KIBERNETIKA
egyetemi jegyzet
dr. Gerzson Miklós Nagyváradi Anett
Pécsi Tudományegyetem Pollack Mihály Műszaki Főiskolai Kar
Pécs, 2004
Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 1.1. Célkitűzés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. A jegyzet felépítése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Rendszerelméleti összefoglaló 2.1. Rendszerek ismérvei . . . . . . . . . . . . . . 2.2. A Kalman-féle rendszerdefiníció . . . . . . . . 2.3. Rendszerek osztályozása . . . . . . . . . . . . 2.4. Néhány egyszerű rendszer állapottér modellje 2.4.1. Tartálypark modellje . . . . . . . . . . 2.5. Az állapottér modell tipikus alakjai . . . . . . 2.6. Bemenet - kimenet modellek . . . . . . . . . . 2.7. Tipikus bemenet - kimenet modellek . . . . . 2.7.1. Nulladrendű rendszer . . . . . . . . . . 2.7.2. Elsőrendű rendszer . . . . . . . . . . . 2.7.3. Másodrendű rendszer . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
3. Gyakorlati példák 3.1. Matematikai áttekintés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Komplex számok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2. Mátrixelméleti összefoglaló . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3. Laplace, -inverz Laplace transzformáció és összefüggései 3.1.4. Z, inverz Z transzformáció és összefüggései . . . . . . . 3.2. Tipikus dinamikus tagok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Nulladrendű rendszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Elsőrendű rendszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3. Másodrendű rendszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Átmeneti és súlyfüggvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Stabilitásvizsgálat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Folytonos rendszer stabilitás vizsgálata pólusvizsgálattal 3.4.2. Routh-Hurwitz módszer . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Másodrendű rendszer viselkedésének vizsgálata . . . . . . . . . 3.6. Gyökhelygörbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7. Nyquist - Bode diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8. Állapottér modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I
1 1 1 2 2 3 8 12 12 14 16 18 18 19 21 23 23 23 29 37 39 43 44 45 46 47 49 58 58 59 63 70 77 85
3.9. Digitális számításelmélet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.10. Zárthelyi feladatsorok megoldása . . . . . . . . . . . . . . . . 99 3.11. Táblázatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4. VisSim szimulációs program ismertetése 105 4.1. Bevezetés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.2. Alapok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.2.1. Az állapotsáv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.2.2. Az eszköztár . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.2.3. Segítség . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.2.4. Egy egszerű modell felépítése . . . . . . . . . . . . . . 108 4.3. Általános tudnivalók . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.4. Blokkok(Blocks) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4.4.1. Animate (animáció) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4.4.2. lineDraw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.4.3. Annotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.4.4. Arithmetikai elemek (Arithmetic) . . . . . . . . . . . . 114 4.4.5. Boolean kifejezések (Bookean) . . . . . . . . . . . . . . 114 4.4.6. Lineáris Rendszerek (Linear system) . . . . . . . . . . 115 4.4.7. Véletlen generátor (Random generator) . . . . . . . . . 115 4.4.8. Jelgeneráló elemek (Signal Producer) . . . . . . . . . . 115 4.4.9. Megjelenítés (Signal Consumer) . . . . . . . . . . . . . 116 4.5. Szimulációs beállítások (Simulate) . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4.6. Analizálás (Analyze) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.6.1. Átviteli függvény(Transfer function) . . . . . . . . . . . 121 4.6.2. Módosítás szerkesztő (Compensator Design) . . . . . . 121 4.6.3. Gyökhelygörbe, Nyquist diagram (Root locus, Nyquist Response) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.6.4. Bode diagram (Frequency Response, Frequency Range) 122 Irodalomjegyék
128
II
1.
Bevezetés
1.1.
Célkitűzés
1.2.
A jegyzet felépítése
1
2. 2.1.
Rendszerelméleti összefoglaló Rendszerek ismérvei
A hétköznapi életben a rendszer elnevezést, fogalmat nagyon sok területen használják. Ha közelebbről megvizsgáljuk ezt a sokféle használatot, akkor ezekből néhány általánosítható jellemzőt határozhatunk meg. Ismerkedjünk meg ezek közül néhánnyal. (1) A rendszer, mint tagolt egész Általában megállapíthatjuk, hogy a vizsgált rendszereink részekre bonthatók, és részeikből összeállthatók. Egyértelműen meghatározhatjuk, hogy mi tartozik a vizsgált rendszerhez, és mi az ami a környezetéhez. Amennyiben a felbontást több szinten el lehet végezni, akkor az is megállapítható, hogy mely elemek tartoznak az egyes alrendszerekhez. Ha az egyes elemek és magának a rendszernek a tulajdonságait vizsgáljuk, akkor megállapíthatjuk, hogy a rendszer rendelkezik az egyes elemek tulajdonságaival, de olyan tulajdonságokat is találhatunk, amelyek csak az egész rendszert jellemzik, az egyes részeket külön-külön nem. (2) A rendszer, mint kölcsönhatásban álló elemek összesége A rendszert, mint relációk, kapcsolatok által összekötött halmazt vizsgáljuk. (3) A rendszer, mint egység Egy rendszer elemei között általában nagyon sokféle kapcsolat értelmezhető, köztük olyanok is, amelyek nem lényegesek a vizsgálat szempontjából. Éppen ezért célszerű az elemeknek olyan, egymással kapcsolatban álló halmazát rendszernek tekinteni, ahol ezeket egy rendszer alkotó tényező összekapcsolja. Ez a tényező adja meg azt a célt, aminek érdekében a rendszer létrejött, működik, funkcionál. Ugyanez a tényező a környezettől való elhatárolásban is megjelenik, ennek figyelembe vételével lehet meghatározni, hogy mely elemek tartoznak a rendszerhez és melyek a környezethez. Természetesen ez nem jelenti azt, hogy a rendszer független vagy elkülönül a környezetétől. A rendszer bemenetein keresztül a környezet hat a rendszerre, és a kimenetein keresztül a rendszer is hat a környezetére. 2
A környezettől elhatárolt működése következtében a rendszer független belső törvényszerűségekkel rendelkezik, ezek határozzák meg a belső működését, illetve válaszait a környezettől érkezett hatásokra. Ilyen szempontból a rendszert, mint autonóm egységet tekinthetjük. Ugyanakkor, mint említettük, a rendszer kapcsolatban áll a környezetével a bemenetein és kimenetein keresztül, ami a rendszer heteronóm jellegét emeli ki. (4) A rendszer, mint hierarchia A rendszerek vizsgálatakor megállapíthatjuk, hogya vizsgálat szempontjainak megfelelően felbonthatók, vagy másképpen dekomponálhatók elemekre, melyek általában szintén tovább bonthatók. Ezt a felbontási folyamatot addig kell folytatnunk, míg a vizsgálat szempontjából a legalacsonyabb részre jutottunk, azaz a további dekompozíció már olyan elemekhez vezetne, amelyek már a vizsgálat szempontjából lényeges tulajdonságokkal nem rendelkeznek. Ez a folyamat természetesen megfordítható, azaz az elemekből is elkezdhetjük felépíteni a vizsgálni kívánt rendszert. Ezt a műveletet kompozíciónak nevezzük. A kompozíció műveletét addig végezzük, amíg a létrejövő rendszer nem felel meg az általunk vizsgálni kívántnak, azaz továbblépve nem kapunk egy olyan rendszert, ami már elemeként tartalmazná a vizsgált rendszert. E kompozíció//dekompozíció műveletpár segítségével általában kijelenthetjük, hogy bármely rendszer egy bonyolultabb rendszer része, ugyanakkor egyszerűbb rendszerek egésze.
2.2.
A Kalman-féle rendszerdefiníció
A különböző tudományterületek az általuk vizsgált rendszerek leírására különböző rendszerdefinícókat alkottak. A műszaki területen az egyik legáltalánosabb és legsokoldalúbban alkalmazható rendszerdefiníció Kálmán Rudolf magyar származású amerikai tudós, a modern irányításelmélet egyik megalapítója nevéhez fűződik. Az ún. Kalman-féle rendszerdefinició a rendszer viselkedését nemcsak a bemenetekre adott kimeneti válaszok függvényében vizsgálja, hanem a rendszer műkődésének és pontosabb leírásának érdekében bevezeti a belső állapot fogalmát. Ennek megfelelően egy rendszer működését a pillanatnyi állapota és az ugyanekkor őt ért bemenet hatására bekövetkező álla3
potváltozás és kimeneti változói értékének függvényében írhatjuk le. Miután a rendszer bemenetei és kimenetei általában jól köthetők a tér adott pontjaihoz, ezért ezeket térbeli bemenetek és kimenteknek tekinthetjük, míg az állapotot, miután általában az állapotváltozók időbeli megváltozására vagyunk kiváncsiak, ezért azokat "időbeli" bemenetekként és kimenetekként kezelhetjük. A Kalman-féle rendszerdefiníció kimondásához néhány fogalmat kell bevetnünk. (1) Az idő fogalma A Kalman-féle rendszerdefiníció elsősorban időben változó rendszerek leírására alkalmas. Ennek megfelelően például a számrendszer vagy a mértékegységrendszer, mint rendszer nem írható le a Kalman-féle rendszerdefiníció segítségével, hiszen ezek nem időben változó rendszerek. Azok a rendszerek viszont, amelyeknek valamelyik állapot- vagy kimeneti változója, például szabályozás következtében állandó értékű, leírhatók e rendszerdefiníció segítségével. Az idő leírására szolgáló halmaz a valós számok rendezett halmaza. A vizsgált rendszernek megfelelően az időhalmaz lehet a valós számok összefüggő halmaza folytonos idejű rendszerek leírására alkalmazva a módszert, vagy például az egész számok halmaza, ha diszkrét idejű, például mintavételezett rendszerek viselkedését akarjuk leírni. Továbbai megfotolások alapjánn tekinthetjük az időhalmazt egyik és vagy másik irányban végtelen halmaznak, ha "végtelen" idővel ezelőtt kezdődött, illetve végtelen ideig működő rendszerek viselkedését akarjuk leírni, vagy véges halmaznak, ha a vizsgálatot meghatározott időintervallumban végezzük el. (2) Állapot-, bemeneti és kimeneti halmaz A rendszer működésének leírására definiáljuk a következő három halmazt: a lehetséges állapotok halmaza X; a lehetséges bemeneti értékek halmaza U ; a lehetséges kimeneti értékek halmaza Y ; és 4
az x ∈ X a rendszer egy konkrét x állapotát; az u ∈ U a rendszer egy konkrét u bemenetét; az y ∈ Y a rendszer egy konkrét y kimenetét; adja meg. Miután a Kalman-féle rendszerdefiníció egyaránt alkalmas egy bemenetű - egy kiemenetű és több bemenetű - több kimenetű rendszerek leírására, ezért ezeket a halmazokat célszerű vektortereknek tekinteni és ennek megfelelően állapottérnek, bemeneti térnek és kimeneti térnek nevezni, és az x, u és y változókat vektoroknak tekinteni. További általánosítást jelent, hogy a halmazok elemei nem feltételenül csak számok lehetnek, hanem rendszer jellegének megfelelően nem számszerű elemek szerepelhetnek. Például, ha egy gépkocsi menetközben viselkedését akarjuk jellemezni, akkor a jármű mozgása, a motor, a futómű müködése jól jellemezhető egy elegendően nagy elemszámú, számértékeket tartalmazó vektorral, de ha befolyásoló tényezőként a vezetőt is figyelembe vesszük, akkor az ő viselkedése már nehezen számszerüsíthető. (3) A bemenet időfüggvények és a kimenet időföüggvények halmazai Adott a rendszer működése során lehetséges (megvalósítható) bemenet időfüggvények halmaza: Ω = {ω : T → U }
(2.1)
Az egyes bemenet időfüggvényekre ω helyett a műszaki gyakorlatban inkább elterjedt u(t) jelölést alkalmazzuk, azonban ekkor vigyázni kell, hogy a u-ra mint a lehetséges bementi értékek halmazának egy elemére, vagy a lehetséges bemeneti időfüggvények halmazának egy elemére hivatkozunk. A bemenet időfüggvények halmazára illetve a halmazbeli függvényekre az alábbi követelményeknek kell teljesülniük: - (Nemtrivialitás) A Ω halmaz nem üres halmaz. - (A bemenetek szétvághatósága) Bemenetszegmensnek nevezzük az ω = u(t) bemenetfüggvénynek a (t1 , t2 ] ⊂ T alulról nyílt, felülről zárt időintervallumon értelmezett u(t)/t ∈ (t1 , t2 ] szakaszát. 5
Legyen t‘ egy t1 < t‘ < t2 időpont, és legyen u1 (t1 , t‘) és u2 (t‘, t2 ) adott bemenetszegmens. Ekkor létezik olyan u(t) ∈ Ω, hogy u1 (t) = u(t)/t ∈ (t1 , t‘) és u2 (t) = u(t)/t ∈ (t‘, t2 ). Azaz bármely bementszegmens szétvágható tetszőleges módon két bemenetszegmenssé. Két bementszegmens egyesítése csak abban az esetben végezhető el, ha az egyik felső határpontja megegyezik a másik alsó határpontjával. A bemenetszegmenseket következő egyszerűsített módon megadhatjuk: u(t)/t ∈ (t1 , t2 ] , u(t)(t1 ,t2 ] (2.2) A vizsgált rendszerben megvalósítható bement időfüggvények halmazához hasolóan definiáljuk a rendszerben lehetséges kiemenet időfüggvények halmazát: Γ = {γ : T → U } (2.3) A műszaki gyakorlatban itt is a γ jelölés helyett inkább az y(t) jelölés alkalmazása terjedt el, de ebben az esetben is ügyelni kell a megfelelő alkalmazásra. (4) Az állapotátmeneti függvény A rendszer viselkedésének leírására vezessük be az állapotátmeneti függvényt a következő módon: ϕ : T × T × X × Ω → Xx(t2 ) 7→ ϕ(t1 , t2 , x(t1 ), u(t)/t ∈ (t1 , t2 ]) (2.4) Az állapotátmeneti függvény tehát a t2 időponthoz tartozó x(t2 ) végállapot értékét határozza meg, melyet a t1 időpontban vett x(t1 ) induló állapotból kiindulva az u(t)(t1 ,t2 ] bemenetszegmens hatására kapunk. A ϕ állapotátmeneti függvény a következő tulajdonságokkal rendelkezik: 1◦ Az idő irányítottsága Műszaki rendszereknél ϕ csak t2 ≥ t1 esetén definiált. 2◦ Konzisztecia Ha t2 = t1 , akkor x(t2 ) = x(t1 ), azaz legyen t2 = t1 = t, ekkor x(t) = ϕ(t, t, x(t), u(τ )(t,t] ) ∀t ∈ T , ∀x ∈ X és ∀u(τ ) ∈ Ω esetén. 6
(2.5)
3◦ Kompozíció Bármely t1 < t2 < t3 időpontok esetén ϕ(t3 , t1 , x(t1 ), u(t)(t1 ,t3 ] ) = ϕ(t3 , t2 , ϕ(t2 , t1 , x(t1 ), u(t)(t1 ,t2 ] ), u(t)(t2 ,t3 ] ) (2.6) ∀x ∈ X és ∀u(t) ∈ Ω esetén. 4◦ Okozatiság Legyen u1 (t), u2 (t) ∈ Ω két lehetséges bemenet időfüggvény, és tételezzük fel, hogy u1 (t)(t1 ,t2 ] = u2 (t)(t1 ,t2 ] , azaz a bemenetszegmensek értékei adott (t1 , t2 ] időintervallumon megegyeznek. Ekkor ϕ(t2 , t1 , x(t1 ), u1 (t)(t1 ,t2 ] ) = ϕ(t2 , t1 , x(t1 ), u2 (t)(t1 ,t2 ] )
(2.7)
azaz a végállapotok megegyeznek. Az állapotátmeneti függvényre megfogalmazott követelmények célja, hogy a matematikai megfogalmazás által megadott rendszer fogalom megfeleljen a valós fizikai-műszaki rendszereknek. Ennek megfelelően - A rendszer kezdőállapota független a végállapotától, vagy más megfogalmazással egy t1 időponthoz tartozó állapot független az azt követő késöbbi hatásoktól. - A rendszer állapota nem változik, ha a vizsgálat kezdő- és végpontja megegyezik. - Egy bementszegmens szétvágva ugyanabba a végállapotba kerül a rendszer, ha bármely közbenső időpontból indítjuk a vizsgálatot. - Ugyanazt a végállapotot kapjuk, ha két különböző, de adott időintervallumon azonos értéket felvevő bemenetidőfüggvényt alkalmazunk ugyanabból a kezdőállapotból kiindulva. Az állapotátmeneti függvény konkrét alakjára, további tulajdonságaira más előírás nincs, azokat az adott rendszer határozza meg. (5) A kiolvasó függvény A rendszer kimeneti változóinak megadására legyen adott az alábbi kiolvasó hozzárendelés: η : T × X → Y, y(t) 7→ η(t, x(t)) 7
(2.8)
A definíciónak megfelelően a rendszer kimenetét egyértelműen meghatározza a rendszer adott időponthoz tartozó állapota és bemenete. Holtidős rendszerek esetében a bemenet hatása nem jelentkezik közvetlenül a kimeneten. Kalman-féle rendszermodell A Σ dinamikus rendszer az alábbi rendezett nyolcas Σ =< T, X, U, Y, Ω, Γ, ϕ, η >,
(2.9)
ahol az egyes szimbólumok jelentése és tulajdonságai megfelelnek a definíció előkészítésében leírtaknak.
2.3.
