
75
30
31,2
30,6
29,9
29,5
29,2
304
30
30
135
35,8
35,3
34,8
34,5
34,2
328
30
75
45
29,7
29,2
28,7
28,4
28,2
305
30
30
150
37,8
37,3
37,0
37,0
37,3
329
30
75
60
28,1
27,8
27,6
27,4
27,4
306
30
30
165
37,2
36,7
36,2
36,0
36,0
330
30
75
75
27,3
27,1
27,0
26,9
27,0
307
30
45
30
29,6
29,4
29,2
29,1
29,0
331
30
75
90
28,0
27,7
27,4
27,3
27,3
308
30
45
45
28,4
28,4
28,3
28,2
28,1
332
30
75
105
29,8
29,2
28,8
28,6
28,6
309
30
45
60
28,4
28,2
27,9
27,6
27,4
333
30
75
120
31,9
31,3
30,8
30,6
30,7
310
30
45
75
28,8
28,4
27,9
27,5
27,2
334
30
75
135
34,5
33,9
33,3
33,2
33,5
311
30
45
90
29,5
29,0
28,4
27,9
27,6
335
30
75
150
37,5
37,0
36,5
36,4
36,7
312
30
45
105
30,8
30,2
29,7
29,2
28,9
336
30
75
165
36,9
36,1
35,4
35,3
35,6
72
kombinace odklonů [°]
poměr tloušťek vrstev [mm]
vnější x středová x vnitřní
vnější x středová x vnitřní 7_19_7
9_15_9
11_11_11
13_7_13
15_3_15
první vlastní frekvence [Hz]
číslo odklonu
číslo odklonu
Příloha č. 11: Hodnoty prvních vlastních frekvencí v závislosti na odklonu vláken a poměru tloušťek vrstev kombinace odklonů [°]
poměr tloušťek vrstev [mm]
vnější x středová x vnitřní
vnější x středová x vnitřní 7_19_7
9_15_9
11_11_11
13_7_13
15_3_15
první vlastní frekvence [Hz]
337
30
90
30
32,0
31,2
30,3
29,6
29,2
361
30
120
90
30,7
29,3
28,1
27,4
27,3
338
30
90
45
30,6
29,9
29,1
28,5
28,2
362
30
120
105
30,0
29,2
28,6
28,4
28,5
339
30
90
60
29,2
28,5
27,9
27,5
27,4
363
30
120
120
30,7
30,5
30,4
30,5
30,7
340
30
90
75
27,8
27,4
27,0
26,9
27,0
364
30
120
135
33,3
33,1
33,0
33,2
33,6
341
30
90
90
27,4
27,2
27,1
27,1
27,2
365
30
120
150
36,9
36,3
35,9
35,9
36,4
342
30
90
105
28,8
28,5
28,3
28,3
28,5
366
30
120
165
40,2
38,4
36,8
35,9
35,9
343
30
90
120
31,2
30,7
30,4
30,4
30,6
367
30
135
30
40,3
36,6
33,0
30,4
29,3
344
30
90
135
33,9
33,3
32,9
32,9
33,4
368
30
135
45
38,4
35,1
31,8
29,4
28,4
345
30
90
150
37,1
36,5
36,0
35,9
36,4
369
30
135
60
36,4
33,6
30,6
28,4
27,6
346
30
90
165
37,2
36,3
35,6
35,3
35,7
370
30
135
75
34,8
32,3
29,6
27,8
27,1
347
30
105
30
33,5
32,4
31,0
29,9
29,3
371
30
135
90
33,7
31,5
29,3
27,7
27,3
348
30
105
45
32,1
31,1
29,8
28,8
28,3
372
30
135
105
33,0
31,2
29,6
28,6
28,5
349
30
105
60
30,7
29,7
28,6
27,8
27,5
373
30
135
120
32,7
31,6
30,9
30,5
30,7
350
30
105
75
29,4
28,5
27,6
27,1
27,0
374
30
135
135
33,5
33,2
33,1
33,2
33,6
351
30
105
90
28,3
27,8
27,3
27,1
27,2
375
30
135
150
36,5
36,1
35,8
35,9
36,4
352
30
105
105
28,5
28,3
28,2
28,3
28,5
376
30
135
165
40,6
38,9
37,2
36,2
36,1
353
30
105
120
30,6
30,4
30,3
30,4
30,7
377
30
150
30
42,9
37,6
33,1
30,4
29,3
354
30
105
135
33,5
33,1
32,9
33,0
33,4
378
30
150
45
41,7
36,6
32,2
29,5
28,4
355
30
105
150
36,9
36,3
35,8
35,8
36,3
379
30
150
60
39,9
35,3
31,2
28,6
27,6
356
30
105
165
38,5
37,2
36,1
35,6
35,8
380
30
150
75
38,2
34,3
30,4
28,0
27,2
357
30
120
30
36,4
34,3
32,0
30,2
29,3
381
30
150
90
37,0
33,7
30,2
28,1
27,4
358
30
120
45
34,7
32,9
30,8
29,1
28,3
382
30
150
105
36,4
33,6
30,7
29,0
28,5
359
30
120
60
33,1
31,4
29,5
28,1
27,5
383
30
150
120
36,0
33,8
31,8
30,7
30,6
360
30
120
75
31,7
30,2
28,5
27,4
27,0
384
30
150
135
35,7
34,5
33,6
33,3
33,5
73
kombinace odklonů [°]
poměr tloušťek vrstev [mm]
vnější x středová x vnitřní
vnější x středová x vnitřní 7_19_7
9_15_9
11_11_11
13_7_13
15_3_15
první vlastní frekvence [Hz]
385
30
150
150
386
30
150
387
30
165
388
30
389
30
390
číslo odklonu
číslo odklonu
Příloha č. 12: Hodnoty prvních vlastních frekvencí v závislosti na odklonu vláken a poměru tloušťek vrstev kombinace odklonů [°]
poměr tloušťek vrstev [mm]
vnější x středová x vnitřní
vnější x středová x vnitřní 7_19_7
9_15_9
11_11_11
13_7_13
15_3_15
první vlastní frekvence [Hz]
36,4
36,0
35,8
35,9
36,4
409
45
15
90
31,7
29,5
27,5
26,2
25,7
165
39,3
38,1
37,0
36,4
36,2
410
45
15
105
33,1
30,7
28,5
27,2
26,6
30
40,7
36,0
32,3
30,1
29,2
411
45
15
120
35,4
32,7
30,3
28,8
28,3
165
45
40,6
35,5
31,6
29,2
28,4
412
45
15
135
38,2
35,2
32,6
31,1
30,8
165
60
39,8
34,8
30,8
28,5
27,7
413
45
15
150
40,7
37,8
35,3
34,0
33,8
30
165
75
39,1
34,2
30,3
28,0
27,2
414
45
15
165
40,2
39,0
37,8
36,9
36,5
391
30
165
90
39,0
34,3
30,4
28,2
27,5
415
45
30
45
28,2
27,6
27,2
26,9
26,8
392
30
165
105
39,6
35,1
31,3
29,2
28,7
416
45
30
60
28,3
27,4
26,6
26,2
25,9
393
30
165
120
39,7
36,0
32,8
31,1
30,7
417
45
30
75
28,4
27,3
26,4
25,8
25,5
394
30
165
135
39,5
36,9
34,6
33,5
33,5
418
45
30
90
28,9
27,7
26,8
26,1
25,7
395
30
165
150
38,9
37,6
36,6
36,2
36,4
419
45
30
105
30,0
28,8
27,8
27,1
26,7
396
30
165
165
38,3
37,6
37,0
36,6
36,2
420
45
30
120
32,0
30,7
29,6
28,8
28,4
397
45
0
45
35,9
32,3
29,4
27,7
27,0
421
45
30
135
34,7
33,2
