Kompetensi 2 (Bagian 2) PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT
Menentukan Jenis Akar-Akar Persamaan Kuadrat
PERSAMAAN KUADRAT
Menggunakan Diskriminan (D)
Bentuk Umum:
D = b 2 - 4ac
ax2 + bx + c = 0 ; a ≠ 0
1. D > 0 Kedua akar nyata dan berlainan
Pengertian: x = α adalah akar-akar persamaan ax2 + bx + c = 0 ⇔ a α 2 + b α + c = 0 Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat: 1. Memfaktorkan: ax2 + bx + c = 0 diuraikan menjadi (x - x 1 ) (x - x 2 ) = 0 atau diubah menjadi bentuk
1 a
(ax + p) (ax + q)
dengan p + q = b dan pq = ac dengan demikian diperoleh p q x1 = dan x 2 = a a 2. Melengkapkan kuadrat sempurna (mempunyai akar yang sama) ( x ± p) 2 = x 2 ± 2p + p 2
(x 1 ≠ x 2 )
2. D = 0 Mempunyai akar yang sama (x 1 = x 2 ) 3. D < 0 akar tidak nyata 4. D = k 2 ; k 2 = bilangan kuadrat sempurna kedua akar rasional Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar: ax2 + bx + c = 0 b c x1 + x 2 = dan x 1 . x 2 = a a Rumus-rumus yang lain: 1
x1 - x 2 =
D a
2. x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2 )2 – 2 x 1 x 2 3. x 1 2 - x 2 2 = (x 1 - x 2 ) (x 1 + x 2 ) 4. x 1 3 + x 2 3 = (x 1 + x 2 )3 – 3 (x 1 x 2 ) (x 1 + x 2 )
3. Menggunakan rumus abc 5. x 1 3 - x 2 3 = (x 1 - x 2 )3 – 3 (x 1 x 2 ) (x 1 - x 2 ) x1, 2 =
− b ± b 2 − 4ac 2a
www.pintarmatematika.web.id
6.
x + x2 1 1 + = 1 x1 x 2 x1 x2
Halaman 1
Menyusun Persamaan Kuadrat Rumus Persamaan Kuadrat yang akar-akarnya x 1 dan x 2 adalah:
2. D = 0 Menyinggung grafik (mempunyai satu titik potong)
x2 – (x 1 + x 2 )x + x 1 x 2 = 0
FUNGSI KUADRAT Bentuk Umum: f(x) = ax2 + bx + c dengan a ≠ 0 dan a,b,c ∈ R Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat 1. Tentukan titik potong dengan sumbu x (y = 0) 2. Tentukan titik potong dengan sumbu y (x = 0 ) 3. Tentukan titik puncak/Ekstrim : b 2 − 4ac b yaitu − ,4a 2a 4. a. Apabila a > 0 grafik terbuka ke atas
3. D < 0 Garis tidak menyinggung dan memotong (terpisah)
Menentukan Persamaan Fungsi Kuadrat: 1. Jika diketahui titik puncak = ( x p , y p ) gunakan rumus: y = a (x - x p ) 2 + y p
b. Apabila a < 0 grafik terbuka ke bawah
2. Jika diketahui titik potong dengan sumbu x (y = 0) yakni (x 1 ,0) dan (x 2 ,0) Gunakan rumus: y = a (x - x1 ) ( x - x 2 ) 3. Jika yang diketahui selain poin 2 dan 3 maka gunakan rumus : y = ax2 + bx + c
Kedudukan Garis r terhadap grafik fungsi kuadrat: 1. D > 0 Berpotongan di dua titik
Dari y = ax2 + bx + c diperoleh : b 2a 2 b − 4ac 2. Nilai ekstrim y eks = 4a
1. Penyebab ekstrim x = -
y eks = y min jika a > 0 y eks = y maks jika a < 0
www.pintarmatematika.web.id
Halaman 2
Contoh Soal :
q = ±
3 : karena p > 0, q > 0 maka q = 3
p.q = 18
p. 3= 18
Soal UN TH 2010 – 2012
p=
UN 2010 1. Grafik fungsi kuadrat f(x)= x 2 +bx+4 menyinggung garis y = 3x + 4. Nilai b yang memenuhi adalah …. A. –4
C. 0
B. –3
D. 3
p+q = −
18 =6 3
b 2a − 3 == - 2a + 3 a 1
6+ 3 = - 2a + 3 9 = - 2a + 3
E. 4
2a = 3 - 9 2a = -6
Jawab: Substitusikan
persamaan
fungsi
kuadrat
dan
persamaan garis:
a=
−6 = -3 2
maka: -3 – 1 = - 4
2
x +bx+4 = 3x + 4
Jawabannya adalah B
2
x + bx - 3x+ 4 - 4 = 0
UN2010
x 2 + x( b - 3) = 0
3. Jika p dan q adalah akar - akar persamaan kuadrat
grafik fungsi kuadrat menyinggung garis apabila D = 0
x 2 - 5x -1= 0 , maka persamaan kuadrat baru yang akar-
D = b 2 −4.a.c
akarnya 2p + 1 dan 2q + 1 adalah ….
