Hővezetés: 1. síkvezetés dx vastagságú réteg energiamérlege
E& = I ( x) − I ( x + dx) = A ⋅ j ( x) − A ⋅ j ( x + dx) = − A ⋅ ( j ( x + dx) − A ⋅ j ( x)) Feltételezve, hogy csak a közeg belsőenergiája változik
dT & = dV ⋅ ρ ⋅ c ⋅ T& = A ⋅ dx ⋅ ρ ⋅ c ⋅ T& E = dm ⋅ c v dt A két egyenletből rendezés után:
j ( x + dx ) − j ( x ) & ρ ⋅ c ⋅T = − = − j ′( x ) dx A Fourier alapján a hővezetés differenciál-egyenlete:
j ( x ) = − λ ⋅ T ′( x ) Homogén közegnél:
ρ ⋅ c ⋅ T& = (λ ⋅ T ′)′ ρ ⋅ c ⋅ T& = λ ⋅ T ′′
A hőmérsékletvezetési együttható (thermal diffusivity) definiálásával a diff.egyenlet:
λ a := ρ ⋅c
T& = a ⋅ T ′′
m2 [ ] s
Diffuzivitás és effuzivitás hőmérsékletvezetési együttható (thermal diffusivity): homogén közegben a hő terjedését írja le.
λ a := ρ ⋅c
m2 [ ] s
T& = a ⋅ T ′′
effuzivitás (thermal effusivity): 2 szilárd közeg határfelületén kialakuló hőmérsékletet írja le.
b := λ ⋅ ρ ⋅ c
b1 ⋅ T1 + b2 ⋅ T2 Th = b1 + b2
W s [ 2 ] m K
közeg
diffusivity
effusivity
kőzetgyapot
3·10-6
22
homokkő
3·10-6
3005
aszfalt
6,5·10-8
785
gipsz
1·10-6
785
Mennyire érzünk melegnek vagy hidegnek egy felületet?
Homogén, stacionárius esetben a hőmérséklet-eloszlás lineáris.
T& = a ⋅ T ′′
T ′′ = 0
T ′ = áll .
Az áramsűrűség állandó, a Fourier-egyenlet egyszerűsödik: stac à j áll. hom à λ áll. è T’ áll.
j = −λ ⋅
dT dx
∆T j = −λ ⋅ ∆x
Többrétegű falban a hőmérséklet-eloszlás a falakon belül lineáris. A rétegekre felírva a Fourier-t, mivel az áramsűrűség állandó, • vezető közegben (λ nagy) a meredekség nagyobb • szigetelő közegben (λ kicsi) a meredekség kisebb
T2 − T1 j = −λ1 ⋅ d1 j = −λ 2 ⋅
T3 − T2 d2
T4 − T3 j = −λ 3 ⋅ d3
3 ismeretlen (j,T2,T3), 3 egyenlet j számolása átrendezéssel, egyenletek összeadásával
T2 − T1 d1
j⋅
d1 = −(T2 − T1 ) λ1
T3 − T2 j = −λ 2 ⋅ d2
j⋅
d2 = −(T3 − T2 ) λ2
j = −λ1 ⋅
j = −λ 3 ⋅
T4 − T3 d3
d3 j⋅ = −(T4 − T3 ) λ3
d1 d 2 d 3 j⋅( + + ) = −(T4 − T1 ) λ1 λ 2 λ3 Mint az Ohm-törvény ( I * R = U ): sorba kapcsolt rétegek hőellenállása összeadódik. Hőátbocsátási tényező: a hőellenállás reciproka, mértékegysége W/m2K
dn 1 d1 d 2 = + + ... + k λ1 λ 2 λn
j = − k ⋅ ∆T
Hőátviteli ellenállás:
1 R= kA
I = − kA ⋅ ∆T
à
∆T = I ⋅ R
Hőátadás: Folyadék és légnemű közeg nem tökéletesen veszi át a hőt. A hőmérsékletugrást szintén lineárisan közelítjük. Hőátadási tényező: α, mértékegysége W/m2K
j = −α ⋅ ∆T • légnemű közeg hőátadása kisebb, a hőmérséklet-ugrás nagyobb • légmozgás esetén jobb a hőátadás (hegytetőre épített ház szigetelése rosszabb) • folyadék (víz) hőátadása nagyságrendekkel nagyobb, a hőmérséklet-ugrás kisebb A hőellenállás (hőátbocsátás reciproka) számítása:
di 1 1 =∑ +∑ k λi αi
j = − k ⋅ ∆T
Kazán füstoldali hőmérséklete állandó fűtőteljesítménynél
Ellenállás (R) és kapacitív (C) elemek elektronikai analógiája Q
hő
Ohm:
töltés
∆T =
Ellenállás: R =
∆x ⋅I λA
∆x 1 = λA kA
U = R⋅I R=
l σA
Kapacitás:
Q = C ⋅ ∆T
Q = C ⋅U
deriválva:
I & T= C
I & U= C
Soros kapcsolásnál (többrétegű fal): a hő-ellenállások adódnak össze Párhuzamosnál (falak,tető,ablak): az áramok adódnak össze