32,0
31,2
30,9
398
45
0
60
35,5
31,8
28,7
26,8
26,0
422
45
30
150
37,1
35,8
34,7
34,1
34,0
399
45
0
75
35,0
31,4
28,2
26,3
25,5
423
45
30
165
37,6
36,7
36,1
35,9
36,1
400
45
0
90
35,4
31,7
28,4
26,4
25,7
424
45
45
45
26,8
26,8
26,8
26,8
26,8
401
45
0
105
36,8
32,8
29,3
27,2
26,6
425
45
45
60
26,5
26,3
26,1
26,0
25,9
402
45
0
120
38,9
34,4
30,8
28,8
28,2
426
45
45
75
26,8
26,4
26,0
25,7
25,4
403
45
0
135
40,7
36,2
32,8
31,0
30,6
427
45
45
90
27,4
26,9
26,4
26,0
25,7
404
45
0
150
41,2
38,0
35,3
33,9
33,8
428
45
45
105
28,4
27,9
27,4
27,0
26,7
405
45
0
165
39,5
38,4
37,4
36,8
36,6
429
45
45
120
30,2
29,6
29,1
28,8
28,5
406
45
15
45
31,5
29,6
28,1
27,2
26,9
430
45
45
135
32,5
32,0
31,5
31,2
31,0
407
45
15
60
31,4
29,3
27,5
26,5
26,0
431
45
45
150
35,0
34,5
34,2
34,2
34,2
408
45
15
75
31,3
29,1
27,2
26,1
25,5
432
45
45
165
35,6
35,3
35,2
35,4
35,9
74
kombinace odklonů [°]
poměr tloušťek vrstev [mm]
vnější x středová x vnitřní
vnější x středová x vnitřní 7_19_7
9_15_9
11_11_11
13_7_13
15_3_15
první vlastní frekvence [Hz]
číslo odklonu
číslo odklonu
Příloha č. 13: Hodnoty prvních vlastních frekvencí v závislosti na odklonu vláken a poměru tloušťek vrstev kombinace odklonů [°]
poměr tloušťek vrstev [mm]
vnější x středová x vnitřní
vnější x středová x vnitřní 7_19_7
9_15_9
11_11_11
13_7_13
15_3_15
první vlastní frekvence [Hz]
433
45
60
45
27,1
27,0
26,9
26,9
26,8
457
45
90
135
31,5
30,9
30,5
30,4
30,6
434
45
60
60
26,1
26,0
25,9
25,9
25,8
458
45
90
150
34,2
33,7
33,3
33,3
33,7
435
45
60
75
26,1
25,9
25,7
25,5
25,4
459
45
90
165
36,2
35,7
35,3
35,4
35,9
436
45
60
90
27,0
26,6
26,2
25,8
25,6
460
45
105
45
30,6
29,6
28,4
27,5
27,0
437
45
60
105
28,2
27,7
27,2
26,8
26,6
461
45
105
60
29,2
28,2
27,2
26,3
26,0
438
45
60
120
29,8
29,4
28,9
28,6
28,4
462
45
105
75
27,8
26,9
26,1
25,6
25,4
439
45
60
135
32,0
31,6
31,2
31,0
30,9
463
45
105
90
26,7
26,2
25,7
25,5
25,5
440
45
60
150
34,5
34,2
34,0
34,0
34,1
464
45
105
105
26,8
26,6
26,4
26,3
26,4
441
45
60
165
35,2
35,0
34,9
35,1
35,8
465
45
105
120
28,5
28,3
28,1
28,1
28,1
442
45
75
45
28,1
27,7
27,3
27,0
26,9
466
45
105
135
31,2
30,8
30,5
30,4
30,6
443
45
75
60
26,6
26,3
26,1
25,9
25,9
467
45
105
150
34,4
33,8
33,4
33,4
33,7
444
45
75
75
25,8
25,6
25,5
25,3
25,3
468
45
105
165
37,5
36,8
36,2
35,9
36,1
445
45
75
90
26,4
26,1
25,8
25,6
25,5
469
45
120
45
32,9
31,3
29,3
27,8
27,1
446
45
75
105
27,8
27,3
26,9
26,6
26,5
470
45
120
60
31,2
29,7
28,0
26,6
26,0
447
45
75
120
29,6
29,1
28,6
28,3
28,2
471
45
120
75
29,8
28,4
26,9
25,8
25,4
448
45
75
135
31,8
31,3
30,8
30,6
30,7
472
45
120
90
28,7
27,5
26,4
25,7
25,5
449
45
75
150
34,4
33,9
33,6
33,6
33,8
473
45
120
105
28,1
27,3
26,7
26,4
26,4
450
45
75
165
35,5
35,1
34,9
35,1
35,8
474
45
120
120
28,6
28,3
28,2
28,1
28,2
451
45
90
45
29,2
28,5
27,8
27,2
26,9
475
45
120
135
31,1
30,8
30,6
30,6
30,7
452
45
90
60
27,7
27,1
26,5
26,1
25,9
476
45
120
150
34,7
34,2
33,8
33,7
33,9
453
45
90
75
26,3
26,0
25,6
25,4
25,3
477
45
120
165
38,8
38,2
37,6
36,5
36,3
454
45
90
90
25,9
25,7
25,5
25,4
25,5
478
45
135
45
36,2
33,4
30,3
28,1
27,1
455
45
90
105
27,1
26,8
26,5
26,4
26,4
479
45
135
60
34,2
31,8
29,0
26,9
26,0
456
45
90
120
29,1
28,6
28,3
28,1
28,1
480
45
135
75
32,5
30,3
27,9
26,1
25,4
75
kombinace odklonů [°]
poměr tloušťek vrstev [mm]
vnější x středová x vnitřní
vnější x středová x vnitřní 7_19_7
9_15_9
11_11_11
13_7_13
15_3_15
první vlastní frekvence [Hz]
číslo odklonu
číslo odklonu
Příloha č. 14: Hodnoty prvních vlastních frekvencí v závislosti na odklonu vláken a poměru tloušťek vrstev kombinace odklonů [°]
poměr tloušťek vrstev [mm]
vnější x středová x vnitřní
vnější x středová x vnitřní 7_19_7
9_15_9
11_11_11
13_7_13
15_3_15
první vlastní frekvence [Hz]
481
45
135
90
31,4
29,4
27,4
26,0
25,5
505
60
0
60
35,0
31,2
27,9
25,8
24,9
482
45
135
105
30,7
29,1
27,5
26,6
26,4
506
60
0
75
34,6
30,8
27,3
25,1
24,2
483
45
135
120
30,4
29,4
28,6
28,2
28,1
507
60
0
90
34,9
31,0
27,3
25,0
24,2
484
45
135
135
31,3
31,0
30,8
30,7
30,8
508
60
0
105
36,3
31,8
28,0
25,6
24,8
485
45
135
150
34,6
34,3
34,1
34,0
34,1
509
60
0
120
38,0
33,0
29,1
26,8
26,1
486
45
135
165
39,5
38,6
37,5
36,7
36,5
510
60
0
135
38,7
34,2
30,7
28,7
28,2
487
45
150
45
39,8
35,2
30,9
28,2
27,1
511
60
0
150
38,7
35,5
32,8
31,3
31,0
488
45
150
60
37,7
33,7
29,7
27,1
26,1
512
60
0
165
37,4
36,2
35,1
34,5
34,3
489
45
150
75
35,9
32,4
28,8
26,4
25,5
513
60
15
60
31,3
28,9
26,8
25,4
24,9
490
45
150
90
34,7
31,6
28,4
26,3
25,6
514
60
15
75
31,2
28,7
26,4
24,8
24,2
491
45
150
105
34,1
31,3
28,6
26,9
26,4
515
60
15
90
31,6
29,0
26,5
24,8
24,2
492
45
150
120
33,7
31,5
29,5
28,4
