BUDAPESTI M SZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI KAR
Dr. Gausz Tamás H - ÉS ÁRAMLÁSTAN II
ÁRAMLÁSTAN (TERVEZETT JEGYZET!)
2003
BEVEZETÉS E jegyzet az áramlástan alapismereteivel és néhány, egyszer bb alkalmazással foglalkozik − a BME Közlekedésmérnöki Kar "H - és áramlástan II" c. tárgy áramlástani részéhez készült, de − reményeink szerint − néhány kérdéssel kapcsolatban az áramlástannal foglalkozó szakemberek is haszonnal forgathatják. Az áramlástan a folyadékok, gázok és g zök viselkedését, a velük kapcsolatban fellép jelenségeket leíró tudomány, görög-latin elnevezése a hidromechanika − ami a hidrostatika és a hidrodinamika összefoglaló neve − és az aeromechanika − ami az aerostatika és a aerodinamika összefoglaló neve − arra utal, hogy tágabb értelemben a mechanika tudományának része. Igaz ez abban a vonatkozásban is, hogy az áramlástannak van klasszikus és statisztikus tárgyalásmódja is. Az áramlástan − különösen a modern fejezetei − azonban nem csak mechanikai ismeretekre épül, esetenként a fizika, a fizikai kémia és a kémia egyes eredményeit is alkalmazni kell. Az áramlástan a környez világunk igen sok jelenségének vizsgálatához nélkülözhetetlen, a felépítéséhez szükséges tudományterületekhez hasonlóan az alkalmazási köre is igazán széles. Ezért e jegyzetben − nyilvánvalóan − csak a leglényegesebb alapismeretek és az ezekhez kapcsolódó alkalmazások szerepelhetnek. A jegyzetben skalár, vektor és tenzor jelleg mennyiségek fordulnak el , bár a nulla indexes tenzor (ez a skalár), az egy indexes tenzor (ez a vektor), a két indexes tenzor (ezek a jegyzetben is a tenzor nevet kapták: pl. derivált tenzor, feszültség tenzor) megnevezések alkalmazása következetesebb lett volna. Ez utóbbi rendszer hasznos lett volna abból a szempontból is, hogy pl. a turbulencia tárgyalásánál egyes szerz k háromés négy indexes tenzorokat is bevezetnek. Tekintettel a tankönyv jellegre és arra, hogy − sajnos − a magasabb index-számú tenzorok a jegyzetben nem fordulnak el , megmaradtunk a hagyományosnak tekinthet osztályozás mellett. Magyarországon, ezt megelégedéssel állapíthatjuk meg, er s, nagy hagyományokkal rendelkez áramlástani iskolák léteznek. Ezekb l az iskolákból indult néhány jelent s, nagyív pályát befutó, külföldön tevékenyked kutató és dolgozott itthon, több ugyancsak nagyon komoly kvalitású szakember. Ez utóbbiak munkájának fontosságát nem lehet eléggé hangsúlyozni. A hazai tevékenységet jelzik a hazai szerz k által írott, nívós áramlástan (hidromechanika, folyadékok mechanikája) könyvek is. Szerény képességeink szerint e könyvek példáját igyekeztünk követni.
(Folyt. köv.)
1
1. A FOLYADÉKOK és GÁZOK FIZIKAI TULAJDONSÁGAI Az anyag molekuláris szerkezetét akkor kell figyelembe venni, ha gázok esetében a molekulák szabad úthossza, illetve folyadékok estében a molekulák mérete az áramlási tér jellemz méretéhez képest már nem hanyagolható el. Ilyen eset lehet − többek között − egy, a ritka légkörben mozgó (pl. visszatér ) rhajó vagy egy nagyon kisméret térben végbemen un. mikro-áramlás. Ezekkel a kérdésekkel ez a jegyzet nem foglalkozik, így az itt el forduló áramlástani kérdések vizsgálatához elegend lesz a klasszikus, kontinuumot (a teret egyenletesen kitölt közeget) feltételez szemléletmód. Ezzel együtt, amikor az egyáltalán csak lehetséges, az anyag megértése szempontjából el nyös molekuláris vagy részecske szemlélet alapján értelmezzük a fizikai jellemz ket. A következ kben − ha ez egyébként megengedhet − a gázok, a g zök és a folyadékok együttesen a közeg elnevezést kapják. A folyékony (folyadék) és a légnem (g z vagy gáz) az anyag különböz halmazállapotát jelenti. E két halmazállapot közötti alapvet különbséget a közeg részecskéinek (általában molekuláinak) egymáshoz viszonyított átlagos távolsága jelenti: ez a folyadékok részecskéinél igen kicsi, a légnem közeg részecskéinél meglehet sen nagy − ebb l következik, hogy a molekulák közötti vonzás a folyadékokban jelent s szerepet játszik, a gázokban pedig nem. A folyadékokban a részecskék egymáshoz közeli helyzetét a szilárd testekben is megtalálható potenciálgát biztosítja: egy-egy részecske akkor tud a szomszédjától (szomszédaitól) eltávolodni, ha a potenciálgát leküzdéséhez szükséges, aktiválási energiával rendelkezik. Az eltávolodás másik szükséges feltétele, hogy a részecske mellett legyen egy üres hely, ahova a részecske átléphet. A szilárd testekhez képest különbség viszont, hogy a folyadékokban a részecskéknek nincs többé-kevésbé határozott pozíciója (pl. nincs kristályrács), csak az egymáshoz viszonyított távolság kötött. Ezért a folyékonyak a folyadékok, ez a magyarázata annak, hogy az ket befogadó tér, edény megfelel részének alakját veszik fel − a gravitációs er térben például az edényeket, tereket alulról felfelé töltik ki. A légnem közegek ezzel szemben, mivel a részecskéik egy-egy ütközésig lényegében szabadon mozognak, a rendelkezésükre álló teret (els közelítésben) egyenletesen töltik ki. A folyadékokban és gázokban egyaránt molekuláris transzport jelenséget mennek végbe, ilyen például a h vezetés megfelel része, ilyen lehet az oldódás vagy keveredés, de ide sorolható a csúsztató feszültség egy részének keletkezése is. A gázokban a molekuláris transzport igen kézenfekv módon alakul ki: a rendezetlen h mozgással vagy a turbulens mozgással mozgó részecskék helyet cserélnek, magukkal vive a tulajdonságaikat, anyagi min ségüket. A folyadékokban is hasonló helycsere következik be, de a helycserének két szükséges feltétele van: az akitválási energia és az üres hely megléte. Ezért a folyadékok viselkedése összetettebb is lehet, mint a gázoké. Általánosságban kijelenthet , hogy a molekuláris transzport jelenségek irányát a közegben uralkodó viszonyok határozzák meg: a h például a melegebb helyekr l a hidegebb helyek felé halad, stb. 2
A s r ség az egységnyi térfogatban lév közeg tömege – ez a részecske szemlélet szerint azt jelenti, hogy a s r ség az egységnyi térfogatban helyet foglaló összes részecske tömege. A s r ség intenzív mennyiség, vagyis értéke nem függ a vizsgált rendszer méreteit l. A teljes tömeg pl. nyiván extenzív mennyiség, mivel értéke a rendszer darabolásával változik. A s r ség a tömeg és a térfogat mérése alapján számítható. A következ kben a közegekben keletkez feszültségekr l lesz szó. A feszültségeknek normális és érint irányú összetev jét szokás megkülönböztetni – a normális irányú összetev esetünkben a nyomás, az érint irányú a csúsztató feszültség. A feszültségeket összefoglaló módon, általában kétindexes tenzorként – ez a feszültség tenzor – szokás megadni. A statikus nyomás a részecskék rendezetlen h mozgásából származó, id egységre illetve felületegységre jutó mozgásmennyiség változás. Mivel a rendezetlen h mozgásnak kitüntetett iránya nincs, ezért a statikus nyomásnak sincs kitüntetett iránya, vagyis a statikus nyomás skalár mennyiség (nulladrend tenzor), továbbá intenzív mennyiség. A statikus nyomás megfelel en elhelyezett nyomásmér m szerrel mérhet . A közegekben elhelyezked valamely, szilárd felületen a statikus nyomás következtében er keletkezik. Ez az er a felületi normális irányába mutat és a közeg fel l a test felé irányul – kevésbé pontosan azt mondjuk, hogy a felületre mer leges és kintr l befele mutat. A "mer legesség" a rendezetlen mozgásból egyenesen következik: képzeljünk el egy végtelen vékony síklapot, amely a közeget két részre osztja. Válasszuk ki ennek egy pontját. A nagyon nagy számú részecske miatt minden, az egyik oldalról ide ütköz részecskéhez jó közelítéssel találhatunk egy tükör-részecskét, amely a másik oldalról érkezik és a hatásuk felülettel párhuzamos része egymást kioltja, csak a mer leges rész marad meg. Elegend számú részecskét, elegend en hosszú ideig vizsgálva 1.1 ábra az 1.1 ábrán vázolt helyzet következik. A gyakorlatban ez a Tükör részecske részecske szám és id tartam nagyon könnyen elérhet illetve igen hamar bekövetkezik. Az úgynevezett mikro- vagy nano-technikában azonban (ahol a részecske szám már nem igazán nagy) el fordul például olyan helyzet, amikor a nyomásból keletkez er nem tekinthet a felületre mer legesnek. A statikus nyomás, vagy nyomó feszültség a részecskék ütközéséb l származik, ezért legkisebb értéke nulla – vagyis legfeljebb egyetlen részecske sem ütközik. Bizonyos esetekben – amikor kohéziós er van jelen és az a vizsgálat szempontjából fontos – kicsi húzófeszültség is keletkezhet, éppen a kohézió következtében. A dinamikus nyomás a részecskék rendezett mozgásából származó, id egységre illetve felületegységre jutó mozgásmennyiség változás, ezért természetesen irányfügg – mégis, a hagyományos tárgyalásmódnak megfelel en skalár mennyiségként számolunk vele. Szintén az intenzív mennyiségek csoportjába tartozik. A dinamikus nyomás közvetlenül nem mérhet , mérhet viszont a dinamikus és statikus nyomás összegeként 3
Össznyomás
Statikus nyomás 1.2 ábra Nyomás mérés
meghatározott össznyomás. Az össznyomást mérni olyan nyomásmér eszközzel lehet, amelynek érzékel je a mozgással szembe néz (pl. az áramlással szembefordított felület ilyen). Az 1.2 ábrán egy ilyen, "U" csöves nyomásmér eszköz látható. A folyadék-oszlop magasság különbsége arányos a dinamikai nyomással, a m szer ilyenképpen mint egy analóg számológép m ködik.
A csúsztató feszültség keletkezése a folyadékokban és gázokban általában a részecskék mozgására vezethet vissza, ez alól kivételt csak a réteges, folyékony folyadék áramlása képez, ahol a legjelent sebb szerep a kohéziós er nek jut. Tekintsük az 1.3 ábrán látható áramképet, ahol a fels (sötét) és az alsó (világos) részecske-sor mozog egymás mellett. A fels sor átlag sebessége nagyobb, mint az alsó soré. Ha egy világos részecske helyet cserél egy 1.3 ábra Részecske csere sötéttel, akkor a világos a sötét sort visszatartja, a sötét, gyorsabb részecske a világos sort el re igyekszik mozdítani. Ez azt jelenti, hogy mozgásmennyiség csere történt, mivel mindkét részecske vitte magával a saját mozgásmennyiségét. Az id egységre és felületegységre es mozgásmennyiség cseréb l származó feszültséget nevezzük csúsztató feszültségnek. A mozgásmennyiség csere oka lehet a rendezetlen h mozgás – ez a réteges gázáramlásokra jellemz , vagy a turbulens mozgás – ez a turbulens (vagy gomolygó) folyadék és gázáramlásra is jellemz . A turbulens mozgás intenzitása általában legalább két nagyságrenddel nagyobb, mint a h mozgás intenzitása, ezért a turbulens csúsztató feszültség (azonos sebességkülönbség esetén) szintén nagyságrendekkel nagyobb, mint a lamináris áramlásban, a rendezetlen h mozgásból keletkez csúsztató feszültség. A folyékony folyadékok réteges vagy lamináris áramlásban – mivel ekkor a részecskék egymáshoz nagyon közel vannak – a kohéziós er é a dönt szerep: ennek hatása kb. egy nagyságrenddel nagyobb, mint a h mozgásból származó feszültség. Folyékony folyadék turbulens áramlásában, az el bb mondottak szerint a turbulencia hatása jelent sen felülmúlja a kohéziót. Az eddigiek alapján megadhatjuk a csúsztató feszültség létezésének szükséges és elégséges feltételeit:
∃ csúsztató feszültség ⇔ ∃ sebesség különbség és ∃ viszkozitás Csúsztató feszültség tehát akkor és csak akkor létezik, ha létezik sebesség különbség és viszkozitás. Az els feltétel az 1.3 ábra és az ezzel kapcsolatban leírtak alapján rögtön belátható. A viszkozitás tulajdonképpen a mozgásmennyiség transzportra való képességet jelöl tulajdonság. A második egy "mesterséges" feltétel, hiszen a valóságban nincs olyan közeg, amelynek ne lenne viszkozitása, azaz ne lenne képes a mozgásmennyiség transzportra. Amikor a viszkozitástól mégis eltekintünk, akkor az ideális közeg fogalmához jutunk. Az ideális közeg a gyakorlatban nem létezik, azonban a vele számolni sokkal egyszer bb, mint a valóságos közeggel és – ez igazán megfelel
4
alap – az így kapott eredmények megfelel esetekben elég jók, a gyakorlat számára kielégít pontosságúak, végs soron tehát az elhanyagolás ebb l a szempontból megengedhet . A részecske csere persze nem csak a mozgásmennyiség transzport jelenségére ad magyarázatot. Ezen az úton valósul meg a többi transzport folyamat is, az energia, a h mérséklet, az anyag és a további transzport jelenségek is a részecske cserére vezethet k vissza. Amennyiben a közegben szilárd test helyezkedik el, akkor annak a felületén is keletkezik csúsztató feszültség, hacsak a közeget viszkózusnak tekintjük (vagyis nem hanyagoljuk el a viszkozitást) és a közeg illetve a test egymáshoz képest mozog. A szilárd fal esetében a közeg részecskéi a falnak ütköznek és onnan visszapattannak. Nagyszámú részecske és érdes fal esetén feltehet , hogy a visszapattanás várható iránya nagyjából azonos az érkezés irányával. Ebb l következik, hogy a szilárd falnak ütköz részecskék sebességének várható értéke a falhoz nagyon közel nulla. Hangsúlyozzuk: ez a várható érték pontosan akkor áll el , ha egyetlen fizikai részecske sem áll meg, éppen ellenkez leg, mindegyiknek vissza kell pattannia! De ez a nulla várható érték a fizikai alapja annak, hogy a kontinuumként tekintett közegnél, súrlódás esetén azt mondjuk, hogy a széls réteg áll. Ez a híres tapadási feltétel (ami persze megint csak elegend en nagy részecske szám esetén igaz, vagyis mikro- és nano- áramlásokban nem, ott a széls réteg nem áll) kontinuumra vonatkozik, vagyis olyan idealizált közeg–modellre, amely a teret folytonosan tölti ki és így a széls rétegének vastagsága infinitezimális – a legkisebb, létez részecske átmér jénél végtelenszer kisebb. A statikus h mérséklet a közeg részecskéi h mozgásában rejl kinetikai energia empírikus skálán mért mértéke. A gázok esetében igen szemléletes kapcsolat létezik: az általános gáztörvény szerint a statikus nyomás egyenl a s r ség és a statikus h mérséklet szorzatával ( p = R ρ T ) – az " R " gázállandó az átváltáshoz szükséges konstansként is értelmezhet . A statikus h mérséklet szintén skalár jelleg , intenzív mennyiség, mérése a közeggel együttmozgó h mér vel lehetséges. A részecskékben rejl kinetikai energiával nem foglalkozunk részletesebben, csak megjegyezzük, hogy az a haladó és forgó mozgás együttes energiáját jelenti. Azokban az esetekben, amikor a közeg részecskéje lényegében gömb alakú (ilyen pl. a hélium vagy a neon), akkor a mozgási energia a dönt . Azokban az esetekben, amikor a közeg részecskéi két, egymáshoz kötött gömbbel modellezhet k (ilyen pl. a hidrogén vagy az oxigén), illetve azokban a közegekben, amelyekben a részecskék alakja bonyolult, térbeli test (pl. metán, ammónia) a forgásban rejl energia szerepe is jelent s. Ezt a tulajdonságot – implicit módon – a fajh értéke hordozza. A dinamikus h mérséklet a dinamikus nyomáshoz hasonlóan a rendezett mozgás kinetikai energiájának a mértéke, a már említett empírikus skálán. Nyilvánvalóan a dinamikus h mérséklet csak viszonylag nagy áramlási sebességek esetében jelent s, mérsékelt sebesség áramlásokban a figyelembe vételét l gyakran eltekintenek. Skalárnak tekintett, intenzív mennyiség, közvetlenül nem mérhet , viszont a statikus és dinamikus h mérséklet összegeként definiált összh mérséklet vagy torlóponti 5
h mérséklet mérhet . A mérésre az un. torlópont-h mér használatos, amely a közeget minden mozgást rendezetlenné téve megállítja és a megállított közeg h mérsékletét méri.
(Folyt. köv.)
6
2. A FOLYADÉKMOZGÁSOK LEÍRÁSA KINEMATIKA Az áramlástani szakirodalom el ször hagyományosan a statikai kérdésekkel foglalkozik, azután következik a dinamika, illetve ezen a területen belül a kinematika. E jegyzetben a statikai kérdéseket speciális dinamikai kérdésnek tekintjük: amikor található olyan koordináta rendszer, amelyben a közeg sebessége azonosan nulla, azaz amelyben a közeg nyugalomban van, akkor a feladat statikai. Ez a tárgyalásmód indokolja, hogy a folyadékok és gázok mozgásának leírására szolgáló, kinematika elnevezés tudományterület itt következzen. A kinematika a mozgások leírási módszereit foglalja össze; a folyadékok és gázok mozgását célszer en az erre a területre kifejlesztett eszközökkel írhatjuk le. Els ként a Lagrange féle leírásmódot említjük − ez a leírási mód újabb ugyan, de kevésbé használatos, bár napjainkban egyes numerikus módszerek miatt az alkalmazási köre b vül. A Lagrange féle tárgyalásmód lényegében azonos a szilárd testek mozgásának leírásával. E tárgyalásmódot részletesebben nem ismertetjük, az érdekl d a [9] vagy [19] segítségével ismerkedhet meg vele részletesen. A jegyzetben közölt ismeretanyag az Euler féle tárgyalásmódra épül. Ezt a leírási módot Leonhard Euler kifejezetten a folyadékok mozgásának leírására fejlesztette ki. Ebben a tárgyalásmódban a vizsgált közeget kontinuumnak tekintjük, azaz a közeg a teret matematikai értelemben is folytonosan tölti ki − tehát a véges méret anyagi részecskéket mintegy elosztjuk a térben. Ez teszi lehet vé a határértékek, differenciálhányadosok, illetve hasonló matematikai eszközök alkalmazását. Az Euler féle szemléletmód tehát lehet vé teszi fizikai terek megadását − ilyen pl. a sebességtér, ami éppen a kinematikai fejezet tárgya. Ebben a tárgyalásmódban a kinematikán túl, a közegek további jellemz it is fizikai térként adjuk meg, vagyis a nyomás, a h mérséklet, a s r ség illetve származtatott mennységként a tömegáram, mozgásmennyiség és perdület is skalár-vektor vagy vektor-vektor függvénnyel adható meg. A sebességtér a következ vektor-vektor függvénnyel adható meg: c = c (r , t ) ;
2.1
vagy, összetev nként kiírva: c x = c x ( x, y , z , t ) c y = c y ( x, y , z , t ) c z = c z ( x, y , z , t ) ahol: r - a fizikai tér megfelel pontjának helyvektora; cx, cy, cz - a sebesség megfelel komponensei; x, y, z - az r helyvektor koordinátái; t - az id .
7
2.1 A Hamilton féle nabla vektor-operátor és alkalmazásai 2.1.1 A Descartes féle, derékszög koordináta rendszerek esete Az Euler féle leírásból következ en az áramlástanban általában skalár-vektor illetve vektor-vektor függvények fordulnak el . Ezek a függvények többféle deriválttal rendelkeznek. A deriváltak fizikai tartalma illetve alkalmazási területe különböz −némelyikeket a kinematika területén, másokat más területeken használunk. Ezeknek a deriváltaknak a származtatására használatos a Hamilton féle nabla vektor-operátor, tekintsük ennek a Descartes féle, derékszög koordináta rendszerben értelmezett alakját:
∂ ∂x ∇= ∂ ∂ y ; ∂∂z
2.2
Ez a vektor-operátor a további áramlástani vizsgálatainkban kivételesen fontos szerepet kap. Itt is felhívjuk a figyelmet arra, hogy a jegyzetben a vektorokat alapértelmezésben oszlopvektornak tekintjük, ha sorvektorként kívánunk számolni vele, akkor transzponált jelölést kap; a nabla differenciál operátor esetében ez a következ t jelenti: ∇ T = [∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z ] . A nabla vektor-operátor négyzete, tehát önmagával vett skalár szorzata a Laplace operátort szolgáltatja: ∆ = ∇T ∇ = ∇ 2 =
∂2 ∂2 ∂2 ; + + ∂ x2 ∂ y2 ∂ z 2
2.3
Alkalmazzuk a nabla operátort egy skalár-vektor függvényre. Példaként tekintsük a nyomást, mint a hely és az id függvényét: p = p (r, t ) ; Írjuk fel a nabla operátor segítségével számítható deriváltat:
∇ p=
∂p ∂p ∂p i+ j+ k ∂x ∂y ∂z
= grad p ;
2.4
Ezt a deriváltat gradiensnek nevezzük. Az eredetileg skalár mennyiségb l (a példában a nyomásból) vektor mennyiséget kaptunk. A nyomás gradiense fizikailag egy olyan vektort jelent, amely a nyomás változásának irányába mutat és a nagysága arányos a nyomásváltozás nagyságával. Ez a tartalom általánosítható: a skalár-vektor függvény gradiense az adott skalár mennyiség változásának irányába mutat és a nagysága arányos a skalár változásának nagyságával. A nyomás-gradiens mellett példaként megemlíthetjük a szintén nagyon fontos h mérséklet-gradienst is − a gradiens alkalmazási köre illetve jelent sége persze messze túlmutat az áramlástan területén.