chip tokozásának hőtani modellje
Gyakorlatban: Fűtés méretezése
A. Becsléssel: 20 m2 számítása (V = 20m2 * 3m = 60m3) 20 ºC – (-15 ºC) = 35 ºC
60 W/m3
3,6 kW
20 ºC – (5 ºC) = 15 ºC
25 W/m3
1,5 kW
B. Átlagos hőátadással számolva (32cm tégla): felül és 3 oldalra:
A = 20 m2 + 3 * 2 * (5+4) m2 = 74 m2
1 / k = 0,32 / 0,5
k = 0,5 / 0,32 = 1,56 W/m2K
túlméretezéssel:
ΔT = 20 ºC – (-15 ºC) = 35 ºC
Iveszt = A k ΔT
Iveszt = 4 kW
Nem számoltunk szélárnyékkal, vakolattal, szomszéd belső helyiségekkel, padlóval, egyéb párhuzamosan kapcsolt elemekkel (pl. nyílászárók, szerkezeti „hőhidak”).
C. Magyarországon az épületekre előírt hőátbocsátási tényező (BME: Hőtan épületgépészeknek):
• a falszerkezetre (külső falra): 71cm tégla, 5cm polisztirol
k ≤ 0,7 W/m2K
• tetőre illetve padlásfödémre k ≤ 0,4 W/m2K • minden egyes homlokzat átlagára (fal és nyílászárók együtt) k ≤ 2,0 W/m2K Példák :
d [m]
/
α [W/m2K], λ [WmK] =
1/k [m2K/W] ->
k [W/m2K]
1.
71 cm tégla
0,71
/
0,5
1,420
0,704
2.
5,7 cm polisztirol
0,057
/
0,04
1,425
0,702
3.
hőátadás levegőre (bent) 1,5 cm belső vak olat 24 cm mészhomok tégla 6 cm hőszigetelő anyag 1 cm műanyagvak olat hőátadás levegőre (k int)
/ / / /
8 0,7 0,5 0,04 0,7 23
0,125 0,021 0,480 1,500 0,014 0,043 2,184
0,458
0,015 0,24 0,06 0,01
Hőszükséglet-számítás fogalmai: Belső hőmérséklet: a helyiség jellemző pontjában mért eredő hőmérséklet Előírt belső hőmérséklet: konvekciós fűtés helyiségének típusától függően előírt hőmérséklet; például előszobára + 16 oC, szobára +20 oC, fürdőszobára +24 oC (Minimum!) Fűtetlen terek hőmérséklete: amellyel számolni kell, így például zárt pince +5 oC, nyílászáróval rendelkező helyiség +3 oC, padlástér -4 oC, stb. (Fűtőhelyiség +20 oC) Hőérzeti helyesbítések: a helyiség lehűlő felületeinek számától, üvegezési arányuktól függően alkalmazandó helyesbítések; például 2…3 lehűlő felület, ebből 2 üvegezett, üvegezési arány >50%, - így +3 oC szobára, azaz összesen 23 oC a belső méretezési hőfok. Méretezési külső hőmérséklet: -11 oC (Dél-Dunántúl); -13 oC; -15 oC (Észak-Magyarország)
Külső transzmissziós energiaáram: a helyiség egyes külső határoló szerkezetein (falakon és nyílászárókon) a helyiségből a környezetbe jutó energiaáramok algebrai összege. Belső transzmissziós energiaáram: a helyiség egyes belső határoló felületein (falakon és nyílászárókon) a helyiségből a környezetbe jutó energiaáramok algebrai összege. Filtrációs hőszükséglet: a helyiség jutó levegőáramnak az előírt hőmérsékletre való felmelegítéshez szükséges, a fűtőberendezés által fedezendő energiaáram. Napsugárzásból adódó hőterhelés: a helyiség egyes határoló szerkezetein (falakon és nyílászárókon) jutó napsugárzás hatására a helyiségbe direkt és szórt sugárzás, hővezetés, hőátadás és hosszúhullámú sugárzás révén jutó energiaáramok összege. (Benapozás!) Belső hőterhelés: emberek, élőlények és minden nem fűtési célú berendezés (világítás, elektromotor stb.) hőleadásából származó energiaáram összege.