28,1
516
60
15
105
32,9
30,0
27,3
25,5
24,9
493
45
150
135
33,6
32,3
31,3
30,7
30,7
517
60
15
120
35,1
31,8
28,7
26,8
26,2
494
45
150
150
34,8
34,4
34,1
34,0
34,1
518
60
15
135
37,7
33,9
30,6
28,7
28,2
495
45
150
165
38,5
37,8
37,1
36,6
36,5
519
60
15
150
40,3
36,4
33,1
31,3
30,9
496
45
165
45
40,2
34,8
30,6
28,0
27,0
520
60
15
165
39,5
38,0
36,0
34,5
34,3
497
45
165
60
39,4
33,9
29,6
27,1
26,1
521
60
30
60
28,2
26,9
25,7
25,1
24,8
498
45
165
75
38,6
33,1
28,9
26,4
25,5
522
60
30
75
28,3
26,7
25,4
24,5
24,2
499
45
165
90
37,9
32,9
28,8
26,4
25,6
523
60
30
90
28,7
27,0
25,6
24,6
24,2
500
45
165
105
37,5
33,2
29,4
27,2
26,5
524
60
30
105
29,8
28,0
26,4
25,3
24,9
501
45
165
120
37,5
33,7
30,5
28,6
28,1
525
60
30
120
31,7
29,6
27,8
26,6
26,2
502
45
165
135
37,4
34,6
32,1
30,8
30,6
526
60
30
135
34,3
31,9
29,9
28,6
28,2
503
45
165
150
37,2
35,7
34,5
33,9
33,9
527
60
30
150
36,9
34,6
32,5
31,2
31,0
504
45
165
165
37,6
37,2
36,8
36,6
36,6
528
60
30
165
37,7
36,4
35,1
34,3
34,2
76
kombinace odklonů [°]
poměr tloušťek vrstev [mm]
vnější x středová x vnitřní
vnější x středová x vnitřní 7_19_7
9_15_9
11_11_11
13_7_13
15_3_15
první vlastní frekvence [Hz]
číslo odklonu
číslo odklonu
Příloha č. 15: Hodnoty prvních vlastních frekvencí v závislosti na odklonu vláken a poměru tloušťek vrstev kombinace odklonů [°]
poměr tloušťek vrstev [mm]
vnější x středová x vnitřní
vnější x středová x vnitřní 7_19_7
9_15_9
11_11_11
13_7_13
15_3_15
první vlastní frekvence [Hz]
529
60
45
60
25,9
25,4
25,0
24,8
24,8
553
60
90
60
26,3
25,8
25,3
25,0
24,8
530
60
45
75
26,0
25,2
24,7
24,3
24,1
554
60
90
75
25,0
24,7
24,4
24,2
24,1
531
60
45
90
26,5
25,6
24,9
24,4
24,2
555
60
90
90
24,6
24,4
24,3
24,1
24,1
532
60
45
105
27,5
26,5
25,7
25,2
24,9
556
60
90
105
25,6
25,3
25,1
24,9
24,8
533
60
45
120
29,0
27,9
27,0
26,5
26,3
557
60
90
120
27,3
26,9
26,5
26,3
26,2
534
60
45
135
31,2
30,0
29,1
28,5
28,3
558
60
90
135
29,3
28,9
28,5
28,2
28,2
535
60
45
150
33,7
32,5
31,6
31,1
31,1
559
60
90
150
31,7
31,3
30,9
30,8
31,0
536
60
45
165
35,1
34,4
33,9
33,9
34,3
560
60
90
165
34,0
33,7
33,5
33,8
34,3
537
60
60
60
24,7
24,7
24,7
24,7
24,7
561
60
105
60
27,8
26,9
25,9
25,2
24,9
538
60
60
75
24,6
24,4
24,3
24,1
24,1
562
60
105
75
26,4
25,7
24,9
24,4
24,1
539
60
60
90
25,2
24,9
24,6
24,3
24,1
563
60
105
90
25,4
24,9
24,5
24,2
24,1
540
60
60
105
26,2
25,8
25,4
25,1
24,9
564
60
105
105
25,4
25,2
25,0
24,8
24,8
541
60
60
120
27,6
27,1
26,7
26,4
26,3
565
60
105
120
27,0
26,7
26,4
26,2
26,2
542
60
60
135
29,5
29,0
28,7
28,4
28,3
566
60
105
135
29,3
28,9
28,5
28,3
28,2
543
60
60
150
31,8
31,4
31,2
31,1
31,1
567
60
105
150
32,1
31,6
31,1
30,9
31,0
544
60
60
165
33,5
33,3
33,3
33,7
34,3
568
60
105
165
34,9
34,5
34,1
34,0
34,3
545
60
75
60
25,1
25,0
24,9
24,8
24,8
569
60
120
60
29,7
28,3
26,7
25,5
24,9
546
60
75
75
24,3
24,2
24,2
24,1
24,1
570
60
120
75
28,3
27,1
25,7
24,6
24,2
547
60
75
90
24,7
24,6
24,4
24,2
24,1
571
60
120
90
27,2
26,2
25,1
24,4
24,1
548
60
75
105
25,9
25,6
25,3
25,0
24,8
572
60
120
105
26,6
25,9
25,3
24,9
24,8
549
60
75
120
27,4
27,0
26,7
26,4
26,2
573
60
120
120
27,0
26,7
26,4
26,2
26,2
550
60
75
135
29,2
28,9
28,5
28,3
28,3
574
60
120
135
29,1
28,8
28,6
28,4
28,3
551
60
75
150
31,5
31,2
31,0
30,9
31,0
575
60
120
150
32,4
31,9
31,4
31,2
31,1
552
60
75
165
33,4
33,2
33,3
33,7
34,3
576
60
120
165
35,9
35,3
34,7
34,4
34,4
77
kombinace odklonů [°]
poměr tloušťek vrstev [mm]
vnější x středová x vnitřní
vnější x středová x vnitřní 7_19_7
9_15_9
11_11_11
13_7_13
15_3_15
první vlastní frekvence [Hz]
číslo odklonu
číslo odklonu
Příloha č. 16: Hodnoty prvních vlastních frekvencí v závislosti na odklonu vláken a poměru tloušťek vrstev kombinace odklonů [°]
poměr tloušťek vrstev [mm]
vnější x středová x vnitřní
vnější x středová x vnitřní 7_19_7
9_15_9
11_11_11
13_7_13
15_3_15
první vlastní frekvence [Hz]
577
60
135
60
32,3
30,2
27,7
25,8
25,0
601
75
0
578
60
135
75
30,7
28,8
26,6
24,9
24,2
602
75
579
60
135
90
29,6
27,9
26,0
24,6
24,1
603
75
580
60
135
105
28,9
27,4
26,0
25,1
24,8
604
581
60
135
120
28,5
27,5
26,8
26,3
26,2
605
582
60
135
135
29,3
28,9
28,6
28,4
28,3
583
60
135
150
32,3
31,9
31,6
31,4
584
60
135
165
36,5
35,8
35,1
34,6
585
60
150
60
35,6
32,2
28,5
586
60
150
75
33,7
30,8
27,5
587
60
150
90
32,5
29,9
588
60
150
105
31,9
29,4
589
60
150
120
31,4
590
60
150
135
591
60
150
150
592
60
150
593
60
165
594
60
595
60
596 597
75
34,3
30,5
26,8
24,4
23,4
0
90
34,6
30,6
26,6
24,1
23,2
0
105
35,7
31,1
27,0
24,5
23,6
75
0
120
36,4
31,8
27,8
25,4
24,6
75
0
135
36,6
32,5
29,0
27,0
26,3
606
75
0
150
36,3
33,4
30,8
29,2
28,8
31,2
607
75
0
165
