KATA PENGANTAR
Pertama-tama penulis mengucapkan puji dan syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Kuasa atas segala limpahan rahmat Nya, hingga Diktat Matematika Dasar ini dapat diselesaikan. Mudah-mudahan diktat ini dapat membantu mahasiswa STMIK Global Informatika MDP dan AMIK MDP dalam mengikuti mata kuliah Matematika Dasar. Penulis mengucapkan terimakasih dan menyampaikan pengharagaan yang setinggi-tingginya pada Ketua STMIK Global Informatika MDP dan Direktur AMIK MDP yang selalu memberikan dorongan baik pada penulis maupun maupun pada rekan-rekan dosen lainnya untuk menyusun materi kuliah baik dalam bentuk diktat atau buku. Dorongan tersebut telah menambah semangat penulis dalam menyelesaikan tulisan ini. Ucapan terimakasih juga penulis sampaikan pada rekanrekan dosen yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan diktat ini. Mudahanmudahan dengan adanya dorongan dan dukungan yang diberikan pada penulis akan dapat dihasilkan diktat lain dalam waktu singkat. Meskipun telah berhasil diterbitkan, penulis menyadari bahwa diktat ini masih sangat sederhana dan tentu masih banyak kekurangan dan kelemahannya. Oleh karena itu penulis mengharapkan saran dan kritik yang membangun dari pembaca sekalian, sehingga dapat dihasilkan diktat yang lebih baik pada masa yang akan datang. Saran, kritik dan koreksi dapat disampaikan pada alamat,
[email protected] Akhirnya penulis mengucapkan selamat belajar kepada seluruh mahasiswa STMIK Global Informatika MDP dan AMIK MDP. Mudahan-mudahan sukses selalu menyertai saudara-saudara.
Palembang, 5 September 2011 Penulis,
Sudiadi
i
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BAB I. Sistem Bilangan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Sistem Bilangan Ril . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Bilangan Ril . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Garis Bilangan Ril . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Hukum-hukum Bilangan Ril . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Bilangan Kompleks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Sifat-sifat Bilangan Kompleks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Konjugat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Perkalian Bilangan Kompleks dengan Konjugatnya . . . . . . . . . 1.2.4 Pembagian Dua Buah Bilangan Kompleks . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Pertidaksamaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Sifat-sifat Pertidaksamaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Selang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Pertidaksamaan Linier Satu Peubah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4 Nilai Mutlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.5 Pertidaksamaan Linier Dua Peubah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.6 Sistem Pertidaksamaan Linier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.7 Pertidaksamaan Kuadrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Koordinat Kartesius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Pertambahan dan Jarak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Jarak Antara Dua Buah Titik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Titik Tengah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Kemiringan Garis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Dua Garis Sejajar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Dua Garis Tegak Lurus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II
Himpunan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Definisi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Penyajian Himpunan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Kardinalitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Himpunan Kosong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Himpunan Bagian (Subset) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Kesamaan Himpunan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Ekivalensi Himpunan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Himpunan Saling Lepas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9 Himpunan Kuasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10 Operasi Himpunan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10.1 Irisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10.2 Gabungan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10.3 Komplemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10.4 Selisih . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10.5 Beda Setangkup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
i ii 1 1 1 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 5 5 6 8 9 11 13 14 14 16 16 17 17 18 19 21 22 22 22 23 23 23 24 24 24 25 25 25 25 26 26 27
2.10.6 Perkalian Kartesian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10.7 Prinsip Inklusi-Ekslusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10.8 Sifat-sifat operasi himpunan dan prinsip dualitas . . . . . . . . . . 2.11 Himpunan ganda (multiset) dan operasinya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11.1 Operasi Gabungan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11.2 Operasi Irisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11.3 Operasi Selisih . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11.4 Operasi Jumlah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12 Pembuktian pernyataan himpunan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12.1 Pembuktian dengan menggunakan diagram Venn . . . . . . . . . . 2.12.2 Pembuktian dengan menggunakan tabel keanggotaan . . . . . . 2.12.3 Pembuktian dengan menggunakan sifat operasi himpunan . . Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27 27 27 28 28 28 28 29 29 30 30 30 30
III. Fungsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Definisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Jenis-jenis Fungsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Menurut Jumlah Peubah Bebas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1.1 Fungsi Peubah Bebas Tunggal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1.2 Fungsi Peubah Bebas Banyak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Menurut Cara Penyajian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2.1 Fungsi Eksplisit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2.2 Fungsi Implisit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2.3 Fungsi Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Fungsi Aljabar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3.1 Fungsi Rasional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3.2 Fungsi Irrasional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4 Fungsi Komposisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.5 Fungsi Satu ke Satu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.6 Fungsi Invers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.7 Fungsi Transenden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.7.1 Fungsi Eksponen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.7.2 Fungsi Logaritma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.7.3 FungsiTrigonometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soal-soal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soal-soal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.7.4 FungsiTrigonometri Invers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31 31 32 32 32 32 32 32 32 32 33 33 36 41 44 46 49 49 50 50 50 50 51 51 51 51 52 52 54 54 56 59 64 65 66 66 68
iii
3.2.7.5
FungsiHiperbolik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.7.6 FungsiHiperbolik Invers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fungsi Genap dan Ganjil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fungsi Periodik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68 69 70 73 73 74 75
IV
Limit dan kekontinuan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Pendahuluan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Definisi Limit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Limit Fungsi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soal-soal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Limit Fungsi Trigonometri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Limit Fungsi Trigonometri Invers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soal-soal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Limit Tak Hingga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Asimtot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.1 Asimtot Tegak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.2 Asimtot Datar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.3 Asimtot Miring. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soal-soal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8 Kekontinuan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soal-soal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9 Kekontinuan yang dapat dihapus dan yang tak dapat dihapus . . . . . . . Soal-soal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76 76 78 79 83 84 86 86 87 88 89 89 90 91 91 92 92 93
V
Differensiasi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Garis Singgung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Turunan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Notasi Turunan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Differensiabilitas dan kontinuitas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Teorema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1 Turunan bilangan konstan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.2 Turunan fungsi kxn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.3 Aturan penjumlahan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.4 Aturan perkalian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.5 Aturan pembagian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.6 Turunan fungsi komposisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Turunan fungsi-fungsi trigonometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Turunan fungsi-fungsi trigonometri invers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8 Turunan fungsi eksponen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9 Turunan fungsi logaritma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10 Turunan fungsi hiperbolik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.11 Turunan fungsi hiperbolik invers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.12 Turunan tingkat tinggi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94 94 96 97 97 97 97 98 98 99 99 100 101 101 107 107 112 113 115 115 119 119 123 123 124
3.2.8 3.2.9
iv
5.13
Differensial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Turunan fungsi implisit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
124 125 125 126
Penerapan Differensiasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 Persamaan garis singgung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Persamaan garis normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Kelengkungan (Curvature) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Jari-jari kelengkungan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Pusat kelengkungan ( Center of Curvature ) . . . . . . . . . . . . . . Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Nilai ekstrim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1 Nilai Ekstrim Lokal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.2 Nilai Ekstrim Mutlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Kecekungan dan kecembungan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Kecepatan dan Percepatan sesaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.1 Kecepatan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.2 Percepatan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
128 128 129 130 130 130 132 133 133 135 136 138 138 140 140 140 140 141
VII. Integral Tak Tentu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1 Anti Turunan dan Integral Tak Tentu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Rumus-rumus Integral Tak Tentu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Integrasi Dengan Substitusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Integrasi Bagian Demi Bagian (Integration By Parts) . . . . . . . . . . . . . . . . Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Integrasi Fungsi Pecah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6 Integrasi Fungsi Trigonometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.1 Integrasi sin u, cos u, tan u, cot u, sec u dan cosec u . . . . . . . . 7.6.2 Integrasi Fungsi sinmu dan cosmu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.3 Integrasi Fungsi Trigonometri sinmu cosnu . . . . . . . . . . . . . . . . . Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.4 Integrasi Fungsi Trigonometri tanmu secnu . . . . . . . . . . . . . . . . . Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7 Integrasi fungsi trigonometri invers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8 Integrasi dengan Substitusi Trigonometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8.1 Integrasi Fungsi Irrasional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8.2 Integrasi Fungsi 1/(x2 + a2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8.3 Integrasi Fungsi (Ax + B)/(ax2 + bx + c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8.4 Integrasi Fungsi Irrasional Sejenis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8.5 Jika adalah satu-satunya bentuk irrasional pada integran. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8.6
142 142 142 144 145 145 147 147 149 149 149 150 152 153 153 153 154 156 156 159 160 160 161
5.14 VI
v
162 162
Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
163
VIII
Integral Tentu dan Penerapannya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1 Integral Tentu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Sifat-sifat Integral Tentu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Luas Bidang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Volume dan Luas Kulit Benda Putar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
164 164 166 167 167 170 170 173
IX
Matriks dan Determinan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1 Matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Matriks bentuk khusus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.1 Vektor Kolom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.2 Vektor Baris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.3 Matriks Persegi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.4 Matriks Segitiga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.5 Matriks Diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.6 Matriks Skalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.7 Matriks Identitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.8 Matriks Nol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.9 Matriks Transpose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.10 Matriks Simetri dan Skew-Simetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Operasi Aritmatika pada Matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.1 Penjumlahan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.2 Perkalian Skalar dengan Matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.3 Perkalian Matriks dengan Matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.4 Kombinasi linier matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.5 Sifat-sifat Operasi Matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 Matriks yang Diperluas (Augmented matrix) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5 Matriks dalam bentuk Eselon Baris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6 Matriks dalam bentuk Eselon Baris Tereduksi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.7 Operasi Baris Elementer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.8 Determinan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.8.1 Sifat-sifat determinan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.8.2 Kofaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.8.3 Determinan dari matriks n x n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.9 Adjoin Matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.10 Balikan Matriks (Inverse of a Matrix) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.10.1 Metode Adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.10.2 Metode eliminasi Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
174 174 174 174 175 175 175 175 175 175 175 176 176 176 176 176 177 177 178 178 178 179 179 180 180 181 181 182 183 183 183 184
X
Sistem Persamaan Linier soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1 Definisi soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Penyelesaian Sistem Persaman Linier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.1 Penyelesaian dengan Balikan Matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.2 Penyelesaian dengan Eliminasi Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.3 Penyelesaian dengan Eliminasi Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . 10.2.4 Penyelesaian dengan Aturan Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
186 186 186 186 187 188 189 190
vi
BAB I SISTEM BILANGAN
1.1 Sistem bilangan ril 1.1.1 Bilangan ril Sistem bilangan ril adalah himpunan bilangan ril dan operasi aljabar yaitu operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Biasanya bilangan ril dinyatakan dengan lambang R. Operasi pengurangan dapat digantikan dengan operasi penjumlahan. Sedangkan operasi pembagian dapat digantikan dengan operasi perkalian. Jika terdapat bilangan ril a dan b, maka operasi pengurangan a – b dapat ditulis dalam bentuk a+(–b). Sedangkan operasi pembagian a b dapat ditulis dalam bentuk a.b-1.
Bilangan ril (R)
Bilangan rasional (Q)
Bilangan bulat ( J)
Bilangan negatif
Bilangan pecahan
Bilangan desimal berulang
Bilangan irrasional (I)
Bilangan desimal terbatas
Bilangan cacah (W)
Bilangan nol
Bilangan asli (N) Gambar 1.1 Jenis-jenis bilangan
Gambar 1.1 adalah jenis-jenis bilangan ril. Untuk mendapatkan pengertian yang lebih jelas mengenai jenis - jenis bilangan ini, berikut diberikan rincian - rinciannya Himpunan bilangan asli (N) N = { 1, 2, 3, … } Himpunan bilangan cacah (W) W = {0, 1, 2, 3, … } Himpunan bilangan bulat (J) J = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … } 1
Himpunan bilangan rasional (Q) Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang mempunyai bentuk p/q atau bilangan yang dapat ditulis dalam bentuk p/q, dimana p dan q adalah anggota bilangan bulat dan q 0 p Q= p dan q ∈J , q ≠0 q Contoh 1.1 Buktikan bahwa bilangan-bilangan 3, (4,7) dan (2,5858…) adalah bilangan-bilangan rasional ! Bukti : a) Bilangan 3 dapat ditulis dalam bentuk p/q yaitu : 3/1 atau 6/2 dan seterusnya. b) Bilangan 4,7 dapat ditulis dalam bentuk : 47/10 c) Bilangan 2,5858… dapat ditulis dalam bentuk p/q dengan cara : x = 2,5858… 100 x = 258,5858… 100 x – x = 256
256 99 Jadi bilangan-bilangan 3, (4,7) dan (2,5858…) adalah bilangan-bilangan rasional.
99 x = 256 x =
1.1.2
Garis bilangan ril Garis bilangan ril adalah tempat kedudukan titik-titik, dimana setiap titik menunjukkan satu bilangan ril tertentu yang tersusun secara terurut. Untuk menggambarkan garis bilangan ril,perhatikan Gambar 1.2. Pertama -3
- 2
-1
0
1,5
2,5
Gambar 1.2 Garis bilangan ril gambarkan garis horizontal dan tentukan titik nol. Selanjutnya kita tentukan titiktitik tempat kedudukan bilangan ril positif bulat disebelah kanan titik nol dengan ketentuan jarak antara titik 0 dan 1, titik 1 dan 2 atau 0 dan -1, -1 dan -2 dan seterusnya adalah sama. Tempat kedudukan bilangan ril lainnya disesuaikan dengan posisi bilangan-bilangan bulat. 1.1.3
Hukum-hukum bilangan ril Operasi penjumlahan dan perkalian bilangan ril mematuhi hukum-hukum seperti yang disebutkan berikut ini : Jika a dan b adalah bilangan-bilangan ril maka berlaku : (i) a+b adalah bilangan ril ( ii ) a . b adalah bilangan ril ( iii ) a + b = b + a hukum komutatif penjumlahan ( iv) a . b = b .a hukum komutatif perkalian Jika a, b dan c adalah bilangan-bilangan ril maka berlaku : (v) (a+b)+c=a+(b+c) hukum asosiatif penjumlahan ( vi ) ( ab ) c = a ( bc) hukum asosiatif perkalian ( vii ) a ( b + c ) = ab + ac hukum distributif ( viii ) a + 0 = 0 + a = a hukum penjumlahan nol 2
( ix ) (x) ( xi ) ( xii )
a.1=1.a=a a.0=0.a=0 a + ( - a ) = -a + a a . ( 1/a ) = 1 , a 1
hukum perkalian satu hukum perkalian nol hukum invers penjumlahan hukum inves perkalian
Soal-soal Diketahui : -10, 3/2, 7, 0, -12, 2, (2,14), 4/9, 6 , (2,5353…), 10 , (2,970492…) Dari bilangan tersebut diatas, tentukan bilangan-bilangan a) bulat, b) cacah, c) rasional, d) irasional, e) ril positif, f) ril negatif dan g) asli serta gambarkan masing-masing garis bilangannya! 1.2 Bilangan kompleks Bilangan kompleks adalah bilangan yang terdiri dari unsur bilangan ril dan imajiner. Bentuk umum bilangan kompleks adalah z = a + ib. Komponen a disebut bagian ril dan ditulis Re(z) dan b adalah bagian imajiner dan ditulis Im(z). Bilangan a dan b adalah bilangan-bilangan ril sedangkan i adalah bilangan imajiner yang besarnya adalah - 1 . Karena i = - 1 , maka : i2 = 3
- 1 . - 1 = -1 2
i = i . i = - i -1
i 4 = i 2 . i 2 = 1 ; dan seterusnya. Dari keterangan diatas didapat - 2 = ( 2 )( - 1 ) =
2 i ; dan seterusnya.
1.2.1 Sifat-sifat bilangan kompleks Misal z1 = x1 + iy1 dan z2 = x2 + iy2, maka berlaku : a) z1 = z2 x1 = x2 dan y1 = y2 sifat kesamaan b) z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2) sifat penjumlahan c) z1 - z2 = (x1 - x2) + i(y1 - y2) sifat pengurangan d) z1 . z2 = (x1x2 - y1y2) + i(x1y2 + x2y1) sifat perkalian 1.2.2 Konjugat Bila terdapat suatu bilangan kompleks z = x + iy, maka konjugat bilangan kompleks tersebut adalah z = x – iy. Jika bilangan kompleks berbentuk z = x – iy, maka konjugatnya adalah z = x + iy. Bila kita bandingkan kedua bilangan kompleks diatas dengan konjugatnya maka perbedaannya terletak pada komponen imajinernya. Jika komponen imajiner pada suatu bilanga kompleks adalah +iy maka komponen imajiner pada konjugatnya adalah –iy. Jika komponen imajiner pada bilagan kompleks adalah –iy, maka komponen imajiner pada konjugatnya adalah +iy. Sedangkan komponen ril baik pada bilangan kompleks maupun pada konjugatnya adalah sama. Selain ditulis dalam bentuk z , konjugat bilangan kompleks juga sering ditulis dalam bentuk z*. 1.2.3 Perkalian bilangan kompleks dengan konjugatnya Perkalian antara bilangan kompleks dengan konjugatnya dapat dijelaskan sebagai berikut. Jika terdapat suatu bilangan kompleks z = x + iy maka konjugatnya adalah z = x – iy. Jadi perkalian bilangan kompleks dengan konjugatnya adalah : z z = (x + iy)( x – iy) = x 2 - ixy + ixy - i 2 y 2 = x 2 + y 2
3
Dari hasil perkalian diatas kita dapat menyimpulkan bahwa perkalian bilangan kompleks dengan konjugatnya menghasilkan bilangan ril. 1.2.4 Pembagian dua buah bilangan kompleks Untuk melakukan operasi pembagian dua buah bilangan kompleks pertama-tama kita kalikan pembilang dan penyebutnya (dalam hal ini z 1 dan z 2 ) dengan konjugat z 2 . Sehingga didapat : =
=
(x (x
i ) (x i ) (x
i ) x x = i )
=
(x (x
i ) (x i ) (x
i ) x x = i ) x
Contoh 1.2 Diketahui : z1 = -5 + 7i dan z2 = 3 – 2i Tentukan : a) z1+z2 b) z1-z2 c) z1.z2 Penyelesaian : Dari soal didapat bahwa : x = 5
ix
ix x
i
x x
d) z1/z2 =7
x
e)
f)
x =3
=
2
a)
= (x
x )
i(
)=( 5
3)
i(7
( 2)) =
2
5i
b)
= (x
x )
i(
)=( 5
3)
i(7
( 2)) =
8
9i
c)
d)
= (x x
)
= ( 5)(3) x x = x =
i(x
x
)=
2
(7)( 2) i(( 5)( 2) x x i x
( 5)(3) (7)( 2) 3 ( 2)
i
(7)(3) 3
(3)(7)) =
( 5)( 2) = ( 2)
29 13
1
31i
i
11 13
e)
=( 5
7i)(3
2i) =
15
10i
21i
14i =
29
11i
)
=( 5
7i)(3
2i) =
15
10i
21i
14i =
29
11i
Soal-soal 1. Selesaikan soal-soal berikut : a) (3 + 5i) + (4 – 7i) d) (–2 – 4i) – (–5 –8i) 3 2 2 5 b) (1 2i) ( 3 4i) e) ( i) ( i) 4 5 3 c) (
5i
3i)
(
5i)
) (5
4i)(7
3i)
g) (2 – i)(5 + 3i) 3 3 3 h) ( 3i)( i) 4 5 8 (2/3) (3/4)i i) (4/5) (2/7)i
2. Jika z 1 = – 7 – 2i dan z 2 = 4 + 5i Tentukan : a) b)
1.3 Pertidaksamaan Pertidaksamaan adalah salah satu bentuk pernyataan matematika yang mengandung satu peubah atau lebih yang dihubungkan oleh tanda-tanda < , > , atau . Ditinjau dari jumlah 4
dan pangkat peubah maka pertaksamaan dapat dibagi menjadi pertidaksamaan linier dengan satu peubah, pertidaksamaan linier dengan peubah banyak dan pertidaksamaan kuadrat. Jika terdapat suatu himpunan bilangan ril yang unsur-unsurnya dapat menggantikan peubah dari pertidaksamaan maka himpunan bilangan tersebut disebut himpunan pengganti. Jika sebagian dari unsur himpunan pengganti menyebabkan pertidaksamaan menjadi suatu pernyataan yang benar maka himpunan tersebut disebut himpunan jawab. Jika himpunan jawab dimisalkan A dan himpunan pengganti dimisalkan B maka A B. Jika A = B maka pertidaksamaan dinamakan ketidaksamaan. Contoh 1.3 Dari pertidaksamaan 1/x2 >1 impunan pengganti atau adalah {x Himpunan jawab atau A adalah {x
x 1
0} 1,
0 Jadi
}
Contoh 1.4 Dari pertidaksamaan 1/x2 >0 Himpunan pengganti atau B adalah {x xR, x 0 } Himpunan jawab atau A adalah {x xR, x 0 }. Karena A = B, maka 1/x2 >0 disebut ketidaksamaan. 1.3.1 Sifat-sifat pertidaksamaan (i) Jika a > b dan b > c, maka a > c (ii) Jika a > b, maka a + c > b + c (iii) Jika a > b, maka a - c > b – c (iv) Jika a > b dan c adalah bilangan positif, maka ac > bc (v) Jika a > b dan c adalah bilangan negatif, maka ac < bc Dengan mengganti tanda > pada sifat-sifat diatas dengan tanda <, maka akan didapat sifat-sifat yang analog sebagai berikut : (vi) Jika a < b dan b < c, maka a < c (vii) Jika a < b, maka a + c < b + c (viii) Jika a < b, maka a - c < b – c (ix) Jika a < b dan c adalah bilangan positif, maka ac < bc (x) Jika a < b dan c adalah bilangan negatif, maka ac > bc Sifat-sifat pertidaksamaan lainnya : xi) ac > 0 jika a > 0 dan c > 0 atau jika a < 0 dan c < 0 (xii) ac < 0 jika a < 0 dan c > 0 atau jika a > 0 dan c < 0 (xiii) a/c > 0 jika a > 0 dan c > 0 atau jika a < 0 dan c < 0 (xiv) a/c < 0 jika a < 0 dan c > 0 atau jika a > 0 dan c < 0 (xv) Jika a > b, maka –a < -b (xvi) Jika 1/a < 1/b, maka a > b (xvii) Jika a < b < c, maka b > a dan b < c (bentuk komposit) (xviii) Jika a > b > c, maka b < a atau b > c ( bentuk komposit) 1.3.2 Selang ( interval ) Selang adalah himpunan bagian dari bilangan ril yang mempunyai sifat relasi tertentu. Jika batas-batasnya merupakan bilangan ril maka dinamakan selang hingga. Jika bukan bilangan ril maka dinamakan selang tak hingga (). Lambang menyatakan membesar tanpa batas dan lambang - menyatakan mengecil tanpa batas. Contoh dari bermacam-macam selang dapat dilihat pada tabel berikut ini. 5
Notasi
Definisi
Grafik
Keterangan
(a,b)
{x
a < x < b}
a (
b )
Selang terbuka
[a,b]
{x
a ≤x ≤b}
a [
b ]
Selang tertutup
[a,b)
{x
a ≤x < b}
a [
b )
Selang setengah terbuka
(a,b]
{x
a < x ≤b}
a (
b ]
Selang setengah terbuka
(a, )
{x x > a}
a (
Selang terbuka
[a, )
{x x ≥a}
a [
Selang tertutup
(-, b)
{x
x < b}
b )
Selang terbuka
(-, b]
{x
x ≤b}
b ]
Selang tertutup
(-, )
R
Selang terbuka
1.3.3 Pertidaksamaan linier satu peubah Pertidaksamaan linier satu peubah adalah pernyataan matematika yang memuat satu peubah yang mempunyai pangkat satu dan dihubungkan dengan tanda-tanda <, >, atau . Bentuk umum dari pertidaksamaan linier satu peubah adalah :ax + b (?) 0, dimana a dan b adalah konstan, sedangkan (?) adalah salah satu dari tanda-tanda <, >, atau . Contoh 1.5 Selesaikan pertidaksamaan 7x + 9 < -5 Penyelesaian : 7x + 9 < -5 semua ruas dikurang 9 7x + 9 – 9 < -5 – 9 7x < -14 1/7 ( 7x ) < 1/7 ( -14 ) semua ruas dikalikan 1/7 x < -2 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah : { x x < -2 } selang terbuka
) -2
Gambar 1.3
Contoh 1.6 Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 1 + 4x < 2x + 9 Penyelesaian 6
1 + 4x < 2x + 9 1 + 4x – (1 + 2x)< 2x + 9 – (1 + 2x) semua ruas dikurang (1+2x) 2x < 8 1/2 (2x) < 1/2 ( 8 ) semua ruas dikalikan 1/2 x<4 Himpunan penyelesaiannya adalah : { x x < 4 } ) selang terbuka 4 Gambar 1.4 Untuk kesederhanaan, penyelesaian pertidaksamaan linier satu peubah dapat diselesaikan dengan cara mengelompokkan peubah pada salah satu ruas dan mengelompokkan konstan pada ruas lainnya. Ingat, setiap memindahkan suku pada ruas yang berbeda tandanya akan berubah! Contoh 1.7 Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3x -2 8 + 5x Penyelesaian : 3x -2 8 + 5x Pidahkan 5x keruas kiri dan -2 keruas kanan Kelompokkan peubah x pada ruas kiri dan 3x – 5x 8 + 2 kelompokkan konstan pada ruas kanan. -2x 10 (-1/2)(-2x)(10)(-1/2) Jika mengalikan setiap ruas dengan bilangan negatif maka tanda pertidaksamaan harus dibalik (sifat pertaksamaan xv) x -5 impunan pen elesaiann a adalah {x x 5} selang tertutup
] -5 Gambar 1.5
Contoh 1.8 entukan himpunan pen elesaian dari pertidaksamaan 4 Penyelesaian : 4 2x 4 2 5 4 (4)(5) (5)
1
4
2x 5
2
1
kalikan semua ruas dengan 5
2x
(5)(2 1) 5 20 < 4 – 2x <10x – 5 Dapat dipecah menjadi dua bagian, yaitu 4 – 2x > 20 dan 4 – 2x < 10x -5 (perhatikan sifat pertidaksamaan xvii, halamn 5). Setelah dipecah menjadi dua pertidaksamaan, selesaikan satu persatu. 4 – 2x > 20 4 – 2x < 10x -5 2x < 4 – 20 x < – 8 12x > 9 x > 3/4 Jadi himpunan pen elesaiann a adalah {x x 8 ) ( -8 3/4 selang terbuka Gambar 1.6 7
3/4}
Soal-soal Selesaikan pertaksamaan : 3x
1 5x 2
1 2
9
3 5
5x
1 (7x 3) 3 5 2x 2 x 4 3 5
3 x
1
2
5 1 5
3
x 9
5
2x
7
1.3.4 Nilai mutlak Nilai mutlak dari x dinyatakan dengan x dan didefinisikan sebagai : x ika x 0 x = x ika x 0 Teorema-teorema Jika a dan b adalah bilangan ril, maka : (i) x a (ii) x x atau x a (iii) x a a x a (i ) x a x a atau x a ( ) x = a x = a atau x = a ( i) ab = a b Bukti ab = (ab) = 0 Bukti
(a (ix) a (x) a
b
b)
a b
a = b
{a
b = a b (terbukti)
=
b} = a
b Bukti a a
a b
a
a a a = = (terbukti) b b b ( iii) a b a b (ketidaksamaan segitiga) b} 2a b b ={a Bukti : (a b) = a 2ab b a ( ii)
a a = ,b b b
a b =
b = a
b Bukti a = (a
b)
b = a ( b) b
Jika setiap suku dikurangi dengan b , maka a
b
a a
b (terbukti) b
b
(terbukti) b
a
b (terbukti)
Contoh 1.9
Selesaikan pertidaksamaan x 5 4, gambarkan garis bilangan dan selangnya Penyelesaian : x 5 4 4 x 5 4 (lihat teorema iii) Dengan memperhatikan sifat pertidaksamaan xvii halaman 5, maka kita dapatkan dua buah pertidaksamaan, yaitu x – 5 – 4 dan x – 5 4. Selanjutnya kita selesaikan satu persatu pertidaksamaan tersebut. x - 5 -4 x1 x–54 x9 Jadi himpunan penyelesaian pertidaksamaan adalah {x 1 x 9} [ ] 1 9 selang tertutup Gambar 1.7 Contoh 1.10 Selesaikan pertidaksamaan x Penyelesaian
7
3, gambarkan garis bilangan dan selangnya!
8
1
x 7 3 3 7 3 (lihat te rema iii) Dengan memperhatikan sifat pertidaksamaan xvii halaman 5, maka kita dapatkan dua buah pertidaksamaan, yaitu x 7 3 7 3 Selanjutnya kita selesaikan satu persatu pertidaksamaan tersebut. x 7 3 x 4 x 7 3 x 10 Jadi himpunan penyelesaian pertidaksamaan adalah {x x 4 10} ) ( 4 10 Selang terbuka Gambar 1.8 Soal-soal Selesaikan pertidaksamaan :
1 x 2
8
2
2x 7
3 5 4 3x
x
12
5
4x 7
2 5
5 3 4
x
3
1.3.5 Pertidaksamaan linier dua peubah Bentuk umum pertidaksamaan linier dua peubah adalah : ax + by + c (?) 0 ; konstanta-konstanta a, b dan c adalah bilangan-bilangan ril dan a 0 . Tanda (?) adalah salah satu dari tanda <, >, atau . Untuk membantu mahasiswa dalam menggambarkan grafik pertidaksamaan linier dua peubah, berikut diberikan prosedurnya. 1. Ganti tanda pertidaksamaan dengan tanda sama dengan dan selanjutnya gambarkan grafik persamaan linier yang dimaksud. Setelah digambar kita akan melihat bahwa grafik persamaan linier adalah garis yang membagi bidang menjadi dua bagian. 2. Jika pada pertidaksamaan menggunakan tanda atau berarti garis tersebut termasuk pada grafik yang akan digambarkan. Selanjutnya garis tersebut digambarkan secara penuh. Jika pertaksamaan menggunakan tanda < atau > berarti garis tersebut tidak termasuk pada grafik yang akan digambarkan. Selanjutnya garis tersebut digambarkan putus-putus. 3. Pilih salah satu titik koordinat pada masing-masing bidang dan kemudian substitusikan pada pertaksamaan. Jika substitusi tersebut menghasilkan pernyataan yang benar berarti bidang tempat kedudukan titik tersebut adalah bidang yang dimaksud. Sebaliknya jika substitusi menghasilkan pernyataan yang salah maka bidang tempat kedudukan titik tersebut bukan bidang yang dimaksud. Untuk keseragaman bidang yang memenuhi pertaksamaan diarsir. Akan menjadi lebih sederhana jika kita memilih titik koordinat (0,0) asalkan titik koordinat tersebut tidak dilalui oleh garis. Contoh 1.11 Gambarkan grafik pertidaksamaan 3x – 2y 8 Penyelesaian : Langkah 1. Ganti tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan 3x - 2y = 8
9
Langkah 2. Gambarkan grafiknya. y
x
0
Gambar 1.9 3. Memilih titik koordinat. Pilih satu titik koordinat yaitu (0,0) dan substitusikan ke pertidaksamaan. Ternyata substitusi ini menghasilkan pernyataan yang salah. Berarti bidang tempat kedudukan titik koordinat tersebut bukan bidang yang dicari. Sehingga bidang disebelahnya merupakan bidang yang dicari. Selanjutnya bidang tersebut diarsir. y
x
0
Gambar 1.10 Contoh 1.12 Gambarkan grafik pertidaksamaan 5x + 3y < 6 Penyelesaian : Langkah 1. Ganti tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan 5x + 3y = 6 Langkah 2. Gambarkan grafiknya.
