Jelek ´es rendszerek - 4.el˝oad´as Rendszervizsg´ alat a komplex frekvenciatartom´ anyban
M´ern¨ok informatika BSc (lev.) P´ecsi Tudom´ anyegyetem, Pollack Mih´ aly M˝ uszaki Kar M˝ uszaki Informatika ´es Villamos Int´ezet M˝ uszaki Informatika Tansz´ek
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 4.el˝ oad´ as
1 / 32
V´ azlat
I.r´ esz: A Laplace-transzform´ aci´ o´ es alkalmaz´ asa
A Laplace-transzform´aci´o ´es alkalmaz´asa 1 2
Frekvencia → komplex frekvencia
A Laplace-transzform´aci´o Defin´ıci´o A Laplace-transzform´aci´o t´etelei
3
A Laplace-transzform´aci´o alkalmaz´asa FI jelek Laplace-transzform´altja ´ Atviteli f¨uggv´eny A v´alaszjel Laplace-transzfom´altja
4
Az inverz Laplace-transzform´aci´o P´ olus-z´erus elrendez´es
5
Rendszeregyenlet oper´atoros megold´asa
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 4.el˝ oad´ as
2 / 32
V´ azlat
I.r´ esz: A Laplace-transzform´ aci´ o´ es alkalmaz´ asa
A Laplace-transzform´aci´o ´es alkalmaz´asa 1 2
Frekvencia → komplex frekvencia
A Laplace-transzform´aci´o Defin´ıci´o A Laplace-transzform´aci´o t´etelei
3
A Laplace-transzform´aci´o alkalmaz´asa FI jelek Laplace-transzform´altja ´ Atviteli f¨uggv´eny A v´alaszjel Laplace-transzfom´altja
4
Az inverz Laplace-transzform´aci´o P´ olus-z´erus elrendez´es
5
Rendszeregyenlet oper´atoros megold´asa
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 4.el˝ oad´ as
2 / 32
V´ azlat
I.r´ esz: A Laplace-transzform´ aci´ o´ es alkalmaz´ asa
A Laplace-transzform´aci´o ´es alkalmaz´asa 1 2
Frekvencia → komplex frekvencia
A Laplace-transzform´aci´o Defin´ıci´o A Laplace-transzform´aci´o t´etelei
3
A Laplace-transzform´aci´o alkalmaz´asa FI jelek Laplace-transzform´altja ´ Atviteli f¨uggv´eny A v´alaszjel Laplace-transzfom´altja
4
Az inverz Laplace-transzform´aci´o P´ olus-z´erus elrendez´es
5
Rendszeregyenlet oper´atoros megold´asa
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 4.el˝ oad´ as
2 / 32
V´ azlat
I.r´ esz: A Laplace-transzform´ aci´ o´ es alkalmaz´ asa
A Laplace-transzform´aci´o ´es alkalmaz´asa 1 2
Frekvencia → komplex frekvencia
A Laplace-transzform´aci´o Defin´ıci´o A Laplace-transzform´aci´o t´etelei
3
A Laplace-transzform´aci´o alkalmaz´asa FI jelek Laplace-transzform´altja ´ Atviteli f¨uggv´eny A v´alaszjel Laplace-transzfom´altja
4
Az inverz Laplace-transzform´aci´o P´ olus-z´erus elrendez´es
5
Rendszeregyenlet oper´atoros megold´asa
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 4.el˝ oad´ as
2 / 32
V´ azlat
I.r´ esz: A Laplace-transzform´ aci´ o´ es alkalmaz´ asa
A Laplace-transzform´aci´o ´es alkalmaz´asa 1 2
Frekvencia → komplex frekvencia
A Laplace-transzform´aci´o Defin´ıci´o A Laplace-transzform´aci´o t´etelei
3
A Laplace-transzform´aci´o alkalmaz´asa FI jelek Laplace-transzform´altja ´ Atviteli f¨uggv´eny A v´alaszjel Laplace-transzfom´altja
4
Az inverz Laplace-transzform´aci´o P´ olus-z´erus elrendez´es
5
Rendszeregyenlet oper´atoros megold´asa
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 4.el˝ oad´ as
2 / 32
V´ azlat
¨ II.r´ esz: Osszefoglal´ as
¨ Osszefoglal´ as
6
¨ Osszefoglal´ as
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 4.el˝ oad´ as
3 / 32
Frekvencia
→
komplex frekvencia
A Fourier-transzform´aci´o Periodikus jelek Fourier-felbont´asa A Fourier-felbont´as (Fourier-approxim´aci´o, Fourier-sor) LI rendszerekre periodikus ´alland´osult v´alasz sz´am´ıt´as´ara, ? Aperiodikus jelekre ? ´ anos´ıt´as =⇒ aperiodikus jel = periodikus jel T → ∞ Altal´ T → ∞ K¨ovetkezm´enyek
periodikus jel (T < ∞) kω0 komponensek C
Sk komplex egy¨utthat´ok Fourier-felbont´as
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
=⇒ =⇒ =⇒ =⇒
aperiodikus jel (T → ∞) ∞ sok komponens, folytonos ω S(jω) komplex f¨uggv´eny Fourier-transzform´aci´o
Jelek ´ es rendszerek - 4.el˝ oad´ as
4 / 32
Frekvencia
→
komplex frekvencia
A Fourier-transzform´aci´o (folyt.)