8
A vektor-vektor függvényekre − itt példaként els sorban a (2.1) kifejezéssel adott sebességre hivatkozunk − három féle módon alkalmazhatjuk a nabla operátort, ahhoz hasonlóan, ahogyan két vektort össze lehet szorozni. Az els lehet ség a skaláris vagy bels , a második a vektoriális vagy küls és a harmadik a diadikus szorzás. A skaláris szorzás eredménye a divergencia (például a sebesség divergenciája), a második eredménye a rotáció, a harmadiké a derivált tenzor. Tekintsük el ször a bels - vagy skaláris szorzatot:
∂ ∇ c= ∂x T
∂ ∂y
∂ ∂z
cx ∂ c y ∂ cz ∂c cy = x + + = div c ; ∂x ∂y ∂z cz
2.5
A sebesség divergenciájának fizikai tartalmát e fejezet 2.4 pontjában mutatjuk be. Vizsgáljuk meg a vektori szorzás eredményeként adódó rotációt. A Descartes féle derékszög koordináta rendszerben ez a következ módon számítható:
i
j
k
∂ c z ∂y − ∂ c y ∂z
rot c = ∇ × c = det ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z = ∂ c x ∂z − ∂ c z ∂x ; cx cy cz ∂ c y ∂x − ∂ c x ∂y
2.6
A rotáció amint az elnevezése is mutatja, a forgással kapcsolatos mennyiség, a 2.4 pontban bizonyítjuk, hogy a sebességtér rotációja egy pontban egyenl az e pontbeli szögsebesség kétszeresével. A rotáció vektor mennyiség. Vizsgáljuk harmadszorra a diadikus szorzatot:
cx D = c ∇ = cy cz T
∂ cx ∂ x ∂ cx ∂ y ∂ cx ∂ z [∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z ] = ∂ c y ∂ x ∂ c y ∂ y ∂ c y ∂ z ; ∂ cz ∂ x ∂ cz ∂ y ∂ cz ∂ z
2.7
A diadikus szorzás eredménye a derivált tenzor. Ennek fizikai tartalmát szintén ebben a fejezetben elemezzük. Érdekes megállapítani azt, hogy a vektor-vektor függvények deriválásakor egyaránt kaphatunk skalár (nulla indexes tenzor), vektor (egy indexes tenzor) vagy itt is tenzornak nevezett (két indexes tenzor) mennyiségeket.
2.1.2 Görbevonalú koordináta rendszerek Az áramlástanban is gyakran szükséges görbevonalú koordináta rendszerek alkalmazása. Hagyományosan a henger- illetve a gömb koordináta rendszert alkalmazták, a modern f ként numerikus eljárásokban azonban sokféle, akár zárt alakban meg sem adható leképezés illetve az ehhez tartozó koordináta rendszer fordul el . A görbe vonalú koordináta rendszerekkel kapcsolatos, részletesebb ismeretek az ezzel foglalkozó szakirodalomban találhatók meg (pl. [1] vagy [20] illetve más, diffe9
renciál geometriai m vek), itt csak a henger és a gömbi koordináta rendszer esetére térünk ki. A henger koordináta rendszer esetében általában a z koordinátát a derékszög koordináta tengely z tengelyével azonosnak vesszük; az x és y koordinátát pedig az x-y síkban értelmezett r távolsággal és az x tengelyt l mért ϕ szöggel cseréljük fel. A henger koordináta rendszert kifeszít három (egység) bázis vektor pedig a következ : e1 sugárirányú, e2 érint irányú, e3 pedig a z tengely irányába mutat; a megfelel sebesség összetev k pedig rendre a cr, cϕ és cz. [20] nyomán rögtön a megfelel végeredményeket írjuk fel: grad p = div c =
rot c = ∆Ψ =
∂p 1 ∂p ∂p e1 + e2 + e3 ; ∂r r ∂ϕ ∂z
∂c 1 ∂ (r cr ) + 1 ϕ + ∂ c z ; r ∂r r ∂ϕ ∂z
2.8 2.9
∂ cr ∂ c z 1 ∂ c z ∂ cϕ 1 ∂ (r cϕ ) ∂ cr − e1 + − e2 + − e3 ; r ∂ϕ ∂z ∂z ∂r r ∂r ∂ϕ
1 ∂ ∂Ψ 1 ∂2 Ψ ∂2 Ψ . r + 2 + r ∂r ∂r r ∂ϕ 2 ∂ z2
2.10 2.11
A gradienst a korábban is említett nyomásra, a divergenciát és a rotációt a sebességre számítottuk ki. A Laplace operátort a kés bb gyakran el forduló áramfüggvényre alkalmaztuk. Ezek természetesen csak a megértést el segít példák, az egyes operátorok más mennyiségekre is alkalmazhatók. A gömbi koordináta rendszer esetében a három új koordináta rendre az origótól mért sugár (r), a sugár x-y síkba es vetületének x tengellyel bezárt szöge (ϕ) és a sugár z tengellyel bezárt szöge (ε) Az els koordinátához rendelt sugárirányú egységvektor az e1; a második koordinátához rendelt, a szélességi kört érint egységvektor az e2; végül a harmadik koordinátához rendelt, a meridián-kört érint egységvektor az e3. A megfelel sebesség összetev k pedig rendre a cr, cϕ és cε. Ismét a végeredményeket írjuk csak fel:
grad p = div c =
∂p 1 ∂p 1 ∂p e1 + e2 + e3 ; ∂r r sin ε ∂ ϕ r ∂ε
1 ∂ 2 1 ∂ cϕ 1 ∂ (cε sin ε ) ; r cr + + 2 r ∂r r sin ε ∂ ϕ r sin ε ∂ ε
(
)
10
2.12 2.13
1 r sin ε 1 rot c = r 1 ∂ r ∂r
∆Ψ =
∂ cε ∂ (cϕ sin ε ) − ∂ϕ ∂ ε ∂ cr ∂ (r cε ) − ∂ε ∂ r 1 ∂ cr r cϕ − r sin ε ∂ ϕ
;
1 ∂ 1 1 ∂2 Ψ ∂ ∂Ψ 2 ∂Ψ . r + + 2 sin ε 2 2 2 2 ∂r ∂ε r ∂r r sin ε ∂ ϕ r sin ε ∂ ε
2.14
2.15
A henger és gömbi (szférikus) koordináta rendszerek alkalmazása sok esetben célszer , az alkalmazásuk lehet ségét azzal együtt érdemes vizsgálni, hogy a korszer nek tekintett numerikus módszerek, különösen a kész szoftverek nagyon sok kérdést "önállóan" oldanak meg.
2.2 Az áram-, pálya-, nyom- és örvényvonal Az áramvonal a sebességmez vektorainak egy, adott pillanatban vett burkoló görbéje − az áramvonal ívelemmel (ds ) tehát a sebesség vektor párhuzamos, azaz: c × ds = 0 ;
2.16
Ez azt jelenti, hogy a sebesség összetev k és a megfelel ívelem összetev k aránya a következ : c x : c y : c z = dx : dy : dz . A pályavonal egy (kijelölt) elemi folyadékrészecske útja. Itt elvileg a kontinuum egy elemi részecskéjér l van szó, aminek a mérete tetsz leges pozitív számnál is kisebb, vagyis ez egy matematikai értelemben infinitezimális részecske. Kevésbé ponto-san néha a tényleges fizikai részecske útját is pályavonalnak nevezik. A nyomvonal az a vonal, amely mentén, egy pillanatban a tér egy adott pontján addig áthaladt (elemi) részecskék sorakoznak. Ilyen vonalat láthatunk pl. egy szélcsatorna vizsgálat esetében, amikor az áramlásba egy ponton füstöt vezetünk be. Az áram-, pálya- és nyomvonal stacionárius áramlás esetében − olyan áramlásban, ahol a sebesség az id ben nem változik − azonos. Az áramlások stacioneritása vagy id állósága függ a megfigyel néz pontjától (a vizsgálathoz felvett koordináta rendszert l). A vizsgálatokhoz szükséges koordináta rendszert tehát kell figyelemmel érdemes kiválasztani. Amennyiben a (2.1) kifejezéssel adott sebességtér a tér egy-egy pontjához pontosan egy sebességet rendel, akkor a tér ezen pontjaiban szintén egy és csak egy áramvonal haladhat át; azokban a pontokban, ahol a sebesség többérték , több áramvonalat is találunk. Ezeket a pontokat szinguláris pontoknak nevezzük. Ilyen szinguláris pont pl. 11
egy forrás vagy egy nyel , ahol végtelen sok sebesség és áramvonal értelmezhet . Az áramvonalak esetenként áramfelületeket vagy áramcsöveket alkothatnak − ezeket kinematikai alakzatoknak is nevezzük. Síkáramlások és egyméret áramlások esetében az áramvonalak alkalmazása nagyon fontos és érdekes eredményekre vezet. Az örvényesség a sebességtér rotációja, meghatározása az általunk általában alkalmazott Descartes féle derékszög koordináta rendszerben (2.6) szerint lehetséges. A rotáció, amint azt az elnevezése is mutatja, a folyadéktér forgásával kapcsolatos mennyiség. (A kés bbiekben bebizonyítjuk, hogy éppen a pillanatnyi szögsebesség duplája.) Az áramvonalhoz hasonlóan, azokat a vonalakat, amelyek egy adott pillanatban az örvényesség burkoló görbéi, örvényvonalnak nevezzük − ekkor tehát az örvényesség párhuzamos az örvényvonal ívelem vektorával: rot c × ds = 0 ;
2.17
Az örvényvonalakból − az áramvonalakhoz hasonlóan − örvényfelületeket és örvénycsöveket lehet összeállítani. Ez utóbbi alakzatok fontos szerepet játszanak majd az örvénytételek megfogalmazásánál illetve bizonyításánál.
2.3 A materiális derivált és a gyorsulás A (2.1) típusú sebességtér egy, általában térben és id ben változó fizikai teret ad meg, azaz a sebesség a hely és az id függvénye; a tér- illetve id szerinti megváltozását valamint ezek összegét kell a gyorsulások meghatározásánál figyelembe venni. A térbeli változás alapján számított deriváltat idegen szóval konvektív, az id beli változás alapján számolt deriváltat lokális, a kett összegét teljes, totális vagy szubsztanciális gyorsulásnak nevezzük el. Tekintettel arra, hogy az Euler féle tárgyalásmódban a közegek további jellemz i (nyomás, s r ség, h mérséklet stb.) szintén fizikai mez ként adottak, a sebesség változásával kapcsolatban tett megállapításokat célszer általánosítani, illetve − mivel a nyomás, a s r ség stb. skalár-vektor függvénnyel írható le − a vizsgálatainkat célszer a skalár-vektor függvények deriválásával kezdeni. Ezek a sebességtérhez hasonlóan lokális, konvektív és teljes deriváltakkal rendelkeznek. A lokális és konvektív derivált rögzített helyen illetve id pontban tekintend , így ezek a közeggel nem mozognak együtt − ezek nyitott rendszerre vonatkoznak. Ezzel szemben a teljes derivált a közeg egy pontjára vonatkozik, vagyis együttmozgó azaz zárt rendszerre vonatkozó deriváltat jelent. Ezért nevezik még anyagi-, vagy materiális deriváltnak is. Az anyagi, materiális vagy szubsztanciális derivált matematikai értelemben tehát teljes deriváltat jelent. Legyen a következ skalár-vektor függvény „ f ” valamely extenzív mennyiség s r ség függvénye (az extenzív mennyiségek a vizsgált rendszer méreteivel arányosan változnak − ilyen pl. a közeg tömege, akkor f a közeg s r sége; az extenzív és intenzív mennyiségekr l részletesebben a 3. fejezetben lesz szó) azaz: f = f (r , t ) = f ( x, y, z, t ) ; 12
A példaként tekintett s r ség valamely térfogat szerinti integrálja éppen a térfogatban lév közeg tömegét adja. Az f függvény tejes differenciálja a következ : df =
∂ f ∂ f ∂ f ∂ f dt + dx + dy + dz ; ∂t ∂x ∂y ∂z
A teljes differenciált differenciává írva vissza, az id megváltozásával mindkét oldalt elosztva és végül a ∆ t 0 határátmenetet képezve a következ egyenletet kapjuk: D f ∂ f ∂ f ∂ f ∂ f = + cx + cy + cz Dt ∂t ∂x ∂y ∂z
2.18
A bal oldalon az anyagi, materiális vagy szubsztanciális derivált áll, ezt − a nemzetközi szakirodalomban szokásos − nagy „ D ” bet vel jelöltük. A jobb oldalon a cx , cy és cz a c sebesség x, y és z irányba es összetev i, rendre a ∆ x ∆ t , ∆ y ∆ t és a ∆ z ∆ t differencia-hányadosok ∆ t 0 esetben vett határértékei. Vegyük észre, hogy az f függvény hely szerinti parciális deriváltjai éppen az f függvény gradiensét adják. Ezzel a (2.9) egyenletet a következ , tömörebb formában írható fel:
∂ f D f ∂ f = + cT ( grad f ) = + cT (∇ f ) Dt ∂t ∂t
2.19
A (2.18)-at, illetve a tömörebb alakban felírt (2.19)-et kapcsolati egyenletnek nevezzük. A bal oldalon álló szubsztanciális derivált egy, a közeghez kötött pontbani teljes deriváltat jelent, azaz a közeg szempontjából együttmozgó, tehát zárt rendszerre vonatkozik. Az egyenlet jobb oldalának els tagját lokális (id szerinti) deriváltnak, a másodikat konvektív (a mozgással és a deformációval kapcsolatos) deriváltnak nevezzük − ezek a deriváltak rendre külön a hely illetve az id szerint rögzítettek, tehát a közeg szempontjából nyitott rendszerre vonatkoznak. Ezek szerint a kapcsolati egyenlet a zárt és a nyitott rendszerben értelmezett deriváltak közötti kapcsolatot írja le. A (2.19) kapcsolati egyenletben a sebességet sor-vektorként írtuk fel, úgy, hogy a jobb oldal második tagjában lév kifejezés a sor-oszlop kompozíció szabályt alkalmazva rögtön (formális számolással) a skalár szorzatot szolgáltassa. A szakirodalom egy részében el szeretettel használják a (2.19) jobb oldal második tagjára a következ csoportosítást:
D f ∂ f = + cT ∇ f . Dt ∂t
(
)
Ez a csoportosítás azt jelenti, hogy el ször a sebességet skalárisan szorzzuk a nabla vektor-operátorral; ennek eredménye a következ , skalár operátor:
(c ∇ ) = c T
x
∂ ∂ ∂ . + cy + cz ∂x ∂y ∂z
Alkalmazzuk ezt a skalár operátort „ f ”-re, az eredmény pontosan a (2.18) jobb oldalát szolgáltatja, azaz ez a csoportosítás helyes eredményt szolgáltat. Megjegyzend , hogy a skaláris szorzás esetén a szakirodalom nagy részében nem használják a 13
transzponált jelölést, ezért leggyakrabban a ( c ∇ ) alakkal találkozunk. Néha még a zárójelet is elhagyják, ami már − ha a zárójel nélküli jelölést vektor egyenletben alkalmazzák − a helyes értelmezés rovására is mehet. A (2.18) vagy (2.19) egyenlet nem csak egy skalár-vektor függvényre írható fel, az f nyilvánvalóan egy vektor vagy tenzor összetev je is lehet. Ez esetünkben azért fontos, mert például a sebesség, a mozgás-mennyiség stb. az áramlástan számára fontos vektor mennyiség − a fenti állítás szerint pedig a kapcsolati egyenlet a sebesség (vagy más vektor-vektor függvény) komponenseire külön-külön felírható, illetve vektoregyenletként, tömör alakban is megadható. Tekintsük a vektormennyiségekre példaként egy elvileg tetsz leges „ v ” vektort. Alkalmazzuk a vektor-komponensekre a (2.19) összefüggést. Egyszer számolással belátható, hogy a mindhárom komponenst magában foglaló vektor-egyenlet a következ alakot ölti:
Dv ∂v = + cT ∇ v ; Dt ∂t
(
)
2.20
Válasszuk most „v" helyett az áramlástanban központi szerepet játszó, (2.1) formában adott sebesség vektort, ezzel pontosan a keresett gyorsulás matematikai megfogalmazásához jutunk:
Dc ∂c = + cT ∇ c . Dt ∂t
( )
2.21
A (2.21) egyenletben, a jobb oldal második tagjában három vektor szerepel, az ilyen szorzat nem asszociatív, de ezt a tagot az alábbi módon is fel lehet írni:
Dc ∂c ∂c ∂c ∂c = + c ∇T c = + c= + Dc ; Dt ∂t ∂t ∂r ∂t
(
)
2.22
A (2.22) kifejezés középs tagjában, a zárójelben a sebesség és a nabla vektoroperátor diadikus szorzata szerepel, ezt nevezzük derivált tenzornak (jele a „D” bet ). Bevezetése a konvektív gyorsulás elemeinek fizikai értelmezését teszi lehet vé; a közeg-részek forgására és deformációjára vonatkozó információkat hordoz. A (2.22) egyenlet adja meg tehát a közeg gyorsulásait: a bal oldalon a teljes, totális vagy szubsztanciális gyorsulás áll, a jobb oldal els tagja a lokális, a második a konvektív gyorsulás. Ezek a gyorsulás-típusok eltérnek a klasszikus mechanikában szerepl gyorsulásoktól, ezért fizikai értelmezésük céljából néhány példát mutatunk be. Lokális gyorsulás akkor létezik, ha a sebesség egy pontban, az id függvényében változik. Tipikus példa erre egy (szakaszonként állandó keresztmetszet ) cs vezeték, amelyben id ben változó folyadékmennyiség halad (pl. vízvezeték stb.) A lokális gyorsulást tehát egy adott helyen, valamely t és t + ∆t pillanatban mért sebességkülönbséggel szemléltethetjük. 14
A konvektív gyorsulás a sebesség irányának vagy nagyságának adott pillanatbeli megváltozásából származik. A 2.1 ábrán a sebesség irányváltozása figyelhet meg: a könyökcs ben (az egyéb változásoktól most eltekintve) a sebesség iránya a belépést l a kilépésig, pontról pontra változik. A sebesség abszolút értékének - a sebesség nagy2.1 ábra ságának változására szemléletes példa egy sz kül Áramlás könyökcs ben (konfúzor) vagy b vül (diffúzor) cs idombeli, id ben állandósult áramlás. Ezekben a cs idomokban a sebesség iránya a középvonal mentén nem változik, a nagysága azonban − a 2.2 ábra tanúsága szerint − igen. Konvektív gyorsulás ezen a két, igen leegyszer sített példán kívül természetesen más esetben is létrejön. A teljes, totális vagy szubsztanciális gyorsulás az eddig bemutatott, kétféle gyorsulás összege (ha az egyik gyorsulástípus nulla, 2.2 ábra akkor a teljes gyorsulás azonos a másik, nem nulla Áramlás diffúzorban gyorsulás-résszel).
2.4 A derivált tenzor A derivált tenzort a (2.7) és a (2.22) egyenletben határoztuk meg, bevezetésével a közeg részecskéinek merev testszer elmozdulásait és a deformációit (hosszváltozás vagy dilatáció és szögtorzulás vagy disztorzió) határozhatjuk meg. A derivált tenzort − a szakirodalomban általában alkalmazott módon − egy szimmetrikus (DS)és egy ferdén szimmetrikus (DA) tenzor összegére bontjuk fel: D = c ∇T = ahol: D S = és D A =
∂c = DS + D A ; ∂r
(
2.23
)
1 D + DT − alakváltozási-sebesség tenzornak is nevezzük; 2
(
1 D − DT 2
)
− örvénytenzornak is nevezzük.
A fenti felbontás nyilvánvalóan kölcsönösen egyértelm . A derivált tenzor a konvektív gyorsulást fejezi ki. Konvektív gyorsulás származhat merev testszer forgásból és származhat deformációból. A derivált tenzor ferdén szimmetrikus része a forgással kapcsolatos gyorsulás számításához szükséges. A szögsebesség értelmezéséhez vizsgáljuk a 2.3 ábrán látható, kicsi téglalapot, illetve annak δα valamint δβ szöggel történ elfordulását. Az els szögelfordulás negatív el jelet kell kapjon, mivel ott a pozitív sebesség negatív elforduláshoz vezet. 15
A’
Az ábrán a pozitív forgás következtében az A pont δ t id alatt az A’-ba, a B pont pedig a B' -be mozdul el. Ezek szerint felírható, hogy:
∂c cx + x δ y ∂y
y A
δα
B’
cy cy
cx
δβ B
cy +
∂ cy ∂x
δα =−
δx
x
δβ=
2.3 ábra Elemi közegrész elfordulása
∂ cx δ yδt /δ y; ∂y ∂ cy ∂x
és:
δ xδ t / δ x.
Az ered szögsebesség számításához vegyük a két szög-elfordulás átlagát, osszuk el δ t - vel és tekintsük a δ t 0 határértéket. Ennek a számolásnak az eredménye − nyilvánvalóan − a szögsebesség z irányú összetev je lesz:
ωz =
1 ∂ c y ∂ cx ; − 2 ∂x ∂y
Ezt a gondolatmenetet minden további nélkül meg lehet ismételni az x és az y tengely körüli szögsebesség összetev kre is. Mindössze a jobbsodrású koordináta rendszerekben értelmezett pozitív elfordulási irányt kell szem el tt tartani. Végeredményben a szögsebességre a következ kifejezést kapjuk:
(∂c =
z
∂y − ∂ c y ∂z ) / 2
1 ∂z − ∂ c z ∂x ) / 2 = rot c . (∂ c y ∂x − ∂ cx ∂y ) / 2 2
(∂ cx
2.24
A (2.24) felírásakor − figyelembe véve (2.6)-ot − megkapjuk a szögsebesség és a sebességtér rotációja közötti, már korábban is megemlített kapcsolatot: a sebességtér rotációja a kontinuum helyi szögsebességének kétszerese. Ezt a rotációt egyes esetekben örvényességnek is nevezik; a kés bbiekben több, gyakorlatilag is fontos esetben alkalmazzuk majd. Számítsuk ki a derivált tenzor ferdén szimmetrikus részét, illetve ennek a sebességgel való szorzatát; a részletes számítást az Olvasóra bízva, a következ eredményre jutunk:
DA c =
×c .