y
0
Gambar 1.11 10
x
Langkah 3 Memilih titik koordinat. Pilih satu titik koordinat yaitu (0,0) dan substitusikan ke pertidaksamaan. Ternyata substitusi ini menghasilkan pernyataan yang benar. Berarti bidang tempat kedudukan titik koordinat tersebut merupakan bidang yang dicari. Sehingga bidang disebelahnya bukan bidang yang dicari. Selanjutnya arsir yang dicari tersebut. y
x
0
Gambar 1.12 Soal-soal Gambarkan grafik dari pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut! 1. x + y < 3 2. y + 2x > 4 3. 4x – 5 y 6
4. 5y + 3x 1
1.3.6 Sistem pertidaksamaan linier Dalam penerapannya sering terdapat lebih dari satu pertaksamaan yang harus diselesaikan secara serentak. Pertidaksamaan-pertidaksamaan tersebut dinamakan “sistem pertidaksamaan linier” Dalam pembahasan sistem pertidaksamaan linier kita hanya akan membahas sistem pertidaksamaan linier yang mempunyai tidak lebih dari dua peubah. Langkah-langkah penyelesaian sistem pertidaksamaan linier. 1. Ganti semua tanda pertaksamaan menjadi tanda sama dengan. 2. Gambarkan grafiknya. 3. Periksa salah satu titik koordinat pada bidang. Jika menghasilkan pernyataan yang benar, berarti bidang tersebut adalah bidang yang dicari. Contoh 1.13 Gambarkan grafik sistem pertidaksamaan 2y + 3x < 5 dan x – y 3 Penyelesaian : Langkah 1. 2y + 3x = 5 x – y = –3 Langkah 2. y
0 Gambar 1.13 11
x
Langkah 3. Periksa koordinat (0,0). Setelah dilakukan substitusi harga x=0 dan y=0 kedalam sistem pertaksamaan ternyata menghasilkan pernyataan yang benar. Berarti bidang tempat kedudukan titik tersebut adalah bidang yang dicari. Selanjutnya bidang tersebut diarsir. y
x
0 Gambar 1.14
Contoh 1.14 (penerapan sistem pertidaksamaan linier) Sebuah pabrik kendaraan bermotor akan memproduksi dua jenis kendaraan yaitu jenis diesel dan bensin. Biaya pembuatan jenis kendaraan diesel adalah Rp. 100 juta/ kendaraan, sedangkan untuk jenis kendaraan bensin adalah Rp. 80 juta /kendaraan. Jika pabrik tersebut mempunyai kemampuan produksi 120 kendaraan setiap bulan dan dan untuk pembuatan kedua jenis kendaraan tersebut tidak lebih dari Rp 10 milyar / bulan, tentukan bentuk pertidaksamaan dari persoalan diatas dan gambarkan grafiknya. Penyelesaian:
Biaya Jumlah
Diesel (juta rupiah)
Bensin (juta rupiah)
Nilai batas (juta rupiah)
100
80
10.000
x
y
120
(100 juta)(x) + (80 juta)(y) 10.000 juta atau 100 x + 80 y 10.000 x + y 120 x 0;y 0 y
0
100
Gambar 1.15 12
120
x
Soal-soal Gambarkan grafik dari pertaksamaan linier berikut : 3x 4 x 3 9 x 2 4 1 2 3 x 2 4 x 2 x 3 x 0
4
2x 8 x x 0 dan 0
5. Sebuah industri komputer akan memproduksi sekurang-kurangnya 1000 buah komputer yang terdiri dari dua jenis yaitu jenis PC dan Laptop. Diperkirakan biaya untuk memproduksi sebuah PC adalah Rp 4.000.000,00 sedangkan untuk memproduksi Laptop adalah Rp 6.000.000,00. Jika dana yang tersedia untuk memproduksi kedua jenis komputer tersebut adalah Rp 10 milyar rupiah tentukan sistem pertidaksamaan linier dari persoalan diatas dan gambarkan grafiknya! 1.3.7 Pertidaksamaan kuadrat Bentuk umum dari pertidaksamaan kuadrat adalah : ax 2 + bx + c (?) 0, dimana a, b dan c adalah bilangan-bilangan ril dan a 0 Sedangkan (?) adalah salah satu dari tanda <, >, , atau . Penyelesaian dari pertidaksamaan adalah menentukan hargaharga peubah yang memenuhi pertidaksamaan. Contoh 1.15 Selesaikan pertidaksamaan x 2 - 7x + 12 > 0 Penyelesaian : Lakukan pemaktoran terhadap pertidaksamaan : x 2 - 7x + 12 > 0 (x – 4)(x – 3) > 0 Titik-titik kritis adalah 3 dan 4 Grafik pertidaksamaan : x–4
: -------- -----------------0++++++
x–3
:----------- 0+++++++ +++++++
(x – 4)(x – 3) : + + + + + + 0 - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + ) 3
( 4
Gambar 1.16
x
Dari gambar diatas didapat bahwa daerah yang memenuhi pertidaksamaan adalah x < 3 atau x > 4. Contoh 1.16
entukan himpunan pen elesaian dari pertidaksamaan Penyelesaian : 10 x
2 10
x
2(x
2x 2 x
2)
10 x
2(x 2
2)(x 2) 10 (x 2) x 2
8 2x 8 10 2 x 2
0
2(x
3)(x 3) 0 x 2 Titik-titik kritis adalah -3, 2 dan 3 13
2x x
18 2
10 x
2(x x
0
2(x x
2
2(x
2)
4) 2 9) 2
0
Grafik pertidaksamaan : x–3 :- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -0 + + + x+3 :- - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + ++ + + + + x-2 :- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + 2(x 3)(x 3) x2
:- - - - - - - - - - - - 0 + + + + +(-) - - - - - -0 + + + [ -3
impunan pen elesaiann a adalah {x
3
) 2 Gambar 1.17 x
2
[ 3
3}
Soal-soal Selesaikan pertidaksamaan berikut dan tentukan selangnya ! 1. (x + 2)(x – 3) > 0 2. (x - 4)(x + 5) < 0 4. (x – 7)x 0 5. x2 + 4x – 5 < 0 2 8. x2 + 21 10x 7. 7x – 12 x
3. x(x + 6) 0 6. x2 >5x – 6
1.4 Koordinat Kartesius Dalam kehidupan sehari-hari kita sering membuat hubungan antara satu besaran dan besaran lainnya. Contohnya adalah untuk membeli sejumlah barang kita harus mengeluarkan sejumlah uang, pengukuran temperatur pada suatu tabung berhubungan dengan tekanan didalamnya dan masih banyak contoh lainnya lagi. Contoh-contoh diatas adalah hubungan dua besaran yang akan menghasilkan pasangan terurut bilangan ril. Jika pasangan terurut bilangan tersebut disimbolkan dengan x (untuk bilangan pertama) dan y (untuk bilangan kedua) maka kita dapat menuliskan pasangan bilangan terurut dengan (x,y). Setiap pasangan terurut bilangan ril disebut titik dan dinyatakan dengan R. Sedangkan himpunan pasangan terurut bilangan ril disebut bidang bilangan dan disimbolkan dengan R2. Bidang bilangan dpt. Digambarkan dengan bantuan koordinat Kartesius. Untuk menggambarkan koordinat y sumbu y
0
x
sumbu x Gambar 1.18 Koordinat Kartesius Kartesius pertama-tama kita gambarkan dua buah garis yang saling tegak lurus, seperti pada Gambar 1.18. Garis tegak lurus adalah sumbu y atau ordinat, sedangkan garis horizontal disebut sumbu x atau absis. Titik potong kedua garis tsb. adalah titik asal (origin) dan dilambangkan dengan 0. Sumbu x yang berada disebelah kanan titik asal menunjukkan arah positif sedangkan disebelah kiri adalah arah negatif. Sumbu y yang berada diatas titik asal adalah arah positif sedangkan yang berada dibawahnya adalah arah negatif. Pasangan kedua sumbu x dan y adalah koordinat Kartesius. Jika suatu pasangan terurut bilangan ril (x 0 , y 0 ) menunjukkan titik A (ditulis A (x 0 , y 0 )), maka (x 0 , y 0 ) disebut koordinat titik A.Sebagai contoh bila harga x 0 =3 dan harga y 0 = -4, maka titik A dapat ditentukan seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1.19. 14
y
x
0 A(3,-4) Gambar 1.19 Titik koordinat
Kuadran-kuadran Bila kita perhatikan koornat Kartesius maka akan terlihat empat buah bidang. Bidangbidang tersebut disebut kuadran-kuadran yang terdiri dari kuadran I, II, III dan IV. Pembagian dari kuadran-kuadran tersebut dapat dilihat padda Gambar 1.20 dibawah ini. y kuadran II kuadran I (-,+) (+,+) 0 kuadran III kuadran IV (-,-) (+,-)
x
Gambar 1.20 Kuadran-kuadran pada koordinat Kartesius Soal-soal Tentukan kuadran dari koordinat-koordinat berikut: 1. (2 , 3 ) 2. (4, - 5) 3. (-5, -6) 4. (-1, 6) 5. (-3,7) 6. (-3,1) 1.5 Pertambahan dan jarak Jika sebuah partikel bergerak dari suatu titik P1(x1 , y1) ke titik P2(x2 , y2) maka dikatakan bahwa koordinat partikel tersebut mengalami pertambahan sebesar x dan y. Sebagai contoh, bila suatu partikel bergerak dari titik A( 2,-3 ) ke B(-3 ,1) (lihat Gambar 1.21) maka pertambahannya adalah : y x B(-3,1) x
0 y A(2,-3) Gambar 1.21 Gerak partikel dari titik A ke B x = x 2 - x 1 = -3 – 2 = -5 y = y 2 - y 1 = 1 –(-3) = 4 15
Dari contoh diatas dapat disimpulkan bahwa pertambahan pada suatu koordinat adalah perubahan netto, yaitu : x = x =
x
(1.1)
1.5.1 Jarak antara dua titik Apabila sumbu-sumbu koordinat menggunakan satuan pengukuran yang sama maka jarak antara dua buah titik pada suatu bidang tertentu dapat ditentukan dengan menggunakan kombinasi antara pertambahan-pertambahan koordinat dan teorema Pythagoras, seperti yang ditunjukkan Gambar 1.22 berikut. y h
P2(x2, y2) y
P1(x1, y1) x 0
x
Gambar 1.22 Jarak dua titik x = x 2 - x 1 = -3 – 2 = -5 y = y 2 - y 1 = 1 –(-3) = 4 Dari teorema Pythagoras didapat : Jarak P 1 P 2 = d(P 1 P 2 ) = h =
(Δx )2 + (Δy )2
( 1.2 )
Contoh 1.17 Tentukan jarak dari pasangan koordinat berikut : a) P 1 = (-4,3) dan P 2 = (2,1) b) P 1 = (-2,-2) dan P 2 = (5,1) Penyelesaian : a) Δx = x 2 - x 1 = 2 – (-4) = 6 ; Δy = y 2 - y 1 = 1 –3 = -2 Jarak P 1 P 2 = d(P 1 P 2 )= h = (Δx )2 + (Δy )2 = (6)2 (2)2 40 2 10 b) Δx = x 2 - x 1 = 5 – (-2) = 7 ; Δy = y 2 - y 1 = 1 –(-2) = 3 Jarak P 1 P 2 = d(P 1 P 2 ) = h = (Δx )2 + (Δy )2 = (7)2 +(3)2 = 58
16
1.5.2 Titik tengah Jika terdapat sebuah garis l (Gambar 1.23) yang mempunyai titik pangkal P1(x1 ,y1), titik ujung P2(x2, y2) dan titik tangah M(x,y), maka koordinat titik tengah garis tersebut dapat ditentukan sebagai berikut. y
P2(x2, y2)
l M(x,y)
P1(x1, y1)
x
0 Gambar 1.23 Titik tengah garis
d( , ) = d( , (x
x )
(
x
2xx
x
x
x
(x
(
) =
) = (x
x)
(
)
=
2x x
= 2xx
x )(x
x )
(
2x x
=x x
x
x
x
x )
2
x
x
) (x
2 2x x
=
2x x
2xx
2
2
)(
(x
x)
(
)
2
x 2
2xx
2
2 ) = 2x(x
x )
2 (
)
Dari persamaan diatas didapat : x x x x = 2x x = 2 =2
Jadi k
=
2
rdinat titik tengah garis adalah
(x, ) =
x
x 2
,
2
1 3)
Soal-soal Diketahui koordinat-koordinat : 1. (2,0) dan (4,5) 2. (5,1) dan (1,3) 3. (-3,-2) dan (3,3) 4. (-2,1) dan (3,-2) Tentukan jarak masing-masing koordinat dan titik tengahnya!
1.6 Kemiringan garis Kemiringan didefinisikan sebagai ukuran laju perubahan koordinat dari titik-titik yang terletak pada suatu garis.Misal dua buah titik yaitu P 1 (x 1 ,y 1 ) dan P 2 (x 2 ,y 2 ) terletak pada suatu garis l1 seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1.24 berikut ini. 17
y P 2 (x 2 ,y 2 )
Δy
P 1 (x 1 ,y 1 ) Δx
x
0 Gambar 1.24 Kemiringan garis
Dari persamaan 1.1 didapat x = x2 – x1 dan y = y2 – y1. Dengan mengacu pada definisi, maka kemiringan garis atau koeffisien arah (sering disimbolkan dgn lambang m) adalah : m=
= x x
(1 4)
x
Contoh 1.19 Tentukan kemiringan atau koeffisien arah garis yang melalui titik (0,5) dan (6,1). Penyelesaian : 1 5 4 2 m= = = = = x x x 0 3 1.7 Dua garis sejajar Dua buah garis dikatakan sejajar bila kedua garis tersebut tidak mempunyai titik potong untuk sembarang koordinat (x,y). Misal pada garis l1 terdapat titik-titik P1 (x1,y1) dan P (x2,y2) serta pada garis l2 terdapat titik-titik P1’ (x1’,y1’) dan P2’ (x2’ ,y2’ ) dengan kondisi y1 = y1’ dan y2 = y2’ (lihat Gambar 1.25). Berdasarkan definisi, kita dapat menyimpulkan bahwa jarak antara titik P1 dan P1’ sama dengan jarak P2 dan P2’. Jarak
dan
arena Jarak
= dan
arena
=
= d( , ,
maka d( ,
= d( , ,
)=
)=
maka d( ,
(x )= (x )=
x ) (x
(
)
x ) =x
x ) (x
(
( ) x
)
x ) =x
x
(
)
(
)
(
)
Karena jarak P1 dn P1’ sama dengan jarak P2 dn P2’ maka persamaan (**) sama dengan persamaan (##) atau dapat ditulis sebagai, x
x =x
x atau x
x =x 18
x
y
P2’(x2’, y2’)
P2(x2.y2)
P1’(x1’, y1’)
P1(x1.y1)
x
0 Gambar 1.25 Dua garis sejajar Dari Gambar 1.25 diketahui bahwa : emiringan garis
adalah m =
emiringan garis
adalah m =
arena x maka m =
x =x x
x
x
x
x
x
x
=
dan
=
,
=m
Jadi dapat dibuktikan bahwa dua garis dikatakan sejajar jika mempunyai kemiringan atau koeffisien arah yang sama dan ditulis dalam bentuk : m1 = m2
(1.5)
Contoh 1.20 Buktikan bahwa garis l1 yang melalui titik-titik (0,6) dan (4,-2) sejajar dengan garis l2 yang melalui titik (0,4) dan (1,2). Penyelesaian : 2 emiringan garis adalah m = = = 2 x x 4 0 2 4 emiringan garis adalah m = = = 2 x x 1 0 Karena m 1 = m 2 , maka garis l1 sejajar dengan garis l2. 1.8 Dua garis tegak lurus Hubungan antara kemiringan dua buah garis yang saling tegak lurus dapat ditentukan dengan bantuan Gambar 1.26 berikut ini. 19
y
l1 l2
P 3 (x 3 ,y 3 )
P 1 (x 1 ,y 1 )
P 2 (x 2 ,y 2 )
0
P 4 (x 4 ,y 4 )
x
Gambar 1.26 Dua garis tegak lurus
emiringan garis adalah m = emiringan garis
adalah m =
x
x
x
x
= =
x
x
x
x
{d(P 1 ,P 3 )} 2 = {d(P 1 ,P 4 )} 2 + {d(P 3 ,P 4 )} 2 = (x 4 -x 1 ) 2 +(y 3 –y 4 ) 2 {d(P 2 ,P 3 )} 2 = {d(P 2 ,P 4 )} 2 + {d(P 3 ,P 4 )} 2 = (x 4 -x 2 ) 2 +(y 3 –y 4 ) 2 {d(P1 , P2 )} 2 = {d(P1 , P3)} 2 + {d(P2 , P3)} 2 = {d(P1 , P4)+d(P2 , P4)} 2 Jadi : (x x )
(
)
(
(
) = 2(x
)
2(
x
)(
x arena
= x
m =
)= (x
x
x )
(x
x )
2(x
x
= m dan
x
x )(x x )(x
x
) = {(x
(
(x
x )}
x ) x ) 1
= x x
x )
x
= m , maka
1 atau m m = m
1
(1 )
Contoh 1.21 Buktikan bahwa garis l1 yang melalui titik-titik (2,-1) dan (5,0) tegak lurus terhadap garis l2 yang melalui titik-titik (1,1) dan (2,-2)! 20
Penyelesaian emiringan garis
adalah m =
emiringan garis
adalah m =
x x
x x
= =
0
( 1) 1 = 5 2 3
2 1 3 = = 2 1 1
3
Karena : m 1 .m 2 = -1, maka garis l1 saling tegak lurus dengan garis l2 . Soal-soal : 1. Tentukan kemiringan garis yang melalui titik-titik: a) P1(2,3) dan P2(4,5) b) P1(-2,2) dan P2(1,4)
c) P1(-3,-1) dan P2(3,-4) d) P1(1,2) dan P2(2,-5)
2. Tentukan apakah garis-garis l1 dan l2 berikut ini sejajar, tegak lurus atau tidak keduanya! a) Garis l1 yang melalui titik-titik (1,1) dan (3,3) dan garis l2 yang melalui titik-titik (0,0) dan (2,-2). b) Garis l1 yang melalui titik-titik (1,2) dan (0,0) dan garis l2 yang melalui titik-titik (0,8) dan (2,-4). c) Garis l1 yang melalui titik-titik (0,0) dan (2,4) dan garis l2 yang melalui titik-titik (1,2) dan (-2,4).
21
BAB II HIMPUNAN
2. 1 Definisi Himpunan (set) didefefinisikan sebagai kumpulan objek-objek yang berbeda. Selain itu kita juga sering mendengar definisi lainnya yaitu sebagai kumpulan objek-objek yang berbeda dan mempunyai sifat-sifat tertentu yang sama. Setiap objek yang terdapat dalam himpunan disebut anggota atau unsur atau elemen. Anggota-anggota himpunan ditulis dalam tanda kurung kurawal. Untuk menunjukkan bahwa suatu unsur atau elemen merupakan anggota dari suatu himpunan tertentu biasanya kita menggunakan lambang . Sedangkan lambang untuk menunjukkan bahwa suatu elemen atau unsur bukan merupakan anggota suatu himpunan maka kita gunakan lambang . Himpunan tidak memperhatikan urutan penulisan dan pengulangan anggota. Sebagai contoh urutan A = {1,2,4} adalah sama dengan {2,4,1} atau {1,4,2 }. Sedangkan untuk contoh pengulangan himpunan { 3,5,3,7,8} sama dengan {3,5,7,8 }. 2.2 Penyajian himpunan Ada 3 cara untuk menyajikan himpunan, yaitu dengan cara: a. tabulasi atau enumerasi b. notasi pembentuk himpunan (set builder) c. diagram Venn a. Tabulasi atau enumerasi Metode tabulasi adalah cara menulis atau menyatakan himpunan dengan jalan menuliskan semua anggotanya. Jika A adalah himpunan bilangan-bilangan 1, 2, 3 dan 4 maka himpuan tersebut ditulis dalam bentuk : A = { 1 , 2 , 3 , 4 }. Jika jumlah anggotanya terlampau banyak maka kita dapat menggunakan lambang ellipsis, ‘… ‘. Contoh 2.1 Misal B adalah himpunan bilangan genap positif yang tidak lebih dari 1000, maka kita dapat menuliskannya menjadi B = {0 , 2 , 4 ,…,1000 }. Contoh 2.2 Misal C adalah himpunan yang mempunyai anggota bilangan ganjil positif yang lebih kecil dari 100. Jadi C = { 1, 3, 5, … , 97 , 99 }. b. Notasi pembentuk himpunan Selain cara yang telah disebutkan diatas, kita dapat menuliskan himpunan dengan menggunakan notasi pembentuk himpunan ( set builder). Penulisan himpunan dengan cara ini adalah dengan cara menuliskan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh anggota himpunan. Bentuk bakunya adalah A = { x | sifat-sifat x }. Aturan penulisannya adalah sebagai berikut: a) Lambang yang terdapat disebelah kiri tanda ‘|’ adalah anggota himpunan b) Tanda ‘|’ dibaca sedemikian sehingga. c) Lambang disebelah kanan tanda’|’ adalah sifat keanggotaan. d) Jika ada tanda ‘,’ dalam sifat keanggotaan dibaca dan. Contoh 2.3 A adalah himpunan bilangan ril lebih kecil dari 100 dan lebih besar dari 1. A = { x | x R, 1 < x < 100 } 22
c. Diagram Venn Cara lain untuk menyajikan himpunan adalah dengan menggunakan cara grafis yaitu diagram Venn. Biasanya diagram Venn terdiri dari himpunan atau himpunanhimpunan yang dilambangkan dengan lingkaran dan himpunan semesta dilambangkan dengan persegi panjang. Jika terdapat himpunan A = { 1 , 2 , 3 , 4 } , B = { 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 }, dan himpunan semesta S yang mempunyai anggota bilangan asli yang lebih kecil atau sama dengan 10, maka diagram Venn dari dari ketiga himpunan tersebut adalah :
A
S
B
1 2
3 4
9
5 7
6 8 10
Gambar 2.1 Diagram Venn 2. 3. Kardinalitas Kardinalitas menunjukkan jumlah anggota suatu himpunan. Jika terdapat himpunan A, maka kardinal A ditulis dengan lambang n(A) atau |A|. Contoh 2.4 Jika A = { x | x bilangan prima, x 10} Agar lebih jelas maka ada baiknya kita tulis himpunan tersebut dalam bentuk enumerasi. Jadi A = { 2 , 3 , 5 , 7 } Maka |A| = 4 Contoh 2.5 Jika B = { x | x2 – 6x + 9 = 0} Maka |B| = 1
2.4 Himpunan kosong Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Jadi untuk hiompunan kosong |A| = 0. Himpunan kosong dilambangkan dengan Ø atau { }. Contoh 2.6 K = { x | x bilangan ril, x2 + 1 = 0 } Maka |K| = Ø atau { }. 2. 5. Himpunan bagian (subset) Misal terdapat himpunan A dan B. Jika semua anggota himpunan A merupakan anggota himpunan B, maka dikatakan bahwa A merupakan himpunan bagian B. Himpunan bagian dilambangkan dengan lambang ⊆ atau ⊂. Jika kita ingin menuliskan bahwa himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan B maka A ⊆ B atau A ⊂ B. Akan tetapi kita perlu berhati-hati menggunakan kedua lambang tersebut. Pada A ⊆ B berarti A = B. Sedangkan A ⊂ B dapat dipastika bahwa A ≠ B. Lambang ⊆ disebut juga himpunan bagian tak sebenarnya (improper set), sedangkan lambang ⊂ menunjukkan himpunan bagian sebenarnya (proper set). Gambar berikut adalah diagram Venn A⊆B. 23
S
B A
Gambar 2.2 Diagram Venn untuk Himpunan Bagian
Perlu untuk diketahui bahwa: a) Suatu himpunan merupakan himpunan bagian dari himpunan itu sendiri. Jika terdapat suatu himpunan L, maka berlaku L ⊆ L. b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari suatu himpunan. Jika terdapat himpunan kosong dan himpunan M, maka berlaku Ø ⊆ M. 2.6. Kesamaan himpunan Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika A adalah himpunan bagian B dan B merupakan himpunan bagian A. Dengan menggunakan lambang matematika kita dapat menulisnya dalam bentuk A = B A ⊆ B dan B ⊆ A. Contoh 2.7 Ekivalensi Himpunan L = { x | x bilangan prima, x < 5} dan M = { x | x2 – 5x + 6 = 0 } Agar lebih jelas, tulis kedua himpunan tersebut diatas dalam bentuk enumerasi. L = { 2,3} M = { 2,3} Jadi L = M Contoh 2.8 A={2} B = { x | x2 = 4 } Karena B = { -2 , 2 } Maka A ≠ B. 2.7. Ekivalensi himpunan Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal A = kardinal B. Dalam bentuk lambang matematika dapat ditulis menjadi A ~ B |A| = |B| Contoh 2.9 Jika A = { x | x = P , 1 x 5} dan B = { Ani, Ali, Badu, Hasan, Wati } Karena |A| = |B|, maka A ~ B . 2.8. Himpunan saling lepas Himpunan A dan B dikatakan saling lepas jika keduanya tidak mempunyai anggota yang sama. Dalam bentuk lambang dapat ditulis dengan A//B. Jika digambarkan dengan diagram Venn maka bentuknya seperti gambar berikut.
24
S A
B
Gambar 2.3 Himpunan Saling Lepas Contoh 2.10 A = { x | 1 x 5} dan B = { Ani, Ali, Badu, Hasan, Wati } Karena anggota A tidak ada satupun yang sama dengan anggota B, maka A // B. 2.9. Himpunan kuasa Himpunan kuasa (power set) adalah suatu himpunan A yang anggota-anggotanya merupakan semua himpunan bagian A, termasuk himpunan kosong dan dan himpunan A itu sendiri. Himpunan kuasa dari himpunan A dilambangkan dengan : P(A) atau 2A. Contoh 2.11 Jika M = { 1,2,3 } Maka himpunan kuasa dari M adalah 2M = { Ø, {1} , {2} , {3} , {1,2} , {1,3} , {2,3} , {1,2,3}} 2.10. Operasi himpunan 2.10.1 Irisan Irisan (intersection) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotaanggotanya merupakan anggota himpunan A dan himpunan B. Dalam bentuk notasi A B = { x | x A dan x B}. Diagram Venn operasi irisan adalah seperti gambar berikut. Bidang yang diarsir adalah irisan A dan B atau A B.
S A
B
Gambar 2.4 Irisan himpunan Contoh 2.12 Jika A = { 2 , 3 , 6 , 7 } dan B = { 2 , 7 , 9 , 10 } Maka A B = { 2 , 7 } Contoh 2.13 Jika K = { x ,y | x + y = 4, x,y R } dan L = { x ,y | x y = 2, x,y R } Maka K L = { 3 , 1 } 2.10.2 Gabungan Gabungan (union) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota himpunan A atau B. Dalam bentuk notasi ditulis sebagai : A B = { x | x A atau x B}. Diagram Venn operasi gabungan adalah seperti gambar berikut. Bidang yang diarsir adalah gabungan A dan B atau A B 25
S B A Gambar 2.5 Diagram Venn Himpunan Gabungan Contoh 2.14 Jika A = { 1 , 2 , 3 , 6 , 7 , 9 } dan B = { 2 , 3 , 4 , 7 , 9 , 10 } Maka A B = { 1, 2 , 3 , 4, 6, 7 , 9, 10 }. 2.10.3 Komplemen Komplemen suatu himpunan A terhadap suatu himpunan semesta adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota himpunan semesta tapi bukan anggota himpunan A.. Dalam bentuk notasi ditulis Ā = { x | x S dan x A}. Diagram Venn untuk Ā seperti gambar berikut. Bidang yang diarsir adalah Ā.
S A Ā Gambar 2.6 Diagram Venn Komplemen Himpunan Contoh 2.15 Jika S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } dan A = { 2 , 3 , 4 , 5 } Maka Ā = { 1 , 6 , 7 , 8 , 9 }. 2.10.4 Selisih Jika terdapat himpunan A dan himpunan B, maka A – B adalah himpunan yang anggota-anggotanya hanya merupakan anggota himpunan A saja. Dalam bentuk notasi ditulis sebagai : A – B = { x | x A dan x B}. Diagram Venn dari operasi ini adalah bidang yang diarsir pada gambar berikut.
S A
B
B
Gambar 2.7 Diagram Venn Selisih Dua Buah Himpunan Contoh 2.16 Jika A = { 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } dan B = { 3 , 4 , 5, 10 } Maka A – B = { 6 , 7 , 8 , 9 }. 26
2.10.5 Beda setangkup Beda setangkup (symmetric difference) himpunan A dan himpunan B adalah himpunan yang anggota-anggotanya hanya merupakan anggota himpunan A saja atau himpunan B saja. : A B = (A B) – ( A B) = ( A – B ) ( B – A ) . Diagram Venn dari operasi ini adalah bidang yang diarsir pada gambar berikut.
S A
B
Gambar 2.8 Diagram Venn Himpunan Beda Setangkup Contoh 2.17 Jika A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 } dan B = { 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 } Maka A B = { 1 , 9 , 10 }. 2.10.6 Perkalian Kartesian Jika terdapat himpunan A dan himpunan B maka perkalian Kartesian A x B adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan pasangan terurut (ordered pairs) dengan komponen pertama berasal dari himpunan A dan komponen kedua berasal dari himpunan B. Dalam bentuk notasi dapat ditulis sebagai : A x B = { (a,b) | a A dan b B}. Hal yang perlu diingat : a) Jika A dan B Ø, maka A x B B x A b) Jika A = Ø atau B = Ø maka A x B = B x A = Ø c) |A x B| = |A| . |B| Contoh 2.18 Misal C = { 1 , 2 , 3 } dan D = { a , b } C x D = { (1,a) , (1,b) , ( 2,a) , (2,b) , (3,a) , (3,b)} 2.10.7 Prinsip Inklusi-Eksklusi | AB| = |A| + |B| - |AB| |ABC| = |A| + |B| + |C| - |AB| - |BC| - |AC| + |ABC| |A B| = |A| + |B| - 2|AB| 2.10.8 Sifat-sifat operasi himpunan dan prinsip dualitas Misal F adalah suatu sifat yang melibatkan sejumlah himpunan dan operasinya, maka kita akan mendapatkan dual dari sifat F (ditulis dengan lambang F*) dengan jalan mengganti: a) dengan b) dengan c) Ø dengan S d)S dengan Ø Berikut disajikan beberapa sifat dari operasi himpunan dan dualnya.
27
Hukum
Dual
1. Identitas :AØ=A 2. Null :AØ=Ø 3. Komplemen : A Ā = S 4. Idempoten : A A = A 5. Penyerapan : A ( A B) = A 6. Komutatif : A B = B A 7. Asosiatif : A ( B C ) = (A B) C 8. Distributif : A ( B C) = ( A B) (A C) 9. De Morgan : A B = A B 10. 0/1 :Ø=S
AS=A AS=S AĀ=Ø AA=A A ( A B) = A AB=BA A ( B C ) = (A B) C A ( B C) = ( A B) (A C) AB = A B S =Ø
2.11. Himpunan ganda (multiset) dan operasinya Pada pembahasan terdahulu kita telah membahas himpunan serta operasinya. Akan tetapi anggota-anggotanya tidak ada yang ganda. Pada himpunan ganda, setidaktidaknya terdapat satu anggota yang muncul lebih dari satu kali. Selain itu kita juga mengenal istilah multiplisitas, yaitu jumlah kemunculan anggota dari suatu himpunan ganda. Sebagai contoh, jika Q = { 1 , 1 , 2 , 2 , 2 , 4 , 7 , 8 , 8 , 9 }, maka multiplisitas 2 adalah 3, sedangkan multipilisitas 8 adalah 2 dst. 2.11.1 Operasi Gabungan Misal S dan T adalah multiset. Operasi gabungan antara keduanya akan menghasilkan multiset yang multiplisitas anggota-anggotanya sama dengan multiplisitas maksimum anggota-anggota pada himpunan ganda S dan T. Contoh : Jika S = { Ani, Ani, Karim, Karim, Karim, Ali } T = { Ani, Ani, Ani, Karim, Karim, Ali, Ali, Gani } S T = { Ani, Ani, Ani, Karim, Karim, Karim, Ali, Ali, Gani } 2.11.2 Operasi Irisan Misal S dan T adalah multiset. Operasi irisan antara keduanya akan menghasilkan multiset yang multiplisitas anggota-anggotanya sama dengan multiplisitas minimum anggota-anggota pada himpunan ganda S dan T. Contoh 2.19 Jika S = { Ani, Ani, Karim, Karim, Karim, Ali } T = { Ani, Ani, Ani, Karim, Karim, Ali, Ali, Gani } S T = { Ani, Ani, Karim, Karim, Ali } 2.11.3 Operasi selisih Misal S dan T adalah multiset. Operasi selisih S – T akan menghasilkan multiset yang multiplisitas anggota-anggotanya ditentukan dengan cara: - Jika multiplisitas anggota yang sama antara S dan T lebih besar pada S, maka cari S–T - Jika multiplisitas anggota yang sama antara S dan T lebih besar pada T, maka multiplisitas anggota yang sama tersebut sama dengan 0. Contoh 2.20 Jika S = { Ani, Ani, Karim, Karim, Karim, Ali } T = { Ani, Ani, Ani, Karim, Karim, Ali, Ali, Gani } S – T = { Karim, Karim } 28
2.11.4 Operasi jumlah Misal S dan T adalah multiset. Operasi penjumlahan S + T akan menghasilkan multiset yang multiplisitas anggota-anggotanya merupakan jumlah dari multiplisitas masing-masing anggota yang sama. Contoh 2.21 Jika S = { Ani, Karim, Karim, Karim, Ali } T = { Ani, Ani, Karim, Ali, Ali, Gani } S+T= {Ani, Ani, Ani, Karim, Karim, Karim, Karim, Ali, Ali, Ali, Gani } 2.12. Pembuktian pernyataan himpunan Pernyataan himpunan dapat dibuktikan dengan menggunakan diagram Venn, tabel keanggotaan, sifat operasi himpunan atau definisi. 2.12.1 Pembuktian dengan menggunakan diagram Venn Untuk membuktikan kebenaran dari pernyataan himpunan dengan menggunakan diagram Venn, pertama-tama gambarkan diagram Venn untuk ruas kiri dan ruas kanan kesamaan. Jika ternyata kedua gambar dari diagram Venn tersebut sama maka kesamaan tersebut terbukti benar. Contoh 2.21 Buktikan bahwa : A ( B C) = ( A B) (A C) S
S A
B
A
C
B C
Karena kedua diagram Venn sama hal ini berarti ruas kiri sama dengan ruas kanan. Artinya kesamaan diatas benar. 2.12.2 Pembuktian dengan menggunakan tabel keanggotaan Selain diagram Venn kita juga dapat menggunakan tabel keanggotaan untuk membuktikan kebenaran dari pernyataan himpunan. Contoh 2.22 Buktikan bahwa A ( B C) = ( A B) (A C) Bukti A
B
C
0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1
AB 0 0 1 1 1 1 1 1
AC 0 1 0 1 1 1 1 1
29
BC 0 0 0 1 0 0 0 1
A(BC) 0 0 0 1 1 1 1 1
(AB) ( AC) 0 0 0 1 1 1 1 1
Perhatikan bahwa kolom 7 dan 8 sama, artinya A(BC) = (AB)(AC) (terbukti). 2.12.3 Pembuktian dengan menggunakan sifat operasi himpunan Cara lain untuk membuktikan kebenaran pernyataan himpunan adalah dengan menggunkan sifat operasi himpunan. Contoh 2.23 Buktikan bahwa : (Ā B) (A B) = B Bukti : (Ā B) (A B) gunakan hukum distributif B (Ā A) gunakan hukum komplemen B gunakan hukum identitas B Soal-soal 1. Berapakah jumlah anggota dari himpunan : a) { 1, 2, 3, 3, 1, 2, 4, 5}? b) {1, {1,2}, {1, 2, 3}}? 2. Tulis himpunan kuasa dari {a, b, c, d} dalam bentuk tabulasi! 3. Diketahui : S = {-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {-5, -4, -3, -2, -1} B = {-2, -1, 0, 1, 2} C = { 1, 2, 3, 4, 5} Gambarkan diagram Venn untuk : a) A B d) B – (A C) b) B C e) (A C) c) A B C f) (A B) C
30
BAB III FUNGSI
3.1 Definisi Jika nilai dari suatu besaran, misal y, bergantung pada nilai besaran lainnya, misal x, maka kita dapat mengatakan bahwa y adalah fungsi dari x. Cara lain untuk menyatakan ketergantungan y terhadap x adalah dengan cara simbolik yaitu y = f(x) (dibaca “y adalah fungsi dari x”). Lambang-lambang lain untuk menyatakan fungsi diantaranya adalah : h, F, G, dll. Selanjutnya fungsi dapat D
K
D
K
●
●
(a)
(b)
Gambar 3.1 D
K
● Gambar 3.2
didefinisikan sebagai aturan yang menetapkan bahwa setiap satu anggota himpunan D berpasangan dengan tepat satu anggota himpunan K (lihat Gambar 3.1). Anggota-anggota himpunan D yang mempunyai tepat satu pasangan pada himpunan K disebut daerah definisi atau daerah asal (domain). Sedangkan anggotaanggota pada himpunan K yang merupakan pasangan anggota-anggota himpunan D disebut daerah nilai (range). Sedangkan semua anggota himpunan K baik yang merupakan pasangan dari anggota himpunan D maupun yang bukan disebut kodomain. Jika terdapat suatu hubungan yang tidak memenuhi definisi diatas maka hubungan tersebut bukan suatu fungsi tetapi disebut relasi (lihat Gambar 3.2). Jadi 31
fungsi sama seperti sebuah proses yang menghasilkan tepat satu keluaran untuk setiap masukan tertentu. Sedangkan relasi dapat dimisalkan seperti sebuah proses yang menghasilkan dua keluaran untuk setiap masukan tertentu. 3.2. Jenis-jenis fungsi Secara garis besar fungsi dapat dikelompokkan menjadi dua bagian utama, yaitu fungsi ril dan fungsi kompleks. Pembahasan mengenai fungsi pada materi kuliah ini hanya mencakup fungsi ril saja. 3.2.1 Menurut jumlah peubah bebas 3.2.1.1 Fungsi peubah bebas tunggal Fungsi peubah bebas tunggal adalah fungsi yang hanya mempunyai satu peubah bebas. Contoh 3.1 : a) y = 2x + 3 b) y = x2 c) y = sin x d) x2 + y2 =r2 3.2.1.2 Fungsi peubah bebas banyak Fungsi peubah bebas banyak adalah fungsi yang mempunyai lebih dari satu peubah bebas. Contoh 3.2 : a) w = xy b) u = sin (x+y) c) v = cos xy d) t = xy+ z 3.2.2 Menurut cara penyajiannya 3.2.2.1 Fungsi eksplisit Fungsi eksplisit adalah fungsi dimana peubah bebasnya ditulis atau disajikan pada ruas tersendiri; terpisah dari peubah tak bebasnya. . a) y x b) y x c) y = sin x d) y = (x-1)2 Secara umum fungsi ekplisit ditulis dalam bentuk y = f(x) 3.2.2.2 Fungsi implisit Fungsi implisit adalah fungsi dimana peubah bebas dan tak bebasnya ditulis pada ruas yang sama. Contoh 3.4 : a) x + y = 0 b) x2 + y2 = r2 Secara umum fungsi implisit ditulis dalam bentuk F(x,y) = 0 3.2.2.3 Fungsi parameter Bentuk umum dari fungsi parameter adalah: x = f(t) ; y = g(t) ; t adalah parameter. Contoh 3.5 x y Jika kita tinjau dari operasi yang dilakukan terhadap peubah bebasnya, maka fungsi ril dapat dibagi seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3.3 berikut.