= ( b - 3) 2 - 4.1.0 = 0 2
( b - 3) = 0 b–3=0 b=3 Jawabannya adalah D
A. x 2 +10x+11=0
C. x 2 -10x+11=0
B. x 2 -10x+7=0
D. x 2 -12x+7=0
Jawab: x 2 - 5x -1= 0
UN 2010 2. Akar – akar persamaan x 2 + (2a–3) x + 18 = 0 adalah p
p+q= −
dan q. Jika p = 2q, untuk p > 0, q > 0. Nilai a – 1 = …. p .q = A. –5
C. 2
B. –4
D. 3
Jawab: p .q =
E. x 2 -12x-7=0
c = 18 ; p = 2q a
b −5 =− =5 a 1
c = -1 a
E. 4 Persamaan Kuadrat yang akar-akarnya x 1 dan x 2 adalah: x2 – (x 1 + x 2 )x + x 1 x 2 = 0 x 1 = 2p+1 ; x 2 = 2q+1
masukkan nilai-nilai tsb
x2 – (2p+1 +2q+1)x + (2p+1)(2q+1) = 0
2q.q = 18
x2 – (2p+2q+2) x + (4pq+2p+2q+1)= 0
2q 2 = 18
x 2 – 2(p+q+1) x + 4pq+2(p+q)+1)= 0
q2 =9
www.pintarmatematika.web.id
x 2 – 2(5+1) x + (4.-1)+2(5)+1)= 0
Halaman 3
UN2011 5. Akar-akar persamaan kuadrat 2x2 + m x + 16 = 0 adalah α dan β. Jika α = 2β dan α , β positif, maka nilai m adalah....
x 2 – 12 x -4+10+1= 0 x 2 – 12 x + 7 = 0
Jawabannya adalah D UN2011 4. Akar-akar persamaan 3x2-12x + 2 = 0 adalah α dan β. Persamaan Kuadrat baru yang akar-akarnya (α +2) dan (β +2) adalah ..... A. 3x2 - 24x + 38 = 0 E. 3x2- 24x – 24 = 0 B. 3x2 + 24x + 38 = 0
C. 3x2- 24x - 38 = 0 D. 3x2- 24x + 24 = 0
A. -12 B. -6 C. 6 Jawab: Persamaan kuadrat diketahui a= 2 ; b = m dan c = 16
D. 8
E. 12
α+β=- = ; α.β= = =8 α = 2β α . β = 8 2 β2 = 8 β2 = 4 β = ± 2 karena α , β positif maka nilai β = 2 α+β=- m 3β=- m
Jawab: Persamaan Kuadrat:
3.2 = - m 6 = - m Jawabannya adalah A
3x2 -12 x + 2 = 0 a = 3, b = -12 dan c = 2
m = -12
UN2011
α+β=- =-
=4; α.β= =
6.Grafik y = px2 + (p+2)x - p + 4 memotong sumbu x di dua titik. Batas-batas nilai p yang memenuhi adalah.....
Rumus Persamaan Kuadrat yang akar-akarnya x 1 dan
A. p < -2 atau p > -
x 2 (α dan β ) adalah:
B. p <
x2 – (x 1 + x 2 )x + x 1 x 2 = 0 untuk yang akar-akarnya (α +2) dan (β +2) adalah: x2 – ( (α +2) + (β +2) )x + (α +2) . (β +2) = 0 ⇔ x2 – (α + β +4)x + (α. β + 2(α + β) + 4) = 0 , masukkan nilai-nilai di atas ⇔ x2 – (4 + 4 ) x + ( + 2.4 + 4) = 0 38
⇔ x2 – 8 x + 3 = 0 dikalikan 3 ⇔3x2 – 24x + 38 = 0 Jawabannya adalah A
D.
Jawab: Persamaan dan Fungsi Kuadrat Syarat grafik memotong sumbu x di dua titik adalah D > 0 D = b2 – 4ac y = px2 + (p+2)x - p + 4 ; dimana a = p ; b = p + 2 ; c= -p + 4 D>0 (p + 2)2 – 4. p (-p+4) > 0 p2+ 4p + 4 + 4p2- 16p > 0 5p2 – 12p + 4 > 0 (5p - 2) (p – 2) > 0 p=
www.pintarmatematika.web.id
atau p > 2
C. p < 2 atau p > 10 E. 2 < p < 10
atau p = 2 Halaman 4
+ +
- - - -
Jawab: BAB III Persamaan dan Fungsi Kuadrat
++
• • • • • • • • • • • 0 2 terlihat pada gambar yang > 0 bertanda + + yaitu p < atau P > 2 Jawabannya adalah B UN2012
7. Akar-akar persamaan kuadrat x2 +ax - 4=0 adalah p dan q. Jika p2 - 2pq + q2 =8a, maka nilai a = .... A. -8 B. -4 C. 4 D. 6 E. 8 Jawab: a =1 ; b = a ; c = -4 x2 +ax – 4 = 0 p+q=- =- =-a ; p.q= = =-4 2 2 p - 2pq + q =8a ( p2 + q2 = (p + (p + q)2 – 2pq – 2pq = 8a q)2 – 2pq ) (p + q)2 – 4pq = 8a (-a)2 – 4.(-4) = 8a a2 + 16 = 8a a2 – 8a + 16 = 0 (a - 4 ) ( a – 4) = 0 a–4=0 a=4 Jawabannya C
mempunyai akar-akar real maka D ≥ 0 D = b2 – 4 ac (m-2)2 – 4 . 1. (2m - 4) ≥ 0 m2 – 4m + 4 – (8m – 16) ≥ 0 m2 – 4m + 4 – 8m + 16 ≥ 0 m2 – 12m + 20 ≥ 0 (m -10)(m-2) ≥ 0 nilai batas m = 10 dan m = 2 (m-10 = 0 m = 10 ; m -2 = 0
m = 2)
++++ ----------- +++++ 2 10 didapat nilai m ≥ 10 atau m ≤ 2 Jawabannya A
UN2012
8. Persamaan kuadrat x2 + (m-2)x + 2m - 4=0 mempunyai akar-akar real, maka batas nilai m yang memenuhi adalah.... A. m ≤ 2 atau m ≥ 10 B. m ≤ -10 atau m ≥ -2 C. m < 2 atau m > 10
D. 2 < m < 10 E. -10 ≤ m ≤ -2
www.pintarmatematika.web.id
Halaman 5