Rendszerek osztályozása
A 2.2 fejezetben bemutatott rendszerdefiníció igen általánosan határozza meg az általa leírha rendszerek tulajdonságait. Ennek oka, mint utaltunk is rá, az, hogy az így megadott definíció segítségével a műszaki gyakorlatban előforduló valamennyi rendszer leírható. Ha bizonyos megkötéseket teszünk a definícióban szereplő egyes halmazok és függvények tulajdonságaira, akkor ezek alapján osztályozhatjuk a vizsgált rendszereinket. Néhány fontosabb csoportosítási szempont ismertetünk a következőkben. (1) Determinisztikus - sztochasztikus rendszerek A determinisztikus rendszerek esetében adott kezdőállapot és bemenő jel esetén egyértelműen meg tudjuk határozni a végállapot és a kimenő jel értékét. A sztochasztikus rendszerek esetében azonban a végállapotra és a kimenő jelre csak valószínüségi eloszlást tudunk megadni. Ennek oka, hogy vagy nincs elegendő ismeretünk a rendszer működéséről (például nem ismerjük a rendszert ért valamennyi zavarás pontos természetét), vagy az egyszerűbb tárgyalás érdekében bizonyos hatásokat valószínűségi változóként adunk meg. Mint látható, egy rendszer determinisztikus vagy sztochasztikus jellege a definícióban az állapotátmeneti és/vagy kiolvasó függvénynél jelenik meg. Ha mindkét függvény determinisztikus, akkor a rendszer 8
modellje is determiszinsztikus, ha a kettő közül egyik vagy mindkettő valószinűségi függvény, akkor a modell is sztochasztikus jellegű. A műszaki gyakorlatban előforduló rendszerek bonyolultsága miatt általában a rendelkezésre álló információ mennyisége és a modellezés céljának megfelelően döntjük el, hogy melyik leírási módot választjuk, (2) Folytonos és diszkrét idejű rendszerek Mint a T időhalmaz bevezetése kapcsán említettük, a halmaz lehet a valós számok összefüggő tartománya vagy kitüntett értékeket, például az egész számokat tartalmazó halmaz. Az első esetben folytonos idejű leírási módról, míg a második esetben diszkrét idejű ábrázolásról beszélünk. A műszaki gyakorlatban lejátszódó folyamatok mindig folytonos időben történnek, és a matematikai leírási mód is ezek tárgyalását támogatja elsősorban. A számítógépes irányítás megjelenése azonban előtérbe helyezi a diszkrét idejű rendszermodellek alkalmazását. A modell folytonos vagy diszkrét jellege tehát nemcsak a T halmaznál jelentkezik, hanem a leíró függvények, így a bemenet és kimenet időfüggvények, az állapotátmeneti és a kiolvasó függvények megadásánál is figyelembe kell ezt vennünk. (3) Idővariáns és időinvariáns rendszerek Egy rendszer idővariánciája azaz időtől való függése illetve időinvarianciája, tehát az időtől való függetlensége az abszolút vagy csillagászati időtől való függésre utal. Egy időinvariáns rendszer esetében a a vizsgálat elvégzésének időpontja nem lényeges, a kezdőidőpontot önkényesen választhatjuk meg, és csak a kísérlet időtartama, vagyis a vizsgálati időintervallum hossza az, ami fontos a végállapot és a kimenőjel értékeinek meghatározásánál. Másképpen úgyis megfogalmazhatjuk egy rendszer időinvarianciáját, hogy ugyanakkora értékkel eltolva a vizsgálat kezdő- és végpontját, de azonos kezdőállapotokban ugyanazt a bemenő jelet alkalmazva, ugyanabba a végállapotba juttatjuk a rendszert. Az idővariancia/időinvariancia a matematikai leírásban az állapotátmeneti és kiolvasó függvények megadásánál jelentkezik. Idővariáns rendszereknél az időváltozó expliciten megjelenik a függvény argumentumá9
ban, míg az időinvariáns rendszereknél nem. Ez a különbség a fizikai rendszerek esetében a következő módon mutatható be. Idővariáns rendszerek esetében nemcsak az állapotváltozók, a bemenő és a kimenő jelek függnek az időtől, hanem a rendszert jellemző paraméterek időváltozókként jelennek meg. Egy rendszer idővariáns jellege általában vagy a hosszú távon bekövetkező paraméter változásokból (például alkatrészek kopása), vagy valamely fontos zavaró tényező (például a külső hőmérséklet) figyelembe nem vétele miatt jelentkezik. Egy modell idővariáns/időinvariáns jellege nem keverendő össze a a modell illetve a fizikai rendszer változóinak dinamikus vagy stacionárius viselkedésével. Stacionárius rendszer esetében az állapotváltozó adott helyen időben állandó vagy közel állandó értéket vesz fel, míg az ún. dinamikus rendszer esetében az állapotváltozó az idő függvényében változtatja az értékét. Tehát ebben az esetben a rendszer viselkedését leíró változók időbeli változásit jellemezzük, míg az idővariancia/invariancia esetében pedig a rendszer fizikai paramétereiét. (4) Lineáris és nemlineáris rendszerek Lineáris rendszerek esetében az X, U , Y , Ω és Γ halmazok lineáris vektor terek lesznek, azaz értelmezzük rajtuk az összeadást és a konstanssal való szorzást. A lineáris terek ezen tulajdonságait az általunk vizsgált fizikai rendszerek esetében úgyis megfogalmazhatjuk, hogy két tetszőleges lehetséges működés lineáris kombinációja is - legalábbis matematikai szempontból - lehetséges működést ad. Példaként nézzük ezt meg egy időinvariáns rendszer esetében. Legyen az egyik lehetséges működés kezdőállapota x1 (t1 ), bemenetszegmense u1 (t)(t1 ,t2 ) . Ekkor x1 (t2 ) = ϕ(·, ·, x1 (t1 ), u1 (t)(t1 ,t2 ] ) y1 (t2 ) = η(·, x1 (t2 ), u1 (t2 )) A másik lehetséges működés kezdőállapota pedig x2 (t1 ) és bemenetszegmense u2 (t)(t1 ,t2 ) . Így x2 (t2 ) = ϕ(·, ·, x2 (t1 ), u2 (t)(t1 ,t2 ] ) y2 (t2 ) = η(·, x2 (t2 ), u2 (t2 ))
10
Lineáris rendszer esetében tetszőleges λ1 , λ2 ∈ R esetén igaz, hogy x(t1 ) u(t) x(t2 ) y(t2 )
= = = =
λ1 · x1 (t1 ) + λ2 · x2 (t1 ) λ1 · u1 (t) + λ2 · u2 (t), t ∈ (t1 , t2 ] ϕ(·, ·, x(t1 ), u(t)(t1 ,t2 ] ) = λ1 · x1 (t2 ) + λ2 · x2 (t2 ) η(·, x(t2 ), u(t2 )) = λ1 · y1 (t2 ) + λ2 · y2 (t2 )
A lineáris vagy nemlineáris rendszer leírási mód közötti választás elsősorban a vizsgált rendszer jellegétől függ. Általában igaz, hogy a műszaki rendszerek viselkedése nemlineáris jellegű, de megfelelően szűk tartományban sokszor lineárisnak tekinthetőek, ami lényeges egyszerűsíti a matematikai modell használatát. (5) Véges - végtelen dimenziós rendszerek Egy Σ rendszer akkor és csak akkor véges dimenziós, ha az X állapothalmaz véges dimenziós lineáris vektortér. A műszaki gyakorlatban előforduló fizikai rendszereknek csak egy részének az állapothalmaza képezhető le véges dimenziós vektortérre, és azok is csak közelítés eredményeként. Az olyan fizikai rendszerek állapotát, melyek állapotváltozóinak értéke az általuk kitöltött tér minden pontjában különböző lehet, leggyakrabban szakaszonként folytonos és majdnem mindenütt differenciálható, atér három koordinátáját változóként tartalmazó függvényekkel szokás jellemezni. Ezek azonban nem képezhetőek le véges dimenziós vektorterekre. A leképezéshez az állapotfüggvényeket szakaszonként állandó függvényekkel kell közelíteni, azaz a térkoordinátáktól való függést el kell hanyagolni, vagy más szóval a rendszer jellemzőit véges számú értékbe kell koncentrálni. Ebből adódóan a véges dimenziós rendszereket koncentrált paraméterű rendszereknek, míg a végtelen dimenziós rendszereket elosztott paraméterű rendszereknek szokás nevezni. A fentieknek megfelelően a koncentrált paraméterű rendszerek leírására általában közönséges differenciálegyenleteket haszanálhatunk, míg az elosztott paraméterű rendszerek esetében parciális differenciálegyenleteket. (6) Véges - végtelen állapotú rendszerek Véges állapotú rendszer esetében az X állapothalmaz véges halmaz, azaz a rendszer csak véges számú különböző állapotban lehet. 11
Véges állapotú rendszerek esetében elvileg az állapotátmeneti függvény elvileg az egyes kezdőállapotokra külön-külön is megadható, így az ilyen típusú rendszerek leírása akármilyen bonyolult állapotátmeneti függvény esetében is megvalósítható. Egy műszaki fizikai rendszer véges állapotú rendszerként való jellemzése általában egyszerűsítést jelent, hiszen a legtöbb állapotváltozó értéke az adott intervallumban tetszőleges lehet, és a mérési folyamat eredményeként kapunk véges sok különböző értéket. A véges állapotú, diszkrét idejű időinvariáns rendszerek jellemző példái a későbiekben tárgyalandó automaták.
2.4.
Néhány egyszerű rendszer állapottér modellje
Az állapotér modellek könnyebb megértése érdekében a következőkben bemutatjuk néhány egyszerűbb rendszer állapottérmodelljét. 2.4.1.
Tartálypark modellje
Tekintsük a ábrán látható két tartályból, egy belépő és egy kilépő áramból álló rendszert. tartálypark ábrája!!! A folyadék mennyiségének megváltozása az egyes tartályokban a következő egyenletek segítségével adható meg: dh1 1 1 = Fi − (h1 − h2 ) dt A1 A1 Kv1 dh2 1 1 = (h1 − h2 ) − h2 dt A2 Kv1 A2 Kv2
(2.10) (2.11)
ahol h1 , h2 a folyadékszint az 1. illetve a 2. tartályban, Fi a belépő folyadékáram, A1 , A2 az 1. illetve a 2. tartály alapterülete (hengeres tartályokat feltételezünk), Kv1 , Kv2 az 1. illetve a 2. szelep szelepátfolyási tényezője. A modell paramétereit specifikálva megadhatjuk, hogy h1 , h2 lesznek az állapotváltozók, Fb a bemeneti változó, melyek az idő függvényei. A1 , A2 és Kv1 , Kv2 a rendszer konstansnak tekinthető paraméterei. A kimeneti 12
változót, mely szintén az idő függvénye, a vizsgálat céljának megfelelően választhatjuk meg. Legyen ez az adott példában a 2. tartályból kilépő folyadékmennyiség, Fk , és az ehhez tartozó egyenlet pedig a következő: 1 h2 (2.12) A2 Kv2 Az állapottérmodell, a szokásos alakban felírva a következő lesz: 1 1 dh1 1 − dt A1 Kv1 A1 Kv1 h1 (t) A + = 1 Fb (t) (2.13) dh 1 Kv1 + Kv2 h2 (t) 2 0 A2 Kv1 A2 Kv2 Kv1 dt · ¸ h1 (t) 1 Fk (t) = 0 (2.14) A2 Kv2 h2 (t) Fk =
ahol
h1 (t) az állapotváltozó vektor x(t) , h(t) = h2 (t)
(2.15)
u(t) , Fb (t)a bemenő változó (2.16) y(t) , Fk (t)a kimenő változó (2.17) 1 1 − A1 Kv1 A1 Kv1 A = az állapotátmeneti mátrix (2.18) 1 Kv + Kv 1
2
A2 Kv1 A2 Kv2 Kv1 1 A b = 1 a bemeneti vektor · c =
(2.19)
0
¸ 1 0 kimeneti vektor A2 Kv2
(2.20)
Megfigyelhető, hogy a példa egy bemenetű - egy kimenetű jellege miatt, a bemenő és a kimenő változó skalár változó, a bemeneti mátrix oszlopvektorrá, a kimeneti mátrix pedig sorvektorrá egyszerűsödik. 13
2.5.
Az állapottér modell tipikus alakjai
A 2.3 fejezetben megadott csopotosítási szempontokat figyelembe véve, koncentrált paraméterű számszerű műszaki fizikai rendszert feltételezve, az állapottérmodellt a következő általános alakban adhatjuk meg. Legyen x(t) az állapotváltozók vektora, u(t) a bemenő változók vektora, y(t) a kimenő változók vektora. - Folytonos idejű, nemlineáris, idővariáns rendszer x(t) = f (t, x(t), u(t)) dt y(t) = f (t, x(t), u(t))
(2.21) (2.22)
- Folytonos idejű, nemlineáris, időinvariáns rendszer x(t) = f (x(t), u(t)) dt y(t) = f (x(t), u(t))
(2.23) (2.24)
- Folytonos idejű, lineáris, idővariáns rendszer x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) dt y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t)
(2.25) (2.26)
- Folytonos idejű, lineáris, időinvariáns rendszer x(t) = Ax(t) + Bu(t) dt y(t) = Cx(t) + Du(t)
(2.27) (2.28)
A felsorolt alakok közül, a matematikai kezelhetőség szempontjából nyilvánvalóan a folytonos idejű, lineáris, időinvariáns eset a legegyszerűbb, és a gyakorlati esetek többségében is kielégítő pontossággal alkalmazható, így nézzük meg ezen, hogy a változók számai hogyan befolyásolják a vektorok és a mátrixok méreteit.
14
Legyen n darab állapotváltozónk, p darab bemenő változónk és r darab kimenő változónk. Ekkor x1 x2 dim(x) = n x= (2.29) . . . az állapotvektor xn u1 u2 u= (2.30) dim(u) = p . . . a bemenővektor up y1 y2 dim(y) = r y= (2.31) . . . a kimenővektor yr a11 a12 . . . a1n ... a2n a21 A= . dim(A) = n × n az állapotátmeneti mátrix (2.32) .. .. .. . . an1 . . . ann b11 b12 . . . b1p .. . b2p b21 B= . dim(B) = n × p a bemeneti mátrix (2.33) . . .. .. .. bn1 . . . bnp c11 c12 . . . c1n ... c2n c21 C= . a kimeneti mátrix (2.34) dim(C) = r × n .. .. .. . . cr1 . . . crp d11 d12 . . . d1p .. . d2p d21 D= . (2.35) dim(D) = r × p a segéd mátrix . . .. .. .. dr1 . . . drp Amennyiben a bemenő jel és a kimenő jel egyaránt skalár változó, akkor a bemeneti mátrix egy oszlopvektorrá, a kimeneti mátrix pedig sorvektorrá egyszerűsödik, ahogy ezt a 2.4.1 alfejezetbeli példában láttuk. 15
A D segédmátrix csak az olyan rendszerek állapottér modelljeiben található meg, amelyeknél a bemenet közvetlenül, a rendszer "megkerülésével" hat a kimenetre. A ?? fejezetben foglalkozunk az állapottér modellek és a bemenet - kimenet modellek közötti kapcsolattal, ezért itt most csak megjegyezzük, hogy az ilyen rendszerek I/O modelljében a bemenet deriválási fokszáma megegyezik a kimenet deriválási fokszámával.
2.6.
Bemenet - kimenet modellek
A rendszerek modellezésének elterjedt formája az ún. bemenet-kimenet vagy input-output modellek (röviden I/O modellek) alkalmazása. Ezeknél a modelleknél a rendszer kimenetei és bemenetei között keresünk kapcsolatot, vagyis arra próbálunk meg összefüggést felírni, hogy adott bemenetre milyen kimenettel válaszol a rendszer. Nyilvánvaló, hogy ezek a modellek kevesebb információt tükröznek vissza a rendszerből, ezért akkor használjuk, ha elsősorban az átviteli tulajdonság érdekel valamilyen konkrét jel esetén, vagy nincs elégséges információnk a belső felépítést is tükröző állapottér modell megadására. Az I/O modelleket a Kalman-féle rendszer definícióból származtathatjuk a következő módon. Legyenek a T -időhalmaz, U -a lehetséges beeneti értékek halmaza, Y -a lehetséges kimeneti értékek halmaza, Ω-a lehetséges bemenet-időfüggvények és Γ-lehetséges kimenet- időfüggvények halmaza a Kalman-féle rendszer definícióban megadott tulajdonsággal. Legyen F a következő függvényhalmaz: F = {fi : T × Ω → Y }
(2.36)
ahol fi (t, ω) függvényeket bemenet-kimenet függvényeknek hívjuk, és az fi (t, ω) = y(t) összefüggés megadja a t időponthoz tartozó y(t) kimenet értékét az ω(t) bemenet függvényében az i-dik kísérletben. E definíciónak megfelelően az input-output modell egy dinamikus rendszer kísérleti adatai absztrakt összefoglalásának tekinthető. Az i absztrakt paraméterrel megcímkézett kísérletek egy alkalmazott bemenetből és a megfigyelt kimenetből állnak. A 2.59 fejezetben ismertetett tulajdonságok értelemszerűen alkalmazhatók az I/O modelek esetében is. Az ott leírt csoportosítási szempontoknak megfelelően - az állapottér modellekhez hasoló módon - az alábbi tipikus modelleket írhatjuk fel koncentrált paraméterű műszaki rendszerek esetén: 16
- Folytonos idejű, nemlineáris, idővariáns rendszer di y() dti (2.37)
f (t, y(t), y (1) (t), . . . , y (n) (t), u(t), u(1) (t), . . . , u(m) (t)) = 0ahol y (i) = differenciálegyenlet. - Folytonos idejű, nemlineáris, időinvariáns rendszer
di y() dti (2.38)
f (y(t), y (1) (t), . . . , y (n) (t), u(t), u(1) (t), . . . , u(m) (t)) = 0ahol y (i) = differenciálegyenlet. - Folytonos idejű, lineáris, időinvariáns rendszer
an y (n) (t)+an−1 y (n−1) (t)+· · ·+a1 y (1) (t)+a0 y(t) = bm u(m) (t)+· · ·+b0 u(t) (2.39) közönséges, inhomogén differenciálegyenlet. Megjegyezzük, hogy a valós fizikai rendszerekre érvényes oksági szabály miatt a két oldal deriválási fokszámára a n ≥ m összefüggés érvényes, azaz a bemenet megváltozása okozza a kimenet megváltozását. Idővariáns rendszer esetében az itt konstans ai , bj paraméterek is időfüggvények lesznek. - Diszkrét idejű, lineáris, időinvariáns rendszer Diszkrét idejű rendszerek esetében kétféle leírási mód használatos: – az előrefelé vett differenciákkal felírt differenciegyenlet an+k y((k+n)T )+an+k−1 y((k+n−1)T )+· · ·+a1 y((k+1)T )+a0 y(kT ) = = bk+m u((k + m)T ) + · · · + b0 u(kT ) (2.40) ahol T - a mintavételezési időállandó. – a visszafelé vett differenciákkal felírt differenciegyenlet a0 y(kT )+a1 y((k−1)T )+· · ·+ak+n−1 y((k−n+1)T )+an+k y((k−n)T ) = = b0 u((k − d)T ) + b1 u(k − d − 1) + · · · + bk+m u((k − d − m)T ) (2.41) ahol d = n − m a kimenet késleltetése a bemenethez képest. 17
A két féle leírási mód között a viszonyítási időponthoz, y(kT )-hez való viszonyban van különbség: míg az előrefelé vett differenciák esetében a y(kT )-t hozzá képest későbbi adatokat alapján határozzuk meg, addig a visszafelé vett differenciák esetében ezt a korábbi, azaz meglévő adatok alapján végezzük el. Ennek megfelelően az első esetben a számolást csak valamennyi adat rendelkezésre állása esetén használhatjuk, és az elsődleges cél a modell ellenőrzése lehet, addig a második esetben a szabályozási feladat elvégzését segítheti a modell által jósolt pillanatnyi kimenet, azaz a rendszer működése közben is alkalmazható. Természetesen jó modell esetén az előrefelé vett differenciák módszere pontosabb eredményt szolgáltat, míg a visszafelé vett differenciák módszere az extrapoláció, azaz a meglévő adatok alapján végzett becslés pontatlanabb. A d késleltetési tényező azt adja meg, hogy a bemenő jel hatása hány mintavételezési időpont múlva jelenik meg a kimeneten.
2.7.
Tipikus bemenet - kimenet modellek
A 2.6 fejezetben bemutattuk a bemenet - kimenet modellek általános alakját, illetve néhány tipikus formáját, amennyiben az általános megkötéseken (pl. folytonos/diszkrét idejű modell, idővariáns/időinvariáns vagy nemlineáris/lineáris rendszer) változtatunk. Az egyes típusok során nem célunk azok részletes bemutatás, hiszen a tárgy előgfeltételeihez kapcsolódó jegyzetekben ez részletesen megtalálható (lásd: Szakonyi ....). Itt most csak azokat a tulajdonságokat foglaljuk össze, melyek az anyag további tárgyalása szempontjából lényeges. Legyen a vizsgált modell folytonos idejű, lineáris és időinvariáns. Csoportosítsuk a rendszereket a kimeneti és a bemeneti oldal deriválási fokszámának függvényében! 2.7.1.
Nulladrendű rendszer
Legyen a kimeneti oldal deriválási fokszáma n = 0, a bementi oldalé pedig m = 0. Ekkor a következő alakú I/O modellt kapjuk: a0 y(t) = b0 u(t)
(2.42)
Az így kapott modellt, a kimeneti oldal deriválási fokszáma alapján nulladrendű rendszermodellnek szokás nevezni. További elnevezések: arányos rendszer vagy P-tag. 18
Feltételezve, hogy sem a0 , sem b0 nem egyenlő zérussal, a0 -lal végosztva az egyenletet a következőt kapjuk: y(t) = Ku(t)aholK =
b0 a0
(2.43)
Az így bevezetett K paramétert erősítésnek nevezzük. A nulladrendű rendszer átviteli függvénye: G(S) =
Y (s) b0 |0kezdetif elt. = =K U (s) a0
(2.44)
frekvencia átviteli függvénye pedig: G(jω) = K
(2.45)
A nulladrendű rendszer átmeneti függvénye: y(t) = K · 1(t)
(2.46)
y(t) = K · δ(t)
(2.47)
súlfüggvénye pedig: azaz mindkét esetben az erősítéssel módosított bemenő jelet kapjuk meg a kimeneten. 2.7.2.
Elsőrendű rendszer
Legyen a kimeneti oldal deriválási fokszáma n = 1, a bementi oldalé pedig m = 0. Ekkor a 2.6 egyenlet következő alakú: a1 y (1) (t) + a0 y(t) = b0 u(t)
(2.48)
Tételezzük fel, hogy az együtthatók egyike sem egyenlő zérussal, osszuk el a0 -val az egyenlet mindkét oldalát: b0 a1 (1) y (t) + y(t) = u(t) a0 a0
(2.49)
majd vezessük be a következő jelöléseket: b0 =K a0
a1 =τ a0 19
(2.50)
ahol K a nulladrendű rendszerekhez hasonlóan az erősítést jelenti, τ pedig a rendszer további paraméterét, az időállandóját adja meg. Az új paraméterek bevezetésével a 2.48 egyenlet a következő alakú lesz: τ y (1) (t) + y(t) = Ku(t)
(2.51)
Megjegyezzük, hogy az időállandó jelölésére a τ mellett a szakirodalomban még a T betüt is használják. Az elsőrendű rendszer átviteli függvénye: G(S) =
Y (s) b0 K = |0kezdetif elt. = U (s) a1 s + a0 τs + 1
(2.52)
frekvencia átviteli függvénye pedig: G(jω) =
K τ jω + 1
(2.53)
Az elsőrendű rendszer frekvencia átviteli függvénye Nyquist és Bode diagramban ábrázolva a 2.59 és a 2.59 ábrán látható. Az elsőrendű rendszer átmeneti függvénye: y(t) = K · 1(t)!!!!