Fourier-felbont´as → Fourier-transzform´aci´o Az al´abbi ¨osszef¨ugg´esek s(t) =
∞ X
C
Sk ejkω0 t ,
C
Sk =
k=−∞
1 T
Z
s(t)e−jkω0 t dt, T
T → ∞ mellet a k¨ovetkez˝ok´eppen alakulnak
Z 1 ∞ s(t) = F {S(jω)} = S(jω)ejωt dω, 2π −∞ Z∞ S(jω) = F {s(t)} = s(t)e−jωt dt, −1
−∞
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 4.el˝ oad´ as
5 / 32
Frekvencia
Korl´atok
→
komplex frekvencia
A Fourier-transzform´aci´o elv´egz´es´enek felt´etele: Abszol´ut integr´alhat´os´ag! F {s(t)} =
Z∞
s(t)e
−jωt
dt,
ha
−∞
Z +∞ −∞
Probl´ema
|s(t)|dt < ∞,
F {ε(t)}=?, F {tε(t)}=?, ... neh´ezkesen kezelhet˝ok Megold´as Z +∞ −∞
helyett
|s(t)|dt ≮ ∞ −−−−→
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Z +∞ −∞
|s(t)e−σt |dt < ∞,
Jelek ´ es rendszerek - 4.el˝ oad´ as
6 / 32
A Laplace-transzform´ aci´ o
Defin´ıci´ o
A Laplace transzform´aci´o
Egyoldalas Fourier transzform´aci´o F ε(t)s(t)e−σt =
Z∞
s(t)e−σt e−jωt dt.
−0
Defin´ıci´ o (Laplace transzform´aci´o) Egy s(t) jel Laplace transzform´altj´at a k¨ovetkez˝o ¨osszef¨ugg´essel defini´aljuk Z∞ L {s(t)} = S(s) = s(t)e−st dt, s = σ + jω. −0
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 4.el˝ oad´ as
7 / 32
A Laplace-transzform´ aci´ o
A Laplace-transzform´ aci´ o t´ etelei
Linearit´as t´etele A Laplace transzform´aci´o line´aris, azaz b´armely C1 ,C2 konstans eset´en: L {C1 f(t) + C2 g(t)} = C1 L {f(t)} + C2 L {g(t)} = C1 F(s) + C2 G(s) L−1 {C1 F(s) + C2 G(s)} = C1 L−1 {F(s)} + C2 L−1 {G(s)}
´ anosabban Altal´
L −1
L
n X i=1
n X i=1
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Ci si (t)
Ci Si (s)
=
=
n X
Ci L {si (t)} ,
i=1
n X
Ci L−1 {Si (s)} .
i=1
Jelek ´ es rendszerek - 4.el˝ oad´ as
8 / 32
A Laplace-transzform´ aci´ o
A Laplace-transzform´ aci´ o t´ etelei
Eltol´asi t´etel
Ha az ε(t)s(t) bel´ep˝o jelet τ > 0 id˝ovel eltoltjuk, → ε(t − τ)s(t − τ) jelet kapjuk, melynek Laplace transzform´altja: Z∞ Z∞ L {ε(t − τ)s(t − τ)} = s(t − τ)e−st dt = s(t − τ)e−s(t−τ) e−sτ dt τ−0
τ−0
Bevezetve T = t − τ v´altoz´ot,illetve dt = dT (τ konstans!) figyelmbev´etel´evel: Z∞ s(T )e−sT dT = e−sτ S(s). L {ε(t − τ)s(t − τ)} = e−sτ −0
Vagyis az id˝ obeli τ > 0 eltol´as a komplex frekvenciatartom´anyban e−sτ komplex exponenci´alis f¨uggv´ennyel val´o szorz´asnak felel meg.