2. Henger hővezetése (pl. cső szigetelése) r sugarú, dr vastagságú réteg energiamérlege
dT = dV ⋅ ρ ⋅ c ⋅ T& = l ⋅ 2rπ ⋅ dr ⋅ ρ ⋅ c ⋅ T& E& = dm ⋅ c v ⋅ dt E& = I (r ) − I (r + dr ) = l ⋅ 2rπ ⋅ j (r ) − l ⋅ 2(r + dr )π ⋅ j (r + dr ) Rendezés után
j (r + dr ) − j (r ) j ( r + dr ) j (r ) = − j ′(r ) − ρ ⋅ c ⋅ T& = − − dr r r Fourier alapján a hővezetés differenciál-egyenlete:
j (r ) = − λ ⋅ T ′(r ) Homogén közegben kiemelhető:
λ ⋅T ′ & ρ ⋅ c ⋅ T = (λ ⋅ T ′)′ + r T′ ρ ⋅ c ⋅ T& = λ ⋅ (T ′′ + ) r
alkalmazva az a hőmérsékletvezetési együtthatót:
T′ & T = a ⋅ (T ′′ + ) r
stacioner esetben
1 T ′′ + ⋅ T ′ = 0 r
Stacionárius esetben a homogén közeg differenciál-egyenlete egyszerűsödik
T′ & T = a ⋅ (T ′′ + ) r
T ′′ = −
T′ r
ennek megoldása
T ′(r ) =
c r
T (r ) = c1 ⋅ ln(r ) + c2
Adott vastagságú rétegre a hővezetés egyenletei
T2 − T1 1 j ( r ) = −λ ⋅ ⋅ ln(r2 / r1 ) r I = −λ ⋅
T2 − T1 ⋅ 2π ⋅ l ln(r2 / r1 )
Többrétegű esetre a hőátbocsátáshoz hasonló képletet kapunk:
I = −k ⋅ 2π ⋅ l ⋅ ∆T ahol az átmenetek hőellenállása
1 ln(ri +1 / ri ) 1 =∑ +∑ k λi α i ri
2. Gömb hővezetése (pl. bogyó lehűlése/felmelegedése) r sugarú, dr vastagságú réteg energiamérlege:
E& = dV ⋅ ρ ⋅ c ⋅ T& = 4r 2π ⋅ dr ⋅ ρ ⋅ c ⋅ T& E& = I (r ) − I (r + dr ) = 4r 2π ⋅ j (r ) − 4(r + dr ) 2 π ⋅ j (r + dr ) rendezve
2 2 ( r + dr ) ⋅ j ( r + dr ) − r ⋅ j (r ) j (r + dr ) − j (r ) 2 ⋅ j (r + dr ) & ρ ⋅ c ⋅T = − =− − 2 r ⋅ dr dr r 2 ⋅ j (r ) ρ ⋅ c ⋅ T& = − j ′(r ) − r
Fourier alapján a hővezetés differenciál-egyenlete:
j (r ) = − λ ⋅ T ′(r ) Homogén közegben:
λ ⋅T ′ & ρ ⋅ c ⋅ T = (λ ⋅ T ′)′ + 2 ⋅ r T′ ρ ⋅ c ⋅ T& = λ ⋅ (T ′′ + 2 ⋅ ) r
alkalmazva az a hőmérsékletvezetési együtthatót:
T′ & T = a ⋅ (T ′′ + 2 ⋅ ) r
stacioner esetben
2 T ′′ + ⋅ T ′ = 0 r
Stacioner hővezetés 1-dimenziós (homogén, izotróp) esetei Síkfal Stacioner: áram:
T& = a ⋅ T ′′ T ′′ = 0
I = − kA ⋅ ∆T
di 1 1 =∑ +∑ k λi αi
Henger
1 & T = a ⋅ (T ′′ + ⋅ T ′) r 1 T ′′ = − ⋅ T ′ r I = −k ⋅ 2πl ⋅ ∆T
Gömb
2 & T = a ⋅ (T ′′ + ⋅ T ′) r 2 T ′′ = − ⋅ T ′ r I = −k ⋅ 4π ⋅ ∆T
ln(ri +1 / ri ) 1 1 =∑ +∑ k λi α i ri
1 / r − 1 / ri +1 1 1 =∑ i +∑ k λi α i ri 2
1 2πl ⋅ k
1 R= 4π ⋅ k
hőátviteli ellenállás:
1 R= A⋅ k
R=