32
Fungsi
Aljabar
Rasional
Transenden
Irrasional
Pecah
Bulat
Logaritma
Eksponen
Hiperbolik Invers
Trigonometri Invers Trigonometri
Hiperbolik
Gambar 3.3
3.2.3 Fungsi aljabar Fungsi aljabar adalah fungsi yang mengandung sejumlah operasi aljabar yaitu operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan operasi pangkar rasional. Fungsi aljabar dapat dibagi menjadi fungsi rasional dan irrasional. Selanjutnya fungsi rasional dapat dibagi menjadi fungsi bulat dan fungsi pecah. 3.2.3.1 Fungsi rasional Fungsi rasional adalah fungsi yang mempunyai bentuk P(x)/Q(x) dengan P(x) dan Q(x) adalah polinomial-polinomial dan Q(x) 0. Selanjutnya jika Q(x) konstan maka fungsi rasional disebut juga fungsi pecah. Sedangkan jika Q(x) = konstan maka fungsi rasional disebut fungsi bulat. A. Fungsi bulat Fungsi bulat adalah suatu fungsi rasional dengan Q(x) = konstan. Sehingga fungsi bulat dapat disebut fungsi polinomial karena bentuknya sama seperti bentuk polinomial. Suatu fungsi yang mempunyai bentuk :
f(x)
a x
a
x
a
x
a x
a
( . )
disebut fungsi polinomial derajad n. Koeffisien-koeffisien an, an-1, an-2,…, , a1, a0 adalah bilangan-bilangan ril, sedangkan masing-masing sukunya disebut monomial. Pangkat n pada fungsi polionomial adalah bilangan bulat tak negatif. Fungsi polinomial dapat dikelompokkan menurut jumlah suku dan menurut derajat nya. Berikut diberikan beberapa contoh fungsi-fungsi polinomial. 33
Berdasarkan
Polinomial
Jumlah suku Trinomial Polinomial Monomial Monomial Binomial Polinomial
x2
–x–6 x3+ 2x2 - x + 5 x5 –5 x+2 x6 –4x3 – 7x + 5
Derajad 2 (fungsi kuadrat) 3 (fungsi kubik) 5 0 (fungsi konstan) 1 (fungsi linier) 6
a. Penjumlahan dan pengurangan fungsi polinomial Untuk melakukan operasi penjumlahan dan pengurangan dari fungsi polinomial langkah-langkah yang harus kita lakukan adalah mengelompokkan suku-suku yang mempunyai faktor/faktorfaktor peubah yang sama. Sebagai contoh suku-suku 3xy dan -2xy adalah dua faktor yang sama sehingga pada kedua suku tersebut dapat dilakukan operasi penjumlahan dan / atau pengurangan. Contoh lain dapat dilihat pada tabel berikut : Jenis suku dan bx3 ax2 dan bx2y a dan b ax3
Keterangan Mempunyai faktor peubah yang sama Mempunyai faktor peubah yang tidak sama Sebetulnya mempunyai faktor peubah yang sama, karena masing-masing suku dapat ditulis dalam bentuk : ax0+ bx0
Contoh 3.6 Tentukan jumlah dan selisih dari fungsi-fungsi, x x xy dan x x x x y Penyelesaian : Penjumlahan (-2x2+5x+7xy)+(-3x3 -4x2 +x-3x2y+3xy-2) = -2x2 +5x+7xy-3x3 -4x2 +x-3x2y+3xy-2 = -3x3 - 6x2 + 6x - 3x2y + 10xy – 2 Pengurangan (-2x 2 +5x+7xy)-(-3x 3 -4x 2 +x-3x 2 y+3xy-2) = -2x2 +5x+7xy+3x3 +4x2 –x+3x2y-3xy+2 = 3x3+2x2+3x2y+4xy+4x+2
xy
b. Perkalian monomial Untuk melakukan operasi perkalian fungsi monomial berikut diberikan beberapa hukum yang berlaku yaitu : Hukum I : am . an = am+n Contoh 3.7 Selesaikan perkalian : 52.53 ; xa .xb ; xy2 .x3y Penyelesaian : 52.53 = 52+3 = 5 5 = 3125 xa.xb = xa+b 2 3 xy .x y = x.x3.y2 .y = x4 .y3 34
( 3.2 )
Hukum II : [am]n= amn
( 3.3 )
Contoh 3.8 Selesaikan : [42]3 dan [x3]4 Penyelesaian : [42 ]3 = 46 =4096 [x3 ]4 = x12 Hukum III : [ambn]k= amk.bnk
( 3.4 )
Contoh 3.9 Selesaikan : [{7}{52}]3 dan [x3y2]2 Penyelesaian : [{7}{52}]3 = 73 5 6 = 5359375 [x3y2]2 = x6 y4 c. Perkalian fungsi polinomial Proses perkalian dua fungsi polinomial dapat dilakukan dengan mengalikan masing-masing monomialnya dengan bantuan hukum distributif. Contoh 3.10 Selesaikan perkalian : 2x(x2 -5x+6) Penyelesaian : 2x(x2 -5x+6) = 2x3 -10x2 +12x Contoh 3.11 Selesaikan perkalian : (3x+2)(x2 -3x+2) Penyelesaian : (3x+2)(x2 –3x+2) = 3x3 – 9x2 +6x+2x2 – 6x+4=3x3 –7x2 +4 d. Perkalian istimewa polinomial Dua buah polinomial disebut binomial-binomial konjugat jika salah satu dari binomial tersebut merupakan penjumlahan, sedangkan yang lainnya merupakan pengurangan dari dua buah monomial. Sebagai contoh (axm+byn) dan (axm–byn) adalah binomial-binomial konjugat. Hasil perkaliannya adalah : (axm+byn)(axm – byn) = (axm)2 – (by)2
(3.5)
Contoh 3.12 Selesaikan perkalian (5x2+6) (5x2-6) Penyelesaian : (5x2+6) (5x2–6) = (5x2)2 –(6)2 = 25x4 –36 e. Pemfaktoran polinomial Memaktorkan polinomial berarti menulis polinomial menjadi bentuk perkalian antara dua polinomial atau lebih. Langkahlangkah yang harus dilakukan adalah sebagai berikut tentukan faktor yang sama dari masing-masing monomial dan selanjutnya 35
keluarkan dari kelompoknya. Sebagai contoh dapat dilihat pada tabel berikut. Langkah I (tentukan faktor yang sama) a x b
Polinomial ax2+ay2 3x3+2x+x 3a2b+5ab-4b2
Langkah II (keluarkan faktor yang sama) a(x2+y2) x(3x2+2x+1) b(3a2+5a-4b)
f. Pembagian polinomial Pembagian dua buah monomial dapat dilakukan dengan mengikuti hukum-hukum berikut ini. x x
u um
x x
x y
u um
x
( . )
x y
( . )
Hukum VI : ( Pangkat nol) a0=1 ; a / 0
u um
( ang a n ga if)
a
(3.8)
a
( . )
Contoh 3.13 d rhana an fungsi
x y
Penyelesaian x y
x y
y x
Soal-soal 1. Selesaikan! a) (x+6y) – (2x2 – 7x+12) b) (x2+2xy+y2) – (3x– x2y+y) 2. Selesaikan! a) ( x )(
x )(
x
c) (x3+6x2+12x+8) + (2x2y+3xy-7) d) (4y2– x2) + (2x2y– 3xy2)
)
)( x y
b) (x3y)(xy3)(x2y2)
)
f ) (–2p5 q4 r3)3
c)
x y
g)
d) (
x y ) (x y )
h) a
36
(
) a
a
3. Selesaikan perkalian polinomial berikut ini! a) x(x–2) d) (x 2 – 5)(x 2 – 3x+2) b) –2xy(x 2 y–3xy 3 ) e) (2s 2 – t 3 +4s 2 t)(s 2 – 2st+t 2 ) c) abc(2a-5b–2c+7) f ) (x 4 +2x 2 )(x 4 –2x 2 ) 2 3 2 3 2 g) (–2m+5n)(2m+5n) d) 5xy z (2x z-3yz +4xy ) 4. Faktorkan fungsi-fungsi berikut! a) 5s – 5t b) 6ab – 12ac + 18ad 5. Selesaikan! a) s s b) (r c) (x y
c) 9xy + 12y – 6xz – 8z d) 8ax – 20a + 10 bx – 25b
d) ( x y
s )(r s
)
)
) (x
)
f)
)
g) (
x y
h)
a b ) ( a b )
( x ) ( x ) ( x )
x y x y
g. Fungsi konstan Pada contoh terdahulu telah dijelaskan bahwa fungsi polinomial yang mempunyai derajad nol disebut fungsi konstan dan dapat ditulis dalam bentuk : y = f(x) = a0 atau y = konstan
( 3.10 )
Grafik fungsi konstan dapat dilihat pada Gambar 3.4 berikut. y y = a0 ; a0 > 0 x
0 y = a0 ; a0 < 0 Gambar 3.4 Grafik fungsi konstan
h. Fungsi linier Fungsi linier adalah fungsi polinomial yang derajad satu. Fungsi linier disebut juga persamaan garis dan ditulis dalam bentuk : y
f(x)
a x
a
a au
y
mx
n
(3.11)
Persamaan 3.11 adalah persamaan garis yang memotong sumbu x pada saat y = 0 dan memotong sumbu y pada saat x = 0. Perhatikan persamaan 3.11. Jika x = 0 maka y = n dan jika y = 0 maka x = - n/m. Jadi dapat disimpulkan bahwa persamaan 3.11 menunjukkan sebuah garis yang melalui titik-titik (0,n) dan (-n/m,0). Biasanya persamaan 3. dis bu p rsamaan “ rpo onganKemiringan sebuah Garis (Slope- n rc p Equa ion of a Lin )”. Grafik persamaan 3.11 ditunjukkan pada Gambar 3.5 dibawah ini. 37
y
(0,n) (-n/m,0)
x
0
Gambar 3.5 Grafik fungsi linier Jika persamaan garis pada persamaan 3.11 melalui titik (x1,y1) maka : y1 = mx1 + n n = y1 – mx1
( 3.12 )
Dengan mensubstitusi harga n pada pers. 3.12 ke pers. 3.11 didapat : y – y1 = m(x – x1) atau y = m(x – x1) + y1
( 3.13 )
Biasanya persamaan 3. dis bu p rsamaan “K miringan-Titik sebuah Garis (Point- lop Equa ion of a Lin )”. Grafi p rsamaan 3.13 ditunjukkan pada Gambar 3.6. y (x,y) (x1,y1) x
0 Gambar 3.6 Grafik persaman 3.13 Jika persamaan garis 3.11 melalui titik (x2,y2), maka : y – y2 = m(x – x2) atau y = m(x – x2) + y2
(3.14)
Jika persmaan 3.15 dikurang persamaan 3.13 maka didapat,
y
y
m(x
x ) a au m
38
y x
y x
y x
y x
( .
)
Dengan memasukkan harga m pada pers. 3.15 ke pers. 3.13 didapat : y
y
y x
y (x x
x ) a au y
y x
y (x x
x )
y
( .
Persamaan 3.16 adalah persamaan garis yang melalui titik (x1,y1) dan (x2,y2) dan dis bu p rsamaan “Dua i i dari sua u garis ( wo poin qua ion of a lin )” s p r i yang di unju an pada Gambar 3.7. y (x2,y2) (x1,y1) 0
x
Gambar 3.7 Grafik persaman 3.16 Kesimpulan : Dari uraian diatas padat disimpulkan bahwa : 1. Jika kemiringan dan titik potong suatu garis dengan sumbu x atau sumbu y diketahui maka gunakan adalah persamaan 3.11. 2. Jika kemiringan suatu garis diketahui dan garis tersebut melalui titik tertentu, misal (x1,y1), maka gunakan persamaan 3.13. 3. Jika suatu garis melalui titik-titik (x1,y1) dan (x2,y2) maka gunakan persaman 3.16. Cara menggambar garis Bentuk umum persamaan garis : y = mx + n Buat tabel sebagai berikut : Jika n 0 x y 0 n -n/m 0 Jika n = 0 x y 0 0 a m.a a adalah sembarang bilangan ril Contoh 3.14 Sebuah garis mempunyai kemiringan (koeffisien arah) -1/3 dan memotong sumbu x pada x = 1. Tentukan persamaan garis tersebut! Penyelesaian : (gunakan persamaan 3.11) Persamaan garis y = mx + n Karena m = -1/3, maka persamaan garis menjadi : y = -1/3 x + n
39
)
Titik potong dengan sumbu x pada x = 1, maka y = 0. Dengan mensubstitusikan harga x dan y ke persamaan 2.11 maka didapat : n=1/3. Dengan demikian persamaan garis menjadi: y = -1/3 x+1/3 Cara menggambarkan garis lihat petunjuk. x 0 1
y 1/3 0
Jadi titik-titik koordinat garis tersebut adalah (0,1/3) dan (1,0). y (0,1/3) (1,0)
0
x
Gambar 3.8 Contoh 3.15 Sebuah garis mempunyai kemiringan (koeffisien arah) 2 dan memotong sumbu y pada y = 3/2. Tentukan persamaan garis tersebut ! Penyelesaian : (gunakan persamaan 3.11) Persamaan garis y = mx + n Karena m = 2, maka persamaan garis menjadi : y = 2x + n Titik potong dengan sumbu y pada y = 3/2, maka x = 0. Dengan mensubstitusikan harga x dan y ke persamaan 3.11, didapat n=1. Dengan demikian persamaan garis menjadi: y = 2x+3/2 Cara menggambarkan garis lihat petunjuk. x y 0 3/2 -3/4 0 Jadi titik-titik koordinat garis tersebut adalah (0,3/2) dan (-3/4,0). y (0,3/2) (-3/4,0) 0
x
Gambar 3.9 Contoh 3.16 Sebuah garis mempunyai kemiringan (koeffisien arah) -1 dan melalui titik (-2,3). Tentukan persamaan garis tersebut! Penyelesaian (gunakan persamaan 3.13) : y = m(x - x1) + y1 m = -1 ; x1 = -2 ; y1 = 3 Persamaan garis yang dimaksud adalah :y = -1(x+2)+3= -x + 1 40
y (0,1)
(1,0)
0
x
Gambar 3.10
Contoh 3.17 Sebuah garis melalui (-3,4) dan (5,2).Tentukan persamaan garis tsb.! Penyelesaian (gunakan persamaan 3.16): y y
y x
y (x x
x )
y
x
(x
(x
)
(x
)
)
y (0,13/4) (13,0) 0
x
Gambar 3.11
Soal-soal 1. Tentukan persamaan garis dan gambarkan grafiknya dari data berikut ! a) Kemiringan (koeffisien arah) = . Memotong sumbu x pada x = -1 b) Kemiringan (koeffisien arah) = -3/4. Memotong sumbu x pada x = 3 c) Kemiringan (koeffisien arah) = 1/4. Memotong sumbu y pada y = 1 d) Kemiringan (koeffisien arah) = 1. Memotong sumbu y pada y = -2 2. Tentukan persamaan garis dan gambarkan grafiknya dari data berikut ! a) Kemiringan (koeffisien arah) = 2. Melalui titik (-2,-1) b) Kemiringan (koeffisien arah) = 2/3. Melalui titik (3,0) c) Kemiringan (koeffisien arah) = -4. Melalui titik (-1/2,3) d) Kemiringan (koeffisien arah) = -1. Melalui titik (0,3/2) 3. Tentukan persamaan garis yang melalui titik-titik berikut dan gambarkan grafiknya! a) (0,1) dan (2,5) c) (-1,-2) dan -2,2) b) (0,-1) dan (3,8) d) ( 2,-1) dan (2,6)
41
i. Fungsi kuadrat - Penyelesaian fungsi kuadrat dengan pemfaktoran Fungsi kuadrat adalah fungsi polinomial yang mempunyai derajad dua dan mempunyai bentuk umum : y= f(x) = a2x2 + a1x + a0 atau y= f(x) = ax2 + bx + c
(3.17)
dengan a, b dan c adalah bilangan-bilangan ril. Sedangkan x adalah peubah bebas dan y peubah tak bebas. Grafik persamaan kuadrat pada persamaan 3.17 memotong sumbu x jika y =0. Sehingga persamaan 3.17 menjadi : ax2 + bx + c = 0. Untuk menentukan titik potong persamaan kuadrat terhadap sumbu x pertama-tama kita harus menentukan akar-akarnya. Pemfaktoran adalah salah satu cara untuk menentukan akar-akar tersebut. Untuk memfaktorkan sebuah persamaan kuadrat pertamatama kita tulis dalam bentuk : c b ax2 + bx + c= a(x2+ x+ ) = a(x2+Bx+C), dengan B = b/a dan C= a a c b c/a. Memfaktorkan x2+ x+ berarti menuliskannya dalam bentuk : a a (x + m)(x+n), dimana mn = C dan m + n = B
( 3.18 )
Akar-akar dari persamaan 3.18 adalah : x1= -m dan x2 = -n Contoh 3.18 Faktorkan persamaan kuadrat : x2 + x – 6 = 0 Penyelesaian : B = 1 dan C = –6 mn = -6 dan m + n = 1. Didapat m = -2 dan n = 3 Jadi : x2 + x – 6 = (x – 2)(x + 3). Sehingga akar-akarmya adalah : x1 = 2 dan x2 = -3 Contoh 3.19 Faktorkan persamaan kuadrat : x2 –4x – 12 = 0 Penyelesaian : B = –4 dan C = –12 mn = –12 dan m + n = –4. Didapat m = –6 dan n = 2 Jadi : x2 + x – 6 = (x – 6)(x + 2). Sehingga akar-akarmya adalah : x1 = 6 dan x2 = –2 -
Penyelesaian fungsi kuadrat dengan menggunakan rumus kuadrat. Dari penjelasan sebelumnya telah diketahui bahwa pers. kuadrat yang memotong sumbu x mempunyai bentuk umum ax2+bx+c = 0 dengan x bilangan ril, atau dapat ditulis dalam bentuk : a(x
x) a ) b
a(x x
b a
c b a b a
a(x
x
b a
42
c
a ) b
c (x c a
) b a ac a
c a a
b
ac
b a
x
ac
b a
ac
a
b
x
b
b
ac
b a
x
b
a au
b a
ac
( .
)
Persamaan 3.19 adalah persamaan kuadrat. Persamaan tersebut digunakan untuk menentukan akar-akar dari persamaan kuadrat. Besaran b2 – 4ac disebut diskriminan atau disingkat D. Contoh 3.20 Tentukan akar-akar dari persamaan x2 + 4x - 21 = 0 dengan meng- gunakan persamaan kuadrat! Penyelesaian : Dari persamaan diketahui bahwa : a = 1 ; b = 4 ; c = -21 x x
b
b a
ac
( )( ( )
)
b
b a
ac
( )( ( )
)
- Grafik fungsi kuadrat. Fungsi kuadrat adalah fungsi polinomial yang mempunyai derajad dua dan bentuknya adalah : y = ax2 + bx + c, dimana a, b dan c adalah bilanganbilangan ril, a 0, x adalah peubah bebas dan y peubah tak bebas. Grafik persamaan kuadrat dapat membuka keatas atau kebawah tergantung dari nilai a. Jika nilai a > 0 maka grafik akan membuka keatas. Jika a < 0 maka grafik akan membuka kebawah. Pada grafik persamaan kuadrat kita mengenal beberapa istilah penting yaitu : i) Verteks Verteks adalah titik ekstrim ( maksimum ataupun minimum ) dari suatu parabola. Jika nilai a para persamaan kuadrat lebih kecil dari nol (negatif) maka verteks merupakan titik maksimum. Jika a lebih besar dari nol (positif) maka verteks merupakan titik minimum. Titik koordinat verteks adalah V(h,k), dimana : b a
h
dan
c
b a
( .
)
ii) Sumbu simetri Sumbu simetri adalah garis yang membagi parabola menjadi dua bagian yang sama. Sumbu simetri adalah, x
h
b a
( .
)
iii) Titik potong dengan sumbu x Untuk menentukan apakah sebuah parabola memotong sumbu x atau tidak, kita perlu memeriksa harga diskriminan. Jika diskriminan (D) = 0
43
maka parabola tidak memotong sumbu x tetapi verteksnya hanya menyinggung sumbu x. Jika D < 0 parabola tidak memotong dan tidak menyinggung sumbu x. Jika D > 0 maka parabola memotong sumbu x pada x1 dan x2. iv) Titik potong dengan sumbu y Titik potong dengan sumbu y pada y = c Contoh 3.21 Diketahui fungsi kuadrat f(x) = –x2 + 5x -6 Tentukan : verteks, sumbu simetri, titik potong dengan sumbu x dan y Penyelesaian : Dari soal siketahui : a = –1, b = 5 dan c = –6 b a
h r
s
c (h, )
b a
(
( , ). umbu sim ri x
) h
Titik potong dengan sumbu x y = 0 –x2 + 5x –6 = –(x–3)(x–2) = 0 x1 = 3 dan x2 = 2 Jadi parabola memotong sumbu x pada x =2 dan x = 3 Titik potong dengan sumbu y x = 0. Didapat :y = –6 Jadi parabola memotong sumbu y pada y = –6. Parabola membuka kebawah karena a < 0 y x = 5/2
1/4 0
-6
2
3
x
sumbu simetri
Gambar 3.12 Soal-soal Tentukan verteks, sumbu simetri, titik potong dengan sumbu x dan y dari fungsi kuadrat berikut ini! 2 1. y = -5x2 3. y = x2 – 2x 5. y = x2 – 3x -4 3 1 4 2. y= (x + 2 )2 5. y =2x2 + 4x + 5 7. y = x2 – 7 2 5 44
j. Fungsi pangkat tinggi Fungsi pangkat tinggi yang dimaksud pada pasal ini adalah polinomial derajad tiga atau lebih. Untuk menentukan akar-akar dan menggambarkan grafik dari fungsi pangkat tinggi biasanya kita perlu untuk memaktorkan fungsi pangkat tinggi tersebut. - Pemfaktoran fungsi pangkat tinggi Misal f(x) sembarang polinomial. Selanjutnya x – c dikatakan salah satu faktor dari f(x) f(c) = 0. Berarti c merupakan salah satu akar dari polinomial. Berikut adalah contoh pemfaktoran fungsi pangkat tinggi. Contoh 3.22 Tentukan faktor-faktor dan akar-akar dari fungsi pangkat tinggi : f(x) = x3 - 3x2 - 10x + 24 Penyelesaian : Pertama-tama tentukan salah satu akarnya secara trial & error. Jika kita ambil x = 1, maka f(1) = 13 - 32 - 10 + 24 =12. Karena f(1) 0, maka x = 1 bukan akar dari f(x). Jika kita ambil x = 2, maka f(2) = 23 – 3(2)2 – 10(2) + 24 =0. Karena f(2) = 0, maka x = 2 adalah salah satu akar dari f(x). Sehingga (x – 2) adalah salah satu faktor dari f(x). Untuk mencari faktor lainnya kita bagi f(x) dengan faktor yang sudah didapat, yaitu (x3 – 3x2 – 10x + 24) dibagi dengan (x – 2).
x–2
x2 – x – 12 x3 – 3x2 – 10x + 24 x3 – 2x2 –x2 – 10x + 24 – x2 + 2x – 12x + 24 – 12x + 24 0
Hasil bagi x3–3x2–10x+24 dengan x–2 adalah x2–x–12. Berarti, x2–x–12 adalah faktor lain dari x3–3x2–10x+24. Selanjutnya x3–3x2–10x+24 dapat ditulis dalam bentuk (x–2)(x2–x–12). Akan tetapi faktor x2–x–12 masih mungkin untuk diuraikan lagi karena mempunyai derajad dua. Persamaan dari x2–x–12 dapat ditulis dalam bentuk faktor, yaitu (x–4)(x+3). Sehingga secara keseluruhan persaman x3–3x2–10x+24 dapat ditulis dalam bentuk (x–2)(x–4)(x+3). Jadi faktor-faktor dari x3–3x2–10x+24 adalah (x–2), (x–4) dan (x+3), sedangkan akar-akarnya adalah x=4, 2 dan –3. - Grafik fungsi pangkat tinggi Menggambar grafik fungsi pangkat tinggi dapat dibantu dengan bantuan tanda dari faktor-faktornya (positif atau negatif) seperti yang ditunjukkan pada contoh berikut. Contoh 3.23 Gambarkan grafik fungsi f(x) = x3 – x Penyelesaian : Faktorkan f(x) x3 – x = x(x – 1)(x + 1).
45
x
: - - - - - - - - - - - - - - - - - -0+ + + + ++ + + +
x–1
: - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - 0 + + +
x+1
: - - - - - - - 0 + + + + + + + + ++ + + + +
x3 – x
: - - - - - - - 0 ++++++ 0 - - - - - - - - - 0 + + + -1
0
1
Grafik dari fungsi f(x) = x3 – x adalah : y
-1
0
1
x
Gambar 3.13
Soal-soal Gambarkan grafik dari fungsi pangkat tinggi berikut! 1. y = x3 + 1 3. y = 1/4 + 2x3 5. y = x3 + 4x2 + x – 6 4 3 2 2. y= 1 – x 4. y = x – 2x – 9 B. Fungsi pecah a. Daerah definisi (domain) Fungsi pecah adalah fungsi yang mempunyai bentuk P(x)/Q(x); P(x) dan Q(x) adalah fungsi-fungsi polinomial dan Q(x) 0. Dalam bentuk formulasi fungsi pecah dapat ditulis menjadi : (x) , (x)
f(x)
(x)
( .
)
Untuk menentukan daerah definisi dari fungsi pecah, pertama-tama kita faktorkan penyebutnya. Dari faktor-faktor tersebut kita dapatkan akar-akarnya. Daerah definisi fungsi pecah adalah pada semua bilangan ril kecuali pada akar-akar penyebut dari fungsi pecah. Contoh 3.24 Tentukan daerah-daerah definisi dari fungsi-fungsi berikut! a)
x x
x
b)
x x
x
x
Penyelesaian : a) Perhatikan Q(x) : x2 – x – 2 = (x – 2)(x + 1) 46
x
impunan da rah d inisi fungsi
x x x s mua bilangan ril, x dan x
x
b) Perhatikan Q(x) : 4x3 +4x2 + x = 4x(x + 1/2)2 x impunan da rah d inisi fungsi adalah x x x x x s mua bilangan ril, x dan x b. Grafik fungsi pecah Untuk menggambarkan grafik fungsi pecah, kita perlu melakukan langkah-langkah sebagai berikut : i) Faktorkan fungsi pembilang P(x) dan penyebut Q(x). ii) Tentukan daerah definisi (domain) dari f(x) dengan cara menentukan Q(x) = 0. Harga x yang didapat bukan domain f(x). iii) Periksa apakah terdapat faktor (x + a) yang merupakan faktor dari P(x) dan Q(x). Jika ada maka titik x = -a merupakan titik tak kontinu dari f(x). iv) Tentukan titik potong f(x) dengan kedua sumbu, jika ada. Untuk mencari titik potong f(x) dengan sumbu x tetapkan P(x) = 0. Selanjutnya harga x yang didapat merupakan titik potong f(x) dengan sumbu x. Untuk mencari titik potong dengan sumbu y tetapkan x = 0. Harga f(x) yang didapat merupakan titik potong f(x) dengan sumbu y. Akar atau akar-akar yang berasal dari faktor yang bersekutu antara pembilang dan penyebut tidak digunakan untuk mencari titik potong. v) Coret faktor/faktor-faktor yang bersekutu antara pembilang dan penyebut. vi) Tentukan asimtot tegak, jika ada. Garis x = c merupakan asimtot tegak jika x – c merupakan faktor dari Q(x) setelah langkah v. vii) Misal fungsi pecah berbentuk :
f(x)
a x b x
a b
x x
a x a b x b
- Jika n < m maka garis y = 0 adalah asimtot datar. - Jika n = m maka garis y = an/bm adalah asimtot datar. - Jika n > m maka fungsi tidak mempunyai asimtot datar. viii) Tentukan tanda-tanda dari f(x) pada selang-selang antara asimtot tegak (positif atau negatif). Contoh 3.25 Gambar an gra i y
x x
f(x)
Penyelesaian :
i)
x x
x x
(x (x
)( x )( x
47
) )
x x
ii) Q(x) = (x-1)(2x+1) = 0 x = 1 dan x = -1/2. Jadi daerah definisi (domain) dari f(x) adalah semua bilangan ril kecuali 1 dan -1/2. iii) Karena (x - 1) adalah faktor persekutuan dari P(x) dan Q(x), maka f(x) tak kontinu pada titik x = 1. iv) Titik potong dengan sumbu x. P(x) = 3x2 – x – 2 = 0 (x-1)(3x+2) x = -2/3. Jadi titik potong dengan sumbu x terjadi pada x= –2/3. Sedangkan x=1 bukan titik potong pada sumbu x, karena (x–1) merupakan faktor persektuan P(x) dan Q(x). Titik potong dengan sumbu y. x = 0 y = 2. Jadi titik potong dengan sb.y terjadi pada y = 2. )
x x
x x
(x (x
)( x )( x
) )
x x
vi) Karena (2x+1) adalah faktor dari Q(x), setelah dilakukan langkah v), maka x= –1/2 adalah asimtot tegak. vii) Karena n = m, maka y = 3/2 adalah asimtot datar viii) x – 1 : - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0+++++ 3x + 2 : - - - - - 0 +++++++++++++++++++++ 2x + 1 : - - - - - - - - - - - - 0++++++++ ++++++ 3x x 2 :+++++0 - - - - - - ++++++++?++++++ 2x 2 x 1 2
-2/3
-1/2
1
y
0
Gambar 3.14 48
1
x
Soal-soal Gambarkan grafik fungsi pecah berikut! . f(x)
. f(x)
x
. f(x)
. f(x)
x
. f(x)
. f(x)
x
. f(x)
. f(x)
x
)
x x (x
) x
. f(x)
x
. f(x)
(x
x x
3.2.3.2 Fungsi irasional Fungsi irasional adalah fungsi yang mempunyai bentuk : f(x)
g(x)
( .