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 4.el˝ oad´ as
9 / 32
A Laplace-transzform´ aci´ o
A Laplace-transzform´ aci´ o t´ etelei
Deriv´al´as Els˝orend˝u deriv´alt Laplace transzform´altja Ha s(t) jel szakaszonk´ent folytonos ´es differenci´alhat´o, ´es l´etezik S(s) Laplace transzform´altja, akkor s ′ (t) Laplace transzform´altja: L {s ′ (t)} = sS(s) − s(−0),
mivel:
L {s ′ (t)} =
Z∞
Z∞ ∞ s ′ (t)e−sT dt = s(t)e−sT −0 − s(t)(−s)e−sT dt −0 −0 Z∞ = (0 − s(−0)) + s s(t)e−sT dt = sS(s) − s(−0). −0
R R Felhaszn´alva a parci´alis integr´al´as szab´aly´at, miszerint u ′ v = [uv] − uv ′ . Helyesen v´alasztva u ′ = s ′ (t) → u = s(t) ´es v = e−sT → v ′ = −se−sT .
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 4.el˝ oad´ as
10 / 32
A Laplace-transzform´ aci´ o
A Laplace-transzform´ aci´ o t´ etelei
Integr´al´as t´etele Ha l´etezik ε(t)s(t) jel S(s) Laplace transzform´altja, akkor a jel integr´alj´anak Laplace transzform´altja: Z t
1 L s(τ)dτ = S(s). s −0 mivel (parci´alis integr´al´ast felhaszn´alva):
L
Z t
s(τ)dτ
−0
+
1 s
Z∞
−0
s(t)e−st dt =
=
−0
−∞
e
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Z ∞ Z t
s
Z∞
s(τ)dτ e
−0
−0
s(τ)dτ −
−0
−st
e
s
Z −0
Jelek ´ es rendszerek - 4.el˝ oad´ as
−0
e−st dt = s
s(τ)dτ
Zt
−0
s(τ)dτ
∞
−0
1 1 + S(s) = S(s). s s
11 / 32
A Laplace-transzform´ aci´ o
A Laplace-transzform´ aci´ o t´ etelei
K¨ovetkeztet´es
Fontos! Mivel a differenci´al´asnak illetve integr´al´asnak s-el val´o szorz´as illetve oszt´as felel meg, a differenci´al egyenletek hely´ebe a transzform´alt tartom´anyban algebrai egyenletek l´epnek. ´Igy a feladatok megold´asa l´enyegesen egyszer˝us¨odik.
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 4.el˝ oad´ as
12 / 32
A Laplace-transzform´ aci´ o
A Laplace-transzform´ aci´ o t´ etelei
Csillap´ıt´asi t´etel
Egy bel´ep˝ o ´es Laplace transzform´alhat´o s(t) jel ´es egy exponenci´alisan cs¨okken˝o e−αt , α > 0 jel szorzat´anak Laplace transzform´altja: L s(t)e−αt dt = S(s + α). Mivel: Z∞
s(t)e−αt e−st dt =
−0
Z∞
s(t)e−(α+s)t dt = S(s + α).
−0
Megjegyz´es: A csillap´ıt´asi t´etel a Fourier transzform´aci´on´al t´argyalt modul´aci´os t´etellel anal´og.
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 4.el˝ oad´ as
13 / 32
A Laplace-transzform´ aci´ o
A Laplace-transzform´ aci´ o t´ etelei
Fourier ´es a Laplace transzform´aci´o kapcsolata
Ha s(t) bel´ep˝o ´es abszol´ut integr´alhat´o, akkor a jel S(jω) spektruma meghat´arozhat´o: S(jω) = S(s)|s=jω Ha a jel korl´atos ´es v´eges tart´oj´u, vagy ha a jel bel´ep˝o, korl´atos, t → eset´en exponenci´alisan 0-hoz tart.
megj: ε(t)-re nyilv´an nem alkalmazhat´o, mert F {ε(t)} =
1 jω
+ πδ(ω)
GV stabilis kauz´alis rendszer eset´en: W(jω) = W(s)|s=jω
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 4.el˝ oad´ as
14 / 32
A Laplace-transzform´ aci´ o alkalmaz´ asa
FI jelek Laplace-transzform´ altja
ε(t) egys´egugr´as Laplace transzform´altja
L {ε(t)} =
Z∞
+0
e−st dt =
e−st −s
∞
+0
=
0−1 1 = s s
megjegyz´es: Mivel ε(t) bel´ep˝o jel, ε(−0) = 0, ´ıgy el´eg +0-t´ol integr´alni.