(2.54)
y(t) = K · δ(t)!!!!
(2.55)
súlfüggvénye pedig: azaz mindkét esetben az erősítéssel módosított bemenő jelet kapjuk meg a kimeneten. Vizsgáljuk meg a két paraméter hatását a rendszer működésére! Mint az az átmeneti függvény analitikus megoldásából, a (2.65) egeyenletből is kitűnik, az erősítés az új egyensúlyi állapotban, a kimenet által felvett értéket határozza meg, míg az időállandó a beállás idejét szabályozza. Jól látható, hogy nagy τ érték esetén az exponenciális tag hosszabb ideig van jelen, míg kis τ érték esetén gyorsabban "eltűnik", azaz rövid ideig hat, így a beállás az első esetben lassabb, míg a második esetben gyorsabb. Ez a folyamat a 2.59 ábrán is nyomonkövethető, ahol az erősítés értékének K = 3, az időállandónak pedig az egyik esetben τ1 = 0.1, míg a másik esetben τ2 = 10 választottunk.
20
2.7.3.
Másodrendű rendszer
Legyen következő lépésként a kimeneti oldal deriválási fokszáma n = 2, a bementi oldalé pedig m = 0. Ebben az esetben az általános (2.6) egyenlet következő alakú lesz: a2 y (2) + a1 y (1) (t) + a0 y(t) = b0 u(t)
(2.56)
Megjegyezzük, hogy a bementi oldal deriválási fokszámának a későbbiekben elvégzendő stabilitási vizsgálatoknál nincs szerepe, csak az átmeneti, azaz a tranziens állapotbeli viselkedést befolyásolja, ezért e rövid összefoglalás egyszerűsítéseként választjuk itt a legegyszerűbb esetet. Tételezzük fel, hogy az együtthatók egyike sem egyenlő zérussal, osszuk el a0 -val az egyenlet mindkét oldalát: a2 (2) a1 b0 y (t) + y (1) (t) + y(t) = u(t) a0 a0 a0
(2.57)
Vezessük be a nullad és az elsőrendű rendszerekkel analóg módon az ab00 hányodos helyett a K erősítést, a aa10 hányados helyett a T1 időállandót és a aa02 hányados helyett pedig a T22 időállandót: T22 y (2) (t) + T1 y (1) (t) + y(t) = Ku(t)
(2.58)
Az így kapott egyenlet, a paraméterek hatásának nehézkes értelmezhetősége miatt kevésbé használatos, ezért a két időállandó helyett vezessük be következő paramétereket: T , T2
az időllandó T1 ζ , 0, 5 a csillapítási tényező T2
(2.59) (2.60)
Ennek megfelelően az eredeti (2.56) egyenlet a következő alakú lesz: T 2 y (2) (t) + 2ζT y (1) (t) + y(t) = Ku(t)
(2.61)
y (2) (t) + 2ζωn y (1) (t) + ωn2 y(t) = Kωn2 u(t)
(2.62)
vagy ahol ωn = 1/T a természetes frekvencia. Megjegyezzük, hogy a szakirodalomban a két paraméter egyformán használatos az időtartománybeli és 21
az operátortartománybeli leírások esetében, míg a frekvenciatartományban történő vizsgálatoknál inkább az időállandó használatos a kétféle frekvenciajelölés elkerülése érdekében. A másodrendű rendszer átviteli függvénye: G(S) =
Y (s) b0 = |0kezdetif elt. = 2 U (s) a2 s + a1 s + a0 K = 2 2 = T s + 2ζT s + 1 Kωn2 = 2 (2.63) s + 2ζωn s + ωn2
frekvencia átviteli függvénye pedig: G(jω) =
K T 2 (jω)2 + 2ζjω + 1
(2.64)
A másodrendű rendszer átmeneti függvénye: y(t) = K · 1(t)!!!!
(2.65)
y(t) = K · δ(t)!!!!
(2.66)
súlfüggvénye pedig: azaz mindkét esetben az erősítéssel módosított bemenő jelet kapjuk meg a kimeneten.
22
3. 3.1. 3.1.1.
Gyakorlati példák Matematikai áttekintés Komplex számok
A valós számok körében nincs olyan szám, amelynek páros kitevős hatványa negatív lenne, így a negatív számokból nem tudunk például négyzetgyököt vonni. Ennek √ kiküszöbölésére ki kellett bővíteni a valós számok halmazát, úgy, hogy a √−1 is értelmezve legyen rajta. A −1 = j jelölést alkalmazva ezentúl már léteznek a negatív számok gyökei. Ezt a számhalmazt komplex számoknak nevezzük. A komplex számok a valós számok körének olyan bővítését adják, ahol minden szám négyzetgyöke értelmezhető. Míg a valós számok a számegyenes pontjainak, úgy a komplex számok a síkbeli koordinátarendszer (úgynevezett komplex számsík) pontjainak feleltethetőek meg (lásd ??.ábrát). A (0, 1) koordinátákkal jellemezhető komplex számot képzetes (imaginárius), egységnek nevezzük és j-vel jelöljük. Az (a, b) koordinátájú pontnak megfelelő z komplex számot z = a + bj alakban írhatjuk fel. Tehát az a, b ² R rendezett számpárt (a, b) ² C komplex számnak nevezzük. Fontos tudnivaló, hogy a komplex számok teste nem rendezett, azaz általánan két komplex szám nem összehasonlítható, köztük a <, > reláció nem értelmezhető. Tehát nem mondható ki az, hogy valamely komplex szám kisebb vagy nagyobb a másiknál. (1) Komplex számok különdöző alakjai - Kanonikus alak
z = a + bj
(3.1)
alakot a komplex szám algebrai vagy kanonikus alkjának hívjuk, ahol a jelöli a komplex szám valós azaz realis részét (Re), b pedig a képzetes azaz imaginárius részét (Im). 23
Re(z) = a, Im(z) = b
(3.2)
Megjegyzés: a z = a + bj komplex szám konjugáltján az a − bj komplex számot értjük, amit y-vel jelölünk. - Trigonometrikus alak
z = r(cos(ϕ) + j sin(ϕ))
(3.3)
alak a komplex szám trigonometrikus alkaja, ahol r = |z| a szám abszolútértéke. Ez a szám a komplex számsíkon a z számnak megfelelő pont origótól mért távolságát adja meg. r = |z| =
p
Re(z)2 + Im(z)2 =
√
a2 + b2
(3.4)
ϕ az úgynevezett fázisszög, melynek értéke:
ϕ = arctan
b Im(z) = arctan a Re(z)
(3.5)
- Exponenciális alak
z = rejϕ
(3.6)
a komplex szám exponenciális alakja, ahol r a már elmített abszolútérték, ϕ pedig a fázisszög. (2) Műveletek komplex számokkal Legyen két komplex szám z1 és z2 . z1 = a + bj = r1 (cos(ϕ1 ) + j sin(ϕ1 ) = r1 ejϕ1 24
(3.7)
z2 = c + dj = r2 (cos(ϕ2 ) + j sin(ϕ2 ) = r2 ejϕ2
(3.8)
Összeadás, kivonás:
z = z1 ± z2 = (a ± c) + (b ± d)j
(3.9)
Re(z) = Re(z1 ± z2 ) = a ± c
(3.10)
Im(z) = Im(z1 ± z2 ) = b ± d
(3.11)
tehát:
Az összeadás művelete asszociatív és kommutatív. Szorzás:
z = z1 ∗ z2 = (a + bj) ∗ (c + dj) = ac + adj + cbj + bdj 2 = = (ac − bd) + (ad + cb)j
(3.12)
Re(z) = Re(z1 ∗ z2 ) = ac − bd
(3.13)
Im(z) = Im(z1 ∗ z2 ) = ad + cb
(3.14)
tehát:
A szorzás is asszociatív és kommutatív művelet. Igazolható, hogy a komplex számok halmaza az összeadás és szorzás műveletekkel testet alkot, továbbá a z = j komplex szám (imaginárius egység) négyzete −1. Két komplex szám szorzatát úgy kapjuk meg, hogy tagonként összeszorozzuk őket és a fentieknek megfelelően felhasználjuk, hogy j 2 = −1.
25
Példa:
(2+3j)(1+4j) = 2+3j+8j+12j 2 = 2+11j+12j 2 = 2+11j−12 = −10+11j Szorzás trigonometrikus és exponenciális alakban: z = z1 ∗ z2 = (r1 (cos(ϕ1 ) + j sin(ϕ1 )) ∗ (r2 (cos(ϕ2 ) + j sin(ϕ2 ))(3.15) z = z1 ∗ z2 = r1 ∗ r2 (cos(ϕ1 + ϕ2 ) + j(sin(ϕ1 + ϕ2 )))
(3.16)
z = z1 ∗ z2 = r1 ejϕ1 ∗ r2 ejϕ2 = r1 ∗ r2 ej(ϕ1 +ϕ2 )
(3.17)
Osztás:
z=
z1 a + bj = z2 c + dj
(3.18)
A számlálóban és a nevezőben is található képzetes rész, így nem lehet egyszerű osztást végezni. Ahhoz, hogy a hányadost kanonikus alakban megkaphassuk, elsőként el kell tűntetni a nevezőben az imaginárius részt. Ezt legegyszerűbben úgy érhetjük el, hogy a törtet bővítjük a nevező konjugáltjával, azaz a számlálót és nevezőt is megszorozzuk a nevező komplex konjugáltjával. a + bj a + bj c − dj (a + bj)(c − dj) = = c + dj c + dj c − dj (c + dj)(c − dj)
(3.19)
(ac + bd) + (cb − ad)j ac − adj + cbj − bdj 2 = 2 2 2 c + cdj − cdj + d j c2 − d2
(3.20)
ac + bd (bc − ad)j + 2 c2 + d2 c + d2
(3.21)
z=
z=
z=
26
tehát: z1 ac + bd )= 2 z2 c + d2
(3.22)
(bc − ad) z1 )= 2 z2 c + d2
(3.23)
Re(z) = Re(
Im(z) = Im( Példa:
2 + 3j (2 + 3j)(1 − 4j) 2 + 3j − 8j − 12j 2 14 + 5j 14 5 = = = = − j 2 1 + 4j (1 + 4j)(1 − 4j) 1 + 16j 17 17 17 Osztás trigonometrikus és exponenciális alakkal: z= =
z1 r1 (cos(ϕ1 ) + j sin(ϕ1 )) = = z2 r2 (cos(ϕ2 ) + j sin(ϕ2 ))
r1 (cos(ϕ1 − ϕ2 ) + j sin(ϕ1 − ϕ2 )) r2 z=
z1 r1 ejϕ1 r1 = = ej(ϕ1 −ϕ2 ) jϕ 2 z2 r2 e r2
(3.24)
(3.25)
Hatványozás: A hatványozást trigonometrikus vagy exponenciális alakban célszerű végrehajtani: z n = rn ((cos(ϕ) + j sin(ϕ)))n = rn (cos(nϕ) + j sin(nϕ))
(3.26)
illetve: z n = (rejϕ )n = rn ejnϕ Gyökvonás:
27
(3.27)
Komplex számok körében a gyökvonás több értékű művelet, azaz egy komplex számnak n darab n-edik gyöke van. √ n
z=
√ n
r((cos
ϕ + 2kπ ϕ + 2kπ ) + j(sin )) n n
ahol k = 0, 1, 2..., n − 1.
28
(3.28)
3.1.2.
Mátrixelméleti összefoglaló
Mátrix: Valós számokból képzett n×m-es mátrixnak az ai,j ² R; i := 1, ..., m; j := 1, ..., n számok alábbi elrendezését nevezzük:
a11 a12 ... a1n a21 ... A= . .. am1 am2 ... amn
= (aij )
(3.29)
Ekkor aij -t az A mátrix (i, j)-edik (i-edik sorban, j-edik oszlopban lévő) elemének nevezzük.Az A = (aij ) m × n-es mátrix transzponáltján azt az n × m-es mátrixot értjük, amelynek (j, i)-edik eleme aij . Jelölés: AT . Ha A = AT , akkor az A mátrixot szimmetrikusnak, ha A = −AT , akkor ferdén szimmetrikusnak nevezzük. Speciális mátrixok: Vektor: Az olyan mátrixot, melynek m sora és egy oszlopa van, oszlokvektornak nevezzük. x=
x1 x2 .. .
(3.30)
xm Léteznek sorvektorok is, hasonlóan az oszlopvektorhoz, csak ennek 1 sora és n oszlopa van. x=
£
y1 y2 ...yn
29
¤
(3.31)
Kvadratikus mátrix: Az n × n-es mátrixokat kvadratikus (négyzetes) mátrixoknak nevezzük. a11 . . . a1n A = ... . . . (3.32) an1 . . . ann Diagonális mátrix: Azt az A = (aijn×n ) kvadratikus mátrixot, amelyre aij = 0, a i 6= j (azaz a főátlón kívüli elemek mind nullák), diagonális mátrixnak hívjuk. Egységmátrix: Az egységmátrix olyan diagonális mátrix, amelynek főátlójában minden elem 1. Jelölés: I. 1 0 ... 0 0 1 ... 0 I = .. (3.33) . . . . 0 0 ... 1 AI = A
(3.34)
IA = A
(3.35)
Műveletek mátrixokkal: Az A = (aij n×m ) és B = (bij )m×n mátrixok összegén azt az m × n-es mátrixot értjük, amelynek (i, j)-edik eleme aij + bij . A + B = (aij + bij )m×n Az összeadás művelete kommutatív.
30
(3.36)
Az A = (aij )n×m mátrix λ-szorosán (λ ² R) azt az m × n-es mátrixot értjük, amelynek (i, j)-edik eleme λ aij . λA = (λ aij )m×n
(3.37)
Legyenek A = (aij )n×m és B = (bkj )p×n mátrixok. Ekkor A és B mátrixok összehasonlíthatóak, és szorzatuk az az m× n-es mátrix, melynek (i, j)-edik eleme: p X
aik bkj
(3.38)
k=1
Fontos megjegyezni, hogy a mátrixszorzás asszociatív de nem kommutatív művelet! D = ABC = (AB)C = A(BC)
(3.39)
AB 6= BA
(3.40)
Igazolhatók az alábbi összefüggések: (A + B)T = AT + B T
(3.41)
(AB)T = B T AT
(3.42)
Példa:
2 −1 4 0
0 · 2 0 ¸ −4 9 3 1 0 2 = 3 3 1 −1 3 1 5 −5 15
4 1 9 5
Négyzetes mátrix determinánsa: Négyzetes mátrixok determinánsa az alábbi rekurzív definícióval értelmezhető:
31
(1) Legyen A = [a11 ] 1 × 1-es mátrix. Ekkor az A mátrix determinánsa a11 . Jelölés: det(A) vagy |A| (2) Legyen A] n × n-es mátrix (n ≥ 2). Ekkor :
|A| =
n X
(−1)1+j a1j |Aij |
(3.43)
j=1
ahol Aij jelöli azt az (n − 1) × (n − 1)-es részmátrixot, amelyet A-ól annak i-edik sorát és j-edik oszlopát elhagyva kapunk. A fenti összefüggés a mátrix determinánsát az úgynevezett első sor szerinti kifejtéssel adja meg. Példaként egy 3 × 3-as A mátrix determinánsa az első sor szerint kifejtve: ¯ ¯ a11 a12 a13 ¯ |A| = ¯¯ a21 a22 a23 ¯ a31 a32 a33
¯ ¯ ¯ ¯= ¯ ¯
(3.44)
= a11 (a22 a33 − a23 a32 ) − a12 (a21 a33 − a23 a31 ) + a13 (a21 a32 − a22 a31 ) (3.45) Igazolható a következő összefüggés: |A||B| = |AB| Ha egy négyzetes mátrix determinánsa 0 (|A| = 0), akkor a mátrixot szingulárisnak nevezzük, ellenkező esetben a mátrix nemszinguláris. Példa: ¯ ¯ 2 1 −1 ¯ ¯ 3 −1 2 ¯ ¯ 4 1 −2
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 ¯ = 2 ¯ −1 ¯ ¯ 2 −2 ¯
¯ ¯ ¯ ¯ 2 ¯ − 1¯ 3 ¯ ¯ 4 −2
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ + (−1) ¯ 3 −1 ¯ = ¯ ¯ 4 2 ¯
= 2((−1) · (−2) − 2 · 2) − (3 · (−2) − 2 · 4) + (−1)(3 · 2 − (−1) · 4) = = 2 · (−2) − 1 · (−14) + (−1) · 10 = −4 + 14 − 10 = 0 Mátrix transzponáltja:
32
Egy m × n-es mátrix transzponáltja AT n × m-es mátrix: B = AT , bij = aji , ∀i, j
(3.46)
Igazolhatóak a következő szabályok: (AB)T = B T AT
(3.47)
(ABC)T = C T B T AT
(3.48)
(A + B)T = AT + B T
(3.49)
Mátrix rangja: Az A = (aij ) n × m-es mátrix rangja q,ha A-nak létezik olyan q × q méretű részmátrixa (ezt alkalmasan választott (m-q) sor és (n-q) oszlop elhagyásával kaphatjuk), amely nemszinguláris, ugyanakkor (q + 1) × (q + 1) méretű részmátrixok mind szingulárisak. Példa: Vizsgáljuk meg az · |A| = det
1 2 3 0 1 2 3 0
¸
mátrixot. Ennek a mátrixnak léteznek 1 × 1-es nemszinguláris részmátrixai (pl [1]), ugyanakkor minden 2 × 2-es részmátrixa szinguláris (azaz determinánsa 0). Így az A mátrix rangja: q = 1. Ha egy n × n-es mátrix rangja n, akkor azt teljes rangú mátrixnak hívjuk. Igazolható, hogy egy néhyzetes mátrix pontosan akkor teljes rangú, ha nemszinguláris, azaz determinánsa nullától különböző. Négyzetes mátrix inverze:
33
Az A n × n-es kvadratikus mátrixot invertálhatónak nevezzük, ha létezik olyan A−1 n × n-es mátrix, melyre: A · A−1 = A−1 · A = I
(3.50)
Ekkor az A−1 mátrixot az A mátrix inverzének hívjuk. Igazolható, hogy egy négyzetes mátrix pontosan akkor invertálható, ha nemszinguláris. Továbbá: −1
(A−1 )T = (AT )
(3.51)
(A1 A2 )−1 = A2 −1 A1 −1
(3.52)
Négyzetes mátrix sajátértéke és sajátvektora: Az A kvadratikus mátrix sajátértékének nevezzük a λ számot, ha valamely x nullvektortól különböző oszlopvektorra A · x = λ · x. Ekkor x-et az A mátrix sajátvektorának nevezzük. A sajátértékek a P (λ) = |λI − A| = 0
(3.53)
karakterisztikus egyenlet gyökeiként határozhatóak meg. Példa: Az
¯ ¯ ¯ 1 3 ¯ ¯ ¯ |A| = ¯ −1 5 ¯
mátrix karakterisztikus egyenlete: ¯ ¯ λ−1 3 P (λ) = |λI − A| = ¯¯ −1 λ − 5
¯ ¯ ¯= ¯
= (λ − 1)(λ − 5) − 3 · (−1) = λ2 − λ − 5λ + 5 + 3 = λ2 − 6λ + 8 = 0 Ennek gyökei, azaz az A mátrix sajátértékei: λ1 = 4 λ2 = 2 34
Négyzetes mátrix exponenciális függvénye : Analízisből ismeretes, hogy az exponenciális függvény au alábbi végtelen sorraL értelmezhető: ∞
X 1 1 1 e = 1 + x + x2 + x3 + · · · = xk 2! 3! k! k=0 x
(3.54)
Az x skalárváltozót az A n × n-es négyzetes mátrixszal helyettesítve az A mátrix exponenciális függvényét kapjuk: ∞
X 1 1 1 Ak e = I + A + A2 + A3 + ... = 2! 3! k! k=0 A
(3.55)
Ez a mátrixsor elemenként konvergál egy határmátrixhoz, amit eA -val jelölünk. Kvadratikus formák: Legyen A n × n-es szimmetrikus mátrix. A T
Q(x) = x · A · x =
n X n X
aij xi xj
(3.56)
i=1 j=1
függvényt kvadratikus formának nevezzük. A Q(x) kvadratikus forma illetve a neki megfelelő A mátrix pozitív (negatív) definit, ha bármely nullvektortól különböző x vektor esetén Q(x) ≥ 0 (Q(x) ≤ 0).