)
dengan g(x) adalah fungsi rasional. Daerah definisi fungsi irasional (Df) dapat dijelaskan sebagai berikut : D x g(x)
D
bila n bilangan ganjil bila n bilangan g nap
(3.24)
Dimana Dg adalah daerah definsi dari g. Contoh 3.26 n u an da rah d inisi dan da rah nilai dari y
x
x
Penyelesaian
Kar na n bilangan g nap (dalam hal ini ), ma a x x x x( x) x
x
: - - - - - - - - - 0++++++++++++++
9 - x :+++++++++++++++0 - - - - - 9x-x2 : - - - - - - - - - 0+++++++0 - - - - - [ 0
] 9
adi da rah d inisi a au domain dari Da rah nilai dari
x
x
x adalah
x dicari d ngan cara
y x x y x x x x y Dari persamaan diatas kita dapatkan : a = 1, b = –9, c = y2 Selanjutnya kita cari diskriminan, yaitu :D = b2 –4ac Selanjutnya kita cari harga diskriminan, yaitu :D = b2 –4ac 49
x
Karena domain dari f(x) adalah ril, maka diskriminan juga harus ril. Artinya D 0. Secara otomatis b2 –4ac 0. Jika kita masukkan nilai a, b dan c maka didapat : (-9)2 -4(1)(y2) 0. 4y2 81 -9/2 y 9/2 Akhirnya didapat dua pertaksamaan, y -9/2 dan y 9/2. Akan tetapi karena y harus lebih besar atau sama dengan nol, maka pertaksamaan y -9/2 diabaikan. Sehingga pertaksamaan yang digunakan adalah y 9/2 dan y 0. Jadi daerah nilai untuk f(x) x x adalah y Soal-soal Tentukan daerah definisi dan daerah nilai dari: .y
x
.y
x
.y
x
.y
x(x
)
3.2.4 Fungsi komposisi Fungsi komposisi adalah fungsi yang merupakan kombinasi dari beberapa fungsi. Misal terdapat dua buah fungsi, yaitu f dan g. Jika daerah nilai fungsi g merupakan daerah definisi dari fungsi f, maka kombinasi f dan g kita tulis dengan f o g (baca f circle g) dan didefinisikan sebagai, (f o g)(x) = f(g(x))
(3.25)
Sebaliknya jika daerah nilai fungsi f merupakan daerah definisi dari g maka kombinasinya kita tulis dengan gof (baca g circle f) dan didefinisikan sebagai, (g o f)(x) = g(f(x))
(3.26)
Contoh 3.27 Jika diketahui : f(x) = x2 + 2x + 1 dan g(x) = x + 3 Tentukan a) (fog)(x) dan b) (gof)(x) Penyelesaian : a) (fog)(x) = f(g(x)) = f (x+3) = (x+3)2+2(x+3)+1 = x2 + 8x + 16 b) (gof)(x) = g(f(x)) = g (x2+2x+1) = (x2+2x+1)+3 = x2+2x+4 Soal-soal Tentukan fog dan gof dari fungsi-fungsi: . f(x) . f(x)
x x
g(x) g(x)
x
. f(x) x
. f(x)
x x
g(x) x x
x x g(x) x
3.2.5 Fungsi satu ke satu Misal terdapat suatu fungsi f. Jika setiap satu daerah nilai (range) fungsi f berasal dari satu daerah definisinya, maka fungsi tersebut dikatakan fungsi satu ke satu. 50
Sebagai contoh f(x) = x3 adalah suatu fungsi yang mempunyai daerah definisi untuk semua x ril dan untuk setiap daerah definisi menghasilkan satu daerah nilai. Sehingga dikatakan bahwa f(x) = x3 adalah fungsi satu ke satu. Contoh lainnya, f(x) = x2 adalah suatu fungsi yang mempunyai daerah definisi untuk semua x ril. Akan tetapi setiap satu daerah nilai dihasilkan oleh lebih dari satu daerah nilai (dalam hal ini dua). Sehingga f(x) = x2 bukan fungsi satu ke satu. 3.2.6 Fungsi invers Misal terdapat suatu fungsi f. Selanjutnya f dikatakan mempunyai invers jika dan hanya jika terdapat suatu fungsi g sedemikian rupa sehingga, i) daerah definisi fungsi g merupakan daerah nilai fingsi f ii) pada semua daerah definisi f dan semua daerah nilai g berlaku : f(x)
y g(y)
x
( .
)
Pernyataan diatas menunjukkan bahwa g adalah invers dari f dan ditulis, g
f
a au x
f
(y)
( .
)
Contoh 3.27 Tentukan invers dari persamaan : y = x3 + 2 Penyelesaian : y = x3 + 2 x3 = y – 2 x = ( y–2 )1/3 f
(y)
(y
)
f
(x)
(x
)
Soal-soal Tentukan invers fungsi-fungsi berikut & gambarkan grafik f(x) dan f-1(x) ! x4 1. y = 3x – 2 3. y = 4 – x3 5. y = x4 2x 3 3 2. y = -3(x+5) 4. y = (7 – x)5 6. y = x3 8
3.2.7 Fungsi transenden 3.2.7.1 Fungsi eksponen Misal terdapat bilangan a>0. Selanjutnya fungsi f yang didefinisikan sebagai f(x) = ax disebut fungsi eksponen dengan basis a. Sifat-sifat ax dapat dijelaskan sebagai berikut : i) ax > 0 untuk semua harga x dan daerah nilai dari ax adalah semua bilangan positif. ii) Titik potong dengan sumbu y adalah y = 1 iii) Tidak ada titik potong dengan sumbu x iv) Sumbu x adalah asimtot datar dari ax a a un u a v) i a rdapa x , ( . ) a a un u Dapat dijelaskan bahwa bila a > 1 maka grafik ax akan menanjak pada arah kanan (Gambar 3.15a). Sedangkan bila a < 1maka grafiknya akan menurun kearah sebelah kanan (Gambar 3.15b). 51
y
y
x
0
x
0
(a)
(b) Gambar 3.15
Fungsi eksponen ex Fungsi yang mempunyai bentuk ex disebut fungsi eksponen natural atau fungsi eksponen dengan basis e. Bilangan e adalah bilangan irasional yang b sarnya adalah , … Persamaan eksponensial
isal a a i a a Contoh 3.28 i a Penyelesaian
.
a ma a x a ma a x
( .
)
, n u an nilai x
( ) x2 – 3x – 4 = 0 (x–4)(x+1) = 0 Sehingga didapat x1 = 4 dan x2 = –1
x
x
Contoh 3.29 Tentukan nilai basis a jika f(x) = ax melalui titik (2,9) Penyelesaian : f(x) = ax 9 = a2 32 = a2 Jadi a = 3 Soal-soal Tentukan nilai basis a jika f(x) = ax melalui titik : i) (3,8) ii) (5,1/25) iii) (-8,1/64) iv) (1/4, 1/81) 3.2.7.2 Fungsi logaritma Fungsi logaritma adalah fungsi yang didefinisikan sebagai invers dari fungsi eksponensial. Misal terdapat sebuah bilangan a>0 dan a1. Untuk setiap bilangan positif y maka logaritma y dengan basis a ditulis log y adalah bilangan uni x s d mi ian rupa s hingga a y. adi, log y
xy
a
(3.31)
52
dan dibaca “log y basis a sama d ngan x ji a dan hanya ji a y sama dengan a pangkat x”. i a harga y pada p rs. 3.31 sama dengan satu, maka harga x = 0. Jika harga y = a maka harga x = 1. Jadi,
log
( .
)
log a
( .
)
Contoh 3.30 Ubahlah persamaan yang mengandung eksponen berikut ini menjadi bentuk logaritma ! a) 103 b) 6251/4 Penyelesaian a) y log y log
b) y
y
Contoh 3.31 i ung a) log
b) log
Penyelesaian a) y log b) y
log
. adi y
. adi y
y
Seperti yang telah dijelaskan diatas untuk a>0 dan a 1 fungsi logaritma dengan basis a adalah fungsi yang didefinisikan sebagai, f(x) log x un u x . log x log x, ma a dari p rs. 3.31 didapat, a
x un u x
( .
)
Jika kita tulis persamaan ax = ax, maka dari persamaan 2.31 dapat ditulis menjadi,
log a
x, un u s iap bilangan x
( .
)
Hukum-hukum logaritma a) log log log b) log log log c) log n log d) log
log
Logaritma natural Logaritma natural adalah logaritma yang mempunyai basis e. Logaritma natural ditulis sebagai, 53
log x
ln x
( .
)
Soal-soal . log
mn r
. log
a b
. log (x y )
. log
x y
3.2.7.3 Fungsi trigonometri A. Pengukuran sudut Sebelum kita mendefinisikan fungsi-fungsi trigonometri terlebih dahulu akan dibahas sudut dan pengukurannya. Sudut pada suatu bidang dibentuk oleh perpotongan dua buah garis atau sisi yang terdiri dari sisi awal dan sisi ujung sudut. Titik potong antara kedua garis tersebut disebut verteks sudut. Sebelum membahas y sisi ujung
α 0
sisi awal
x
Gambar 3.16 pengukuran sudut terlebih dahulu kita gambarkan sudut yang terletak pada koordinat Kartesius (Gambar 3.16). Biasanya verteks sudut diletakkan berimpit dengan titik asal (origin) sedangkan sisi awal berimpit dengan sumbu x. Sudut yang digambarkan dengan cara diatas disebut sudut dalam posisi standar. B. Sudut dalam satuan derajad Satuan derajad adalah salah satu ukuran sudut. Bila kita melakukan pengukuran satu putaran penuh yang dimulai dari sumbu x positif dengan arah yang berlawanan jarum jam, maka besarnya sudut yang diukur adalah 3600 . Gambar 2.17 adalah contoh pengukuran sudut-sudut 3600, 1800, 900 , -900. y y 1800
3600 x
0
y
x
0
y 900 x
0
54
0
x -900
Gambar 3.17 Contoh 3.32 Gambarkan sudut-sudut -2700 dan 1350 Penyelesaian : y
y
1350 -2700
x
0
x
0
Gambar 3.18 C. Sudut dalam satuan radian Perhatikan sebuah lingkaran yang mempunyai jari-jari r. Dua buah sisi yang mengapit sudut tertentu akan memotong lingkaran dan akan menghasilkan panjang busur tertentu pula (lihat Gambar 2.19a). Jika panjang busur = t maka sudut yang diapit oleh dua sisi yang memotong lingkaran adalah t/r radian. y
r
t
x
0 r
radian
(a) y
2 r
0
(b) 55
x
Gambar 3.19 Selanjutnya perhatikan Gambar 3.19 b. Keliling lingkaran adalah 2r Berarti sudutnya (satu putaran) adalah 2 radian. Telah kita ketahui bahwa satu o o putaran sama dengan 360 . Jadi 2 radian = 360 . Selanjutnya didapat,
radian
radian
)
.
( .
)
radian
( .
)
( .
)
( .
. radian
Contoh 3.33 Ubah sudut 20o kedalam satuan radian! Penyelesaian
.
radian (liha p rsaman .
)
Contoh 3.34 Ubah sudut /6 radian kedalam satuan derajad! Penyelesaian
.
(liha p rsamaan .
)
Soal-soal 1. Ubah sudut-sudut berikut kedalam satuan radian! a. b. c. d. 2. Ubah sudut-sudut berikut kedalam satuan derajad! a. radian b. radian c. radian d. radian
D. Fungsi trigonometri sudut lancip Fungsi trigonometri adalah fungsi yang mencakup fungsi-fungsi sinus, cosinus, tangent, cotangent, secant dan cosecant. Gambar 3.20 adalah sebuah segitiga siku-siku. Sisi a dan b adalah sisi siku-siku sedangkan c adalah sisi miring. Sudut dan adalah sudut-sudut lancipnya. Jika kita perhatikan Gambar 3.20 maka kita dapat menyimpulkan bahwa sisi-sisi siku-siku selalu terletak dihadapan 56
sudut lancip. Sedangkan sisi miring selalu terletak dihadapan sudut siku-siku. Jika kita tinjau salah satu sudut lancip pada Gambar 3.20, dalam hal ini sudut , maka sisi siku-siku b disebut juga sebagai sisi pembatas sudut . Begitu juga jika kita tinjau sudut maka a disebut juga sisi pembatas sudut .
c
a
b Gambar 3.20
Dengan mengacu pada penjelasan-penjelasan diatas selanjutnya kita definisikan fungsi-fungsi trigonometri sebagai berikut, sin
sisi dihadapan sudu sisi miring
a c
( .
a)
cos
sisi p mba as sudu sisi miring
b c
( .
b)
an
sisi dihadapan sudu sisi p mba as sudu
co
sisi p mba as sudu sisi dihadapan sudu
b a
( .
d)
s c
sisi miring sisi p mba as sudu
c b
( .
)
csc
sisi miring sisi dihadapan sudu
c a
( .
f)
a b
( .
c)
Dari persamaan 3.41 dapat dibuat hubungan sbb.: an
sin cos
( .
a)
co
cos an
( .
b)
57
s c
csc
cos
sin
( .
c)
( .
d)
Masih tetap mengacu pada Gambar 3.20 dan teorema Pythagoras : c2 = a2 + b2 (bagi semua ruas dengan c2) c c
a c
Didapat
b c
a c
b c
(subs.
p rs. .
a dan .
sin2 + cos2 = 1
b)
( 3.43 )
Bagi persamaan 3.43 dengan cos2, sin cos Didapat
cos cos
cos
tan2 + 1 = sec2
( 3.44 )
Jika persamaan 3.43 dibagi dengan sin2, sin cos sin sin sin Didapat
1 + cot2 = csc2
( 3.45 )
Persamaan 3.43 s/d 3.45 disebut identitas trigonometri Contoh 3.35 Diketahui sebuah segitiga siku-siku terletak pada kuadran I. Jika harga sin = 4/5, tentukan nilai fungsi trigonometri lainnya ! Penyelesaian y 5
4
x1 = ?
0
x
Gambar 3.21 Dari or ma y hagoras, x x Didapat, cos = 3/5 ; tan = 4/3 ; cot = 3/4 ; sec = 5/3 ; csc = 5/4
58
Soal-soal 1. Jika sebuah segitiga siku-siku terletak terletak pada kuadran pertama, lengkapilah tabel berikut. Sudut
sin
1/2
cos
tan
cot
sec
csc
6/7
2. Jika sebuah segitiga siku-siku terletak terletak pada kuadran kedua, lengkapilah tabel berikut. Sudut
sin 3/5
cos
tan
cot
sec
csc
2/-3 -4/5
E. Fungsi trigonometri sudut-sudut 300 , 450 dan 600. Untuk menentukan harga fungsi-fungsi trigonometri sudut 30o, 45o dan 60o pertama-tama kita gambarkan segitiga seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3.21. Misal terdapat sebuah segitiga sikusiku yang mempunyai sudut-sudut lancip 30o dan 60o serta panjang sisi miring 1 satuan (Gambar 3.21a).
300 1
300 300 b
600
b
600
600
a
a
(a)
a (b)
Gambar 3.21 Jika terdapat satu segitiga lainnya yang sama dan sebangun dengan segitiga pertama dan diletakkan secara berdampingan maka akan terbentuk segitiga baru yang sama sisi (lihat Gambar 3.21b). 59
Selanjutnya didapat 2a = 1 atau a = 1/2. Untuk menghitung panjang sisi b kita gunakan teorema Pythagoras yaitu, a
b b
a
b
tan
cot
Jadi, Sudut
sin
cos
sec
300
csc 2
600
2
Untuk menentukan harga fungsi trigonometri sudut 450 terlebih dahulu kita gambarkan sebuah segitiga siku-siku yang mempunyai 450 1
b
450 a Gambar 3.22 sudut lancil masing - masing 450. Untuk lebih jelasnya perhatikan Gambar 3.22 berikut. Telah diketahui bahwa setiap segitiga siku– siku yang mempunyai sudut lancip masing-masing 450 disebut segitiga sama kaki. Dengan kata lain panjang kedua sisi yang berhadapan dengan sudut 450 mempunyai panjang yang sama (a=b). Dengan menggunakan teorema Pythagoras kita dapatkan bahwa, Sudut
sin
cos
450
tan
cot
1
1
sec
csc
Untuk sudut-sudut 00 dan 900 dapat dilihat pada tabel berikut. Sudut
sin
cos
tan
cot
sec
csc
00
0
1
0
1
900
1
0
0
1
F. Fungsi trigonometri untuk penjumlahan dua sudut Untuk membahas fungsi trigonometri jumlah dua sudut perhatikan Gambar 3.22 berikut.
60
y
P L sinA cosB L sin A L
Q
S
L cos A
L sinA sinB L cos A sin B
A B O
R
x
T
Gambar 3.22
sin(
L sin cos
)
L cos sin L
sin(A+B) = sinA cosB + sinB cosA
cos(
( 3.46 )
L cos sin
)
L
L sin cos L
cos(A+B) = cosA cosB – sinA sinB
an(
)
sin( cos( sin cos cos cos
an(
)
) ) cos cos cos cos an
sin cos cos cos sin cos sin cos
an an an
( 3.47 ) sin cos sin sin
cos cos sin cos ( .
)
Untuk fungsi-fungsi trigonometri lainnya dapat dijabarkan sendiri oleh mahasiswa. Fungsi trigonometri ini dapat digunakan untuk mencari harga fungsi trigonometri sudut tumpul seperti 900 + atau sudut tumpul lainnya. Contoh 3.36 Tentukan harga sin 1350. Penyelesaian : sin 1350 = sin(900 +450) = sin 900 cos450 + sin450 cos900 ( )
( )
61
G. Grafik fungsi trigonometri
y
1 -1
-/2
- -2
/2
0
(-3/2)
(3/2) 2
x
Gambar 3.23 Grafik fungsi sinus
y
1 -1
-
0
-2
2
x
Gambar 3.24 Grafik fungsi cosinus
y
-2
-
0
Gambar 3.25 Grafik fungsi tangen
62
2
x
y
Gambar 3.26 Grafik fungsi cotangen
-
-2
0
2
x
y
1 Gambar 3.27 Grafik fungsi secant
-2
-
2
0
-1
x
y
Gambar 3.28 Grafik fungsi cosecant
1 -1
- -2
63
0
2
x
Soal-soal 1. Tentukan nilai fungsi trigonometri lainnya jika : a. sin = 3/5 ; /2 < < b. cos = -4/5 ; < < 3/2 c. tan = - 2 ;3/2 < < 2 d. cot = 4/ 6 ; < < 3/2 e. sec = -6 ; /2 < < f . csc = 5/4 ; 0 < < /2 2. Gambarkan grafik fungsi trigonometri berikut : a. sin + ½ b. cos - 1/2 c. sin ( - /2) d. cos ( + /2) H.
Hukum sinus Untuk membuktikan hukum sinus perhatikan Gambar 2.29 berikut.
C
E a
b k
h
A
D
B c
Gambar 3.29
h h = a sin a h Perhatikan segitiga ADC sin = h = b sin b sin α sin β Dari (*) dan (**) didapat : a sin = b sin = a b k Perhatikan segitiga AEC sin = k = b sin b k Perhatikan segitiga AEB sin = k = c sin c sin γ sin β = Dari (#) dan (##) didapat : b sin = c sin c b Dari (***) dan (###) didapat :
Perhatikan segitiga BDC sin =
sin α sin β sin γ = = a b c
(*) ( ** ) ( *** ) (#) ( ## ) ( ### )
(3.49)
Persamaan 3.49 disebut hukum Sinus.
64
Soal-soal Soal-soal berikut mengacu pada Gambar 2.29. 1. = 60o ; = 50o dan b = 10 2. = 70o ; = 45o dan c = 20 3. = 30o ; = 115o dan c = 8
4. = 35o ; = 125o dan c = 7 5. = 25o ; = 40o dan a = 5
I. Hukum Cosinus Untuk membuktikan hukum cosinushatikan Gambar 2.30 berikut.
C
E
a
b k
h
A
D
B c Gambar 3.30
Perhatikan segitiga ADC h = b sin Perhatikan segitiga BDC (CD)2 = (BC)2 – (BD)2 = (BC)2 – (AB - AD)2 h2 = a2 – (c - b cos )2 b2 sin2 = a2 – c2 + 2bc cos - b2 cos2 b2 sin2 + b2 cos2 = a2 – c2 + 2bc cos b2 (sin2 + cos2) = a2 – c2 + 2bc cos b2 = a2 – c2 + 2bc cos Sehingga,
a
b
c
bc cos
a au cos
b
c a bc
( .
)
Perhatikan segitiga BDC h = a sin Perhatikan segitiga ADC (CD)2 = (AC)2 – (AD)2 = (AC)2 – (AB - BD)2 h2 = b2 – (c - a cos )2 a2 sin2 = b2 – c2 + 2ac cos - a2 cos2 a2 sin2 + a2 cos2 = b2 – c2 + 2ac cos a2 (sin2 + cos2 ) = b2 – c2 + 2ac cos a2 = b2 – c2 + 2ac cos Sehingga,
b
a
c
ac cos
65
a au cos
a
c b ac
( .
)
Perhatikan segitiga AEC k = b sin Perhatikan segitiga AEB (AE)2 = (AB)2 – (BE)2 = (AB)2 – (BC - CE)2 k2 = c2 – (a - b cos )2 b2 sin2 = c2 – a2 + 2ab cos - b2 cos2 b2 sin2 + b2 cos2 = c2 – a2 + 2ab cos b2 (sin2 + cos2 ) = c2 – a2 + 2ab cos b2 = c2 – a2 + 2ab cos Sehingga,
c
a
b
ab cos a au cos
a
b c ab
( .
)
Persamaan 3.50 s/d 3.52 adalah hukum Cosinus. Soal-soal 1. Dengan mengacu pada Gambar 2.30, tentukan besar sudut , dan jika panjang sisinya adalah : i) a = 5 ; b = 7 ; c = 8 iv) a = 7 ; b = 5 ; c = 4 ii) a = 4 ; b = 8 ; c = 9 v) a = 9 ; b = 4 ; c = 8 iii) a = 6 ; b = 9 ; c = 7 vi) a = 8 ; b = 6 ; c = 7 2. Dengan mengacu pada Gambar 2.30, tentukan luas segitiga jika diketahui : i) = 45o ; b = 5 ; c = 4 iii) = 120o ; a = 6 ; c = 9 o ii) = 60 ; b = 9 ; c = 10 iv) = 90o ; a = 8 ; c = 4
3.2.7.4 Fungsi trigonometri invers Kita telah mengetahui bahwa suatu fungsi akan mempunyai invers jika fungsi tersebut adalah fungsi satu ke satu, yaitu fungsi yang mempunyai nilai tunggal untuk setiap domain. Sebagai contoh f(x) = x3 + 1 adalah fungsi satu ke satu kareba untuk setiap harga x yang tunggal akan menghasilkan f(x) yang tunggal pula. Sehingga dikatakan bahwa, f(x) = x3 + 1 mempunyai invers. Akan tetapi f(x) = x2 bukanlah fungsi satu ke satu karena untuk dua harga x yang berbeda akan menghasilkan harga f(x) yang r=tunggal. Sehingga dikatakan bahwa f(x) = x2 tidak mempunyai invers. Fungsi-fungsi trigonometri adalah fungsi-fungsi yang tidak termasuk dalam golongan fungsi satu ke satu. Sebagai contoh f(x) = sin x. Untuk harga x = 0, x = dan x = 2 akan menghasilkan harga yang sama yaitu 0. Begitu juga dengan fungsi-fungsi trigonometri lainnya. Akan tetapi jika kita batasi domain fungsi trigonometri maka kita dapat membuat fungsi trigonometri menjadi fungsi satu ke satu. Jadi f(x) = sinx adalah fungsi satu ke satu jika - < x < . Begitu juga dengan fungsi-fungsi trigonometri lainnya. Definisi-definisi : i) Fungsi sinus invers (ditulis sin-1 atau arcsin) didefinisikan sebagai : y = sin-1 x x = sin y , untuk -1 x 1 dan -/2 y /2. ii) Fungsi sinus invers (ditulis cos-1 atau arccos) didefinisikan sebagai : y = cos-1 x x = cos y , untuk -1 x 1 dan 0 y .
66
iii) Fungsi tangent invers (ditulis tan-1 atau arctan) didefinisikan sebagai : y = tan-1 x x = tan y , untuk setiap harga x dan -/2 y /2. iv) Fungsi cotangent invers (ditulis cot-1 atau arccot) didefinisikan sebagai :y = cot-1 x x = cot y , untuk setiap harga x dan 0 y . v) Fungsi secant invers (ditulis sec-1 atau arcsec) didefinisikan sebagai : y = sec-1 x x = sec y , untuk setiap harga x 1 dan 0 y , kecuali y = /2. vi) Fungsi cosecant invers (ditulis cosec-1 atau arccosec) didefinisikan sebagai y = cosec-1 x x = cosec y , untuk setiap harga x 1 dan 0 y /2. y
y
-1
1
x
0
-1
Grafik sin-1x
0
Grafik cos-1x Gambar 3.31
Sifat-sifat fungsi trigonometri invers i) arcsin(sinx) = x untuk -/2 x /2 sin(arcsinx) = x untuk 1 x 1 ii) arccos(cosx) = x untuk 0 x cos(arccosx) = x untuk -1 x 1 iii) arctan(tanx) = x untuk -/2 x /2 tan(arctanx) = x untuk semua harga x Contoh 3.37 Tentukan harga y jika, a. y
sin (
b. y
sin (
) un u
) un u
y
y
Penyelesaian a. y
sin (
b. y
sin (
) siny
. adi y
) siny
. adi y
67
1
x
y
/2 /4
1 0
-1
x
-/4 -/2
Soal-soal Tentukan harga dari: 1. arcsin 1 7. arcsin (sin /3) 2. arcsin (-1) 8. arcsin (sin /6) 3. arccos 0 9. arccos (cos ) 4. arccos (-1) 10. arccos (cos 2/3 ) 5. arctan 0 11. arctan (tan /3 ) 6. arctan 1 12. arctan (tan -5/6 )
13. arcsin (cos /3) 14. arccos (/4) 15. arctan (/2) 16. arctan (cos 4) 17. sin (arcsin 1/2) 18. sin(arccos 1/2)
3.2.7.5 Fungsi hiperbolik A. Definisi Fungsi hiperbolik adalah fungsi yang mempunyai sifat yang serupa dengan fungsi trigonometri. Keserupaan antara kedua fungsi tersebut dapat dilihat dari definisi yang diberikan berikut ini. sinh x
( .
a)
cosh x
( .
b)
anh x
( .
c)
co h x
( .
d)
( .
)
s ch x
cosh x
68
cos ch x
sinh x
( .
f)
( .
)
B. Identitas hiperbolik Dari persamaan 3.53a dan b didapat: sinh x cosh x hingga cosh x
sinh x
cosh x
sinh x
Dengan membagi persamaan 3.54 dengan cosh2 x didapat, 1 – tanh2 x = sech2 x
(3.55)
Selanjutnya jika persamaan 3.54 dibagi dengan sinh2 x didapat, coth2x –1 = cosech2 x
(3.56)
Persamaan 3.54 s/d 3.56 adalah Identitas hiperbolik. Selain identitas tersebut diatas masih terdapat identitas hiperbolik lainnya seperti yang terdapat pada soal-soal. Soal-soal Buktikan identitas hiperbolik berikut : . sinhx
coshx
. coshx
sinhx
3. sinh (–x) = – sinh x 4. cosh (–x) = cosh x 5. sinh 2x = 2 sinh x cosh x 6. cosh 2x = cosh2x + sinh2x 7. sinh (x+y) = sinh x cosh y + sinh y cosh x 8. sinh (x–y) = sinh x cosh y – sinh y cosh x 9. cosh (x+y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y 10. cosh (x–y) = cosh x cosh y – sinh x sinh y 11. (sinhx
coshx)
12. (sinhx
coshx)
. anh(x
y)
. anh(x
y)
sinh nx
cosh nx
sinh nx cosh nx anhx anhy anhx anhy anhx anhy anhx anhy
69
. sinh . cosh
x
coshx
x
coshx anhx anh x sinhx coshx
. anh x . anh
x
3.2.7.6 Fungsi hiperbolik invers Pada definisi sebelumnya telah diketahui bahwa fungsi hiperbolik definisikan dalam bentuk fungsi eksponen. Hal ini berarti bahwa fungsi hiperbolik invers dapat ditulis dalam bentuk logaritma natural. Teorema-teorema sinh x
ln(x
x
)
( .
)
Bukti, sinh x x
y x x
sinhy .
lanju nya ali an s mua ruas d ngan , didapa a au x x x D ngan m ngguna an p rs. uadra , x x rar i m mpunyai dua nilai, yai u x Perlu diperhatikan bahwa,
a au x
x
x
nilai dan x s lalu posi if un u s mbarang nilai x nilai x s lalu l bih b sar dari x un u s mbarang nilai x Dari dua fakta yang disebutkan diatas maka kita dapat menyimpulkan bahwa
x
x
.
hingga y
ln(x
x
( rbu i)
y sinh x sinh-1 x
0
Gambar 3.32 Gra i sinhx dan sinh x 70
x
cosh
ln(x
x
), x
y
( .
)
Bukti, y
cosh x x
x
cosh y
lanju nya ali an s mua ruas d ngan x a au x
didapa , x
D ngan m ngguna an p rs. uadra ,
x
x
x
rar i m mpunyai dua nilai yai u x x dan x x . Perlu diperhatikan bahwa, nilai s lalu posi if un u x x un u x nilai x s lalu l bih cil dari x un u x Dari tiga fakta tersebut diatas, maka kita dapat menyimpulkan bahwa, x x a au x x Selanjutnya perhatikan bahwa, x x x x x x (x x ) x x x x x x ( ) adi y
x ln(x
a au
x x
(x
) a au y
ln(x
x
) x
)
Disini dapat kita lihat bahwa untuk setiap satu nilai x (peubah bebas) berpasangan dengan dua nilai y (peubah tak bebas). Hal ini melanggar definisi fungsi ; yaitu setiap satu nilai x tepat berpasangan dengan satu nilai y. Berdasarkan hal tersebut diatas maka y diambil harga positifnya saja, yaitu , y cosh x ln(x x ) ,y dan x ( rbu i) y
cosh x
cosh-1x 1
0
x
1 Gambar 3.33 Gra i coshx dan cosh x
71
anh x
x , x
ln
x
( .
)
Bukti y
anh x x
x
anh y ali an d ngan
x
x
(x
x
(x
x x
x x Kar na
)
x x
x , x x
ln
co h x
ln
x x
un u x x
s lalu posi if, ma a
a au y
) x
, x
( rbu i)
, x
( .
)
( .
)
Bukti co h x x
y x
co h y ali an d ngan
x
x
(x
x x x
Kar na
)
(x
x x
x x
a au y
ln
x x
s ch x
, x
x
x
, x
(
x
ln
un u
x x
s lalu posi if, ma a
)
)
,
Bukti y x
s ch x x cosh y
s ch y
cosh y
adi s ch x s ch x Kar na s ch
x
cosh ln
y
ln(
x x x
cosh x
,
x x
x ),
x
hanya m mpunyai sa u nilai un u s iap sa u nilai x, ma a
72
s ch x
x
ln
,
x
cos ch
x x
ln
( rbu i)
,x
( .
)
Bukti y x
cos ch x x sinh y
cos ch y
sinh y
adi cos ch x
ln(
x x
y x
sinh x )
x ln
x x
,x
( rbu i)
3.2.8. Fungsi genap dan ganjil Suatu fungsi dikatakan fungsi genap jika memenuhi : f(x) = f(–x)
( 3.63 )
dan dikatakan ganjil jika memenuhi : f(–x) = –f(x)
(3.64 )
Jika suatu fungsi tidak memenuhi persamaan 3.63 dan 3.64 maka persamaan tersebut bukan merupakan fungsi genap atau ganjil. Contoh 3.38 Diketahui i) f(x) = x3 ii) f(x) = x2 + 3 iii) f(x) = x – 2 Tentukan apakah fungsi tsb. termasuk fungsi genap, ganjil atau tidak keduanya? Penyelesaian i) f(x) = x3 f(-x) =(–x)3 = –x3 =–f(x) Karena f(–x) = –f(x), maka x3 adalah fungsi ganjil. ii) f(x) = x2 + 3 f(–x) = (–x)2 + 3 = x2 + 3 = f(x) Karena f(–x) = f(x), maka x2 + 3 adalah fungsi genap. iii) f(x) = x – 2 f(–x) = –x – 2 = – (x+2) Karena f(x) f(–x) –f(x), maka x – 2 bukan fungsi genap atau ganjil. Misal terdapat sebuah fungsi f(x) sedemikian rupa sehingga, f(x) a au
f( x)
g(x). h(x)
( )
g( x). h( x)
( )
Jika g(x) dan h(x) adalah fungsi ganjil, maka berlaku g(–x)=–g(x) dan h(–x)=–h(x). Dengan melakukan substitusi ke (**) didapat, f(–x) = g(x) . h(x) Substitusi (*) ke (***) didapat : f(-x) = f(x)
73
(***)
Kesimpulan : Perkalian fungsi ganjil dengan fungsi ganjil menghasilkan fungsi genap Misal terdapat sebuah fungsi f(x) sedemikian rupa sehingga, f(x) a au
g(x). h(x)
f( x)
( )
g( x). h( x)
( )
Jika g(x) dan h(x) adalah fungsi genap maka berlaku g(–x) = g(x) dan h(–x) = h(x). Dengan melakukan substitusi ke (**) didapat : f(–x) = g(x) . h(x)
(***)
Substitusi (*) ke (***) didapat : f(–x) = f(x) Kesimpulan : Perkalian fungsi genap dengan fungsi genap menghasilkan fungsi genap Misal terdapat sebuah fungsi f(x) sedemikian rupa sehingga : atau
f(x) = g(x) . h(x)
(*)
f(–x) = g(–x) . h(–x)
( ** )
Jika g(x) adalah fungsi genap dan h(x) adalah fungsi ganjil atau sebaliknya maka berlaku g(–x) = g(x) dan h(–x) = –h(x). Dengan melakukan substitusi ke (**) didapat :f(-x) = g(x) .{ –h(x)} = –{g(x) . h(x)}. Selanjutnya dengan mensubstitusi (*) ke (***) didapat : f(-x) = - f(x). Kesimpulan : Perkalian fungsi genap dengan fungsi ganjil atau sebaliknya menghasilkan fungsi ganjil Soal-soal Gambarkan grafik dari fungsi-fungsi berikut dan tentukan fungsi-fungsi apakah genap, ganjil atau tidak keduanya! . f(x) . f(x) . f(x) . f(x)
x x
x x x cos x
. f(x)
xx
. f(x)
x
. f(x)
sinh x x x
. f(x)
cosh x
. f(x)
sin(cos x)
. f(x)
x
3.2.9 Fungsi Periodik Suatu fungsi f(x) disebut fungsi eriodik jika fungsi tersebut terdefinisi untuk semua harga x dan terdapat bilangan positif sedemikian rupa sehingga : f( x + p ) = f ( x )
( 3.64 )
dimana p adalah periode positif terkecil dari fungsi f(x). Fungsi-fungsi yang termasuk fungsi periodik diantaranya fungsi sinus dan cosinus. Sedangkan 74
fungsi-fungsi x, x2, x3, ex dan ln x tidak termasuk fungsi periodik karena tidak memenuhi persamaan 3.64. Dengan mengacu pada persamaan 3.64 kita dapatkan bahwa : f(x+2p) = f{(x+p)+p} = f(x+p) = f(x) f(x+3p) = f{(x+2p)+p} = f(x+2p) = f(x) .............................. f(x+np) = f(x) ; n = 1, 2, 3, . . . . . . .