1-dim (sík,henger,gömb), instacioner megoldás(Bernoulli: szeparáció, 1690) A diff.egyenlet (nsík=0, nhenger=1, ngömb=2) megoldása (r,t) szerint szeparálható:
n & T = a ⋅ (T ′′ + ⋅ T ′) r
T ( r , t ) = f ( r ) ⋅ g (t )
n fg& = a ⋅ ( gf ′′ + ⋅ gf ′) r
g& 1 n = ⋅ ( f ′′ + ⋅ f ′) = −λ2 a⋅g f r
Az egyenlet rendezése után, egyik oldal időtől, másik helytől függ, ezért állandók: λ2 szeparációs állandó lehűlésnél à negatív
A nyert diff.egyenletek és megoldásuk:
g& (t ) = −a ⋅ λ2 ⋅ g (t ) g (t ) = c0 ⋅ e − a⋅λ ⋅t n f ′′(r ) + ⋅ f ′(r ) = −λ2 ⋅ f ( r ) r 2
n=0 n=1 n=2
f ′′ = −λ2 ⋅ f 1 f ′′ + ⋅ f ′ = −λ2 ⋅ f r ( f ⋅ r )′′ = −λ2 ⋅ ( f ⋅ r )
π λ= ⋅i 2L
f (r ) = c1 ⋅ cos(λ ⋅ r ) + c2 ⋅ sin(λ ⋅ r ) Fourier-sor f (r ) = c1 ⋅ J 0 (λ ⋅ r ) + c2 ⋅ J1 (λ ⋅ r ) Bessel fv-ek 1 1 f (r ) = c1 ⋅ sin(λ ⋅ r ) + c2 ⋅ cos(λ ⋅ r ) λ ⋅r λ ⋅r
A peremfeltétel állandó környezet, hőátadásnál egyszerűsödik, ha hőmérséklet := relatív
− λ ⋅ T ′( R) = α ⋅ (T ( R) − T0 )
− λ ⋅ T ′( R ) = α ⋅ T ( R )
Fourier transzformáció Tetszőleges periodikus függvény egyértelműen előállítható Fourier-sorral (oda-vissza) idő-tartomány
< -- >
frekvencia-tartomány T
1 f (t )dt T ∫0 T 2 ak = ∫ f (t ) cos kωt ⋅ dt T 0
a0 =
T
2 bk = ∫ f (t ) sin kωt ⋅ dt T 0
n
f (t ) = a0 + ∑ (ak ⋅ cos(kω ⋅ t ) + bk ⋅ sin( kω ⋅ t )) k =1
kifejezhető koszinusz és eltolással: cos(α + β ) = cos α ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β n
f (t ) = A0 + ∑ Ak ⋅ cos( kω ⋅ t + ϕ i ) k =1
Hasonlóság, dimenziótlan megoldás
T ( x, t ) − T∞ T0 − T∞ x - távolság (L=R): X := L α ⋅L - hővez.eh (Biot): Bi := λ a ⋅t τ : = = Fo - idő (Fourier-no): 2 L 2 d ϑ dϑ = Diff.egy: kiindulás: ϑ ( X ,0) = 1 peremfelt: ϑ ′(0,τ ) = 0 2 dX dτ ϑ ′(1,τ ) = Bi ⋅ϑ (1,τ ) ϑ ( X ,τ ) = f ( X ) ⋅ g (τ ) szeparálás: Dimenziótlan hőm: ϑ :=
Perem0 à B=0:
ϑ ( X ,τ ) = e − λ ⋅t ⋅ A ⋅ cos(λX )
Perem1 à síkra:
λ ⋅ tan λ = Bi : az egyenlet gyöke, az un. szeparációs állandó
Megoldás:
ϑ ( X ,τ ) = ∑ An ⋅ e
Perem0 àsíkra:
2
− λ2n ⋅t
⋅ cos(λn X )
ahol:
λn ⋅ tan λn = Bi 4 sin λn An = 2λn + sin 2λn
ϑ ( X ,τ ) = ∑ An ⋅ e
Fourier sor a 3 esetre:
− λ2n ⋅τ
⋅ cos(λn X )
ahol λ szeparációs állandó a Biot számból nyerhető: fal: henger:
τ = Fo = Bi =
α ⋅L λ
a ⋅t L2
x L T ( x, t ) − T∞ ϑ := T0 − T∞ X :=
gömb:
