INŽENÝRSKÁ GEODÉZIE II

VYSOKÉ U ENÍ TECHNICKÉ V BRN FAKULTA STAVEBNÍ

OTAKAR ŠVÁBENSKÝ, ALEXEJ VITULA, JI Í BUREŠ

INŽENÝRSKÁ GEODÉZIE II GE03 MODUL 01 ANALÝZA P ESNOSTI VYTY ENÍ POLOHY

STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

INŽENÝRSKÁ GEODÉZIE II · Modul 01

© Otakar Švábenský, Alexej Vitula, Ji í Bureš - Brno 2007.

- 2 (70) -

Obsah

OBSAH 1 Úvod 5 1.1 Cíle ........................................................................................................5 1.2 Požadované znalosti ..............................................................................5 1.3 Doba pot ebná ke studiu .......................................................................5 1.4 Klí ová slova.........................................................................................5 2 Rozbor souhrnné p esnosti vyty ení 2D polohy ........................................7 2.1 Zákony souhrnného hromad ní náhodných chyb .................................8 2.1.1 Výpo et matic parciálních derivací ......................................11 2.2 Rozbor p esnosti základních jednoduchých metod vyty ení polohy..14 2.2.1 Technika výpo tu 2D polohové p esnosti.............................14 2.2.2 Vyty ení polohy bodu metodou polárních sou adnic ...........15 2.2.2.1 Polární metoda s p ímo orientovaným sm rem ....................15 2.2.2.2 Polární metoda s nep ímo orientovaným sm rem ................17 2.3 Vyty ení polohy bodu sm rovým protínáním ....................................20 2.3.1.1 Vyty ení polohy bodu protínáním vp ed z orientovaných sm r .....................................................................................20 2.3.1.2 Vyty ení polohy bodu protínáním vp ed z úhl ...................24 2.3.2 Vyty ení polohy bodu metodou protínání z délek................31 2.3.3 Vyty ení polohy bodu metodou protínání z úhlu a délky.....34 2.3.4 Vyty ení polohy bodu metodou protínání zp t.....................38 2.4 Porovnání základních metod vyty ení polohy ....................................45 2.5 Rozbor p esnosti dalších metod vyty ení polohy ...............................48 2.5.1 Vyty ení polohy bodu volným polygonovým po adem .......49 2.5.2 Vyty ení polohy bodu metodou pravoúhlých sou adnic ......53 2.5.3 Vyty ení polohy bodu pr se íkovou metodou .....................55 2.5.4 Vyty ení polohy bodu pomocí GNSS...................................57 3 Nep ímé ur ení prostorové vzdálenosti....................................................59 4 Záv r ............................................................................................................69 4.1 Shrnutí.................................................................................................69 4.2 Studijní prameny .................................................................................69 4.2.1 Seznam použité literatury .....................................................69 4.2.2 Seznam dopl kové studijní literatury ...................................70 4.2.3 Odkazy na další studijní zdroje a prameny ...........................70

- 3 (70) -

Úvod

1

Úvod

1.1

Cíle

Cílem tohoto studijního textu je poskytnout tená i podrobn jší seznámení s aktuálními problémy teorie a praxe inženýrské geodézie. Je to první ze ty modul ur ených pro p edm t HE03 „Inženýrská geodézie II“ na magisterském stupni studia oboru Geodézie a kartografie na VUT FAST Brno. Má zásadní d ležitost pro další orientaci, nebo jsou zde obecn vysv tleny základy rozbor p esnosti úloh inženýrské geodézie. Na tento modul navazuje druhý s názvem „Geodézie ve stavebních oborech“. Oba tyto moduly pokrývají p ednášenou tématiku. Na n navazuje další – t etí – modul s názvem „Návody ke cvi ením“ a „Praktické úlohy inženýrské geodézie“, který je ur eny pro semestrální cvi ení a je zam en na praktické procvi ení dané problematiky formou ešených p íklad a úloh.

1.2

Požadované znalosti

Ke studiu je t eba znalost st edoškolské matematiky a fyziky, zejména základ geometrie a základních metod matematické analýzy, zejména diferenciálního po tu. Dále je t eba znát základy rovinné (nižší) geodézie a dob e se orientovat v základech teorie chyb. Samoz ejm se p edpokládá dobrá znalost problematiky probírané v rozsahu p edm tu „Inženýrská geodézie I.

1.3

Doba pot ebná ke studiu

Doba pot ebná ke zvládnutí látky p edm tu "Inženýrská geodézie II" odpovídá rozsahu výuky 3 hodiny p ednášek a 3 hodiny cvi ení týdn po dobu 13 týdn . Jedná se tedy p ibližn o 60 hodin. Z toho na studium tohoto modulu p ipadá o n co více než jedna t etina, tedy odhadem asi 25 – 30 hodin. Je nutné po ítat s tím, že as pot ebný ke studiu se m že dosti zna n individuáln lišit.

1.4

Klí ová slova

inženýrská geodézie, stavební geodézie, rozbory p esnosti, vyty ovací metody, kontrolní a ov ovací m ení.

- 5 (70) -

Rozbor souhrnné p esnosti vyty ení 2D polohy

2


Vyty ením horizontální polohy bodu se rozumí z ízení vyty ovací zna ky bodu podle jeho projektových sou adnic vzhledem k primárnímu systému stavby (vyty ovací síti). Základní jednoduché metody vyty ení polohy bodu jsou takové, kdy je poloha bodu ur ena pomocí nezbytného po tu veli in (tj. bez vyrovnání). Jiné dále používané metody pracují s nadbyte ným po tem vyty ovaných veli in, nebo používají zvláštních postup . Rozbory p esnosti polohových vyty ení pracují s dvojrozm rným rozd lením pravd podobností, protože pro vyjád ení polohy bodu v rovin je t eba dvou parametr – obvykle pravoúhlých sou adnic x , y . Vyty ení vychází z výchozích (daných) bod primárního systému stavby (vyty ovací sít ). Podle toho, zda se p i rozboru uvažuje pouze vliv chyb vlastního vyty ení, nebo se uvažuje i vliv chyb sou adnic výchozích bod , rozlišuje se relativní p esnost anebo souhrnná p esnost vyty ení. K t mto rozbor m p esnosti se používá zákon hromad ní skute ných a st edních chyb, nyní ovšem v modifikované podob pro dvojrozm rné chyby. V následujícím textu bude používáno toto ozna ení : n - po et m ených (vyty ovaných) veli in, k - po et výchozích (daných) bod , r - po et sou asn ur ovaných cílových parametr , li - m ená (vyty ovaná) veli ina, xi - ur ovaný parametr,

x A i - výchozí parametr, i

- skute ná chyba,

mi - st ední chyba, H - matice parciálních derivací (Jacobiho matice), E - vektor skute ných chyb, M2 - kovarian ní matice d - dimenze pracovního prostoru (pro rovinu d = 2)

- 7 (70) -


2.1

Zákony souhrnného hromad ní náhodných chyb

M ická (vyty ovací) úloha p edstavuje souhrn výchozích prvk , ur ovaných prvk a m ených veli in, které jsou vzájemn svázány vztahy p edstavujícími matematický model úlohy. Tyto vztahy jsou obecn nelineární. Pro ú ely chybové analýzy je ú elné je linearizovat, nap . pomocí Taylorova rozvoje (pokud jsou spln ny p íslušné podmínky konvergence) s omezením pouze na lineární leny. Cílové parametry xi jsou pak vyjád eny jako analytické lineární funkce m ených veli in a výchozích parametr (sou adnic výchozích bod )

(

xi = f i l1 , l 2 ,

, ln , x A 1 , x A 2 ,

, x A dk

)

(2.1)

Odvození zákon souhrnného hromad ní chyb bude provedeno pro v tší názornost ve dvou odd lených variantách: a) výchozí body jsou brány jako bezchybné a uvažuje se pouze vliv chyb m ených veli in (relativní p esnost) Skute ná chyba jednotlivého ur ovaného parametru xi bude dána známým vztahem

ε xi =

n j =1

∂fi ε = ∂l j l j

n

hij ε l j

j =1

(2.2)

Pro vyjád ení skute ných chyb r ur ovaných parametr by bylo t eba r takových rovnic. Výhodn jší je použít úsporn jšího maticového zápisu zákona hromad ní skute ných chyb ve tvaru

E x = H L EL

(2.3)

kde Ex je vektor skute ných chyb m ených veli in, Ex je vektor skute ných chyb ur ovaných parametr , a HL je matice parciálních derivací (Jacobiho matice), jejímiž prvky jsou parciální derivace hij podle rovnice (2.2) .

l1 EL =

l2

Ex =

ε x1 ε x2

∂f1 ∂l1 ∂f 2 ∂l1

HL =

ε xr

ln

∂f1 ∂l2

∂f r ∂l1

∂f1 ∂ln (2.4)

∂f r ∂ln

St ední chyba jednotlivého ur ovaného parametru xi je pak dána vztahem

mx2i

=

n j =1

∂fi ∂l j

2

ml2j =

n j =1

hij2 ml2j

(2.5)

S touto mírou p esnosti se však vysta í pouze pro jednorozm rné chyby. Pro vyjád ení p esnosti v p ípad vícerozm rného rozd lení pravd podobností chyb se musí uvažovat ješt vzájemné kovariance mezi parametry

- 8 (70) -


mx2i x j =

n u =1

∂f i ∂f j 2 ml = ∂lu ∂lu u

n j =1

hiu h ju ml2u

(2.6)

Úplnou charakteristikou p esnosti je pak kovarian ní matice

mx21

M 2x =

mx1 x2

mx1 xr

mx21

mx2 x1

(2.7)

mx2r

mxr x1

na jejíž hlavní diagonále jsou st ední chyby (variance) jednotlivých ur ovaných parametr a na zbývajících místech jsou jejich vzájemné kovariance.