( 3.65 )
Contoh grafik dari fungsi periodik dapat dilihat pada Gambar 3.34 dibawah ini. y
x
0
p
Gambar 3.34 Grafik fungsi priodik
Misal terdapat dua buah fungsi g(x) dan h(x). Jika fungsi f(x) adalah fungsi yang didefinisikan oleh : f(x) = ag(x) + bh(x), dimana a dan b adalah konstanta, maka berlaku : f(x+p) = ag(x+p) + bh(x+p)
( 3.66 )
Jadi dapat disimpulkan ; jika g(x) + h(x) mempunyai periode p, makaf(x) juga mempunyai periode p. Contoh 3.39 Tentukan periode dari f(x) = sin x Penyelesaian : sin (x+p) = sin x sin x cos p + cos x sin p = sin x didapat p = 2 Soal-soal Tentukan periode positif terkecil dari fungsi periodik berikut, x a) sin x d) cos x b) cos x ) sin c) sin nx
75
BAB IV LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN 4.1 Pendahuluan Sebelum mambahas limit fungsi di suatu titik terlebih dahulu kita akan mengamati perilaku suatu fungsi f bila peubahnya mendekati suatu bilangan ril c tertentu. Misal terdapat suatu fungsi f(x) = x + 4. Untuk menentukan harga f bila x mendekati bilangan ril tertentu, misal 2, kita dapat mengamatinya dengan bantuan tabel dan Gambar 4.1 berikut. x
f(x)
x
f(x)
1,9 1,99 1,999 1,9999
5,9 5,99 5,999 5,9999
2,1 2,01 2,001 2,0001
6,1 6,01 6,001 6,0001
y 0,0001 6,0001 6 5,9999 0,0001
x
0 2
0,0001 1,9999
0,0001 2,0001
Gambar 4.1 Dari Tabel atau Gambar 4.1 dapat dilihat bahawa untuk x mendekati 2 (baik dari arah kiri mulai dari 1,9 maupun dari arah kanan mulai dari 2,1) didapat harga f yang 76
mendekati 6. Sedangkan untuk x = 2 harga f adalah 6. Selanjutnya coba perhatikan fungsi x lainnya yaitu,
untuk x ≠ –3 Artinya f(x) = x2 + 1 tak terdefinisi untuk x = –3. Untuk mengamati perilaku fungsi disekitar titik x = –3 berikut perhatikan Tabel dan Grafik fungsi f(x) = x2 + 1 untuk x – 3 (Gambar 4.2). x
f(x)
x
f(x)
-3,1
10,61
-2,9
9,41
-3,01
10,0601
-2,99
9,9401
-3,001
10,006001
-2,999
9,994001
-3,0001
10,00060001
-2,9999
9,99940001
y
10,0006000 1
°
o 9,99940001
0,0001
-3
0,0001
0
x
-3,0001 -2,9999 Gambar 4.2 Jika kita perhatikan Tabel dan Gambar diatas maka kita dapat melihat bahwa untuk harga x mendekati -3 maka harga f(x) mendekati 10. Dari uraian diatas dapat disimpulkan bahwa: 1. Jika sebuah fungsi terdefinisi pada suatu selang terbuka yang memuat bilangan ril c tertentu, kecuali mungkin di titik c itu sendiri, dan 77
2. bila f(x) mendekati bilangan ril L tertentu pada saat x mendekati c, maka dapat ditulis,
c “
h
c”
c”
“
c
x
3.2 Definisi limit Perhatikan Gambar 4.3 berikut! y
L+ f(x) - L
f(x) L
f(x) - L
f(x) L-
0
c-
x c-x
x
c+
x-c
Gambar 4.3 Untuk x < c , maka : 0 < c – x < atau 0 > x – c > - Untuk x > c , maka : 0 < c – x <
c Untuk f(x) < L, maka L – f(x) < atau f(x) – L > - Untuk f(x) > L, maka f(x) – L <
h (4.3) Dari Gambar 4.3 dan persamaan 4.1 s/d 4.3 maka didapat definisi sebagai berikut, h
c
78
(4.4)
4.3 Limit fungsi Untuk menyederhanakan permasalahan, berikut diberikan rumus-rumus penyelesaian limit yang didapat dengan bantuan definisi limit. Pada rumus-rumus ini b, c, k dan L adalah bilangan-bilangan ril, a bilangan ril positif, sedangkan m dan n adalah bilangan ril positif. Teorema-teorema c Bukti : Untuk setiap > 0 maka terdapat > 0 sedemikian rupa sehingga, c c c Contoh 4.1
c Bukti : Untuk setiap > 0 maka terdapat > 0 sedemikian rupa sehingga, c definisi terpenuhi
Contoh 4.2
Bukti Dari definisi, untuk setiap > 0 terdapat > 0 sedemikian rupa sehingga, c Dari ketidaksamaan segitiga didapat,
h
c
79
h
c
Dari ketidaksamaan segitiga didapat,
Dari (*), (**) dan (***) didapat,
Contoh 4.3
Bukti, ikuti pembuktian teorema 3 Contoh 4.4
Bukti Dari ketidaksamaan segitiga didapat,
Untuk setiap 1>0 terdapat 1>0 sedemikian rupa, sehingga c
Untuk setiap 2>0 terdapat 2>0 sedemikian rupa, sehingga c
80
Untuk setiap 1>0 terdapat 1>0 sedemikian rupa, sehingga c Selanjutnya dari persamaan (i), (v), (vii) dan (ix) didapat
Dengan memilih = min (1, 2, 3 ) akan didapat pernyataan,
c
Contoh 4.5
Bukti
Untuk 1>0 terdapat 1>0 sedemikian rupa sehingga, c
h
Untuk 2>0 terdapat 2 sedemikian rupa sehingga, c
81
Dengan mengambil = min ( 1,2 ) akan didapat pernyataan, c
h
Contoh 4.6
Bukti : Lihat persamaan (3.6) dan (3.9) Contoh 4.7
Bukti [f(x)]n
…
h
h
Dari persamaan (3.9) didapat,
Contoh 3.8
9. Teorema Sandwich ( teorema apit ) Misal terdapat f(x) h(x) g(x) untuk setiap harga x pada suatu selang terbuka yang mengandung c, kecuali mungkin di titik c itu sendiri.
82
h Bukti : Untuk setiap > 0 terdapat 1>0 dan 2>0 sedemikian rupa sehingga, c c Untuk = min(1,2) dan 0< x c <, maka ketaksamaan (*) menjadi : - < f(x)–L < dan - < g(x)–L < h c L- < f(x) dan g(x) < L+ h
h
c
h
Contoh 4.9 c Penyelesaian: c c
c 10. Limit sepihak c c
c c
h h
Contoh 4.10
Penyelesaian:
83
Soal-soal
4.4 Limit fungsi trigonometri
Bukti : Perhatikan Gambar 3.4 berikut! y T Q r P 0
x
Gambar 4.4 Luas OPQ < Sektor OPQ < OPT
(*)
Substitusi persamaan (**) s/d (****) ke persamaan (*) didapat,
84
c Gunakan teorema apit!
c 2. lim cos x = 1
( 4.16 )
3. lim sin x = 0
( 4.17 )
4. lim tan x = 0
( 4.18 )
x→0
x→0
x→0
sin x 1 = lim sin x . lim x→0 cos x x→0 cos x x→0 lim 1 1 = (0) = 0 (terbukti) = lim sin x . x→0 lim cos x 1 x→0
Bukti : lim tan x = lim x→0
x →0
tan x 5. lim ( 4.19 ) =1 x→0 x Bukti : sin x 1 sin x 1 tan x = 1 . 1 = 1 (terbukti) . = lim . lim lim = lim cos x x→0 x x→0 cos x x→0 x x→0 x
x =1 x→0 tan x Bukti : 1 x . cosx = 1 . 1 = 1 (terbukti) lim = lim sin x x→ 0 x→0 tan x x
6. lim
cos x - 1 =0 x x→0 Bukti :
7. lim
( 4.20 )
( 4.21 )
1 1 cos2 x - sin 2 x - 1 cos x - 1 2 2 lim = lim = x x x→0 x→0 1 1 1 1 -2 sin 2 x -2 sin x . sin x sin x 1 2 = lim 2 2 = lim - sin x 2 = 0(1) = 0 lim 1 1 x →0 x →0 x →0 x 2 2( x) x 2 2 (terbukti)
85
4.5 Limit fungsi trigonometri invers c Bukti c c c Bukti c c
c
c c Bukti c c cc Bukti cc
c cc
c Bukti c c cc Bukti
cc
c cc
Soal-soal Hitung limit berikut, jika ada!
86
c
c
c
c
4.6 Limit tak hingga Jika kita lakukan pengamatan terhadap mungkin akan didapat bahwa f(x) membesar atau mengecil tanpa batas. Sebagai ilustrasi dapat dilihat pada Gambar 3.5 berikut. y
0
x
2
Gambar 4.5 x 2,1 2,01 2,001 2,0001 2,00001 2,000001
f(x) 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000
x 1,9 1,99 1,999 1,9999 1,99999 1,999999
f(x) -10 -100 -1000 -10000 -100000 -1000000
Dari tabel diatas dapat dilihat bahwa pada saat x mendekati titik 2 dari arah kanan maka f(x) membesar tanpa batas (menuju ). Sedangkan pada saat x mendekati 2 dari arah kiri maka f(x) mengecil tanpa batas (menuju –). Selanjutnya dikatakan bahwa limit f(x) untuk x mendekati 2 dari arah kanan adalah atau h h– h Untuk memecahkan limit tak hingga perhatikan teorema berikut!
87
Bukti:
Jika semua suku dibagi dengan xm maka,
Jika m < n, maka
Jika m = n, maka
Jika m > n, maka
Contoh 4.11 Penyelesaian
4.7 Asimtot Dalam menganalisa suatu fungsi kita sering memerlukan nilai atau harga fungsi tersebut ada jarak tak hingga dari titik nol. Jika kurva suatu fungsi mendekati perilaku garis lurus, maka garis lurus tersebut adalah asimtot dari kurva. 88
4.7.1 Asimtot tegak Jika jarak suatu kurva terhadap suatu garis vertikal mendekati nol, maka garis tegak lurus tersebut adalah asimtot tegak dari kurva. Contoh asimtot tegak dapat dilihat pada Gambar 4.6 berikut. Asimtot tegak suatu kurva dapat ditentukan sebagai berikut.
y
x
0
x=–a
x=a
Gambar 4.6
h 4.7.2 Asimtot datar Jika jarak suatu kurva terhadap suatu garis datar mendekati nol, maka garis tersebut adalah asimtot datar dari kurva. Contoh dari asimtot datar dapat silihat pada Gambar 4.7 berikut.
y
y=a 0
x
Gambar 4.7 h
kurva f(x). 89
4.7.3 Asimtot miring Jika jarak suatu kurva terhadap suatu garis miring mendekati nol, maka garis tersebut adalah asimtot miring dari kurva. Contoh dari asimtot miring dapat silihat pada Gambar 4.8 berikut. y
y=ax+b x
0 Gambar 4.8
h miring kurva f(x). Jika a = 0 maka tidak terdapat asimtot miring. Contoh 4.12
Penyelesaian h h
asimtot miring y
0
x = –4 Gambar 4.9 90
x
Contoh 4.13 Penyelesaian
h h
asimtot miring Contoh 4.14 Penyelesaian h
Jadi asimtot miring adalah y = x +2 Soal-soal Tentukan semua asimtot dari fungsi-fungsi berikut, jika ada!
4.8 Kekontinuan Suatu fungsi dikatakan kontinu disuatu titik a jika tiga syarat berikut terpenuhi.
91
Contoh 4.15 Jelaskan apakah fungsi-fungsi berikut kontinu di titik a
Penyelesaian h
Soal-soal Tentukan apakah fungsi-fungsi berikut kontinu di titik a , a=3
c
, a = –2
4.9 Kekontinuan yang dapat dihapus dan yang tak dapat dihapus Telah disebutkan diatas bahwa bila ketiga syarat kekontinuan terpenuhi maka suatu fungsi dikatakan kontinu di suatu titik a. Akan tetapi bila salah satu syarat tidak terpenuhi maka fungsi tersebut tak kontinu di titik a. Jika syarat kekontinuan tidak terpenuhi, tetapi ada, maka dikatakan bahwa ketakkontinuan f(x) di titik a dapat dihapuskan dengan jalan mendefinisikan f(a) = maka f(x) menjadi kontinu di titik a. Jika syarat kekontinuan tidak terpenuhi dan tidak ada maka ketakkontinuan f(x) di titik a tidak dapat dihapuskan. Contoh 4.16 h Tentukan ketak-kontinu-an fungsi tersebut! Penyelesaian
f(-2) tak terdefinisi
92
Jadi f(x) tak kontinu di titik a = -2. Akan tetapi ketakkontinuan tersebut dapat dihapuskan karena Selanjutnya lakukan definisi ulang seperti, sehingga f(x) dapat ditulis menjadi,
Contoh 4.17 h Penyelesaian dapat dihapuskan Soal-soal Tentukan apakah fungsi-fungsi berikut kontinu atau tak kontinu di titik a. Jika tak kontinu tentukan apakah ketak kontinuan tersebut dapat dihapuskan atau tidak.
93
BAB V
DIFFERENSIASI 5.1 Garis singgung Garis singgung adalah garis yang menyinggung suatu titik tertentu pada suatu kurva. Pengertian garis singgung tersebut dapat dilihat pada Gambar 5.1. Akan tetapi jika terdapat dua buah titik pada suatu kurva maka berkemungkinan garis singgung yang menyinggung salah satu titik akan memotong kurva pada titik lainnya. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada Gambar 5.2 l
A
Gambar 5.1
A
B
l
Gambar 5.2 Untuk mendapatkan pengertian yang lebih jelas mengenai garis singgung kita perlu mendefinisikan kemiringan garis singgung l pada titik A(x1,f(x1)) yang terletak pada 94
grafik fungsi. Selanjutnya pada grafik fungsi tersebut kita pilih suatu titik B(x,f(x)). Jika kita hubungkan titik A dan B maka akan terbentuk garis l1 yang mempunyai kemiringan
y
m =
f(x ) − f(x) x −x
(5.1)
l1 A
B
Kemiringan garis l1 = m1 Kemiringan garis l = m
x
0
l
x1
h
x
Gambar 5.3
Jika f(x) kontinu pada selang [A,B] maka kita dapat mendekatkan titik B ke titik A dengan jalan memperkecil jarak antara x dan x1. Dalam bentuk limit hal tersebut dapat ditulis dalam bentuk, f(x ) − f(x) lim m = lim (5.2) ® ® x −x
Persaman (5.2) adalah kemiringan garis l1 jika x mendekati x1. Jika kita perhatikan Gambar 5.3 maka kita dapat melihat bahwa kemiringan garis l1 jika x mendekati x1 adalah mendekati kemiringan garis l. Dalam bentuk limit dapat ditulis menjadi lim m = lim ®
®
Sehingga m = lim ®
f(x ) − f(x) =m x −x
f(x ) − f(x) x −x
(5.3) 95
f(x + h) − f(x) ® h f(x + Dx) − f(x) Jika dimisalkan h = Dx, maka m = lim D ® Dx
(5.4)
Karena x − x = h, maka m = lim
(5.5)
Persamaan 5.3 s/d 5.5 adalah kemiringan garis l pada titik (x, f(x))
Contoh 5.1
Diketahui f(x) = 3x2 + 5 Tentukan kemiringan dan persamaan garis singgung yang melalui titik (a,a2) Penyelesaian f(x + Dx) − f(x) m = lim D ® Dx 3(x + Dx) + 5 − 3x − 5 3x + 6x Dx + 3(Dx) + 5 − 3x − 5 = lim = lim D ® D ® Dx Dx = lim 6x + 3Dx = 6x D ®
Jadi m = 6x (*) Persamaan garis singgung : y = mx + n (**) Karena garis singgung melalui titik (a,a2) maka : persamaan (*) menjadi :m = 6a persamaan (**) menjadi : a2 = 6a2 + n. Sehingga n = -5a2 Persamaan garis singgung menjadi : y = 6ax – 5a2
5.2 Turunan Turunan adalah hasil dari proses differensiasi suatu fungsi. Untuk mendapatkan pengertian yang jelas dari turunan dan differensiasi perhatikan Gambar 5.4 berikut. Differensiasi dapat dimisalkan sebagai suatu mesin yang memproses masukan f(x) menjadi turunan f(x) atau f’(x). f(x)
Differensiasi Gambar 5.4
f’(x)
Selanjutnya turunan didefinisikan sebagai kemiringan garis yang menyinggung kurva f(x) di titik (x,f(x)). Berdasarkan persamaan 4.3 dan Gambar 4.3 maka definisi turunan dapat ditulis dalam bentuk, f'(x) = lim ®
f(x ) − f(x) , jika nilai limitnya ada x −x
(5.6)
Jika persamaan 5.6 dapat dipenuhi berarti f(x) dapat didifferensiasikan (differensiable) pada x. Maka dikatakan f(x) mempunyai turunan pada x. Contoh 4.2 Jika f(x) = 2x2 + 5x – 7, tentukan f’(x), f’(c) dan f’(3) Penyelesaian 96
f(x) = 2x2 + 5x – 7 f(x+x) = 2(x+x)2 + 5(x+x) – 7 = 2x2 + 4xx +2(x)2 + 5x + 5x – 7 f(x+x) – f(x) = 4xx + 2(x)2 + 5x f(x + Dx) − f(x) 4x Dx + 2(Dx) + 5Dx f'(x) = lim = lim D ® D ® Dx Dx = lim 4x + 2Dx + 5 = 4x + 5 D ®
Jadi f'(x) = 4x + 5 f'(c) = 4c + 5 f'(3) = 4(3) + 5 = 17
5.3 Notasi turunan Pada pasal terdahulu kita telah menggunakan notasi turunan dengan lambang f’ yaitu lambang turunan dari suatu fungsi f yang diperkenalkan pertama kali oleh matematikawan Perancis Louis Lagrange (1646 – 1716). Selain notasi tersebut masih terdapat notasi lain yang sering digunakan yaitu notasi double “d”. Jadi kita juga dapat menulis lambang turunan sebagai dy/dx, dy/dz, … dimana x dan z adalah peubahpeubah bebas dan y sebagai peubah tak bebas. Hubungan antara notasi-notasi turunan yang disebut diatas adalah sebagai berikut, Jika terdapat suatu persamaan y = f(x), maka : dy/dx = f’(x).
5.4 Differensiabilitas dan kontinuitas Jika f adalah fungsi yang differensiabel pada x maka f dikatakan kontinu pada x. Bukti : Pada uraian terdahulu telah dijelaskan bahwa suatu fungsi f dikatakan differensiable jika memenuhi persamaan 4.6 yaitu, f(x + Dx) − f(x) f(x + Dx) − f(x) ada, maka f'(x) = lim D ® D ® Dx Dx f(x + Dx) − f(x) f(x + Dx) − f(x) = (Dx) Dx f(x + Dx) − f(x) lim (f(x + Dx) − f(x)) = lim . lim Dx = f'(x).0 = 0 D ® D ® D ® Dx Sehingga lim f(Dx + x) = lim f(x)® lim f(x) = f(x) (terbukti) Jika lim
D ®
D ®
D ®
Sebaliknya jika f adalah fungsi yang kontinu pada x, maka tidak secara otomatis f differensiable pada x.
5.5 Teorema 5.5.1 Turunan bilangan konstan Jika c suatu bilangan konstan dan y didefinisikan sebagai, y = f(x) = c, maka
Bukti
dy = f'(x) = 0 dx 97
(5.7)
f(x) = c ; f(x+x) = c dy f(x + Dx) − f(x) c−x = f'(x) = lim = lim = 0 (terbukti) D ® D ® Dx dx Dx
5.5.2 Jika n adalah sembarang bilangan bulat, k adalah sembarang bilangan ril dan jika y didefinisikan sebagai, y = f(x) = kx , maka
Bukti
dy = f'(x) = knx dx
(5.8)
f(x) = kx ; f(x + Dx) = k(x + Dx)
Dengan mengunakan teorema binomial didapat, k(x + Dx) = =
knx Dx kn(n − 1)x kx + + 1! 2! 0!
(Dx)
dy f(x + Dx) − f(x) = f'(x) = lim = knx D ® dx Dx
+⋯+
Contoh 5.3 Tentukan turunan pertama dari f(x) = 5x7 Penyelesaian, dy = f'(x) = (5)(7)x = 35x dx
k(n − 1)! Dx (n − 1)!
(terbukti)
+
kn! Dx n!
5.5.3 Aturan penjumlahan Jika f dan g adalah dua buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikan sebagai, y = h(x) = f(x) + g(x), maka
dy = f'(x) + g'(x) dx
(5.9)
Bukti : h(x) = f(x) + g(x) h(x+x) = f(x+x) + g(x+x) h(x + Dx) − h(x) f(x + Dx) + g(x + Dx) − f(x) − g(x) h'(x) = lim = lim D ® D ® Dx Dx f(x + Dx) − f(x) g(x + Dx) = lim + lim = f'(x) + g'(x) (terbukti) D ® D ® Dx Dx Contoh 5.4 Diketahui y = 5x + 2x dy Tentukan dx
98
Penyelesaian:
f(x) = 5x g(x) = 2x f'(x) = 30x g'(x) = −6x dy = f'(x) + g'(x) = 30x − 6x dx
5.5.4 Aturan perkalian Jika f dan g adalah dua buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikan sebagai, dy = f'(x). g(x) + f(x). g'(x) dx
y = h(x) = f(x). g(x), maka
Bukti
(5.10)
f(x + Dx). g(x + Dx) − f(x). g(x) D ® Dx f(x + Dx). g(x + Dx) − f(x + Dx). g(x) + f(x + Dx). g(x) − f(x). g(x) = lim D ® Dx g(x + Dx) − g(x) f(x + Dx) − f(x) = lim f(x + Dx) + lim g(x) D ® D ® Dx Dx
h'(x) = lim
= f(x).g’(x) + g(x).f’(x) (terbukti)
Contoh 5.5
Diketahui y = (3x + 2x
)(7x + 3). Tentukan
dy dx
Penyelesaian f(x) = 3x + 2x g(x) = 7x + 3 f'(x) = 15x − 4x g'(x) = 7 dy = f'(x). g(x) + g'(x). f(x) = (15x − 4x )(7x + 3) + (3x + 2x dx = 105x − 28x + 45x − 12x + 21x + 14x = 126x + 45x − 14x − 12x
)(7)
5.5.5 Aturan pembagian Jika f dan g adalah dua buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikan sebagai, y = h(x) =
Bukti
h(x) =
f(x) ; g(x)
f(x) dy f'(x). g(x) − f(x). g'(x) , maka = {g(x)} g(x) dx h(x + Dx) =
f(x + Dx) g(x + Dx)
f(x + Dx) f(x) − h(x + Dx) − h(x) g(x + Dx) g(x) h'(x) = lim = lim D ® D ® Dx Dx 99
(5.11)
= lim D ®
= lim D ®
g(x). f(x + Dx) − g(x + Dx). f(x) Dx. g(x + Dx). g(x)
g(x). f(x + Dx) − f(x). g(x) − g(x + Dx). f(x) + f(x). g(x) Dx. g(x + Dx). g(x)
= lim g(x) D ®
f(x + Dx) − f(x) g(x + Dx) − g(x) − lim f(x) Dx. g(x + Dx). g(x) D ® Dx. g(x + Dx). g(x)
f(x + Dx) − f(x) g(x + Dx) − g(x) Dx Dx = lim g(x) − lim f(x) D ® D ® g(x + Dx). g(x) g(x + Dx). g(x) =
g(x). f'(x) − g'(x). f(x) (terbukti) [g(x)]
Contoh 5.6
Tentukan turunan h'(x) jika h(x) =
2x − 3x 4x
Penyelesaian : f(x) = 2x4 – 3x2 f’(x) = 8x3 – 6x g(x) = 4x3 g’(x) = 12x2 f'(x). g(x) − f(x). g'(x) (8x − 6x)(4x ) − (2x − 3x )(12x ) = h'(x) = [g(x)] (4x ) 32x − 24x − 24x − 35x 12x − 60x 3x − 15 = = = 16x 15x 4x
5.5.6 Turunan fungsi komposisi
y = f(u) dan u = g(x), maka
dy dy du = . dx du dx
(5.12)
Bukti : Jika y = f(u) dan u = g(x) maka y = f(g(x)). Fungsi tersebut mempunyai bentuk komposisi dan dapat ditulis sebagai (fog)(x). u = g(x) u= g(x+x) – g(x) g(x+x) = g(x) + u = u + u Jika u 0 maka x 0 y = f(g(x)) y = f(g(x+x)) – f(g(x)) Dy f(g(x + Dx)) − f(g(x)) f(g(x + Dx)) − f(g(x)) Du = = Du Dx Dx Dx Dy f(u + Du) − f(u) Du Dy f(u + Du) − f(u) Du dy = ® lim = lim = Dx Du Dx D ® Dx D ® Du Dx dx 100
dy f(u + Du) − f(u) Du dy du = lim . lim = (terbukti) D ® Dx dx D ® Du dx dx
Persamaan 5.12 disebut aturan rantai Contoh 5.7 Tentukan
dy jika y = (4x3 + 5x2 – x + 4)3 dx
Penyelesaian : Misal u = 4x3 + 5x2 – x + 4 y = u3 dy du = 12x + 10x − 1 = 3u du dx dy dy du = = 3u (12x + 10x − 1) dx du dx = 3(12x + 10x − 1)(4x + 5x − x + 4) Soal-soal Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut! 4x 1 5 1. f(t) = at − bt + 7 6. f(x) = − √3x + 5 x 4x 3
2. f(x) = 3x + 5x 2 x 3. g(x) = + x 2 4x 1 4. h(x) = + 5 x 5. w(x) =
7 − √2x + 3 4x
7. g(t) = (at + bt + c) (3at − 7) b − aw 8. h(w) = w+c (at − bt) 9. v(t) = (ct − d)
10. g(t) = t
5.6 Turunan fungsi-fungsi trigonometri y = f(x) = sin x , maka
Bukti
(2t + 3) t−3
dy = f'(x) = cos x dx
dy f(x + Dx) − f(x) sin(x + Dx) − sin x = f'(x) = lim = lim D ® D ® dx Dx Dx = lim D ®
= lim D ®
sin x cos Dx + cos x sinDx − sin x Dx sin x (cos Dx − 1) + cos x sinDx Dx
= lim sin x D ®
(cos Dx − 1) sin Dx + cos x Dx Dx 101
(5.13)
= sin x lim D ®
cos Dx − 1 sin Dx + cos x lim D ® Dx Dx
= (sinx)(0) + (cosx)(1) = cos x (terbukti) Jika y = sin u dan u = f(x) , maka
Bukti
y = sin u u = f(x)
dy = cos u du du = f'(x) dx
dy du = cos u dx dx
(5.14)
dy dy du du = = cos u (terbukti) dx du dx dx Jika y = f(x) = cos x , maka
Bukti
dy = f'(x) = −sin x dx
(5.15)
dy f(x + Dx) − f(x) cos(x + Dx) − cos x = f'(x) = lim = lim D ® D ® dx Dx Dx cos x cos Dx − sin x sinDx − cos x = lim D ® Dx cos x (cos Dx − 1) − sinx sinDx = lim D ® Dx (cos Dx − 1) sin Dx = lim cos x − sin x D ® Dx Dx cos Dx − 1 sin Dx = cos x lim − sin x lim D ® D ® Dx Dx = (cosx)(0) - (sinx)(1) = -sinx (terbukti) Jika y = cos u dan u = f(x) , maka
Bukti
dy = −sin u du du u = f(x) = f'(x) dx dy dy du du = = −sin u (terbukti) dx du dx dx y = cos u
dy du = −sin u dx dx
102
(5.16)
Contoh 5.8
Jika y = sin(p − 2x), tentukan
dy dx
Penyelesaian Misa u = –2x y = sin u du dy = −2 = cos u dx du dy dy du = = (cos u)(−2) = −2cos(p − 2x) dx du dx Contoh 5.9
x dy Jika y = cos , tentukan 2 dx Penyelesaian x Misal u = y = cos u 2 1 1 x du dy du = = (−sin u)( ) = − sin 2 2 2 dx du dx Contoh 5.10
Jika y = sin2x cos 3x, tentukan
dy dx
Penyelesaian Misa u = sin2x v=cos3x du dv = 2cos2x = −3sin3x dx dx dv dy du = . v + u = (2cos2x)(cos3x) + (sin2x)(−3sin3x) dx dx dx = 2cos2x cos3x − 3sin2x sin3x)
Contoh 5.11 sin3x dy Jika y = , tentukan cos4x dx Penyelesaian Misal u = sin 3x v = cos 4x du dv = 3cos3x = −4sin4x dx dx du dv dy dx . v − u. dx (3cos3x)(cos4x) − (sin3x)(−4sin4x) = = dx v (cos4x) 3cos3x cos4x + 4sin3x sin4x) = cos 4x Jika y = f(x) = tan x , maka
dy = f'(x) = sec x dx 103
(5.17)
Bukti
y = tan x =
sinx cosx
u = sin x v = cos x du dv = cos x = −sin x dx dx du dv dy dx . v − u. dx (cosx)(cosx) − (sinx)(−sinx) = = dx v cos x cos x + sin x 1 = = = sec x (terbukti) cos x cos x Jika y = tan u , maka
Bukti
dy du = (sec u) dx dx
(5.18)
dy = sec u du du = f'(x) u = f(x) dx dy dy du du = = (sec u) (terbukti) dx du dx dx y = tan u
Contoh 5.12
Jika y = 5 tan3x, tentukan
dy dx
Penyelesaian Misal u = 3x y = 5 tan u dy du =3 = 5 sec u dx du dy dy du = = (5 sec u)(3) = 15 sec 3x dx du dx Jika y = f(x) = cot x , maka
Bukti
y = cot x =
cosx sinx
dy = f'(x) = −csc x dx
u = cos x v = sin x du dv = −sin x = cos x dx dx du dv dy dx . v − u. dx (−sinx)(sinx) − (cosx)(cosx) = = dx v sin x 104
(5.19)
=
−sin x − cos x −(sin x + cos x) −1 = = = −csc x sin x sin x sin x
Jika y = cot u , maka
Bukti
dy du = (−csc u) dx dx
(terbukti) (5.20)
dy = −csc u du du u = f(x) = f'(x) dx dy dy du du = = (−csc u) (terbukti) dx du dx dx
y = cot u
Contoh 5.13 1 dy 1 Jika y = cot x, tentukan 3 dx 2 Penyelesaian 1 1 Misal u = x y = cot u 3 2 1 du 1 dy = = − csc u 2 dx 3 du dy dy du 1 1 1 1 = = (− csc u) = − csc x dx du dx 2 3 6 3 Jika y = f(x) = sec x , maka
Bukti
1 cosx Misal u = 1 du =0 dx
y = secx =
dy = f'(x) = secx tanx dx
(5.21)
v = cosx dv = −sinx dx
dv du dy dx . v − u. dx (0)(cosx) − (1)(−sinx) sinx = = = = secx tanx (terbukti) v dx cos x cos x Jika y = sec u , maka
Bukti
dy du = (sec u tan u) dx dx 105
(5.22)
dy = secu tanu du du u = f(x) = f'(x) dx dy dy du du = = (secu tanu) (terbukti) dx du dx dx y = sec u
Jika y = f(x) = csc x , maka
Bukti
1 sinx Misal u = 1 du =0 dx y = cscx =
dy = f'(x) = −cscx cotx dx
(5.23)
v = sinx dv = cosx dx
du dv dy dx . v − u. dx (0)(sinx) − (1)(cosx) −cosx = = = = −cscx cotx (terbukti) dx v sin x sin x
Jika y = csc u , maka
Bukti
dy du = −cscu cotu) dx dx
dy = −csc u cot u du du = f'(x) u = f(x) dx dy dy du du = = (−cscu cotu) (terbukti) dx du dx dx
(5.24)
y = csc u
Contoh 5.15 1 dy Jika y = csc(p − x), tentukan 3 dx Penyelesaian 1 Misal u = p − x y = cscu 3 du dy 1 = −1 = − cscu cotu dx du 3 dy dy du 1 1 1 = = (− cscu cotu)(−1) = cscu cotu = csc(p − x) cot(p − x) dx du dx 3 3 3 106
Soal-soal Tentukan turunan pertma dari fungsi-fungsi berikut! x p p 1. f(x) = sin − 6. f(x) = csc −x 2 3 3 p x 1 2. f(x) = cos − 7. g(t) = sin2t cospt 2 3 2 sin(aw − p) 3. g(x) = tan x 8. h(w) = cos(p − bw) at − sin2t 4. h(x) = cot x 9. v(t) = cos(b − t) x p cos2t 5. w(x) = sec − 10. g(t) = sint 2 3 sin3t 5.7 Turunan fungsi-fungsi trigonometri invers Jika y = f(x) = arcsinx, maka
Bukti y = arcsin x
dy 1 = f'(x) = dx √1 − x
(5.25)
® sin y = x dy 1 dy dx = =1® = cos y dx cos y dx dx Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini! sin y = x
cos y = 1 − x dy 1 = (terbukti) dx √1 − x
1
y
dy 1 = du √1 − u dy dy du 1 du = = (terbukti) dx du dx √1 − u dx y = arcsin u
1−x
dy 1 du = dx √1 − u dx
Jika y = arcsin u dan u = f(x), maka
Bukti
x
®
Contoh 5.16 3 1 dy Jika y = arcsin − x , tentukan 8 3 dx
107
(5.26)
Penyelesaian 1 3 Misal u = − x y = arcsin u 3 8 du 1 dy 3 1 =− = dx 3 du 8 √1 − u 1 1 dy dy du 3 1 = = − =− 3 dx du dx 8 √1 − u 1 8 1− x 9 Jika y = f(x) = arccos x, maka
Bukti y = arccos x
dy 1 = f'(x) = − dx √1 − x
(5.27)
® cos y = x dy dx dy 1 −sin y = =1® =− dx dx dx sin y Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini! cos y = x
sin y = 1 − x dy 1 =− dx √1 − x
Jika y = arccos u dan u = f(x), maka
Bukti
1
(terbukti)
y
1−x x
dy 1 du =− dx √1 − u dx
1 dy =− du √1 − u dy dy du 1 du = =− (terbukti) dx du dx √1 − u dx y = arccos u
Contoh 5.17
®
Jika y = −3 arccos 2x, tentukan
dy dx
Penyelesaian Misal u = 2x y = −3 arccos u du dy 1 =2 =3 dx du √1 − u dy dy du 1 6 6 = =3 (2) = = dx du dx √1 − u √1 − 4x 1 − (2x) 108
(5.28)
Jika y = f(x) = arctan x , maka
Bukti y = arctan x
dy 1 = f'(x) = dx 1+x
(5.29)
® tan y = x dy 1 dy dx = =1® = sec y dx sec y dx dx Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini! tan y = x sec y = 1 + x dy 1 = (terbukti) dx 1 + x 1+x x y
1
Jika y = arctan u dan u = f(x) , maka
Bukti
1 dy = du 1 + u 1 du dy dy du = = (terbukti) dx du dx 1 + u dx
dy 1 du = dx 1 + x dx
(5.30)
y = arctan u ®
Contoh 5.18 3 1 dy Jika y = arctan x, tentukan 5 3 dx Penyelesaian 1 3 Misal u = x y = arctan u 3 5 du 1 dy 3 1 = = dx 3 du 5 1 + u dy dy du 3 1 1 1 1 = = = = 1 dx du dx 5 1 + u 3 1 5 1+ x 5 1+ x 9 3 Jika y = f(x) = arccot x , maka
Bukti y = arccot x
dy 1 = f'(x) = − dx 1+x
® cot y = x dy dx dy 1 −csc y = =1® =− dx dx dx csc y 109
(5.31)
Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini! cot y = x csc y = 1 + x dy 1 =− (terbukti) dx 1+x 1+x y
x
Jika y = arctan u dan u = f(x) , maka
Bukti
1 dy =− 1+u du 1 du dy dy du = =− (terbukti) 1 + u dx dx du dx y = arccot u ®
Contoh 5.19
Jika y = 2 arccot 3x, tentukan
1
dy 1 du = dx 1 + x dx
(5.32)
dy dx
Penyelesaian Misal u = 3x y = 2arccot u dy 1 du =3 = −2 du 1+u dx dy dy du 1 1 6 = = −2 (3) = −6 =− (1 + (3x) ) (1 + 9x ) dx du dx 1+u Jika y = f(x) = arcsec x , maka
Bukti y = arcsec x
dy 1 = f'(x) = dx x√x − 1
® sec y = x dy dx dy 1 sec y tan y = =1® = dx dx dx sec y tan y Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini! sec y = x sec y tan y = x x − 1 dy 1 = (terbukti) dx x√x − 1 x x −1 y
1
110
(5.33)
Jika y = arcsec u dan u = f(x) , maka
Bukti
1 dy = du u√u − 1 dy dy du 1 du = = (terbukti) dx du dx u√u − 1 dx y = arcsec u ®
Contoh 5.20
Jika y = arcsec
dy 1 du = dx u√u − 1 dx
dy p − x , tentukan dx 2
Penyelesaian p Misal u = − x y = arcsec u 2 dy 1 du = −1 = du u√u − 1 dx dy dy du 1 = = (−1) = − dx du dx u√u − 1 p 2−x Jika y = f(x) = arccsc x , maka
Bukti y = arccsc x
(5.34)
1
p 2−x
−1
dy 1 = f'(x) = − dx x√x − 1
(5.35)
®
csc y = x dy dx dy 1 −csc y cot y = =1® =− dx dx dx csc y cot y Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini! csc y = x csc y cot y = x x − 1 dy 1 =− (terbukti) dx x√x − 1
x
y
1
x −1
Jika y = arccsc u dan u = f(x) , maka
Bukti
y = arccsc u ®
dy 1 =− du u√u − 1
dy 1 du =− dx u√u − 1 dx
111
(5.36)
du dy dy du 1 = =− (terbukti) dx du dx u√u − 1 dx Contoh 5.21
Jika y = arccsc x − Penyelesaian
p dy , tentukan 2 dx
p Misal u = x − y = 2arccot u 2 du dy 1 =1 =− dx du u√u − 1 1 1 dy dy du = =− (1) = − =− dx du dx u√u − 1 u√u − 1 Soal-soal Carilah turunan pertama dari soal-soal berikut! cos2x 1. y = arcsin(p − x) 3. y = arccos x 2. y = −3arccos 4x
p 2
x−
p −1 2
4. y = arctan x − sin3x
5.8 Turunan fungsi eksponen
Jika y = f(x) = e , maka
Bukti
x−
1
dy = f'(x) = e dx
x ® n Dengan menggunakan teorema binomial didapat,
(5.37)
e dide inisikan sebagai lim 1 + 1+
x n
=
1 x 0! n
+
(n). 1 1!