(3.57)
Igazolható, hogy a Q(x) kavadratikus forma akkor és csak akkor pozitív definit, ha az A mátrix sajátértékei pozitívak, illetve ha a Q(x) kavadratikus forma pozitív szemidefinit, akkor az A mátrix sajátértékei nemnegatívak. Ortogonális és szimmetrikus mátrixok:
35
Az A kvadratikus mátrix ortogonális, ha AAT = I
(3.58)
AT A = I
(3.59)
és ennek megfelelően
Ekkor a sajátértékek abszolútértéke 1. Ha A = AT , akkor szimmetrikusnak nevezzük (sajátértékei valósak). Ha x1 λ1 -hez tartozó, x2 λ2 -höz tartozó sajátvektor, akkor λ1 6= λ2 esetén xT1 x2 = 0, ekkor x1 és x2 vektorok ortogonálisak. Ha A = −AT , akkor ferdén szimmetrikusak.
36
3.1.3.
Laplace, -inverz Laplace transzformáció és összefüggései
A rendszerelméletben, szabályozástechnikában időben változó rendszerek leírásakor fontos szerepe van az időben változó jelek különböző integráltranszformációinak. Ezek közül a legfontosabb az úgynevezett Laplace transzformáció. Mivel leggyakrabban úgynevezett bekapcsolási jelekez (negatív időkre azonosan zérus jeleket) használunk, az egyoldalas Laplace-transzformációt továbbiakban Laplace-transzformáció - értelmezzük. Az f (t) időfüggvény Laplace transzformáltja definíció szerint: Z ∞ L{f (t)} = F (s) = f (t)e−st dt (3.60) 0
A leggyakrabban használt függvények Laplacce transzformáltjai a Táblázatok fejezetben megtalalhatóak. A Laplace transzformáció az f (t) függvényhez egy egyértlemű F (s) leképzett, transzformált függvényt rendel hozzá. Ez egy megfordítható hozzárendelés (inverz transzformáció). Az inverz Laplace transzformáció elvi kifejezése: −∞
L
1 {F (s)} = f (t) = 2πj
Z
σ+jω
F (s) ∗ ets ds
(3.61)
σ−jω
Laplace transzformáció tulajdonságai:
f (t) → F (s)
(3.62)
konstans kiemelhető a transzformációból: cf (t) → cF (s)
(3.63)
c1 f1 (t) ± c2 f2 (t) → c1 F1 (s) ± c2 F2 (s)
(3.64)
f (t)e−αt → F (s + α)
(3.65)
f 0 (t) → sF (s) − f (0)
(3.66)
eltolási tétel:
deriválás:
37
integrálás: Z
t
1 f (t)dt → F (s) s
(3.67)
lim f (t) = lim sF (s)
(3.68)
lim f (t) = lim sF (s)
(3.69)
0
kezdetiérték tétel: t→0
t→∞
végérték tétel: t→∞
t→0
A Laplace transzformáció alkalmazásának előnyei: - a szuperpozíció elve érvényesül - állandó együtthatójú, lineáris differenciálegyenletek a Laplace transzformáció során algebrai műveletekké egyszerüsödnek - a konvolúció transzformáció elvégzése után egyszerű szorzássá módosul (konvolúciós tétel)
38
3.1.4.
Z, inverz Z transzformáció és összefüggései
Az f (t) függvénnyel leírható jel mintavételezett alakja az alábbi formában adható meg: ∗
f (t) =
∞ X
f (nT )δ(t − nT )
(3.70)
n=1
ahol T jelöli a mintavételezési időt. Ezt felhasználva a szakaszos működésű rendszerek tárgyalásához leggyakrabban az úgynevezett z transzformációt alkalmazzák, melynek definíciója:
Z{f ∗ (t)} = F (z) =
∞ X
f (nT )z −n
(3.71)
n=0
Ez a definíciós képlet egyszerű alaban állítja elő a z transzformáltat, viszont a tarnszformáltak végtelen sorral vannak kifejezve, és ennek zárt alakú öszszegképletét nem mindíg könnyű megtalálni. A z transzformált zárt képlettel is kiszámítható, például egyszeres pólusok esetén az alábbi kifejtési tétellel:
F (z) =
p X Fz (pi )
Fp0 (pi ) i=1
z z − eT pi
(3.72)
ahol F (s) = FFz0 (s) a Laplace transzformált p (s) Fz (s), zérushelyeket megadó számláló Fp (s), pólushelyeket megadó nevező pi , i-edik pólus p, pólusok száma Fz (pi ), Fz (s) az s = pi helyen p (s) derivált értéke az s = pi helyen Fp0 (pi ) = dFds Ennek előnye, hogy zárt alakban állítja elő az eredményt. A z tarnszformált csak a mintavételezett függvénnyel áll kapcsolatban. Inverze ennek megfelelően csak a mintavételezési időpontokban adható meg, 39
a többi időpontól nincs információnk. Ezért a mintavételezés időpontjában megegyező időfüggvények z transzformáltja is megegyezik. z transzformáció tulajdonságai:
Z{f (nT )} → F (z)
(3.73)
Z{f1 (nT )} ± Z[f2 (nT )] = F1 (z) ± F2 (z)
(3.74)
Z{af (nT )} = aZ[f (nT )] = aF (z)
(3.75)
Z{f (kT − nT )} = z −n F (z)
(3.76)
m
Z{f (kT + mT )} = z [F (z) −
n−1 X
f (kT )z −i ]
(3.77)
k=0
kezdetiérték tétel: z−1 F (z) z→∞ z
(3.78)
z−1 F (z) z→1 z
(3.79)
lim f (kT ) = lim
k→0
végérték tétel: lim f (kT ) = lim
k→∞
Definíció szerint egy F (z) függvény inverz z transzformáltja a követkető:
Z
−∞
1 {F (z)} = f (nT ) = 2πj
I F (z)z n−1 dz, n = 1, 2, ...
(3.80)
γ
Megfigyelhető, hogy az inverziós képlet nem a teljes időfüggvényt, hanem csak az f (nT ) függvény értékét adja meg a t = nT időpontokban. A fenti képlet alapján három lehetséges út kínákozik a konkrét függvényérték kiszámítására:
40
- komplex függvénytani integrálás - törtfüggvény alakra hozás - hatványsorba fejtés Ezen módszerek közül az első bonyolultsága miatt nem használatos, az utóbbi két módszer viszont kiválóan alkalmazható a gyakorlatban. Nézzük kicsit részleteseben ez utóbbi kettőt. törtfüggvény alakra hozás A részlettörtekre bontás során a z transzformált kifejezést az alábbi és hasonló alakok valamelyikére hozzuk: z z−α
(3.81)
A=
z (z − α)2 + β 2
(3.82)
A=
z(z − α) (z − α)2 + β 2
(3.83)
A=
Ezen alakok inverz transzformáltjait megtalalhatjuk a táblázatokban. hatványsorba fejtés F (z) függvényt z −1 hatványsorába fejtjük. A hatványsorba fejtést leggyorsabban osztással hajthatjuk végre. Az így kapott kifejezésben a z változó −n hatványú (z −n ) tagjának együtthatója az f (nT ) függvény értékének felel meg. Definíció szerint: ∞ X ∗ f (t) = f (nT )δ(t − nT ) = n=0
= f (0)δ(t) + f (1T )δ(t − T ) + f (2T )δ(t − 2T ) + . . .
(3.84)
Mindkét oldal z transzformáltját véve:
F (z) =
∞ X
f (nT )z −n = f (0) + f (1T )z −1 + f (2T )z −2 + . . .
n=0
41
(3.85)
Ha összehasonlítjuk ezt a két kifejezést, akkor láthatjuk az f (t) függvény értékét az (n + 1)-dik mintavételezési időpontban. Azaz f (nT ) értéke egyenlő lesz a z −n tag együtthatójával. Megjegyzés: Ne felejtsük el, hogy az osztás végrehajtásához F (z) számlálójában és nevezőjében szereplő polinomokat z csökkenő hatványa szerint kell rendezni. Az osztás végrehjtásával:
F (z) = a0 + a1 z −1 + a2 z −2 + · · · =
∞ X n=0
ahol an = f (nT ).
42
an z −n
(3.86)
3.2.
Tipikus dinamikus tagok
A lineáris időinvariáns rendszerek input output modellje egy n-edrendű inhomogén, lineáris differenciál egyenlettel írható fel. an y (n) (t) + an−1 y (n−1) (t) + · · · + a0 y(t) = = bm u(m) (t) + bm−1 u(m−1) (t) · · · + b0 u(t)
(3.87)
, ahol y(t) : kimeneti jel u(t) : bemeneti jel a, b : rendszerparaméterek Ezek az úgynevezett kimenet-bemenet modellek. A rendszer kimenete és bemenete közötti kapcsolatot írja le, azaz, hogy adott bemeneti jel hatásásra a rendszerünk kimenete hogyan változik. Ebből is látszik, hogy ez a modell egy bizonyos megváltozást ír le, melyek matematikailag differenciál egyenletek formájában jelennek meg. y(t) a rendszer kimenetét, u(t) pedig a rendszer bemenetétjelöli, ai és bi pedig legyenek rendszerállandók. Ekkor egy általános rendszer I/O modellje a fenti alakú n-ed rendű inhomogén lineáris differenciál egyenlet formájában megadható. Mit is jelentenek ezek a jelzők? A rendszer n-ed rendű, azaz a legnagyobb deriválási fokszám a differenciál egyenletben az n. Inhomogén differenciál egyenlet, azaz a a rendszert leiró egyenlet jobb oldalán nem nulla áll, vagyis a rendszert gerjesztettük. (Homogén egyenlet- a rendszert magára hagyjuk, az egyenlet jobb oldalán ekkor zérus áll.) A rendszer lineáris, azaz a modellben csak a változók (kimenet és lineáris kombinációi valamint a bemenet és lineáris kombinációi) és deriváltjai szerepelnek az egyenletben. A szuperpozció tétele érvényesül. Képlettel: an y (n) (t) + an−1 y (n−1) (t) + · · · + a0 y(t) = = bm u(m) (t) + bm−1 u(m−1) (t) · · · + b0 u(t)
43
(3.88)
y(t) : kimeneti jel u(t) : bemeneti jel a, b : rendszerparaméterek
3.2.1.
Nulladrendű rendszer
Legyenek ... egyenletben a kimeneti oldal derivált fokszáma n=0; a bemeneti oldalé pedig m=0. Ekkor a rendszerünk I/O modellje általános alakban a következőképpen néz ki: a0 y(t) = b0 u(t)
(3.89)
Ebből kifejezve a kimenő jelet: y(t) =
b0 u(t) a0
(3.90)
ahol ab00 = K erősítésnek nevezzük. Laplace transzformálva az egyenlet mindkét oldalát, kapjuk: Y (s) = KU (s)
(3.91)
Az átviteli függvény definíció szerint a kimenet Laplace transzformáltjának és a bemenet Laplace transzformáltjának hányadosa, zérus kezdeti feltételek mellett. Tehát: G(S) =
Y (s) |0kezdetif elt. U (s)
(3.92)
Ezek szerint egy nulladrendű rendszer egyetlen paraméterrel jellemezhető, ez az erősítés, és az átviteli függvénye: G(S) =
Y (s) b0 = =K U (s) a0
(3.93)
Magasabb rendű rendszereknél az előzőekhez hasonlóan jutunk el a végeredményhez.
44
3.2.2.
Elsőrendű rendszer
Legyenek ... egyenletben a kimeneti oldal derivált fokszáma n=1; a bemeneti oldalé pedig m=0. a1 y (1) (t) + a0 y(t) = b0 u(t)
(3.94)
Feltételezve, hogy a1 6= 0,végigosztva a0 -val az egyenlet mindkét oldalát: a1 (1) b0 y (t) + y(t) = u(t) a0 a0
(3.95)
ahol ab00 = K a nulladrendű rendszerhez hasonlóan az erősítést jelenti,az új rendszerparamétert, a aa10 hányadost pedig időállandónak nevezünk és τ -val jelöljük. Az új paraméterek bevezetésével az egyenlet a következőképp egyszerűsödik: τ y (1) (t) + y(t) = Ku(t)
(3.96)
Laplace transzformálva az egyenlet mindkét oldalát, kapjuk: τ sY (s) − y(0) + Y (s) = KU (s)
(3.97)
Mivel zérus kezdeti feltételek mellett vizsgáljuk a rendszert, így : τ sY (s) + Y (s) = KU (s)
(3.98)
Átrendezve az egyenletet: G(S) =
Y (s) K |0kezdetif elt. = U (s) τs + 1
(3.99)
Egy elsőrendű rendszer átviteli függvénye: G(S) =
Y (s) K = U (s) τs + 1
Elsőrendű rendszert egyértelműen jellemzi erősítése és időállandója.
45
(3.100)
3.2.3.
Másodrendű rendszer
Legyenek ... egyenletben a kimeneti oldal derivált fokszáma n=2; a bemeneti oldalé pedig m=0. Ekkor a rendszerünk I/O modellje általános alakban a következőképpen néz ki: a2 y (2) (t) + a1 y (1) (t) + a0 y(t) = b0 u(t)
(3.101)
Tételezzük fel, hogy az a0 , a1 , b0 , b1 paraméterek egyike sem egyenlő nullával. Ekkor végigosztva a0 -val az egyenlet mindkét oldalát: a2 (2) a1 b0 y (t) + y (1) (t) + y(t) = u(t) a0 a0 a0
(3.102)
ahol ab00 = K a már ismert erősítés, aa10 a rendszer egyik időállandója T1 , és mint sejthető a aa02 a rendszer másik időállandóját, T2 -t jelöli. Általános alakban nem ez a forma használadnó, hanem a T1 és T2 időállandók helyett a következő két új paramétert vezették be: T , T2 időállandó ξ , 0, 5 TT12 csillapítási tényező Ennek megfelelően: T 2 y (2) (t) + 2ξT y (1) (t) + y(t) = Ku(t)
(3.103)
Laplace transzformálva: T 2 s2 Y (s) + 2ξT sY (s) + Y (s) = KU (s)
(3.104)
Innét egy egyszerű átrendezéssel kifejezhető az átviteli függvény:
G(S) =
Y (s) K = 2 2 U (s) T s + 2ξT s + 1
(3.105)
Egy másodrendű rendszert három paraméterrel jellemezhetünk: az erősítésével, időállandójával illetve csillapítási tényezőjével. Az időállandó helyett használatos annak reciproka is, melyet természetes 46
frekvenciának nevezünk és ωn -nel jelölünk. Ezek szerint az átviteli függvény a következőképpen módosul:
G(S) = 3.2.4.
Kωn2 s2 + 2ξωn s + ωn2
(3.106)
Feladatok
(1) példa Határozzuk meg a 3y (2) (t) + 2y (1) (t) + 5y(t) = 6u(2) (t) + 4u(1) (t) + u(t) egyenlettel jellemzett rendszer átviteli függvényét! Első lépésként Laplace transzformáljuk az egyenlet mindkét oldalát. 3s2 Y (s) − sy(0) − y (1) (0) + 2sY (s) − y(0) + 5Y (s) = = 6s2 U (s) − su(0) − u(1) (0) + 4sU (s) − u(0) + U (s) Mivel zérus kezdeti feltételekkel dolgozunk, ezért a képlet leegyszerűsödik a következőkre: 3s2 Y (s) + 2sY (s) + 5Y (s) = 6s2 U (s) + 4sU (s) + U (s) Az egyenletet rendezve kapjuk: Y (s)(3s2 + 2s + 5) = U (s)(6s2 + 4s + 1) Y (s) 6s2 + 4s + 1 = 2 U (s) 3s + 2s + 5 Tehát ennek a rendszernek az átviteli függvénye: G(s) =
Y (s) 6s2 + 4s + 1 = 2 U (s) 3s + 2s + 5
(2) példa Határozzuk meg a 5y (4) (t) + 4y (1) (t) + 10y(t) = 8u(3) (t) + u(1) (t) + 2u(t) egyenlettel jellemzett rendszer átviteli függvényét!
47
Első lépésként Laplace transzformáljuk az egyenlet mindkét oldalát zérus kezdeti feltételek mellett. 5s4 Y (s) + 4sY (s) + 10Y (s) = 8s3 U (s) + sU (s) + 2U (s) Az egyenletet továbbrendezve kapjuk: Y (s)(5s4 + 4s + 10) = U (s)(8s3 + s + 2) U (s)(8s3 + s + 2) Y (s) = (5s4 + 4s + 10) Y (s) 8s3 + s + 2 = 4 U (s) 5s + 4s + 10 Tehát ennek a rendszernek az átviteli függvénye: G(s) =
8s3 + s + 2 5s4 + 4s + 10
(3) példa Határozzuk meg a y (3) (t) + y (1) (t) + 2y(t) = 2u(2) (t) + 3u(1) (t) + u(t) egyenlettel jellemzett rendszer átviteli függvényét! Most hagyjuk ki a transzformációs lépést és az egyenletrendezést, próbáljuk meg ezeket az egyszerű műveleteket fejben elvégezni. Néhány példa után már tapasztalni fogjuk, hogy egy I/O modellel megadott rendszer átviteli függvénye egy lépésben felírható. Mivel tudjuk, hogy zérus feltételek mellett vizsgáljuk a rendszert, így a Laplace transzformáció leegyszerűsödik, a deriváltak a transzformáció után egyszerű algebrai műveletekké egyszerüsödnek, azaz s-sel való szorzásként jellenek meg az operátortartományban. Konstansok kiemelhetők a transzformációból, így azokat is csak egyszerűen leírjuk. Az y(t) és u(t) transzformáltjait pedig Y(s) és U(s) jelöli. Ennek alapján a rendszer átviteli függvénye: G(s) =
2s2 + 3s + 1 s3 + s + 2
48
3.3.
Átmeneti és súlyfüggvények
Legyen adott egy rendszer az I/O modelljével, azaz a bemenetei és kimenetei közötti kapcsolatot leíró differenciálegyenlettel. A differenciálegyenlet megoldása megadja tetszőleges bemenő jel mellett a kimenet időbeni lefolyását. Egy inhomogén differenciálegyenlet megoldását úgy kaphatjuk meg, hogy megoldjuk a homogén differenciál egyenletet, majd az inhomogén egyenletnek megkeressük egy partikuláris megoldását. A kettő összege megadja az általános megoldást. Az inhomogén egyenlet partikuláris megoldásának megadása annál egyszerűbb, minél egy-szerűbb a bemenő jelünk, a gerjesztőfüggvény. Ilyen tipikus gerjesztő függvények a 3-1.ábrán láthatóak, az egységimpulzus (Dirac) függvény, az egységugrás-, az egységnyi sebeségugrás- és az egységnyi gyorsulásugrás függvények.
3-1. ábra. Leggyakoribb gerjesztő jelek Súlyfüggvény A súlyfüggvény a rendszer Dirac-impulzusra (egységimpulzusra) adott válasza. Technikailag a Dirac-impulzus nem megvalósítható, ugyanis a jel értéke a nulla időpillanatban végtelen nagy, a többi helyen pedig nulla. A rendszer tulajdonságait tisztán mutatja a súlyfüggvény időbeni lefolyása, hiszen a t = 0 időpont kivételével a bemenő jel zérus, így a rendszer tranziens állapotbeli viselkedését kizárólag saját jellemzői befolyásolják. Koncentrált paraméterű, determinisztikus, lineáris rendszer válaszfüggvénye bármilyen bemenetre egyértelműen meghatározható. Az ilyen rendszer egyértelműen jellemezhető súlyfüggvényével. 49
A súlyfüggvény jele: h(t). Átmeneti függvény Ez az egyik leggyakrabban használatos válaszfüggvény. Úgynevezett bekapcsolási jelenségnek is szokták nevezni. Átmeneti függvénynek nevezzük az egységugrás bemenetre adott válaszát a rendszernek. Technikailag azonban ez sem megvalósítható, ugyanis a jel értéke elméletileg zérus idő alatt éri el az egységet, ami a valóságban lehetetlen. Az átmeneti függvény jele: k(t). Feladatok (1) példa Adott egy rendszer átviteli függvénye, G(s). Határozzuk meg a rendszer súlyfüggvényét h(t)! Vizsgáljuk meg, mi a kapcsolat a két függvény között. A súlyfüggvény a rendszer Dirac impulzusra adott válaszát adja meg. Tehát jelen esetben a G(s) átviteli függvénnyel jellemzett rendszerünkre u(t) = δ(t) bemenő jelet adunk, és ekkor a rendszer válasza y(t) = h(t) súlyfüggvény lesz. Az átviteli függvény definíció szerint a kimenető jel Laplace transzformáltjának és a bemenő jel Laplace transzformáltjának hányadosa, tehát jelen esetben: u(t) = δ(t) U (s) = L{u(t)} = L{δ(t)} = 1 y(t) = h(t) G(s) =
Y (s) U (s)
Y (s) = G(s) · U (s) Y (s) = G(s) · 1 = G(s) L−1 {Y (s)} = y(t) = L−1 {G(s)} y(t) = h(t)
50
A levezetésből látható, hogy a súlyfüggvényből Laplace transzformáció segítségével meghatározható az átviteli függvény és fordítva. h(t) G(s) (2) példa Vizsgáljuk meg egy nulladrendű rendszer átmenenti és súlyfüggvényét! Legyen a rendszer átviteli függvénye: G(s) = 5. G(s) =
b0 Y (s) =K=5 = U (s) a0
Átrendezve az egyenletet Y (s)-re és inverz Laplace transzformálva kapjuk: Y (s) = G(s)U (s) = KU (s) = 5U (s) y(t) = 5u(t) Az átmeneti függvénye: k(t) = y(t) = 5 1(t) A súlyfüggvénye: h(t) = y(t) = 5 δ(t) Az átmeneti és súlyfüggvény grafikonjai a 3-2.ábrán láthatóak.