Poznámka: Vzájemn závislé jsou i parametry vypo tené z nezávislých m ení, jedná se o tzv. po etní korelaci, nebo se jednotlivá m ení podílejí na ur ení více výsledných parametr . Maticový zápis zákona hromad ní st edních chyb je pak

M 2x = H L M L2 H TL

(2.8)

kde M L2 je kovarian ní matice m ených veli in vyjad ující jejich p esnost. Pro vzájemn nezávislá (nekorelovaná) m ení má tato matice tvar

ml21

M 2L =

0

0

0

[ ]

ml22

= diag ml2i

(2.9)

ml2n

0

b) m ené veli iny jsou brány jako bezchybné a uvažuje se pouze vliv chyb výchozích bod Skute ná chyba jednotlivého ur ovaného parametru xi bude op t dána známým vztahem

ε xi =

dk j =1

∂f i εx = ∂ x Aj A j

dk j =1

h ij ε x A

j

(2.10)

Maticový zápis zákona hromad ní skute ných chyb má tvar

Ex = H A E A

(2.11)

kde EA je vektor skute ných chyb výchozích parametr , Ex je vektor skute ných chyb ur ovaných parametr , a HA je Jacobiho matice, jejímiž prvky jsou parciální derivace hij podle rovnice (2.10) .

- 9 (70) -


∂f1 ∂ x A1 ∂f 2 H A = ∂ x A1

l1 EA =

l2

,

ln

∂f1 ∂ x A2

∂f1 ∂ x Adk (2.12)

∂f r ∂ x A1

∂f r ∂ x Adk

St ední chyba jednotlivého ur ovaného parametru xi je nyní dána vztahem

m x2i =

∂f i ∂ x Aj

dk j =1

2

m x2A = j

dk j =1

h ij2 m x2A

(2.13)

j

a vzájemné kovariance mezi parametry jsou

m x2i x j

=

dk u =1

∂f i ∂f j 2 mx = ∂x Au ∂x Au A u

dk j =1

h iu h ju m x2A

(2.14)

u

Maticový zápis zákona hromad ní st edních chyb je pak - analogicky výrazu (2.8)

M 2x = H A M 2A H TA

(2.15)

kde M 2A je kovarian ní matice výchozích parametr vyjad ující jejich p esnost. V praktických p ípadech je tvar této matice závislý na tom, jaká informace o p esnosti výchozích bod je dispozici. Pokud tyto podklady existují (nap . kovarian ní matice z vyrovnání vyty ovací sít ), je tato matice obecn plná. asto však je k dispozici pouze st ední sou adnicová chyba výchozích bod mx,y(A) a použije se diagonální tvar této matice

m x2A

0

0

m x2A

1

M 2A =

0

0

[

= diag m x2, y ( A)

2

m x2A

]

(2.16)

dk

c) zákony souhrnného hromad ní skute ných a st edních chyb

Souhrnné hromad ní skute ných chyb lze popsat algebraickým slou ením maticových výraz (2.3) a (2.11) takto:

E x = H L EL + H A E A

(2.17)

Souhrnné hromad ní st edních chyb lze popsat obdobn slou ením výraz (2.8) a (2.15)

M 2x = H L M L2 H TL + H A M 2A H TA

- 10 (70) -

(2.18)


pouze však za p edpokladu nezávislosti m ených veli in a ur ovaných parametr (sou adnic vyty ovaných bod ). Tento p edpoklad nebývá spln n p i sou asném ur ení výchozích bod a následném vyty ení (nap . metoda p echodných stanovisek)

2.1.1

Výpo et matic parciálních derivací

Funk ní vztahy (10.1) pro výpo et ur ovaných parametr jsou obecn nelineární. P ed výpo tem matic parciálních derivací se p edpokládá jejich linearizace, ímž se dosáhne toho, že p íslušné parciální derivace již nejsou funkcemi výchozích nebo ur ovaných parametr . Využití p edcházejících vztah (2.17) a (2.18) pro praktické rozbory p esnosti polohových vyty ovacích úloh p edpokládá výpo et matic parciálních derivací HL , HA . Existují dv možnosti výpo tu t chto matic :

• p ímý výpo et - uplatn ním zákona hromad ní skute ných chyb, prost ednictvím diferencování funk ních vztah (2.1). Tento zp sob je vhodný, jsou-li p íslušné funk ní vztahy explicitní, jednoduché a snadno diferencovatelné. M že však narážet na potíže v p ípad implicitního i složit jšího tvaru funk ních vztah • nep ímý výpo et - využívá skute nosti, že jednotlivé m ené veli iny (délky, sm ry, úhly) mohou být vyjád eny jako analytické funkce výchozích a ur ovaných parametr

(

li = g i x A1 , x A2 ,

, x Adk , x1 , x2 ,

, xr

)

(2.19)

Pro výpo et diferenciálních zm n (skute ných chyb) platí známé vztahy, uvedené nap . v [17]. Jejich tvar je obecn dán vztahem

ε li =

dk p =1

r ∂ gi ∂ gi ε xA + ε xu p ∂ x Ap u =1 ∂ xu

(2.20)

a jejich maticový zápis má tvar EL = A E A + B E x

(2.21)

kde matice A , B maji strukturu

∂g1 ∂x A1 ∂g 2 A = ∂x A1 ∂g n ∂x A1

∂g1 ∂x A2

∂g1 ∂x Adk ,

∂g n ∂x Adk

- 11 (70) -

(2.22)


∂g1 ∂x1 ∂g 2 B = ∂x1

∂g1 ∂x2

∂g1 ∂xr (2.23)

∂g n ∂x1

∂g n ∂xr

Základní zprost edkující vztahy mezi skute nými chybami m ených veli in a skute nými chybami výchozích a ur ovaných parametr (sou adnic výchozích a ur ovaných bod ) v rámci p íslušné m ické úlohy jsou pro délku:

ε s A,B = − cosα A, B ε x A − sin α A, B ε y A + cosα A, B ε x B + sin α A, B ε y B (2.24) pro sm r:

εα A, B =

sin α A, B cosα A, B sin α A, B cosα A, B ε xA − ε yA − ε xB + ε yB s A, B s A, B s A, B s A, B (2.25)

pro úhel:

ε ω B , A ,C = ε α A ,C − ε α A , B což po dosazení podle (10.25) dá vztah

ε ω B , A ,C =

sin α A,C

s A,C +

sin α A, B

s A, B

−

sin α A, B

s A, B

ε xB −

ε xA −

cos α A, B

s A, B

cosα A,C

s A,C

ε yB −

−

sin α A,C

s A,C

cos α A, B

s A, B

ε xC +

ε yA +

cos α A,C

s A,C

ε yC (2.26)

Jednotlivé symboly v t chto vzorcích mají geometrický význam podle Obr. 1

Obr. 1 - Základní m ené veli iny

- 12 (70) -


Jiný tvar t chto základních diferenciálních vztah bez použití sm rník je:

ε s A, B = − ε α A, B =

∆ x A, B s A, B

∆ y A, B

ε ω B , A ,C =

ε xA −

s A2 ,B

ε xA −

∆ y A,C s A2 ,C +

∆ y A, B s A2 , B

−

∆ y A, B s A, B

∆ x A, B s A2 ,B

∆ y A, B s A2 , B

ε xB −

ε yA + ε yA −

ε xA −

∆ x A, B s A2 , B

∆ x A, B s A, B

∆ y A, B s A2 ,B

∆ x A,C s A2 ,C

ε yB −

ε xB + ε xB + −

∆ y A,C s A2 ,C

∆ y A, B s A, B

∆ x A, B s A2 ,B

∆ x A, B s A2 ,B

ε xC +

ε yB ε yB

ε yA + ∆ x A,C s A2 ,C

ε yC

Jedná-li se o jednoduchou m ickou úlohu (bez nadbyte ných m ení), je m en i vyty ován pouze nezbytný po et veli in, který se rovná po tu ur ovaných parametr ( n = r ). Matice B je v tomto p ípad regulární ( tvercová - rozm ru r x r), ehož lze využít k nep ímému výpo tu matic parciálních derivací HL , HA . Vztah (2.21) lze p evedením upravit na tvar

B E x = − A E A + EL K matici B nyní v d sledku její regularity existuje inverzní matice B-1 , kterou se tato rovnice zleva vynásobí

B −1 B E x = − B −1 A E A + B −1 E L a tedy

E x = − B −1 A E A + B −1 E L

(2.27)

Porovnáním s rovnicí (10.17) vyplývá, že z ejm platí vztahy

H L = B −1

(2.28)

H A = − B −1 A

(2.29)

Význam tohoto postupu tkví v tom, že prvky matic A , B lze vypo ítat pomocí vztah (2.24), (2.25) a (2.26) , aniž by bylo pot ebné derivovat funk ní vztahy (2.1) - dokonce ani není nutné je znát.

- 13 (70) -


2.2

Rozbor p esnosti základních jednoduchých metod vyty ení polohy

Jednoduché metody vyty ení polohy bodu jsou takové, kdy je poloha bodu ur ena pomocí nezbytného po tu (tj. dvou) m ených (vyty ovaných) veli in – bez vyrovnání. Jedná se tedy o p t základních úloh – polární metoda, protínání vp ed z úhlových veli in, protínání z délek, protínání z úhlu a délky, a protínání zp t. P esnost horizontální polohy se vyjad uje prost ednictvím prvk kovarian ní matice (kapitola 2.1), zjednodušeným ukazatelem p esnosti je st ední sou adnicová chyba. Rozeznává se p esnost relativní (vzhledem k výchozím bod m) a p esnost souhrnná (s uvážením p esnosti výchozích bod ). Oblastí spolehlivosti (t = 1) je st ední elipsa chyb poskytující informaci o sm rech a velikostech maximální a minimální st ední chyby.Vztahy mezi prvky kovarian ní matice a parametry st ední elipsy chyb jsou popsány v [17], kapitole 5.3 – viz. výrazy (5.2), (5.3), (5.4):

2.2.1

Technika výpo tu 2D polohové p esnosti

P i analýzách p esnosti základních jednoduchých metod vyty ení horizontální (2D) polohy se vždy po et m ených (vyty ovaných) veli in rovná po tu ur ovaných parametr (dvojice sou adnic vyty ovaného bodu), tj. n = r = 2 . Uvažují-li se pouze vlivy chyb m ených (vyty ovaných) veli in a pracuje-li se s obvyklým modelem jejich p esnosti ve tvaru

M 2L =

ml21 0

[ ]

0

= diag ml2i

ml22

,

(2.30)

platí pro výpo et kovarian ní matice ur ovaného (vyty ovaného) bodu vztah M 2x = H L M L2 H TL

.