A derivált tenzor ferdén szimmetrikus részével történ szorzás tehát azonos a szögsebességgel balról történ vektori szorzással, ez az oka az örvénytenzor elnevezésnek. Ha ebbe a szorzatba a szögsebesség helyére a rotáció vektort írjuk, akkor az általános mechanikából jól ismert, Coriolis gyorsulás kifejezéséhez jutunk: a C = rot c × c = 2
×c. 16
A derivált tenzor másik, szimmetrikus részének − mivel a konvektív gyorsulás merev testszer mozgásból és deformációkból származik − a fizikai tartalma tehát a deformációkkal kell kapcsolatos legyen, ezért is nevezzük ezt a rész tenzort alakváltozási-sebesség tenzornak. Tekintsük el ször a hosszváltozást − azaz a dilatációt. A 2.4 ábrán feltüntetett A pont δ t id alatt az A’-ba, a B pont pedig a B' -be mozdul el. y ∂ cy Az x és az y tengely mentén bekövetkez , cy + δy hosszváltozás: ∂y B’ ∂c és: δx = x δ xδ t; ∂x B ∂ cy ∂c δy = δ yδ t. cx + x δ x ∂y cy ∂x A z tengely menti hosszváltozás értelemA cx x A’ szer en, a fenti kifejezésekhez hasonlóan ír2.4 ábra ható fel. Osszuk el a fenti kifejezéseket Elemi közegrész hosszváltozása rendre δ x-szel, δ y-nal és a z tengely menti hosszváltozás kifejezését δ z -vel; ezek lesznek a fajlagos (relatív) hosszváltozások. Számítsuk ki a hosszváltozási sebességeket (ez egyszer en a δ t - vel való osztás és a δ t tart nullához határátmenet képzését jelenti):
δx =
∂ cx ; ∂x
δy =
∂ cy ∂y
;
δz =
∂ cz . ∂z
Tekintsük másodszorra a szögtorzulást, a disztorziót. A 2.4 ábrán feltüntetett A pont δ t id alatt az A’-ba, a B pont pedig a ∂ cx -be mozdul el. A z tengely körüli szögB' cx + δ y torzulás a két része: y ∂y
A δγ 2 cy
A’
δ γ1 =
B’ cy +
δγ1 cx
B
∂ cy ∂x
x
2.5 ábra Elemi közegrész szögtorzulása
δx
δ γ2 =
∂ cy ∂x
δ xδ t /δ x;
és:
∂ cx δ yδ t /δ y. ∂y
Ezek összege:
δ γ xy =
1 ∂ cx ∂ c y + δ t 2 ∂y ∂x
A szögtorzulások a sebesség változásnak megfelel el jellel rendelkeznek, ezért kell ket összegezni. Az „ xy ” index pedig azt fejezi ki, hogy ez a szögtorzulás az x-y síkban jön létre. A szögtorzulási sebességet a δ t-vel való osztás és a δ t 0 határértékképzés után kapjuk. 17
Írjuk fel mindhárom, lehetséges szögtorzulási sebességet:
γ xy =
1 ∂ cx ∂ c y + 2 ∂y ∂x
; γ xz =
1 ∂ cx ∂ cz + 2 ∂z ∂x
; γ yx =
1 ∂ c y ∂ cz + 2 ∂z ∂y
.
Határozzuk meg a derivált tenzor szimmetrikus részét:
1 DS = 2 1 2
∂ cx ∂x ∂ c y ∂ cx + ∂x ∂y ∂ cz ∂ cx + ∂x ∂z
1 ∂ cx ∂ c y + 2 ∂y ∂x ∂ cy
1 2 1 2
∂y 1 ∂ cz ∂ c y + 2 ∂y ∂z
∂ cx ∂ cz + ∂z ∂x ∂ c y ∂ cz + ∂z ∂y ∂ cz ∂z
δ x γ xy γ xz = γ yx δ y γ yz ; 2.25 γ zx γ zy δ z
Vagyis a (2.25) kifejezéssel adott tenzor rész a f átlójában a hosszváltozási sebességeket, a további elemeiben pedig a szögtorzulási sebességeket tartalmazza. A szögtorzulási sebességek indexeink felcserélése az adott összeg tagjainak felcserélést jelenti, ezért ezek az elemek azonosak, vagyis az így felírt tenzor valóban szimmetrikus. Határozzuk meg az alakváltozási-sebesség tenzor f átlóbeli elemei összegének fizikai tartalmát. Számítsuk ki ezért az el z példákban szerepl , δ x, δ y és δ z élhosszúságú téglatest térfogat változásának sebességét. Határozzuk meg el ször a térfogat változást:
∆ (δ V ) = [δ x + ∆ (δ x )] [δ y + ∆ (δ y )] [δ z + ∆ (δ z )] − δ x δ y δ z ; Hagyjuk el a másod- és harmadrend en kicsi tagokat és osszuk el az egyenlet mindkét oldalát a kiinduló térfogattal: ∆ (δ V ) ∆ (δ x ) ∆ (δ y ) ∆ (δ z ) ; = + + δV δx δy δz A fenti egyenlet mindkét oldalát osszuk el δ t -vel és számítsuk ki a δ t 0 határátmenetet. A jobb oldalon rendre az egyes relatív hosszváltozási sebességek jelennek meg, a végeredmény a következ lesz:
∂ c y ∂ cz ∂c d ∆ (δ V ) =δx +δy +δz = x + + = ∇ T c = div c ; dt δV ∂x ∂y ∂z
2.26
Eszerint tehát a relatív térfogat változási sebesség, ami a derivált tenzor szimmetrikus részének f átlójában álló elemeinek összege, éppen a sebességtér adott pontban vett divergenciájával egyenl . A derivált tenzor szimmetrikus részének többi eleme, a szögtorzulási sebességek, a kés bbiekben − más alkalmazások mellett − a súrlódás tárgyalásában, a feszültség tenzor felírásában játszik majd dönt szerepet. A gyorsulás (2.13) alakú felírásával, vagyis a derivált tenzor bevezetésével mód nyílt a konvektív gyorsulás elemekre bontására és ezzel a mélyebb fizikai taralmának megismerésére. A derivált tenzor fizikai tartalmát vektoranalitikus úton is be lehet 18
mutatni. Itt csak utalunk a szakirodalomra: err l a kérdésr l b vebben pl. [19]-ben vagy [20]-ban lehet olvasni.
2.5 A konvektív gyorsulás hagyományos alakja A derivált tenzort elvileg sokféleképpen fel lehet bontani. Az áramlástanban a további alkalmazásokat szem el tt tartva a következ alakú, igen fontos felbontás terjedt el:
(
D = DT + D − DT
)
2.27
A felírás helyessége ránézéssel megállapítható. A konvektív gyorsulást a sebesség és a derivált tenzor szorzata szolgáltatja. Szorozzuk a (2.18) jobb oldalának els tagját a sebességgel: ∂ cy ∂ cx ∂c ∂ 2 cx + c y + z cz c x + c y2 + c z2 ∂x ∂x ∂x ∂x ∂ cy ∂ cx ∂ cz 1 ∂ 2 T cx + cy + cz = c x + c y2 + c z2 D c= ∂y ∂y ∂y 2 ∂y ∂ cy ∂ 2 ∂ cx ∂ cz c x + c y2 + c z2 cx + cy + cz ∂z ∂z ∂z ∂z
(
)
(
)
(
)
= grad
cT c 2
2.28
A (2.28) egyenlet jobb oldalán a cTc szorzatot hagyományosan c2-nek szokás írni; a skaláris vagy bels szorzattal történ felírás közvetlenül mutatja a sebességvektor négyzetének kiszámítási módját. A gradiens számítása a (2.3) példának megfelel en történt, a sebesség négyzetének gradiensét például a Bernoulli egyenlet levezetésekor használjuk majd fel. A (2.27) jobb oldali második tagjának jelentését már korábban felírtuk, itt csak megismételjük ezt:
(D − D ) c = rot c × c ; T
Ezt a szorzatot fordított sorrendben szokás felírni, hogy zárójel nélkül is rögtön látni lehessen: a rotáció operátor a sebességre vonatkozik. A totális vagy szubsztanciális gyorsulás igen gyakran alkalmazott alakja tehát a következ lesz:
a=
∂c c2 + grad − c × rot c ; ∂t 2
2.29
A totális gyorsulás tehát egyenl a lokális gyorsulás (a jobb oldal els tagja) és a konvektív gyorsulás (a jobb oldal második és harmadik tagja) összegével.
19
2.6 A természetes koordináta rendszer A pályavonal egy, kijelölt részecske útja. A pályavonalhoz rendelhet az érint (e), a normális (n) és a binormális (b) egység-vektorból álló kísér triéder. Ezek jobb rendszert alkotnak. A továbbiakban szorítkozzunk az id álló (stacionárius) áramlások esetére. Ekkor egyébként az áramvonal, a pályavonal és a nyomvonal azonos. A kísér triéder által kifeszített koordináta rendszer alkalmazása azért jelent egyszer sítést, mert ebben a rendszerben a sebesség érint irányú, a másik két összetev je azonosan nulla. A stacioneritás miatt csak konvektív gyorsulás létezik és a konvektív gyorsulásnak is csak érint és normális irányú összetev je van, a binormális irányban gyorsulás sincs. Az érint irányú konvektív gyorsulás, (2.22) szen e rint, a sebességgel már mint skalár mennyiséggel számolva:
b
pálya vonal
R G
2.6 ábra Természetes koordináta rendszer
ae = c
∂c ; ∂e
2.30
A konvektív gyorsulás másik összetev je a pálya görbületét l is függ centripetális gyorsulás, ennek az általános mechanikából ismert alakja:
acp = −
(Folyt. köv.?)
20
c2 ; R
2.31
3. A FOLYADÉKMOZGÁSOKRA VONATKOZÓ MÉRLEG - EGYENLET A folyadékok mozgásának dinamikáját a fizika megmaradási elveire alapozva építjük fel. Ennél ugyan van általánosabb lehet ség is (pl. a variációs elvekre történ alapozás) és ez a tárgyalásmód egyes numerikus módszerekhez kapcsolódva jelent s mértékben terjed is, azonban a jegyzet célját tekintve a megmaradási elvek – anyag, energia, mozgásmennyiség és perdület – jelentik a legmegfelel bb alapot. A megmaradási elveket általánosságban a mérleg-egyenlet segítségével fogalmazhatjuk meg. A megmaradási elveknek van integrál- és differenciál-egyenlettel leírt alakja. A konkrét esetekben érvényes egyenleteket ezen általános mérleg-egyenlet megfelel alakjaiból kapjuk. Az áramlástani mennyiségek - a többi fizikai mennyiséghez hasonlóan - vagy extenzívek vagy intenzívek lehetnek. Az extenzív mennyiségek a vizsgált rendszer méreteivel arányosan változnak, az intenzívek a rendszer darabolásával nem változnak. Jellemz példa az extenzív mennyiségre a tömeg, az intenzív mennyiségek csoportjának pedig pl. a nyomás az egyik, jellemz tagja. Zárt rendszerek egészét tekintve az extenzív jellemz k értéke állandó. Ez az állandóság jelenti a megmaradást - a megmaradási elveket tehát célszer en a mérleg egyenlet valamely alakja szerint kell felírni.
3.1
A materiális derivált
Fontos megjegyeznünk [20] nyomán azt, hogy a (2.6) vagy (2.7) egyenlet nem csak egyetlen extenzív mennyiség s r ség-függvényére, azaz nem csak egy skalárvektor függvényre írható fel - az " f " lehet egy vektor vagy tenzor összetev je is! Ez esetünkben azért fontos, mert például a mozgásmennyiség egyrészt az áramlástan számára fontos extenzív mennyiség, másrészt azonban vektor mennyiség is. A fenti állítás szerint a kapcsolati egyenlet a mozgásmennyiség komponenseire külön-külön felírható.
3.2
A mérleg - egyenlet
A zárt rendszerekre jellemz az extenzív mennyiségek állandósága, másképpen az adott jellemz megmaradása. A m szaki gyakorlatban azonban gyakran dolgozunk 21
nyitott rendszerekkel is. Ezért fogalmazzuk meg a mérleg-egyenletet mindkét típusú rendszerre. Az általunk tekintett rendszerek a három dimenziós térben, matematikai értelemben mindig egyszeresen összefügg , zárt felülettel határolt térfogatot jelentenek. A 3.1 és 3.2 ábrán mindkét térfogat ilyen, azonban fizikai értelemben a 3.1 ábrán látható térfogatot határoló felület nem bocsát át fizikai áramot, a 3.2 ábrán látható felület viszont csak matematikailag zárt, a határoló felületen fizikai áram ( j ) áthaladhat. A következ kben a zárt és nyitott rendszert ebben az értelemben használjuk.
j
j
V*
V
3.1 ábra Fizikailag (is) zárt rendszer
3.2 ábra Fizikai szempontból nyitott rendszer
3.2.1 A zárt rendszerben érvényes mérleg- egyenlet A zárt rendszerek valamely, a folyadékhoz kötött rendszert jelentenek, e rendszerek határán tehát fizikai áram (tömeg, mozgásmennyiség, energia stb.) nincs. Számítsuk ki azt az extenzív mennyiséget, aminek a s r ség-függvényér l az el bbiekben szóltunk:
f (r , t ) dV ∗ ;
Φ= V∗
A kifejezésben szerepl " V* " a folyadékhoz kötött, egyszeresen összefügg , zárt térfogat. Erre a " Φ " extenzív mennyiségre vonatkozó mérleg-egyenlet a következ :
d d Φ= dt dt
f (r , t ) dV ∗ = Q ; V
3.5
∗
ahol: Q - a kijelölt " V* " térfogatban helyet foglaló (esetleges) forrás. A (3.5) mérleg-egyenletben, tekintettel arra, hogy a kijelölt " V* " térfogat mindig azonos folyadékrészeket tartalmaz (tehát ilyen értelemben nem változik) és az integrál az id nek differenciálható függvénye, a differenciálás és az integrálás felcserélhet :
22
d dt
f (r , t ) dV ∗ = V
∗
(
)
D f dV ∗ ; Dt V∗
Az integráljel után kijelölt differenciálás elvégezhet , ennek pontos matematikai levezetésére nem térünk ki, az pl. [23]-ban megtalálható. Az eredmény a mérlegegyenlet zárt rendszerre érvényes integrál alakja:
V
∗
D f + f ∇ T c dV ∗ = Q ; Dt
3.6
Megjegyezzük, hogy a (3.6) kifejezésben megjelen " ∇ T c = divc " éppen a térfogat-változás sebessége. Vezessük be a forrás-s r séget ("q"), úgy, hogy a " Q " teljes forrást a forrás-s r ség térfogati integrálja szolgáltassa. Így a (3.6) minden tagja térfogati integrálként írható fel:
V
∗
D f + f ∇ T c dV ∗ = q dV ∗ Dt V*
3.7
Tekintettel arra, hogy az egyszeresen összefügg , zárt "V* " térfogatról csak annyit kötöttünk ki, hogy annak a folyadékhoz rögzítettnek kell lennie, ezért az egyenl ség akkor és csak akkor áll fenn, ha az integrálandó függvények egyenl ek, azaz: D f + f ∇T c = q Dt
3.8
Ezzel a mérleg-egyenlet zárt rendszerre vonatkozó differenciálegyenlet alakjához jutottunk. Az egyenlet jobb oldalán a forrás-s r ség (röviden forrás) található. Közismert például, hogy az anyagmegmaradás esetében a forrás (ez egy el jeles valós szám, ha pozitív akkor a szó szorosabb értelmében is forrásról beszélünk, ha azonban negatív, akkor nyel r l van szó) egy tényleges forrást (nyel t) jelent, amit például egy csövön érkez küls folyadékként képzelhetünk el. De a mozgásmennyiség szempontjából forrást jelent például a gravitációs er tér térer ssége vagy más er k is. Az áramlástan általunk tárgyalt ismeretanyagában lényeges szerepet játszó forrásokat a 4. fejezet megfelel pontjaiban részletesen ismertetjük. A mérleg-egyenlet alapvet fizikai tartalma a meg rzés vagy megmaradás, a részletes fizikai tartalomra a konkrét megmaradási elvek tárgyalásakor térünk ki
3.2.2 A nyitott rendszerben érvényes mérleg- egyenlet Amint már említettük, a m szaki gyakorlatban sokszor nyitott rendszerrel kell dolgozni. Nyitott rendszerr l akkor beszélünk, ha a kijelölt, egyszeresen összefügg , matematikai értelemben zárt térfogat (jele: " V ") nem mozog együtt a folyadékkal, így a határoló felületén a szóban forgó extenzív mennyiség ki- illetve beáramlik. Mivel a zárt térfogat felületi normálisa kifele pozitív, ezért a kilép áram lesz a pozitív, a belép 23
pedig negatív. Ezért az áram elé negatív el jelet kell írni. A nyitott rendszerre érvényes mérleg-egyenlet kiinduló alakját (3.5)-höz hasonlóan írhatjuk fel, a jobb oldalt azonban ki kell egészíteni a fent említett árammal (jele: " I "): d Φ =Q− I ; dt
3.9
Vezessük be a felületi árams r ség fogalmát (jele: " j "). A (3.9) kifejezés a felületi árams r ség felhasználásával [2] illetve [19] szerint a következ képpen írható fel:
V
∂ f dV = q dV − jT dA ∂t V A
3.10
ahol: j = f c (a legegyszer bb esetben, ha egynem folyadék áramlásáról van szó). Az egyszer bb írásmód kedvéért a felületi normális és a felületelem szorzatát egyben, felületelem-vektorként írjuk, ennek nagysága a felületelem nagysága, iránya pedig a felületi normális irányával azonos. Az egyes megmaradási elvek vizsgálatakor az adott esetben jelentkez felületi árams r séget a 4. fejezetben részletesen ismertetjük, itt csupán példaként említjük, hogy a tömegáram a " j = ρ c " kifejezéssel adható meg. A Gauss-Osztrogradszkij integrál-átalakítási tétel segítségével a felületi árams r ség integrálja térfogati integrállá alakítható:
V
∂ f dV = q dV − ∇ T j dV = q dV − div j dV ; ∂t V V V V
azaz:
V
∂ f + ∇ T j dV = q dV ∂t V
3.11
Ez a nyitott rendszerre érvényes mérleg-egyenlet integrál alakja. A zárt rendszerrel kapcsolatosan már bemutattuk, hogy a fenti típusú integrál pontosan akkor nulla, ha az integrálandó függvények összege nulla. Ennek alapján a nyitott rendszerre érvényes mérleg-egyenlet differenciálegyenlet formában felírt kifejezésének közismert alakját kapjuk: ∂ f + ∇T j = q ∂t
3.12
A felületi árams r séggel kapcsolatban egy fontos megjegyzést kell tennünk. E jegyzetben csak egynem folyadékok áramlástanával foglalkozunk, azonban több esetben (például a környezeti áramlások vizsgálatánál) több, különböz közeg együttes áramlásának vizsgálatára is sor kerül. A (3.9) vagy a (3.12) egyenlet alkalmas a különböz , fizikailag értelmezhet kölcsönhatások (pl. diffúzió) leírására. Ezt a b vítést Onsager tétele illetve Onsager összefüggése alapján ([2]) tehetjük meg. 24
3.2.3 Kapcsolat a zárt és a nyitott rendszerben érvényes mérleg- egyenlet között A mérleg-egyenlet az alapul vett rendszert l függetlenül a fizikai megmaradást fejezi ki - ezért a kétféle alaknak ekvivalensnek kell lennie. Az anyagi, materiális vagy szubsztanciális derivált levezetésénél felírtuk a kapcsolati egyenletet, mely a zárt rendszerre és a nyitott rendszerre vonatkozó deriváltak közti kapcsolatot adja meg (3.1 vagy 3.2). E kapcsolati egyenlet segítségével bemutathatjuk a mérleg-egyenlet zárt és nyitott rendszerre felírt alakjának ekvivalenciáját. Induljunk ki a (3.8) kifejezésb l, alakítsuk át a szubsztanciális derivált értékét (bal oldali els tag) a (3.2) szerint: D f ∂ f + f ∇T c = + c T (∇f ) + f ∇ T c = q ; Dt ∂t A bal oldalon szerepl divergenciája:
második és harmadik tag egy szorzat-függvény
c T (∇f ) + f ∇ T c = ∇ T ( f c ) = div( f c ) = ∇ T j ; Végeredményben tehát felírható (3.8) és (3.12) azonossága, azaz:
D f ∂ f ∂ f + f ∇T c = q = + ∇ T ( f c) = + ∇T j . Dt ∂t ∂t Ezzel a differenciálegyenletek ekvivalenciáját megmutattuk, ebb l az integrál egyenletek ekvivalenciája rögtön következik. Ez az egyenl ség - többek közt - azt fejezi ki, hogy a mérleg-egyenlet, illetve a bel le származó eredmény a választott rendszert l csak alakilag függ, megfelel lépésekkel azonban ezen alakok ekvivalenciája bemutatható. Az egyenl ség azonban itt nem azonosság, csak ekvivalenciát fejez ki. Az áramlástani feladatok tárgyalása során használhatunk un. primitív változókat (s r ség, nyomás, sebesség-komponensek) vagy fluxus változókat (ezek els sorban az újabb, numerikus alkalmazásokkal is foglalkozó szakirodalomban jelennek meg). A legújabb szokásnak megfelel en, egyetlen vektorba foglalva írjuk fel ket:
ρ ρ cx U = ρ cy ; ρ cz ρe
3.13
c2 c2 1 p cT c ; fajlagos össz-energia, = cv T + = + 2 2 κ −1 ρ 2 egységnyi tömeg bels energiájának és kinetikai energiájának összege. ahol:
e=u +
25
az
Az "e" kifejezésének jobb oldalát többféleképpen is felírtuk. Ezek a változók a fent általánosságban már említett, kés bb részletezend áramokhoz kapcsolódnak. Az áramlástani folyamatok fizikai természete szerint a primitív változók bizonyos esetekben ugrásszer en változnak (pl. lökéshullámban a normális sebesség összetev vagy a s r ség), egyes fluxus változók azonban meg rzik a folytonosságukat (vagyis pl. a s r ség-ugrás és a sebesség ugrás szorzata már folytonos lesz az el bb említett lökéshullámon keresztül is). E tulajdonságot kifejezend , a mérleg egyenlet nyitott rendszerre vonatkozó alakját - amelyben a fluxus változók szerepelnek - konzervatívnak (meg rz ), a zárt rendszerre vonatkozó alakját nem konzervatívnak (nem meg rz ) nevezzük. A nyitott rendszerre vonatkozó, konzervatív alakot a benne szerepl divergencia alapján divergencia-alaknak is nevezik.
26
4. A FOLYADÉKMOZGÁSOKRA VONATKOZÓ FIZIKAI MEGMARADÁSI ELVEK A folyadékok mozgásának dinamikáját a tömeg, a mozgásmennyiség, az energia és a perdület megmaradásának elvére építjük fel. A teljesség kedvéért megjegyezzük, hogy a perdület megmaradása alternatív lehet séget kínál, azzal nem mindig számolunk. Ezzel szemben a folyadék anyagi min ségének jellemzésére állapot egyenletet és - adott esetben - a turbulens viselkedést leíró egyenleteket kell bevezetnünk. A megmaradási elveket alapvet en differenciál-egyenletként, illetve integrálegyenletként lehet megfogalmazni. Az egyes feladatok megoldásánál – különösen a napjainkban korszer nek számító numerikus módszerek esetében – ezeket az elveket, pontosabban a nekik megfelel egyenleteket célszer en csoportba foglalják. Ilyen csoportokat mutatunk majd a 4.5 pontban.
4.1
Az anyag megmaradásának elve
Az anyag megmaradásának elve valamilyen formában gyakorlatilag minden áramlástan feladatban el fordul. A többi megmaradási elvhez hasonlóan differenciál és integrál-egyenlet alakja is létezik. A továbbiakban általánosságban tegyük fel, hogy az általunk tárgyalt áramlástani kérdésekben anyagot el állító forrás nincs, azaz q ≡ 0 . Ett l a feltevést l ugyan néhány esetben eltérünk (például a komplex potenciálok esetében), de ezekben az esetekben is csak un. nullmérték halmazokon lesz a forrásosság nullától különböz érték .