35,4
34,0
32,9
32,1
31,8
34,5
608
75
15
75
31,0
28,4
25,9
24,1
23,4
26,0
25,0
609
75
15
90
31,4
28,7
25,9
23,9
23,2
25,2
24,2
610
75
15
105
32,6
29,6
26,5
24,4
23,6
27,0
24,9
24,1
611
75
15
120
34,7
31,1
27,6
25,4
24,6
27,0
25,3
24,8
612
75
15
135
37,3
33,0
29,2
27,0
26,3
29,4
27,6
26,4
26,1
613
75
15
150
39,7
35,0
31,3
29,3
28,7
31,2
30,0
29,0
28,4
28,3
614
75
15
165
38,1
36,1
33,7
32,2
31,7
32,4
32,0
31,6
31,4
31,2
615
75
30
75
28,3
26,5
24,9
23,8
23,3
165
36,0
35,5
34,9
34,6
34,5
616
75
30
90
28,7
26,8
24,9
23,7
23,1
60
38,4
33,0
28,6
26,0
25,0
617
75
30
105
29,7
27,6
25,5
24,1
23,6
165
75
37,0
32,1
27,9
25,2
24,2
618
75
30
120
31,5
29,1
26,7
25,2
24,6
165
90
35,7
31,6
27,6
25,1
24,2
619
75
30
135
34,0
31,2
28,5
26,8
26,3
60
165
105
35,2
31,5
27,8
25,6
24,8
620
75
30
150
36,6
33,7
30,9
29,1
28,6
60
165
120
35,0
31,7
28,6
26,7
26,1
621
75
30
165
37,5
36,0
33,7
32,0
31,6
598
60
165
135
34,9
32,2
29,9
28,5
28,2
622
75
45
75
26,0
24,9
24,0
23,5
23,3
599
60
165
150
34,7
33,3
32,1
31,3
31,1
623
75
45
90
26,5
25,2
24,1
23,4
23,1
600
60
165
165
35,5
35,0
34,7
34,5
34,4
624
75
45
105
27,3
25,9
24,7
23,9
23,6
78
kombinace odklonů [°]
poměr tloušťek vrstev [mm]
vnější x středová x vnitřní
vnější x středová x vnitřní 7_19_7
9_15_9
11_11_11
13_7_13
15_3_15
první vlastní frekvence [Hz]
číslo odklonu
číslo odklonu
Příloha č. 17: Hodnoty prvních vlastních frekvencí v závislosti na odklonu vláken a poměru tloušťek vrstev kombinace odklonů [°]
poměr tloušťek vrstev [mm]
vnější x středová x vnitřní
vnější x středová x vnitřní 7_19_7
9_15_9
11_11_11
13_7_13
15_3_15
první vlastní frekvence [Hz]
625
75
45
120
28,8
27,2
25,8
24,9
24,6
649
75
90
165
31,6
31,4
31,3
31,4
31,6
626
75
45
135
30,9
29,1
27,5
26,5
26,3
650
75
105
75
25,2
24,5
23,9
23,5
23,3
627
75
45
150
33,4
31,5
29,9
28,8
28,6
651
75
105
90
24,2
23,8
23,4
23,2
23,1
628
75
45
165
35,2
33,9
32,6
31,7
31,5
652
75
105
105
24,2
24,0
23,8
23,6
23,5
629
75
60
75
24,1
23,7
23,5
23,3
23,3
653
75
105
120
25,6
25,3
25,0
24,8
24,6
630
75
60
90
24,6
24,0
23,5
23,2
23,1
654
75
105
135
27,6
27,2
26,8
26,5
26,4
631
75
60
105
25,5
24,7
24,1
23,7
23,6
655
75
105
150
30,0
29,5
29,1
28,8
28,8
632
75
60
120
26,7
25,8
25,2
24,8
24,6
656
75
105
165
32,6
32,1
31,7
31,6
31,7
633
75
60
135
28,4
27,5
26,8
26,4
26,3
657
75
120
75
27,0
25,9
24,6
23,7
23,4
634
75
60
150
30,6
29,7
29,0
28,6
28,6
658
75
120
90
26,0
25,0
24,0
23,4
23,1
635
75
60
165
32,8
32,1
31,6
31,4
31,5
659
75
120
105
25,3
24,7
24,1
23,7
23,6
636
75
75
75
23,3
23,3
23,3
23,3
23,3
660
75
120
120
25,7
25,4
25,1
24,8
24,7
637
75
75
90
23,4
23,3
23,2
23,1
23,1
661
75
120
135
27,6
27,3
26,9
26,6
26,4
638
75
75
105
24,4
24,1
23,9
23,7
23,5
662
75
120
150
30,5
30,0
29,5
29,1
28,9
639
75
75
120
25,6
25,3
25,0
24,8
24,6
663
75
120
165
33,6
33,0
32,3
31,9
31,8
640
75
75
135
27,2
26,8
26,5
26,4
26,3
664
75
135
75
29,3
27,5
25,6
24,1
23,4
641
75
75
150
29,2
28,9
28,6
28,6
28,6
665
75
135
90
28,2
26,6
24,9
23,7
23,1
642
75
75
165
31,4
31,2
31,2
31,3
31,6
666
75
135
105
27,5
26,1
24,8
23,9
23,6
643
75
90
75
23,8
23,6
23,4
23,3
23,3
667
75
135
120
27,0
26,1
25,4
24,9
24,7
644
75
90
90
23,3
23,2
23,2
23,1
23,0
668
75
135
135
27,7
27,3
27,0
26,7
26,4
645
75
90
105
24,1
24,0
23,8
23,6
23,5
669
75
135
150
30,3
30,0
29,6
29,2
28,9
646
75
90
120
25,6
25,3
25,0
24,8
24,6
670
75
135
165
34,1
33,4
32,7
32,2
31,9
647
75
90
135
27,3
27,0
26,6
26,4
26,3
671
75
150
75
32,0
29,4
26,5
24,3
23,4
648
75
90
150
29,3
29,0
28,8
28,6
28,7
672
75
150
90
30,8
28,5
25,9
23,9
23,2
79
kombinace odklonů [°]
poměr tloušťek vrstev [mm]
vnější x středová x vnitřní
vnější x středová x vnitřní 7_19_7
9_15_9
11_11_11
13_7_13
15_3_15
první vlastní frekvence [Hz]
číslo odklonu
číslo odklonu
Příloha č. 18: Hodnoty prvních vlastních frekvencí v závislosti na odklonu vláken a poměru tloušťek vrstev kombinace odklonů [°]
poměr tloušťek vrstev [mm]
vnější x středová x vnitřní
vnější x středová x vnitřní 7_19_7
9_15_9
11_11_11
13_7_13
15_3_15
první vlastní frekvence [Hz]
673
75
150
105
30,2
28,0
25,7
24,2
23,6
697
90
30
90
29,0
26,9
24,8
23,3
22,7
674
75
150
120
29,7
27,8
26,1
25,0
24,7
698
90
30
105
30,0
27,7
25,3
23,6
22,9
675
75
150
135
29,4
28,3
27,3
26,7
26,4
699
90
30
120
31,7
29,0
26,3
24,4
23,7
676
75
150
150
30,4
30,0
29,6
29,2
28,9
700
90
30
135
34,0
30,9
27,9
25,8
25,1
677
75
150
165
33,6
33,1
32,6
32,2
31,9
701
90
30
150
36,6
33,3
30,0
27,9
27,2
678
75
165
75
35,0
31,1
27,1
24,5
23,4
702
90
30
165
37,9
36,0
32,6
30,6
30,0
679
75
165
90
33,7
30,4
26,6
24,1
23,2
703
90
45
90
26,8
25,3
24,0
23,0
22,7
680
75
165
105
33,2
30,0
26,6
24,4
23,6
704
90
45
105
27,6