Po rozepsání jednotlivých prvk v maticích se získá vztah M 2x =

h11 h21

h12 h22

ml21 0

0

h11

h21

ml22

h12

h22

Provede-li se násobení matic na pravé stran tohoto výrazu, získá se postupn

h11ml21

h21ml21

h12 ml22

h22 ml22

h11

h12

ml21

h21

h22

0

h11

h21

h12

h22

=

0 ml22

=

h11ml21

h21ml21

h12 ml22

h22 ml22

2 2 2 h11 ml1 + h12 ml22

h21h11ml21 + h22 h12 ml22

h11h21ml21 + h12 h22 ml22 2 2 h21 ml21 + h22 ml22

(2.31) Platí tedy pro výpo et jednotlivých prvk kovarian ní matice vztahy

- 14 (70) -


2 2 m x2 = h11 ml21 + h12 ml22 =

2 2 m 2y = h 21 ml21 + h 22 ml22 =

2 j =1 2 j =1

m xy = h11h21ml21 + h12 h22 ml22 =

h12j ml2j

(2.32)

h 22 j ml2j

(2.33)

2 j =1

h1 j h2 j ml2j

(2.34)

Pomocí t chto vztah lze po výpo tu matice B ihned po ítat jednotlivé prvky kovarian ní matice vyty ovaného bodu.

2.2.2

Vyty ení polohy bodu metodou polárních sou adnic

Charakteristika úlohy: Bod je vyty ován jako pr se ík kružnice a p ímky dané orientovaným sm rem. Kružnice má st ed ve výchozím bod A (polárním stanovisku) a její polom r se rovná m ené délce s , vyty ovaný sm r je orientován a) p ímo – gyroskopicky, astronomicky i magneticky

(Obr. 2),

b) nep ímo vzhledem k jinému výchozímu (orienta nímu) bodu B pomocí m eného úhlu (Obr. 3). 2.2.2.1 Polární metoda s p ímo orientovaným sm rem Daný (výchozí) bod- A (tj. k = 1), M ené (vyty ované) veli iny – délka s , orientovaný sm r

(tj. n = 2)

Ur ované parametry – sou adnice vyty ovaného bodu P (x , y) – (tj. r = 2)

Obr. 2 - Polární metoda s p ímo orientovaným sm rem

Chybový model:

- 15 (70) -


a) uvažují se pouze chyby m ených veli in (výchozí body jsou považovány za bezchybné - M 2A = 0 ) Diferenciální vztahy pro m ené veli iny (sm rník (2.24) a (2.25)

εα =

sin α s

ε xA −

cos α

ε yA −

s

sin α s

εx +

, délku s ) jsou podle

cos α s

εy

ε s = − cos α ε x A − sin α ε y A + cos α ε x + sin α ε y Matici B lze podle (2.23) sestavit ve tvaru B=

sin α s cosα

−

cosα s sin α

(2.35)

P i použití nep ímého postupu odvození matice parciálních derivací podle (2.28) platí vztah

H L = B −1 Pro výpo et inverzní matice (2.35) je t eba nejd íve vypo ítat determinant matice B det B =

− sin 2 α − cos 2 α − 1 = s s

(2.36)

Inverzní matice k matici B pak bude

B −1

sin α 1 −1 adj (B) = = det B s − cosα

− cosα s sin α − s

a po úprav B −1 =

− s sin α

cos α

s cosα

sin α

(2.37)

Charakteristiky p esnosti polohy ur ovaného bodu (prvky kovarian ní matice M 2x ) jsou nyní ur eny podle (2.32), (2.33) a (2.34) vztahy: st ední chyby ve sm rech sou adnicových os m x2 = cos 2 α ms2 + s 2 sin 2 α mω2

(2.38)

m 2y = sin 2 α ms2 + s 2 cos 2 α A mω2

(2.39)

m xy = sin α cosα ms2 − s 2 sin α cosα mω2

(2.40)

kovariance

st ední sou adnicová chyba

- 16 (70) -


m x2, y

ms2 + s 2 mω2 = 2

(2.41)

Ve vzorci (2.40) p edstavuje první len ( ms ) st ední chybu podélnou, a druhý len ( s . m ) st ední chybu p í nou vzhledem k vyty ovanému sm ru. b) uvažují se pouze chyby v poloze výchozích bod (m ené veli iny jsou považovány za bezchybné - M L2 = 0 ) Nyní je t eba použít pro výpo et matice parciálních derivací vztah (2.29)

H A = − B −1 A = Matice A (2.22) :

s sin α

− cos α

− s cosα

− sin α

A

(2.42)

se sestaví pomocí vztah pro skute né chyby m ených veli in

sin α A= s − cosα

cosα s − sin α

−

Po provedení maticového sou inu bude platit

HA =

1 0 0 1

Je-li známa p esnost polohy výchozích bod , charakterizovaná nap . st ední sou adnicovou chybou výchozích bod mx,y(A) , bude st ední sou adnicová chyba vyty ovaného bodu dána výrazem m x2, y = m x2, y ( A)

(2.43)

2.2.2.2 Polární metoda s nep ímo orientovaným sm rem Dané (výchozí) body – A , B (tj. k = 2), M ené (vyty ované) veli iny – délka s , polární úhel

(tj. n = 2)


Obr. 3 - Polární metoda s nep ímo orientovaným sm rem

- 17 (70) -


Chybový model: a) uvažují se pouze chyby m ených veli in (výchozí body jsou považovány za bezchybné - M 2A = 0 ) Diferenciální vztahy pro m ené veli iny (úhel a (2.25)

εω =

sin α sin α A, B − s s A, B +

sin α A, B s A, B

ε xB −

cosα cos α A,B − ε yA + s s A, B

ε xA − cos α A, B s A, B

, délku s ) jsou podle (2.24)

ε yB −

sin α cos α εx + εy s s

ε s = − cos α ε x A − sin α ε y A + cos α ε x + sin α ε y Matici B lze podle (2.23) sestavit ve tvaru stejném jako (2.35) sin α s cosα

−

B=

cosα s sin α

a tudíž p i použití nep ímého postupu odvození matice parciálních derivací podle (2.28) budou platit rovn ž stejné vzorce jako v p edcházejícím p ípad :

det B = B −1 =

−1 s

,

− s sin α

cos α

s cosα

sin α

.

Charakteristiky p esnosti polohy ur ovaného bodu (prvky kovarian ní matice M 2x ) jsou nyní ur eny vztahy: st ední chyby ve sm rech sou adnicových os m x2 = cos 2 α ms2 + s 2 sin 2 α mω2

(2.44)

m 2y = sin 2 α ms2 + s 2 cos 2 α A mω2

(2.45)

m xy = sin α cosα ms2 − s 2 sin α cosα mω2

(2.46)

kovariance


m x2, y

ms2 + s 2 mω2 = 2

(2.47)

b) uvažují se pouze chyby v poloze výchozích bod (m ené veli iny jsou považovány za bezchybné - M L2 = 0 ) Matice parciálních derivací H A se nyní vypo ítá podle vztahu (2.29)

- 18 (70) -


H A = − B −1 A =

s sin α

− cos α

− s cosα

− sin α

A

(2.48)

Matice A se sestaví pomocí vztah pro skute né chyby m ených veli in (2.22) a její jednotlivé prvky jsou: a11 = a12 =

a13 = a14 =

s A, B sin α − s sin α A, B s s A, B s cos α A, B − s A, B cosα s s A, B

sin α A, B s A, B − cos α A, B

(2.49)

s A, B

a21 = − cosα a22 = sin α

a 23 = a24 = 0 Po provedení maticového sou inu (2.48) budou jednotlivé prvky matice H A dány následujícími vztahy :

h11 = 1 − h12 = h13 =

s A, B s s A, B

s A, B

h23 = −

sin α sin α A, B

s A, B s

sin α cosα A, B

cosα sin α A, B s

s A, B s

s A, B s

s A, B

sin α sin α A, B

sin α cosα A, B

s

h22 = 1 −

h24 =

s A, B

s

h14 = − h21 =

s

(2.50)

cosα cosα A,B

cosα sin α A, B

cosα cosα A, B

- 19 (70) -


Je-li známa p esnost polohy výchozích bod , charakterizovaná nap . st ední sou adnicovou chybou výchozích bod mx,y(A) , bude st ední sou adnicová chyba vyty ovaného bodu dána výrazem (po úpravách) m x2, y = 1 −

s s A, B

cos ω +

s2 m x2, y ( A) 2 s A, B

.

(2.51)

Poznámka: Úloha má ešení v celém rozsahu sou adnicové roviny bez omezení. V dnešní praxi charakterizované masovým nasazením totálních stanic jako univerzálních m ících p ístroj je to nejpoužívan jší metoda.