4.1.1 Az anyag megmaradását leíró integrál-egyenlet A folytonosság törvényének integrál-egyenlete f ként az egyszer bb gyakorlati számításokban játszik nagy szerepet. Ennek nyitott rendszerre érvényes, általános alakját - ismét feltéve, hogy nincs forrás - a (3.10) mérleg-egyenlet szerint írhatjuk fel, el ször a (3.10)-nek formálisan megfelel alakot, majd ebbe helyettesítsük be a tömegáram kifejezését:
V
∂ρ ∂ρ dV + jT dA = dV + ∂t ∂t A V
(ρ c ) dA = 0 ; T
4.1
A
Tegyük fel, hogy a s r ség az id ben állandó, akkor a (4.1)-ben szerepl térfogati integrál nulla, vagyis a kifejezés a következ , egyszer alakot ölti:
(ρ c ) dA = 0 . T
A
Ezt az alakot is tovább egyszer sítjük. Számoljunk a továbbiakban az átlag27
sebességgel. Válasszunk továbbá egy áramcsövet (4.1 ábra), jelöljük a belép felületet "AB"-vel, az áramcs palástfelületét "AP"-vel és a kilép felületet "AK"-val, ezzel az "A" zárt felület menti integrál a következ három rész-integrál összegeként írható fel:
ρ c T dA + AB
ρ c T dA + AP
ρ c T dA = 0 . AK
Válasszuk a be- és kilép felületet úgy, hogy az legyen az átlag-sebességre mer leges (legyen a sebesség vektora párhuzamos a felületi normálissal). Az áramcs palástfelületén közeg nem lép át, így a második integrál nulla, az els és harmadik integrál pedig a mondott feltételekkel kiszámolható, végeredményben a következ egyenlet írható fel:
ρ1 A1 c1 = ρ 2 A2 c 2
4.2
Ez - vagy összenyomhatatlan közeg esetén a s r séggel is egyszer sített alak - a folytonosság törvényének szinte minden nap használt, legegyszer bb alakja. A " c1 A1 = c 2 A2 " kifejezés (állandó s r ség esetén) mindkét oldala parciálisan ρ c A differenciálható az id szerint, ezzel az 1 1 1 instacionárius feladatokban a lokális gyorsulás számítására alkalmas összefüggést kapunk: ∂ c1 ∂c A1 = 2 A2 ∂t ∂t
ρ 2 c2 A2
4.1 ábra Áramcs ben áramló folyadék
Az anyagmegmaradás törvényének alkalmazására konkrét példát nem mutatunk be, mivel ez az elv önmagában még kevés egy áramlástan feladat megoldására. A kés bb bemutatott példákban azonban a folytonosság törvénye nagy szerepet kap majd. A folytonosság törvényének zárt rendszerre felírt alakját a (3.6) vagy (3.7) megfelel átírásával ("f " helyére "ρ " -t írva) nyerjük: Dρ + ρ ∇ T c dV * = 0 . Dt V* Ezt az alakot a rend kedvéért írtuk fel, a gyakorlati számításokban f ként a (4.2) egyenlet használatos.
4.1.2 Az anyag megmaradását leíró differenciál-egyenlet Az anyag megmaradását leíró, leggyakrabban használt differenciálegyenletet a 3. fejezetben bevezetett mérleg-egyenlet (3.12) alakjából kaphatjuk meg, ha az extenzív mennyiség helyére (" f ") a s r séget írjuk be:
28
∂ρ + div( ρ c ) = 0 ; ∂t
∂ρ + ∇ T (ρ c) = 0 ; ∂t
vagy:
4.3
Ez a folytonosság törvényének klasszikus, differenciálegyenlettel leírt alakja. Az egyenlet egészében a nyitott rendszerre érvényes anyagmegmaradás törvénye, a bal oldalak els tagja az egységnyi térfogatban a tömeg megváltozása, a második tag pedig az egységnyi térfogatba történ ki- és a beáramló tömegek összege. Ezek a mennyiségek együtt, forrásmentes esetben, nullát kell adjanak. Állandó s r ség folyadék esetén (4.3) a div (c ) = 0 alakot ölti. A (4.3) egyenlet a nyitott rendszerre érvényes mérleg-egyenlet. Kevésbé gyakran használt a zárt rendszerre vonatkozó mérleg-egyenlet, amely (3.8) alapján írható fel: Dρ + ρ ∇T c = 0 ; Dt
4.4
Az áramlástani szakirodalomban a folytonosság (4.3) alakú differenciálegyenletét gyakran elemi lépéseken keresztül vezetik le. Ebben a jegyzetben alapvet en a mérleg egyenletre támaszkodunk, de a kétféle szemlélet kapcsolódásának példájaként itt az elemi lépéseken keresztül történ levezetést is bemutatjuk. E levezetéshez vegyünk fel a 4.2 ábrán látható koordináta rendszert és benne egy elemi hasábot. z
ρ cy +
∂ (ρ c y ) ∂y
ρ cz + dy
∂ (ρ cz ) dz ∂z
y
ρ cx +
ρ cx dz
∂ (ρ cx ) dx ∂x
ρ cy dx
dy
x
ρ cz 4.2 ábra Az elemi (egységnyi) térfogatú hasábon keresztülhaladó tömegáramok
E levezetésnél is a mérleg-egyenletb l kell kiindulnunk - feltesszük, hogy az elemi térfogatbeli tömegváltozás az ugyanezen elemi térfogatba be- és kilép tömegáramok összegével egyenl . A tömegáramok kilép értékét a Taylor sorba fejtésük els tagjával közelítjük, azaz a be- illetve a kilép tömegáram az " x " tengely irányában:
29
belép : - ρ c x
kilép : ρ c x +
∂(ρ c x ) dx ; ∂x
A már említett konvenció szerint a belép tömeg negatív, a kilép pedig pozitív el jelet kap. Az elemi hasábon az " x " tengely irányában a folyadék a " dy dz " felületen halad át. E megfontoláshoz hasonlóan felírhatjuk az " y " és a " z " tengely irányában áthaladó folyadék mennyiséget is. Végs soron, az egyszer megfontoláson alapuló mérleg-egyenlet a következ alakot ölti: ∂ρ dx dy dz + ∂t +
ρ cy +
+
ρ cz +
ρ cx +
∂ (ρ c y ) ∂y
∂ ( ρ cx ) dx dy dz − [ρ cx ] dy dz ∂x
[
]
dy dx dz − ρ c y dx dz
∂ ( ρ cz ) dz dx dy − [ρ cz ] dx dy = 0 ∂z
.
A kapcsos zárójelekben lév kifejezéseket egyszer síteni lehet és minden tagból kiemelhet a dV = dx dy dz tag, továbbá, mivel e tag nem nulla, oszthatunk is vele. Ezzel az eredmény - ez (4.3) részletezett alakja: ∂ ρ ∂ (ρ c x ) ∂ (ρ c y ) ∂ ( ρ c z ) + + + = 0. ∂t ∂x ∂y ∂z
Az anyag megmaradását leíró egyenletet a folytonosság törvényének vagy kontinuitási egyenletnek is nevezzük. A (4.3) vagy (4.4) alak els sorban elméleti megfontolásokban, levezetésekben vagy a numerikus modellekben használatos közvetlen (egyszer bb) számolásra inkább az el z pontban bevezetett (integrál) egyenletek szolgálnak.
4.2 A mozgásmennyiség megmaradásának elve Egy test mozgásmennyisége tömegének és sebességének szorzatával egyenl . A mozgásmennyiség a tömeghez hasonlóan megmaradó extenzív mennyiség, megváltozása impulzus hatására következik be - az impulzust pedig a testre ható er és hatásidejének szorzataként számítjuk. Folyadékok esetében a szóban forgó testet valamely, folyadékhoz kötött, matematikailag és fizikailag is zárt, egyszeresen összefügg térfogattal határozhatjuk meg, ennek mozgásmennyisége:
ρ c dV ∗ .
I= V∗
A mozgásmennyiség - láthatóan - vektor mennyiség. A 3. fejezetben foglalkozunk 30
a mérleg egyenlettel, illetve annak különböz alakjaival. Az ott leírtak szerint a megfelel mérleg egyenletet a mozgásmennyiség komponenseire adjuk meg. A mozgásmennyiség megmaradási elvének megfogalmazásához szükségünk van a "V* " térfogatba zárt folyadékra ható küls er kre - ezek jelentik a mérleg egyenlet forrás tagját. A szóban forgó folyadékra általánosságban kétféle er hathat: (ilyen például a nehézségi er ); - térfogati er - felületi er (ilyen a nyomásból vagy csúsztató feszültségb l származó er ). Els lépésként a küls er ket teljesen általánosan fogalmazzuk csak meg, a részletezésre kés bb kerül sor. Jelöljük a folyadékra ható er terek ered térer sségét "g"-vel. Ez a hagyományos jelölés megtéveszt lehet, ügyelni kell arra, hogy "g" egyáltalán nem csak a nehézségi er tér térer ssége lehet, hanem minden más er tér is beleértend (például a tehetetlenségi, a centrifugális vagy a Coriolis er tér is). Ezzel a "V* " zárt térfogatbeli (határoló felületét jelöljük "A"-val) folyadékra ható ered küls er :
ρ g dV ∗ +
FF = V
ahol:
∗
dA ; A
g - a folyadékra ható összes er tér ered térer ssége; Π- a mechanikában értelmezett feszültség tenzor.
Tekintsük a mérleg egyenlet (3.5) szerinti, zárt rendszerre vonatkozó, integrálegyenletét. Jelöljük a mozgásmennyiség-vektort "I"-vel. Legyen az ott bemutatott forrás rendre Fx, Fy és Fz - illetve ezek ered je: FF - minthogy a mozgásmennyiség megváltozásának oka, forrása a valamely ideig ható er . A tér három irányában rendre három mérleg egyenletet írhatunk fel, ezeket egyetlen vektor egyenletbe foglalhatjuk:
DI = FF ; Dt
4.5
Ez a kifejezés a mozgásmennyiség megmaradásának igen tömör megfogalmazása, a következ kben több, sokkal részletesebben megfogalmazott alakját vezetjük be. Mindenek el tt azonban az er kifejezésében szerepl feszültség tenzort kell részleteznünk.
4.2.1 A feszültség tenzor A 4.3 ábrán egy elemi hasábot tüntettünk fel, amelyre berajzoltuk a "σ " nyomó és a "τ " csúsztató feszültségeket:
31
z
σ zz τ zx
τ zy τ yz
τ xz
x
τ xy τ yx
σ xx
σ yy y
4.3 ábra Feszültségek értelmezése
A hasáb lapjaira mer legesek a "σ " nyomó feszültségek (folyadékokban csak nyomófeszültség ébredhet), a lapokon fekszenek a csúsztató "τ " feszültségek. Ez utóbbiakat úgy indexeltük, hogy az els helyre a felületre mer leges tengely neve került, a második helyre pedig annak a tengelynek a neve került, amellyel párhuzamosak. Ezzel a feszültség tenzor általában használatos felírásához jutunk, amelyben az elemek indexelési rendje a mechanikában általában megszokott indexelési rendnek felel meg.
A feszültség tenzor ([19] vagy [23] nyomán felírva) általános alakja a következ :
σ xx τ xy τ xz = τ yx σ yy τ yz ; τ zx τ zy σ zz
4.6
A feszültség tenzor fizikai értelme szerint megmutatja, hogy valamely (elemi) felületen milyen er ébred: dF = dA , azaz: dFx dFy dFz
σ xx dAx + τ xy dAy + τ xz dAz = τ yx dAx + σ yy dAy + τ yz dAz ; τ zx dAx + τ zy dAy + σ zz dAz
Napjainkban egyre inkább terjed a tenzoros szemléletmód, els sorban a numerikus alkalmazások és ezen belül például az általános, nem ortogonális koordináta rendszerek alkalmazása miatt. Az er fenti kifejezését tenzoros alakban a következ képpen írhatjuk: dFi = Π ij dA j ; ahol: Π ij =
σ ii ha i = j . τ ij ha i ≠ j
Ezzel a jelöléssel, ahol az i=1 vagy j=1 az x, a 2 az y és a 3 a z irányt jelenti. Az er -összetev fenti kifejezésében a " j " szerint összegezni kell. Ezt a jelölési módot a továbbiakban ugyan nem alkalmazzuk, de az általunk alkalmazott mód összhangban lesz ezzel a móddal és szükség esetén (közvetlenül) átírható indexes jelölési módra. Az általunk tárgyalt, newtoni folyadékokban - a bevezet ben mondottak szerint csak nyomó feszültség ébredhet, a csúsztató feszültségekre pedig érvényes a dualitási tétel. Ezek szerint a feszültség tenzor mindig szimmetrikus, tehát három különböz , valós sajátértéke van és így a sajátértékekhez tartozó sajátvektorok bázisán (ezek a mechanikából ismert f feszültségi irányok) diagonális alakra transzformálhatók - ekkor csak a "σ " feszültségek különböznek nullától. 32
A folyadékok áramlásának vizsgálatában alkalmazott feszültség tenzort több részb l szokás összerakni. Az ideális folyadékban csak nyomó feszültség - röviden nyomás keletkezhet. A (statikus)nyomás fizikailag a folyadék részecskéinek rendezetlen h mozgásából következik, a részecskék valamely felületnek ütközve onnan vissza pattannak, miközben impulzust fejtenek ki. Az id egységre és felületegységre es impulzus-változást nevezzük nyomásnak. Mivel a rendezetlen h mozgásnak nincs kitüntetett iránya, a nyomásnak sincs, így az skalár mennyiség. A feszültség tenzor nyomás-része (ez az ideális folyadékban keletkez egyetlen feszültség) a következ : = − p E. ahol: p - a nyomás; E - az egység tenzor. Az ideális folyadék nagyon fontos, számos esetben számolhatunk vele. Érdemes ezért a rá vonatkozó tenzor részt részletesebben is megvizsgálni. Írjuk fel ebben az esetben a felületi er részletes kifejezését: ideális
[
dF T = − p dAx
− p dA y
]
− p dAz .
Azt kapjuk tehát, hogy a nyomásból származó er egyenl a nyomás és a felület szorzatával, a negatív el jel pedig azt jelenti, hogy a nyomásból származó er a felületi normálissal ellentétesen, kívülr l befele hat. Az általunk vizsgált, newtoni folyadékokban réteges, lamináris áramlás esetén keletkez csúsztató feszültség arányos a deformáció sebességgel. A 2. fejezetben, a kinematikai részben megmutattuk, hogy a deformáció sebességeket a sebesség derivált tenzorának szimmetrikus része foglalja össze. Ezek szerint a newtoni folyadékok lamináris áramlására érvényes feszültség tenzor rész:
S = 2 µ DS − ahol:
(
)
2 µ ∇T c E ; 3
4.7
S - a lamináris áramlásban ébred csúsztató feszültségek tenzora; DS - a sebesség derivált tenzorának szimmetrikus része; E - az egység-tenzor; µ - a kinematikai viszkozitás, anyagjellemz .
Az "S" tenzort definiáló egyenlet els tagja, az alakváltozási sebességekkel arányos feszültségeket foglalja össze. A derivált tenzort a sebesség helyvektor szerinti deriváltját a 2. fejezetben kiszámítottuk, itt csak emlékeztetünk a számítás módjára, ami a sebesség és a nabla operátor diadikus (vagy küls ) szorzataként írható fel: D = c ∇T ;
és:
DS =
1 (D + DT ). 2
A derivált tenzor szimmetrikus részének f átlójában szerepl elemek összege éppen a térfogatváltozás sebessége (div c) - márpedig ez nem kelt csúsztató feszültséget (pl. [19] szerint a térfogati viszkozitás jó közelítéssel nullának vehet ). A definiáló 33
egyenlet második tagjának bevezetésével éppen a térfogatváltozási sebesség hatását küszöbölhetjük ki. Írjuk fel az "S" tenzor f átlójában szerepl elemeket: ∂ cx 2 ∂ cx ∂ c y ∂ cz − µ + + ∂x 3 ∂x ∂y ∂z
S xx = 2 µ
∂ cy
S yy = 2 µ
S zz = 2 µ
∂y
−
;
∂ cx ∂ c y ∂ cz 2 µ + + 3 ∂x ∂y ∂z
;
∂ cx ∂ cy ∂ cz ∂ cz 2 − µ + + ∂z 3 ∂x ∂y ∂z
.
E három elem összege éppen nullát ad - ez pontosan azt a fizikai képet állítja el , amire törekedtünk. Végül, itt csak formálisan, bevezetjük a turbulens csúsztató feszültségeket meghatározó tenzor részt, legyen ez: Πt . Ezen rész tenzorok segítségével már felírható a teljes feszültség tenzor: = − p E + 2 µ DS −
(
)
2 µ ∇T c E + 3
t
4.8
A további megfontolásokban szükség lesz e tenzor divergenciájára. Ezt formálisan - pl. a sebesség divergencia számításának mintájára - a Hamilton féle nabla operátor (sorvektorként írva) balról történ alkalmazásával állíthatjuk el : div
=∇
T
∂ = ∂x
∂ ∂y
∂ ∂z
σ xx τ xy τ xz τ yx σ yy τ yz . τ zx τ zy σ zz
Ez a mennyiség egy vektor - vagy egy-indexes tenzor - lesz. A "div" m velet ebben az értelemben index csökkent , népszer en fogalmazva tenzorból vektort, vektorból skalárt állít el . (Csak megjegyezzük, hogy ennek ellentéteként a diadikus szorzás eredményeként az index szám növekszik.) Számítsuk ki példaként az els sor és els oszlop kompozíciójaként kapható eredményt:
(∇
T
)
x
=
∂ σ xx ∂ τ yx ∂ τ zx ; + + ∂x ∂y ∂z
4.9
A további két összetev számítása hasonló módon történik. Fontossága miatt külön kiemeljük a feszültség tenzor divergenciáját, ideális folyadék esetében:
34
∇ T (− p E ) = −
∂p ∂x ∂p = − grad ( p ) ; ∂y ∂p ∂z
4.10
A kapott eredmény szerint tehát éppen a nyomás gardiensének mínusz egyszerese, ez a mennyiség a legegyszer bb hidrosztatikai egyenlett l a legbonyolultabb Reynolds átlagolt Navier-Stokes egyenletig, igen gyakran felbukkan majd.
4.2.2 Az mozgásmennyiség megmaradását leíró integrál-egyenletek A mozgásmennyiség megmaradását kifejez , zárt rendszerre vonatkozó integrálegyenletet a (3.5) mérleg egyenletre épül (4.5) általános megmaradási egyenlet kifejtésével kapjuk meg. A mérleg egyenlet skalár egyenlet, a mozgásmennyiség megmaradási egyenlete vektor egyenlet. A mérleg egyenletet külön-külön alkalmazzuk az egyes vektor komponensekre, majd az eredményt egyetlen vektor egyenletként is felírjuk. A skalár vagy komponens egyenletek felírásakor az " f " helyére beírandó extenzív mennyiség rendre " ρ cx ", " ρ cy " és " ρ cz " lesz. A felíráshoz alkalmazzuk a mérleg egyenlet (3.6) alakját - emlékeztetünk arra, hogy a (4.5) egyenlet felírásakor a "V* " térfogatba zárt folyadékra ható, ered küls er komponenseit rendre Fx, Fy és Fz vel jelöltük. Ezzel a komponens egyenletek:
V∗
V∗
V∗
D (ρ c x ) + ( ρ c x ) ∇ T c dV ∗ = Fx ; Dt D (ρ c y ) Dt
+ (ρ c y ) ∇ T c dV ∗ = F y ;
D (ρ c z ) + ( ρ c z ) ∇ T c dV ∗ = Fz . Dt
A fenti három egyenletet egyetlen vektor egyenletként írhatjuk, ez tömör formája miatt áttekinthet bb is. A vektor egyenletbe írjuk be az " FF " er nek a 4.2 pont bevezet jében részletezett kifejezését is:
V
∗
D (ρ c) + ( ρ c ) ∇ T c dV ∗ = ρ g dV ∗ + Dt A V∗
dA ;
A Gauss-Osztrogradszkij tétel szerint egy vektortér felületi integrálja ugyanezen 35
vektortér divergenciájának térfogati integráljával egyenl . E tétel általánosítható tenzorok esetére is, [19] nyomán felírhatjuk, hogy:
(∇
dA = A
T
) dV .