3-2. ábra. Átmeneti függvény
51
(3) példa Most nézzünk meg egy elsőrendű rendszert! 5 Legyen a rendszer átviteli függvénye: G(s) = 2s+1 . Azaz rendszer erősítése 5 és az időállandója 2 sec. Elsőként számoljuk ki a rendszer átmeneti függvényét. G(s) =
Y (s) 5 = U (s) 2s + 1
Ebből kifejezhetjük a rendszer kimenetének Laplace transzformáltját: 5 2s + 1 Az átmeneti függvény meghatározásánál a bemenő jel az egységugrás függvény, azaz u(t) = 1(t), így: Y (s) = G(s)U (s) = U (s)
5 1 s 2s + 1 A k(t) válaszfüggvény meghatározásához inverz Laplace transzformáljuk az Y (s) függvényt. Ezt a parciális törtekre bontás segítségével végezzük el. Úgy bontsuk parciális törtekre ezt a kifejezést, hogy a transzformációs táblázatban talalható következő két alakot kapjuk: Y (s) =
1 1 → 1(t) → e−αt s s+α
(3.107)
A törtekre bontást a következőképpen végezhetjük: A B + s 2s + 1 Az A és B konstansokat többféleképpen is előállíthatjuk. Y (s) =
A B 1 5 + = s 2s + 1 s 2s + 1 A(2s + 1) + Bs = 5 Válasszunk s-nek olyan értékeket, hogy az összeg valamely paramétert tartalmazó tagja eltűnjön. 52
Legyen s = 0, ekkor az egyenletből A egyszerűen kifejezhető és értéke megadható. A(2 · 0 + 1) + B · 0 = 5 A=5 Válasszuk s-nek a −0, 5 értéket, ekkor B értéke adható meg: A(2 · (−0, 5) + 1) + B · (−0, 5) = 5 B = −10 Függvényünk a következő alakúra módosult: 5 −10 + s 2s + 1 A függvényben szereplő tagoknak az inverz transzformáltjait táblázat segítségével meghatározhatóak. Átalakítva a tagokat a 3.107 alakúakra, a következő időtartománybeli alakokat kapjuk: Y (s) =
5 1 L−1 { } = 5L−1 { } = 5 · 1(t) s s −10 1 L−1 { } = −5L−1 { } = −5 · e−0,5t 2s + 1 s + 0, 5 A kimeneti jel időtartománybeli alakja : y(t) = 5 1(t) − 5e−0,5t = 5 (1(t) − e−0,5t ) Az átmeneti függvény lefutása a 3-3.ábrán látható. Állítsuk elő a rendszer súlyfüggvényét is. Ez sokkal egyszerűbb, mivel a bemenő jel itt a Dirac impulzus, aminek a Laplace transzformáltja 1, így az alábbi kifejezést kapjuk: 5 5 = 2s + 1 2s + 1 A súlyfüggvény előállításához inverz Laplace transzformáljuk Y (s)-t, az átmeneti függvény meghatározásához hasonlóan. Y (s) = G(s)U (s) = U (s)
53
3-3. ábra. Átmeneti függvény Felhasználjuk a következő azonosságot a transzformációs táblázatunkból: 1 → e−αt s+α 5 2, 5 1 Y (s) = = = 2, 5 2s + 1 s + 0, 5 s + 0, 5 Azaz α értéke 0, 5, így az időfüggvény: y(t) = 2, 5e−0,5t A súlyfüggvény időbeli lefolyása a 3-4.ábrán látható. (4) példa Vegyünk egy másik elsőrendű rendszert! 5 Legyen ennek a rendszernek az átviteli függvénye: G(s) = 0,5s+1 azaz a rendszer erősítése itt is 5 de az időállandója 0, 5sec tehát kisebb, mint az előző példában. Határozzuk meg a rendszer átmeneti függvényét! Induljunk ki itt is az átviteli függvényből: G(s) =
Y (s) 5 = U (s) 0, 5s + 1
54
3-4. ábra. Súlyfüggvény Ebből kifejezhetjük a rendszer kimenetének Laplace transzformáltját: Y (s) = G(s)U (s) = U (s)
5 0, 5s + 1
A bemenő jel az egységugrás, tehát: Y (s) =
5 1 s 0, 5s + 1
A függvény inverz Laplace transzformáltjának meghatározásához most a táblázatbólalkalmazzuk a következő formulát: α → 1(t) − e−αt s(s + α)
(3.108)
Így elkerülhetjük a parciális törtekre bontást, csupán az α értékét kell meghatároznunk. Ehhez alakítsuk át a kifejezésünket: Y (s) =
5 5·2 10 2 = = =5 s(0, 5s + 1) s 2(0, 5s + 1) s(s + 2) s(s + 2)
Az algebrai átalakítás eregményeként α értéke 2 és a transzformációból kiemelhető konstans értéke 5. A 3.108 képletet felhasználva a rendszer átmeneti függvénye: 55
y(t) = 5 1(t) − 5e−2t Ebben a példban kisebb időállandót választottunk, mint az előző esetben. A két átmeneti függvény közös koordinátarendszerben ábrázolva a 3-5.ábrán látható lefutást kapjuk. Jól látható, hogy a kisebb időállandójú rendszerhez gyorsabb felfutás tartozik.Ez az átviteli függvények analítikus alkjából is kikövetkeztethető: a kisebb időállandójú rendszer exponenciális tagjának kitevőjében nagyobb α érték szerepel, így az a tag gyorsabban tart a nullához. Az α érték pedig megegyezik az időállandó reciprokával.
3-5. ábra. Átmeneti függvény 5 Ahol y1 (t) a G(s) = 2s+1 rendszer, y2 (t) pedig a G(s) = átmeneti függvénye.
5 0,5s+1
rendszer
Állítsuk elő ennek a rendszernek súlyfüggvényét is hasonlóan az előzőekhez. Y (s) = G(s)U (s) = U (s) Az inverz Laplace transzformációt a 56
5 5 = 0, 5s + 1 0, 5s + 1
1 s+α
→ e−αt alapján elvégezve:
Y (s) =
5·2 10 1 = = 10 s+2 s+2 s+2 y(t) = 10e−2t
Ezt a 3-6.ábra mutatja.
3-6. ábra. Súlyfüggvény
57
3.4.
Stabilitásvizsgálat
3.4.1.
Folytonos rendszer stabilitás vizsgálata pólusvizsgálattal
(1) példa 0, 5y (2) (t) + 2y (1) (t) + 14, 5y(t) = u(t) kezdeti feltételek:y(0) = 0, y(−1) = 0 Határozzuk meg a rendszer stabilitását! Első lépésként állítsuk elő a rendszer átviteli függvényét. Ehhez Laplace transzformáljuk az egyenletet. Felhasználjuk a transzformációs szabályokat:
cf (t) −→ cF (s) c1 f1 (t) ± c2 f2 (t) −→ c1 F1 (s) ± c2 F2 (s) f 0 (t) −→ sF (s) − f (0) 0, 5s2 Y (s) + 2sY (s) + 14, 5Y (s) = 1U (s) Kiemelve Y(s)-et és átrendezve az egyenletet megkapjuk az átviteli függvényt:
G(s) =
Y (s) 1 = U (s) 0, 5s2 + 2s + 14, 5
A stabilitás meghatározására válasszuk a pólusvizsgálatot, ugyanis egy másodfokú rendszer pólusainak meghatározása könnyű feladat. Az átviteli függvény nevezőjében szereplő polinom gyökei meghatározzák a rendszerünk pólusait. Ha ezen pólusok valósrésze kisebb mint nulla, akkor a rendszer stabil, ha nulla, akkor a rendszer a stabilitás határán van, különben rendszerünk instabil. Határozzuk meg a nevező gyökeit:
58
0, 5s2 + 2s + 14, 5 = 0 p −2 ± 22 − 4 · 0, 5 · 14, 5 s1,2 = = −2 ± j5 2 · 0, 5 Azaz a rendszer pólusai komplex konjugált gyökpárat alkotnak. Mivel a valós rész negatív:
Re{s} = −2 < 0 ⇒ a rendszer stabil. 3.4.2.
Routh-Hurwitz módszer
(1) példa y (4) (t) + 2y (3) (t) + 3y (2) (t) + 4y (1) (t) + 5y(t) = 10u(t) Határozzuk meg a rendszer stabilitásást Routh-Hurwitz módszerrel! Első lépésként írjuk fel a rendszer átviteli függvényét. s4 Y (s) + 2s3 Y (s) + 3s2 Y (s) + 4sY (s) + 5Y (s) = 10U (s) G(s) =
Y (s) 10 = 4 3 U (s) s + 2s + 3s2 + 4s + 5
Ebből a karakterisztikus egyenlet: s4 + 2s3 + 3s2 + 4s + 5 = 0 A Routh-Hurwitz módszer alkalmazásához először vizsgáljuk meg, hogy minden együttható pozitív-e azaz ai > 0 ∀i-re. Ez a példánkban teljesül, így felírható a H 4 × 4-es Hurwitz-mátrix. a3 a1 0 0 2 4 0 0 a4 a2 a0 0 1 3 5 0 H= 0 a3 a1 0 = 0 2 4 0 0 a4 a2 a0 0 1 3 5 Számoljuk ki a Hurwitz mátrix főátlójához tartozó aldeterminánsát. Ha teljesül, hogy az így kapott aldeterminánsok értéke pozitív, akkor a rendszerünk stabil. Ha legalább egy determinánsra ez nem teljesül, 59
akkor a rendszer instabil.
∆2 ¯ ¯ 2 4 0 ¯ ∆3 = ¯¯ 1 3 5 ¯ 0 2 4
∆1 = |2| = 2 ¯ ¯ ¯ 2 4 ¯ ¯=2·3−4·1=2=2 ¯ =¯ 1 3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯=2·¯ 3 5 ¯−4·¯ 1 5 ¯+0?2·¯ 1 3 ¯ 0 2 ¯ 2 4 ¯ ¯ 0 4 ¯ ¯ ¯
¯ ¯ ¯ ¯
= 2(3 · 4 − 5 · 2) − 4(1 · 4 − 5 · 0) = 4 − 16 = −12 A harmadik aldeterminánsra nem teljesül a stabilitáshoz szükséges feltétel (δ3 < 0), így a további számolás nem szükséges, a rendszer instabil. Feladat: Szimuláljuk le a rendszert VisSim segítségével! (2) példa Adott egy rendszer, melynek az átviteli függvénye a következő:
G(s) =
Y (s) 1 = 3 2 U (s) s + 2s + 3s + 4
Jellemezzük a rendszert rendűség, stabilitás és állandósult állapot szempontjából! A rendszer I/O modellje felírható az átviteli függvényből: y (3) (t) + 2y (2) (t) + 3y (1) (t) + 4y(t) = u(t) A legnagyobb derivált fokszáma 3, tehát egy harmadrendű rendszerről van szó. Stabilitást a Routh-Hurwitz módszerrel vizsgálhatjuk meg (bár harmadrendű rendszer pólusmeghatározása megoldóképlettel még elvégezhető). 60
A Routh-Hurwitz módszer első feltétele, miszerint az együtthatóknak pozitívoknak kell lenniük, teljesül. Írjuk fel a 3 × 3 -as Hurwitz determinánst: ¯ ¯ a2 a0 0 ¯ H = ¯¯ a3 a1 0 ¯ 0 a2 a0
¯ ¯ ¯ ¯ 2 4 0 ¯ ¯ ¯=¯ 1 3 0 ¯ ¯ ¯ ¯ 0 2 4
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
az aldeterminánsok: ∆1 = |2| = 2 ¯ ¯ ¯ 2 4 ¯ ¯ ¯=2·3−4·1=2=2 ∆2 = ¯ 1 3 ¯ ¯ ¯ ¯ 2 4 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 3 0 ¯ ¯ 1 0 ¯ ¯ ¯−4·¯ ¯+0·¯ 1 3 ∆3 = ¯¯ 1 3 0 ¯¯ = 2 · ¯¯ ¯ 0 4 ¯ ¯ 0 2 2 4 ¯ ¯ 0 2 4 ¯
¯ ¯ ¯ ¯
= 2(3 · 4 − 0 · 2) − 4(1 · 4 − 0 · 0) = 24 − 16 = 8 Az összes aldeterminánsra teljesül, hogy pozitívak, így a Routh-Hurwitz kritérium alapján a rendszerünk stabil. A rendszer erősítése kiszámítható az átviteli függvényben szereplő konstans tagok hányadosaként. Itt tehát a rendszer erősítése: 14 . (3) példa Vizsgáljuk a következő karakterisztikus egyenlettel jellemzett rendszert. s3 + 4s2 + 8s + k = 0 Milyen k érték esetén lesz a rendszer stabil? Az együtthatók pozitív értékére vonatkozó feltétel teljesüléséhez kössük ki, hogy k>0
61
kell, hogy legyen. Mivel a többi együttható pozitív, így a Hurwitz mátrix: ¯ ¯ 4 k 0 ¯ H = ¯¯ 1 8 0 ¯ 0 4 k Innen az aldeterminánsok: ¯ ¯ 4 k ∆2 = ¯¯ 1 8 innen: k < 32
∆1 = |4| = 4 ¯ ¯ ¯ = 4 · 8 − k · 1 = 32 − k > 0 ¯
¯ ¯ 8 0 ∆3 = 4 · ¯¯ 4 k
¯ ¯ ¯ ¯ ¯−k·¯ 1 0 ¯ 0 k ¯
¯ ¯ ¯ ¯
= 4(8 · k − 0) − k(k − 0) = 32 · k − k 2 = k(32 − k) > 0 innen: 0 < k < 32 Így a rendszer stabil lesz 0 < k < 32 érték esetén. A k érétke akkor lesz a rendszer tényleges erősítés, ha az átviteli függvény a követekező alakú: G(s) =
s3
k·k + 4s2 + 8s + k
(4) példa
62
3.5.
Másodrendű rendszer viselkedésének vizsgálata
Vizsgáljuk meg részleteiben a másodrendű rendszerek viselkedését. Elsőként írjuk fel a differenciál egyenlettel jellemzett I/O modellt. a2 y (2) (t) + a1 y (1) (t) + a0 y(t) = b0 u(t) Ebből a már alkalmazott módszerrel kifejezhető az átviteli függvény általános alakja: G(s) =
Y (s) K = 2 2 U (s) T s + 2ξT s + 1
ahol K erősítés T időállandó ξ csillapítási tényező Egy másodrendű rendszer tehát három paraméterrel jellemezhető: az erősítésével, időállandójával illetve csillapítási tényezőjével. Az időállandó helyett használatos annak reciproka a természetes frekvencia, jele ωn . Az átviteli függvény tehát a következő alakú lehet: G(s) =
K Y (s) = 2 2 = U (s) T s + 2ξT s + 1 Kωn2 = 2 s + 2ξωn s + ωn2
Vizsgáljuk ezt a rendszert. Nézzük meg, hogyan viselkedik a kimenet egységugrás bemenet hatására, ha változtatjuk a rendszerparamétereket. u(t) = 1(t) 1 s Írjuk fel ennek e rendszernek az átviteli függvényét, ha a bemenet egységugrás: U (s) =
G(s) =
63
Y (s) U (s)
Rendezzük át az egyenletet Y(s)-re: Y (s) = G(s)U (s) =
Kωn2 1 2 2 s + 2ξωn s + ωn s
Az inverz Laplace transzformációt végezzük el parciális törtekre bontássegítségével: 1 A2 A1 Y (s) = K( + + ) s s − p1 s − p2 A megoldást a következő alakban keressük: y(t) = K(1(t) + ep1 t + ep2 t ) K erősítés rendszerparamétert kiemelhetem, ugyanis ez nem lesz végtelen, azaz nem viszi el a rendszert a végetlenbe. Csak végtelen erősítés esetén lenne ez lehetséges, ehhez viszont végtelen nagy energiabefektetésre lenne szükség, ami persze lehetetlen. Vizsgáljuk a renszer pólusait: s2 + 2ξωn s + ωn2 = 0 p −2ξωn ± 4ξ 2 ωn2 − 4ωn2 s1,2 = 2 T rendszerparaméter biztosan pozitív, negatív időállandónak nincs értelme. Ebből következik, hogy ωn természetes frekvencia is pozitív. s1,2 = −ξωn ± 2ωn
p
ξ2 − 1
A pólusokat megadó egyenletből látható, hogy a pólus milyenségét nem befolyásolja az ωn rendszerparaméter. Egyedül a csillapítási tényezőn múlik, hogy a pólus komplex vagy valós, pozitív vagy negatív lesz. Tahát ωn -nek lesz ugyan hatása a rendszer viselkedésére, de a jelleget nem ez határoza meg. A ξ paraméter fogja meghatározni, hogy miylen jellegű lesz a rendszer. Ezt a paramétert tudjuk módosítani és ezzel a rendszer viselkedését befolyásolni.
64
Legyen ξ > 1 Ekkor két negatív valós gyököt kapunk. Az átmeneti függvény y(t) = K(1 + A1 ep1 t + A2 ep2 t ) A görbének inflexiós pontja van, mely a t=0-ban húzott érintővel megadható. VisSimmel történő szimuláció segítségével megállapíthatjuk, hogy ξ > 1 esetben nincs a rendszernek túllendülése, a göbe asszimptotikusan simul a végértékhez. Példa Vizsgáljuk a G(s) =
s2
1 + 3s + 2
rendszert. Először számoljuk ki a rendszerparamétereket az előzőekben levezetett általános másodrendű rendszert leíró képletek segítségével. G(s) =
s2
1 ωn K = 2 = 2 2 2 + 3s + 2 s + 2ξωn s + ωn T s + 2ξT s + 1 G(s) =
s2
1 1 1 = 1 2 3 + 3s + 2 2 2s + 2s + 1
Innét: K= 1 ⇒T = 2
1 2 r
1 1 =√ 2 2 √ 1 3 2 2ξT = 2ξ √ ⇒ ξ = = 1, 06 > 1 4 2 Ha a ξ paraméter értékét növeljük, akkor azt tapasztaljuk, hogy a görbe egyre laposabb lesz, egyre lassabban éri el az állandósult állapotot. Most csökkentsük ezt a paramétert egészen 1-ig. T2 =
65
3-7. ábra. Másodrendű rendszer, ξ > 1 Legyen ξ = 1. Ekkor egyetlen gyököt kapunk: s1,2 = −ξωn Ekkor az átmeneti függvény általásos alakban a következő: y(t) = K(1 + e−ωn t ) Ez az átmeneti függvénygörbe fog a leginkább hozzásimulni az állandósult állapothoz, ez éri el a leggyorsabban ezt az értéket még túlendülés néélkül. Mi történik, ha a ξ értékét tovább csökkentem? Legyen 0 < ξ < 1 Vizsgáljuk most a 0 < ξ < 1 intervallumot. p Ekkor ξ értéke még pozitív, így ξ 2 − 1 már komplex értéket eredményez. Tehát negatív valósrészű komplex gyököket kapunk. Ekkor az átmeneti függvény:
66
p e−ωn tξ y(t) = K(1 − p sin(ωn 1 − ξ 2 t + ϕ)) 1 − ξ2 Példa Legyen K = 1 és ωn = 2 Ekkor ξ = 0, 8. A másodrendű rendszer átviteli függvénye ennek alapján: G(s) = 1
s2
4 + 3, 2s + 4
Ebben az esetben az átmeneti függvény egyetlen kis túllendüléssel ugyan, de beáll:
3-8. ábra. Másodrendű rendszer, 0 < ξ < 1 Példa Ekkor ξ = 0, 2. A rendszer átviteli függvénye: G(s) = 1
s2
4 + 0, 8s + 4
Ebben az esetben az átmeneti függvény több túllendüléssel, aperiodikus lecsengéssel áll be a stacionárius állapotához:
67
3-9. ábra. Másodrendű rendszer, ξ = 0, 2 Legyen ξ = 0 Ekkor tisztán képzetes gyököket kapunk. Példa Legyen K = 1, ωn = 2, ξ = 0 4 +1 ( Megjegyzés: ha VisSimmel szimuláljuk ezt a rendszert, ne felejtsük el az átviteli függvény minden tagjának az együtthatóit megadni, beleértve az s tag 0 együtthatóját is. ) Itt csillapítás nélküli rezgés jelenik meg. A rendszer a stabilitás határán van. G(s) = 1
s2
Legyen −1 < ξ < 0 Ekkor a diszkrimináns továbbra is negatív, tehát komplex gyököket kapok, azonban valós részük pozitív lesz. Példa Legyen K = 1, ωn = 2, ξ = −0, 01 G(s) = 1
4 s2 − 0, 04s + 4 68
3-10. ábra. Másodrendű rendszer, ξ = 0 És legyen K = 1, ωn = 2, ξ = −0, 5 G(s) = 1
s2
4 − 0, 2s + 4
Mindkét rendszer esetében elfut a jel, instabillá válik a rendszer. Aperiodikusan növekszik a kimenet, egyre távolodik. Legyen ξ < −1 Az előbbiekből következtethetünk ezen rendszer visekedésére. Ez is instabil rendszer lesz, de itt már exponenciálisan száll el a rendszer a végtelenbe. Ahogy csökkenjük ξ értékét, úgy lesz egyre meredekebb ez az elfutás. Példa Legyen K = 1, T = 0, 5sec, ξ = −3 Ekor szimuláció után tapasztaljuk, hogy a rendszer instabil, elfut a végtelenbe.