25,9
24,4
23,3
22,9
681
75
165
120
33,0
30,0
27,1
25,3
24,6
705
90
45
120
29,0
27,1
25,3
24,1
23,7
682
75
165
135
32,7
30,3
28,1
26,8
26,4
706
90
45
135
31,0
28,9
26,9
25,5
25,1
683
75
165
150
32,5
31,1
30,0
29,2
28,9
707
90
45
150
33,6
31,3
29,0
27,6
27,2
684
75
165
165
33,3
32,9
32,5
32,1
31,9
708
90
45
165
35,7
33,9
31,8
30,3
29,9
685
90
0
90
34,6
30,6
26,4
23,8
22,8
709
90
60
90
24,9
24,0
23,2
22,8
22,6
686
90
0
105
34,9
30,7
26,5
23,9
22,9
710
90
60
105
25,6
24,6
23,7
23,1
22,9
687
90
0
120
35,1
31,0
27,0
24,6
23,7
711
90
60
120
26,8
25,6
24,5
23,9
23,7
688
90
0
135
35,2
31,4
28,0
25,9
25,2
712
90
60
135
28,4
27,1
25,9
25,2
25,1
689
90
0
150
34,9
32,0
29,5
27,9
27,4
713
90
60
150
30,7
29,2
28,0
27,2
27,1
690
90
0
165
34,1
32,7
31,5
30,6
30,2
714
90
60
165
33,2
31,9
30,6
29,8
29,8
691
90
15
90
31,8
28,9
25,8
23,6
22,7
715
90
75
90
23,3
23,0
22,8
22,7
22,6
692
90
15
105
32,9
29,7
26,2
23,8
22,9
716
90
75
105
24,1
23,6
23,2
22,9
22,8
693
90
15
120
34,8
30,9
27,1
24,6
23,7
717
90
75
120
25,2
24,6
24,1
23,8
23,7
694
90
15
135
37,3
32,4
28,4
25,9
25,2
718
90
75
135
26,6
25,9
25,4
25,1
25,1
695
90
15
150
38,7
34,0
30,1
28,0
27,3
719
90
75
150
28,5
27,8
27,3
27,0
27,1
696
90
15
165
37,4
34,9
32,3
30,6
30,1
720
90
75
165
30,9
30,2
29,7
29,6
29,7
80
kombinace odklonů [°]
poměr tloušťek vrstev [mm]
vnější x středová x vnitřní
vnější x středová x vnitřní 7_19_7
9_15_9
11_11_11
13_7_13
15_3_15
první vlastní frekvence [Hz]
číslo odklonu
číslo odklonu
Příloha č. 19: Hodnoty prvních vlastních frekvencí v závislosti na odklonu vláken a poměru tloušťek vrstev kombinace odklonů [°]
poměr tloušťek vrstev [mm]
vnější x středová x vnitřní
vnější x středová x vnitřní 7_19_7
9_15_9
11_11_11
13_7_13
15_3_15
první vlastní frekvence [Hz]
721
90
90
90
22,6
22,6
22,6
22,6
22,6
745
90
150
90
29,8
27,6
25,2
23,4
22,7
722
90
90
105
23,1
23,0
22,9
22,9
22,8
746
90
150
105
29,1
27,1
25,0
23,5
22,9
723
90
90
120
24,4
24,1
23,9
23,7
23,7
747
90
150
120
28,6
26,8
25,2
24,2
23,8
724
90
90
135
25,9
25,6
25,3
25,1
25,1
748
90
150
135
28,3
27,2
26,2
25,6
25,3
725
90
90
150
27,7
27,4
27,2
27,1
27,2
749
90
150
150
29,2
28,7
28,3
27,8
27,5
726
90
90
165
29,8
29,6
29,5
29,6
29,8
750
90
150
165
32,2
31,7
31,2
30,7
30,3
727
90
105
90
23,3
23,0
22,8
22,7
22,6
751
90
165
90
32,5
29,5
26,1
23,7
22,8
728
90
105
105
23,2
23,1
22,9
22,9
22,8
752
90
165
105
32,0
29,1
25,9
23,8
22,9
729
90
105
120
24,3
24,2
24,0
23,8
23,7
753
90
165
120
31,7
29,0
26,2
24,4
23,7
730
90
105
135
26,1
25,8
25,5
25,3
25,1
754
90
165
135
31,4
29,1
27,0
25,7
25,2
731
90
105
150
28,2
27,8
27,5
27,3
27,2
755
90
165
150
31,2
29,8
28,6
27,8
27,5
732
90
105
165
30,5
30,1
29,9
29,8
29,9
756
90
165
165
32,0
31,6
31,1
30,6
30,3
733
90
120
90
25,0
24,1
23,4
22,8
22,6
757
105
0
105
34,6
30,6
26,5
23,9
22,9
734
90
120
105
24,3
23,8
23,3
23,0
22,8
758
105
0
120
34,7
30,7
26,8
24,4
23,4
735
90
120
120
24,6
24,3
24,1
23,9
23,7
759
105
0
135
34,7
30,9
27,5
25,4
24,7
736
90
120
135
26,4
26,1
25,7
25,4
25,2
760
105
0
150
34,4
31,4
28,8
27,3
26,7
737
90
120
150
28,9
28,5
28,0
27,6
27,4
761
105
0
165
33,9
32,3
30,9
30,0
29,5
738
90
120
165
31,7
31,1
30,6
30,2
30,1
762
105
15
105
34,0
30,3
26,4
23,9
22,9
739
90
135
90
27,3
25,7
24,2
23,1
22,7
763
105
15
120
35,9
31,3
27,1
24,4
23,4
740
90
135
105
26,5
25,2
24,0
23,2
22,9
764
105
15
135
37,8
32,4
28,1
25,6
24,7
741
90
135
120
26,0
25,2
24,4
24,0
23,7
765
105
15
150
38,4
33,5
29,6
27,4
26,6
742
90
135
135
26,6
26,2
25,8
25,5
25,3
766
105
15
165
37,7
34,6
31,7
30,0
29,4
743
90
135
150
29,1
28,7
28,2
27,8
27,5
767
105
30
105
30,9
28,3
25,6
23,7
22,9
744
90
135
165
32,5
31,8
31,1
30,5
30,2
768
105
30
120
32,5
29,5
26,5
24,3
23,4
81
kombinace odklonů [°]
poměr tloušťek vrstev [mm]
vnější x středová x vnitřní
vnější x středová x vnitřní 7_19_7
9_15_9
11_11_11
13_7_13
15_3_15
první vlastní frekvence [Hz]
číslo odklonu
číslo odklonu
Příloha č. 20: Hodnoty prvních vlastních frekvencí v závislosti na odklonu vláken a poměru tloušťek vrstev kombinace odklonů [°]
poměr tloušťek vrstev [mm]
vnější x středová x vnitřní
vnější x středová x vnitřní 7_19_7
9_15_9
11_11_11
13_7_13
15_3_15
první vlastní frekvence [Hz]
769
105
30
135
34,8
31,3
27,8
25,5
24,6
793
105
105
120
23,6
23,5
23,4
23,3
23,3
770
105
30
150
37,4
33,4
29,7
27,3
26,6
794
105
105
135
25,2
25,0
24,7
24,6
24,5
771
105
30
165
39,4
35,9
32,1
30,0
29,3
795
105
105
150
27,1
26,8
26,6
26,4
26,5
772
105
45
105
28,3
26,5
24,7
23,4
22,8
796
105
105
165
29,3
29,0
28,9
28,9
29,0
773
105
45
120
29,6
27,6
25,5
24,0
23,4
797
105
120
105
23,6
23,2
23,0
22,8
22,7
774
105
45
135
31,5
29,2
26,9
25,2
24,6