V
Ezzel a mozgásmennyiség megmaradást zárt rendszerre kifejez integrál-egyenlet következ alakjához jutunk:
D (ρ c ) + (ρ c ) ∇ T c dV ∗ = ρ g dV ∗ + ∇ T Dt V∗ V∗
(
V
∗
) dV
∗
;
4.11
A (4.11) egyenlet mindkét oldalán a "V* " jelölés szerepel, ami a folyadékhoz rögzített térfogatra utal. A jobb oldalon azonban ez nem lényeges, mivel az a mozgásmennyiség változásának forrásaként jelentkez küls er , tehát a folyadéktól függetlenül létez mennyiségre vonatkozik. A (4.11) egyenlet bal oldalát más formában szokás felírni. Ennek az átalakításnak az érdekében térjünk vissza a komponens egyenletekhez. A levezetést csak az els komponens egyenletre mutatjuk be részletesen, a többire a gondolatmenet ugyanúgy alkalmazható. Tekintsük tehát az els komponens egyenletet:
V∗
D (ρ c x ) + ( ρ c x ) ∇ T c dV ∗ = Fx . Dt
Ennek bal oldalán, a térfogat szerint integrálandó függvényben szerepl szubsztanciális deriváltat a szorzat függvény differenciálási szabálya szerint két tagra bonthatjuk fel:
D (ρ c x ) D cx Dρ + (ρ c x ) ∇ T c = ρ + cx + (ρ c x ) ∇ T c . Dt Dt Dt A s r ség szubsztanciális deriváltját - jobb oldali, második tag - átalakíthatjuk a (3.2) kapcsolati egyenlet szerint, a három utolsó tagból cx-et kiemelve kapjuk:
ρ
D cx ∂ρ + cx + c T [c x (∇ρ )] + (ρ c x ) ∇ T c = Dt ∂t
=ρ
D cx D cx ∂ρ ∂ρ + cx + c T (∇ρ ) + ρ ∇ T c = ρ + cx + ∇ T (ρ c ) . Dt ∂t Dt ∂t
Végeredményben, a legutolsó szögletes zárójelben éppen a folytonosság törvényének (4.3) szerinti alakját találjuk, ezért annak értéke nulla lesz, és a szóban forgó komponens egyenlet bal oldalát a következ , gyakran használt alakban írhatjuk:
36
D cx dV ∗ = Fx . Dt
ρ V∗
Ehhez az eredményhez más úton is eljuthatunk:
(
)
(
)
D cx D cx D D ρ c x dV ∗ = ρ dV ∗ + c x ρ dV ∗ = ρ dV ∗ ; D t D t D t D t V∗ V∗ V∗ V∗ mivel a középs kifejezés második tagja éppen a tömegmegmaradást fejezi ki, illetve pontosan ezért azonosan nulla. Végeredményben, a komponens egyenleteket ismét egyetlen vektor egyenletté foglalva össze, kapjuk:
ρ V∗
(
Dc dV ∗ = ρ g dV ∗ + ∇ T Dt V∗ V∗
) dV
∗
4.12
A mozgásmennyiség megmaradását nyitott rendszerre is megfogalmazhatjuk. Mivel (4.11) vagy (4.12) jobb oldalán mozgásmennyiség változásának forrásaként jelentkez küls er szerepel, ezért a nyitott rendszerre történ áttérés esetében a jobb oldal változatlan marad, csak a bal oldal változik. Kezdjük ismét a komponens egyenletek felírásával; (3.11) szerint írható:
V
illetve:
∂ ( ρ cx ) + ∇T ( ρ cx c ) dV = Fx ; ∂t
V
∂ (ρ c y ) + ∇T (ρ c y c ) dV = Fy ; ∂t
V
∂ ( ρ cz ) + ∇T ( ρ cz c ) dV = Fz . ∂t
Az így felírt egyenleteket ismét egyesíthetjük egyetlen vektor egyenletben. Az er kifejezését megint részletesen kiírva kapjuk:
∂ (ρ c ) + ∇ T ρ c cT ∂t
(
V
)
(∇
dV = ρ g dV + V
T
) dV
4.13
V
A bal oldal második tagjában a s r séggel szorozva a sebességek diadikus szorzata áll, ennek a szorzásnak az eredménye egy tenzor - a szakirodalomban ezt kinematikai impulzusáram-s r ség tenzornak nevezik, mi azonban helyesebbnek tartjuk a kinematikai mozgásmennyiség-árams r ség tenzor elnevezést:
37
ρ cx cx ρ c c = ρ c y cx ρ cz cx T
ρ cx c y ρ cy cy ρ cz c y
ρ cx cz ρ c y cz . ρ cz cz
Ennek divergenciáját - ez egy vektor lesz - a nabla operátor balról történ alkalmazásával (a nablát ekkor sor-vektor formában kell írnunk) számíthatjuk. Ennek els eleme:
∂ (ρ c x c x ) + ∂ (ρ c y c x ) + ∂ (ρ c z c x ) ; ∂x ∂y ∂z ez pedig éppen a (4.13)-hoz felírt els komponens egyenlet bal oldalának második tagja. Tovább folytatva ezt a számolást belátható, hogy a (4.13)-ben alkalmazott felírás valóban az t alkotó komponens egyenleteket foglalja egységbe. Alkalmazzuk ismét a Gauss-Osztrogradszkij tételt, de most a fenti tenzor és a feszültség tenzor divergenciájának térfogati integrálját alakítsuk felületi integrállá. Ezzel az áramlástanban "impulzus tétel"-nek nevezett, igen fontos, nagy gyakorlati jelent ség egyenlethez jutunk:
V
∂(ρ c ) dV + c ρ c T dA = ρ g dV + ∂t A V A
dA ;
4.14
Ez az egyenlet így azonban a gyakorlatban használatos alakjánál sokkal általánosabb. Az impulzus tétel segítségével általában stacionárius, legfeljebb kvázistacionárius áramlásokat vizsgálunk. Ekkor a bal oldal els tagja, a mozgásmennyiség lokális megváltozásának integrálja elhagyható. A felületi er ket két részre szokás választani: a nyomásból származó er kre (4.15 vagy 4.15/a jobb oldalának második tagja) és a súrlódásból származó er kre, melyeket összefoglalóan "S"-sel jelölünk (4.15 vagy 4.15/a jobb oldalának harmadik tagja). A mozgásmennyiség (4.14) megmaradási egyenletét fizikai értelemben nyitott, matematikai értelemben egyszeresen összefügg , zárt (lásd 3.2.2 pont) térfogatra írjuk fel. Gyakran el fordul azonban, hogy e térfogatot szándékosan úgy választjuk, hogy határoló, un. ellen rz felületén belül idegen (szilárd) test helyezkedjen el. Ezzel, az egyszeresen összefügg ség megsz nik, ez azonban helyreállítható, ha az ellen rz térfogatot megfelel en felmetsszük és az idegen testet is ellen rz felülettel vesszük körül. Végeredményben az ellen rz felület felmetszésével adódó felület részek pontosan egymásra illeszked párt alkotnak, így hatásuk kiesik, csak a szilárd testet körülvev felület marad meg. A felületi er ket - általában csak a nyomást - e felület mentén integrálva megkapjuk az err l a testr l a folyadékra átadódó er t, jelöljük ezt " FF " -fel. Ezzel az impulzus tétel így írható:
c ρ cT dA = ρ g dV − A
V
p dA + S + FF A
38
4.15
A m szaki gyakorlatban még egy lépést szokás tenni és a folyadékra ható er helyett, annak reakcióerejét ( R = - FF ) írjuk az impulzus tételbe:
c ρ cT dA = ρ g dV − p dA + S − R A
4.15/a
A
V
A (4.15) illetve (4.15/a) egyenlet gyakorlati jelent sége igen nagy. Érvényessége alapvet en stacionárius (kvázi-stacionárius) áramlására terjed ki, a bal oldalon az id egységre es mozgásmennyiség-változás, a jobb oldalon pedig az ellen rz térfogatba zárt folyadékra ható er k (illetve - 4.15/a és 4.16 esetében - az er k közt az idegen testre ható reakcióer ) állnak. Ez az egyenlet az, amellyel a különböz testekre ható er számítható és így számos gép, eszköz áramlástani, (aero- vagy hidrodinamikai) vizsgálata válik lehetségessé. A gyakorlati számításokhoz ezeket az egyenleteket, illetve a bennük szerepl mennyiségeket összefoglaló jelöléssel szokás helyettesíteni:
I = G + FP + S − R ;
4.16
Ez a mozgásmennyiség megmaradását kifejez egyenlet összevont formája, a bal oldalon az ered , id egységre es mozgásmennyiség-változás, a jobb oldalon pedig rendre a folyadékra ható, ered -térfogati er , nyomásból származó ered -er , a súrlódásból származó ered -er és a folyadék idegen testre gyakorolt hatása áll.
4.2.3 Az mozgásmennyiség megmaradását leíró differenciál-egyenletek A mozgásmennyiség megmaradását kifejez , zárt rendszerre vonatkozó differenciálegyenletet (4.12) szerint írhatjuk fel. (4.12)-t az ott ismertetett komponensenkénti leírás és ezek összefoglalása után kaptuk. Tekintettel arra, hogy az egyszeresen összefügg , zárt térfogatra egyéb feltételt nem tettünk, (4.12) pontosan akkor teljesül, ha az integrálandó függvények egyenl sége is teljesül, azaz:
ρ
Dc = ρ g + ∇T Dt
.
Ez az egyenlet a mozgásmennyiség megmaradását kifejez differenciálegyenlet, általában azonban a s r séggel osztott alakjában használatos:
(
Dc 1 T =g+ ∇ Dt ρ
)
4.17
A bal oldalon áll a sebesség szubsztanciális deriváltja, röviden a gyorsulás, a jobb oldalon pedig az egységnyi tömegre ható térfogati illetve felületi er . Egyszer en fogalmazva ez az egyenlet azt mondja ki, hogy - Newton második törvénye szerint - a gyorsulást megkapjuk, ha az er t elosztjuk a tömeggel. A totális gyorsulást (a sebesség id szerinti szubsztanciális deriváltját) a 2. fejezetben mondottak szerint szokták részletezni: 39
Dc ∂c ∂c c2 1 = + Dc = + grad − c × rot c = g + div Dt ∂ t ∂t 2 ρ
4.18
Ennek az egyenletnek az elnevezése és ezzel együtt a fizikai érvényességi köre - a benne szerepl mennyiségekt l függ en - a következ lehet: - A teljesen általános alakot, a turbulens csúsztató feszültségekre vonatkozó tag kivételével a teljes feszültség tenzorral (4.8), Navier-Stokes egyenletnek nevezzük. Ez az egyenlet ebben a formában minden áramlásra (tehát a turbulens áramlásra is) érvényes, mindössze a sebességek között a turbulens sebesség-ingadozásoknak is szerepelnie kell. A turbulens sebességingadozásokkal számolni nehéz feladat és csak az újabb id kben, a szuperszámítógépek megjelenésével nyílt ilyen lehet ség (direkt numerikus szimuláció - DNS). A turbulencia jelensége és igen nagy gyakorlati jelent sége azonban már régen ismert, ezért Reynolds a XIX század végén az átlagsebességekkel történ számolás gondolatára jutott, aminek viszont az a következménye, hogy a feszültség tenzorba be kell venni a turbulens csúsztató feszültségekre vonatkozó tagot. Az így kapható egyenletet Reynolds átlagolt Navier-Stokes egyenletnek nevezzük és részletesen a 4.6 pontban ismertetjük. - Amennyiben az egyenlet érvényességét korlátozzuk és a feszültség tenzorból a turbulens csúsztató feszültségekre vonatkozó részt kihagyjuk továbbá már csak állandó s r ség közeg réteges, lamináris áramlásával számolunk, akkor a NavierStokes egyenlet speciális, nagy gyakorlati jelent ség alakját kapjuk. Ekkor tehát div (c) = ∇ T c = 0 , azaz a (4.8) jobb oldalán csak két tag marad:
= − p E + 2 µ DS . (4.18)-ba a feszültség tenzor divergenciáját kell beírnunk. Az els tag divergenciája - mint azt már korábban megmutattuk - a nyomás gradiensének mínusz egyszerese. Számítsuk ki a második tag els elemét (a másik két elem értelemszer en számítható):
∇ T (2 µ D S ) x = µ
∂c ∂ ∂ ∂ cx ∂ c y ∂ ∂ cx ∂ cz 2 x + + + + ∂x ∂x ∂y ∂ y ∂x ∂z ∂ z ∂x
;
A deriválás elvégzése után a tagokat csoportosíthatjuk, ezzel a következ eredményre jutunk: ∇ T (2 µ D S ) x = µ
∂ 2 cx ∂ 2 cx ∂ 2 cx ∂ ∂ cx ∂ c y ∂ cz + + + + + ∂x ∂ x ∂y ∂z ∂ y2 ∂ z2 ∂ x2
;
A kapott kifejezés jobb oldalának második tagja éppen a sebesség divergenciája, amir l feltételként mondtuk ki, hogy nulla. A jobb oldal els tagját - az irodalomban megszokott módon - a közismert és igen fontos Laplace lineáris, kontraktív operátor ("∆") segítségével írhatjuk fel: 40
∆ = ∇T ∇ =
∂2 ∂2 ∂2 + + ∂ x2 ∂ y2 ∂ z2
4.19
A Hamilton féle nabla operátor vektor-operátor, ezért önmagával vett skalár (vagy bels ) szorzata skalár operátort eredményez. Mindhárom komponensre elvégezve a fenti számolást, az eredményt egyetlen vektor egyenletbe írhatjuk: ∂c 1 µ + Dc = g − ∇ p + ∆ c ; ∂t ρ ρ vagy, a hagyományosnak tekinthet felírási módot választva:
∂c c2 1 + grad − c × rot c = g − grad ( p ) + ∆ c ∂t ρ 2 ahol:
4.20
- a kinematikai viszkozitás.
- Amennyiben a súrlódástól teljesen eltekintünk, akkor az Euler egyenletet kapjuk:
1 ∂c c2 + grad − c × rot c = g − grad ( p ) 2 ∂t ρ
4.21
- Végül pedig, ha a mozgást is kizárjuk, akkor a hidrosztatika alap differenciálegyenletéhez jutunk: grad ( p ) = ρ g
4.22
A (4.17) - (4.22) egyenletekben a 3. fejezetben már bemutatott, un. primitív változók (ρ, cx, cy, cz és p) szerepelnek. Újabban, különös tekintettel a numerikus alkalmazásokra, egyre gyakrabban használjuk a mozgásmennyiség megmaradását kifejez differenciálegyenlet fizikai értelemben nyitott rendszerre vonatkozó alakjait. Ezt az egyenletet a (3.12) mérleg egyenlet szerint írhatjuk fel. Kezdjük ismét a komponens egyenletekkel - figyelembe véve, hogy " f " helyére ismét rendre " ρ cx ", " ρ cy " és "ρ cz " írandó, illetve a forrás tagok felületi er nek megfelel részeit a térfogati er megfelel összetev jének és (4.9) jobb oldalának összegzésével számíthatjuk: ∂ (ρ c x ) ∂ σ xx ∂ τ yx ∂ τ zx ; + ∇ T (ρ c x c ) = ρ g x + + + ∂t ∂x ∂y ∂z ∂ (ρ c y ) ∂t
+ ∇ T (ρ c y c ) = ρ g y +
∂ τ xy ∂x
+
∂ σ yy
41
∂y
+
∂ τ zy ∂z
;
4.23/a
4.23/b
∂ τ xz ∂ τ yz ∂ σ zz ∂ (ρ c z ) ; + ∇ T (ρ c z c) = ρ g z + + + ∂t ∂x ∂y ∂z ahol:
4.23/c
gx, gy és gz rendre az ered térer sség x, y és z irányú komponense.
A (4.23) egyenleteket szintén összefoglalhatjuk vektor egyenletté, a bal oldalak második tagját a (4.13) egyenletnél már ismertetett módon írjuk fel:
∂ (ρ c ) + ∇T ρ c cT = ρ g + ∇T ∂t
(
)
4.24
A (4.23) illetve összefoglaló írásmóddal a (4.24) egyenlet, a feszültség tenzor tartalmától függ en a mozgásmennyiség megmaradását kifejez , fluxus változókkal felírt, legáltalánosabb egyenlet. Amennyiben a feszültség tenzorban a turbulens csúsztató feszültségek is helyet kapnak, úgy ez az egyenlet a Reynolds átlagolt NavierStokes egyenlettel ekvivalens.
4.3 Az energia megmaradásának elve Az energia megmaradását kifejez integrál-egyenlet (pl. a Bernoulli egyenlet) szerepe a gyakorlati számításokban igen jelent s. A differenciálegyenletként felírt energia megmaradási egyenletet az elméleti és a numerikus módszerek esetében alkalmazzuk gyakran.
4.3.1 Az energia megmaradásának integrál egyenlete Az energia megmaradását kifejez egyenlet a h tan és áramlástan egyik kapcsolódási pontja. Az ebben a pontban leírt integrál egyenletek, megfelel alakban (pl. [20] szerint) a h tan els f tételét adják. Az energia megmaradásának vizsgálatánál az egységnyi tömegre vonatkoztatott, teljes energiát vizsgáljuk, ez az energia a rendezett mozgásból származó kinetikai és a rendezetlen (h )mozgásból származó energia összege. A h mozgásból származó energiát bels energiának nevezzük. A zárt rendszerre vonatkozó energia-megmaradás felírásakor az " f " extenzív mennyiség az egységnyi térfogat teljes energiája:
f =ρ u+ ahol:
c2 = ρ e; 2
ρ - a s r ség; u - egységnyi tömeg bels energiája; c 2 2 - egységnyi tömeg mozgási (kinetikai) energiája; e = u + c 2 2 - egységnyi tömeg teljes energiája. 42
Az energia megmaradását is, az eddigiekhez hasonlóan az id szerinti megváltozásának segítségével vizsgáljuk. Így a kiinduló egyenletben id egységre vonatkoztatott energia változás, azaz teljesítmény lesz. A kiinduló egyenlet bal oldalát (3.7) megfelel alakjából kapjuk (alakítsuk át az eredményt a (4.11) illetve (4.12) kifejezésnél már bemutatott módon):
d dt
D (ρ e ) De + ( ρ e ) ∇ T c dV ∗ = ρ dV ∗ ; Dt D t V∗
(ρ e) dV ∗ = V∗
V∗
a jobb oldalra pedig az id egységre vonatkoztatott energiaforrásokat kell összegy jteni. (Ezek, természetesen, nem csak források, hanem nyel k is lehetnek!) Energiaforrás (nyel ), azaz a folyadékra irányuló, küls teljesítmény többféle lehet. Ezek részben az er kkel, részben a h különböz formáival kapcsolatosak. Vizsgáljuk meg el ször a mozgásmennyiség forrását, a felületi és térfogati er ket. Általában az er és a sebesség szorzata szolgáltatja a keresett teljesítményt. A felületi er ket a feszültség tenzor és egy felület szorzataként kapjuk meg. Szorozzuk ezt a folyadék sebességével. A feszültség tenzor szimmetrikus, ezért a szorzótényez ket felcserélhetjük illetve csoportosíthatjuk:
PF = cT
(
dA ) =
(
A
c ) dA .
A
Ezt a tagot, vagy ennek a tagnak egy részét a szakirodalom "disszipáció"-nak nevezi. A következ tagot, az er terek térer sségének teljesítményét hasonló módon írhatjuk fel:
(ρ g c) dV
PT =
T
*
.
V
Egy rendszerben, ha létezik h mérséklet különbség, akkor létezik h -áram is, ennek általános kifejezése (például [19] szerint) a kiválasztott folyadékot határoló " A " felületre: QV = k A
∂T dA ; ∂n
ahol: k - a h vezetési tényez .
A h vezetésen túl még több hatás is létezik, például a h sugárzás vagy kémiai reakciók h fejlesztése, h elvonása stb. Jelöljük a térfogati h forrást általában " ε " -nal. Ezzel a h források hatása: Q F = ε dV * . V
Most már felírhatjuk a (3.7) szerinti teljes megmaradási egyenletet:
ρ V∗
De dV ∗ = Dt
( A
c ) dA +
(ρ g c) dV T
V∗
∗
+ k A
∗ ∂T dA + ε dV ; ∂n V∗
4.25
A (4.25) egyenlet jobb oldalán térfogati és felületi integrálok állnak. Az eddig 43
követett módon - a Gauss-Osztrogradszkij tétel alkalmazásával - alakítsuk át a felületi integrálokat térfogati integrállá:
ρ V∗
{ ( c) + ρ g
De dV ∗ = ∇ T Dt V*
T
}
c + ∇ T (k ∇ T ) + ε dV
*
.
Írjuk be ebbe az egyenletbe a nabla-operátor segítségével kijelölt m veletek szavakkal (div, grad) megfogalmazott alakját:
ρ V∗
{
De dV ∗ = div ( Dt V*
}
c ) + ρ g T c + div (k grad T ) + ε dV
*
4.26
A nyitott rendszerre vonatkozó kifejezést a (3.11) mérleg egyenlet alapján írhatjuk fel. Írjuk az ott példaként szerepl tömegáram helyére az energia-áramot ( j = e c ). Tekintetbe véve, hogy (4.26) jobb oldala nem függ attól, hogy a folyadék szempontjából a rendszer nyitott-e vagy zárt - csak a bal oldalt kell átírnunk:
ρ V
∂e + ∇ T (e c ) dV = div ( c ) + ρ g T c + div (k grad T ) + ε dV ∂t V
{
}
4.27
Ennek az egyenletnek a bal oldalán, a zárójelben álló kifejezés els tagja a lokális teljes energia változást, a második tag a felületen át az áramló tömeggel együtt be- és kilép teljes energiát jelenti. Ez az energia egyenlet konzervatív azaz meg rz formája. Bár a (4.26) illetve (4.27) egyenletek alkalmazása nem túl gyakori, bevezetésüknek az ad nagy jelent séget, hogy ezekb l a megfelel differenciálegyenleteket egyszer en megkaphatjuk. A gyakorlati számítások szempontjából különösen fontos az energia-megmaradást kifejez integrál-egyenlet harmadikként tárgyalt formája, a Bernoulli egyenlet. Ez az egyenlet ideális (súrlódásmentes) közegre érvényes, levezetésénél a szakirodalom az Euler egyenletb l (4.21) indul ki. A Benoulli egyenlethez úgy juthatunk el, hogy az Euler egyenletet az áramlás két, tetsz leges pontja között húzott vonal mentén integráljuk. Az Euler egyenletben
44
gyorsulás, illetve egységnyi tömegre ható er k szerepelnek. Ezeket vonal mentén integrálva munka-energia mennyiségeket kapunk. jelleg Érdemes megjegyezni azt, hogy (4.26) és (4.27) lényegében teljesítmény jelleg tagokat tartalmaz, ennyiben tehát a Bernoulli egyenlet különbözik a fenti két egyenlett l.
ds
2 1
Az integrálást a 4.4 ábrán látható két pontot ket összeköt tetsz leges " s " görbe mentén végezzük el.
4.4 ábra Integrálási útvonal
I1 =
2
∂c ∂t
1
Számítsuk ki el ször a bal oldal els tagjának, a lokális gyorsulásnak az integrálját (I1):
T
ds .
Ezt az integrált csak kijelöljük, az instacionárius áramlásokra vonatkozó feladatok megoldása során számítjuk ki a konkrét értékét. Másodszorra határozzuk meg (4.21) második tagjának integrálját: 2
2
c2 c2 I 2 = grad ds = d = 2 2 1 1
c2 2
2
2
= 1
2
c1 c − 2 . 2 2
Ennek az integrálnak a kiszámításánál felhasználtuk azt, hogy az integrálandó függvény teljes differenciál. Ennek részletes levezetése pl. [20]-ban olvasható. A harmadik tag integrálját, az els höz hasonlóan, itt csak formálisan számoljuk ki: I3 = −
2
(c × rot c )T ds .
1
Ezzel a bal oldal minden tagját kiszámítottuk. A jobb oldal els tagja az ered térer sség. A ered térer sség különböz er terek együttes hatásaként jön létre. Az er terek közt lehetnek potenciálosak (konzervatív er tér), olyanok, amelyekben létezik potenciális (helyzeti) energia (U) és a térer sség ennek negatív gradiense: g I = − grad U = − ∇ U .
Ennek az integrálja, a bal oldal második tagjához hasonló megfontolással közvetlenül számolható:
I4 =
2
(− ∇U ) ds = − [U ]12 = − (U 2 − U 1 ) .
1
45
A térer sségek második csoportjához (pl. Coriolos er tér térer ssége) nem rendelhet potenciál. Az ezekre számítandó integrált ismét csak formálisan írjuk fel: 2
I 5 = g TII ds . 1
Az Euler egyenlet jobb oldalán álló, egységnyi tömegre ható er k második része a felületi er k csoportja. Ezekb l, mivel az Euler egyenlet súrlódásmentes közegre érvényes, csak a nyomásváltozásból származó er vel kell csak számolni. Megmutatható ([10], [19] szerint), hogy: I6 =
2
1
1
ρ
T
grad p
ds =
2
1
dp
ρ
.
Ezzel minden integrál a rendelkezésünkre áll. A Bernoulli egyenlet az eddig kiszámolt integrálok összegeként írható fel. Rendezzük az egyenletet úgy, hogy csak az I5 maradjon a jobb oldalon: 2
1
∂c ∂t
T
c2 ds + 2
2
− 1
2
(c × rot c )
T
ds + [U ] + 2 1
1
2
1
dp
ρ
2
= g TII ds
4.28
1
Ez a Bernoulli egyenlet legáltalánosabb alakja. Az egységnyi tömegre vonatkoztatott munka-energia megmaradását fejezi ki. Ez az egyenlet, illetve az esetleges egyszer bb alakjai, az áramlástanban igen nagy szerepet játszanak, ezért a 6. fejezetben részletesen foglalkozunk vele. Megjegyezzük, hogy a Bernoulli egyenletb l kiindulva szokás a kiterjesztett Bernoulli egyenletet bevezetni - az így kapott egyenlet különböz , gyakorlati tényez k felhasználásával valóságos, súrlódásos áramlások vizsgálatára is alkalmas lesz. Ezzel a kérdéskörrel részletesen a 8. fejezetben foglalkozunk.