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 4.el˝ oad´ as
15 / 32
A Laplace-transzform´ aci´ o alkalmaz´ asa
FI jelek Laplace-transzform´ altja
ε(t)t sebess´egugr´as Laplace transzform´altja
L {ε(t)t} =
Z∞
−st
te
0
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
e−st dt = t −s
∞ 0
1 + s
Jelek ´ es rendszerek - 4.el˝ oad´ as
Z∞ 0
e−st dt =
11 1 = 2 ss s
16 / 32
A Laplace-transzform´ aci´ o alkalmaz´ asa
FI jelek Laplace-transzform´ altja
δ(t) impulzus Laplace transzform´altja Az integr´al´asi hat´arokat megfelel˝oen megv´alasztva: L {δ(t)} =
Z +0
δ(t)e−s0 dt =
−0
Z +0
δ(t)dt
−0
M´ask´eppen, a ε(t) egys´egugr´asb´ol levezetve: L {δ(t)} = sL {ε ′ (t)} = s
1 s
Eltolt impulzus Laplace transzform´altja: L {δ(t − τ)} = e−sτ M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 4.el˝ oad´ as
17 / 32
A Laplace-transzform´ aci´ o alkalmaz´ asa
FI jelek Laplace-transzform´ altja
Csillap´ıtott egys´egugr´as Laplace transzform´altja
Az e−αt (α > 0) szigor´uan monoton cs¨okken˝o f¨uggv´eny nem egyoldalas, ez´ert beszorozva az ε(t) egys´egugr´as f¨uggv´ennyel, mint ablakf¨ugv´ennyel az transzform´aci´o elv´egezhet˝o: L ε(t)e−αt =
Z∞
e−αt e−st dt =
−0
Z∞
e−(α+s)t dt =
−0
e−(α+s)t −(α + s)
∞ 0
=
1 s+α
Csillap´ıt´asi t´etelt felhaszn´alva: 1 1 L ε(t)e−αt = |s→ s+α = s s+α
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 4.el˝ oad´ as
18 / 32
A Laplace-transzform´ aci´ o alkalmaz´ asa
FI jelek Laplace-transzform´ altja
ε(t)ejωt ,ε(t) cos(ωt) ´es ε(t) sin(ωt) Laplace transzform´altja A csillap´ıtott egys´egugr´as sz´am´ıt´asa alapj´an α = jω helyettes´ıt´essel: L ε(t)e−jωt =
1 s − jω
Az Euler rel´aci´ot felhaszn´alva:
ejωt + e−jωt 1 1 1 1 s L {ε(t) cos(ωt)} = L ε(t) = + = 2 2 2 s − jω 2 s + jω s + ω2
ejωt − e−jωt 1 1 1 1 ω L {ε(t) sin(ωt)} = L ε(t) = − = 2 2j 2j s − jω 2j s + jω s + ω2 M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 4.el˝ oad´ as
19 / 32
A Laplace-transzform´ aci´ o alkalmaz´ asa
FI jelek Laplace-transzform´ altja
P´elda feladatok Laplace transzform´aci´ohoz 1. 1. P´elda, L {ε(t)te−αt } M´ar sz´am´ıtottuk, hogy L {ε(t)t} = s12 , illetve a csillap´ıt´asi t´etelt felhaszn´alva, miszerint L {s(t)e−αt } dt = S(s + α) L ε(t)te−αt =
1 (s + α)2
2. P´elda, L {ε(t)e−αt cos(ωt)} Hasonl´ oan a csillap´ıt´asi t´etelt felhaszn´alva: L ε(t)e−αt cos(ωt) =
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
s+α (s + α)2 + ω2
Jelek ´ es rendszerek - 4.el˝ oad´ as
20 / 32