x n
+
n(n − 1). 1 2!
x n
+
n(n − 1)(n − 2). 1 x +⋯ 3! n 2 1 1 1− (1 − )(1 − ) n n n .x + ⋯ =1+x+ .x + 2! 3! 1 1 2 1−n (1 − n)(1 − n) x = lim 1 + x + .x + .x + ⋯ lim 1 + ® ® n 2! 3! e = 1+x+
x x + +⋯ 2! 3!
(5.38) 112
e= 1+1+
1 1 + +⋯ 2! 3!
(5.39)
Jika y = f(x) = ex f(x + Dx) − f(x) e D −e e (eD − 1) dy = f'(x) = lim = lim = lim Maka D ® D ® D ® Dx Dx Dx dx x x Dx Dx Karena e = 1 + x + + + ⋯ , maka eD − 1 = Dx + + +⋯ 2! 3! 2! 3! e (eD − 1) Dx Dx Sehingga lim = lim e 1 + + + ⋯ = e (terbukti) D ® D ® Dx 2! 3! Jika y = e dan u = f(x), maka
Bukti
dy =e du du u = f(x) = f'(x) dx du dy dy du = =e (terbukti) dx dx du dx
dy du =e dx dx
(5.40)
y=e
Contoh 5.22
Jika y = −2e
, tentukan
dy dx
Penyelesaian Misal u = a – bx du = −b dx dy = e (−b) = −be dx
5.9 Turunan fungsi logaritma
Jika y = f(x) = ln x , maka lim
D ®
Jika
dy 1 = f'(x) = dx x
(5.41)
1 Dx 1 x Dx 1 Dx ln 1 + = lim ln 1 + = lim ln 1 + x x D ® Dx x xD ® x Dx 1 Dx = ln lim 1 + D ® x x
Dx x 1 = u, maka = , sehingga x Dx u
113
D
D
1 Dx ln lim 1 + D ® x x
D
1 = ln lim [1 + u] ® x
Jika y = ln u dan u = f(x) , maka
Bukti
y = ln u
u = f(x)
dy dy du 1 du = = dx du dx u dx Contoh 5.23
dy 1 = du u du = f'(x) dx
1 1 = ln e = (terbukti) x x
dy 1 du = dx u dx
(5.42)
(terbukti)
dy 1 ln x, tentukan dx 3 Penyelesaian Jika y = e
1 v = ln x 3 dv 1 du = 2e = dx x dx dy du dv 1 1 = . v + u. = 2e . ln x + e . = e dx dx dx 3 x
Misal u = e
Jika y = f(x) = log x , maka
Bukti y = log x ® a = x
dy 1 = f'(x) = dx (ln a)x
1 ln x ln a 1 dy = (terbukti) dx (ln a)x
1 1 ln x + 3 x
(5.43)
y ln a = lx ® y =
Jika y = log u dan u = f(x) , maka
Bukti
dy 1 = du (ln a)u dy dy du 1 du = = (terbukti) dx du dx (ln a)u dx
dy 1 du = dx (ln a)u dx
y = log u ®
114
(5.44)
Contoh 5.24
Jika y = log (3 − 5x), tentukan
dy dx
Penyelesaian = −5 Diketahui a = 7. Misal u = 3 − 5x ® dy dy du 1 du 1 −5 = = = (−5) = dx du dx (ln a)u dx (ln 7)u (ln 7)(3 − 5x)
Soal-soal Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut! 2ln3x 1. y = xe 6. y = 5 − 6x 2. y =
3x 2e
3. y = x ln2x
x ln3x e x(ln4x + e ) 5. y = e 4. y =
5.10 Turunan fungsi hiperbolik
e ln4x 3 log (1 − x) 8. y = e x e 9. y = log 4x xln5x − e 10. y = e lnx
Jika y = f(x) = sinhx , maka
Bukti
7. y =
dy = f'(x) = coshx dx
(5.45)
1 y = f(x) = sinhx = (e − e ) 2 dy 1 = f'(x) = (e + e ) = coshx (terbukti) dx 2 Jika y = sinh u dan u = f(x) , maka
Bukti
dy = cosh u du dy dy du du = = cosh u (terbukti) dx du dx dx
dy du = cosh u dx dx
y = sinh u ® Contoh 5.25
1 dy Jika y = 3sinh x, tentukan 5 dx Penyelesaian
115
(5.46)
1 y = 3sinh u Misal u = x 5 du 1 dy = = 3cosh u dx 5 du dy dy du 1 3 1 = = (3cosh u)( ) = cosh x dx du dx 5 5 5 Jika y = f(x) = coshx , maka
Bukti
dy = f'(x) = sinhx dx
(5.47)
1 y = f(x) = sinhx = (e + e ) 2 1 dy = f'(x) = (e − e ) = sinhx (terbukti) 2 dx Jika y = sinh u dan u = f(x) , maka
Bukti
dy y = cosh u ® = sinh u du dy dy du du = = sinh u (terbukti) dx du dx dx Contoh 5.26
Jika y = cosh(1 − 2x), tentukan
dy du = cosh u dx dx
(5.48)
dy dx
Penyelesaian Misal u = 1–2x y = sinh u du dy = −2 = coshu dx du dy dy du = = (coshu)(−2) = −2cosh(1 − 2x) dx du dx Jika y = f(x) = tanh x , maka
Bukti
dy = f'(x) = sech x dx
sinhx coshx dy (coshx)(coshx) − (sinhx)(sinhx) cosh x − sinh x = f'(x) = = (coshx) dx cosh x 1 = = sech x (terbukti) cosh x y = f(x) = tanhx =
116
(5.49)
dy du = sech u dx dx
Jika y = tanh u dan u = f(x) , maka
Bukti
dy = sec u du dy dy du du = = sech u (terbukti) dx du dx dx
(5.50)
y = tanh u ®
Contoh 5.27
Jika y = tanh(a + bx), tentukan
dy dx
Penyelesaian Misal u = a+bx y = tanh u du dy =b = sech u dx du dy dy du = = (sech u)(b) = b sech (a + bx) dx du dx Jika y = f(x) = coth x , maka
Bukti
dy = f'(x) = −csch x dx
(5.51)
coshx sinhx (sinhx)(sinhx) − (coshx)(coshx) sinh x − cosh x dy = f'(x) = = (sinhx) sinh x dx −1 = = −csch x (terbukti) sinh x y = f(x) = cothx =
Jika y = coth u dan u = f(x) , maka
Bukti
dy du = −csch u dx dx
dy = −csch u du du dy dy du = = −csch u (terbukti) dx du dx dx y = tanh u ®
Contoh 5.28
Jika y = coth(a + bt), tentukan Penyelesaian Misal u = a+bt du =b dx
dy dt
y = coth u dy = −csch u du
117
(5.52)
dy dy du = = (−csch u)(b) = −b csch (a + bt) dx du dx Jika y = f(x) = sech x , maka
Bukti
y = f(x) = sechx =
Misal
1 coshx
dy = f'(x) = −tanhx sechx dx
(5.53)
u=1 v = coshx du dv =0 = sinhx dx dx du dv dy dx . v − u. dx (0)(coshx) − (1)(sinhx) −sinhx = = = = −tanhx sechx (terbukti) v cosh x cosh x dx Jika y = sech u dan u = f(x) , maka
Bukti
dy du = −tanhu sechu dx dx
(5.54)
dy = −tanhu sechu du dy dy du du = = −tanhu sechu (terbukti) dx du dx dx y = sech u ®
Contoh 5.29
1 1 dy Jika y = 2 sech( − x), tentukan 3 5 dt Penyelesaian 1 1 Misal u = − x y = 2 sechu 3 5 du 1 dy =− = −2 tanhu sechu dx 5 du dy dy du 1 2 = = (−2 tanhu sechu)(− ) = tanhu sechu dx du dx 5 5 2 1 1 1 1 = tanh − x sech − x 5 3 5 3 5 Jika y = f(x) = csch x , maka
Bukti
y = f(x) = cschx = Misal
u=1 du =0 dx
1 sinhx
dy = f'(x) = −cschx cothx dx
v = sinhx dv = coshx dx 118
(5.55)
du dv dy dx . v − u. dx (0)(sinhx) − (1)(coshx) −coshx = = = = −cschx cothx (terbukti) dx v sinh x sinh x Jika y = csch u dan u = f(x) , maka
Bukti
dy du = −cothu cschu dx dx
dy y = csch u ® = −cothu cschu du dy dy du du = = −cothu cschu (terbukti) dx du dx dx
(5.56)
Contoh 5.30
dy 1 1 Jika y = −3 csch( + x), tentukan dx 5 2 Penyelesaian 1 1 Misal u = + x y = −3cschu 5 2 du 1 dy = = 3cothu cschu dx 2 du dy dy du 1 3 1 1 1 1 = = (3 cothu cschu)( ) = coth + x csch + x dx du dx 2 2 5 2 5 2 Soal-soal Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut! ax + bx + c 1. y = sinh(2 − 3x) 6. y = coth(1 + 2x) e 2. y = cosh(ax − b) 7. y = sech2x sech3x 3. y = x sinh5x 8. y = ln(4 − 5x) 1 4. y = e cosh2x 9. y = x csch(x − 1) 5 5. y = ln(2 − x) tanh3x
5.11 Turunan fungsi hiperbolik invers Jika y = f(x) = sinh
x , maka
10. y = e csch(a − bx)
dy 1 = f'(x) = dx √x + 1
Bukti y = f(x) = sinh x = ln(x + x + 1) x 1+ dy 1 1 √x + 1 = √x + 1 + x = = (terbukti) dx x + √x + 1 √x + 1 x + √x + 1 √x + 1 119
(5.57)
dy 1 du = f'(x) = dx √u + 1 dx
Jika y = sinh u dan u = f(x) , maka
Bukti
dy 1 = du √u + 1 dy dy du du 1 = = (terbukti) dx du dx √u + 1 dx y = sinh
u®
Contoh 5.31
Jika y = −3 sinh
dy 1 x, tentukan dx 2
Penyelesaian 1 y = −3sinh u Misal u = x 2 du 1 dy 1 = = dx 2 du √u + 1 1 1 dy dy du 1 = = = = dx du dx 2√u + 1 √u + 1 2 Jika y = cosh x , maka
2
1
1 x 2
dy 1 = f'(x) = ,x > 1 dx √x − 1
Bukti y = f(x) = cosh x = ln(x + x − 1) x 1+ dy 1 1 √x − 1 = √x − 1 + x = = , dx x + √x − 1 √x − 1 x + √x − 1 √x − 1 Jika y = cosh u dn u = f(x) , maka
Bukti
dy 1 = du √u − 1 dy dy du 1 du = = (terbukti) dx du dx √u − 1 dx y = cosh
(5.58)
dy 1 du = , dx √u − 1 dx
u®
Contoh 5.32
Jika y = cosh
Penyelesaian 3 Misal u = x 4
3 dy x, tentukan 4 dx
y = cosh u 120
+1
=
2
1 x +1 4
x>1 ( x>1
1
(5.59)
) (5.60)
du 3 dy 1 = = dx 4 du √u − 1 dy dy du 1 3 3 = = = = dx du dx √u − 1 4 4√u − 1 Jika y = f(x) = tanh x , maka
Bukti
3 x 4
−1
dy 1 = f'(x) = , |x| < 1 dx 1−x
1 1+x , |x| < 1 y = f(x) = tanh x = ln 2 1−x 2 1−x dy 1 1 |x| < 1 ( = = , dx 2 (1 − x) 1 + x 1 − x Jika y = tanh u dan u = f(x) , maka
Bukti
1 dy = du 1 − u dy dy du 1 du = = , |u| < 1 ( dx du dx 1 − u dx Jika y = tanh (2x − 1), tentukan
=
4
3
9 x −1 16 (5.61)
)
dy 1 du = , |u| < 1 dx 1 − u dx
y = tanh u ® Contoh 5.33
4
3
(5.62)
) dy dx
Penyelesaian Misal u = 2x − 1 y = tanh u du dy 1 =2 = dx du 1 − u 1 2 dy dy du = = (2) = dx du dx 1−u 1 − (2x − 1) Jika y = f(x) = coth x , maka
Bukti
dy 1 = f'(x) = , |x| > 1 dx x −1
1 x+1 y = f(x) = coth x = ln , |x| > 1 2 x−1 dy 1 −2 1 − x 1 1 = =− = , dx 2 (1 − x) 1 + x 1−x x −1 Jika y = coth u dan u = f(x) , maka
|x| > 1 (
dy 1 du = , |u| > 1 dx u − 1 dx
121
(5.63)
) (5.64)
Bukti
dy 1 = du u − 1 dy dy du 1 du = = , |u| > 1 ( dx du dx u − 1 dx y = coth u ®
Contoh 5.34
Jika y = 3 coth (2 − 3x), tentukan
) dy dx
Penyelesaian Misal u = 2 − 3x y = 3coth u du dy 3 = −3 = dx du u − 1 dy dy du 3 −9 = = (−3) = dx du dx u −1 (2 − 3x) − 1 Jika y = f(x) = sech x , maka
Bukti
y = f(x) = sech x = ln dy 1 =− , dx x√1 − x Jika y = sech
Bukti
dy 1 = f'(x) = − ,0 < dx x√1 − x
1 + √1 − x , x
0<
<1 (
)
u dan u = f(x) , maka
dy 1 =− du u√1 − u dy dy du 1 du = =− , 0< dx du dx u√1 − u dx y = sech u ®
Contoh 5.35
0<
Jika y = −2 sech (1 − x), tentukan
dy dx
)
Penyelesaian Misal u = 1 − x y = −2 sech u du dy −2 = −1 = dx du u√1 − u dy dy du −2 2 = = (−1) = dx du dx u√1 − u (1 − x) 1 − (1 − x)
122
(5.65)
<1
dy 1 du = , dx u√1 − u dx
<1 (
<1
0<
<1
(5.66)
Jika y = f(x) = csch x , maka
Bukti
y = f(x) = csch x = ln
dy 1 = f'(x) = − dx |x|√1 + x
(5.67)
1 + √1 + x x
dy 1 =− (terbukti) dx |x|√1 + x
Jika y = csch u dan u = f(x) , maka
Bukti
dy 1 du =− dx |u|√1 + u dx
(5.68)
dy 1 =− du |u|√1 + u dy dy du 1 du = =− (terbukti) dx du dx |u|√1 + u dx y = csch u ®
Contoh 5.36
Jika y = csch (sinx), tentukan
dy dx
Penyelesaian Misal u = sin x y = csch u dy 1 du = cos x =− du dx |u|√1 + u dy dy du 1 cos x cos x = =− (cos x) = − = dx du dx |u|√1 + u |sin x|√1 + sin x |sin x| 1 + (sin x) Soal-soal Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi: 1. y = sinh (cos x) 4. y = x coth x
2. y = cosh (sin 2x)
5. y = sech (x sinx)
3. y = tanh (3x + p) 6. y = e
csch (1 − 2x)
5.12 Turunan tingkat tinggi Jika terdapat suatu fungsi f(x) yang differensiable, maka kita dapat mencari turunan pertamanya yaitu f’(x). Jika turunan pertama tersebut juga differensiable maka kita dapat menentukan turunan kedua dari fungsi tersebut. Secara umum jika turunan ke (n-1) differensiable maka kita dapat menentukan turunan ke n dari fungsi tersebut. Biasanya turunan kedua dan seterusnya dari suatu fungsi disebut turunan tingkat tinggi. Turunan pertama, kedua dan ketiga ditulis dengan lambang: dy d y d y , dan atau f'(x), f''(x) dan f'''(x). Sedangkan untuk turunan ke n, dengan n³4, dx dx dx d y kita gunakan lambang atau f ( ) (x). dx 123
Contoh 5.37
Tentukan turunan pertama sampai dengan turunan keempat dari f(x) = (x − 4) Penyelesaian dy = f'(x) = 3(x − 4) (2x) = 6x(x − 4) dx d y = f''(x) = 6(x − 4) + 6x(2(x − 4)(2x)) = 6(x − 4) + 24x (x − 4) dx d y = f'''(x) = 12(x − 4)(2x) + 48x(x − 4) + 24x (2x) = 120x − 208x dx d y = f ( ) (x) = 360x − 208 dx Soal-soal Tentukan turunan kedua dari fungsi-fungsi, 1. f(x) = 2xe 4. f(x) =
2. f(x) = ln(a − bx)
x +4 1−x
5. f(x) = sin (a − bx)
3. f(x) =
x x +1
6. f(x) = cos (mx + n)
5.13 Differensial Pada pembahasan mengenai masalah turunan kita telah menggunakan lambang dy/dx sebagai suatu kesatuan dan merupakan lambang dari turunan pertama suatu fungsi x. Pada pasal ini kita akan membahas pengertian dy dan dx secara terpisah. Misal terdapat suatu persamaan y = f(x). Dari Gambar 5.5 y
f(x + x)
y
f(x)
l1
l 0
didapat Dy =
Dy Dx Dx
dy
x = dx
f(x) x
Gambar 5.5
124
x+x
x
(5.69)
Jika harga x sangat kecil, maka y menjadi sangat kecil juga. Sehingga persamaan 5.68 dapat ditulis menjadi, dy = f'(x) dx
(5.70)
Pada persamaan 5.70 diatas dx dan dy disebut differensial dari x dan y. Differensial y atau dy adalah perubahan kecil pada peubah y akibat adanya perubahan kecil pada peubah x atau dx. Contoh 5.38 Jika y = x2 - 2x – 3, tentukan differensial y Penyelesaian : f(x) = x2 - 2x – 3 f’(x) = 2x – 2 Sehingga : dy = (2x-2) dx = 2(x-1) dx
Contoh 5.39 Volume sebuah silinder adalah V = r2h. Jika jari-jari silinder tersebut membesar 1% dari jari-jari asal, tentukan perubahan volumenya. Penyelesaian : f(r) = r2h f’(r) = 2rh dV = f’(r) dr = 2rh (0,01r) = 0,02 r2h Jadi perubahan volume silinder adalah sebesar 0,02 r2h
Soal-soal 1. Sebuah bola mempunyai jari-jari 15 cm. Akibat meningkatnya temperatur maka jari-jari bola tersebut meningkat menjadi 15,02 cm. Berapakah perubahan volume bola tersebut ? 2. Sebuah kolam renang berisi penuh dengan air.Ukuran kolam renang tsb adalah sebagai berikut : panjang = 50 m, lebar = 20 meter dan kedalaman = 3 meter. Akibat adanya penguapan kedalaman air berkurang menjadi 2,98 m. Berapakah volume air yang menguap ?
5.14 Turunan fungsi implisit Pada pasal-pasal sebelumnya kita telah mempelajari turunan fungsi-fungsi eksplisit, yaitu fungsi yang mempunyai bentuk y =f(x). Akan tetapi tidak semua fungsi mempunyai bentuk eksplisit. Sebagian mempunyai bentuk implisit, yaitu fungsi yang mempunyai bentuk F(x,y) = 0. Untuk mencari turunan fungsi implisit kita gunakan aturan sebagai berikut. 1. Jika pada F(x,y) = 0 mengandung suku g(x) maka, d g(x) = g'(x) dx
125
(5.71)
2. Jika pada F(x,y) = 0 mengandung suku h(y) maka, d dy h(y) = h'(y) dx dx
3. Jika pada F(x,y) = 0 mengandung suku u(x) dan v(y) maka, d [ ( ) ( )] = u'(x) v(y) + u(x) v'(y) dx
Contoh 5.40 dy dari x − 3xy + y = 4 Tentukan dx Penyelesaian x − 3xy + y = 4 ® x − 3xy + y − 4 = 0 dy dy 2x − 3y − 3x + 2y − 0 = 0 dx dx dy dy 3y + 2x (2y − 3x) = 3y − 2x ® = dx dx 2y − 3x Contoh 5.41
dy dari x y + xy = 6 pada titik (1,2) dx Penyelesaian Tentukan
x y + xy = 6 ® x y + xy − 6 = 0 2xy + x
dy dy + y + 2xy = 0 dx dx
(x + 2xy)
dy dx
dy dy −(2xy + y ) = −(2xy + y ) ® = dx dx (x + 2xy)
=−
8 5
Soal-soal
dy dari: dx i) x + y = sin xy ii) xy = cos(x + y) iii) y = e iv) y = ln(xy)
1. Tentukan
2. Tentukan nilai i) 3xy + e
dy pada titik (1,0) dari: dx =e ii) x + y + xy = 1 126
(5.72)
(5.73)
5.15 Turunan fungsi parameter Fungsi parameter adalah fungsi yang mempunyai bentuk, x = f(t) dan y = g(t) , dengan t adalah parameter
(5.74)
dy dy/dt = dx dx/dt
(5.75)
Untuk menentukan turunan pertama atau dy/dx dari fungsi parameter, terlebih dahulu kita tentukan dx/dt dan dy/dt. Selanjutnya dy/dx dicari dengan rumus:
Soal-soal
Tentukan
1. 2. 3.
dy dari fungsi parameter berikut. dx
x = (t + 3) y = (t − 4)
x=e y = ln(5t − 7) x = sin(t − p) y = cos2t
t +1 t+1 4. 1−t ⎨ ⎩y = t ⎧x =
127
BAB VI PENERAPAN DIFFERENSIASI
6.1 Persamaan garis singgung Bentuk umum persamaan garis adalah y = mx + n, dimana m adalah koeffisien arah atau kemiringan garis dan n adalah penggal garis. Sekarang perhatikan Gambar 6.1.