4.3.2 Az energia megmaradásának differenciálegyenlete Az energia megmaradásának differenciálegyenlete a (4.26) illetve (4.27)-b l egyszer en származtatható. Amint az az integrál egyenleteknél már látható volt, az egyenletek jobb oldala mind zárt, mind nyitott rendszer esetén azonos, csak a bal oldal változik. Az energia-megmaradást kifejez differenciálegyenlet zárt rendszerre:
ρ
De = div ( c ) + ρ g T c + div (k grad T ) + ε ; Dt
4.29
A (4.27) egyenletb l a (4.26) egyenletnél alkalmazott módon, rögtön megkaphatnánk a nyitott rendszerre érvényes energia egyenletet, azonban a bal oldali kifejezést, felhasználva az összetett függvények differenciálására vonatkozó szabályokat a következ módon szokás átalakítani: 46
∂ (ρ e) ∂e ∂ρ , =ρ +e ∂t ∂t ∂t fel:
∇ T ( ρ e c ) = e ∇ T ( ρ c ) + ρ ∇ T (e c ) ;
és
ezzel a (4.27) bal oldalán álló, integrálandó függvényt a következ módon írhatjuk
ρ
∂e ∂ (ρ e) ∂ρ + ∇ T (e c ) = + ∇ T (ρ e c ) − e ∇ T (ρ c ) . −e ∂t ∂t ∂t
[
]
A fenti kifejezés szögletes zárójeleiben, a második helyen álló tagok összege, az "e" kiemelése után éppen a (4.3)-nak megfelel , folytonosság tételt adja, ez pedig nullával egyenl . Ezzel az energia-megmaradást kifejez differenciálegyenlet nyitott rendszerre: ∂ (ρ e ) + div (ρ e c ) = div ( ∂t
c ) + ρ g T c + div (k grad T ) + ε ;
4.30
A fenti egyenleteket más, ekvivalens formában is fel szokták írni, e tekintetben a szakirodalomra utalunk csak (pl. [18], [21]).
4.4 A perdület megmaradásának elve A perdület megmaradásának elve a negyedik fizikai alapelvünk. A 4.5 pontban megmutatjuk, hogy egy folyadék-áramlást az anyagmegmaradás, a mozgásmennyiség megmaradás, az energia megmaradás és egy állapot valamint egy kapcsolati egyenlet egyértelm en meghatároz. A perdület megmaradását kifejez egyenlet - ezek szerint további lehet séget jelent, számos esetben kínál alternatív megoldást és szintén számos esetben egyenesen a perdület megmaradását kifejez valamely egyenletet alkalmazzuk.
4.4.1 A perdület megmaradását leíró integrál egyenlet A perdületnek a folyadék részecskéi egyszeresen összefügg , zárt felületbe foglalt részére alapozott fizikai értelmezése a perdület megmaradás integrál egyenletéhez vezet el. A perdületet (másképp) a mozgásmennyiség nyomatékának is nevezzük. A nyomaték - a mechanika tanítása szerint - valamely pontra vonatkozik. Rögzítsünk egy inercia rendszerbeli pontot, és jelöljük az áramlási tér pontjaiba az ett l a ponttól húzott helyvektorokat " r "-rel. Tekintsünk el a teljes általánosságtól és szorítkozzunk a gyakorlat számára legfontosabb (4.15/a) "impulzus" tételre. Szorozzuk meg ezt az egyenletet balról a fent meghatározott helyvektorral:
(
)
r × c ρ cT dA = r × ( ρ g dV ) − r × ( p dA ) − r × R ; A
V
A
47
4.31
Ez a perdület-tétel, nyitott rendszerre felírt alakja. A bal oldalon a kijelölt ellen rz felületben helyet foglaló folyadék id egységre es , a fent mondott pontra vonatkozó perdület változása áll. A jobb oldalon az erre a folyadékra ható er k ugyanezen pontra vonatkoztatott nyomatéka található. Az els tag a térfogati er k, a második a felületi er k nyomatéka. A jobb oldal utolsó tagja a folyadéknak az ellen rz felületen belüli idegen testre gyakorolt nyomatékát jelenti, az el tte álló negatív el jel pedig azt a fizikai tényt fejezi ki, hogy ez a nyomaték egy reakció nyomaték. A perdület tétel ezen alakját használjuk - többek között - az Euler turbina egyenlet levezetésénél. További alkalmazási terület lehet - többek közt - a légcsavarok és szélkerekek vizsgálata. A cirkuláció fogalmának bevezetése a perdület megmaradást más formában kifejez integrál egyenletek felírását teszi lehet vé. Egy (elemi) folyadékrész forgását a szögsebessége jellemzi. Vezessük be az örvényességet, ami a sebesség rotációja és ami így - a 2. fejezet szerint - a szögsebesség kétszerese: ∂ cz ∂ c y − ∂y ∂z i j k ζx ∂ cx ∂ cz ∂ ∂ ∂ − 4.32 = 2 = rot c = ∇ × c = det = = ζy ; ∂x ∂y ∂z ∂z ∂x ζz cx cy cz ∂ c y ∂ cx − ∂x ∂y Az elemi perdület (" d Π ") nagysága - egységnyi tömeg esetében - e tömeg sebességének és valamely távolságnak a szorzatával arányos. Tovább menve, a sebesség a szögsebesség és ismét valamely távolság szorzatával arányos, a perdülettel arányos lesz tehát az elemi felület (mint két távolság szorzata) és a rajta értelmezhet örvényesség szorzata: dA
dΠ
→ c T ds →
T
dA .
Számítsuk ki ezt, a perdülettel arányos mennyiséget egy, egyszeresen összefügg , azonos folyadékrészecskéb l álló, un. folyékony felületre. Az így kapott mennyiséget " Γ "-val jelöljük és cirkulációnak nevezzük: Γ=
T A
ds 4.5 ábra Folyékony felület és örvényesség
48
dA ;
4.33
Stokes tétele értelmében (a Stokes tétel és a vele kapcsolatos fontosabb megfontolások pl. [19]-ben olvashatók) a cirkulációt úgy is kiszámíthatjuk, hogy a sebességet a fent meghatározott felületet határoló, zárt görbe mentén integráljuk:
Γ=
T
dA = c T ds ;
4.34
A
A cirkuláció tehát valamely, általunk kijelölt folyadék-rész perdületének nagyságával arányos mennyiség. Az "A" felület folyékony felület, azaz azonos részecskéb l álló, fizikai értelemben zárt felület. Így a szubsztanciális derivált azonnal felírható: DΓ = Dt
Dc Dt
T
ds .
A sebesség szubsztanciális deriváltját felírhatjuk illetve behelyettesíthetjük a (4.17) szerint: DΓ = Dt
g+
1
T
∇
T
ds ;
4.35
Ezt az egyenletet általánosított Kelvin tételnek nevezzük. A jobb oldali integrál a perdületváltozás lehetséges forrásait foglalja össze. A perdület (4.35) szerint akkor változik, ha a jobb oldali, zárt görbe menti integrál nem nulla. Ez részben a nem potenciálos er tér (például a Coriolis er tér), részben pedig megfelel felületi er k el fordulása esetén lehetséges. Potenciálos er tér és ideális, de összenyomható folyadék esetén (4.35) a Bjerkness féle örvény tételt adja: DΓ 1 =− dp . Dt ρ A Bjerkness féle örvénytételt a meteorológiában és az összenyomható közegek áramlásának vizsgálatában alkalmazzák. Amennyiben a jobb oldali integrál értéke nulla, akkor a klasszikus Kelvin tételt kapjuk. Ez akkor következik be, ha az er terek potenciálosak, a folyadék súrlódásmentes és összenyomhatatlan. A hagyományos áramlástan több, a cirkulációra vonatkozó tételt tárgyal. Ezek a perdület-megmaradás egy-egy speciális alakját fejezik ki. A cirkuláció fontos fogalom, sok gyakorlati vonatkozással is rendelkezik, a vele kapcsolatos további tételeket a 6. fejezetben ismertetünk.
49
4.4.2 A perdület megmaradását leíró differenciálegyenlet A differenciálegyenletek általában lokális (helyi) tulajdonságokat írnak le, illetve kapcsolnak össze. A perdület, lokális értelemben egy elemi (egységnyi) tömeg esetében arányos az örvényesség és az elemi felület szorzatával. Az a differenciálegyenlet tehát, amely az örvényesség változását írja le, a perdület megmaradásával kapcsolatos. A perdület megmaradásával kapcsolatos differenciálegyenletet az összenyomhatatlan közeg lamináris áramlását leíró Navier-Stokes egyenlet (4.20) felhasználásával vezetjük le (bemutatva ezzel a bevezet ben már említett tényt, miszerint a perdület tétel nem szükséges egy folyadék áramlásának teljes matematikai modelljéhez). Írjuk fel (4.20)-at úgy, hogy helyettesítsük be a (4.32)-vel megadott örvényességet:
∂c c2 1 + grad − c × = g − grad ( p ) + ν ∆ c . ∂t 2 ρ Képezzük a fenti kifejezés mindkét oldalának rotációját. Használjuk ki, hogy a "grad" jelleg mennyiségek rotációja azonosan nulla, vagyis a bal oldal második és a jobb oldal második tagja egyaránt nulla lesz. A rotáció vektor-operátor, skalár operátorral együttes alkalmazásakor az alkalmazás sorrendje felcserélhet . Ilyen skalár operátor az id szerinti parciális deriválás és a Laplace operátor. Írjunk rögtön örvényességet a sebesség rotációja helyére:
∂ − rot (c × ∂t
) = rot (g ) + ν ∆
.
Szorítkozzunk a potenciálos er terekre, ekkor a jobb oldal els tagja - a potenciálról mondottak értelmében - nulla lesz. A bal oldal második tagja hármas vektor szorzat. Erre vonatkozik a vektormez k analíziséb l származó azonosság, ami szerint: rot (c ×
) = ∇ × (c × ) = [c (∇ T
) − (c ∇ ) ] + [( T
T
)
(
)]
∇ c − ∇T c .
E kifejezés jobb oldalán szerepelnek azok a zárójellel jelölt társítások (az els szögletes zárójelben a második tag és a második szögletes zárójelben az els tag), amelyeket a 3. fejezetben, a materiális derivált levezetésénél mutattunk be. A szögletes zárójelek másik két tagja viszont nulla lesz a "div(rot v) = 0" vektoranalitikai azonosság szerint: c ∇ T = c (div ) ≡ 0 , illetve az összenyomhatatlanság miatt, a folytonosság
(
)
(
)
törvénye alapján pedig "div(c) = 0" miatt a ∇ T c = 0 is teljesül. Végeredményben, a Navier-Stokes egyenletb l indulva, az összenyomhatatlan közegre vonatkozó örvénytranszport egyenlet az alábbi formában írható: ∂ + cT ∇ ∂t
(
) =(
T
)
∇ c +ν ∆ ;
4.36
50
Ez az egyenlet Helmholtz általánosított örvénytétele néven ismert. (4.36)-ot tömörebb formában is felírhatjuk, ha figyelembe vesszük a szubsztanciális derivált (3.3) szerinti kifejezését: D = Dt
(
T
)
∇ c +ν ∆ ;
4.37
Síkáramlás esetén (legyen ez az "x-y" sík) a (4.36) vagy (4.37) jobb oldalának els tagja nulla, hiszen:
[ζ
x
∂ ∂x
cx
∂ ∂z
cy cz
ζ y ζz] ∂ ∂ y
ζ x (∂ c x ∂ x ) + ζ y (∂ c x ∂ y ) + ζ z (∂ c x ∂ z ) = ζ x (∂ c y ∂ x ) + ζ y (∂ c y ∂ y ) + ζ z (∂ c y ∂ z ) ; ζ x (∂ c z ∂ x ) + ζ y (∂ c z ∂ y ) + ζ z (∂ c z ∂ z )
azonban síkáramlásban c z = 0 és ζ x = 0 valamint ζ y = 0 tehát a fenti kifejezés minden tagja valóban nulla - így síkáramlásra a következ alakot kapjuk: D = ν∆ . Dt Stacionárius esetben a következ eredményre jutunk:
(c ∇ ) T
= ν ∆ , azaz: c x
∂ζz ∂ζz ∂2 ζ z ∂2 ζ z ; + cy =ν + ∂x ∂y ∂ x2 ∂ y2
(4.38)
Ez egy Poisson típusú, másodrend lineáris, parciális differenciálegyenlet. A 7. fejezetben foglalkozunk majd a síkáramlások áramfüggvényével. Az áramfüggvényre, melynek megfelel parciális deriváltjai éppen az egyes sebességkomponenseket adják, ugyanígy Poisson típusú, másodrend lineáris, parciális differenciálegyenlet írható fel. Ezzel bizonyos, egyszer , súrlódásos áramlási feladatokat hét helyett két változóval tudunk kezelni. Ez igen jó kiindulási pont az ilyen, egyszer bb feladatok numerikus megoldására.
4.5 Az áramlástani feladatok matematikai modellje Tekintsük egy tetsz leges áramlást és számoljuk össze az ezt leíró független változókat. Ebben a közelítésben számoljunk a turbulens sebességeket is beleértve a teljes sebességgel. A független változók: a s r ség, a sebesség (három komponenssel), a nyomás, a h mérséklet és a bels energia, vagyis összesen 7 független változó. Ezek szerint 7 egyenlet szükséges és elégséges a folyadékmozgások leírásához. Ezek pedig általában - a következ k: folytonosság törvénye 1 (skalár) egyenlet; mozgásmennyiség megmaradása 1 vektor egyenlet = 3 (skalár) egyenlet; energia megmaradása 1 (skalár) egyenlet; állapot egyenlet 1 (skalár) egyenlet; kapcsolati egyenlet 1 (skalár) egyenlet; 51
Az állapot egyenletr l eddig nem volt szó: ez egy egyenlet, ami a vizsgált folyadék állapotjelz i (nyomás, h mérséklet, s r ség) közti kapcsolatot írja le. Az állapot egyenletekkel részletesen pl. [12], [20] foglalkozik. Mi itt megelégszünk a legegyszer bb, általános gáztörvénnyel: p = ρ RT . A kapcsolati egyenlet a h mérséklet és a bels energia közötti kapcsolatot írja le, a legegyszer bb esetben, amikor az állandó térfogaton vett fajh ( cV ) értéke állandó: u = cV T . A folytonosságot, a mozgásmennyiség megmaradását és az energia-megmaradást leíró differenciálegyenletek tipikus alakjait a következ kben foglaljuk össze: Folytonosság ∂ρ + div ( ρ c ) = 0 ; ∂t Dρ + ρ div (c ) = 0 ; Dt
Konzervatív alak: Nem konzervatív alak:
4.3 4.4
Mozgásmennyiség megmaradása Konzervatív alak: ∂ (ρ c x ) ∂ σ xx ∂ τ yx ∂ τ zx ; + div ( ρ c x c ) = ρ g x + + + ∂t ∂x ∂y ∂z ∂ (ρ c y )
+ div (ρ c y c ) = ρ g y +
∂ τ xy
+
∂ σ yy
+
∂ τ zy
4.23/a
;
4.23/b
∂ (ρ c z ) ∂ τ xz ∂ τ yz ∂ σ zz ; + div ( ρ c z c ) = ρ g z + + + ∂t ∂x ∂y ∂z
4.23/c
∂t
∂x
∂y
∂z
Nem konzervatív alak:
ρ ρ ρ
D cx ∂ σ xx ∂ τ yx ∂ τ zx = ρ gx + + ; + ∂x Dt ∂y ∂z D cy
= ρ gy +
∂ τ xy
+
∂ σ yy
+
∂ τ zy
4.17/a
;
4.17/b
D cz ∂ τ xz ∂ τ yz ∂ σ zz = ρ gz + + + ; Dt ∂x ∂y ∂z
4.17/c
Dt
∂x
∂y
∂z
52
Energia-megmaradás Konzervatív alak: ∂ (ρ e ) + ∇ T ( ρ e c ) = div ( c ) + ρ g T c + div (k grad T ) + ε ; ∂t
4.30
Nem konzervatív alak:
ρ
De = div ( c ) + ρ g T c + div (k grad T ) + ε ; Dt
4.29
Ezen az egyenletek segítségével a folyadékok áramlása vizsgálható, a napjainkban rohamosan terjed , numerikus számolási eljárások egy lehetséges alap-rendszerét képezik. Amennyiben a tényleges sebességek helyett átlag sebességgel számolnánk, úgy a fenti rendszer kiegészítend lenne valamely turbulencia modellel. Ezzel részletesebben a 4.6 pontban foglalkozunk. Az áramlástani feladatokat leíró, konzervatív alakú differenciálegyenleteket szokás összefoglaló módon is felírni. Ennek érdekében vezessük be a következ vektorokat:
ρ ρ cx U = ρ cy ; ρ cz ρe
ρ cx ρ c x2 − σ xx ρ c y c x − τ xy ρ c z c x − τ xz
F=
ρ e cx − k
;
∂T − c x σ xx − c y τ xy − c z τ xz ∂x
ρ cy ρ c x c y − τ yx ρ c 2y − σ yy ρ c z c y − τ yz
G=
ρ ecy − k
;
∂T − c x τ yx − c y σ yy − c z τ yz ∂y
ρ cz ρ c x c z − τ zx ρ c y c z − τ zy ρ c z2 − σ zz
H=
ρ e cz − k
∂T − c x τ zx − c y τ zy − c z σ zz ∂z
53
;
0 ρ gx ρ gy J= . ρ gz ρ (c x g x + c y g y + c z g z ) Ezekkel felírható, hogy:
∂U ∂F ∂G ∂H ; =J− − − ∂t ∂x ∂y ∂z
4.30
A (4.30) egyenlet tagjainál a deriválást az egyes komponenseken értelemszer en elvégezve megkapjuk a folytonosság, a mozgásmennyiség-megmaradás és az energiamegmaradás megfelel differenciálegyenleteit. A (4.30) tehát egy tömör alak, ami több tekintetben is segíti a további munkát. Lényegében ez a numerikus feladatok egyik kiindulási pontja. Csak megjegyezzük, hogy az újabb angol szakirodalom meglehet sen pongyola módon - ezt nevezi Navier-Stokes egyenletnek. A (4.30) általános egyenletb l egyszer en származtathatók a speciális esetek: - stacionárius áramlás esetén kimarad az "U"; - síkáramlás esetén kimarad pl. a "H"; - stacionárius síkáramlás esetén kimarad az "U" és a "H"; - súrlódásos de lamináris áramlás esetén a σ xx = σ yy = σ zz = − p ; - ideális közeg esetén érvényes a σ xx = σ yy = σ zz = − p és a csúsztató feszültség értékek azonosan nullák. A (4.30) egyes tagjait, a fizikai tartalmuk szerint szokás elnevezni. Így az "U"-t fluxus- vagy ismeretlen-vektornak nevezik, a "J"-t forrás-tagnak nevezik és az "F", "G" valamint a "H" a konvektív fluxusnak nevezett tagok. Ez a tömör alak nagy segítséget nyújthat a differenciál-egyenletek osztályba sorolásában és az egyes tagok tulajdonságainak, viselkedésének vizsgálatában. Nagyon fontos szem el tt tartani azt, hogy a (4.30) egyenletben, általános esetben (amikor az áramlás turbulens is lehet), számos további derivált szerepel és a feszültségek számítása, amennyiben átlagsebességekkel dolgozunk további, a 4.6 pontban tárgyalandó egyenleteket követel. A (4.30) egyenlett l szokás kiindulni akkor is, amikor a megoldandó feladatot a tényleges, fizikai tartományból valamilyen transzformációval egy számítási tartományra képezzük le. Ennek az eljárásnak az az el nye, hogy az eredetileg bonyolult alakú tartományt egyszer alakra transzformáljuk, így a numerikus megoldás számos problémája lényegesen egyszer södik. Hátránya viszont, hogy a leképezéssel - általában - megváltozik a metrika, azaz az új tartományban a hossz és szögmérés más lesz, miáltal a differenciálegyenletek alakja is jelent sen megváltozik. A leképezésekt l általában 54
megköveteljük a kölcsönös egyértelm séget (bijektívitás) és törekszünk arra, hogy az új tartományban is lehet leg ortogonális rendszert építsünk fel. E pont lezárásaként megemlítjük, hogy napjainkra több, kipróbált numerikus algoritmust alakítottak ki, ilyen például a SIMPLE (Semi-Implicit Method for Pressure Linked Equations), a SIMPLER, a SIMPLEC és a PISO (Pressure Implicit with Splitting of Operators) módszer - ezeket a vonatkozó szakirodalom (pl. [7], [21], [26]) részletesen tartalmazza.