A Laplace-transzform´ aci´ o alkalmaz´ asa
FI jelek Laplace-transzform´ altja
P´elda feladatok Laplace transzform´aci´ohoz 2. 3. p´elda T sz´eless´eg˝u impulzus Laplace transzform´altja A T sz´eless´eg˝u impulzus fel´ırhat´o eltolt egys´egugr´asok (ablakf¨uggv´enyek) ¨osszegek´ent: s(t) = ε(t) − ε(t − T ) Ebb˝ol: L {ε(t) − ε(t − T )} = L {ε(t)} − L {ε(t − T )} =
1 1 −sT + e s s
4. p´elda δ(t) integr´alj´anak Laplace transzform´altja
L
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Z
+0
δ(t)dt −0
=1
1 1 = . s s
Jelek ´ es rendszerek - 4.el˝ oad´ as
21 / 32
A Laplace-transzform´ aci´ o alkalmaz´ asa
´ Atviteli f¨ uggv´ eny
Konvol´uci´o komplex frekvenciatartom´anyban Id˝otartom´anyban a konvol´uci´oval sz´am´ıtott v´alasz y(t) = w(t) ∗ s(t). Komplex frekvenciatartom´anyban a konvol´uci´o egyszer˝u szorz´ass´a egyszer˝us¨odik: Y(s) = W(s)S(s), ahol S(s) a gerjeszt´es-, Y(s) a v´alasz Laplace transzform´altja, W(s) az un. ´atviteli f¨uggv´eny, amely a line´aris rendszer le´ır´as´ara szolg´al komplex frekvenciatartom´anyban, m´asr´eszt a w(t) impulzusv´alasz Laplace transzform´altja. T´etel A fentiekb˝ol ad´odik, hogy egy line´aris rendszer ´atviteli f¨uggv´enye a kimenet ´es bemenet Laplace transzform´altj´anak a h´anyadosa, vagyis: W(s) =
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Y(s) . S(s)
Jelek ´ es rendszerek - 4.el˝ oad´ as
22 / 32
A Laplace-transzform´ aci´ o alkalmaz´ asa
´ Atviteli f¨ uggv´ eny
Impulzusv´alasz ´es az ´atviteli f¨uggv´eny kapcsolata 1. konvol´ uci´o s(t) = est nem bel´ep˝o gerjeszt´es eset´en y(t) =
Z∞
w(τ)s(t − τ)dτ =
0
Z∞
s(t−τ)
w(τ)e
0
st
dτ = e
Z∞
w(τ)esτ dτ
0
A fenti ¨ osszef¨ugg´esben az integr´alt w(t) impulzusv´alasz Laplace transzform´altj´anak, vagy m´ask´eppen ´atviteli f¨uggv´eny´enek nevezz¨uk: Z∞ W(s) = w(t)est dt. −0
A rendszer v´alasza ´ıgy: y(t) = W(s)est . A W(s) ´atviteli f¨uggv´enyt a rendszer saj´at´ert´ek´enek, az est gerjeszt´est pedig saj´atf¨uggv´enynek is nevezz¨uk. M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 4.el˝ oad´ as
23 / 32
A Laplace-transzform´ aci´ o alkalmaz´ asa
´ Atviteli f¨ uggv´ eny
Impulzusv´alasz ´es az ´atviteli f¨uggv´eny kapcsolata 2.
Dirac-impulzus gerjeszt´es eset´en L {δ(t)} = 1, ´ıgy az ´atviteli f¨uggv´eny: W(s) =
Y(s) = Y(s). 1
T´etel Az impulzusv´alasz Laplace transzform´altja az ´atviteli f¨uggv´eny, illetve az ´atviteli f¨uggv´eny inverz Laplace transzform´altja az impulzusv´alasz. W(s) = L {w(t)} , w(t) = L−1 {W(s)} .