λ:
λn ⋅ tan λn = Bi
J 1 ( λn ) λn ⋅ = Bi J 0 ( λn )
A:
4 sin λn An = 2λn + sin 2λn
2 4(sin λn − λn cos λn ) J 1 ( λn ) An = An = 2 2 λn J 0 ( λn ) + J 1 ( λn ) 2λn + sin 2λn
1 − λn ⋅ ctgλn = Bi
1. fokú közelítés (tau>0,2 è hiba<2%)
ϑ ( X ,τ ) = A1 ⋅ e 0-ban: ϑ (0,τ ) = fal: x-ben:
A1 ⋅ e
− λ12 ⋅τ
⋅ cos(λ1 X )
− λ12 ⋅τ
henger:
gömb:
ϑX λx λr sin(λ1r R ) = cos 1 .. = J 0 ( 1 ).. = ϑ0 L R λ1r R
Transient heat conduction: http://highered.mcgraw-hill.com/sites/dl/free/0073129305/314124/cen29305_ch04.pdf
Biot-hoz tartozó λ1 és A1 megoldások, Bessel-függvények:
Szünet után dinamika feladatok
Dinamikus modellek 1: Időben állandó hőmérséklet mérése
I q = C ⋅ T&m = A ⋅ k ⋅ (T0 − Tm )
A⋅ k T&m = − ⋅ (Tm − T0 ) C Közönséges, lineáris, inhomogén differenciál-egyenlet új változó: mért - valódi hőmérséklet à homogén egy:
T&∆ = T&m
T∆ := Tm − T0
A⋅k T&∆ = − ⋅ T∆ C
Egyenlet megoldása:
T∆ (t ) := T∆ 0 ⋅ e
−
A⋅k ⋅t C
időállandóval kifejezve:
τ=
C A⋅ k
T∆ (t ) = T∆ 0 ⋅ e
−
t τ
Új változót visszahelyettesítve a megoldás:
Tm (t ) = (Tm 0 − T0 ) ⋅ e
−
t τ
+ T0
Dinamikus modellek 2: Időben lineárisan változó hőmérséklet mérése
A⋅ k T&m = − ⋅ (Tm − T ) C
T (t ) = a ⋅ t + T0
ahol
Közönséges, elsőrendű, lineáris, inhomogén differenciál-egyenlet. új változó: mért és valódi hőmérséklet különbsége
T&∆ = T&m − (a ⋅ t + T0 ) ′ = T&m − a
T∆ := Tm − T A⋅k T&∆ + a = − ⋅ T∆ C
T&m = T&∆ + a
A⋅ k a ⋅C ⋅ (T∆ + ) T&∆ = − C A⋅ k
újabb változó: eltolás arányos az időállandóval és a sebességgel
T∆ 2 := T∆ +
a⋅C = T∆ + a ⋅ τ A⋅k
Az egyenlet végre homogén:
A⋅ k T&∆ 2 = − ⋅ T∆ 2 C Megoldása exponenciális:
T∆ (t ) = (T∆ (0) + a ⋅τ ) ⋅ e
−
t τ
− a ⋅τ
T&∆ 2 = T&∆
Hűtés esetén pedig többet mérünk, mint a valódi A hiba ugyanakkor számítható •az időállandóból és •a változás sebességéből
1 ⋅C τ= kA a = T& T∆∞ = a ⋅τ
Dinamikus modellek 3: Nem szigetelt objektum fűtése
C ⋅ T& = − Ak ⋅ (T − T0 ) + P
E& = I q + P
−1 P T& = ⋅ (T − [T0 + ]) τ Ak Lineáris, inhomogén diffegyenlet megoldása telítési görbe:
T (t ) = (T0 − Tmax ) ⋅ e
−
t τ
+ Tmax
időállandó:
τ=
C A⋅ k
Mérések tehetetlensége, időállandó Visszatérve a hőmérő tehetetlenségének példájára, mi lehet a mért érték periodikusan változó hőmérséklet esetén?