798
105
120
120
23,8
23,6
23,5
23,4
23,3
775
105
45
150
34,1
31,5
28,9
27,1
26,5
799
105
120
135
25,3
25,1
24,9
24,7
24,6
776
105
45
165
36,7
34,3
31,6
29,7
29,2
800
105
120
150
27,6
27,3
27,0
26,7
26,6
777
105
60
105
26,3
25,0
23,9
23,1
22,8
801
105
120
165
30,2
29,8
29,4
29,2
29,2
778
105
60
120
27,4
26,0
24,6
23,7
23,4
802
105
135
105
25,8
24,6
23,6
23,0
22,8
779
105
60
135
29,0
27,4
25,9
24,9
24,6
803
105
135
120
25,3
24,5
23,9
23,5
23,3
780
105
60
150
31,2
29,5
27,8
26,7
26,5
804
105
135
135
25,8
25,5
25,1
24,8
24,6
781
105
60
165
33,9
32,2
30,5
29,3
29,1
805
105
135
150
28,2
27,8
27,4
27,0
26,7
782
105
75
105
24,7
23,9
23,3
22,9
22,8
806
105
135
165
31,4
30,8
30,2
29,7
29,4
783
105
75
120
25,7
24,8
24,0
23,5
23,3
807
105
150
105
28,5
26,5
24,6
23,3
22,8
784
105
75
135
27,1
26,1
25,2
24,7
24,5
808
105
150
120
28,0
26,3
24,7
23,8
23,4
785
105
75
150
29,0
27,9
27,0
26,5
26,4
809
105
150
135
27,6
26,5
25,6
25,0
24,7
786
105
75
165
31,5
30,4
29,4
28,9
29,0
810
105
150
150
28,5
28,0
27,5
27,1
26,8
787
105
90
105
23,3
23,1
22,9
22,8
22,7
811
105
150
165
31,6
31,1
30,5
30,0
29,5
788
105
90
120
24,4
23,9
23,6
23,4
23,3
812
105
165
105
31,5
28,7
25,7
23,7
22,9
789
105
90
135
25,8
25,2
24,8
24,6
24,5
813
105
165
120
31,2
28,5
25,8
24,1
23,4
790
105
90
150
27,5
27,0
26,5
26,4
26,4
814
105
165
135
30,9
28,5
26,5
25,2
24,7
791
105
90
165
29,8
29,2
28,8
28,8
29,0
815
105
165
150
30,6
29,2
28,0
27,2
26,8
792
105
105
105
22,7
22,7
22,7
22,7
22,7
816
105
165
165
31,7
31,1
30,5
30,0
29,6
82
kombinace odklonů [°]
poměr tloušťek vrstev [mm]
vnější x středová x vnitřní
vnější x středová x vnitřní 7_19_7
9_15_9
11_11_11
13_7_13
15_3_15
první vlastní frekvence [Hz]
číslo odklonu
číslo odklonu
Příloha č. 21: Hodnoty prvních vlastních frekvencí v závislosti na odklonu vláken a poměru tloušťek vrstev kombinace odklonů [°]
poměr tloušťek vrstev [mm]
vnější x středová x vnitřní
vnější x středová x vnitřní 7_19_7
9_15_9
11_11_11
13_7_13
15_3_15
první vlastní frekvence [Hz]
817
120
0
120
34,8
30,7
27,0
24,6
23,7
841
120
90
120
25,3
24,6
24,1
23,7
23,6
818
120
0
135
34,7
30,8
27,5
25,4
24,6
842
120
90
135
26,6
25,8
25,1
24,7
24,5
819
120
0
150
34,4
31,3
28,6
27,1
26,5
843
120
90
150
28,3
27,4
26,7
26,3
26,2
820
120
0
165
34,2
32,4
30,8
29,8
29,3
844
120
90
165
30,6
29,7
29,0
28,7
28,8
821
120
15
120
37,4
31,9
27,5
24,8
23,7
845
120
105
120
24,0
23,9
23,7
23,6
23,6
822
120
15
135
38,3
32,7
28,3
25,6
24,6
846
120
105
135
25,4
25,1
24,7
24,6
24,5
823
120
15
150
38,7
33,6
29,6
27,3
26,4
847
120
105
150
27,3
26,8
26,4
26,2
26,2
824
120
15
165
38,5
34,8
31,7
29,9
29,2
848
120
105
165
29,6
29,1
28,7
28,6
28,8
825
120
30
120
34,1
30,6
27,1
24,7
23,7
849
120
120
120
23,5
23,5
23,5
23,5
23,5
826
120
30
135
36,2
32,1
28,2
25,6
24,6
850
120
120
135
24,8
24,7
24,6
24,5
24,5
827
120
30
150
38,6
34,0
29,9
27,3
26,4
851
120
120
150
26,9
26,7
26,4
26,3
26,2
828
120
30
165
41,0
36,1
32,2
29,9
29,1
852
120
120
165
29,4
29,1
28,9
28,8
28,9
829
120
45
120
30,8
28,5
26,2
24,5
23,7
853
120
135
120
24,7
24,2
23,8
23,6
23,5
830
120
45
135
32,7
30,1
27,4
25,4
24,6
854
120
135
135
25,1
24,9
24,7
24,6
24,5
831
120
45
150
35,2
32,2
29,2
27,1
26,4
855
120
135
150
27,3
27,1
26,8
26,5
26,3
832
120
45
165
38,0
34,9
31,8
29,7
29,0
856
120
135
165
30,3
30,0
29,5
29,2
29,0
833
120
60
120
28,4
26,8
25,3
24,2
23,7
857
120
150
120
27,4
25,9
24,6
23,9
23,6
834
120
60
135
29,9
28,1
26,4
25,1
24,6
858
120
150
135
27,0
26,0
25,2
24,8
24,5
835
120
60
150
32,1
30,1
28,2
26,8
26,3
859
120
150
150
28,0
27,5
27,1
26,7
26,4
836
120
60
165
34,9
32,8
30,8
29,3
28,9
860
120
150
165
31,1
30,7
30,1
29,6
29,2
837
120
75
120
26,6
25,5
24,6
23,9
23,6
861
120
165
120
30,9
28,3
25,8
24,2
23,6
838
120
75
135
27,9
26,7
25,6
24,9
24,5
862
120
165
135
30,5
28,2
26,3
25,1
24,6
839
120
75
150
29,8
28,5
27,3
26,5
26,3
863
120
165
150
30,3
28,8
27,6
26,9
26,5
840
120
75
165
32,4
31,0
29,7
29,0
28,9
864
120
165
165
31,6
31,0
30,3
29,8
29,3
83
kombinace odklonů [°]
poměr tloušťek vrstev [mm]
vnější x středová x vnitřní
vnější x středová x vnitřní 7_19_7
9_15_9
11_11_11
13_7_13
15_3_15
první vlastní frekvence [Hz]
číslo odklonu
číslo odklonu
Příloha č. 22: Hodnoty prvních vlastních frekvencí v závislosti na odklonu vláken a poměru tloušťek vrstev kombinace odklonů [°]
poměr tloušťek vrstev [mm]
vnější x středová x vnitřní
vnější x středová x vnitřní 7_19_7
9_15_9
11_11_11
13_7_13
15_3_15
první vlastní frekvence [Hz]
865
135
0
135
34,7
30,9
27,8
25,9
25,1
889
135
120
135
25,5
25,3
25,2
25,1
25,0
866
135
0
150
34,4
31,1
28,6
27,1
26,6
890
135
120
150
27,4
27,0
26,7
26,5
26,4
867
135
0