69
3-11. ábra. Másodrendű rendszer, ξ = −0, 01
3-12. ábra. Másodrendű rendszer, ξ = −3
3.6.
Gyökhelygörbe
A gyökhelygörbe a zárt rendszer pólusainak a mértani helye a komplex síkon, midőn a rendszer valamely paraméterét 0 és ∞ között változtatjuk. Itt ez a 70
bizonyos paraméter a erősítés lesz. 0
3-13. ábra. Elsőrendű rendszer gyökhelygörbéje s+1 , ahol legyen K = 1, A tag átviteli függvénye legyen: G(s) = K Tτ s+1 T = 0, 2sec és τ = 0, 5sec
G(s) =
0, 2s + 1 0, 5s + 1
Ekkor a K erősítéssel ellátott zárt rendszer erdő átviteli függvénye: Ge (s) =
s+1 K Tτ s+1
1+
s+1 K Tτ s+1
Ge (s) =
=
K(τ s + 1) (τ + KT )s + 1 + K
0, 2Ks + K (0, 2K + 0, 5)s + K + 1
A gyökhelygörbe módszernél a pólusokat ábrázoljuk, tehát határozzuk meg ezen zárt rendszer pólusait. Ehhez meg kell oldanunk a következő paraméteres egyenletet: (0, 2K + 0, 5)s + K + 1 = 0 ha K = 0 akkor 0, 5s + 1 = 0 1 s=− = −2 0, 5 72
Tehát a gyökhelygörbe a −2-es pontból, azaz a nyitott rendszer pólusából indul ki. 1 1+K = K→∞ τ + KT T 1+K 1 s = lim − =− = −5 K→∞ 0, 5 + K0, 2 0, 2 s = lim −
Azaz a görbe a felnyitott kör pólusából, −2 pontból indul ki, és tart a felnyitott kör zérushelyébe −5-be. A görbe a 3-14.ábrán látható.
3-14. ábra. Elsőrendű rendszer gyökhelygörbéje (3) példa Nézzünk meg egy másodrendű rendszert, ahol a rendszerparaméterek legyenek a következők: K = 1, T = 1sec, ξ = 2. A rendszer átviteli függvénye a következő: 1 s2 + 4s + 1 A zárt rendszerátviteli függvénye: G(s) =
Ge (s) = K
1
1 s2 +4s+1 1 + K s2 +4s+1
73
=
K s2 + 4s + 1 + K
Határozzuk meg a pólusokat, azaz a nevező gyökeit. Ehhez a következő másodfokú egyenletet kell megoldanunk: s2 + 4s + 1 + K = 0 ha K = 0
s1,2
s2 + 4s + 1 = 0 * −0, 268 √ √ −4 ± 42 − 4 · 1 −4 ± 12 = = = 2 2 −3, 732
Azaz a nyitott kör pólusaiból −0, 268-ból és −3, 732-ből indul ki a rendszerünk gyökhelygörbéje. Nézzük meg a pólusok alakulását, ha K nem nulla. Ekkor a pólusokat meghatározó képlet a következő: s2 + 4s + 1 + K = 0 p √ √ −4 ± 42 − 4 · (1 + K) −4 ± 12 − K 12 − K = = −2 ± s1,2 = 2 2 2 Válasszuk K = 12-t: s1,2 = −2 ± 0 = −2 Tehát ahogy K-t növeltük, úgy közeledett egymáshoz a két pólus, mégpedig a valós tengelyen. Növeljük tovább K értékét: legyen K = 16 √ √ √ 12 − 16 −4 j 4 −2 ± = −2 ± = −2 ± = −2 ± j 2 2 2 A pólus egy komplex gyökpár, azaz a görbe −2-es valósrésszel és növekvő illetve csökkenő képzetes résszel tart majd a végtelenbe, ahogy K értékét növeljük. Így a gyökhelygörbe a 3-15.ábrán láható. (4) példa Nézzünk meg egy olyan másodrendű rendszert, ahol a ξ értékét 0 és 1 közé válasszuk, legyen mondjuk 0, 5. Így a rendszerparaméterek a következők: K = 1, T = 1sec, ξ = 0, 5, a rendszer átviteli függvénye 74
3-15. ábra. Másodrendű rendszer gyökhelygörbéje pedig a következő: G(s) =
s2
1 +s+1
A zárt rendszerátviteli függvénye: Ge (s) = K
1
1 s2 +s+1 1 + K s2 +s+1
=
s2
K +s+1+K
Határozzuk meg a pólusokat, azaz a nevező gyökeit. Ehhez a következő másodfokú egyenletet kell megoldanunk: s2 + s + 1 + K = 0 ha K = 0
s1,2
s2 + s + 1 = 0 * −0, 5 + j 0, 866 √ √ √ −1 ± 1 − 4 −1 ± −3 1 −3 = = =− ± = 2 2 2 2 −0, 5 − j 0, 866
Azaz a nyitott kör pólusaiból −0, 5 + j 0, 866-ból és −0, 5 − j 0, 866-ből indul ki a rendszer gyökhelygörbéje.
75
Ha K nem nulla, akkor a pólusokat meghatározó képlet a következő: s2 + s + 1 + K = 0 p √ √ √ −1 ± 1 − 4(K + 1) −1 ± −3 − K 1 −3 − K 1 3+K s1,2 = = =− ± = − ±j 2 2 2 2 2 2 K növelésével azt tapasztaljuk, hogy marad a −0, 5 valósrészű komplex gyökpár pólusnak, melynek képzetes része K növelésével egyre nő a végtelenig. Így a gyökhelygörbe a 3-16.ábrán látható.
3-16. ábra. Másodrendű rendszer gyökhelygörbéje
76
3.7.
Nyquist - Bode diagram
Irányítástechnikában a rendszervizsgálatok nagy része az időtartomány helyett a frekvenciatartományban történik. A leggyakrabban használt jellemzési módszerek a frekvencia tartományban a Nyquist illetve a Bode diagram. Az időfüggvények felírhatók végtelen sok sinus és cosinus függvény összegeként. Így egy lineáris rendszer jellemezhető a bemenő jel sinusos és cosinusos összetevőire adott válaszfüggvények szuperpozíciójaként. Az úgynevezett frekvenciafüggvény a sinusos gerjesztő függvény és a rendszer e bemenetére adott válaszfüggvényeknek a kapcsolatát írja le. Egy lineáris renszer bemenetére ω körfrekvenciájú sinusos jelet adunk. Ekkor a kimeneten szintén ω körfrekvenciájú sinusos jel jelenik meg, azonban ez a jel ampitúdójában és fázisában is különböző lesz. Tehát a rendszer erősít vagy csillapít illetve fáziseltolást végez az adott körfrekvencián: Nyquist diagram: Nyquist diagram vagy más néven amplitúdó-fázis jelleggörbe, a frekvenciafüggvény (G(jω)) komplex síkon történő grafikus ábrázolása, egy ω-val paraméterezett vektordiagram. Ha megadjuk ω minden értékére A(ω)ejϕ(ω) mindenkori értékét a komplex síkon, akkor megkapjuk a frekvenciafüggvény ω-val paraméterezett helygörbéjét. Az ábrázolási tartomány: 0 < ω < ∞ G(jω) = A(ω)ejϕ(ω) = Re(ω) + jIm(ω) Bode diagram: Bode vagy logaritmikus függvény jelleggörbe.Itt az amplitúdót és fáziseltolást külön grafikonon jelenítjük meg. Sokkal szemléletesebb, a fázis jelleggörbe és az amplitúdó jelleggörbe együttesen adja meg a függvény jelleggörbéjét, tehát csak a két grafikon együtt jellemzi magát a rendszert. G(jω) = A(ω)ejϕ(ω) = |G(jω)|ejϕ(ω A körfrekvencia tengelyen logaritmikus skálázást alkalmazunk, így nagyobb tartományon tudjuk figyelni a rendszer viselkedését.
77
3-17. ábra. Nyquist diagram
ln(G(jω)) = ln(G(jω)) + jϕ(jω) Az erősítés értékét decibelben(dB) adjuk meg, melynek kiszámítási módja a következő: A(ω)[dB] = |G(jω)|[dB] = 20 lg |G(jω)| Megjegyzés: sorba kapcsolt rendszerelemek esetén az eredő Bode diagram, az elemek amplitúdó illetve fázis jelleggörbejének összegével egyenlő. (1) példa Vegyünk egy egyszerű nulladrendű rendszert. Átviteli függvénye: G(s) =
Y (s) =K=2 U (s)
Ebből a frekvencia átviteli függvénye: G(jω) = K = 2
78
Ez ω minden értékére K konstans marad, tehát a Nyquist diagrammja egyetlen pont lesz a komplex számsíkon, lásd 3-18.ábra.
3-18. ábra. Nyquist diagram Most nézzük meg a Bode diagrammját: Az amplitúdó decibelben: A(ω)[dB] = 20 lg 2 = 6, 02[dB] és a fázis: Im(ω) = 0◦ Re(ω) A Bode diagramot a 3-19.ábra mutatja. ϕ(ω) = arctan
(2) példa Vegyünk egy integráló tagot, aminek az I/O modellje a következő: a1 y (1) (t) = b0 u(t) Ebből átrendezve az egyenletet és Laplace transzformálva kapjuk a rendszer átviteli függvényét: G(s) =
Y (s) 1 = U (s) TI s
79
3-19. ábra. Bode diagram Ebből a frekvenciaátviteli függvénye: G(jω) =
1 TI jω
Alakítsuk ezt át, hogy lássuk a frekvenciaátviteli függvény képzetes és valós részét. Ehhez szorozzuk meg a nevezőt is és a számlálót is j-vel: G(jω) =
1 j 1 =− j TI jω j TI ω
ű Láthatjuk, hogy tisztán képzetes része van a függvénynek, a valós rész 0. Rajzoljuk fel elsőként a Nyquist diagrammot. Ha ω paramétert változtatjuk 0 és ∞ között, akkor azt tapasztaljuk, hogy a görbe a képzetes tengelyen fog mozogni, méghozzá úgy, hogy a −∞-ből indul és tart a 0-ba, midőn ω értéke 0-tól tart a ∞-be. A 3-20.ábra szemlélteti az eredményt. A Bode diagramhoz elsőként határozzuk meg az amplitúdó és fázis értékét ω függvényében. |G(jω)| = A(ω) =
p
Re(G(jω))2 + Im(G(jω))2 =
A(ω)[dB] = 20 lg |G(jω)| = 20 lg
80
1 TI ω
1 = −20 lg TI ω TI ω
3-20. ábra. Nyquist diagram ϕ(ω) = arctan
− TI1ω 0
→ arctan(−∞) = −90◦
dB −20 dekad
Tehát az amplitúdó egy meredekségú egyenes lesz, míg a fázis ◦ minden ω értékre −90 . Grafikonon a 3-21.ábra mutatja.
3-21. ábra. Bode diagram (3) példa Vizsgáljunk meg egy elsőrendű tagot.Az átviteli függvénye legyen a következő:
81
G(s) =
Y (s) 1 =K U (s) τs + 1
Ebből a frekvenciaátviteli függvénye: G(jω) = K
1 τ jω + 1
Alakítsuk át ezt az egyenletet úgy, hogy a függvény képzetes és valós része elkülönüljön. Ehhez szorozzuk meg a nevezőt is és a számlálót is a nevező komplex konjugáltjával: G(jω) = K
1 τ jω − 1 K(τ jω − 1) = 2 2 2 = τ jω + 1 τ jω − 1 τ j ω + τ jω − τ jω − 1
K(τ jω − 1) 1 Kτ ω = 2 2 −j 2 2 2 2 −τ ω − 1 τ ω +1 τ ω +1 Tehát: Re(G(jω)) =
1 τ 2ω2
+1 Kτ ω Im(G(jω)) = − 2 2 τ ω +1 Nézzük meg honnét indul ki a rendszer Nyquist görbéje. Ehhez suámoljuk ki G(jω) értékét, ha ω = 0. G(jω) = K
1 =K τ j0 + 1
Nézzük meg, hova tart a görbe, tehát határozzuk meg G(jω) értékét, ha ω → ∞. G(jω) = K
1 →0 τ jω + 1
Tehát a rendszer Nyquist görbéje a K pontból indul és tart a 0-ba, csak azt nem tudjuk, hogy milyen útvonalon teszi ezt. Ehhez számoljunk ki pár köztes pontot.
82
Nézzük meg ω = vény.
1 τ
pontban milyen értéket vesz fel a frekvenciafügg-
G(jω) = K K
1 1 1 j−1 =K =K = j+1 j +1j −1 +1
τ j τ1
j−1 1 1 = K( − j ) j2 − j + j − 1 2 2
Tehát a görbénk a K 12 − jK 12 pontot érintve tart a 0-ba és belátható, hogy ezt egy körvonalon teszi. A grafikon a 3-22.ábrán látható.
3-22. ábra. Nyquist diagram Az egyszerűbb számítások miatt válasszuk K-t 1-nek. A Bode diagramhoz elsőként határozzuk meg az amplitúdó és fázis értékét ω függvényében. p |G(jω)| = A(ω) = Re(G(jω))2 + Im(G(jω))2 = r 1 Kτ ω 2 1 ( 2 2 )2 + (− 2 2 ) =√ τ ω +1 τ ω +1 1 + ω2τ 2 83
A(ω)[dB] = 20 lg |G(jω)| = −20 lg
√
1 + ω2τ 2
Ha ω ¿ τ1 , akkor: −20 lg
√
1 + ω 2 τ 2 ≈ −20 lg 1 = 0
Tehát ezen a szakaszon a grafikon egy konstans 0 dB meredekségű egyeD nes. Ha ω À τ1 , akkor: −20 lg
√
1 + ω 2 τ 2 ≈ −20 lg ωτ = 0
Ezen a szakaszon pedig egy −20 dB meredekségű egyenes lesz a görbe. D Ha ω = τ1 , akkor a grafikonnak töréspontja van. A fázisa: ϕ(ω) = arctan
− τ 2 ωτ ω2 +1 1 τ 2 ω 2 +1
= arctan(−τ ω)
Ha ω = τ1 , akkor: ϕ(ω) = arctan(−1) = −45◦ Ha ω ¿ τ1 , akkor: ϕ(ω) = arctan(−τ · 0) = 0◦ Ha ω À τ1 , akkor: ϕ(ω) = arctan(∞) = −90◦ Egy elsőrendű rendszer Bode diagramját a 3-23.ábra szemlélteti.
84
3-23. ábra. Bode diagram
3.8.
Állapottér modell
(1) példa Egy rendszert többféle technikával modellezhetünk. A modellün akkor jó, ha különböző modellezési technikák alkalmazásával mindegyik modell ugyanazt a rendszert írja le. Hogyan ellenőrizhető, hogy a két modell által leírt rendszer azonos? Erre egyszerű a válasz. Mindegyik esetben fel kell írni a rendszer átviteli függvényét, és ha azok megegyeznek, akkor a különböző modellek ugyanazt a rendszert írják le. Első példánk legyen a követkeuő: adott egy I/O modell. Hogyan írható át állapottér modellé? Ellenőrizzük, hogy a két modell ugyanazt a rendszert írja-e le! Legyen az input output modell a következő: 2y 00 (t) + 6y 0 (t) + 4y(t) = 8u0 (t) + 10u(t) Osszuk végig az egyenlet mindkét oldalát 2-vel. y 00 (t) + 6y 0 (t) + 4y(t) = 8u0 (t) + 10u(t) Alkalmazzuk a kontroller formot, ami a következő: x(t) ˙ = Ac x(t) + Bc u(t) y(t) = Cc x(t) + Dc u(t)
85
Ac =
... −an ... 0 0 ... 0 0 .. .. . . 0 0 ... 1 0 1 0 Bc = .. . 0 £ ¤ Cc = b1 . . . bn £ ¤ Dc = bn
−a1 −a2 1 0 0 1 .. .
Az x vektor dimenzióját határozzuk meg: ennek értéke a legnagyobb derivált értékével egyenlő. Jelen esetben 2. Tehát a mátrixok a következők: ¸ · ¸ · −3 −2 −a1 −a0 = Ac = 1 0 1 0 · ¸ 1 Bc = 0 £ ¤ £ ¤ C T = b1 b0 = 4 5 £ ¤ £ ¤ Dc = b2 = 0 Tehát a rendszer állapottér modelljét leíró egyenlet: · ¸ · ¸· ¸ · ¸ x˙1 −3 −2 x1 1 = + u x˙2 1 0 x2 0 · ¸ £ ¤ x˙1 £ ¤ y= 4 5 + 0 u x˙2 Most vizsgáljuk meg, hogy az I/O modell és az állapottér modell ugyanazt a rendszert írja-e le? Ehhez állítsuk elő mindkét esetben az átviteli függvényt. A legegyszerűbb az I/O modellből felírni az átviteli függvényt, ezt a már ismert modszerrel határozzuk meg. Azaz Laplace transzformáljuk az (s) egyenlet mindkét oldalát, majd rendezzük át az egyenletet G(s) = YU (s) 86
alakra, és máris előáll az átviteli függvény. Ezek alapján: 4s + 5 s2 + 3s + 2 Most nézzük meg az állapottér reprezentációt! G(s) =
H(s) = C(sI − A)−1 B · ¸· ¸ · ¸ £ ¤ s 0 −3 −2 −1 1 H(s) = 4 5 ( ) 0 s 1 0 0 · ¸−1 · ¸ £ ¤ s+3 2 1 = 4 5 = (∗) −1 s 0 Első lépésben állítsuk elő a mátrix inverzét! ¸ · ¸ · s+3 2 s 2 ¸−1 Adj · −1 s 1 s+3 s+3 2 ¯ = = ¯¯ = ¯ −1 s s(s + 3) + 2 ¯ s+3 2 ¯ ¯ −1 s ¯ · ¸ s 2 · ¸ s 2 1 s+3 − s2 +3s+2 2 +3s+2 s = = 2 1 s+3 s + 3s + 2 s2 +3s+2 s2 +3s+2 Ezzel előállt a mátrixunk inverze. Helyettesítsük vissza ezt az eredeti egyenletbe: ¸· ¸ · ¸ · s s 2 £ ¤ s2 +3s+2 £ ¤ s2 +3s+2 − s2 +3s+2 1 = 4 5 = (∗) = 4 5 1 s+3 1 0 s2 +3s+2 s2 +3s+2 s2 +3s+2 =
s2
4s 5 4s + 5 + 2 = 2 + 3s + 2 s + 3s + 2 s + 3s + 2 4s + 5 H(s) = 2 s + 3s + 2
Láthatjuk, hogy a két átviteli függvény (H(s), G(s)) azonos, tehát a két modell ugyanazt a renszert írja le.