2.3

Vyty ení polohy bodu sm rovým protínáním

Charakteristika úlohy: Poloha bodu je získána jako pr se ík dvou orientovaných sm r vyty ovaných ze dvou výchozích (daných) bod . Orientace sm r se získává t emi zp soby (Obr. 37): • p ímo (astronomická, gyroskopická orientace), • nep ímo pomocí jiných daných bod , • nep ímo vzhledem ke spojnici obou výchozích bod . V prvních dvou p ípadech se jedná o protínání z orientovaných sm r (Obr. 4), ve t etím p ípad jde o protínání vp ed z úhl (Obr. 5). 2.3.1.1 Vyty ení polohy bodu protínáním vp ed z orientovaných sm r Dané (výchozí body) - A , B (tj. k = 2), M ené (vyty ované) veli iny – orientované sm ry

A

,

B

(tj. n = 2)


Obr. 4 - Vyty ení polohy bodu protínáním vp ed z orientovaných sm r

- 20 (70) -


Chybový model: a) uvažují se pouze chyby m ených veli in (výchozí body jsou považovány za bezchybné - M 2A = 0 ) Diferenciální vztahy pro m ené veli iny (sm rníky

A,

B

) jsou podle (2.25)

εα A =

sin α A cos α A sin α A cos α A ε xA − ε yA − εx + εy sA sA sA sA

εα B =

sin α B cos α B sin α B cos α B ε xA − ε yA − εx + εy sB sB sB sB

Matici B lze podle (xx.xx) sestavit ve tvaru

sin α A sA B= sin α B − sB −

cosα A sA cosα B sB

(2.52)


H L = B −1 Pro výpo et inverzní matice (2.51) je t eba nejd íve vypo ítat determinant matice B

det B =

− sin α A cos α B + cos α A sin α B sin (α B − α A ) = s A sB s A sB

(2.53)

Inverzní matice k matici B pak bude B −1 =

s A sB 1 adj (B) = det B sin (α B − α A )

cosα B sB sin α B sB

− cosα A sA − sin α A sA


s A cos α B

1

− s B cos α A

sin (α B − α A ) s A sin α B

− s B sin α A

.

(2.54)

Pracuje-li se s obvyklým chybovým modelem nekorelovaných m ených veliin vyjád ených jejich kovarian ní maticí ve tvaru M L2

=

mα2 A 0

0 mα2B

,

jsou charakteristiky p esnosti polohy ur ovaného bodu (prvky kovarian ní matice M 2x ) nyní ur eny podle (2.31), (2.32) a (2.33) vztahy: - 21 (70) -


st ední chyby ve sm rech sou adnicových os mx2

m 2y

=

=

s A2 cos 2 α B mα2 A + sB2 cos 2 α A mα2 B

(2.55)

sin 2 (α B − α A )

s A2 sin 2 α B mα2 A + s B2 sin 2 α A mα2B

(2.56)

sin 2 (α B − α A )

kovariance

m xy =

s A2 sin α B cos α B mα2 A + s B2 sin α A cos α A mα2B sin 2 (α B − α A )

(2.57)

st ední sou adnicová chyba mx2, y

=

s A2 mα2 A + sB2 mα2 B

(2.58)

2 sin 2 (α B − α A )

Zjednodušením t chto vztah za p edpokladu stejné p esnosti m ených sm r mα A = mα B = mα p ejdou tyto vzorce na tvar st ední chyby ve sm rech sou adnicových os mx2 =

s A2 cos 2 α B + s B2 cos 2 α A 2 mα sin 2 (α B − α A )

(2.59)

m 2y =

s A2 sin 2 α B + sB2 sin 2 α A 2 mα sin 2 (α B − α A )

(2.60)

s A2 sin α B cosα B + sB2 sin α A cosα A 2 mα sin 2 (α B − α A )

(2.61)

kovariance mxy =

st ední sou adnicová chyba mx2, y =

s A2 + sB2 mα2 2 2 sin (α B − α A )

(2.62)

b) uvažují se pouze chyby v poloze výchozích bod (m ené veli iny jsou považovány za bezchybné - M L2 = 0 ) Nyní se použije pro výpo et matice parciálních derivací vztah (2.29)

H A = − B −1 A = Matice A (2.22) :

1

sin (α B − α A )

− s A cos α B − s A sin α B

s B cos α A A s B sin α A

(2.63)


- 22 (70) -


A=

sin α A sA

−

cos α A sA

0

0

0

0

sin α B sB

(2.64)

cos α B sB

−

Po provedení maticového sou inu se získá matice parciálních derivací ve tvaru HA =

1

sin (α B − α A )

− sin α A cosα B − sin α A sin α B

cosα A cosα B cosα A sin α B

cosα A sin α B sin α A sin α B

− cosα A cosα B − sin α A cosα B

(2.65) Je-li použita kovarian ní matice charakterizující p esnost polohy výchozích bod ve tvaru M 2A = diag (m x2, y ( A ) ) - tzn. je-li známa pouze jejich st ední souadnicová chyba - lze odtud odvodit následující charakteristiky p esnosti: Vliv p esnosti výchozích bod :

st ední chyby ve sm rech sou adnicových os m x2 =

cos 2 α A + cos 2 α B 2 mx, y ( A ) sin 2 (α B − α A )

m 2y =

sin 2 α A + sin 2 α B 2 mx, y ( A ) sin 2 (α B − α A )

,

(2.66) (2.67)

kovariance m xy =

sin α A cosα A + sin α B cosα B m x2, y ( A ) 2 sin (α B − α A )

(2.68)

St ední sou adnicová chyba vyty ovaného bodu pak bude dána výrazem m x2, y =

1

sin (α B − α A ) 2

m x2, y ( A )

(2.69)

Poznámka:

Efektivní použití této metody je p i sou asném vyty ování dv ma teodolity, pomocník musí být ádn zacvi en, aby nedocházelo ke ztrátám p esnosti p i realizaci pr se íku obou vyty ovaných sm r a z ízení vyty ovací zna ky. Geometrické místo neur itosti ešení úlohy je dáno podmínkou

det B =

sin (α B − α A ) =0 s A sB

sin (α B − α A ) = 0 tj. p i spln ní podmínky

α B − α A = 0 , 2R

- 23 (70) -

, ,


Úloha tudíž nemá ešení pro body ležící na p ímce procházející ob ma výchozími body, kde z ejm platí α B − α A = 0 , 2 R . 2.3.1.2 Vyty ení polohy bodu protínáním vp ed z úhl Dané (výchozí body) - A , B (tj. k = 2), M ené (vyty ované) veli iny – protínací úhly

A

,

B

(tj. n = 2)


Obr. 5 Vyty ení polohy bodu protínáním z úhl

Poznámka: Oba protínací úhly A , B jsou zde oproti b žným zvyklostem uvažovány se stejnou definicí – levým ramenem je sm r na druhý výchozí bod a pravým ramenem je sm r na ur ovaný/vyty ovaný bod. Tím se vylou í nejednozna nost ešení úlohy.

Vztahy pro skute né chyby m ených veli in (protínacích úhl podle (2.26) dány rovnicemi

εωA =

sin α A sin α A, B − sA s A, B +

εωB =

sin α A,B s A, B

sin α B , A s B, A −

ε xB −

ε xA −

ε xA − cos α A,B s A, B

cos α B , A s B, A

A,

cosα A cos α A, B − ε yA + sA s A, B

ε yB −

ε yA +

sin α A cos α A εx + εy sA sA

sin α B sin α B , A − sB sB, A

ε xB −

cosα B cos α B , A sin α B cos α B − ε yB − εx + εy sB sB, A sB sB

což p epsáno p i uvážení α B , A = α A, B + 2 R p ejde na tvar

- 24 (70) -

B

) jsou


εωB = −

sin α A,B s A, B −

ε xA +

cos α A, B s A, B

ε yA +

sin α B sin α A,B + sB s A, B

ε xB −

cosα B cos α A, B sin α B cos α B + ε yB − εx + εy sB s A, B sB sB

Matici B lze podle (2.23) sestavit ve tvaru stejném jako (2.52) sin α A sA B= sin α B − sB −

cosα A sA cosα B sB

a) uvažují se pouze chyby m ených veli in (výchozí body jsou považovány za bezchybné - M 2A = 0 )


H L = B −1 Pro výpo et inverzní matice je t eba nejd íve vypo ítat determinant matice B

det B =

− sin α A cos α B + cos α A sin α B sin (α B − α A ) = s A sB s A sB

(2.70)

který lze s uvážením vztah podle Obr. 5

α A = ω A − α A, B α B = ω B − α B , A = ω B − α A, B + 2 R α B − α A = 2 R − ω A + ω B = 2 R − (ω A − ω B ) upravit na tvar

det B =

sin (ω A − ω B ) s A sB

(2.71)

Inverzní matice k matici B bude nyní B −1 =

s A sB 1 adj (B) = det B sin (ω A − ω B )

cosα B sB sin α B sB

− cosα A sA − sin α A sA


1

s A cos α B

sin (ω A − ω B ) s A sin α B

− s B cos α A − s B sin α A

(2.72)

Pracuje-li se s obvyklým chybovým modelem nekorelovaných m ených veliin vyjád ených jejich kovarian ní maticí ve tvaru - 25 (70) -


M L2 =

mω2 A 0

0

,

mω2 B

jsou relativní charakteristiky p esnosti polohy ur ovaného bodu (prvky kovarian ní matice M 2x ) nyní ur eny podle (2.32), (2.33) a (2.34) vztahy: st ední chyby ve sm rech sou adnicových os

m x2

=

m 2y =

s A2 cos 2 α B mω2 A + s B2 cos 2 α A mω2 B sin 2 (ω A − ω B ) s A2 sin 2 α B mω2 A + s B2 sin 2 α A mω2 B sin 2 (ω A − ω B )

(2.73)

(2.74)

kovariance

m xy =

s A2 sin α B cosα B mω2 A + s B2 sin α A cosα A mω2 B sin 2 (ω A − ω B )

(2.75)


m x2, y

=

s A2 mω2 A + s B2 mω2 B 2 sin 2 (ω A − ω B )

(2.76)

Zjednodušením t chto vztah za p edpokladu ekvivalentní p esnosti m ených úhl mω A ≈ mω B = mω p ejdou tyto vzorce na tvar st ední chyby ve sm rech sou adnicových os m x2 =

s A2 cos 2 α B + s B2 cos 2 α A 2 mω sin 2 (ω A − ω B )