y
dy f(x + x)
y
f(x) l1 x = dx
f(x) l 0
x
x+ x
x
Gambar 6.1 Jadi dapat disimpulkan bahwa kemiringan garis yang menyinggung titik (x,y) pada f(x) adalah
Jika garis tersebut menyinggung titik P(x1,y1) maka kemiringannya adalah
128
Contoh 6.1 Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva y = x2 + x -3 di titik P(2,3) Penyelesaian
Kemiringan garis singgung yang menyinggung titik P(2,3) adalah
Persamaan garis : y = mx + n. Karena menyinggung titik P(2,3) maka 3 = 5(2) + n n = –7. Jadi garis singgung yang menyinggung titik P(2,3) adalah y = 5x – 7 6.2 Persamaan garis normal Garis normal adalah garis yang tegak lurus terhadap garis singgung. Dari pembahasan terdahulu kita telah mengetahui bahwa dua garis dikatakan saling tegak lurus jika perkalian kemiringan garisnya sama dengan -1; atau dalam bentuk rumus dapat ditulis menjadi,
dimana m1 adalah kemiringan garis singgung dan m2 adalah kemiringan garis normalnya. Contoh 6.2 Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di titik (1,6) pada kurva y = 3x2 – 2x + 5 Penyelesaian
Jadi, Persamaan garis singgung y1 = m1x1 + n1
y1 = 4x1 + 2
Contoh 6.3 Tentukan persamaan garis singgung, garis normal dan titik singgung pada t = 2 Penyelesaian Titik singgung untuk t = 2 adalah (–2,12)
129
Persamaan garis singgung y = 12x + 36
Soal-soal 1. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal dari kurva:
2. Tentukan persamaan garis singgung, garis normal dan titik singgung dari fungsi parameter
6.3 Kelengkungan (Curvature) Besarnya kelengkungan suatu kurva di titik tertentu dipengaruhi seberapa cepatnya perubahan arah dari kurva di titik tersebut. Jika perubahan arah suatu kurva di titik tertentu terjadi secara berangsur-angsur maka harga kelengkungannya besar. Sebaliknya jika perubahan arah kurva terjadi secara mendadak maka kelengkungannya kecil. 6.3.1 Jari-jari kelengkungan y C
R
R
Q s P
+
0 Gambar 6.2
130
x
Pada Gambar 6.2 dapat dilihat bahwa garis normal CP dan CQ berpotongan di titik C. Panjang busur PQ = s. Jika jarak titik P dan titik Q sangan kecil, maka CP = CQ = R dan panjang busur s 0. Telah diketahui bahwa panjang busur suatu lingkaran yang dibatasi oleh sudut adalah R. Sehingga panjang busur,
s
y x
Gambar 6.3 Perhatikan Gambar 6.3
Jadi jari-jari kelengkungan di titik (x,y) adalah
Sedangkan jari-jari kelengkungan di titik (x1,y1) adalah
131
Contoh 6.4 Tentukan jari-jari kelengkungan dari hiperbola xy = 9 si titik (3,3) Penyelesaian
6.3.2 Pusat kelengkungan ( Center of Curvature )
y C R
k L
P(x,y)
0
h x1 Gambar 6.4
132
x
Dari Gambar 6.4 didapat LC = R cos LP = R sin h = x1 – LP k = y1 + LC Sehingga, Contoh 6.5 Tentukan pusat kelengkungan dari kurva pada contoh 6.4 Penyelesaian
Soal-soal 1. Tentukan jari-jari kelengkungan dan pusat kelengkungan untuk kurva : a) y = x2 + lnx–24 di titik (1,–23)
c) y2 = –x2 +4x – 3 di titik (1,0) 2. Tentukan jari-jari dan pusat kelengkungan dari fungsi parametrik 6.4 Nilai ekstrim Misal terdapat suatu hasil pengukuran seperti yang situnjukkan pada Gambar 6.5. Pengukuran tersebut dapat berupa pengukuran temperatur, tekanan atau pertumbuhan suatu jenis bakteri terhadap waktu atau pengukuran lainnya. Jika kita perhatikan Gambar 6.5, harga pengukuran meningkat pada [x0,x1], menurun pada [x1,x2] dan seterusnya hingga konstan pada selang [x6 , x7]. Definisi 6.4.1 Misal suatu fungsi terdefinsi pada selang I. Jika x1 dan x2 adalah dua buah bilangan yang terletak pada selang I, maka : i) fungsi f naik pada selang I, jika x1 < x2 menghasilkan f(x1) < f(x2) ii) fungsi f naik pada selang I, jika x1 < x2 menghasilkan f(x1) > f(x2) iii) fungsi f konstan selang I jika f(x1) = f(x2) untuk setiap harga x1 dan x2 133
y
0
x0 = a
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x
x7
Gambar 5.5 Teorema 6.4.2 Jika suatu f kontinu pada selang tertutup [a,b] maka f setidak-tidaknya mempunyai satu nilai maksimum dan minimum [a,b]. Contoh 6.6 Jika diketahui f(x) = x2 + 5x + 6, tentukan nilai ekstrim f untuk selang-selang berikut : a) [-2,0] b) (-3, 1) c) [-3,-2) d) (-1,1] Penyelesaian : y
-2 0
y
x
-3
(a)
(b) y
-3
x
0 1
-2 0
y
x
-1 1 (d)
(c) Gambar 5.6 134
x
a) Pada selang [-2,0] Maksimum =f(0)=6 Minimum = f(-2) = 0 b) Pada selang (-3,1) Maksimum tidak ada (f tak kontinu pada x=-3) Minimum tidak ada (f tak kontinu pada x = 1) c) Pada selang [-3,-2) Maksimum =f(-3)=0 Minimum tidak ada (f tak kontinu pada x = -2) d) Pada selang (-1,1] Maksimum tidak ada (f tak kontinu pada x = -1 Minimum = f(1) = 12 6.4.1 Nilai Ekstrim Lokal Istilah nilai ekstrim lokal sering digunakan apabila terdapat suatu selang terbuka yang mengandung bilangan c sedemikian rupa sehingga f mempunyai nilai terbesar (maksimum) atau terkecil (minimum). Setiap harga f yang mempunyai harga maksimum atau minimum disebut ekstrim lokal. Definisi 6.4.3 Jika c adlah bilangan yang terletak dalam daerah definisi (domain) fungsi, maka i) f(c) adalah maksimum lokal f jika terdapat suatu selang terbuka (a,b) yang mengandung c sedemikian rupa sehingga f(x) f(c) untuk setiap x pada (a,b). ii) f(c) adalah minimum lokal f jika terdapat suatu selang terbuka (a,b) yang mengandung c sedemikian rupa sehingga f(x) f(c) untuk setiap x pada (a,b). y
Maksimum lokal 0
a
x
Minimum lokal b
x1
c
x
Gambar 6.7 Teorema 6.4.4 Misal c adalah bilangan yang terletak pada selang terbuka (a,b). Suatu fungsi f j ’ Teorema 6.4.5 Misal c adalah bilangan yang terletak pada selang terbuka (a,b). Suatu fungsi f j ’ sama dengan 0. 135
Teorema 6.4.6 Misal c adalah bilangan yang terletak pada selang tertutup [a,b]. Suatu fungsi f j ’ Teorema 6.4.7
’
6.4.2 Nilai Ekstrim Mutlak Jika f(c) adalah nilai maksimum mutlak dari fungsi f, maka kita dapat menyimpulkan bahwa titik (c, f(c)) merupakan titik tertinggi pada garafik f. Sebaliknya f(c) adalah minimum mutlak dari fungsi f, maka titik (c,f(c)) merupakan titik terendah pada grafik f. Nilai maksimum dan/atau minimum sering disebut juga dengan nilai ekstrim fungsi f. Teorema 6.4.8 Misal fungsi f terdefinisi pada suatu himpunan bilangan ril S. Jika c terletak pada S, maka : i) f(c) adalah nilai maksimum mutlak f jika f(x) f(c) untuk setiap nilai x yang terletak dalam S. ii) f(c) adalah nilai minimum mutlak f jika f(x) f(c) untuk setiap nilai x yang terletak dalam S. Tuntunan untuk medapatkan nilai-nilai ekstrim fungsi f yang kontinu pada selang tertutup [a,b] : 1. Tentukan seluruh nilai kritis f pada selang terbuka (a,b) 2. Tentukan titik ujung a) Jika fungsi f terletak pada selang tertutup [a,b] maka titik ujungnya adalah a dan b. b) Jika fungsi f terletak pada selang terbuka (a,b) maka f tidak mempunyai titik ujung. c) Jika fungsi f terletak pada selang setengah terbuka (a,b] maka titik ujungnya adalah b. d) Jika fungsi f terletak pada selang setengah terbuka [a,b) maka titik ujungnya adalah a. 3. Hitung nilai f(c) untuk setiap bilangan kritis c yang didapat dari nomor 1 diatas. 4. Hitung harga f pada setiap titik ujung. 5. Nilai maksimum dan minimum dari fungsi f adalah nilai terbesar dan terkecil yang dihitung pada nomor 3 dan 4 diatas. Tuntunan untuk medapatkan nilai-nilai ekstrim fungsi f yang kontinu pada selang terbuka (a,b) : 1. Tentukan seluruh nilai kritis f pada selang terbuka (a,b). 2. Hitung nilai f(c) untuk seluruh nilai kritis. 3. Nilai maksimum dan minimum dari fungsi f adalah nilai terbesar dan terkecil yang dihitung pada nomor 2 diatas. Tuntunan untuk medapatkan nilai-nilai ekstrim fungsi f yang kontinu pada selang setengah terbuka [a,b) : 1. Tentukan seluruh nilai kritis f pada selang terbuka (a,b). 2. Hitung nilai f(c) untuk seluruh nilai kritis. 136
3. Hitung nilai f(a) 4. Nilai maksimum dan minimum dari fungsi f adalah nilai terbesar dan terkecil yang dihitung pada nomor 2 dan 3 diatas. Tuntunan untuk medapatkan nilai-nilai ekstrim fungsi f yang kontinu pada selang setengah terbuka (a,b] : 1. Tentukan seluruh nilai kritis f pada selang terbuka (a,b). 2. Hitung nilai f(c) untuk seluruh nilai kritis. 3. Hitung nilai f(b) 4. Nilai maksimum dan minimum dari fungsi f adalah nilai terbesar dan terkecil yang dihitung pada nomor 2 dan 3 diatas. Contoh 5.7 Jika diketahui f(x) = 2x3 - 3x2 – 12x + 10, tentukan nilai maksimum dan minimum f pada selang tertutup [-4,3] Penyelesaian : Menentukan bilangan kritis (lihat teorema 5.4.7) f(x) = 2x3 - 3x2 – 12x + 10 2 – 6x – 12 = 0 ’ 2 6x – 6x – 12 = 0 6(x2 – x – 2) = 0 6(x-2)(x+1) = 0 x1 = 2 ; x2 = -1 f(x1) = f(2) = 16 – 12 – 24 + 10 = -10 f(x2) = f(-1) = -2 – 3 + 12 + 10 = 17 Titik ujung : -4 dan 3 f(-4) = -64 – 48 + 48 + 10 = -54 f(3) = 54 – 27 -36 + 10 = 1 Jadi : f(2) adalah minimum lokal f(-1) adalah maksimum lokal dan maksimum mutlak f(-4) adalah minimum mutlak y 17 -4
-3 -2
-1
1 2 3 0
Gambar 6.8
137
x
Soal-soal 1. Tentukan nilai-nilai ekstrim dari fungsi berikut ini serta gambarkan grafiknya! a) f(x) =
1 2 x 2x ; [2,5] 2
c) f(x) = 3x2 1 0x 7 ; [-1,3)
b) f(x) = 5 6x2 2x3 ; (-3,1]
d) f(x) = x 4 5x2 4 ; (-2,2)
2. Tentukan nilai-nilai kritis dari fungsi-fungsi berikut ini! a) f(x) = 4x2 3x 2
c) f(x) = 2x3 x2 2 0x 4
b) f(x) = 2x + 5
d) f(x) = 4x3 5x2 4 2x 7
6.5 Kecekungan dan kecembungan Jika terdapat sebuah persamaan lingkaran x2 + y2 = r2, maka persamaan tersebut dapat ditulis menjadi atau
y
y -r
-r
0
r
r
x
x
(a)
(b) Gambar 6.9
Jika kita perhatikan Gambar 6.7 (a) maka akan terlihat bahwa garis singgung yang menyinggung kurva pada sembarang titik selalu berada pada bagian atas kurva pada selang terbuka (–r,r). Sedangkan pada Gambar 6.7 (b) garis singgung yang menyinggung kurva selalu berada bagian bawah kurva pada selang terbuka (–r,r). Bentuk Gambar 6.7 (a) biasanya disebut cembung keatas atau cekung kebawah dan Gambar 6.7 (b) biasanya disebut cembung kebawah atau cekung keatas. Definisi 6.5.1 Kurva f dikatakan cembung ke bawah (cekung keatas) pada selang (a,b) jika garis singgung yang menyinggung kurva pada sembarang titik pada selang (a,b) selalu terletak pada bagian bawah kurva f. Sebaliknya kurva f dikatakan cembung keatas (cekung kebawah) jika garis singgung yang menyinggung kurva pada sembarang titik pada selang (a,b) selalu terletak pada bagian atas kurva f. 138
Kurva f pada Gambar 5.10 cembung keatas pada selang (a,b) dan cembung kebawah pada selang (b,c). y cembung ke bawah
cembung keatas
0
a
b
c
x
Gambar 6.10 Definisi 6.5.2 Jika pada selang (a,b) terdapat sembarang bilangan ril xo dan harga turunan kedua f pada x = xo ’’ o) < 0 maka kurva f pada selang tersebut cekung kebawah atau cembung keatas. Jika pada selang (a,b) ’’ o) > 0, maka kurva f pada selang tersebut cekung keatas atau cembung kebawah. Definisi 6.5.3 Misal kurva f mempunyai persamaan y = f(x) dan kontinu di titik x = xo ’’ o) = 0 dan disekitar x = xo ’’ > < o ’’ < 0 untuk x>xo atau berlaku ’’ < < o ’’ > > o, maka titik (xo,f(xo)) merupakan titik belok dari kurva tersebut. Contoh 6.8 Tentukan daerah cembung keatas dan cembung kebawah jika diketahui : f(x) = 6 – 5x + x2. Penyelesaian : f(x) = 6 – 5x + x2 ’ ’’ ’’ > o, maka kurva f cembung kebawah. Contoh 6.9 Jika diketahui persamaan f(x) = 2+x+3x2-x3, tentukan daerah pada kurva f yang merupakan daerah cembung kebawah, daerah cembung keatas dan titik belok dari kurva yang dimaksud ! Penyelesaian : f(x) = 2+x+3x2-x3 ’ – 3x2 ’’ – 6x Daerah cembung keatas : ’’ – 6x < 0 x>1 Daerah cembung kebawah : ’’ – 6x > 0 x<1 Titik belok : ’’ – 6x = 0 x=1 139
Soal-soal Tentukan daerah cembung kebawah, cembung keatas dan titik belok kurva dari fungsi berikut jika ada!
6.6 Kecepatan dan percepatan sesaat 6.6.1 Kecepatan Sebelum kita membahas kecepatan dan percepatan sesaat, kiranya kita perlu mengetahui apa yang dimaksud dengan kecepatan dan percepatan rata-rata. Kecepatan rata-rata pada bidang datar didefinisikan sebagai,
dimana s2 dan s1 adalah masing-masing posisi akhir dan awal terhadap titik acuan. Sedangkan t2 dan t1 adalah waktu yang dibutuhkan untuk mencapai posisi akhir dan posisi awal. Untuk selisih waktu ( t) yang cukup besar, maka persamaan 6.8 hanya dapat digunakan untuk menentukan kecepatan rata-rata saja; tidak dapat digunakan untuk menghitung kecepatan untuk suatu saat tertentu. Sebetulnya persamaan 6.8 dapat digunakan untuk menentukan kecepatan untuk suatu saat tertentu, dengan catatan t sangat kecil atau dalam bentuk rumus,
dimana v adalah kecepatan sesaat dan ds/dt adalah turunan pertama dari lintasan. Lintasan (s) adalah fungsi waktu atau dapat ditulis dalam bentuk s = s(t). 6.6.2 Percepatan Percepatan rata-rata ( a ) pada bidang datar didefinisikan sebagai berikut.
dimana v2 dan v1 adalah masing-masing posisi akhir dan awal terhadap titik acuan. Sedangkan t2 dan t1 adalah waktu yang dibutuhkan untuk mencapai posisi akhir dan posisi awal. Untuk selisih waktu ( t) yang cukup besar, maka persamaan 6.8 hanya dapat digunakan untuk menentukan percepatan rata-rata saja; tidak dapat digunakan untuk menghitung percepatan untuk suatu saat tertentu. Sebetulnya persamaan 6.10 dapat digunakan untuk menentukan percepatan untuk suatu saat tertentu, dengan catatan t sangat kecil atau dalam bentuk rumus, 140
dimana a adalah kecepatan sesaat dan dv/dt adalah turunan pertama dari kecepatan. Contoh 6.10 Lintasan sebuah partikel ditunjukkan oleh persamaan s = 3t2 – 5t + 2, dimana t dalam detik dan s dalam satuan meter. Tentukan panjang lintasan, kecepatan dan percepatan pada saat t = 15 detik. Penyelesaian
Untuk t = 15 detik : Didapat : s = 15(45 – 5) = 600 meter v = 90 – 5 = 85 m/detik a = 6 m/detik2 Soal Berikut adalah lintasan partikel yang bergerak dengan percepatan konstan. Tentukan panjang lintasan dan kecepatan partikel pada waktu t = 50 detik! s (meter)
240
110 0
10
15
141
t (detik)
BAB VII INTEGRAL TAK TENTU
7.1 Anti turunan dan integral tak tentu Pada bab terdahulu kita telah membahas turunan dari suatu fungsi, yaitu jika dikatahui f(x) maka proses differensiasi dari f(x) akan menghasilkan turunan f(x) dan ditulis dengan f’(x). Pada bab ini kita akan membahas kebalikan dari proses differensiasi atau lebih dikenal dengan proses integrasi . Jika pada proses differensiasi menghasilkan turunan maka pada proses integrasi akan menghasilkan anti turunan. Misal diketahui fungsi f maka proses integrasi adalah proses menentukan F(x) sedemikian rupa sehingga F’(x) = f(x). F(x) dinamakan anti turunan dari f(x). Sebagai contoh F(x) = x 3 adalah anti turunan f(x) = 3x2, karena F (x) =
dF(x) d(x ) = = x = f(x) dx dx
Akan tetapi masih terdapat banyak anti turunan dari x3, seperti : x3 + 1, x3 + , x3 – e dll. Jadi dapat disimpulkan bahwa setiap (x3 + bilangan konstan) merupakan anti turunan ( disebut juga primitif ) dari 3x2. Jika bilangan konstan kita lambangkan dengan C maka anti turunan dari 3x2 adalah x3 + C. Proses untuk menentukan anti turunan dari f(x) disebut proses integrasi dan ditulis dalam bentuk, f(x) dx = F(x)
( . )
Simbol “∫” disebut tanda integral dan persamaan 7.1 dibaca “integral tak tentu dari f(x) terhadap x adalah F(x) ditambah bilangan konstan”. f(x) adalah integran, F(x) + C adalah anti turunan dari f(x), C adalah konstanta integrasi, sedangkan faktor dx menunjukkan bahwa peubah integrasi adalah x. 7.2 Rumus-rumus integral tak tentu .
f (x) dx = d dx
.
df(x) dx = f(x) dx
f (x) dx = f(x)
.
kf(x) dx = k
.
f(x)
f(x) dx
g(x) dx =
k adalah bilangan konstan
f(x)dx
g(x)dx
V. Rumus-rumus teknis Berikut diberikan rumus-rumus teknik integral yang bersifat standar dan dapat dipakai langsung untuk menentukan anti turunan (primitif) dari suatu fungsi.
142
.
du = u
.
k u du =
. . .
u
k
u
n
n
du = ln u
k du = e n ka ka du = n lna ke
cosu
.
cscu du = ln cscu
.
sec u du = tanu
.
csc u du =
.
secu tanu du = secu
.
cscu cot du =
.
sinu du =
.
.
cosu du = sinu
.
.
tanu du =
.
.
cotu du = ln sinu
.
secu du = ln secu
ln cosu
a a
u
x dx
.
.
x
dx
.
du = tan a
u
a
x dx
.
Penyelesaian .
x dx =
.
x
x
dx =
.
x dx =
.
tanx dx = secx
x
= x
dx =
x
x dx =
=
x
sinx . cosx dx = cosx
x
=
x
= x sinx dx =
cosx
Contoh 7.2 Selesaikan
( x
cosx) dx
Penyelesaian ( x
cosx) dx = = x
x dx
cosx dx =
sinx
143
cscu
du = sin
Contoh 7.1 Selesaikan .
cotu
u a u a
du = sec a u u a u du = ln a u a u
. tanu
u
cotu
x
sinx
du = ln u
tanx dx secx
u a a a u
a
Contoh 7.3 (
)
Pen elesaian (
)
=
=
= x
x
x
(
)
= x
x
x
7.3 Integrasi dengan substitusi Rumus-rumus integral tak tentu yang telah dijelaskan pada pasal 7.2 hanya dapat digunakan untuk mengevaluasi integral-integral dari fungsi yang sederhana saja. Sehingga tidak dapat digunakan untuk mengevaluasi integral seperti ∫ dx atau ∫sin3x dx. Pada pasal ini kita akan menggunakan metode untuk mngubah variabel dari integran agar menjadi bentuk standar. Dari rumus terdahulu telah diketahui bahwa, d d h(x) dx = h(x) dx dx dx Jika h(x) adalah fungsi komposisi Fog maka h(x) = F(g(x)). Sehingga, d d d F(g(x)) dx = F(g(x)) dx = F(g(x)) F(g(x)) = F (g(x)). g (x) dx dx dx d arena F = f maka F(g(x)) = f(g(x)). g (x) dx d Sehingga didapat F(g(x)) dx = f(g(x)). g (x) ( ) dx Jika u = g(x) du = g’(x)dx (**) Substitusi (*) ke (**) didapat, d F(g(x)) dx = dx
f(u) du = F(u)
( . )
Contoh 7.4 Selesaikan
x dx
Penyelesaian Misal u = 1–2x
du = –2 dx
x dx =
u du =
Contoh 7.5 Selesaikan
x x
Penyelesaian Misal u = x2 – 1 x dx = x
u
=
dx du = 2x dx du = ln u u
= ln(x
144
)
u
=
(
x)
Soal-soal Selesaikan .
x x
.
e
dx
.
cosx dx
.
x x
dx
x
(tan x
) ln(tanx) dx
7.4 Integrasi bagian demi bagian (Integration by parts) Dalam mengevaluasi integral sering kali kita menjumpai integran dalam bentuk perkalian fungsi-fungsi. Salah satu teknik untuk mengevalusai integral tersebut adalah dengan menggunakan teknik integrasi bagian demi bagian atau sering juga digunakan istilah integral parsial. Pada saat kita mempelajari turunan, kita telah mengetahui bahwa, dh(x) df(x) dg(x) = . h(x) g(x). ika f(x) = g(x). h(x) maka dx dx dx dg(x) dh(x) df(x) dx = h(x) dx g(x) dx ntegrasikan semua suku dx dx dx Misal u = g(x) dan v = h(x) d(u ) du d aka dx = dx u dx dx dx dx u =
du
ud
ud =u
du
( . )
Persamaan 7.3 digunakan untuk menyelesaikan integral bagian demi bagian atau integral parsial. Dalam membuat permisalan u, biasanya kita tentukan prioritas-prioritas agar penyelesaian menjadi lebih sederhana. Prioritas tersebut adalah sebagai berikut. i) ln x ii) xn n = bilangan bulat positif iii) ekx Contoh 7.6 Selesaikan
x e dx
Penyelesaian Misal u=x v = ex adi
x e dx = = xe
du = dx dv = ex ud =u ∫ e dx = xe
du ∫ e = xe
Contoh 7.7 Selesaikan
(x
) ln( x) dx
Penyelesaian
145
e
= e (x
)
Misal
u = ln2x
adi (x
dv= (x-1)dx
du = dx x ) ln( x) dx =
= x
x
ud =u
= (ln x)( x
x)
= (ln x)( x
x)
du ( x
x)( ) dx x ) dx = ( x
∫( x
x) ln( x)
x
Contoh 7.8 Selesaikan
x sinx dx
Penyelesaian Misal u = x2 du = 2x dx x sinx dx =
dv = sinx dx v = –cosx
= Perhatikan
du = (x )( cosx)
ud =u x cosx
( cosx)( x) dx
x cosx dx
( )
x cosx dx pada ( )
Misal u = 2x du = 2 dx
dv = cosx dx v= sin x
x cosx dx =
ud =u
du = x sinx
= 2x sinx + 2 cosx +C Substitusi (**) ke (*) didapat x sinx dx =
ud =u
du =
sinx dx
(**)
x cosx
x sinx
cosx
Contoh 7.9 Selesaikan
e cosx dx
Penyelesaian : Misal u = ex du = ex dx e cosx dx =
Perhatikan
ud =u
du = e sinx
sinx e dx
= e sinx
e sinx dx
( )
e sinx dx pada ( )
Misal u = ex du = ex dx e sinx dx =
dv = cosx dx v = sinx
dv = sinx dx v = –cos x ud =u
du = =
e cosx
e cosx dx
e cosx
e cosx dx
Substitusi (**) ke (*) didapat,
146
( )
x
e cosx dx = e sinx
( e cosx
e cosx dx = e sinx
e cosx
e cosx dx = e sinx
e cosx dx) e cosx dx
e cosx
e cosx dx = (e sinx
e cosx)
Soal-soal Selesaikan integral berikut. .
x ln(
. (
x) dx
. ( x
x) sin x dx
.
)e dx
e sin(
x)dx
7.5.Integrasi fungsi pecah Fungsi pecah adalah fungsi rasional yang mempunyai bentuk P(x)/Q(x), dimana P(x) dan Q(x) adalah polinomial dan Q(x) 0. Dalam bentuk rumus fungsi pecah dapat ditulis dalam bentuk, P(x) f(x) = (x) (x) Jika ∫f(x)dx tidak dapat diselesaikan dengan metode substitusi, maka gunakan metode pecahan parsial. Langkah-langkah yang dapat digunakan adalah sebagai berikut: 1. Periksa derajad P(x) dan Q(x). Jika derajad P(x) lebih besar dari derajad Q(x) maka cari hasil bagi P(x)/Q(x). Jika derajad P(x) lebih kecil dari Q(x) maka langsung ke nomor 2. 2. Faktorkan Q(x) a. Untuk faktor axn pecahan parsialnya ditulis dalam bentuk, ax
ax
ax
b. Untuk faktor (ax+b)n pecahan parsialnya adalah, ax
b
(ax
b)
(ax
b)
c. Untuk faktor (ax2+bx+c)n pecahan parsialnya adalah, x x x ax bx c (ax bx c) (ax bx c) Koeffisien-koeffisien A1, A2, A3 … n dapat diganti dengan A, B, C dst. Contoh 7.10 Selesaikan
x x
x x
x
dx
Penyelesaian Karena derajad P(x) lebih kecil dari derajad Q(x) maka faktorkan Q(x). x x x x = x x x x(x )(x ) 147
x x(x
x )(x
)
= =
x
x (x
)(x
x
x
= =
( )
x ) (x)(x x(x )(x x )(x
((x)(x
x )
x(x )x ( x x
(
) ) x
)
x
)x
( )
x
Untuk menentukan nilai A, B, dan C, bandingkan pembilang pada (**) dengan pembilang pada soal, sehingga didapat, A+B+C = 1 –A+2B-3C = 5 –6A = –12 Tiga persamaan tersebut menghasilkan A = 2 ; B = 4/5 ; C = -9/5 Dengan memasukkan harga A, B dan C ke (*) maka didapat, x x = x(x )(x ) x (x ) (x ) x x dx adi dx = x(x )(x ) x (x ) (x ) =
x
dx ln(x
= ln x = ln
(x
x (x
)
)
)
dx
(x
)
dx
ln x
= ln
x (x
)
(x
x
)
Contoh 7.11 x
Selesaikan
x x
x
x
dx
x
x
Penyelesaian Karena derajad P(x) lebih tinggi dari derajad Q(x) maka lakukan pembagian. x3 + 6x2 +5x – 12
x+1 x4 + 7x3 +12x12 – 10x –7 x4 + 6x3 + 5x2 – 12x x3 + 7x2 + 2x – 7 x3 + 6x2 + 5x – 12 x2 – 3x + 5
adi
x
x x =
x
x
x
x
(x
) dx
dx =
(x
(x
)
dx
148
) dx (x
x x )
x x
dx
dx
x (x
)
= x
x
ln x
ln x
ln x
Soal-soal Selesaikan integral berikut . .
x
dx
x ( x
x
x x
) x
x
. dx
x
.
x
x ( x x x
x x ) x
dx dx
7.6. Integrasi fungsi trigonometri 7.6.1 Integrasi fungsi sinu, cosu, tanu, cotu, secu dan cscu sinu du =
cosu
( . )
Bukti Pada pasal terdahulu telah di elaskan bah a arena sinu =
d( cosu) maka du
sinu du =
df(u) du = f(u) du d( cosu) du = cosu du
cosu du = sinu Bukti arena cosu =
tanu du = Bukti tanu du =
( . )
d(sinu) maka du
cosu du =
d(sinu) du = sinu du
ln cosu
( . )
sinu du = cosu
d( cosu) = cosu
ln cosu
cotu du = ln sinu Bukti cotu du =
( . )
cosu du = sinu
secu du = ln secu
d(sinu) = ln sinu sinu
tanu
( . )
149
Bukti secu du =
cosu
cosu du = cos u
du =
cosu du sin u
cosu du ( sinu)( sinu) isal = sinu d = cosu du d secu du = = ln ( )( ) =
= ln
sinu sin u cos u
= ln = ln sec u = ln (secu = ln (secu
cscu du = ln cscu
tanu secu
tan u
tanu) tanu)
= ln secu
sinu du = sinu sin u sinu du = ( cosu)( cosu) isal = cosu d = sinu du d cscu du = = ln ( )( ) = ln
= ln csc u = ln (cscu = ln (cscu
(terbukti)
( . )
du =
= ln
tanu
cotu
Bukti
cscu du =
)
sinu sin u sin u
= ln
= ln
( (
sinu du cos u
= ln
= ln
( (
)
cosu cos u cos u
cosu cos u sin u cotu cscu
cot u
cotu) cotu)
= ln cscu
cotu
(terbukti)
7.6.2 Integrasi fungsi sinmu dan cosmu Langkah untuk menyelesaikan ∫sinmu du dan∫cosmu du adalah sebagai berikut.
150
1. Jika m adalah bilangan bulat positif ganjil yang lebih besar dari satu, maka sin u ditulis dalam bentuk sin u sinu. Sedangkan cos u ditulis dalam bentuk cos u cosu. Selanjutnya gunakan identitas trigonometri, sin2 u + cos2 u = 1 dan metode substitusi. 2. Jika m adalah bilangan bulat positif genap yang lebih besar dari dua, maka sin u ditulis dalam bentuk (sin u) . Sedangkan cos u ditulis dalam bentuk(cos u) . Selanjutnya gunakan identitas trigonometri, sin u =
cos u atau cos u =
cos u
Contoh 7.12 Selesaikan
sin x dx
Penyelesaian sin x dx =
sin x sinx dx =
Misal u = cosx adi
(
cos x) sinx dx
–du = sinx dx
sin x dx =
(
u )( du) =
= u
u
(u
= cos x
) du cosx
Contoh 7.13 Selesaikan
cos x dx
Penyelesaian cos x dx =
cos x cosx dx =
Misal u = sinx
du = cosx dx
adi
cos x dx =
(
(
sin x) cosx dx
u )(du) = u
u
= sinx
sin x
Contoh 7.14 Selesaikan
sin x dx
Penyelesaian sin x dx = =
(sin x) dx = (
= x
(
cos x sin x
cos x)dx = sin x
Contoh 7.15 Selesaikan
cos x) dx =
cos x dx
Penyelesaian
151
(
(
cos x cos x
cos
x)dx
cos x) dx
(cos x) dx =
cos x dx = =
(
cos x
= x
cos x) dx =
(
cos x)dx =
sin x
(
(
cos x cos x
cos
x)dx
cos x) dx
sin x
7.6.3 Integrasi fungsi trigonometri sinmu cosnu Untuk menyelesaikan integral yang mengandung integran sinmu cosnu berikut diberikan langkah-langkah penyelesaian. 1. Jika m adalah bilangan bulat ganjil 3, maka a. sin x cos x ditulis dalam bentuk sin x sinx cos x b. anti sin x dengan menggunakan identitas sin x = cos x c. Lakukan substitusi u = cosx 2. Jika n adalah bilangan bulat ganjil 3, maka a. sin x cos x ditulis dalam bentuk sin x sinx cos x cosx b. anti cos x dengan menggunakan identitas cos x = sin x c. Lakukan substitusi u = sinx 3. Jika m dan n adalah bilangan genap 2, maka a. sin x cos x ditulis dalam bentuk (sin x) (cos x) b. Gunakan identitas trigonometri, sin x =
cos x atau cos x =
cos x
Contoh 7.16 Selesaikan
sin x cos x dx
Penyelesaian sin x cos x dx =
sin x cos x sinx dx =
= ∫(cos x Misal u = cosx
cos x
(
cos x) cos x sinx dx
cos x) sinx dx
–du = sinx dx
sin x cos x dx = =
(u
u
u
u
u )du = u
u
=
u cos x
u cos x
cos x
Contoh 7.17 Selesaikan
sin x cos x dx
Penyelesaian sin x cos x dx =
(sin x) (cos x) dx =
152
(
cos x) (
cos x) dx
=
(
=
(
cos
cos
cos x
= =
x) dx = (
cos x x
x
cos
x) dx
cos x
cos x
cos x
sin x
sin x
Soal-soal Selesaikan .
sin x dx
.
cos x dx
.
sin x cos x dx
.
sin x cos x dx
7.6.4 Integrasi fungsi trigonometri tanmu secnu Untuk menyelesaikan integral yang mengandung integran tan u sec u berikut diberikan langkah-langkah penyelesaian. 1. Jika m adalah biilangan bulat ganjil 3, maka a) tan x sec x ditulis dalam bentuk tan x sec x secx tanx b) unakan identitas trigonometri tan x = sec x c) Lakukan substitusi u = secx 2. Jika n adalah bilangan bulat genap 2, maka : a) tan x sec x ditulis dalam bentuk tan x sec x sec x b) Gunakan identitas trigonometri sec2x = tan2x + 1 c) Lakukan substitusi u = tanx d) Jika m adalah bilangan genap dan n adalah bilangan ganjil, berkemungkinan metode yang digunakan adalah integral parsial. Contoh 7.18 Selesaikan
tan x sec x dx
Penyelesaian tan x sec x dx =
tan x sec x tanx secx dx =
Misal u = sec x
du = secx tanx dx
Sehingga
)u du =
(u
(u
(sec x
u ) du = u
= sec x
sec x
Soal-soal Selesaikan .
tan x sec x dx
.
tan x sec x dx
.
tan x sec x dx
.
tan x sec x dx
153
u
)sec x tanx secx dx
7.7. Integrasi fungsi trigonometri invers sin du = u sin u
u
Bukti isal
= sin u
d =
( .
)
du
u dw = du w=u Gunakan rumus integral parsial ∫v dw=vw – ∫w dv u adi sin u du = d = u sin u du u = u sin u u (terbukti)
Contoh 7.19 Selesaikan
sin
Penyelesaian isal u = x
x dx
du = dx
sin
x dx =
sin u du = x sin
cos
du = u cos
u
= cos
d =
u
x
u
Bukti isal
x
( .
)
( .
)
du
u dw = du w=u Gunakan rumus integral parsial ∫v dw=vw – ∫w dv u adi cos u du = d = u cos u du u = u cos u u (terbukti)
tan u du = u tan u Bukti isal d
= tan u = du
d = =u
ln
u
du u
unakan rumus integral parsial
d
=
154
d
tan u du =
d
= u tan u
cot
u du = u cot
ln
u
d
= cot
u
ln
=u
u du =
d
= u cot
= u cot
sec
u
u du = u sec
d
= sec
u
d =
= du
=u
u du =
d
= u sec
u
csc
u du = u csc
d
= sec
u
d =
= du
=u
d
u du =
d
= u csc
d
u u u
ln u
(terbukti)
u
( .
du u u
= u csc u
= u du
u
unakan rumus integral parsial csc
)
u u
Bukti isal
( .
(terbukti)
du
ln u
u
)
du
u
= u sec u
( .
d u
unakan rumus integral parsial sec
= u
u
ln u
Bukti isal
d
ln
u
(terbukti)
u
unakan rumus integral parsial cot
du
du u
d =
= du
u u
Bukti isal
u
= u tan u
ln u
d
=
d
u du
u
u u u
(terbukti)
155
)
7.8 Integrasi dengan substitusi trigonometri 7.8.1 Integrasi fungsi irrasional Langkah awal untuk menyelesaikan integral fungsi irrasional adalah dengan mengu8bah integran yang berbentuk irrasional menjadi rasional. Biasanya untuk mencapai hal tersebut kita lakukan substitusi trigonometri. Pada pasal ini akan dibahas beberapa fungsi irrasional. dx a
x
x a
= sin
( .
)
Bukti
a
x
u a x Dari gambar diatas didapat x x sinu = u = sin a a a sinu = x a cos u du = dx a cosu du dx = = adi a cosu a x a dx x x
a
= sec
du = u
= sin
x a
(terbukti)
x a
( .
)
Bukti
x
x
a
u a Dari gambar diatas didapat x x secu = u = sec a a a secu = x a secu tanu du = dx a dx a secu tanu du adi = = a secu tanu x x a dx x
a
= ln x
x
a
du = u
= sec
x a
(terbukti)
( .
156
)
Bukti
x
a
x
u a Dari gambar diatas didapat, x x tanu = u = tan a a a tanu = x a sec2u du = dx a sec u du = secu du = ln secu a secu x a x = ln a a
dx x
a
= ln x
x
a
= ln x
x
a
tanu x
= ln
x a
a
(terbukti)
( .
)
Bukti
x
x
a
u a Dari gambar diatas didapat x x secu = u = sec a a a secu = x a secu tanu du = dx dx a secu tanu du adi = = a tanu x a x a
x
= ln x
x
a
a
x a
x a a
= ln
x
a dx =
sin
a a
Bukti
157
secu du = ln secu = ln
x
x a
tanu
a
(terbukti)
x
( .
)
a
x
u a
x
Dari gambar diatas didapat x x sinu = u = sin a a a sinu = x a cos u du = dx adi
x
a dx = = = =
a
x dx =
a
a cosu (a cos u du) =
(
a
cos u) du =
sin
a
(u
x sinu cosu) a x x a x a
(sin
a
a
ln x
x
a
a cos u du sin u)
a
=
(sin
x a
x a x a a
(terbukti)
x a a
x
( .
)
Bukti
x
a
x
u a Dari gambar diatas didapat x x tanu = u = tan a a a tanu = x a sec du = dx a
x dx =
Misal v = sinu a
=
dv = cosu du
x dx =
=a a
a sec u du = a a sec u du = a
d ( ln(
=
) )
a (
d )
158
cos u
du = a
du = a
cos u d ( ) ln(
)
cosu du cos u cosu du cos u d
d (
(
)
)
= = =
x
a
ln
a a
ln
= (
sinu) sin u
ln x
a dx =
x
a
ln
sinu sin u
x
a
x
a
x
a
x
(
) a
= a
ln x
ln
(
sinu) cos u
sinu cos u
(terbukti)
x
a
( .
)
Bukti
x
x
a
u a Dari gambar diatas didapat x x secu = u = sec a a a secu = x a secu tanu du = dx adi
x
a dx =
(a tanu)(a secu tanu du) = a
=a =
x
(sec u x
a
tan u secu du
) secu du = a a
ln x
x
(sec u a
secu) du
(terbukti)
7.8.2 Integrasi fungsi yang mempunyai bentuk 1/(x2+a2) dx x
x a
= tan a a
( .