87
(2) példa Stabil-e az előbbi rendszer? Először vizsgáljuk meg az I/O modell alapján. Ezt pólusvizsgálattal tehetjük meg, azaz a differenciálegyenletből levezetett átviteli függvény nevezőjének gyökeit kell megvizsgálni. Folytonos esetben akkor stabil egy rendszer, ha a pólusok negatív valósrészűek. Re(pi ) < 0, ∀i.
s1,2
s2 + 3s + 2 = 0 * −1 √ −3 ± 9 − 8 = = 2 −2
A két pólus: −1 és −2. Azaz a két pólus negatív, valós, azaz a rendszer stabil. Vizsgáljuk most az állapottér modellel leírt rendszert. Itt azt kell vizsgálni, hogy az A mátrix úgynevezett stabilitásmátrix-e? Egy mátrixot akkor nevezünk stabilitásmátrixnak, ha igaz rá, hogy a sajátértékeinek valós része negatív: Re(λi {A}) < 0 Állítsuk elő a sajátértékeket: ¯ · ¯ ¸ ¯ ¯ ¸ · ¯ λ 0 −3 −2 ¯¯ ¯¯ λ + 3 2 ¯¯ ¯ = |λI − A| = ¯ − = 1 0 ¯ ¯ −1 λ ¯ 0 λ = (λ + 3)λ + 2 = λ2 + 3λ + 2 Sajátértékek meghatározásához oldjuk meg a következő egyenletet: (λ + 3)λ + 2 = λ2 + 3λ + 2 = 0 * −2 √ −3 ± 9 − 8 λ1,2 = = 2 −1 Itt is látható, hogy a sajátértékek valósrésze negatív, tehát a rendszer stabil.
88
(3) példa Vizsgáljuk meg ezt a rendszert irányíthatóság szempontjából. Egy rendszernél meg kell vizsgálnunk, hogy elméletileg lehetséges-e az, hogy egy adott állapotból véges időn belül átvihető-e a rendszer egy másik adott állapotba. Ha lehetséges, még akkor sem biztos, hogy fizikailag is megvalósíthatjuk ezt, de ha már elméletileg sem érhetnénk el egy állapotot, akkor gyakorlatban nem érdemes ezzel a problémával bajlódni. Az irányíthatóság feltétele az, hgy az úgynevezett irányíthatósági mátrix teljes rangú legyen, azaz: C = [ B AB . . . An−1 B] irányíthatóságio mátrixra rang(C) = n azaz teljes rangú, vagyis értéke megegyezik az állapotváltozók számával. Esetünkben az irányithatósági mátrix a következő:
C = [B AB] Állítsuk elő az AB szorzatot. · AB =
¸· ¸ · ¸ 1 −3 −3 −2 = 0 ¸ 1 1 ·0 1 −3 C= 0 1
Teljes rangú-e ez a mátrix? A rang pontos értékét megtudhatjuk bázistranszformáció segítségével, viszont minket csak annyi érdekel, hogy teljes rangú-e vagy sem ez a mátrix. Négyzetes mátrixok esetén ezt legegyszerűbben úgy állapíthatjuk meg, hogy megvizsgáljuk a determinánsát. Ha a determináns nem nulla, akkor a négyzetes mátrix teljes rangú. ¯ ¯ ¯ 1 −3 ¯ ¯ = (1 · 1 + 3 · 0) = 1 6= 0 ¯ ¯ 0 1 ¯ 89
Tehát a mátrix teljes rangú, így a rendszer irányítható. (4) példa Megfigyelhető-e ez a rendszer? Ha a rendszer bemeneteinek és kimeneteinek ismerete elegendő bármely köztes állapot meghatározásához, akkor a rendszert megfigyelhetőnek nevezzük. A megfigyelhetőség feltétele, hogy az úgynevezett megfigyelhetőségi O mátrix teljes rangú legyen. C CA O= .. . n−1 CA A példánkban a megfigyelhetőségi mátrix a következő: · ¸ C O= CA Állítsuk elő a CA szorzatot. CA =
£
4 5
¤
·
−3 −2 1 0
¸ =
£
−7 −8
¤
Ezek után a megfigyelhetőségi mátrix: · ¸ 4 5 O= −7 −8 A rang milyenségének meghatározásához írjuk fel a determinánsát Onak: ¯ ¯ ¯ 4 5 ¯¯ ¯ = 4 · (−8) − 5 · (−7) = −32 + 35 = 3 6= 0 |O| = ¯ −7 −8 ¯ Tehát a mátrix teljes rangú, így a rendszer megfigyelhető.
90
(5) példa Diszkretizálás: A diszkrét állapottér modell a következő: x(k + 1) = φx(k) + γu(k) y(k) = Cx(k) + Du(k) A folytonos és a diszkrét rendszer közötti kapcsolat: φ = eAT γ = A−1 (eAT − I)B ahol T a mintavételezési idő. Írjuk fel a diszkrét állapottér modelljét a következő rendszernek! a2 y 2 (t) = b0 u(t) vagy más jelölésekkel: dy 2 (t) = u(t) dt Első lépésként írjuk fel a rendszert állapottér modellel, ehhez használjuk fel a kontroller formot: · ¸ · ¸ £ ¤ 0 0 1 Ac = , Bc = , Cc = 0 1 1 0 0 · ¸ · ¸ · ¸ 0 0 x1 (t) 1 x(t) ˙ = · + u(t) 1 0 x2 (t) 0 £ ¤ y(t) = 0 1 x(t) A diszkretizálás sorbafejtéssel is megoldható, azaz φ értékét a következők szerint adjuk meg: AT
φ=e
A2 T 2 + ... = I + AT + 2!
91
· I= ·
¸
1 0 0 1
¸ 0 0 AT = T 0 · ¸ · ¸ · ¸ 0 0 0 0 0 0 2 A = · = 1 0 1 0 0 0 · φ=
1 0 0 1
¸
· +
0 0 T 0
¸
· +
· φ=
0 0 0 0
1 0 T 1
¸
· + ··· =
1 0 T 1
¸
¸
A2 T 2 − I)B = 2! AT 2 A−1 A2 T 2 )B = (IT + )B = (A−1 AT + 2! 2! ¸ · ¸ · ¸ · ¸· ¸ · ¸ · T 0 T 0 0 1 1 T 0 = t2 = t2 + t2 ) γ=( 0 0 0 T T T 2 2 2 γ = A−1 (eAT − I)B = A−1 (I + AT +
· γ=
T
¸
T2 2
Tehát a diszkrét rendszer: · ¸ · ¸· ¸ · ¸ T x1 (k + 1) 1 0 x1 (k) = + T 2 u(k) x2 (k + 1) T 1 x2 (k) 2 · ¸ £ ¤ x1 (k) y(k) = 0 1 x2 (k) (6) példa Vizsgáljuk meg az előző modellt, hogy bizonyos bemenetre hogyan reagál!
92
Legyen a bemenetünk a következő: ½ 1, ha k = 0 u(k) = 0, egyébként Legyen T = 1 sec és x0 = 0. ¸· ¸ · ¸ 1 0 x(1) 1 x(k + 1) = φx(k) + γu(k) = + 1 u(k) 1 1 x(2) 2 · ¸ 0 x(0) = 0 ·
· x(1) = φx(0)+γu(0) =
1 0 1 1
¸·
· ¸ · ¸ · ¸ ¸ · ¸ 0 1 1 0 1 + 1 = 1 + 1 1= 0 0 2 2 2
¸· ¸ · ¸ · ¸ 1 1 0 1 1 x(2) = φx(1) + γu(1) = + 1 0= 3 1 1 1 2 2 2 · ¸· ¸ · ¸ 1 0 1 1 x(3) = φx(2) + γu(2) = = 3 1 1 2, 5 2 ·
y(0) = Cx(0) =
y(1) = Cx(1) =
y(2) = Cx(2) =
£
£
93
£
0 1
0 1
0 1
¤
¤
¤ ·
·
·
0 0
1 0, 5 1 1, 5
¸ =0 ¸ = 0, 5 ¸ = 1, 5
3.9.
Digitális számításelmélet
(1) példa - nyelv Adjuk meg L1 · L2 , L2 · L1 , L0 , L1 , L2 műveletek eredményeit, ha az L1 és L2 nyelvek a következők: L1 = {0, 01} L2 = {1, 11} L1 · L2 = {01, 011, 0111} L2 · L1 = {10, 101, 110, 1101} L0 = {²} L11 = {0, 01} L21 = L1 · L1 = {00, 001, 010, 0101} (2) példa - nyelvtan Adott a G generatív grammatika: G =< {a, b}{S}, S, {S −→ ab, S −→ aSb} >, ahol {a, b} a terminális elemek ábécéje; {S} a nemterminális elemek ábécéje; S a kezdő szimbólum; {S −→ ab, S −→ aSb} pedig a nyelvtani szabályok. Ezek alapján generáljuk az a4 b4 szót! Definíció alapján a terminális jelek ábécéje itt V = {a, b}, a nemterminális elemek ábécéje W = {S}, S a kezdőszimbólum, és két helyettesítési szabály van: S −→ ab és S −→ aSb. Az a4 b4 karakterláncot, (ahol a-k és b-k száma négy, és egymást követve kell megjelenniük, tehát: aaaabbbb) a következő képpen generálhatjuk: S ` aSb ` aaSbb ` aaaSbbb ` aaaabbbb Ezzel a szabálykészlettel előállíthatjuk az L(G) = an bn , n > 0 karakterláncokat. 94
(3) példa - felismerő automata Legyen A egy determinisztikus felismerő automata a következőképpen definiálva: A =< {q0 , q1 , q2 }, {0, 1}, δ, q1 , {q2 } > δ(q0 , 0) = q0 δ(q0 , 1) = q1 δ(q1 , 0) = q0 δ(q1 , 1) = q2 δ(q2 , 0) = q0 δ(q2 , 1) = q2 ahol {q0 , q1 , q2 } a bemenő állapotok halmaza; {0, 1} a bemeneti ábécé; δ, az állapotátmeneti szabályok; q1 a kezdőállapot; {q2 } pedig a végállapotok halmaza, ez jelen esetben egy elemű halmaz. A bemenő szó legyen, 011011. Felismeri-e az A automata ezt a bemeneti szót? − → − → − → → − − → q0 0 q0 1 q1 1 q2 0 q0 1 q2 A bemenő karakterlánc a felismerő autómatát a q2 -es állapotba vitte, a kérdés, hogy ez az állapot eleme-e a végállapotok halmazának? Az automata definíciójában a végállapotok halmaza: {q2 } Mivel q2 ²{q2 }, ezért az A automata felismeti a 011011 bemenő szót. (4) példa - átalakító automata Legyen M egy Mealy-automata a következő módon adott: M =< {q0 , q1 }, {a, b}, {0, 1}, δ, λ, {q0 } >, ahol {q0 , q1 } a bemenő állapotok halmaza; {a, b} a bemenő ábécé; {0, 1} a kimeneti ábécé; δ az átmeneti függvény; λ kimeneti függvény; 95
{q0 } kezdőállapotok halmaza; és a szabályok a következők: δ(q0 , a) = q0 δ(q0 , b) = q1 δ(q1 , a) = q1 δ(q1 , a) = q0 λ(q0 , a) = 0 λ(q0 , b) = 1 λ(q1 , a) = 1 λ(q1 , b) = 0 Hogyan alakítja át az M automata a baabbab bemeneti szót? állapot q0 q1 q1 q1 q0 q1 q1 q0
bemenet b a a b b a b
kimenet 1 1 1 0 1 1 0
Bakapcsoláskor az automata a definícióban megadottak szerint q0 állapotba kerül, majd beolvassa a bemenő szalagról balról vett első jelét, egy b-t. Ennek hatására az automata átkerül q1 állapotba, a kimeneti szalagra pedig egy 1-est ír. Következő lépésben eggyel jobbra lépteti a beolvasó fejet és beolvassaa bemenő szalag második pozícióján lévő jelet egy a-t. Az állapotátmeneti függvénynek megfelelően most nem változik az automata belső állapota és a kimenő szalagra írt jel egy 1-es lesz. Az utolsó bemenő jel b beolvasása után az automata q0 állapota kerül, és a kimeneti szalagra 0-t ír ki. A kimeneti karaktersorozat a következő: 1110110 (5) példa - veremautomata
96
Legyen M =< {q0 , q1 , q2 }, {a, b}, {z0 , z1 }, δ, q0 , z0 , {q0 } > egy veremautomata, ahol {q0 , q1 , q2 } a belső állapotok véges nemüres halmaza; {a, b} a bementi ábécé; {z0 , z1 } a veremábécé; δ átmeneti függvény; q0 kezdőállapot; z0 veremalja jel; {q0 } végállapotok halmaza. Egy veremautomata a bemenő jelet elfogadhatja állapotával vagy az üres veremmel. A szabályok a következők: (1) δ(q0 , ε, z0 ) = {< q0 , ε >} (2) δ(q0 , a, z0 ) = {< q0 , z0 z1 >} (3) δ(q1 , a, z1 ) = {< q1 , z1 z1 >} (4) δ(q1 , b, z1 ) = {< q1 , ε >} (5) δ(q2 , b, z1 ) = {< q2 , ε >} (6) δ(q3 , ε, z0 ) = {< q2 , ε >} Felismeri-e az automata az aabb jelsorozatot? A veremautomata q0 kezdőállapotból indul, a bemeneti szalagon az aabb jelsorozat, a veremben a z0 veremalja jel látható. < q0 , aabb, z0 > Ezután a bemeneti szalagról beolvassuk az első karaktert,ami jelen esetben egy a. A (2)-es szabályt alkalmazva, a verembe a z1 jel kerül, az automata q1 állapotba megy át, a bemenő szalagon az abb karaktersor marad, azaz az automata konfigurációja a következő: < q1 , abb, z0 z1 > Mint látjuk a bemenő szalagról beolvasható következő karakter egy a a (3)-as szabályt alkalmazva az a beolavása után az automata q1 -es állapotba kerül,a bemenő szalagon már csak a bb karakterlánc marad, a verembe pedig bekerül még egy z0 elem. Ekkor már három elemünk lesz a veremben, ugyanis eddig csak beolvastunk a verembe, de onnét nem vettünk ki semmit, tehát az állapotsor: < q1 , bb, z0 z1 z1 > Beolvassuk a következő karaktert a bemeneti szalagról, ami egy b, az 97
(1)-es szabályt alkalmazva megtörténik az első veremből kiolvasás. Azaz b-t beolvasva a q2 -es állapotba kerülünk, a veremből pedig kiolvassuk a legfelső elemet, ami jelen esetben a z1 . Így a következő állapotasor írja le a veremautomatát: < q2 , b, z0 z1 > Az utolso karaktert beolvasva és az (5)-os szabály szeint: < q2 , ε, z0 > A (6)-os szabályt alkalmazva < q0 , ε, ε > Láthatjuk, hogy a bemeneti szalagon és a veremben sem maradt egyetlen elem sem, tehát a veremautomata felismerte a jelsorozatot.
98
3.10.
Zárthelyi feladatsorok megoldása
(1) feladatsor 1. Adja meg a folytonos idejű állapottér modellel jellemzett rendszerek esetén a megfigyelhetőség definícióját! 2. Stabil-e a G(s) =
3s2
1 + 1s
rendszer? Indokoljon! Csatolja vissza negatívan ezt a tagot! Változik-e a stabilitás? 3. Legyen egy tag átviteli függvénye: G(s) =
1 2s + 3
Rajzolja fel a rendszer gyökhelygörbéjét! 4. Legyen egy generatív grammatika a következő: G =< {a, b}, {S}, S, {S −→ aS, S −→ bSa, S −→ ab} > Generálja a bbaabaa szót! (Az egyes lépéseknél alkalmazott szabály sorszámát tűntesse fel!) 5. Ismertesse az átalakító automaták működését! (2) A feladatsor megoldása 1. feladat Ha egy rendszer állapottér modelljére teljesül, hogy adott t0 kezdeti időpont esetén létezik t > t0 időpont, hogy u(τ ) és y(τ ) ismerete (τ ∈ (t0 , t1 )) elégséges az x(t0 ) kezdőállapot meghatározásáshoz, akkor a modell megfigyelhető. 2. feladat
99
Adott a rendszer átviteli függvénye: G(s) =
3s2
1 + 1s
Folytonos, másodrendű rendszerek esetében a stabilitásvizsgálat pólusmeghatározással történik. Első lépésként határozzuk meg a rendszer pólusait, azaz a nevező gyökeit. Mivel itt hiányos másodrendű kifejezés szerepel a nevezőben, így másodfokú egyenletmegoldó képlet alkalmazása helyett egy egyszerű kiemeléssel megkapható a két gyök: 3s2 + 1s = 0 s(3s + 1) = 0 1 3 A stabilitás feltétele folytonos esetben: a póusok valósrészének kisebbnek kell lenni, mint nulla. s1 = 0 ; s2 = −
Re(si ) < 0, ∀i ⇒ a rendszer stabil Akár egy, nullánál nagyobb valósrészű pólust is találunk, a rendszer már instabil. A nulla valósrészű pólus az jelenti, hogy a rendszer a stabilitás határán van. Látható, hogy itt két valós gyökünk van, melyek közül az egyik negatív ugyan, de a másik nulla. Így kijelenthetjük, hogy a rendszer a stabilitás határán van. Most vizsgáljuk meg mi történik a rendszer viselkedésével, ha negatívan visszacsatoljuk! A visszacsatolt rendszert a következő ábra mutatja: ábra 1feladatsor2.jpg Először ki kell számolnunk az új rendszer eredő átviteli függvényét. Ez definíció szerint: Ge (s) =
nyitott kör eredő átviteli függvénye
1 ±nyitott kör eredőátviteli függvénye ·visszacsatolt ág eredő átiteli függvénye 100
3-24. ábra. A visszacsatolt rendszer Így tehát a jelen példában: Ge (s) =
1
1 3s2 +s + 3s21+s
Közös nevezőre hozva, kicsit átalakítva: 1 +s+1 Vizsgáljuk meg ennek a rendszernem a pólusait is! Ge (s) =
3s2
3s2 + s + 1 = 0 √ √ √ 11 −1 ± 1 − 4 · 3 −1 ± −11 1 s( 1, 2) = = =− ±j 2·3 6 6 6 Azaz két komplex gyökpár jött ki eredményül. Vizsgáljuk meg ezen gyökök valósrészét! 1 6 ami negatív, tehát a rendszerünk a stabilitás határáról stabil tartományba került. A visszacsatolt rendszer stabil. Re(si ) = −
3. feladat
101
A feladatban szereplő tag átviteli függvénye: G(s) =
1 2s + 3
A feladat, hogy felrajzoljuk a rendszer gyökhelygörbéjét. A gyökhelygörbe, mint tudjuk, a zárt rendszer pólusainak ábrázolása a komplex számsíkon, midőn egy rendszerparamétert (itt az erősítést) 0 és ∞ között változtatjuk. Tehát a visszacsatolt, zárt rendszert kell vizsgálnunk, majd megadni annak eredő átviteli függvényét.
Ge (s) =
1 K 2s+3
1+
1 K 2s+3
=
K 2s + 3 + K
Ez egy elsőrendű rendszer, melynek átviteli függvénye általános alakban: K G(s) = τs + 1 ahol a K az erősítés a τ az időállandó A pólusokat, azaz a nevező gyökeit kell vizsgálnunk. 2s + 3 + K = 0 Vizsgáljuk ezt az egyenletet, midőn K értékét változtatjuk 0 és ∞ között: ha K = 0 akkor 2s + 3 = 0 ⇒ s = − 32 ha K 6= 0 akkor s = − 3+K 2 ha K → ∞ akkor s → −∞ Tehát a rendszer gyökhelygörbéje: ábra 1feladatsor3.jpg 4. feladat A generatív grammatika a következő: G =< {a, b}, {S}, S, {S −→ aS, S −→ bSa, S −→ ab} > 102
3-25. ábra. A rendszer gyökhelygörbéje A bbaabaa szó generálása a kezdő nemterminális elemből indul, ami ebben a példában az S. Innét a következő sorrendben alkalmazzuk a helyettesítsi szabályokat: − → − → − → → − S 2 bSa 2 bbSaa 1 bbaSaa 3 bbaabaa 5. feladat A Mealy átalakító automata működése a következő: ¦ start: a q0 kezdőállapotból indul az automata ciklus ¦ beolvasás: a bemenő szalagról balról az első jelet beolvassuk ¦ következő állapot meghatározása ¦ kimenő szalagra kerülő jel meghatározása ¦fejek léptetése ciklus vége.
103
3.11.
Táblázatok f (t) F (s) F (z) δ(t) 1 1 1 −nT s δ(t − nT ) e zn z 1 1(t) s z−1
104
4. 4.1.
VisSim szimulációs program ismertetése Bevezetés
A VisSim egy grafikus környezetet biztosító fejlesztő és szimulációs program. Minden,a modellépítéshez szükséges eszköz elérhető a különböző menüpontok alatt. A modellt blokkokból építhetjük fel, összeköttetéseket definiálhatunk, majd a kész rendszert szimulálhatjuk és analizálhajuk a program segítségével.
105
4.2.
Alapok
Indítsuk el a programot a VisSim ikon segítségével. A VisSim egy üres blokk diagrammal indul, melyet automatikusan létrehoz a program. Az indító képernyőt az 4-1.ábrán láthatjuk.