(2.77)

m 2y =

s A2 sin 2 α B + s B2 sin 2 α A 2 mω sin 2 (ω A − ω B )

(2.78)

kovariance m xy =

s A2 sin α B cosα B + s B2 sin α A cosα A 2 mω sin 2 (ω A − ω B )

(2.79)

st ední sou adnicová chyba m x2, y =

s A2 + s B2 mω2 2 2 sin (ω A − ω B )

(2.80)

b) uvažují se pouze chyby v poloze výchozích bod (m ené veli iny jsou považovány za bezchybné - M L2 = 0 )

Nyní se použije pro výpo et matice parciálních derivací vztah (2.29)

- 26 (70) -


H A = − B −1 A =

1

sin (ω A − ω B )

− s A cos α B − s A sin α B

s B cos α A A s B sin α A

(2.81)

Matice A se sestaví pomocí vztah pro skute né chyby m ených veli in (2.22) a její jednotlivé prvky jsou:

a11 = a12 = a13 = a14 = a21 = a22 = a23 = a24 =

s A, B sin α A − s A sin α A, B s A s A, B s A cos α A, B − s A, B cosα A s A s A, B sin α A, B s A, B − cos α A, B

(2.82)

s A, B − sin α A, B s A, B cos α A, B s A, B s A, B sin α B + s B sin α A, B s B s A, B − s A, B cos α B − s B cosα A, B s A s A, B

Po provedení maticového sou inu (2.79) budou jednotlivé prvky matice H A ur eny následujícími vztahy :

h11 =

h12 = h13 = h14 = h21 =

sA s cosα B sin α A, B − B cosα A sin α A, B s A, B s A, B

1

− sin α A cosα B +

1

cosα A cosα B −

sA s cosα B cosα A, B + B cosα A cosα A, B s A, B s A, B

1

cosα A sin α B −

sA s cosα B sin α A, B + B cosα A sin α A, B s A, B s A, B

1

− cosα A cosα B +

sA s cosα B cosα A, B − B cosα A cosα A, B s A, B s A, B

1

− sin α A sin α B +

sA s sin α B sin α A, B − B sin α A sin α A, B s A, B s A, B


sin (ω A − ω B ) sin (ω A − ω B ) sin (ω A − ω B ) sin (ω A − ω B )

- 27 (70) -


h22 = h23 = h24 =

sA s sin α B cosα A, B + B sin α A cosα A, B s A, B s A, B

1

cosα A cosα B −

1

sin α A sin α B −

1

− sin α A cosα B +

sin (ω A − ω B ) sin (ω A − ω B ) sin (ω A − ω B )

sA s sin α B sin α A, B + B sin α A sin α A, B s A, B s A, B sA s sin α B cosα A, B − B sin α A cosα A, B s A, B s A, B

(2.83) Vliv p esnosti výchozích bod :

Je-li známa p esnost polohy výchozích bod , charakterizovaná nap . st ední sou adnicovou chybou výchozích bod mx,y(A) , bude p i využití vztah (2.31), (2.32) a (2.33) a po následných úpravách st ední sou adnicová chyba vyty ovaného bodu dána výrazem m x2, y

=

m x2, y ( A ) sin 2 (ω A − ω B )

(2.84)

Poznámka: Úloha nemá ešení pro body na p ímce procházející výchozími body, kde z ejm platí ω A − ω B = 0 , 2 R v d sledku platnosti podmínky

sin (ω A − ω B ) = 0 . Bude užite né odvodit ješt charakteristiky p esnosti vyty ení pro p ípad zvláštní orientace sou adnicové soustavy podle Obr. 6 , kdy jedna ze sou adnicových os je rovnob žná se spojnicí obou výchozích bod A , B Pak vypo tená st ední chyba m x bude charakterizovat p esnost vyty ení ve sm ru kolmém k protínací základn AB , a st ední chyba m y p esnost vyty ení ve sm ru rovnob žném s touto základnou.

Obr. 6 - Protínání vp ed z úhl (spojnice AB rovnob žná s osou y)

- 28 (70) -


V tomto p ípad z ejm platí, že α A, B = 3R = − R a sm rníky protínacích paprsk lze vyjád it pomocí m ených úhl jako

αA =ωA − R

α B = ω B − 3R = ω B + R

,

a tudíž

sin α A, B = −1

,

cosα A, B = −1

sin α A = − cos ω A

,

cosα A = sin ω A

sin α B = cos ω B

,

cosα B = − sin ω B

Na základ platnosti t chto vztah získá matice (2.51) tvar cos ω A sA B= cos ω B − sB

sin ω A sA sin ω B − sB

(2.85)

a) vliv chyb m ení Diferenciální matice H L zde má po dosazení tvar

H L = B −1 =

1


− s A sin ω B s A cos ω B

− s B sin ω A s B cos ω A

(2.86)

Za p edpokladu obvyklého chybového modelu nekorelovaných m ených veliin vyjád ených jejich kovarian ní maticí ve tvaru M L2

=

mω2 A 0

0

,

mω2 B

jsou charakteristiky p esnosti polohy ur ovaného bodu (prvky kovarian ní matice M 2x ) nyní ur eny podle (2.31), (2.32) a (2.33) vztahy: st ední chyby ve sm rech sou adnicových os m x2 = m 2y

=

s A2 sin 2 ω B mω2 A + s B2 sin 2 ω A mω2 B sin 2 (ω A − ω B ) s A2 cos 2 ω B mω2 A + s B2 cos 2 ω A mω2 B sin 2 (ω A − ω B )

(2.87)

(2.88)

kovariance m xy = −

s A2 sin ω B cos ω B mω2 A + s B2 sin ω A cos ω A mω2 B sin 2 (ω A − ω B )

- 29 (70) -

(2.89)


st ední sou adnicová chyba m x2, y

=

s A2 mω2 A + s B2 mω2 B

(2.90)

2 sin 2 (ω A − ω B )

Zjednodušením t chto vztah za p edpokladu ekvivalentní p esnosti m ených úhl mω A ≈ mω B = mω p ejdou tyto vzorce na tvar st ední chyby ve sm rech sou adnicových os

m x2

s A2 sin 2 ω B + s B2 sin 2 ω A 2 mω = sin 2 (ω A − ω B )

(2.91)

s A2 cos 2 ω B + s B2 cos 2 ω A 2 mω sin 2 (ω A − ω B )

(2.92)

m 2y = kovariance

m xy = −

s A2 sin ω B cosω B + s B2 sin ω A cosω A 2 mω sin 2 (ω A − ω B )

(2.93)


m x2, y =

s A2 + s B2 mω2 2 2 sin (ω A − ω B )

(2.94)

b) vliv chyb v poloze výchozích bod Nyní se použije pro výpo et matice parciálních derivací (2.29)

H A = − B −1 A =

1


s A cosα B s A sin α B

HA

− s B cosα A A − s B sin α A

vztah podle

(2.95)

Matice A se op t sestaví pomocí vztah pro skute né chyby m ených veliin (2.22) a její jednotlivé prvky jsou: a11 = a12 =

a13 =

s A − s A, B cos ω A s A s A, B − s A, B sin ω A s A s A, B

−1 s A, B

a14 = 0 a21 =

1

(2.96)

s A, B

a22 = 0

- 30 (70) -


a23 = a 24 =

− s A, B cos ω B − s B s B s A, B s A, B sin ω A s A s A, B

Vliv p esnosti výchozích bod :

Je-li známa p esnost polohy výchozích bod , charakterizovaná nap . st ední sou adnicovou chybou výchozích bod mx,y(A) , bude p i využití vztah (2.32) a (2.33) a matice A s prvky (2.96) po dalšíchch úpravách st ední sou adnicová chyba vyty ovaného bodu op t dána výrazem m x2, y

2.3.2

=

m x2, y ( A ) sin 2 (ω A − ω B )

(2.97)

Vyty ení polohy bodu metodou protínání z délek

Charakteristika úlohy:

Bod je vyty ován jako pr se ík dvou kružnic. Jedna kružnice má st ed ve výchozím bod A a její polom r se rovná m ené délce sA , druhá kružnice má st ed ve výchozím bod B a její polom r se rovná m ené délce sB (Obr. 7). Dané (výchozí body) - A , B (tj. k = 2), M ené (vyty ované) veli iny – délky sA , sB (tj. n = 2) Ur ované parametry – sou adnice vyty ovaného bodu P (x , y) – (tj. r = 2)

Obr. 7 - Vyty ení polohy bodu protínáním z délek

Chybový model:

a) uvažují se pouze chyby m ených veli in (výchozí body jsou považovány za bezchybné - M 2A = 0 ) - 31 (70) -


Diferenciální vztahy pro m ené veli iny (délka sA , sB ) jsou podle (2.24)

ε s = − cos α A ε x − sin α A ε y + cos α A ε x + sin α A ε y

A

ε s = − cos α B ε x − sin α B ε y + cos α B ε x + sin α B ε y

B

A

A

B

B

Matici B lze podle (xx.xx) sestavit ve tvaru B=

− cosα A − cosα B

− sin α A − sin α B

(2.98)

P i nep ímém postupu odvození matice parciálních derivací podle (xx.xx) platí vztah

H L = B −1 Využití známého vztahu pro výpo et inverzní matice (2.28) p edpokládá výpoet determinantu matice B det B = cosα A sin α A sin α B − cosα A cosα B = sin (α B − α A )

(2.99)


− sin α B 1 1 adj (B) = det B sin (α B − α A ) cos α B

sin α A − cos α A

(2.100)

Pracuje-li se s obvyklým chybovým modelem nekorelovaných m ených veliin vyjád ených jejich kovarian ní maticí ve tvaru M L2 =

ms2A 0

0

,

ms2B

jsou charakteristiky relativní p esnosti polohy ur ovaného bodu (prvky kovarian ní matice M 2x ) nyní ur eny podle (2.32), (2.33) a (2.34) vztahy: st ední chyby ve sm rech sou adnicových os m x2 m 2y