165
34,3
32,3
30,7
29,7
29,2
891
135
120
165
29,9
29,4
29,0
28,8
28,9
868
135
15
135
38,7
33,2
28,8
26,2
25,2
892
135
135
135
25,0
25,0
25,0
25,0
25,0
869
135
15
150
39,0
33,9
29,9
27,5
26,6
893
135
135
150
26,7
26,7
26,6
26,5
26,4
870
135
15
165
39,0
34,9
31,7
29,9
29,2
894
135
135
165
29,7
29,4
29,2
29,0
28,9
871
135
30
135
38,1
33,3
29,1
26,3
25,2
895
135
150
135
26,5
25,9
25,4
25,1
25,0
872
135
30
150
40,0
34,8
30,4
27,7
26,6
896
135
150
150
27,2
27,0
26,7
26,6
26,5
873
135
30
165
41,7
36,5
32,4
30,0
29,2
897
135
150
165
30,3
30,0
29,7
29,3
29,0
874
135
45
135
34,5
31,4
28,4
26,2
25,2
898
135
165
135
30,1
28,0
26,4
25,4
25,1
875
135
45
150
36,9
33,3
29,9
27,6
26,6
899
135
165
150
29,8
28,5
27,4
26,8
26,5
876
135
45
165
39,5
35,7
32,2
29,9
29,1
900
135
165
165
31,3
30,7
30,0
29,5
29,2
877
135
60
135
31,3
29,3
27,4
25,9
25,2
901
150
0
150
33,9
31,1
29,0
27,8
27,3
878
135
60
150
33,4
31,1
28,9
27,3
26,6
902
150
0
165
33,6
31,8
30,4
29,6
29,3
879
135
60
165
36,0
33,6
31,2
29,6
29,0
903
150
15
150
39,0
34,2
30,4
28,2
27,4
880
135
75
135
29,2
27,8
26,5
25,6
25,2
904
150
15
165
38,7
34,8
31,7
30,0
29,3
881
135
75
150
30,9
29,4
28,0
27,0
26,5
905
150
30
150
41,1
35,7
31,3
28,5
27,4
882
135
75
165
33,3
31,7
30,3
29,3
29,0
906
150
30
165
41,9
36,8
32,7
30,3
29,4
883
135
90
135
27,8
26,8
26,0
25,4
25,1
907
150
45
150
38,8
34,8
31,0
28,5
27,5
884
135
90
150
29,4
28,4
27,4
26,8
26,5
908
150
45
165
40,8
36,5
32,8
30,3
29,4
885
135
90
165
31,6
30,5
29,6
29,0
28,9
909
150
60
150
35,2
32,6
30,1
28,3
27,5
886
135
105
135
26,7
26,1
25,5
25,2
25,1
910
150
60
165
37,3
34,6
32,0
30,1
29,3
887
135
105
150
28,4
27,7
27,0
26,6
26,5
911
150
75
150
32,4
30,8
29,2
28,0
27,4
888
135
105
165
30,6
29,8
29,2
28,9
28,9
912
150
75
165
34,4
32,7
31,0
29,8
29,3
84
číslo odklonu
Příloha č. 23: Hodnoty prvních vlastních frekvencí v závislosti na odklonu vláken a poměru tloušťek vrstev kombinace odklonů [°]
poměr tloušťek vrstev [mm]
vnější x středová x vnitřní
vnější x středová x vnitřní 7_19_7
9_15_9
11_11_11
13_7_13
15_3_15
první vlastní frekvence [Hz]
913
150
914 915
90
150
30,9
29,7
28,6
27,8
27,4
150
90
165
32,7
31,5
30,4
29,6
29,3
150
105
150
30,0
29,1
28,2
27,6
27,3
916
150
105
165
32,0
31,0
30,0
29,5
29,2
917
150
120
150
29,1
28,4
27,8
27,5
27,3
918
150
120
165
31,5
30,6
29,8
29,4
29,2
919
150
135
150
27,8
27,6
27,4
27,3
27,2
920
150
135
165
30,5
30,0
29,5
29,2
29,1
921
150
150
150
27,2
27,2
27,2
27,2
27,2
922
150
150
165
29,6
29,5
29,3
29,2
29,1
923
150
165
150
29,3
28,4
27,7
27,4
27,2
924
150
165
165
30,3
29,9
29,6
29,4
29,2
925
165
0
165
32,7
31,5
30,7
30,3
30,1
926
165
15
165
37,8
34,5
32,1
30,7
30,2
927
165
30
165
41,7
37,1
33,4
31,1
30,3
928
165
45
165
41,5
37,4
33,7
31,3
30,3
929
165
60
165
38,6
35,8
33,1
31,2
30,3
930
165
75
165
35,6
33,9
32,2
30,9
30,3
931
165
90
165
34,0
32,8
31,6
30,7
30,3
932
165
105
165
33,7
32,5
31,4
30,6
30,3
933
165
120
165
33,7
32,5
31,4
30,6
30,2
934
165
135
165
32,9
31,9
31,0
30,4
30,2
935
165
150
165
31,1
30,7
30,4
30,2
30,1
936
165
165
165
30,1
30,1
30,1
30,1
30,1
85
Příloha č. 24: Dávkový soubor APDL DESKA=1 !0=překližovaná 1=masivní OTVOR=1 !s otvorem 1=ano 0=ne UKOT=0 !ukotvení po obvodu 1=ano 0=ne MAT=0 !materiál 0=smrk 1=zerav TL_VRST_1=.0011 !tloušťka 1. vrstvy prekližky [m] TL_VRST_2=.0011 !tloušťka 2. vrstvy prekližky [m] TL_VRST_3=.0011 !tloušťka 3. vrstvy prekližky [m] TL= TL_VRST_1+TL_VRST_2+TL_VRST_3 !celková tloušťka prekližky [m] PR_OTVOR=.049 !prumer otvoru [m] E_SIZE=TL*3 !velikost sítě [m] ODKLON_EX=0 !odklon vnější vrstvy [°] ODKLON_MED=90 !odklon střední vrstvy [°] ODKLON_IN=0 !odklon vnitřní vrstvy [°] FQ_MIN=10 !dolní hranice zjišťovaných frekv. FQ_MAX=1000 !horní hranice zjišťovaných frekv. POC_MODU=6 !počet získaných módů ALFA_X=5 !odklon osy prirezu od bocni hrany desky [°] ! *IF,MAT,EQ,0,THEN MOE_L=13650e6 !modul pružnosti v podélném směru [Pa] MOE_R=789e6 !modul pružnosti v radiálním směru [Pa] MOE_T=289e6 !modul pružnosti v tangenciálním směru [Pa] U_LR=.023 !poissonova konstanta [-] U_LT=.014 !poissonova konstanta [-] U_RT=.687 !poissonova konstanta [-] G_lr=573e6 !smyk. modul pružnosti v radiální rovině [Pa] G_lt=474e6 !smyk. modul pružnosti v tangenc. rovině [Pa] G_rt=53e6 !smyk. modul pružnosti v příčné rovině [Pa] RO=445 !hustota [kg/m3] *ENDIF ! *IF,MAT,EQ,1,THEN MOE_L=7700e6 !modul pružnosti v podélném směru [Pa] MOE_R=624e6 !modul pružnosti v radiálním směru [Pa] MOE_T=424e6 !modul pružnosti v tangenciálním směru [Pa] U_LR=.378 !poissonova konstanta [-] U_LT=.296 !poissonova konstanta [-] U_RT=.484 !poissonova konstanta [-] G_lr=670e6 !smyk. modul pružnosti v radiální rovině [Pa] G_lt=662e6 !smyk. modul pružnosti v tangenc. rovině [Pa] G_rt=39e6 !smyk. modul pružnosti v příčné rovině [Pa] RO=320 !hustota [kg/m3] *ENDIF ! !-------------------------------------------------------------------------! /PREP7 ! K,1,0,0,0 K,2,0.00192,0.0451,0 K,3,0.00969,0.0916,0 K,4,0.01931,0.11825,0 K,5,0.03455,0.14343,0 K,6,0.06147,0.16739,0 K,7,0.14738,0.18987,0 K,8,0.22727,0.16739,0 !vytvořit obrysové body K,9,0.26513,0.14343,0 K,10,0.32307,0.11825,0 K,11,0.41624,0.14343,0 K,12,0.46926,0.11825,0 K,13,0.4838,0.0916,0 K,14,0.49105,0.0451,0 K,15,0.49175,0.005,0 K,16,0.49175,0,0 ! KSEL,ALL