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 4.el˝ oad´ as
24 / 32
A Laplace-transzform´ aci´ o alkalmaz´ asa
´ Atviteli f¨ uggv´ eny
A rendszeregyenlet ´es az ´atviteli fv. kapcsolata
A rendszeregyenlet: y(n) (t) +
n X
ai y(n−i) (t) =
i=1
n X
bi s(n−i) (t),
i=0
amely Laplace transzform´altja 0 kezdeti felt´etelek eset´en: ! n n X X n (n−i) Y(s) s + ai s = S(s) bi s(n−i) , i=1
amelyb˝ ol: W(s) =
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
i=0
Pn bi s(n−i) Y(s) Pn = n i=0 S(s) s + i=1 ai s(n−i) Jelek ´ es rendszerek - 4.el˝ oad´ as
25 / 32
A Laplace-transzform´ aci´ o alkalmaz´ asa
A v´ alaszjel Laplace-transzfom´ altja
A v´alaszjel Laplace-transzfom´altj´anak meghat´aroz´asa
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 4.el˝ oad´ as
26 / 32
Az inverz Laplace-transzform´ aci´ o
Az inverz Laplace transzform´aci´o
Az inverz Fourier transzform´aci´o oldal´ar´ol megk¨ozel´ıtve: Z 1 ∞ ε(t)s(t)e−σt = S(σ + jω)ejωt dω 2π −∞ Z 1 ∞ ε(t)s(t) = S(σ + jω)e(σ+jω)t dω 2π −∞ Mivel s = σ + jω → ds = j dω → dω =
ds j ,
teh´at
Defin´ıci´ o (Inverz Laplace-transzform´aci´o) 1 ε(t)s(t) = 2πj
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Z σ+j∞
S(s)est ds = L−1 {S(s)} .
σ−j∞
Jelek ´ es rendszerek - 4.el˝ oad´ as
27 / 32
Az inverz Laplace-transzform´ aci´ o
Az inverz Laplace transzform´aci´o gyakorlatban
Gyakorlatban az integr´al ki´ert´ekel´es´ere nincs sz¨uks´eg¨unk, helyette az un. kifejt´esi t´etelt alkalmazzuk, mellyel a k´et polinom h´anyados´ab´ol ´all´ o Laplace transzform´altat t¨ortf¨uggv´enyekre bontjuk. T¨ortf¨uggv´enyek lehetnek: Val´odi t¨ ortf¨uggv´enyek, 1 2 3
egyszeres p´ olus´ uak, t¨ obbsz¨ or¨ os p´ olus´ uak, szerepel benne exponenci´ alis szorz´ ot´enyez˝ o.
Nem val´odi t¨ortf¨uggv´enyek, → az un. polinomoszt´assal visszavezethet˝o az el˝ oz˝ore.
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 4.el˝ oad´ as
28 / 32
Az inverz Laplace-transzform´ aci´ o
P´ olus-z´ erus elrendez´ es
P´olus-z´erus elrendez´es
Mint l´attuk W(s) k´et polinom h´anyadosa, amely gy¨okt´enyz˝os alakban: W(s) =
b0 sn + b1 sn−1 + · · · + bn (s − z1 )(s − z2 ) . . . (s − zn ) =K . n n−1 s + a1 s + · · · + an (s − p1 )(s − p2 ) . . . (s − pn )
A sz´aml´al´ o gy¨okei az un. z´erushelyek, a nevez˝o gy¨okeit p´olusoknak nevezz¨uk (W(s) itt 0 illetve ∞ ´ert´eket vesz fel). Az id˝otartom´any beli saj´at´ert´ekek megegyeznek W(s) p´olusaival, ´ıgy a stabilit´as felt´etele: R{pi } < 0, i = 1 . . . n.
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 4.el˝ oad´ as
29 / 32
Az inverz Laplace-transzform´ aci´ o
P´ olus-z´ erus elrendez´ es
P´olus-z´erus elrendez´es
W(S) =
s + 0.5 , z1 = −0.5, p1 = 1.63, p2 = −1.83 s2 + 0.2s − 3
2 1.5 1 0.5
|W(s)|
ω
1
0
0.5 1 0 −3
0.5 −2
−0.5 −1
0
−1
−1.5
0 −0.5
1 2 ω
3
−1
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
σ
−2 −2
Jelek ´ es rendszerek - 4.el˝ oad´ as
−1.5
−1
−0.5
0 σ
0.5
1
1.5
2
30 / 32
Az inverz Laplace-transzform´ aci´ o
P´ olus-z´ erus elrendez´ es
P´olus-z´erus elrendez´es
W(S) =
s + 0.5 , z1 = −0.5, p1 = −0.1 + 1.73j, p2 = −0.1 − 1.73j s2 + 0.2s + 3
1.5 1 0.5
|W(s)|
ω
60 40 20
0.5
0 −0.5
0 −3
−1
−2 0
−1 0 ω
σ
1
−1.5
2 3
−0.5
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
−1.5
Jelek ´ es rendszerek - 4.el˝ oad´ as
−1
−0.5
0 σ
0.5
1
1.5
31 / 32
¨ Osszefoglal´ as
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 4.el˝ oad´ as
32 / 32