=

=

sin 2 α B ms2A + sin 2 α A ms2B sin 2 (α B − α A ) cos 2 α B ms2A + cos 2 α A ms2B sin 2 (α B − α A )

(2.101)

(2.102)

kovariance m xy = −

sin α B cosα B ms2A + sin α A cosα A ms2B sin 2 (α B − α A )


- 32 (70) -

(2.103)


m x2, y

ms2A + ms2B

=

(2.104)

2 sin 2 (α B − α A )

Zjednodušením t chto vztah za p edpokladu stejné p esnosti m ených délek m s A = msB = ms p ejdou tyto vzorce na tvar st ední chyby ve sm rech sou adnicových os

m x2 =

sin 2 α B + sin 2 α A 2 ms sin 2 (α B − α A )

(2.105)

m 2y =

cos 2 α B + cos 2 α A 2 ms sin 2 (α B − α A )

(2.106)

kovariance

m xy = −

sin α B cosα B + sin α A cosα A 2 ms sin 2 (α B − α A )

(2.107)


ms2 2 sin 2 (α B − α A )

m x2, y =

(2.108)

b) uvažují se pouze chyby výchozích bod (m ené veli iny jsou považovány za bezchybné - M 2L = 0 ) P i nep ímém postupu odvození matice parciálních derivací podle (2.29) platí vztah H A = − B −1 A

Na základ (2.22) má matice A tvar

A=

cos α A 0

sin α A 0

0 cos α B

0 sin α B

(2.109)

S využitím vypo tené inverze matice B (2.100) a po provedení maticového sou inu (2.29) se získá

HA =

sin α B sin (α B − α A ) − cos α B 1

HA =

.

1 sin (α B − α A )

cos α A sin α B − cos α A cos α B

− sin α A cos α A

cos α A 0

sin α A 0

0 cosα B

0 , sin α B

.

sin α A sin α B − sin α A cos α B

− sin α A cos α B cos α A cos α B

− sin α A sin α B cos α A sin α B

(2.110)

Je-li známa p esnost polohy výchozích bod , charakterizovaná nap . st ední sou adnicovou chybou výchozích bod mx,y(A) , budou jednotlivé prvky kovarian ní matice vyty ovaného bodu:

- 33 (70) -


st ední chyby ve sm rech sou adnicových os mx2 =

sin 2 α B + sin 2 α A 2 mx , y ( A ) sin 2 (α B − α A )

(2.111)

m y2 =

cos 2 α B + cos 2 α A 2 mx , y ( A) sin 2 (α B − α A )

(2.112)

kovariance mxy = −

sin α B cos α B + sin α A cos α A 2 mx , y ( A ) sin 2 (α B − α A )

(2.113)

st ední sou adnicová chyba mx2, y =

mx2, y ( A) sin 2 (α B − α A )

(2.114)

Geometrické místo neur itosti ešení:

Položí-li se det

= sin(α B − α A ) = 0

to znamená

α B − α A = 0 , 2R a odtud vyplývá, že geometrickým místem neur itosti ešení této úlohy je op t p ímka procházející ob ma výchozími body A , B .

2.3.3

Vyty ení polohy bodu metodou protínání z úhlu a délky


Poloha bodu je získána jako pr se ík dvou kružnic. Jedna kružnice má st ed ve výchozím bod A a její polom r se rovná m ené délce sA , druhá kružnice je opsána trojúhelníku ABP a obvodový úhel k její t tiv sA,B je m ený úhel (Obr. ). Dané (výchozí body) - A , B (tj. k = 2), M ené (vyty ované) veli iny – úhel

, délka sA , (tj. n = 2)


- 34 (70) -


Obr. 8 - Vyty ení polohy bodu protínáním z úhlu a délky

Chybový model:

a) uvažují se pouze chyby m ených veli in (výchozí body jsou považovány za bezchybné - M 2A = 0 ) Diferenciální vztahy pro m ené veli iny (úhel a (2.25)

εω =

sin α B sin α A − sB sA +

εx −

, délka sA ) jsou podle (2.24)

cosα B cos α A − εy + sB sA

sin α A cos α A sin α B cos α B ε xA − ε yA − ε xB + ε yB sA sA sB sB

ε s = − cos α A ε x − sin α A ε y + cos α A ε x + sin α A ε y A

A

A

Matici B lze podle (xx.xx) sestavit ve tvaru B=

=

sin α B sin α A − sB sA − cosα A

cosα A cos α B − = sA sB − sin α A

s A sin α B − s B sin α A s A sB − cosα A

s B cos α A − s A cos α B s A sB − sin α A

(2.115)

P i nep ímém postupu odvození matice parciálních derivací podle (2.28) platí vztah

H L = B −1

- 35 (70) -


Využití známého vztahu pro výpo et inverzní matice (2.115) p edpokládá výpo et determinantu matice B − s A sin α A sin α B + s B sin 2 α A − s B cos 2 α A + s A cosα A cosα B − = s A sB s A sB

det B = =

(

)

s B sin 2 α A + cos 2 α A − s A (cosα A cosα B + sin α A sin α B ) = s A sB

=

s B − s A cos (α B − α A ) s B − s A cos ω = s A sB s A sB

(2.116)


s A sB 1 adj (B) = det B s B − s A cos ω

s A cos α B − s B cos α A s A sB s A sin α B − s B sin α A s A sB

− sin α A cosα A


1

− s A s B sin α A

s A cos α B − s B cos α A

s B − s A cos ω

s A s B cosα A

s A sin α B − s B sin α A

(2.117)

Pracuje-li se s obvyklým chybovým modelem nekorelovaných m ených veliin vyjád ených jejich kovarian ní maticí ve tvaru

M L2 =

mω2 0

0 ms2

,

jsou charakteristiky relativní p esnosti polohy ur ovaného bodu (prvky kovarian ní matice M 2x ) nyní ur eny podle (2.32), (2.33) a (2.34) vztahy: st ední chyby ve sm rech sou adnicových os s 2 s 2 sin 2 α A mω2 + (s A cosα B − s B cosα A ) ms2 m = A B (s B − s A cos ω )2

(2.118)

s 2 s 2 cos 2 α A mω2 + (s A sin α B − s B sin α A ) ms2 m = A B (s B − s A cos ω )2

(2.119)

2

2 x

2

2 y

kovariance m xy =

− s A2 s B2 sin α A cos α A mω2 + (s A sin α B − s B sin α A )(s A cosα B − s B cosα A ) ms2

(s B − s A cos ω )2

(2.120) st ední sou adnicová chyba m x2, y =

s A2 s B2 mω2 + s A2 , B ms2 2 (s B − s A cos ω )

2

- 36 (70) -

(2.121)


b) uvažují se pouze chyby výchozích bod (m ené veli iny jsou považovány za bezchybné - M 2L = 0 ) P i nep ímém postupu odvození matice parciálních derivací podle (2.29) platí vztah H A = − B −1 A

Na základ (2.22) má matice A tvar sin α A A= sA cos α A

cosα A sA sin α A

−

−

sin α B sB 0

cosα B sB 0

(2.122)

S využitím vypo tené inverze matice B (2.117) , po provedení maticového sou inu (2.29) a úprav se získá

HA =

1 s B − s A cos ω

.

s B − s A cosα A cosα B

s A sin α A cosα B

− s A sin α A sin α B

s A sin α A cosα B

− s A cosα A sin α B

s B − s A sin α A sin α B

s A cosα A sin α B

− s A cosα A cosα B (2.123)

Je-li známa p esnost polohy výchozích bod , charakterizovaná nap . st ední sou adnicovou chybou výchozích bod mx,y(A) , budou jednotlivé prvky kovarian ní matice vyty ovaného bodu: st ední chyby ve sm rech sou adnicových os

s A2 + s B2 − 2 s A s B cosα A cosα B 2 mx, y ( A ) (s B − s A cos ω )2

(2.124)

s A2 + s B2 − 2 s A s B sin α A sin α B 2 m = mx, y ( A ) (s B − s A cos ω )2

(2.125)

m x2 = 2 y

kovariance m xy =

s A2 ( sin α B cosα B − sin α A cosα A ) − s A s B (sin α A cos α B − cosα A sin α A )

(s B − s A cos ω )

2

(2.126) a st ední sou adnicová chyba vyty ovaného bodu bude dána výrazem m

2 x, y

=

s A2 + s B2 + s A2 , B

2 (s B − s A cos ω )

2

m x2, y ( A )

Geometrické místo neur itosti ešení: Položí-li se

det

=

s B − s A cos ω =0 s A sB

- 37 (70) -

,

(2.127)

m x2, y ( A )


znamená to, že s B − s A cos ω = 0 a odtud vyplývá, že geometrickým místem neur itosti ešení této úlohy je p ímka procházející bodem B kolmo ke spojnici výchozích bod A , B. Úloha tedy nemá ešení pro body na p ímce, která je kolmá ke spojnici obou výchozích bod a prochází výchozím bodem, ke kterému nebyla m ena délka. Na této p ímce z ejm platí s B − s A cos ω = 0 a te ny obou ur ujících kružnic splývají.