86
BSPLIN,ALL !vytvořit splinu LSTR,1,16 !vytvořit spojnici bodů AL,1,2 !vytvořit půl-plochu ARSYM,Y,1 !zrcadlit půl-plochu *IF,DESKA,EQ,0,THEN AADD,1,2 !spojit půl-plochy VOFFST,3,-tl !vytažení plochy do objemu ! *IF,OTVOR,EQ,1,THEN CYL4,0.34275,0,PR_OTVOR, , , ,TL VSBV,1,2 *ENDIF *ENDIF ! *IF,DESKA,EQ,1,THEN VOFFST,1,TL VOFFST,2,TL VGLUE,ALL ! *if,otvor,eq,1,then CYL4,0.34275,0,PR_OTVOR, , , ,-TL ! FLST,2,2,6,ORDE,2 FITEM,2,1 FITEM,2,3 VSBV,P51X, 2 *ENDIF *ENDIF ! !-------------------------------------------------------------------------! MPTEMP,1,0 MPDATA,EX,1,,MOE_L !nastavení modulu pružnosti MPDATA,EY,1,,MOE_R !nastavení modulu pružnosti MPDATA,EZ,1,,MOE_T !nastavení modulu pružnosti MPDATA,PRXY,1,,u_LR !nastavení poissonovy konstanty MPDATA,PRYZ,1,,u_RT !nastavení poissonovy konstanty MPDATA,PRXZ,1,,u_LT !nastavení poissonovy konstanty MPDATA,GXY,1,,G_LR !nastavení smykového modulu pružnosti MPDATA,GYZ,1,,G_LT !nastavení smykového modulu pružnosti MPDATA,GXZ,1,,G_RT !nastavení smykového modulu pružnosti MPDATA,DENS,1,,RO !nastavení hustoty materiálu ! ET,1,SOLID186 ! ESIZE,E_SIZE !nastavení velikosti sítě ! ! *IF,DESKA,EQ,0,THEN KEYOPT,1,3,1 !vrstvený solid ! VSWEEP,ALL !meshing - hexahedral ! SECT,1,SHELL,, SECDATA,TL_VRST_1,1,ODKLON_EX,3 !parametry vrstvy vnější SECDATA,TL_VRST_2,1,ODKLON_MED,3 !parametry vrstvy středové SECDATA,TL_VRST_3,1,ODKLON_IN,3 !parametry vrstvy vnitřní SECOFFSET,MID SECCONTROL,,,,,,, ! *IF,UKOT,EQ,1,THEN !obvodové vetknutí ASEL,S,AREA,,2 DA,ALL,ALL,0 ASEL,S,AREA,,4 DA,ALL,ALL,0 *ENDIF *ENDIF ! ! !
87
*IF,DESKA,EQ,1,THEN !tvorba local CS pro náklon esy ET,1,SOLID186 TYPE,1 !nastav zvoleny typ elementu CSYS,4 !změň aktivní CS na WP WPRO,ALFA_X,, !naklon WP CSWPLA,11,0,1,1, !tvorba lokální CS ve WP CSYS,0 ! CSYS,4 !změň aktivní CS na WP WPRO,-ALFA_X,, !náklon WP cswpla,12,0,1,1, !tvorba lokální CS ve WP CSYS,0 ! VSEL,S,LOC,Y,-1,0 ESYS,11 !nastav lokální CS ! VSEL,S,VOLU, ,4 VSWEEP,ALL !meshing - hexahedral ! ! VSEL,S,LOC,Y,0,1 ESYS,12 !nastav lokální CS ! VSEL,S,VOLU, ,5 VSWEEP,ALL !meshing - hexahedral ! ! *IF,UKOT,EQ,1,THEN !obvodové vetknutí ASEL,S,AREA,,11 DA,ALL,ALL,0 ASEL,S,AREA,,4 DA,ALL,ALL,0 *ENDIF *ENDIF ! !-------------------------------------------------------------------------! /SOL ! ANTYPE,2 !modální analýza MODOPT,LANB,POC_MODU,FQ_MIN,FQ_MAX,,OFF !definování analýzy EQSLV,SPAR !volba solveru MXPAND,POC_MODU,,,1 !volba počtu tvarů k extrakci LUMP,OFF !volba definice hmotové matice PSTRES,OFF !započtení efektu predpětí ! ALLSEL,ALL ! *IF,DESKA,EQ,0,THEN *IF,MAT,EQ,0,THEN /OUTPUT,sol_rdp_smrk.txt !přesměřování výstupu do souboru *ENDIF ! *IF,MAT,EQ,1,THEN /OUTPUT,sol_rdp_zerav.txt !přesměřování výstupu do souboru *ENDIF *ENDIF ! *IF,DESKA,EQ,1,THEN *IF,MAT,EQ,0,THEN /OUTPUT,sol_rdm_smrk.txt !přesměřování výstupu do souboru *ENDIF ! *IF,MAT,EQ,1,THEN /OUTPUT,sol_rdm_zerav.txt !přesměřování výstupu do souboru *ENDIF *ENDIF ! SOLVE !spuštění řešení !
88
/OUTPUT,TERM !přesměřování výstupu zpět ! !-------------------------------------------------------------------------! /POST1 ! *DO,K,1,POC_MODU ! SET,,%K% !nastavení setu PLNSOL,U,Z,0,1.0 !DOF solution /VIEW,1,,,1 !přední pohled /REP,FAST !překreslit ! /SHOW,PNG,,0 !uložení obrázku PNGR,COMP,1,-1 !nastavení uloženi PNGR,ORIENT,HORIZ PNGR,COLOR,2 PNGR,TMOD,1 ! /GFILE,1800 !nastavení rozlišení /CMAP,_tempcmap_,CMP,,SAVE !uložení barevné mapy /RGB,INDEX,100,100,100,0 /RGB,INDEX,0,0,0,15 /REPLOT /CMAP,_tempcmap_,CMP /DELETE,_tempcmap_,CMP !výmaz barevné mapy /SHOW,CLOSE !ukončení monitoru /DEVICE,VECTOR,0 !nastavení typu grafiky ! *IF,DESKA,EQ,0,THEN *IF,MAT,EQ,0,THEN /RENAME,file000,png,,rdp_smrk_mod%K%_front,png *ENDIF ! *IF,MAT,EQ,1,THEN /RENAME,file000,png,,rdp_zerav_mod%K%_front,png *ENDIF *ENDIF ! ! *IF,DESKA,EQ,1,THEN *IF,MAT,EQ,0,THEN /RENAME,file000,png,,rdm_smrk_mod%K%_front,png *ENDIF ! *IF,MAT,EQ,1,THEN /RENAME,file000,png,,rdm_zerav_mod%K%_front,png *ENDIF *ENDIF *ENDDO
89