4-1. ábra. A VisSim indítóképernyője Hasonlóan az eddig ismert grafikus progrmokhoz, a VisSimben is menük és dialógusablakok segítségével történik a kommunikáció a felhasználó és a program között, valamint görgetősáv szolgál a navigáció könnyítésére.
4.2.1.
Az állapotsáv
4-2. ábra. Az állapotsáv Az állapotsáv (lásd 4-2.ábra) a programablak alsó részén helyezkedik el, és az éppen aktuális diagramról szóló információkat tartalmazza. Ezek a 106
blokk számláló, a szimulációs ráta, a használt algoritmus, a lépésköz, és az implicit solver. Ha fut egy szimuláció, akkor az eltelt szimulációs idő is leolvasható innét. Az állapotsáv eltűntetésére illetve megjelenítése a View > Status bar menüpont segítségével történhet. (Alt+V,S)
4.2.2.
Az eszköztár
Az eszköztár (View > Toolbar), lásd 4-3.ábra, a menüsáv alatt található. Új gombok helyezhetők el illetve törölhetők az eszköztárból a tervezés és a szimuláció megkönnyítésére.
4-3. ábra. Az eszköztár Az eszköztár megjelenése illetve elrejtése is lehetséges hasonlóan az állapotsávhoz. (Alt+V,S). Új gombok hozzáadása a következő képpen történik: Edit > Toolbar menüponttal, a gombok listájából válasszunk ki egy számot (0-17-ig foglalt), majd a Function legördülő menüjéből válasszuk ki a kívánt tevékenységet. A Help String segítségével adhatunk neki egy szövegezést, mely a nyíllal való rámutatáskor jelenik meg. A Bitmap gomb segítségével az új gomb textúrája választható ki. Az Ok gomb lenyomásával elmenthetjük a beállításokat. Az eltávolításhoz nyissuk meg az Edit > Toolbar menüt. Keressük ki az eltávolítani kívánt gomb számát, majd a Function legördülő menüjéből válasszuk ki a none-t. Az módosítások elfogadtatása után (OK) a kiválasztott gomb eltűnik.
4.2.3.
Segítség
A Help funkció legmagasabb szintjét a menüsor Help pontjánál találjuk (Alt+H). Ha az aktuális, kiválasztott blokkról szertnénk további információhoz jutni, 107
akkor az adott blokk dialógusablakában lévő Help gombra kell kattintanunk. (a blokk dialógusablakát a blokkon történő bal egér duplakattintásával hozhatjuk elő).
4.2.4.
Egy egszerű modell felépítése
Blokk diagrammok építése a Blokk menüpontban szereplő építőelemek munkaterületre történő húzásával, majd az így felhelyezett elemek megfelelő összekötettésével történik. Az összekötettések a blokkok mozgatsával, forgatásával sem tűnnek el. Készítsünk egy egszerű áramkört, mely két szám összeadását végzi. Elsőként helyezzünk el egy összeadót a munkaterületen. Ezt a Blokk menüpont Arithmetic elemei közül kiválasztott összeadó megfogásával és a helyére húzásával tehetjük meg (lásd 4-4.ábra).
4-4. ábra. Összeadó palettára helyezése A blokkokat egyszerűen a kiválasztás után bal egérrel tartva a megfelelő helyre húzzuk, majd elengedjük. Hasonlóan ehhez elhelyezünk két slider-t, 108
azaz csúszkakkal ellátott elemet: Block > Signal Producer > Slider, illetve az eredmény megjelenítéséhez egy kijelzőt: Block > Signal Consumer > Display. Ekkor az 4-5.ábrán lévő képet láthatjuk a monitoron.
4-5. ábra. Elemek elhelyezése A következő lépés az összeköttetések elkészítése. A blokkok kimenetei és bemenetei között létesíthetünk összeköttetéseket. Mindig az adott blokk kimenetétől indítjuk a drótozást úgy, hogy egérrel a kimenetre mutatva a kurzor kis nyillá változik, ekkor a bal egér gombot tartva, a drótot az összekötendő másik blokk bemenetéig húzzuk, majd ott elengedjük az egeret. Az összeköttetés létrejött. Lásd 4-6. ábra Most nézzük meg a blokkok beállítási lehetőségeit. A Setup ablak az adott blokkon történő dupla egérkattintással jeleníthető meg. Lasd 4-7.ábra. A Slider blokkon belül három értéket állíthatunk be, ezek az aktuális értéke a blokknak, a felső illetve az alsó határ a megjeleníthető értékeknek. A 109
4-6. ábra. Összeköttetések készítése
4-7. ábra. Beállítási lehetőségek különböző elemeknél a beállítási lehetőségek értelemszerűen egyediek.
110
4.3.
Általános tudnivalók
(1) Kijelölés, törlés Blokkok törléséhez a Shift billentyű nyomva tartása mellett klikkeljünk a törölni kívánt blokkra, majd nyomjuk meg a Del billentyűt. Nagyobb területet is kejelölhetünk a vázlaton. Ekkor a kijelölendő terület egyik képzeletbeli sarkánál nyomjuk le a bal egér gombot, tartsuk és húzzuk addig, amíg a kijelölést kívánjuk. Így több elem is törölhető egyszerre. A Ctrl+C (copy, másolás), Ctrl+X (cut, kivágás) és Ctrl+V (paste, beillesztés) itt is használatosak. (2) Forgatás Blokkok forgatására is lehetőség van. Jelöljük ki a forgatni kívánt objektumot, majd az Edit > Rotate 180 paranccsal vagy a Ctrl+left billentyűkombinációval elforgathatjuk az elemet. A megforgatott elem összeköttetései megmaradnak. A munkatér üres részére kattintva a blokk kijelölése megszűnik. (3) Tömörített blokkok Komolyabb, összetettebb modellek építése során az átláthatóság érdekében felmerülhet az igény az összetartozó részek egyetlen blokkba történő tömörítésére. Ezt VisSim-mel igen könnyen megtehetjük. Jelöljük ki az összevonni kívánt elemeket. Az Edit > Create Compound Block segítségével megadhatjuk az új, összetett blokk nevét, beállíthatjuk a biztonsági funkciókat, elrejthetjük, valamint bitmap képpel szinesíthetjük az új blokkot. Az így öszetömörített blokk tartalmát blokkon történő duplakattintással vagy jobb egér kattintással megtekinthetjük. Ha a tömörített blokkot ki szeretnénk bontani, akkor klikkeljünk az Edit > Dissolve Compound Block menüpontra, majd az új kereszt alakú kurzorral klikkeljünk a kicsomagolni kívánt objektumra. A munkapad egy üres helyére kattintva kiléphetünk ebből a funkcióból.
111
4.4.
Blokkok(Blocks)
A VisSim Block menüpontja tartalmazza a leggyakrabban használt blokkokat. Ezeknek a kategória listáját itt megtalálhatjuk. Egérrel ráklikkelve egy pontra, további, alkategóriához tartozó elemek tűnnek elő. Aimation (animáció)
4.4.1.
Animate (animáció)
Ezen elem segítségével szimuláció közben animációt futtathatunk, mozgást, méretváltozást, képmegjelenítést valósíthatunk meg. Az animáció csak kijelző módban aktív. Kép megjelenítése animate blokkal: csak .bmp kiterjesztsű képfájlokat jeleníthetünk meg. Bitmap társítása animate blokkal: helyezzünk el egy animációs blokkot a munnkapadon, és hívjuk elő a setup ablakát (lásd 4-8. ábra). 8.ábra
4-8. ábra. Animációs blokk A Number of States ablakban lehet megadni a blokkhoz kapcsolni kívánt képek számát. A State ablakban válasszuk ki a nulladikat,majd adjuk meg a kép elérési útvonalát. A többi állapot esetén hasonlóan járjunk el. Végül 112
nyomjuk meg az OK gombot. Az animációs blokk bemeneteire kapott értékek szerint ugrik az animáció a különböző állapotok között. Ha nincs olyan számú kép, mint amennyi a bemenetre érkező érték, akkor a legnagyobb állapotszámú képre ugrik. Ha a bemeneti érték nem integer, akkor azt az animációs blokk integerré konvertálja. Az animációs blokk x és y bemenete adja meg a kép koordinátáit, a blokk w és h bemenete pedig a kép méretét pixelben.
4.4.2.
lineDraw
Ennek az elemnek a segítségével animálhatunk vonalakat a szimuláció során. Egyaránt módosítható a szín, a vastagság illetve a stílus paraméterek. A blokk bemenetei hasonlóan viselkednek az Animate blokkéhoz.
4.4.3.
Annotation
Bezel : A képernyő háttér megjelenése, háttér szín illetve háttér kép állítható be ezzel az elemmel. A blokk setup ablakában értelemszerűen módosíthatók ezek a paraméterek. Comment: Diagrammokhoz adhatók megjegyzések ennek az elemnek a segítségével. Az ablak görgetősávjának elhelyezése automatikus. A szöveg elhelyezése, módosítása értelemszerűen történik. Date: Ez az ablak mindig az aktuális dátumot illetve időt írja ki a kijelzőre. A frissítés mindig a blokk elmozdításakor, diagram kirajzolásakor történik. A Control Panel segítségével törölhető az ablak tartalma. Index : Az index blokk segítségével dinamikusan válszthatunk ki vektor elemeket. A felső kapcsoló a kiválasztandó elemet jelenti, a középső pedig azt a vektort, ahonnét ki akarjuk választani. Például: az egyes index az első vektorelemet választja. Variable: A válozó blokk segítségével jeleket vihetünk át a diagramon belül összeköttetések használata nélkül.
113
WirePositioner : Ezen elem segítségével hozhatunk létre speciális összekötettési útvonalakat. Ez az elem tulajdonképpen mindössze egy kimeneti és egy bemeneti pontból áll, és az összeköttetések módosítására szolgál.
4.4.4.
Arithmetikai elemek (Arithmetic)
Ezen blokk elemei értelemszerűen használandók. Itt találhatjuk a matematikai operátorokat és függvényeket, mint például az osztás, szorzás, reciprok-, ellentett-, abszolútérték képzés. Megemlítendő még négy elem, melyről kicsit bővebben szólunk: Gain: Ez az elem egy olyan kimenetet állít elő, mely a bemenő jel és a gain szorzataként jönlétre. y = x ∗ gain Pow : Ez az elem kimeneteként olyan jelet állít elő, mely a bemenő jel értékét egy, a blokkban megadott kitevőre emeli. Sign: A sign blokk meghatározza a bemenő jel előjelét, és kimenetként 1, 0, -1-et ad vissza. SummingJunction: Ez a blokk összeadja a beneteire érkező jeleket, és az összeget rakja a kimenetre. A bemenő jel előjele megváltoztatható a bemeneten való jobb egér kattintással. Alapértelmezésben két bemenete van ennek a blokknak, de ez is módosítható az Edit menü Add Input, Remove Input pontjában.
4.4.5.
Boolean kifejezések (Bookean)
Itt találhatjuk meg a logikai, összehasonlító operátorokat. (pl.: <,=,AND,OR, stb.) A bemenetre értelemszerűen a két összehasonlítandó jel kerül, és az eredményt teszi a kimenetre.
114
4.4.6.
Lineáris Rendszerek (Linear system)
A lineáris rendszereket leíró modellek blokkjai is megtalálhatók a VisSimben. Az állapottér reprezentáció és az átviteli függvény segítségével adhatjuk meg a szimulálni kívánt rendszereket. StateSpace: A stateSpace blokk a MIMO (multiple-input, multiple-output) rendszerek állapottér reprezentálására szolgál. Az állapottér modellben szereplő mátrixok vagy *.M fajlként adhatók meg, vagy egy egyszerű szövegszerkezőben is definiálhatok matrixonként új sort megadva. TransferFunction: Ezzel a blokkal egy SISO (Single Input Single Output), lineáris rendszer átviteli függvénye adható meg. A VisSim 90-ed fokú polinomok kezelésére képes. A blokk az IIR, FIR digitális szűrőformát támogatja. A blokkon történő duplakattintással előhívható a blokk tulajdonságait, adatait tartalmazó ablak. Itt lehet az átviteli függvény számlálójának és nevezőjének polinómjait megadni a numerator illetve a denominator sorokban a következő módon: - Az ablakban csak az állandó együtthatók szerepelhetnek, méghozzá a változó kitevője szerint csökkenő sorrendben - A nulla értékű együtthatókat is fel kell tűntetni, hiszen a változó megjelenésének hiányában a nullával szereplő tagokat is jelölni kell. A gain mezőben adható meg a rendszer erősítése, ennek alapértéke 1. Az állapotok kezdőértéke az Inital State mezőben jelölhető.
4.4.7.
Véletlen generátor (Random generator)
Háromféle véletlen jelgeneráló elem található ebben a menüpontban. Ezek a Gauss, uniform és a PRBS.
4.4.8.
Jelgeneráló elemek (Signal Producer)
Buttom: A gomb elem segítségével szimuláció közben dinamikusan beállíthatók bizonyos jelértékek.A blokknak 2-16 számú állapota lehet. Bitmap is társítható ezen állapotokkal, ezeket nevük illetve elérési útvonaluk szerint kell megadni, erre szolgál az Image gomb. A név ablaknál megadható egy szöveg,
115
mely csak akkor látható, ha az adott bitkép nem jeleníthető meg. Constant: A blokk egy konstans értéket generál, mely értéke a setup ablakban megadható. Az alapértelmezett érték 1. Import: Ez a blokk adatokat importál *.DAT, *.M, *.MAT vagy *.WAV fájlokból. Parabola: Parabolikus kimenő jelet generál. Slope rate, curavante RealTime: A blokk az aktuális időt állítja a kimenetre millisecunduman megadva. Megjegyzendő, hogy ez az idő nem felel meg a szimulációs időnek. Sinusoid : Egység sinushullám jelet állít elő. A setup ablakban módosítható az alapértékekkel megadott jel amplitúdója, frekvenciája, eltolása. Slider : Ez az úgynevezett csúszka blokk. Lehetővé teszi, hogy a szimuláció során a felhasználó által (egér segítségével) dinamikusan változtatható jelet állítsunk elő. A csúszka aktuális illetve alsó, felső értéke beállítható. Most következnek az általunk leggyakrabban használt bemenő jelgenerátorok. PulseTrain: Egységimpulzus vonat blokk az egység amplitúdójú impulzusok sorozatát állítja elő. Az impulzusok közötti idő megadható, ezt elég nagynak választva a Dirac impulzust közelíthetjük. Step: Az egységugrás bemenetet állítja elő, ennek amplitúdója és késleltetése módosítható. Ramp: Egységsebesség ugrás bemenet.
4.4.9.
Megjelenítés (Signal Consumer)
Display: A kimenő jel aktuális értékét jelzi ki megahtározott számú digiten. A kijelzett érték szine és hattérszíne is megváltoztatható.
116
Error : A szimuláció során fellépő hibákat jelzi, és a program leállását eredményezi. Light: Ez a blokk tulajdonképpen egy háromállapotú riasztó. Alapértelmezett esetben a kielző piros színe jelzi, ha a bemenő jel túllép egy megadott értéket, a kék szín jelzi, ha egy adott érték alatt van a jel, és zöld jelzi, ha a felső és alsó korlát között van a bemenő jel. Stop: Ha a bemenő jel nem nulla, akkor leállítja a szimulációt. Plot: Az általunk leggyakrabban használt kijelzési mód. A jelet egy kétdimenziós koordináta rendszerben, grafikusan jeleníti meg. Maga a kijelző és a megjelenített adat reprezentálása módosítható (lásd 4-9.ábra).
4-9. ábra. Kijelző
117
4.5.
Szimulációs beállítások (Simulate)
A modell felépítése után indítható a szimuláció. Először a jelgeneráló blokkot(egységugrás, Dirac-delta, stb.) értékeli ki a program. Aztán elküldi az adatokat a köztes blokkoknak (melyek rendelkeznek bemenettel és kimenettel is), végezetül az adatok a megjelenítő (plot, meter, stb.) bemenetére kerülnek, mely a végeredményt ábrázolja. Amikor szimulálunk egy modellt, a VisSim a blokkdiagramban lévő egyenleteket numerikus módszerekkel oldja meg véges intervallumon belül, lépésenként haladva az egyenleteken. Így definiálni kell a szimulációs időközt, a használandó algoritmust és a lépésközt is. Ezeket az értékeket a Simulation Setup ablakban módosíthatjuk. (1) Szimulációs beállítások A szimulációs beállítások ablakot a Menu > Simulation Setup menüpontból érhetjük el (lásd 4-10).
4-10. ábra. Szimulációs beállítások Range control 118
Itt állíthatjuk be, hogy a szimuláció mely időponttól(Range start) mely időpontig (Range end) tartson és, mekkora legyen a lépésköz (Step size). Értelemszerűen csak a szimulációs időtartományon belül kiszámolt értékek jellenek meg a kijelzőn. Ebben a mezőben állítható be, hogy a szimuláció valós időben fussone vagy nem, valamint a szimuláció lejátszódása után az automatikus újraindítás is lehetséges. Integration Algorithm A VisSim hét integráló algoritmust tartalmaz. Ezek az Euler, trapéz, másod- negyed,-ötödrendű Runge Kutta módszer, Bulirsh-Stoer és viszszafelévett Euler módszer. Mindegyik módszer az integrálás egy numerikus közelítésétt szolgáltatja. A bonyolultabb módszerek sokkal biztosabb, numerikusan helyesebb eredményt szolgáltatnak, bár futási idejük sokkal hosszabb. Ezen módszerek részletes ismertetésére itt nem terünk ki. (2) Szimuláció vezérlése A szimuláció egyszerű vezérlésére az eszköztár sávban találunk három gombot. Ha az eszköztár nem látható, megnyithatjuk a View > Toolbar menüpontból. A gombok a következő funkciókat láják el: Szimuláció indítása ábra A szimulációt erre az ikonra való kattintással indíthatjuk el. Ugyanez a funkció érhető el a Simulate > Go menüpontból. Szimuláció megállítása ábra A szimuláció megállításásra való, ugyanúgy mint a Simulate > Stop menüpont. Szimuláció léptetése ábra Ez a gomb a szimuláció lépésenkénti végrehajtására való. Minden alkalommal, mikor e gombot megnyomjuk, a szimuláció egy lépéssel előreugrik, elvégezve a számításokat. 119
ábra A szimuláció folytatásához ezt a gombot kell aktíválni, ekkor a szimuláció abbahagyja a lépésenkénti futást, és végrehajtja a szmulációt.
120
4.6.
Analizálás (Analyze)
A rendszer megépítése utána magával a szimulációval önmagában nem érünk semmit. A szimuláció során kapott adatokat ki kell értékelni, és a következtetéseinket le kell vonni. Erre szolgál az analizálás, megy a VisSimben igen sokrétű. Több szempontból is vizsgálhatjuk a kapott eredményeket, grafikonokat rajzolhatunk, táblázatokat készíthetünk. Ezeket a lehetőségeket az Analyze menüpontból érhetjük el.
4.6.1.
Átviteli függvény(Transfer function)
Az átviteli függvénnyel jellemzett blokk kijelölése után az átviteli függvényről kapunk itt információkat, úgy mint az erősítést valamint a számláló és nevező különböző fokszámú tagjainak együtthatóit láthatjuk táblázatos formában. Az ablakban az ok gombra kattintva új ablak nyílik meg, melyben a rendszer zérushelyei (4-11.ábra) és pólusai (4-12.ábra) vannak feltűntetve .
4.6.2.
Módosítás szerkesztő (Compensator Design)
Ebben a módban lehetséges az átviteli függvény módosítása oly módon, hogy újabb pólusokat illetve zérushelyeket definiálhatunk, valamint régieket törölhetünk (lásd 4-13.ábra). A Replot gombbal pedig automatikusan megkapjuk a módosított rendszert jellemző függvényeket (lásd 4-14.ábra), mint gyökhelygörbe, Bode diagram.
4.6.3.
Gyökhelygörbe, Nyquist diagram (Root locus, Nyquist Response)
Ezzel a rendszert jellemző gyökhelygörbe illetve Nyquist diagram rajzolható ki (lásd 4-15.ábra).
121
4-11. ábra. Átviteli függvény - együtthatók 4.6.4.
Bode diagram (Frequency Response, Frequency Range)
A Bode diagram amplitudó és fáziskarakterisztikájának kirajzolása nem egyszerre történik, hanem a két menüpomtból külön külön (lásd 4-16.ábra).
122
4-12. ábra. Átviteli függvény - pólusok, zérushelyek
123
4-13. ábra. Compensator
124
4-14. ábra. Replot
125
4-15. ábra. Gyökhegygörbe, Nyquist diagram
126
4-16. ábra. Bode diagram
127
Irodalomjegyzék [1] Kalman, R.E., Falb, P.L., Arbib, M.A. (1969). Topics in Mathematical System Theory McGrawHill Book Comp.
128