2.3.4

Vyty ení polohy bodu metodou protínání zp t

Charakteristika úlohy: Bod je vyty ován jako pr se ík dvou kružnic. Jedna kružnice je opsána trojúhelníku ABP a obvodovým úhlem její t tivy sA,B je m ený úhel 1 , druhá kružnice je opsána trojúhelníku BCP a obvodovým úhlem její t tivy sB,C je m ený úhel 2 (Obr. ). Dané (výchozí body) - A , B , C (tj. k = 3), M ené (vyty ované) veli iny – úhly

1

,

2

(tj. n = 2)


Obr. 9 - Vyty ení polohy bodu protínáním zp t

Chybový model: a) uvažují se pouze chyby m ených veli in (výchozí body jsou považovány za bezchybné - M 2A ) Diferenciální vztahy pro m ené veli iny (úhly

1

,

- 38 (70) -

2

) jsou podle (2.26)


ε ω1 =

sin α B sin α A − sB sA +

ε ω2 =

cosα B cos α A − εy + sB sA

sin α A cos α A sin α B cos α B ε xA − ε yA − ε xB + ε yB sA sA sB sB

sin α C sin α B − sC sB +

εx −

εx −

cosα C cos α B − εy + sC sB

sin α C cos α C sin α B cos α B ε xB − ε yB − ε xC + ε yC sB sB sC sC

Matici B lze podle (2.23) sestavit ve tvaru sin α B sin α A − sB sA B= sin α C sin α B − sC sB

cosα A cos α B − sA sB cosα B cos α C − sB sC

a po úprav s A sin α B − s B sin α A s A sB B= s B sin α C − sC sin α B s B sC

s B cos α A − s A cos α B s A sB sC cos α B − s B cos α C s B sC

(2.128)


H L = B −1 Využití známého vztahu pro výpo et inverzní matice (2.128) p edpokládá výpo et determinantu matice B det B =

( s A sin α B − s B sin α A )( sC cos α B − s B cos α C ) − s A s B2 sC −

( s B cos α A − s A cos α B )( s B sin α C − sC sin α B ) s A s B2 sC

což po roznásobení a úprav dá vztah det B =

s B sC (sin α B cos α A − cos α B sin α A ) + s A s B2 sC +

s B2 (sin α A cos α C − cos α A sin α C ) + s A s B2 sC

+

s A s B (sin α C cos α B − cos α C sin α B ) s A s B2 sC

Výrazy v závorkách jsou sinovými funkcemi rozdíl sm rník , takže po úprav - 39 (70) -


det B =

sC sin (α B − α A ) + s B sin (α A − α C ) + s A sin (α C − α B ) s A s B sC

a protože tyto rozdíly sm rník lze vyjád it pomocí m ených úhl bude kone n platit vztah det B =

sC sin ω 1 − s B sin (ω 1 + ω 2 ) + s A sin ω 2 s A s B sC

po zavedení pomocného zna ení

(

=

g s A s B sC

)

g = s A sin ω 2 − s B sin ω 1 + ω 2 + sC sin ω 1

(2.129) 1

,

2

,

(2.130)

(2.131)


s s s 1 adj (B) = A B C det B g

sC cos α B − s B cos α C s B sC sC sin α B − s B sin α C s B sC

s A cos α B − s B cos α A s A sB s A sin α B − s B sin α A s A sB

(2.132) Pro další odvozování bude ú elné zavést další pomocné zna ení a = s B cosα C − sC cos α B

d = s B sin α C − sC sin α B

c = s A cosα B − s B cos α A

f = s A sin α B − s B sin α A

(2.133) Matici parciálních derivací H L lze nyní úsporn ji napsat jako H L = B −1 =

1 − a sA g − d sA

c sC f sC

(2.134)

Použije-li se obvyklý chybový model nekorelovaných m ených veli in vyjádených jejich kovarian ní maticí ve tvaru M L2

=

mω21

0

0

,

mω2 2

lze nyní charakteristiky relativní p esnosti polohy ur ovaného bodu (prvky kovarian ní matice M 2x ) odvodit podle (2.32), (2.33) a (2.34) takto: st ední chyby ve sm rech sou adnicových os

m x2 m 2y

=

=

a 2 s A2 mω21 + c 2 sC2 mω2 2 g2 d 2 s A2 mω21 + f 2 sC2 mω2 2 g2

kovariance

- 40 (70) -

(2.135)

(2.136)


m xy = st ední sou adnicová chyba

m x2, y

=

(

a d s A2 mω21 + c f sC2 mω2 2

(2.137)

g2

)

(

)

s A2 a 2 + d 2 mω21 + sC2 c 2 + f 2 mω2 2

2g2

(2.138)

Tento výraz lze ješt zjednodušit výpo tem dvoj len v závorkách dosazením z (2.133):

a 2 + d 2 = s B2 cos 2 α C − 2 s B sC cos α B cos α C + sC2 cos 2 α B + s B2 sin 2 α C − − 2 s B sC sin α B sin α C + sC2 sin 2 α B =

= s B2 + sC2 − 2 s B sC (cos α B cos α C + sin α B sin α C ) = = s B2 + sC2 − 2 s B sC cos (α C − α B ) = s B2 ,C

Podobným zp sobem lze vypo ítat dvoj len

c 2 + f 2 = s A2 , B . Vzorec pro

st ední sou adnicovou chybu pak bude mít tvar

m x2, y =

s A2 s B2 ,C mω21 + sC2 s A2 , B mω2 2

(2.139)

2g2

Zjednodušením t chto vztah za p edpokladu stejné úrovn p esnosti m ených úhl mω1 = mω 2 = mω p ejdou tyto vzorce na tvar st ední chyby ve sm rech sou adnicových os m x2 =

a 2 s A2 + c 2 sC2 2 mω g2

,

(2.140)

m y2 =

d 2 s A2 + f 2 sC2 2 mω g2

,

(2.141)

m xy =

a d s A2 + c f sC2 2 mω g2

kovariance ,

(2.142)

.

(2.143)

st ední sou adnicová chyba m x2, y

=

s A2 s B2 ,C + sC2 s A2 , B

2g

2

mω2

c) uvažují se pouze chyby v poloze výchozích bod (m ené veli iny jsou považovány za bezchybné - M 2L ) Nyní je t eba použít pro výpo et matice parciálních derivací vztah (2.29)

- 41 (70) -


H A = − B −1 A = Matice A (2.22) :

A=

1 a sA g d sA

− c sC A − f sC

(2.144)


sin α A sA

−

0

cos α A sA 0

sin α B sB sin α B sB

−

cos α B sB cos α B − sB

−

0

0

sin α C sC

cos α C sC (2.145)

Jednotlivé prvky matice parciálních derivací H A jsou dány výrazy h11 =

1 a sin α A g

h12 =

−1 a cosα A g

h13 =

− 1 sin α B (s A s B cosα C − s B sC cosα A ) − 1 = sin α B (s A cosα C − sC cosα A ) g sB g

h14 =

1 cosα B (s A s B cosα C − s B sC cosα A ) 1 = cosα B (s A cosα C − sC cosα A ) g sB g

h15 =

1 c sin α C g

h16 =

−1 c cosα C g

h21 =

1 d sin α A g

h22 =

−1 d cosα A g

h23 =

− 1 sin α B (s A s B sin α C − s B sC sin α A ) − 1 = sin α B (s A sin α C − sC sin α A ) g sB g

h24 =

1 cos α B (s A s B sin α C − s B sC sin α A ) 1 = cos α B (s A sin α C − sC sin α A ) g sB g

h25 =

1 f sin α C g

h15 =

−1 f cosα C g

(2.146)

Po zavedení dalšího pomocného zna ení

- 42 (70) -


b = s A cosα C − sC cos α A

,

e = s A sin α C − sC sin α A

,

(2.147)

provedení maticového sou inu a úprav bude kone n

HA =

1 a sin α A g d sin α A

− a cos α A − d cos α A

− b sin α B − e sin α B

b cos α B e cos α B

c sin α C f sin α C

− c cos α C − f cos α C (2.148)

Je-li použita kovarian ní matice charakterizující p esnost polohy výchozích bod ve tvaru M 2A = diag (m x2, y ( A ) ) - tzn. je-li známa pouze jejich st ední souadnicová chyba - lze odtud podle (2.32), (2.33) a (2.34) odvodit následující charakteristiky p esnosti: st ední chyby ve sm rech sou adnicových os m x2 =

a2 + b2 + c2 2 m x, y ( A ) g2

m 2y =

d 2 + e2 + f 2 2 m x, y ( A ) g2

,

(2.149) (2.150)

kovariance

m xy =

ad + be + c f m x2, y ( A ) g2

(2.151)

St ední sou adnicová chyba vyty ovaného bodu pak bude dána výrazem m x2, y =

a 2 + b2 + c2 + d 2 + e2 + f 2 2 mx, y ( A ) 2g2

který lze po výpo tu dvoj len na tvar m x2, y =

(2.152)

( a 2 + d 2 ) , ( b 2 + e 2 ) , ( c 2 + f 2 ) zjednodušit

s A2 , B + s A2 ,C + s B2 ,C

2g

2

m x2, y ( A )

(2.153)

Poznámka:

Geometrické místo neur itosti ešení úlohy protínání zp t je definováno podmínkou

det B =

sC sin (α B − α A ) + s B sin (α A − α C ) + s A sin (α C − α B ) =0 s A s B sC

tj. sC (sin α B cos α A − cos α B sin α A ) + s B (sin α A cos α C − cos α A sin α C ) + + s A (sin α C cos α B − cos α C sin α B ) = 0

Po nahrazení trigonometrických funkcí sm rník pomocí sou adnicových rozdíl podle Obr. 1 získá tento výraz tvar - 43 (70) -


sC [( y B − y )( x A − x ) − ( x B − x )( y A − y )] s B [( y A − y )( xC − x ) − ( x A − x )( yC − y )] + + s A sB s A sC s [( y − y )( x B − x ) − ( xC − x )( y B − y )] + A C =0 s B sC P evedením zlomk na spole ného jmenovatele sA sB sC a vynásobením tímto jmenovatelem získá tato podmínka tvar sC2 [( y − y )( x − x ) − (x − x )( y − y )] + s B2 [( y A − y )( xC − x ) − ( x A − x )( yC − y )] + + s A2 [( yC − y )(x B − x ) − (xC − x )( y B − y )] = 0

který lze dále dosazením za sA , sB , sC vyjád it jen pomocí sou adnic výchozích bod a bodu ur ovaného. Levá strana tohoto výrazu po roznásobení a úprav len v hranatých závorkách dostane tvar