C ⋅ T& = − A ⋅ k ⋅ (T − a ⋅ sin ωt )
C ⋅ T& + Ak ⋅ T = a ⋅ sin ωt
Az idő harmonikus függvénye, de • kisebb amplitúdóval és • fáziskéséssel
minél nagyobb az időállandó, annál lassabban követi a változást
Hogyan lehet az ilyeneket levezetni?
(ha túl nagy az időállandó:)
Diff-egyenletekről
- közönséges: egy változós - elsőrendű: derivált foka - lineáris: y’ és y-ra - szétválasztható változójú: f(y) dy = g(x) dx
y '+ c ⋅ y = 0
Homogén:
változók szétválasztása integrálás, megoldás
y '+ c ⋅ y = b
Inhomogén:
új változóval à homogén lesz
dy = −c ⋅ y dx dy = −c ⋅ dx y ln( y ) = −c ⋅ x + c2 y ' = −c ⋅ y + b b z := y − c
dy ∫ y = −c ⋅ ∫ dx y = e − c⋅ x ⋅ c c 2
y = a ⋅ e − c⋅ x
b y ' = −c ⋅ ( y − ) c à z' = y'
z ' = −c ⋅ z
Amikor b és c függvények: Homogén mo:
y '+c ( x ) ⋅ y = 0
megoldása:
Inhomogén mo: y '+ c( x) ⋅ y = b( x) megoldása: Periodikus
y = a ⋅ e −C ( x )
C ( x) = ∫ c ( x )dx
y = ( ∫ b( x )e C ( x ) dx ) ⋅ e − C ( x )
y '+ c ( x) ⋅ y = a ⋅ sin ωt ált. stac. megoldása à FOURIER transzformáció
Fourier transzformáció Tetszőleges periodikus függvény egyértelműen előállítható Fourier-sorral (oda-vissza) idő-tartomány
< -- >
frekvencia-tartomány n
f (t ) = A0 + ∑ Ak ⋅ cos(kω ⋅ t + ϕ i ) k =1
Hőmérő – RC tag analógia Ellenállás:
I = kA ⋅ (T0 − T ) 1 T −T R= −>I = 0 kA R
Kapacitás:
I = C ⋅ T& T0 − T & I = C ⋅ T = Diff.egyenlet: R RC ⋅ T& + T = T0 (t )
Ellenállás:
IR =
U1 − U 2 R
Kapacitás:
I C = C ⋅U& ki
U be − U ki & I = C ⋅ U = I = Diff.egyenlet: C ki R R RC ⋅U& ki + U ki = U be
Periodikus bemeneti jel adott körfrekvenciájára (FT után) az előbbi feszültségosztó kapcsolás (jobbra) átviteli függvénye:
U ki H (ω ) = U be az elemek (komplex) impedanciáiból számítható:
ΖR =
U R (ω ) =R I R (ω )
ΖC =
U C (ω ) 1 = I C (ω ) jωC
A feszültségosztásra:
H (ω ) =
U ki Z2 ZC 1 jωC 1 = = = = U be Z1 + Z 2 Z R + Z C 1 jωC + R 1 + jωRC
Az elsőfokú RC tag (1 C van) átviteli függvényében • az amplitúdó csillapítása:
H (ω ) =
• a fáziskésés:
1
1 + (ωRC ) 2
ϕ = arctan(−ωRC )
A hőmérés valójában alul-áteresztő szűrőnek felel meg: • kis frekvenciákat átengedi (lassú változás mérhető) • nagy frekvenciát nem (gyors változások nem)
1 τ = RC kA 2π ϕ ω= t= T T 2π R=
További gyakorlatok:
és előadásokk:
5/B: hővezetés VE: termoelektromos jelenségek ZH2: 2 elmélet + 2 példa, 16+34pont VE: diffúzió, hőmérsékleti sugárzás Mérési beszámoló: elmélet+bemutató ZJ: hűtőfolyamatok a gyakorlatban a héten.. : előadási jegyzetek bemutatása Vizsgaidőszakban: vizsga minden hétfőn és csütörtökön
és a nyár J
Köszönöm a figyelmet