Bukti
x
a
x
u a Dari gambar diatas didapat,
159
)
x x u = tan a a a tanu = x a sec du = dx dx a sec u = du = x a a sec u tanu =
du = u a a
= tan a
x a
(terbukti)
Dari pembahasan yang telah diuraiankan diatas dapat disimpulkan bahwa : a) Jika integran mengandung a x maka substitusi x = a sinu b) Jika integran mengandung a x maka substitusi x = a tanu c) Jika integran mengandung x a maka substitusi x = a secu d) Jika integran mengandung a2 + x2 maka substitusi x = a tanu Soal-soal .
x
dx
x
.
x
x
dx
.
x
.
x
x
dx
. . Jika ax2+bx+c merupakan faktor terkecil dan d(ax2+bx+c) (Ax+B)dx, maka x ax
bx
c
dx =
a
ln x
b x a
c a
a a a
c a
b b a
tan
Bukti ax
bx
x
=
Misal, u=x du = dx
bx
b a
c
dx =
c a
x
b a
x=u
x a
x
b a
b a
b a
m= n=
c =a a
c a
x
x ax
b x a
c=a x
b a
160
c a
b
dx a
b a
x c a
b a b a
( .
)
x
(u u
m) u du = du ax bx c a n a u n u m n tan = ln u a n a n Substitusi nilai u, m dan n, didapat, dx =
x ax
bx
dx =
c
Contoh 7.20 Selesaikan
a
ln x
x x
b x a
c a
a a
b
c a
a
b a
m a
u
n
du
x
tan
c a
b a b a
dx
x
Penyelesaian A = 1 ; B = -2 ; a = 1 ; b = 2 ; c = 5 x dx = ln x x x x
x
tan
7.8.4 Integrasi fungsi irrasional yang sejenis Jika integran hanya memuat bentuk irrasional dari satu jenis fungsi, misalnya f(x), maka kita dapat menggunakan substitusi u = f(x), dimana n adalah kelipatan persekutuan terkecil dari pangkat-panglat akar. Contoh 7.21 x
Selesaikan
x
Penyelesaian u=
x=x
dx
u =x u du = dx x
Sehingga
x
dx =
u
u
( u du) =
u
=
u du
u du
=
u du
u du
= u
u
ln u
= x
x
ln x
161
u
u u
du
(u
u )(u
ln u
u
ln x
du
u
)
du
tan
x
tan
u
x
adalah satu-satunya bentuk irrasional pada integran. 7.8.5 Jika Jika ax bx c adalah satu-satunya bentuk irrasional pada integran, maka kita dapat melakukan substitusi sebagai berikut, b c b b ac ax bx c = a x x =a x a a a a b Substitusi ang digunakan adalah u = x a Contoh 7.22
dx
Selesaikan Penyelesaian dx (x Misal
(x
) x
x dx
=
) x x (x ) (x u = x – 3 → du = dx dx du = = ) x x u u x = sec
(x
) du
=
u u
sec
u
. . x x
ika
a adalah satu b
satun a bentuk irrasional pada integran maka kita x x
dapat melakukan substitusi u =
a b
Contoh 7.23 Selesaikan
x x
dx
(x
) =
Penyelesaian isal u = u =
x x
u du = dx =
(x
(u
x x
) (x u
(x ) )
)
u dx =
(x
du
162
)
dx =
(u
)
dx
x x
adi
dx =
u (u du
= =
du (u
u ln u
(u u
u = ln u = ln
du
)
du )
du (u
u ln u
)
(u
)
)
u x
x
x x
x
Soal-soal Selesaikan . . .
dx
. (x
dx
.
x x x x x x
x
dx
.
) x
(x
) x x
x
163
x
dx dx dx
x
. .
dx
x x
x
dx
BAB VIII INTEGRAL TENTU DAN PENERAPANNYA
8.1 Integral tentu Sebelum membahas tentang integral tentu, terlebih dahulu kita akan membicarakan luas bidang pada koordinat Kartesius. Menentukan luas bidang tsb. sesederhana seperti kita menentukan luas bidang seperti lingkaran, persegi panjang, segitiga atau bangun-bangun sederhana lainnya. Cara yang sederhana untuk menentukan luas bidang yang dibatasi oleh kurva f(x), sumbu x, x=x1 dan x=x2 kita harus membagi bidang tersebut menjadi beberapa bagian. Makin banyak pembagian bidang tersebut akan semakin akurat pula hasilnya. y
0
y
y=f(x)
a
(a)
b
x
0
Bidang yang terletak dibawah grafik f
y=f(x)
a
b
x
(b) Sejumlah persegi panjang yang terletak dibawah grafik f
Gambar 8.1
Pembagian bidang menjadi sejumlah n persegi panjang dapat berupa Gambar 8.1(a) atau (b). Pada analisa berikut kita akan membagi bidang seperti Gambar 8.1(a). Misal terdapat suatu bidang R yang terletak pada koordinat kartesius yang dibatasi oleh garis x=a, garis x=b, sumbu x dan grafik f yang kontinu dan tak negatif pada selang tertutup [a,b]. Jika luas bidang R adalah A, maka untuk menentukan luas A yang mendekati harga sebenarnya adalah dengan jalan membagi bidang tersebut menjadi beberapa persegi panjang yang mempunyai lebar yang sama (lihat Gambar 8.1(a)). Misal luas seluruh persegi panjang pada Gambar 8.1(a) adalah Ai. Jika lebar setiap persegi panjang sangat kecil, maka luas Ai A. Jika selang tertutup [a,b] dibagi menjadi n sub-selang dengan lebar x maka akan didapat x = (b-a)/n. Selanjutnya dengan memilih batasan sub-selang : x0, x1, x2, x0, … xn dengan x0 = a dan xn = b, maka
, , ,
,
seperti yang ditunjukkan pada Gambar 8.2 berikut. 164
y
y=f(x)
x f(uk)
0
x0=a
x1
x2
xk-1 uk xk
xn=b
x
Gambar 8.2 Sehingga : x0=a ; x1=a+x ; x2=a+2x ; x3=a+3x xk-1=a+(k-1)x ; xk=a+kx ; xn=a+nx Luas persegi panjang adalah Ai = f(u1) x + f(u2) + … + f k) x + f(un) x Ji
me gg f
o si pe j ml h
“”, m
Persamaan 9.2 disebut jumlah Riemann dan f(uk) adalah harga minimum f pada sub-selang tertutup [xk-1,xk]. Jika jumlah persegi panjang (n) sangat besar maka x menjadi sangat kecil. Luas bidang (A) yang dibatasi oleh f(x), sumbu x, x 0 = a dan xn = b sama dengan luas persegi panjang Ai bila x sangat kecil (atau n sangat besar). Dalam bentuk rumus dapat ditulis, lim
f
Definisi Misal terdapat suatu fungsi f yang kontinu pada selang tertutup [a,b]. Integral tentu fungsi f dari a ke b didefinisikan sebagai limit jumlah Riemann atau, f
lim
f
Dari Gambar 8.2 dan persamaan 8.1 didapat + 165
f
lim
f
+
8.2 Sifat-sifat integral tentu Berdasarkan persamaan 8.5 maka dapat ditentukan sifat utama integral tentu yaitu, f F(x) adalah anti turunan f(x) Sifat-sifat integral tentu lainnya Ji Ji
,
f
f
,m
Ji
f f
l h il
g
il, m
4. Jika f terintegralkan pada [a,b] dan c adalah sembarang bilangan ril, maka cf terintegralkan pada [a,b]. f
f
5. Jika f dan g terintegralkan pada [a,b] maka f+g dan f–g juga terintegralkan pada [a,b]. f
+g
f
f
g
f
+
g
g
6. Jika a
f
+
f
7. Jika f terintegralkan pada [a,b] dan f 0 untuk setiap x yang terletak pada [a,b], maka f
166
Contoh 8.1 Selesaikan
+
+
+
+
Penyelesaian
+ +
+ +
+
+
+
+
+
+
+ +
is l
Soal-soal Selesaikan e
l
e+
8.3 Luas Bidang Secara umum bidang yang berada pada koordinat Kartesius dibatasi oleh y1= f(x), y2= g(x), x1 = a dan x2 = b. Bidang tersebut ditunjukkan oleh bidang yang diarsir pada Gambar 8.3. Luasnya adalah f
g
167
y
f(x)
g(x)
0
x1=a
x2=b
x
Gambar 8.3 Bentuk khusus dari bidang pada Gambar 8.3 adalah bidang seperti yang terlihat pada Gambar 8.4, yaitu bidang yang dibatasi oleh y1=f(x), y2 = 0, x1 =a dan x2 = b. Luasnya adalah f y
f(x)
f(uk)
0
x1=a
x2=b
Gambar 8.4 Contoh 8.2 e
l
s i
g
g i
si oleh
Penyelesaian
168
,
,
x
y x2
¼x2
0
f
x=1
x
x=3
g
Contoh 8.3 Tentukan luas bidang yang dibatasi oleh x2 +1, ¼x2+4, x=0 dan x=3. Penyelesaian y x2 + 1
0 +
+
+ +
x
x=2 x=3 +
+ +
¼ x2 + 4
+
+
+ +
+ +
169
Soal-soal Tentukan luas bidang yang dibatasi oleh : 3 1. y= x + 3 , y = x2, sumbu y dan x = 2 4 2. y = x+6, sumbu y, y= - x2+4, sumbu x dan x = 4 3. y = 1/x , y = x2 dan sumbu x 4. y = 1/x , y = x2, y = -x2 + 8, x = 1 dan x=5/2
8.4 Volume dan luas kulit benda putar Jika suatu grafik fungsi diputar mengelilingi sumbu x, maka akan terbentuk suatu benda putar yang mempunyai volume dan luas kulit tertentu. Grafik fungsi dapat juga diputar mengelilingi sumbu y. Pada Gambar 8.5 diperlihatkan suatu fungsi f(x) yang diputar mengelilingi sumbu x. Akibatnya akan terbentuk suatu benda putar seperti Gambar 8.5 b. y y=f(x)
0
x=a
(a)
x=b
x
f(x)
y
x
0
xi x x1 =a
(b) Gambar 8.5
xn=b
Volume benda putar dapat ditentukan dengan cara menganalisa elemen tipis yang mempunyai ketebalan x. 170
Luas kulit elemen (A) = 2[f(xi)].x s
li
e
p
f
lim
Berdasarkan persamaan 8.4 maka luas kulit benda putar dapat ditulis menjadi f Volume elemen (V) = [f(x)]2.x ol me e
p
lim
f
Jadi volume benda putar adalah f Jika f(x) diputar mengelilingi sumbu y, maka akan terbentuk bangun seperti Gambar 8.6 berikut. y
y2=b f(y) y1= a 0
x
Gambar 8.6 Dengan cara yang sama seperti sebelumnya, maka luas kulit benda putar yang diputar mengelilingi sumbu y adalah f Sedangkan volumenya adalah f
171
Contoh 8.4 Tentukan luas kulit dan volume benda putar jika y= 1 4 x3 diputar mengelilingi a) sumbu x mulai dari x=1 sampai x=3 b) sumbu y mulai dari y=1 sampai y=2 Penyelesaian Grafik y = ¼ x3 y
x
0
a) Perputaran mengelilingi sumbu x dari x=1 sampai x=3 y
x 0
x=1
x=3
s
f
li
ol me e
f
p
172
b) Perputaran mengelilingi sumbu y dari y=1 sampai y=2 y
y=2
y=1 x
0
f s
f f
li
ol me
f
,
,
Soal-soal : 1. Tentukan volume dari suatu daerah yang dibatasi oleh sumbu dan x = 0 yang berputar pada : a) Sumbu y b) Garis y = 2
,y=2
2. Tentukan volume dari suatu daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan garis y = 4 yang berputar pada : a) Sumbu y b) Sumbu x c) garis x = 2 a) garis y = 4
173
BAB IX MATRIKS DAN DETERMINAN
9.1 Matriks Dalam kehidupan sehari-hari kita sering membuat hubungan antar dua atau beberapa besaran, seperti mata kuliah yang diikuti oleh mahasiswa pada suatu program studi tertentu atau nilai hasil semester mahasiswa seperti yang ditunjukkan pada contoh berikut. Matematika Diskrit (M) Teknik Informatika 40 Sistem Informasi 45 Teknik Komputer 42 Manaj. Informatika 37 Komp. Akuntasi 39
Struktur Data (S) 42 35 31 40 26
Pemrograman (P) 29 30 22 45 35
Basis Data (B) 29 40 37 30 27
Dalam bentuk matriks tabel diatas dapat dibuat menjadi,
Dari bentuknya, matriks dapat didefinisikan sebagai susunan elemen-elemen sedemikian rupa sehingga membentuk baris dan kolom. Elemen-elemen tersebut diletakkan diantara dua buah kurung siku. Bentuk matriks dapat ditunjukkan sebagai berikut. Misal terdapat matriks A yang terdiri dari m baris dan n kolom, maka bentuk matriks tersebut adalah,
Ukuran suatu matriks ditunjukkan oleh jumlah baris m dan kolom n. Pada matriks diatas ukuran matriks A adalah m x n. Masing-masing elemen pada matriks disebut entri. Entri aij adalah elemen matriks yang berada pada baris ke i dan kolom ke j. Umumnya suatu matriks ditunjukkan dengan huruf kapital yang dicetak tebal. Selain cara penulisan diatas, matriks dapat juga ditulis sebagai A = [aij]. Jika m sama dengan n , maka matriks disebut matriks bujur sangkar dan entri-entri aij dengan i sama dengan j disebut diagonal matriks. 9.2 Matriks Bentuk Khusus Jika kita identifikasi masing-masing entri dari suatu matriks, maka terdapat beberapa matriks yang dapat dikategorikan sebagai matriks berbentuk khusus yaitu, 9.2.1 Vektor Kolom Vektor kolom adalah matriks yang mempunyai m baris dan satu kolom. Berikut adalah contoh matriks 4 x 1 (4 baris dan 1 kolom). 12 40 32 25 174
9.2.2 Vektor Baris Vektor baris adalah matriks yang mempunyai satu baris dan n kolom. Contoh matriks 1 x 4 atau 1 baris dan 4 kolom adalah [ 4 2 5 1 ] 9.2.3 Matriks Persegi Matriks persegi adalah matriks yang mempunyai jumlah baris dan kolom yang sama. Berikut diberikan contoh matriks persegi yang berukuran 5 x 5 (5 baris dan 5 kolom).
9.2.4 Matriks Segitiga Matriks segitiga dapat dikelompokkan menjadi dua bagian, yaitu matriks segitiga atas dan segitiga bawah. Jika seluruh entri yang berada diatas diagonal matriks mempunyai nilai 0 dan setidak-tidaknya ada satu entri yang berada dibawah diagonal ≠ 0, maka matriks tersebut adalah matriks segitiga bawah atau untuk setiap i<j, aij = 0.
Sedangkan matriks yang mempunyai entri dibawah diagonal = 0 dan setidak-tidaknya ada satu entri yang berada diatas diagonal ≠ 0, maka matriks tersebut adalah matriks segitiga atas atau untuk setiap i> j, aij = 0
9.2.5 Matriks Diagonal Jika seluruh entri diatas dan dibawah diagonal sama dengan 0 dan setidak-tidaknya ada satu entri pada diagonal ≠ 0, maka matriks tersebut adalah matriks diagonal atau untuk setiap i ≠ j, aij=0.
9.2.6 Matriks Skalar Matriks skalar adalah matriks yang mempunyai nilai entri yang sama pada diagonal. Jika matriks diagonal adalah matriks D, maka d11 = d22 = d.. ..= dnn
9.2.7 Matriks Identitas Matriks identitas adalah matriks yang mempunyai entri-entri baik diatas maupun dibawah diagonal sama dengan nol dan entri pada diagonal sama dengan 1.
9.2.8 Matriks 0 Matriks 0 adalah matriks yang seluruh entrinya sama dengan 0. 175
9.2.9 Matriks Transpose Matriks transpose adalah matriks yang didapat dengan cara menukar posisi setiap entri dari baris menjadi kolom dan dari kolom menjadi baris. Jika terdapat matriks A = [aij], maka transpose dari A (ditulis AT) adalah AT = [aji]. Contoh 9.1 Jika A =
, maka AT =
9.2.10 Matriks Simetri dan Skew-Simetri Jika sebuah matriks sama dengan transposenya (A = AT) maka matriks tersebut adalah matriks simetri. Contoh 9.2 Jika A =
, maka AT =
Karena A = AT, maka A adalah matriks simetri. Sedangkan matriks skew- simetri adalah matriks yang memenuhi –A = AT. Contoh 9.3 Misal A =
, maka AT =
, –A =
Karena –A = AT, maka A adalah matriks skew-simetri. 9.3 Operasi Aritmatika pada Matriks Operasi aritmatika pada matriks terdiri dari penjumlahan, perkalian skalar dengan matriks, perkalian matriks dengan matriks serta kombinasi linier beberapa matriks. 9.3.1 Penjumlahan Misal terdapat matriks A = [aij] dan B = [bij] yang masing-masing berukuran m x n. Jumlah A dan B, ditulis A+B, adalah C = [cij], dengan [cij] = [aij] + [bij]. Perlu diingat, bahwa dua buah matriks hanya dapat dijumlahkan jika mempunyai orde yang sama. Contoh 9.4 Misal A =
B=
Maka A + B = C =
9.3.2 Perkalian Skalar dengan Matriks Jika terdapat sebuah skalar c dan matriks A = [aij], maka perkalian antara skalar c dengan matriks A adalah cA = [c.aij], atau dapat ditulis dalam bentuk: cA = c
=
176
Contoh 9.5 Jika A =
maka 3A =
=
9.3.3 Perkalian Matriks dengan Matriks Perkalian dua buah matriks hanya dapat dilakukan jika jumlah kolom matriks pertama dan jumlah baris matriks kedua sama. Misal matriks A = [aij] berukuran m x n dan matriks B = [bij] berukuran n x p, maka perkalian antara matriks A matriks B, ditulis AB, adalah sebuah matriks C = [cij] yang berukuran m x p. Nilai dari cij adalah,
Contoh 9.6 Diketahui : A=
B=
Jika terdapart matriks C = A.B, maka C=
C=
9.3.4 Kombinasi linier matriks Jika A1 , A2, , Ap adalah matriks yang mempunyai ukuran yang sama dan k1, k2 adalah skalar, maka k1A1 + k2A2 + + kpAp disebut kombinasi linier dari A1 , A2, Contoh 9.7 Jika , A1 =
A2 =
A3 =
tentukan A1 + 3A2 – 2A3 Penyelesaian A1 + 3A2 – 2A3 =
+3
–2
177
,
, kp , Ap
9.3.5 Sifat-sifat Operasi Matriks Jika a dan b adalah skalar dan A, B, dan C adalah matriks, maka berlaku: i) A + B = B + A hukum komutatif penjumlahan ii) A + (B + C) = (A + B) + C hukum asosiatif penjumlahan iii) A(BC) = (AB)C hukum asosiatif perkalian iv) A(B ± C) = AB ± AC hukum distributif kiri v) (B ± C)A = BA ± CA huklum distributif kanan vi) a(B ± C) = aB ± aC vii) (a ± b)C = aC ± bC viii) (ab)C = a(bC) ix) a(BC) = (aB)C = B(aC) x) (AT)T = A xi) (A + B)T = AT ± BT xii) (cA)T =cAT xiii) (AB)T = BT AT 9.4 Matriks yang Diperluas (Augmented matrix) Matriks yang diperluas adalah matriks yang berhubungan dengan penyajian sebuah sistem persamaan linier. Misal terdapat sistem persamaan linier,
Dari sistem persamaan linier tersebut, dapat disajikan matriks koeffisien,
9.5 Matriks dalam bentuk Eselon Baris Suatu matriks dikatakan mempunyai bentuk eselon baris jika memenuhi: i) Setiap baris yang keseluruhan elemennya nol diletakkan pada bagian bawah matriks ii) Elemen pertama dari setiap baris yang bukan nol (disebut leading coefficient atau pivot ) harus terletak disebelah kanan leading coefficient pada baris sebelumnya. Contoh 9.8 Matriks dalam bentuk eselon baris
Contoh 9.9 Matriks berikut tidak/belum dalam bentuk eselon baris
Matriks segitiga atas adalah matriks yang termasuk yang mempunyai bentuk eselon baris. 178
9.6 Matriks dalam bentuk Eselon Baris Tereduksi Suatu matriks dikatakan mempunyai bentuk eselon baris tereduksi jika: i) Matriks tersebut sudah dalam bentuk eselon baris ii) Elemen leading coefficient harus mempunyai nilai 1 (selanjutnya disebut leading 1) dan satu-satunya elemen matriks yang bukan 0 pada kolom yang bersangkutan. Perlu diketahui bahwa matriks satuan adalah bentuk khusus dari matriks eselon baris tereduksi Contoh 9.10 Matriks dalam bentuk eselon tereduksi
Suatu matriks yang belum dalam bentuk eselon baris dapat ditransformasikan kedalam bentuk matriks eselon tereduksi dengan cara melakukan operasi baris elementer terhadap matriks tersebut. 9.7 Operasi Baris Elementer Operasi yang dapat dilakukan terhadap baris dan kolom suatu matriks adalah: i) Perkalian sembarang baris dengan skalar ii) Penukaran posisi suatu baris dengan baris tertentu iii) Penjumlahan antara a) dan b). Ketiga operasi diatas disebut Operasi Baris Elementer (OBE) Contoh penggunaan notasi yang digunakan pada operasi baris dan kolom: i) R3 2R3 artinya baris ketiga matriks diganti dengan 2 kali baris ke tiga ii) R1 R2 artinya baris pertama dan kedua saling dipertukarkan. iii) R2 R2 + 3R3 artinya baris kedua diganti dengan baris kedua ditambah dengan tiga kali baris ketiga Contoh 9.11 Lakukan OBE terhadap matriks berikut, sehingga menjadi matriks eselon baris tereduksi.
Penyelesian Elemen pivot
A=
2
1
-1
5
3
4
4
7
5
Elemen dieliminasi
Langkah pertama Ubah elemen pivot menjadi 1 dengan cara mengalikan baris pertama dengan 1/2. 179
9.8 Determinan Determinan adalah besaran atau nilai yang berhubungan dengan matriks persegi. Jika determinan suatu matriks persegi tidak sama dengan nol maka matriks persegi tersebut mempunyai balikan (inverse). Sebaliknya, jika determinan suatu matriks persegi tidak sama dengan nol, maka matriks tersebut tidak mempunyai balikan. , maka determinan matriks A adalah
Contoh 9.12 Penyelesaian
9.8.1 Sifat-sifat determinan i) Setiap matriks dan transposenya mempunyai determinan yang sama atau det A = det AT ii) Jika terdapat matriks A dan matriks B, maka berlaku det(AB)=det (A) det (B) iii) Determinan dari matriks segitiga adalah perkalian dari diagonalnya
iv) Jika matriks B adalah matriks yang didapat dari mempertukarkan dua buah baris matriks A, maka determinan matriks B berlawanan dengan determinan matriks A
v) Jika matriks A = 180
a) b) vi) Jika seluruh elemen dari salah satu baris suatu matriks sama dengan nol, maka determinan matriks tersebut sama dengan nol.
9.8.2 Kofaktor Misal A = [aij] adalah matriks nxn, dan misalkan M adalah matriks (n-1)x(n-1) yang diperoleh dari A dengan menghapus baris ke i dan kolomn ke j pada matriks A. Determinan dari M disebut minor dari aij (selanjutnya ditulis Mij). Sedangkan cij adalah kofaktor aij dan didefinisikan sebagai,
Contoh 9.9 Diketahui Tentukan minor dan kofaktor dari a11dan a13 Penyelesaian
9.8.3 Determinan dari matriks n x n Secara umum untuk menghitung determinan dari matriks orde n x n adalah sebagai berikut. Jika A adalah matriks persegi n x n, maka determinan dari matriks A adalah atau
Contoh 9.10
Penyelesaian Karena A adalah matriks 3 x 3, maka nilai i diambil antara 1, 2, atau 3. Kita tentukan i=1 Dari rumus 9.4a didapat, det A =
181
det A =(–4)(2)+(1)(9)+(5)(–6) = –8 + 9 – 30 = –29 Kerjakan ulang contoh 9.10 dengan menggunakan rumus 9.4b dengan nilai j = 2. Selain menggunakan rumus 9.4, menentukan determinan matriks orde 3 dapat juga menggunakan cara Sarrus.
–( ) –( ) –( ) Maka det A =
a11
a12
a13
a11
a12
a21
a22
a23
a21
a22
a31
a32
a33
a31
a32
+( ) +( ) +( ) A =a11a22a33 + a12a23a34 + a13a21a32 – a31a22a13 – a32a23a11– a33a21a12
9.9 Adjoin Matriks
Contoh 9.11 , tentukan adjoin A Penyelesaian
182
9.10 Balikan Matriks (Inverse of a Matrix) Jika matriks A = [aij] adalah matriks persegi n x n, maka balikan (inverse) dari A dilambangkan dengan merupakan matriks n x n sedemikian, sehingga memenuhi,
Salah satu cara untuk menentukan balikan matriks adalah dengan mencari adjoin dan determinan dari matriks yang dicari balikannya terlebih dahulu. Setelah itu gunakan
Contoh 9.12 , tentukan Penyelesaian
9.10.2 Balikan matriks dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan Untuk menentukan balikan matriks A dengan eliminasi Gauss-Jordan berarti kita harus melakukan eliminasi matriks A menjadi bentuk eselon baris tereduksi. 183
Misal A adalah matriks non-singular n x n. AB = I jika dan hanya jika B = Bukti AB = I atau AB I Berarti, jika kita berhasil mengeliminasi menjadi bahwa X = Contoh 9.13 Dari contoh 9.12, tentukan Penyelesaian
, maka kita dapat memastikan
dengan metode eliminasi Gauss-Jordan
R2 –2/3 R1 R3 –R1
R3 –6/7 R2
R1 + 2/3R2 R2 +4/7R3
R1–9/7R3
Soal-soal 1. Diketahui matriks-matriks :
a) Tentukan: i) A + B ii) A – B iii) 3(A – B)
iv) 2A + 3B – 2C v) CT – B vi) A + BT
184
b) Lakukan operasi baris berikut ini pada matriks A (soal nomor 1) 2. Jika matriks-matriks,
Tentukan a) K x LT b) L x KT 4. Dari matriks-matriks berikut, tentukan matriks-matriks yang mempunyai bentuk eselon baris yang tereduksi! Berikan alasan!
5. Ubah matriks
, sehingga menjadi bentuk eselon baris yang tereduksi!
185
BAB X SISTEM PERSAMAAN LINIER
10.1 Definisi Sebelum membahas sistem persamaan linier, perlu dijelaskan kembali bahwa yang dimaksud persamaan linier adalah persamaan aljabar yang terdiri dari satu atau lebih peubah. Sebagai contoh persamaan ax + by + cz + dw = h adalah persamaan linier yang terdiri dari empat peubah, yaitu x, y, z, dan w. Sedangkan a, b, c, dan d adalah koefisienkoefisien. Jika nilai h pada persamaan tersebut sama dengan nol, maka persamaan linier tersebut dikatakan persamaan linier homogen. Apabila nilai h tidak sama dengan nol, maka dikatakan persamaan linier tak homogen. Jika persamaan linier adalah persamaan seperti tersebut diatas, maka sistem persamaan linier terdiri dari beberapa persamaan linier seperti yang ditunjukkan berikut ini. b b b Jika seluruh nilai b1, b2, … , bm sama dengan nol, maka persamaan 10.1 disebut sistem persamaan linier homogen. Akan tetapi, jika setidak-tidaknya ada salah satu dari nilai b1, b2, … , bm tidak sama dengan nol, maka persamaan 10.1 disebut sistem persamaan linier tak homogen. Persamaan 10.1 dapat ditulis dalam bentuk matriks berikut. b b
(10.2)
b Contoh 10.1 Berikut diberikan beberapa contoh sistem persamaan linier b Contoh 10.2 Tulis contoh 10.1 dalam bentuk matriks Penyelesaian b
10.2 Penyelesaian Sistem Persaman Linier 10.2.1 Penyelesaian dengan Balikan Matriks Persamaan 10.2 adalah sistem persmaan linier yang ditulis dalam bentuk matriks. Jika dimisalkan, 186
b b
, maka Ax = b
b Sehingga,
Persamaan 10.3 digunakan untuk penyelesaian sistem persamaan linier dengan cara menentukan balikan matriks A terlebih dahulu. Contoh 10.3 Selesaikan sistem persamaan linier berikut! Penyelesaian
10.2.2 Penyelesaian dengan Eliminasi Gauss Selain dengan cara balikan matriks, kita juga dapat menyelesaikan sistem persamaan linier dengan cara eliminasi Gauss. Untuk tujuan tersebut persamaan 10.1 ditulis dalam bentuk matriks yang diperluas (augmented matrix). b b b Untuk melakukan eliminasi Gauss, kita harus mereduksi matriks A menjadi bentuk eselon baris atau matriks segitiga atas. Langkah-langkah untuk menyelesaikan sistem persamaan linier dengan eliminasi Gauss: 1. Jika a11 ≠ 0, maka a11 merupakan elemen pivot. Jika a11 = 0, lakukan pertukaran baris. 2. Eliminasi a21 dengan menggunakan rumus R2 – (a21/a11)R1 a31 dengan menggunakan rumus R3 – (a31/a11)R1 am1 dengan menggunakan rumus Rm – (am1/a(m-1)1)R(m-1) 3. Eliminasi a32 dengan menggunakan rumus R3 – (a32/a22)R2 a42 dengan menggunakan rumus R4 – (a42/a22)R2 am2 dengan menggunakan rumus Rm – (am2/a22)R2 187
4. dst. sampai baris m dan kolom ke (n–1) Contoh 10.3 Selesaikan sistem persamaam linier berikut!
Penyelesaian: R2 – ½ R1 R3 – 3R1
R3 – (–16/3)R2 11/3 x3 = –64/3
x3 = –64/11
Untuk menentukan nilai x1 dan x2 lakukan substitusi balik! 3/2 x2 +1/2x3 = –5/2
3/2 x2 = 32/11 – 5/2
x1 + 3/2x2 + 1/2x3 = 5/2
x2 = 3/11
x1 = – 9/22 +32/11+ 55/22
x1 = 110/22 = 5
10.2.3 Penyelesaian dengan Eliminasi Gauss-Jordan Cara lain untuk menyelesaikan sistem persamaan linier adalah dengan metode eliminasi Gauss-Jordan. Sistem persamaan linier dapat ditulis dalam bentuk [A|b]. Selanjutnya lakukan transformasi sehingga matriks A menjadi matriks eselon baris yang tereduksi atau matriks identitas [I]. Langkah-langkah untuk menyelesaikan sistem persamaan linier dengan eliminasi Gauss-Jordan: 1. Jika a11 ≠ 0, maka a11 merupakan elemen pivot. Jika a11 = 0, lakukan pertukaran baris. 2. Jika a11 ≠ 1, bagi elemen a11 dengan a11, sehingga a11=1 3. Eliminasi a21 dengan menggunakan rumus R2 – a21 R1 a31 dengan menggunakan rumus R3 – a31 R1 am1 dengan menggunakan rumus Rm – am1Rm–1 4. Jika setelah langkah 3, a22 ≠ 0, maka a22 merupakan elemen pivot. Jika a22 = 0, lakukan pertukaran baris. 5. Jika a22 ≠ 1, bagi elemen a22 dengan a22, sehingga a22=1 6. Eliminasi a12 dengan menggunakan rumus R1 – a12 R2 a32 dengan menggunakan rumus R3 – a32 R2 am2 dengan menggunakan rumus Rm – am2 R2 7. dst. sampai seluruh elemen di luar diagonal terleliminasi, sehingga matriks A berhasil ditransformasikan menjadi matriks identitas. 188
Contoh 10.4 Selesaikan sistem persamaam linier berikut!
Penyelesaian:
,
,
10.2.4 Penyelesaian dengan Aturan Cramer Selain metode penyelesaian yang telah dijelaskan terdahulu, sistem persamaan linier dapat juga diselesaikan dengan menggunakan Aturan Cramer. Telah dijelaskan terdahulu bahwa sistem persamaan linier dapat ditulis dalam bentuk matriks berikut. b b
b Aturan Cramer
xn = Nilai variabel yang akan dicari ,
b
189
Dari persamaan (10.4) secara tersirat diketahui bahwa Aturan Cramer hanya dapat Artinya, jumlah persamaan dalam sistem persamaan linier digunakan jika harus sama dengan jumlah variabel. Contoh 10.5 Selesaikan sistem persamaam linier berikut dengan menggunakan Aturan Cramer!
Penyelesaian
10.3 Soal-soal Diketahui sistem persamaan linier Tentukan nilai x, y, dan z dengan menggunakan metode: a. Balikan matriks b. Gauss c. Gauss-Jordan d. Cramer 10.4 Ringkasan
b b b 190
Jika seluruh nilai b1, b2, … , bm = 0 maka sistem persamaan linier disebut homogen. Jika setidak-tidaknya ada salah satu dari nilai b1, b2, … , bm 0 sitem persamaan linier disebut tak homogen. Sistem persamaa linier dapat ditulis dalam bentuk matriks. b b b b b
Jika
b Maka Ax = b
Penyelesaian dengan Balikan Matriks Persamaan 10.2 adalah sistem persmaan linier yang ditulis dalam bentuk matriks. Jika dimisalkan, b b
b b
b
b
Penyelesaian dengan Eliminasi Gauss Selain dengan cara balikan matriks, kita juga dapat menyelesaikan sistem persamaan linier dengan cara eliminasi Gauss. Untuk tujuan tersebut persamaan 10.1 ditulis dalam bentuk matriks yang diperluas (augmented matrix). b b b C adalah matriks segitiga atas.
191