4.6 Turbulencia A folyadékok a valóságban részecskékb l állnak. A kontinuum hipotézissel ugyan e részecskék helyett a teret folytonosan kitölt közeget választjuk, az egyes, fizikai tulajdonságok értelmezésekor célszer az eredeti képhez visszatérni. A kicsi, de véges méret folyadék részecskéknek azon a szinten, amelyen mi közelítjük ezt a témakört, tömegük és sebességük van, minden további tulajdonságuk e két alap-tulajdonságra épül. A sebesség kétféle lehet: rendezett és rendezetlen. A rendezett mozgásban rejl energiát, a merev testeknél is használatos módon mozgási vagy kinetikai energiának nevezzük. A rendezetlen mozgás - réteges áramlásban - a h mozgással vehet azonosnak. A gomolygó, turbulens áramlásokban létezik még a turbulens sebesség is. Tekinthetjük a turbulens sebességet a h mozgáshoz hasonlóan rendezetlen sebességingadozások halmazának, csak persze a turbulens sebességek nagyságrendekkel nagyobbak lehetnek a h mozgásból származó sebességeknél. De speciális numerikus vizsgálat esetén, a direkt numerikus szimuláció alkalmazásánál, amikor a feladat geometriai felosztása elegend en finom, tekinthetjük rendezett mozgásnak is. Ekkor a feszültség tenzorból a turbulens tagot elhagyjuk és így nem a Reynolds átlagolt NavierStokes egyenletet, hanem az általános Navier-Stokes egyenletet oldjuk meg numerikusan. Ezen a módon a folyadékok turbulenciájára vonatkozó, numerikus vizsgálatokat is végeznek. Megjegyzend , hogy a direkt numerikus szimuláció igen nagy számolásigény feladat, ezért célszer en csak nagykapacitású, nagysebesség szuper-számítógépeken (vektor számítógépek vagy párhuzamosan összekapcsolt számítógépek) futtatható. A turbulencia igen fontos jelenség, a gyakorlatban el forduló áramlások igen nagy része rendelkezik turbulens zónával. E pontban a turbulens sebesség-ingadozásokat a rendezetlen h mozgáshoz hasonló, rendezetlen mozgásnak tekintjük. A számításainkban az átlagsebességekkel dolgozunk és a turbulenciát külön vesszük figyelembe. A következ kben csak a legegyszer bb, homogén (a turbulencia jellemz i a tér minden pontjában azonosak), izotróp (a zavaró hatások és azok terjedése a 55
folyadékban, a tér minden irányában egyformán véletlen jelleg ) turbulenciával foglalkozunk. Egy valóságos áramlás elegend en kis sebességeknél lamináris. A sebesség növekedésével a lamináris állapot elveszíti a stabilitását és egy új állapot, a turbulens állapot alakul ki. A turbulens áramlás - szigorúan véve - id ben változó áramlási forma. A következ kben részletesen csak azzal az esettel foglalkozunk, amikor a turbulens sebességeket átlagsebességekkel közelítjük - ez az eljárás bár közelítés, mégis igen sok gyakorlati számításban használatos és általában jól használható eredményeket ad. A turbulencia gyakorlati megjelenési formái nagyon különböz k lehetnek, az egészen kis mérett l igen nagy méretekig terjed turbulenciák alakulhatnak ki. Tekintsünk bevezet példaként egy síklap mentén kialakuló határrétegben létrejöv áramlást. El ször lamináris határréteg alakul ki. Ez a síklap felületén munkát végez - az ehhez szükséges energiát részben a részecskék lefékez déséb l veszi, részben a rendezetlen h mozgás révén létrejöv energia-transzport szállítja. A lefékez dés miatt a határréteg vastagodik, az energia-transzport fenti módja elegend en nagy vastagság esetén - elégtelenné válik a lamináris határréteg fennmaradásához. Ekkor jelenik meg a turbulencia, ami a h mozgásnál sokkal intenzívebb mozgás következtében sokkal intenzívebb energia-transzportot épes megvalósítani. A lamináris határréteg turbulensbe történ átmenetének f bb fázisait a 4.5 ábrán tüntettük fel:
Tollmien Schlichting hullámok
Hajszálörvények
Turbulencia foltok
Kifejlett turbulencia
4.5 ábra A turbulencia kifejl dése határrétegben A turbulens sebesség ingadozások esetenként több nagyságrenddel múlják felül a h mozgás sebességét - ezért ez az áramlási forma sokáig képes fennmaradni. Ha azonban valamilyen ok miatt (például nyomásnövekedés, hirtelen irányváltás stb.) ez az áramlási forma sem lenne képes fennmaradni, akkor bekövetkezik az áramlás leválása (nagy vagy igen nagy lépték turbulencia alakul ki - a leválás az eddig mikroszkópikus 56
turbulencia helyett makroszkópikus turbulenciát hoz). A m szaki gyakorlatban lényegében ezek az áramlási formák, illetve ezek kombinációi fordulnak el . A fizikai részecskék tulajdonságait vizsgálva, a turbulens áramlások esetére fontos megállapításokat tehetünk. A homogén, izotróp turbulencia rendezetlen mozgást jelent, mely mozgás sebességének várható értéke nulla és nincs jellemz iránya. Eszerint, bizonyos mértékben a rendezetlen h mozgásra hasonlít, vagyis fellépnek azok a transzport jelenségek, amik a rendezetlen h mozgás esetében is felléptek, mindössze az intenzívebb mozgás intenzívebb transzportot jelent. Számunkra legfontosabb a mozgásmennyiség-transzport: a turbulens mozgás következtében a részecskék áramlási réteget cserélnek és ezzel a maguknál gyorsabb réteget fékezik, a lassúbbat gyorsítják, tehát megjelenik a turbulens csúsztató feszültség. A rendezetlen h mozgáshoz hasonló mozgás, természetesen nem csak turbulens csúsztató feszültséget, hanem a nyomáshoz adódó turbulens nyomástöbbletet is eredményez. Ezek a mennyiségek kapnak helyet a feszültség tenzor megfelel elemeiben. A folyadékok s r ségét kiszámolhatjuk, ha megszorozzuk az egységnyi térfogatban lév részecskék számát egy részecske tömegével. A turbulencia intenzív, rendezetlen mozgást jelent, azonban - els közelítésben - nem változtatja meg a részecskék számát vagy tömegét. Ezek szerint a turbulencia vizsgálatakor állandó s r séggel számolhatunk - vagyis a folytonosság törvényének legegyszer bb alakját vehetjük figyelembe [div(c) = 0]. Ezt a tényt a kés bbiekben, a megfelel helyeken kihasználjuk. A turbulencia olyan kaotikus folyamatnak fogható fel, melyben a várható értékek valamint a széls értékek is, a m szaki gyakorlat számára elegend pontossággal meghatározhatók - eszerint a turbulencia olyan kaotikus folyamat, melynek létezik korlátos különös attraktora.
4.6.1 A Reynolds átlagolt Navier-Stokes egyenlet A bevezet ben mondottak szerint a következ kben a tényleges áramlási sebességek és nyomás helyett azok általgértékével történ számolásra törekszünk. A s r séggel - annak állandóságára kimondott feltétel miatt - külön nem foglalkozunk. Írjuk fel az áramlási sebességet egy átlagos érték és egy id beli ingadozást kifejez tag összegeként (az átlagosságot felülvonással jelöljük):
cx c = c + c′ ;
azaz:
cx
cy = cy cz
cz
c ′x + c ′y c ′z
57
;
4.31
Az átlagérték, definíció szerint azt jelenti, hogy:
c=
T
1 c (t ) dt . T 0
Eszerint viszont nyilvánvaló, hogy az ingadozás átlaga pontosan nulla azaz: c′ = 0 . Ez természetesen minden komponensre és a nyomásra is ugyanígy igaz. Igaz továbbá az is igaz, hogy ha egy ingadozás átlaga nulla, akkor ennek tetsz leges deriváltja is nulla. Nem lesz viszont feltétlenül nulla az ingadozások négyzetének átlaga vagy két ingadozás szorzatának átlaga. (A sebesség-ingadozások négyzetének átlaga például éppen a turbulens nyomástöbblethez vezet.) A vizsgálathoz induljunk ki a Navier-Stokes egyenlet (4.20) szerinti, állandó s r ség közeg áramlására vonatkozó alakjának els komponens egyenletéb l:
∂ cx ∂c ∂ cx ∂ cx = + cx x + c y + cz ∂z ∂t ∂x ∂y
4.32
∂ 2 cx ∂ 2 cx ∂ 2 cx 1 ∂p +ν + + gx − ρ ∂x ∂ x2 ∂ y2 ∂ z2
Alakítsuk át az egyenlet bal oldalának három utolsó tagját a div(c) = 0 figyelembe vételével:
∂ cx ∂ cx ∂ cx ∂ (c x c x ) ∂ (c x c y ) ∂ (c x c z ) ; + cy + cz = + + ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z
cx
A (4.31) kifejezés részleteiben azt jelenti, hogy az egyes sebesség komponensek is az átlagérték és a turbulens ingadozás összegeként írhatók fel. Írjuk be a (4.32) egyenletbe, minden sebesség komponens helyére a (4.31)-ben megadott relációt, majd képezzük az így kapott egyenlet mindkét oldalának átlagát. A számolást tagonként végezzük el. Az els tag:
(
)
∂ c x + c ′x ∂cx . = ∂t ∂t Ez tehát, a fent mondottak szerint egyszer en az átlagsebesség id deriváltját adja. A második tag:
[(
)(
)]
(
)
(
)
(
)
∂ c x + c ′x c x + c ′x ∂ c x c ′x ∂ c ′x c x ∂ (c ′x c ′x ) ∂ cx cx = + + + = ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x
(
)
∂ (c ′x c ′x ) ∂ cx cx = + ∂x ∂x
szerinti
.
A fenti számolásban figyelembe vettük, hogy az els sor bal oldalán álló második és harmadik tag az átlagképzés szabályainak megfelel en nulla lesz. Megmarad az els 58
tag, az átlagsebességek szorzatának deriváltja és a negyedik tag, hiszen az ingadozások négyzetének átlaga általában nem egyenl nullával. A harmadik tag felírásában a második taghoz hasonlóan járunk el, a részletszorzatos részt elhagyva a kiindulás és a végeredmény:
[(
)(
∂ c x + c ′x c y + c ′y
)] = ∂ (c c ) + ∂ (c′ c′ ) x
y
x
y
∂y ∂y ∂y A negyedik tag a harmadik taghoz hasonlóan írható:
[(
)(
∂ c x + c ′x c y + c ′y ∂y
)] = ∂ (c c ) + ∂ (c′ c′ ) . x
y
∂y
x
y
∂y
A (4.32) jobb oldalán álló térer sség nem függ a turbulenciától, az változatlan marad. A jobb oldal második tagjában a nyomás szerepel, helyére rögtön az átlagnyomást írhatjuk:
(
)
∂ p + p′ ∂ p . = ∂x ∂x A (4.32) jobb oldalának harmadik tagja ismét rögtön felírható:
ν
(
)
(
)
(
∂ 2 c x + c ′x ∂ 2 c x + c′x ∂ 2 c x + c ′x + + ∂ x2 ∂ y2 ∂ z2
)
=ν
∂2 cx ∂2 c x ∂2 cx + + . ∂ y2 ∂ z2 ∂ x2
A (4.32) egyenletb l a konvektív gyorsulást átalakítottuk, alakítsuk vissza az átlag-sebességek konvektív gyorsulására vonatkozó tagot:
(
)
(
)
(
)
∂ cx cx ∂ cx cy ∂ cx cz ∂cx ∂cx ∂cx + + = cx + cy + cz . ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z Vigyük át a jobb oldalra a konvektív gyorsulás tagjainak átlag számításánál kapott, a turbulens sebesség-ingadozások átlagait tartalmazó tagokat. Ezzel felírható a keresett, átlag-sebességekre vonatkozó komponens egyenlet:
∂cx ∂cx ∂cx ∂cx + cx + cy + cz = ∂z ∂t ∂x ∂y ∂2 cx ∂2 cx ∂2 cx 1 ∂p ∂ gx − +ν + + − (c ′x c ′x ) − ∂ (c ′x c ′y ) − ∂ (c′x c′z ) 2 2 2 ρ ∂x ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z
.
Ebben az egyenletben megjelent három új tag - ezek a turbulens nyomástöbbletb l és a turbulens csúsztató feszültségb l származó tagok. A fenti levezetést a további két komponens egyenletre is el lehet végezni. Az eredmény alapján pedig felírhatjuk a turbulens csúsztató feszültség tenzorát. Vegyük ehhez figyelembe, hogy a 59
Navier-Stokes egyenletbe a feszültség tenzor divergenciája került és hogy a (4.17) egyenlet levezetése során a s r séggel osztottunk. Ezek szerint a csúsztató feszültség tenzora:
t
− ρ c ′x c ′x = − ρ c ′x c ′y − ρ c ′x c ′z
− ρ c ′y c ′x − ρ c ′y c ′y − ρ c ′y c ′z
− ρ c ′z c ′x − ρ c ′z c ′y ; − ρ c ′z c ′z
4.33
Kiszámítva csúsztató feszültség tenzorának divergenciáját, a s r séggel történ osztás után éppen a kívánt tagokat kapjuk. A f átlóban a turbulens nyomástöbblet, a többi helyen a turbulens csúsztató feszültség áll. A tenzor szimmetriája rögtön láthatóan teljesül. A turbulens feszültség tenzort sokféleképpen lehet megközelíteni. Az id ben els közelítés - mely még ma is aktuális - Boussinesq-t l származik, aki a turbulencia hatását a folyadék helyi deformációjával vette arányosnak, vagyis a réteges áramlásban értelmezett viszkozitáshoz hasonlóan számolt: t
= µt 2 DS = ρν t 2 DS ;
4.34
ahol: µ t a (látszólagos) turbulens dinamikai viszkozitás; ν t a (látszólagos) turbulens kinematikai viszkozitás. A derivált tenzor szimmetrikus része a kontinuum (folyadék) deformációs sebességeit (dilatáció és disztorzió) foglalja össze, ezért a rendezetlen h mozgásból származó, lamináris áramlásban ébred csúsztató feszültség számítására jól megfelel. Ennek a gondolatnak az értelmében, az ebben az esetben használt dinamikai vagy kinematikai viszkozitást anyagjellemz nek tekintjük. A turbulens áramlásban ébred csúsztató feszültség ezzel szemben nem tekinthet anyagjellemz nek és így esetleg nem is szerencsés a deformáció-sebességekhez kötni. Újabb kutatásokban a turbulens csúsztató feszültségeket a derivált tenzor ferdén szimmetrikus részének segítségével is számolják, ami a turbulencia és az örvényesség meglehet sen szoros kapcsolatát hivatott kifejezni. A turbulens feszültség tenzor (4.8) kifejezésébe (4.34)-et beírva, (4.17) pontosan a Reynolds átlagolt Navier-Stokes egyenletet szolgáltatja:
(
Dc 1 T =g+ ∇ Dt ρ
)
4.17
A (4.17) egyenlet ezen alakjában - a szakirodalomban megszokott módon - nem jelöltük külön azt a tényt, hogy itt az átlagsebességekkel számolunk. De azért err l nem szabad megfeledkezni sem: a turbulens áramlások vizsgálatára ugyan a (4.17) egyenletet alkalmazzuk legtöbbször és a megoldások megkeresése csak kevés esetben igazán sikeres, mégis a várható eredmény eleve korlátozott, általában csak a turbulens folyamatok várható értékét szolgáltatja. 60
Természetesen, a m szaki gyakorlat szempontjából ez a várható érték a legtöbb esetben tökéletesen elegend , illetve igen sok esetben ennél (sokkal) egyszer bb közelítésekkel is megelégszünk.
4.6.2 Turbulencia modellek A turbulens dinamikai vagy kinematikai viszkozitás bevezetése csak formailag egyszer síti a helyzetet, a kérdés fizikai lényegét nem érinti. Napjainkra a turbulencia kérdéskörének és ezen belül a turbulens dinamikai vagy kinematikai viszkozitásnak igen kiterjedt szakirodalma keletkezett. E jegyzet céljánál és terjedelménél fogva sem foglalkozhat részletesen a turbulencia modellekkel. Ez a pont bevezet ismereteket szolgáltat csak. Formailag a turbulens dinamikai és kinematikai viszkozitást a következ összefüggésekkel írhatjuk le:
µt = C ρ ϑ ; νt = C ϑ ; ahol:
(4.35/a) (4.35/b)
C - dimenziótlan állandó; ρ - a s r ség; ϑ - a turbulens sebességingadozástól függ együttható; - a turbulenciára jellemz hosszúság.
A " ϑ ", a turbulens sebességingadozástól függ együttható - határréteg jelleg síkáramlásnál, amikor elegend a sebesség " x " irányú (fallal párhuzamos) összetev jének az " y " (falra mer leges) változását tekinteni, a következ képpen írható fel: ∂ cx ϑ =c ; (4.36) ∂y ahol: c - dimenziótlan állandó; és az abszolút értéken belül az átlagsebesség szerepel. Helyettesítsük be (4.36)-ot (4.35/b)-be, írjuk fel ezzel a turbulens kinematikai viszkozitás kifejezését:
νt =
2 m
∂ cx ∂ cx ; ∂y ∂y
(4.37)
illetve:
τ xy = τ yx = − ρ c ′x c ′y = ρ ahol:
2 m
=Cc
2
2 m
∂ cx ∂ cx ∂y ∂y
- összevont jellemz . 61
(4.38)
A Prandtl féle turbulencia modellben az " m " értéke a faltól mért távolsággal arányosan növekszik, azaz: ahol: κ ≅ 0.4 , állandó. m =κ y ; A Kármán féle turbulencia modellben az " m " értékét bonyolultabb, de a fizikai valósághoz közelebb álló képlet írja le:
m
∂ cx ∂y ; ∂ 2 cx ∂ y2
= κκ
ahol: κ κ = 0.38 ÷ 0.42.
(4.39)
A keveredési úthosszra vonatkozó kifejezések eléggé népszer ek, [26] példaként utal Cebeci és Smith 1974-ben, illetve Baldwin és Lomax 1978-ban kidolgozott, ilyen típusú modelljére. A "k - ε " modell a gyakorlati számítások jelent s részében el forduló modell részletes ismertetése messze meghaladja e jegyzet kereteit, elterjedtsége miatt azonban rövid bemutatását szükségesnek tartjuk. A k a turbulenciában lév kinetikai energiát, az ε ennek a kinetikai energiának a disszipációját jelenti. Maga a "k - ε " modell két parciális differenciál-egyenletet jelent; az egyik a turbulens kinetikai energia, a másik a disszipáció változásának leírásárára szolgál. Ezekkel a differenciál-egyenletekkel nem foglalkozunk, az érdekl d olvasó a tanulmányozásukat a [27] segítségével kezdheti meg. A ϑ - a turbulens sebességingadozástól függ együttható és az " " - a turbulenciára jellemz hosszúság kifejezhet a turbulens kinetikai energia, illetve a disszipáció segítségével:
ϑ=k
1
2
;
=
és:
k
3
ε
2
.
Ezzel a turbulens kinematikai viszkozitás:
ν t = Cν
k2
ε
;
ahol:
Cν = 0.09
(4.40)
A (4.40) kifejezés azt jelenti, hogy a "k - ε " modell alkalmazásakor az áramlást jellemz parciális differenciál-egyenlet rendszer két újabb taggal b vül és ezek az új tagok kapcsolódnak az eredeti parciális differenciál-egyenlet rendszerhez. Az így kapott rendszer (numerikus) megoldása nyilván jelent sen nagyobb munkabefektetést igényel. E pontban csak néhány turbulencia modellt ismertethettünk. A keveredési úthosszmodellek - a szakirodalomban megszokott szóhasználattal - a "nulla-egyenlet" elnevezés osztályba tartoznak. A "k - ε " modell a "két-egyenlet" elnevezés osztályba 62
tartozik. Ezeken túl még számos modell osztály létezik - ezekr l részleteket az érdekl d Olvasó pl. [19]-ben találhat.
4.7 Hasonlóság A Reynolds munkássága nyomán, a Reynolds átlagolt Navier-Stokes egyenletek már az 1800-as évek végén készen álltak, zárt alakú megoldásukat azonban csak nagyon kevés esetben sikerül megtalálni. (A kevés, zárt alakú megoldás f ként a hidrodinamikai kenéselméletben található.) A m szaki tudomány azonban nem csak zárt alakú megoldásokkal foglalkozik: ezen a területen rendkívül jelent s a tapasztalatok, mérések szerepe. A mérési eredmények akkor igazán hasznosak, ha - megfelel feltételekkel más esetekre is átvihet k. A hasonlóság-elmélet segítségével megállapítható, hogy az egyes mérési eredmények milyen körben alkalmazhatók, illetve hogy milyen mérést kell végezni egy, adott feladat megoldása érdekében. Napjainkra számos katalógust (pl. szárnyprofil katalógus), kézikönyvet (pl. hidraulikai kézikönyvek) alkottak meg, amelyekben hatalmas mennyiség mérési tapasztalatot gy jtöttek össze. Ezek értelmes alkalmazása ugyanúgy része a modern mérnöki munkának, mint egy "szoftver" futtatása. A hasonlóság fogalma a geometriából származik. A folyadékok mechanikájában a mechanikai hasonlósággal kell foglalkoznunk, amely a geometriai hasonlóságon túl a kinematikai és a dinamikai hasonlóság meglétét is igényli. Két alakzat geometriailag hasonló, ha közöttük olyan, kölcsönösen egyértelm leképezés adható meg, amely a szögek értékét nem változtatja meg és a megfelel egyenes szakaszok aránya egyetlen állandóval jellemezhet . Geometriailag hasonló rendszerek esetén a kinematikai hasonlóság azt jelenti, hogy a mozgások id ben is hasonlóak, azaz az összetartozó id pontokban is megmarad a geometriai hasonlóság. Ebb l következik, hogy a megfelel sebességek és gyorsulások aránya is egy-egy (általában) egymástól különböz állandóval jellemezhet . A dinamikai hasonlóság a megfelel er k (a tehetetlenségi er t is beleértve) arányának állandóságát jelenti. A geometria, kinematikai és dinamikai hasonlóság együtt jelenti a mechanikai hasonlóságot. A mechanikai hasonlóság feltételeinek teljesülését a dimenziótlan matematikai modell azonossága biztosítja. Sajnos a gyakorlatban a teljes mechanikai hasonlóság lényegében nem érhet el (eltekintve attól, hogy egy rendszer önmagával azonos), általában megelégszünk egyes kritériumok teljesítésével.
4.7.1 Hasonlósági számok
63
A folyadékok mechanikájában leggyakrabban alkalmazott hasonlósági kritériumokat a Navier-Stokes egyenlet (mint matematikai modell) alapul vételével vezethetjük be. Tekintsük a Navier-Stokes egyenlet (4.20)-ban felírt, összenyomhatatlan közeg, réteges áramlására érvényes alakját. Alakítsuk át a céljainknak kissé megfelel bb formába, az eredeti rendszerre felírhatjuk: ∂c ∂c 1 ∂ p ∂ 2c + c+ − g −ν = 0; ∂t ∂r ρ ∂r ∂ r2
(4.41)
Jelöljük vessz vel a modell-rendszert. Ezzel a megfelel Navier-Stokes egyenlet a következ alakban írható fel:
∂ c′ ∂ c′ 1 ∂ p′ ∂ 2 c′ + c′ + − g′ − ν ′ =0 . 2 ∂ t ′ ∂ r′ ρ ′ ∂ r′ ∂ (r ′) Képezzük a megfelel mennyiségek arányából az egyes léptékeket: aρ =
ρ , ρ′
ez a s r ség léptéke;
ac =
c , c′
ez a sebesség léptéke;
ar =
r , r′
ez a távolságok léptéke;
at =
t , t′
ez az id lépték;
ap =
p , p′
ez a nyomás lépték;
ag =
g , g′
ez a térer k léptéke;
aν =
ν , ν′
ez a kinematikai viszkozitás léptéke.
Írjuk fel az eredeti rendszerre vonatkozó Navier-Stokes egyenletet a modellrendszerre vonatkozó egyenlet és a lépték-számok segítségével:
a p 1 ∂ p′ a c ∂ c′ a c2 ∂ c′ a a ∂ 2 c′ + c′ + − ag g′ − ν 2 c ν ′ = 0. 2 at ∂ t ′ a r ∂ r ′ a ρ ar ρ ′ ∂ r ′ ar ∂ (r ′) Az el bbiekben kimondott modell-azonosság akkor teljesül, ha a léptéktényez kb l alkotott együtthatók egyenl ek, azaz: ap a c a c2 a a = = = a g = ν 2 c = áll. at ar a ρ ar ar
(4.42)
A fenti egyenletben az egyes állandókhoz az eredeti Navier-Stokes egyenlet tagjainak megfelel en, fizikai jelentés kapcsolható. Az els és a második tag a tehetetlenségi er höz, a harmadik a nyomásváltozásból származó er höz, a negyedik a térer höz és az ötödik a súrlódó er höz kapcsolható. A (4.42) egyenletben felírt állandó értéke pontosan egy lesz, ha a teljes egyenl ség sort valamelyik taggal végigosztjuk osszunk a második taggal, ekkor a következ egyenl ség-sort kapjuk:
64
ap a g ar a ar =1= = = ν . 2 2 at a c ac a r a ρ ac ac Vizsgáljuk meg a kapott egyenl ség-sor tagjait úgy, hogy visszaírjuk a lépték tényez kbe az ket meghatározó fizikai mennyiségeket. Válasszunk a vektorok helyett jellemz abszolút értékeket. Az els tag a lokális és konvektív gyorsulás hányadosaként a következ jelentéssel bír:
r r′ = , t c t c′
ar =1 at a c ap
ez az egyidej ségi (homokronitási) kritérium.
p p′ = , ez az Euler szám, a nyomásból és a 2 2 ′ aρ a ρc ′ ρ c tehetetlenségb l származó er k arányát fejezi ki. =1
2 c
Eu =
( )
rg r g r′ g′ , ez a Froude szám, a térer s= Fr = 2 2 c a c (c′) ségb l és a tehetetlenségb l származó er k arányát fejezi ki. a g ar 2 c
=1
aν cr ν ν′ , ez a Reynolds szám, a súrlódásból és =1 = Re = ′ ′ ac a r cr c r ν a tehetetlenségb l származó er k arányát fejezi ki. A fenti hasonlósági jellemz k bevezetéséhez az összenyomhatatlan közegre vonatkozó Navier-Stokes egyenletet használtuk fel. Az összenyomhatóság jellemzésére a Mach számot használjuk, amely az áramlási sebesség (c) és a hangsebesség (a) viszonya:
Ma =
c . a
A teljesség és az érdekesség kedvéért megemlítjük még (levezetése pl. [19]-ben megtalálható) a Cauchy-Rayleigh féle hasonlósági kritériumot:
C=
ρ c2
, ahol: E a rugalmassági modulusz; ez a hasonlósági szám az E összenyomható közegekkel kapcsolatos, rugalmas összenyomással járó folyamatok (pl. leng folyadéktömegek ütése stb.) vizsgálatában kap szerepet. Hasonlóképpen megemlítjük a Weber számot is, ez a kapilláris jelenségek hasonlóságának feltétele:
W=
c2
ρ
, ahol: H - az egységnyi hosszúságra es kohéziós er , azaz a H felületi feszültség értéke. 65
A perdülettel kapcsolatos hasonlósági kritérium a Stouhal szám. Legyen a jellemz körfrekvencia ω és jelöljük a jellemz ként választott távolságot r helyett L-lel, ekkor: St =
ωL c
;
Írjuk a fenti kifejezésbe a körfrekvencia helyére a frekvenciát, legyen a jellemz méret az átmér (D - egy hengeres test átmér je) és válasszuk a Strouhal szám értékét 1,19 ÷ 1,32 közé. Akkor, a frekvenciát kifejezve éppen a Kármán féle örvénysor frekvenciáját kapjuk:
f = 0,19 ÷ 0,21
c . D
4.7.2 A kinetikai gázelmélet néhány hasonlósági kérdése A klasszikus, kontinuumszemlélet mellett érdekes hasonlóságelméleti vonatkozásai vannak a kinetikai gázelméletnek is - ebben az elméletben a gázokat a tényleges helyzetnek megfelel en, részecskékb l álló közegnek tekintjük. A kinetikai gázelmélettel való részletes foglalkozás messze meghaladja jelen jegyzet kereteit - itt csupán néhány alapvet - és véleményünk szerint nagyon tanulságos - részletkérdéssel foglalkozunk. A valóságos részecskék a rendelkezésükre álló térben mozognak (pl. a rendezetlen h mozgás miatt) és id r l id re más részecskéknek ütköznek. Két ütközés között azonban szabadon mozognak, ennek a jellemz hosszúságát nevezzük közepes szabad úthossznak (λ), amit a vonatkozó szakirodalom szerint a kinematikai viszkozitás és a molekulák közepes sebessége alapján a következ módon számolhatunk ki:
λ=
1 ν . 0,499 c m
(4.43)
A molekulák mozgásának közepes sebességét pedig a hangsebesség (a) és a cp κ = c felhasználásával, a következ módon számolhatunk ki: v
cm = a
8
πκ
.
(4.44)
Ez a kifejezés azt mutatja, hogy - állandónak tekintett fajh k esetén - a molekulák közepes sebessége arányos a hangsebességgel - vagyis a hangsebesség és a molekulák közepes sebessége igen szoros kapcsolatban van egymással. Ez egyúttal azt is jelenti, 66
hogy a Mach szám a sebesség és a molekulák jellemz sebességének viszonyaként is felírható: 8 1 c Ma = . (4.45) π κ cm A kinetikai gázelméletben igen fontos hasonlósági szám a Knudsen szám, ami a közepes szabad úthossz és valamely jellemz méret (L) viszonyszáma: Kn =
λ L
;
(4.46)
A közepes szabad úthossz átlagos állapotú leveg esetében 10-8 m nagyságrend , ilyenkor tehát a Knudsen szám általában (kivéve a mikro- és nano-áramlásokat) egynél sokkal kisebb. Ez az az eset, amikor a kontinuum hipotézis teljességgel elfogadható. A Föld légkörében azonban, pl. 120 km magasságban a közepes szabad úthossz már méter nagyságrend , ilyenkor a Knudsen szám értéke egy körüli, ebben az esetben a klasszikus módszerek már nem alkalmazhatók, ilyenkor a kinetikai gázelmélettel kell számolni. Nagyon érdekes eredményre vezet, ha a Reynolds számot a közepes szabad úthossz és a molekulák jellemz sebességének segítségével írjuk fel (a jellemz hosszúságra eredetileg használt r helyett írjunk L-et): Re =
cL
ν
=
c 1 0,499 c m
L
λ
.
Eredményül azt kapjuk, hogy a Reynolds szám a sebesség és a molekulák jellemz sebességének a viszonyát, illetve a választott jellemz méret és a közepes szabad úthossz viszonyát fejezi ki. Tekintettel arra, hogy a m szaki gyakorlatban a második viszonyszám általában elég nagy (pl. 1 m-es jellemz hossz esetén 108 nagyságrend ), a Reynolds szám kicsisége a sebesség (c) molekulák jellemz sebességéhez képest kicsi (nagyon kicsi) sebesség áramlást jelent és nagy áramlási sebesség, azaz a nagy Reynolds szám esetén közelíti meg éri el vagy lépi túl az áramlási sebesség a molekulák jellemz sebességét. A Knudsen számot - a fenti összefüggések kombinálásával - felírhatjuk, mint a Reynolds és a Mach szám függvényét. Helyettesítsük be (4.43)-ba (4.44)-et és a közepes szabad úthosszra így kapott kifejezést írjuk be a Knudsen szám (4.46) kifejezésébe: ν c 1,255 κ λ a = 1,255 κ a = 1,255 κ Ma . (4.47) Kn = = cL L L R⋅e
ν
Vagyis az a nagyon érdekes és figyelemre méltó végeredmény adódik, hogy kis Knudsen számok esetén nagy Mach szám eléréséhez nagy Reynolds szám kell, vagyis a hangsebességet valóban a nagysebesség áramlások közelítik meg, érik el vagy lépik át. Amikor azonban a Knudsen szám nagy (esetenként egynél jóval nagyobb is lehet, ha 67
szuperritka közegr l vagy nagyon kis jellemz méretr l van szó), akkor a hangsebesség (azaz a nagy Mach szám) már kis Reynolds szám esetén is elérhet . Néhány, modern áramlástani kérdésben ez a körülmény igen jelent s.
68
Impulzus tétel alappélda Egy ejt erny kismintát vizsgálunk szélcsatornában. Az "U" csöves manométerrel az üres mér tér esetén 5 mm, a minta elhelyezése után 21 mm kitérést mérünk. A mér folyadék s r sége 810 [kg/m3]. Tegyük fel, hogy a mér tér "B" és "K" keresztmetszetében a nyomáseloszlás egyenletes (azaz az "B" keresztmetszet minden pontjában "pB" és a "K" keresztmetszet minden pontjában "pK"), számoljunk továbbá mindkét keresztmetszetben az átlagsebességgel. Hanyagoljuk el a nehézségi er tér hatását. Számítsuk ki a közepes fali csúsztató feszültség értékét! Mekkora és milyen irányú er t hat az ejt erny kismintára ("R") és a leveg re ("FF") ? h = 2 [m] B
K d = 1,13 [m]
= 1,23 [kg/m3] B
FF=?
K
R=? m
= 810 [kg/m3]
19.17 ábra Ejt erny -kisminta szélcsatorna vizsgálata
A feladat megoldásában - a jegyzetben használt általános terminológia szerint - a vektor mennyiségeket vastag, a skalár mennyiségeket normál bet kkel jelöljük. A feladatot az impulzus tétellel célszer megoldani. Az impulzus tétel vektor egyenlet, három skalár egyenletb l áll, a gyakorlatban használatos alakjait a 4. fejezetben a (4.15), (4.15/a) és a (4.16) egyenlettel adtuk meg. Az egyenletek felírásához illetve értelmezéséhez szükség van ellen rz felület és koordináta tengely kijelölésére (19.18 ábra). A 19.18 ábrán látható ellen rz felületet (szaggatott vonal) úgy választottuk, hogy az ejt erny kismintát teljes egészében magában foglalja, a szélcsatorna bels felületét (belülr l) érintse és a be- valamint a kilép felületek legyenek a szélcsatorna tengelyére mer legesek, azaz a felületi normálisok legyenek az átlagsebességgel párhuzamosak. A 69
koordináta rendszer választása itt az "x" tengely választását jelenti, ez az egyetlen irány, ami a triviálistól (azonosan nulla) eredményt l különböz eredményt ad.
K
B FpB
IB
IK
FpK
B
x
K
19.18 ábra Koordináta tengely és ellen rz felület választása
Ezen el készületek megtétele után írjuk fel el ször a (4.15) és a (4.16) egyenletet: c ρ cT dA = ρ g dV − p dA + S + FF ; A
V
4.15
A
I = G + FP + S − R ;
4.16
A (4.16) a (4.15) kifejezés tömör (könnyen megjegyezhet ) alakja, csak a jobb oldal harmadik tagjában különbözik, ahol a folyadékra ható er (FF) helyett az idegen testre ható er (R) áll. A tényleges számoláskor azonban célszer bb (4.15) vagy (4.15/a) használata, mivel ezekben az egyenletekben részletezve vannak azok a mennyiségek, amiket meg kell határozni. Számoljuk ki el ször a bal oldalt, ami fizikai szempontból az id egységre es , beés kilép mozgásmennyiség változások ered je. Az integráljel alatt álló ρ c T dA = dm az elemi tömegáramokat adja, ezek skaláris mennyiségek, belép tömegáram esetén - mivel c és dA közti szög nagyobb 90 foknál, a példánkban éppen 1800 - negatívak, a kilép tömegáram , hasonló gondolatmenet alapján, pozitív. Az elemi tömegáramokat a sebességgel kell szorozni - az id egységre es mozgásmennyiség-változás vektor tehát a sebesség egyenesére esik, belépéskor értelme azzal ellentétes, kilépéskor azonos. Ebb l következik az az egyszer szabály, hogy az id egységre es mozgásmennyiség-változás vektor az ellen rz felületb l kifele mutat. A feladatban átlagsebességgel számolunk, a kijelölt integrálás tehát igen egyszer en elvégezhet (a gyakorlatban, igen sok esetben számolunk átlagsebességgel). Tömegáram az ellen rz felület palástján nincs, elegend tehát a be- és kilép felülettel számolni. A 70
belép id egységre es mozgásmennyiség-változás vektor tehát (ezt a vektort a 19.18 ábrán fel is tüntettük):
− ρ c B2 AB IB =
0 0
; illetve csak a megfelel komponenst felírva: I Bx = − ρ c B2 AB .
(
)
ahol: AB = d 2 π 4 = 1,132 π 4 ≅ 1 [m2]; c B = V AB = 64 [m/s];
I Bx = − ρ c B2 AB = − 5038 [N]. A kilép sebesség - mivel a szélcsatorna mér tere hengeres cs , tehát a ki- és belép keresztmetszet azonos ( AB = AK ) - a folytonosság törvénye miatt egyenl a belép sebességgel, azaz c K = c B . Ennek megfelel en a kilép id egységre es mozgásmennyiség-változás vektor tehát:
ρ c K2 AK IK =
0 0
; illetve csak a megfelel komponenst felírva: I Kx = − ρ c K2 AK .
Mivel a s r ség, a sebesség és a keresztmetszet azonos, a végeredmény abszolút értéke az el z értékkel azonos, el jele azonban a fent megadott szabály szerint pozitív lesz: I Kx = ρ c K2 AK = 5038 [N]. Eszerint tehát az id egységre es mozgásmennyiség változás vektorok ered je nulla lesz. A (4.15) egyenlet jobb oldalán, az els helyen az ellen rz felületbe zárt folyadékra ható térfogati er k ered je áll - ezt a számításban elhanyagoljuk. A jobb oldal második helyén a felületi er k ered je található. Ez példánkban a nyomásból származó er kkel azonos. A belép - és a kilép felületen értelmezett, nyomásból származó er t a 19.18 ábrán tüntettük fel. Mivel a folyadékokban a nyomás csak nem-negatív (általában kifejezetten pozitív) lehet, ezek az er k mindig kintr l befele irányulnak. Ezt fejezi ki egyébként a tag el tt szerepl negatív el jel is: ti. a megfelel er ellentétes a felületi normálissal, amely mindig kifele mutat. Mivel feltettük, hogy a nyomás a be- illetve a kilép felület mentén nem változik, ezért ezeknek az er knek a kiszámítása is igen egyszer :
−
p dA = FpB AB
p B AB = 0 ; 0
és hasonlóan:
FpK
− p K AK = 0 ; 0
illetve csak a (nullától különböz ) komponenseket felírva: 71
FpBx = p B AB ;
és
FpKx = − p K AK .
Az ellen rz felület egyszeresen összefügg , zárt felület. A be- és kilép felületeket a mér tér falát belülr l érint , hengerfelület köti össze. Ezen a nyomás egyegy f kör mentén állandó, így az ebb l származó, a hengerpaláston keletkez , a felületre mer leges er nulla. Létezik azonban súrlódás, amit az üres mér tér esetén mért 5 mmes manométer kitérés jelez. Üres mér tér esetén tehát a nyomáskülönbség (a leveg s r sége a mér folyadék s r ségéhez képest kicsi, ezért ezt nem vesszük figyelembe):
p′B − p′K = ρ m g h = 810 ⋅ 9,81 ⋅ 0,005 = 39,7 [N/m2]; Továbbra is az üres mér teret vizsgálva, felírhatjuk a nyomásváltozásból származó er t:
′ + FpKx ′ = ( p ′B − p ′K ) AA ≅ 40 [N]. FpBx A számítás szerint a nyomásból származó ered er pozitív, tehát a pozitív "x" irányba mutat. A vizsgált esetben, (4.16) szerint tehát a mér tér falát belülr l érint hengerfelületen a súrlódásból származó er és a nyomásváltozásból származó er van egyensúlyban: − 40 40 0 = FP′ + S ; azaz: S = − FP′ = − 0 = 0 ; tehát: S x = − 40 [N].
0
0
A súrlódásból származó er tehát a mínusz "x" irányba mutat, azaz (amint azt a fizikai tapasztalatink szerint el is várjuk) az áramló közeget fékezi. Ez az eredmény fontos lesz a második kérdés megválaszolásakor is, de most ennek alapján kiszámíthatjuk a fali csúsztató feszültség átlagos értékét. Annak a hengerpalástnak, amin a csúsztató feszültség ébred a felülete:
AHP = d π h = 1,13 π 2 = 7,1 [m2]. Az átlagos fali csúsztató feszültség pedig:
τ 0 = S x AHP = 40 7,1 = 5,63 [N/ m2]. Ezzel az els rész-kérdést megválaszoltuk. Vizsgáljuk ezután azt az esetet, amikor a mér térben az ejt erny kisminta is bent van. Ebben az esetben a nyomásmér kitérése 21 mm. A számításban megváltozik a nyomásból származó er , a két, "x" irányú er komponens ered je ismét kiszámítható, mivel a nyomáskülönbséget az "U" csöves manométer mutatja (a leveg s r sége a mér folyadék s r ségéhez képest kicsi, ezért ezt most sem vesszük figyelembe):
p B − p K = ρ m g h = 810 ⋅ 9,81 ⋅ 0,021 = 166,9 [N/m2]; ezzel:
FpBx + FpKx = ( p B − p K ) AA ≅ 167 [N]. Az eredmény egy pozitív szám, azt mutatja, hogy a leveg re ható, nyomáskülönbségb l származó ered er a pozitív "x" irányban hat. Az ered er 72
irányát a számolás automatikusan szolgáltatja - ha pozitív számot kapunk, akkor az er a pozitív "x" irányban, ha negatív számot kapunk, akkor a negatív "x" irányban hat! A (4.15) utolsó tagja a leveg re (folyadékra) ható er . Tekintettel arra, hogy a (4.15) bal oldala és a térfogati er ket kifejez tag nulla, az "FF" er t egyszer átrendezéssel kifejezhetjük:
FF = − (FpB + FpK ) − S ;
illetve az "x" komponensekre írható, hogy:
FFx = − (FpBx + FpKx ) − (− 40 ) ≅ − 127 [N].
Ennek alapján felrajzolhatjuk az "FF" er t (19.19 ábra). A leveg re ható er nek csak az "x" komponense különbözik nullától. E komponens el jele negatív, tehát az irányítása az "x" tengelyével ellentétes. Az ilyen típusú feladatok megoldásánál, amikor az er t határozzuk meg, az eredmény egy vektor (noha gyakran csak egy-egy komponensét írjuk fel). A vektor komponensei el jeles számok. A példában az "x" komponens éppen egy, negatív szám. Ezért az er t ennek megfelel en kell felrajzolni. Ezután ellen rizhetjük az eredményt: a leveg re ható er a fizikai érzékünk alapján is helyes. Hangsúlyozni kell azonban, hogy a fizikai megfontolás a számolás ellen rzésére szolgál, nem pedig a kiindulópont! A feladatban kérdés volt még az ejt erny kismintára ható er is. Ezt elvileg (4.16)-ból számolhatjuk, itt azonban, mivel a leveg re (folyadékra) ható er t már kiszámoltuk, felhasználhatjuk azt a tényt, hogy az ejt erny kismintára ható er a leveg re ható er reakcióereje, tehát: R = − FF .
FF
R
x
19.19 ábra A leveg re (FF) és az ejt erny kismintára ható (R) er
Mivel két vektor akkor és csak akkor egyenl , ha a minden komponensük egyenl , ezért ejt erny kismintára ható er nek is csak az "x" komponense lesz nullától különböz , erre pedig rögtön felírható, hogy: 73
Rx = − FFx = 127 [N]. Ez egy olyan vektor tehát, mely az "x" tengelyen fekszik és mivel számértéke pozitív, értelme annak értelmével megegyez . Az ejt erny kismintára ható er t is feltüntettük a 19.19 ábrán. Az ábrára tekintve, a fizikai tapasztalataink alapján ismét ellen rizhetjük az eredményt: a leveg áram az ejt erny kismintát valóban a mutatott értelemben igyekszik elmozdítani. Az er kiszámításánál bemutatott módszer az egyszer bb esetekben körülményesnek t nhet. Nem szabad elfeledkeznünk azonban arról, hogy a számításunkkal az er vektort határozzuk meg, tehát annak nagyságát és irányát is kiszámítjuk - ebbe a gondolatmenetbe az er "felvétele" nem illeszkedik.
74
Irodalomjegyzék: [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22]
Antal, J. (f szerkeszt ): Fizikai kézikönyv m szakiaknak M szaki Könyvkiadó, Budapest, 1980 Anderson, J.D.: Comutational Fluid Dynamics McGRAW-HILL, International Edition, 1995 Bogárdi, J.: Hidromechanika Tankönyvkiadó, Budapest, 1986 (J9-945) Bondarev, E.N. - Dubaszov, V.T. - Rizsov, Ju.A. - Szvirsevszkij, Sz.B.: Aerogidromechanika, Masinosztroenyije, Moszkva, 1993 Bohl, W.: M szaki áramlástan M szaki Könyvkiadó, Budapest, 1983 Czibere, T.: Áramlástan Tankönyvkiadó, Budapest, 1971 Fletcher, C. A. J.: Computational Techniques for Fluid Dynamics Springer Verlag, Berlin-New York, 1988 Fox, R.W. - McDonald, A.T.: Introduction to Fluid Mechanics John Willey & Sons, New York, 1985 Grúber, J.-Blahó, M.: Folyadékok mechanikája Tankönyvkiadó, Budapest, 1971 Grúber, J.-Blahó, M.: Gázdinamika Tankönyvkiadó, Budapest, 1952 Hughes, W.F. - Brighton, J.A.: Fluid Dynamics McGraw-Hill P.C., New York, 1967 Imre, L.: H átvitel összetett rendszerekben Akadémiai Kiadó, Budapest, 1983 Katz, J.- Plotkin, A.: Low-Speed Aerodynamics McGraw-Hill Inc., New York, 1991 Lajos, T.: Az áramlástan alapjai M egyetemi Kiadó, Budapest, 1996 Litvai, E.-Bencze, F.: Folyadékok mechanikája II. Tankönyvkiadó, Budapest, 1975 Litvai, E.-Marschall, J.-Bencze, F.: Áramlástan II. M egyetemi Kiadó, Budapest, 1996 Lojcjanszkíj, L.G.: Folyadékok és gázok mechanikája Akadémiai Kiadó, Budapest, 1956 Nakayama, A.: PC-Aided Numerical Heat Transfer and Convective Flow CRC Press, Tokyo, London, 1996 Németh, E.: Hidromechanika Tankönyvkiadó, Budapest, 1963 Pásztor, E.-Konecsny, F.(szerk.): M szaki h - és áramlástan Tankönyvkiadó, Budapest, 1977 Peyret, R.-Taylor, T.D.: Computational Methods for Fluid Flow Springer Verlag, Berlin-New York, 1988 Reynolds, A.J.: Thermofluid Dynamics Wiley-Interscience, London, 1972 75
[23] Schade, H.- Kunz, E.: Strömungslehre Walter de Gruyter, Berlin, New York, 1980 [24] Sztrahovics, K.I.: Gidro- i gazodinamika Izdatyelsztvo "NAUKA", Moszkva, 1980 [25] Vajna, Z.: Válogatott fejezetek az áramlástechnikából Tankönyvkiadó, Budapest, 1967 [26] Versteeg, H.K.- Malalasekera, W.: An Introduction to Computational Fluid Dynamics, Longman, Harlow 1996
76