(x + y + x + y − 2 x x − 2 y y )(x y − x y − x y − x y + x y + x y ) + + (x + y + x + y − 2 x x − 2 y y )( x y − x y − x y − x y + x y + x y ) + + (x + y + x + y − 2 x x − 2 y y )( x y − x y − x y − x y + x y + x y ) 2

2

2 C

2 C

C

C

A B

A

B

B

A

B

A

2

2

2 B

2 B

B

B

C

A

C

A

A C

A

C

2

2

2 A

2 A

A

A

B C

B

C

C

C

B

B

x 2 + y 2 , x A2 + y A2 , x B2 + y B2 ,

Po roznásobení, úpravách a vytknutí len xC2 + yC2 získá tento výraz tvar

(x + (x + (x + (x

2 2 A 2 B

2 C

) + y )( x + y )(x + y )( x

+ y 2 ( x B y A + x A yC + xC y B − x A y B + xC y A + x B yC ) + 2 A

B yC

+ xC y + x y B − xC y B − xB y − x yC ) +

2 B

C yA

+ x A y + x yC − x A yC + xC y + x y A ) +

2 C

A yB

+ xB y + x y A − xB y A − x A y − x y B )

Ten je však až na znaménko shodný s tvarem levé strany výrazu

det

x2 + y2

x

y

x A2 x B2 xC2

xA xB xC

yA 1 =0 yB 1 yC 1

+ + +

y A2 y B2 yC2

1

který je známou analytickou rovnicí kružnice procházející t emi danými body A,B,C . Úloha protínání zp t tedy nemá ešení, leží-li vyty ovaný bod na kružnici procházející trojicí výchozích (daných) bod A , B , C , kde z ejm platí s A sin ω 2 − s B sin (ω1 + ω 2 ) + sC sin ω1 = 0 .

Poznámka : Praktické použití metody protínání zp t p i vyty ování p edpokládá postupné p ibližování, kdy je nejprve nalezena p edb žná poloha vyty ovaného bodu, která se pak v dalším kroku zp esní.

- 44 (70) -


2.4

Porovnání základních metod vyty ení polohy

Na základ odvozených vztah pro výpo et p esnosti (kovarian ních matic) vyty ovaného bodu lze porovnat vlastnosti a zákonitosti ší ení chyb pro jednotlivé metody.

Obr. 10 - Vyty ení polohy bodu polárními sou adnicemi

Na Obr. 10 je znázorn no ší ení chyb ve form st edních elips chyb bod pro jeden kvadrant sou adnicové soustavy (situace v ostatních kvadrantech je stejná) za p edpokadu konstantních chyb vyty ovaných délek i úhl . Jedna z os st ední elipsy chyb je vždy nato ena do sm ru polárního stanoviska, velikosti st edních elips chyb se zv tšují se vzdáleností vyty ovaného bodu. Obr. 11 znázor uje chybovou situaci p i vyty ování metodou protínání vp ed za p edpokladu stejné p esnosti obou protínacích úhl . Jsou zde op t vykresleny st ední elipsy chyb pro jeden sou adnicový kvadrant (v ostatních kvadrantech je situace symetrická). Je zde dob e vid t zm na tvaru (protahování) chybových elips se vzdalováním vyty ovaného bodu od protínací základny AB .

Obr. 11 - Vyty ení polohy bodu protínáním vp ed (st ední elipsy chyb)

- 45 (70) -


Obr. 12 - Vyty ení polohy bodu protínáním vp ed (st ední sou adnicové chyby)

Obr. 12 znázor uje stejné rozložení chyb prost ednictvím st edních sou adnicových chyb vyty ovaných bod . P íklad názorn ukazuje, že tato p ibližná charakteristika p esnosti je tím více zavád jící, ím více se liší velikosti obou poloos chybové elipsy.

Obr. 13 - Vyty ení polohy bodu protínáním z délek (st ední elipsy chyb)

Obr. 13 znázor uje rozložení p esnosti p i vyty ování polohy metodou protínání z délek za p edpokladu konstantních chyb délkového m ení. Chybové elipsy jsou nyní orientovány kratší osou ve sm ru protínací základny. Obr. 14 zachycuje situaci v rozložení chyb pro jednu polovinu sou adnicové roviny p i vyty ování polohy metodou protínání z úhlu a délky ( s vykreslením p ímky na které nemá úloha ešení). Chybové elipsy jsou op t orientovány kratší osou ve sm ru protínací základny, a navíc se jejich delší osy rychleji zv tšují se vzdalováním vyty ovaného bodu od bod výchozích

- 46 (70) -


Obr. 14 - Vyty ení polohy bodu protínáním z úhlu a délky (st ední elipsy chyb)

Obr. 15 - Vyty ení polohy bodu protínáním zp t (st ední elipsy chyb)

- 47 (70) -


Úloha vyty ení polohy bodu protínáním zp t je co do p esnosti zna n závislá na konfiguraci výchozích bod . Obr. 15 znázor uje rozložení p esnosti (st ední elipsy chyb) pro p ípad výchozích bod ležících na p ímce. Vidíme zde velmi rychlý r st velikosti st edních elips chyb se vzdalováním vyty ovaného bodu od bod výchozích. Následující Obr. 16 znázor uje obdobnou situaci s tím rozdílem, že výchozí body nyní tvo í rovnoramenný trojúhelník. Pro body nacházející se v blízkosti t žišt tohoto trojúhelníku je dosahována maximální možná p esnost. Dalším charakteristickým rysem je natá ení delších os chybových elips do te ného sm ru p i p ibližování k nebezpe né kružnici opsané trojici výchozích bod .

Obr. 16 - Vyty ení polohy bodu protínáním zp t (st ední elipsy chyb)

2.5

Rozbor p esnosti dalších metod vyty ení polohy

V inženýrské geodézii se používají další metody, p i kterých se ur uje poloha vyty ovaného bodu v tším než nezbytn nutným po tem m ených veli in. Typické jsou postupy vyty ení polohy pravoúhlými sou adnicemi a volným polygonovým po adem. Dalším zvláštním postupem je pr se íkový zp sob vyty ení polohy. V poslední dob se rozši uje využívání družicových globálních naviga ních systém (GNSS) i pro polohová m ení v IG. - 48 (70) -


2.5.1

Vyty ení polohy bodu volným polygonovým po adem

Charakteristika úlohy: Bod je vyty ován jako koncový bod volného polygonového po adu, který vychází z daného (výchozího) bodu a jehož první strana je p ímo i nep ímo orientována. Úloha m že být interpretována jako „postupný rajon“ (Obr. 17).

Obr. 17 - Vyty ení polohy bodu volným polygonovým po adem

P i vyty ení polohy bodu volným polygonovým po adem se pracuje s následujícími daty : Výchozí data : sou adnice výchozího bodu A [ xA , yA ], orienta ní sm rník

0

M ené veli iny : vrcholové úhly délky stran

i

si

. ( i = 1, 2,

, n-1) ,

( i = 1, 2,

, n-1).

Ur ované parametry : sou adnice vyty ovaného bodu P [ x , y ] Poloha vyty eného bodu je ur ena dvojicí sou adnic x , y podle vztah (ozna ení veli in viz.Obr. 17)

x = x n = xA + y = y n = yA +

n −1 i =1 n −1 i =1

si co s α i

,

(2.154)

si sin α i

.

(2.155)

Skute né chyby sou adnic se vypo tou diferencováním vztah (2.155) podle zákona p enášení skute ných chyb - 49 (70) -

(2.154) a


ε x = ε x + cos α 1 ε s + cos α 2 ε s + .............. + cos α n−1 ε s A

1

2

n −1

−

− s1 sin α 1 ε α1 − s2 sin α 2 ε α 2 − ............... − s n−1 sin α n−1 ε α n −1 (2.156)

ε y = ε y + sin α 1 ε s + sin α 2 ε s + .............. + sin α n−1 ε s A

1

2

n −1

+

+ s1 cos α 1 ε α1 + s 2 cos α 2 ε α 2 + ............... + sn −1 cos α n−1 ε α n −1 Sm rníky jednotlivých stran i jsou funkcemi orienta ního sm rníku a m ených vrcholových úhl i . Jejich ur ující vztahy jsou (dle Obr. 17)

α j = α0 +

j i =1

ω i − ( j − 1) 2 R

(2.157)

a p íslušné skute né chyby

ε α = ε α + ε ω + ε ω + ......... + ε ω = ε α + j

0

1

2

j

0

j i =1

ωi

(2.158)

Dosazením t chto vztah za p íslušné skute né chyby sm rník lze p epsat první rovnici (10.79) na tvar

εx = εx + A

n −1 i =1

cos α i ε si − s1 sin α1 ε α 0 − s1 sin α1 ε ω1 − − s 2 sin α 2 ε α 0 − s 2 sin α 2 ε ω1 − s 2 sin α 2 ε ω 2 − − s n−1 sin α n−1 ε α 0 − s n−1 sin α n−1 ε ω1 − ......... − s n−1 sin α n−1 ε ω n −1

který lze dále upravit na kone ný tvar

ε x = ε x − ( y n − y1 )ε α + A

0

n −1 i =1

n −1

cos α i ε si −

i =1

( y n − yi )ε ω

(2.159)

i

Obdobným postupem lze odvodit výraz pro skute nou chybu sou adnice y

ε y = ε y + ( xn − x1 )ε α + A

0

n −1 i =1

sin α i ε si +

n −1 i =1

(xn − xi )ε ω

(2.160)

i

Uplatn ním zákona p enášení st edních chyb a kovariancí lze napsat vztahy pro prvky kovarian ní matice vyty eného bodu : st ední chyby jednotlivých sou adnic m x2 = m x2A + ( y n − y1 ) mα20 +

n −1

m y2 = m y2A + ( xn − x1 ) mα20 +

n −1

2

2

i =1

i =1

cos 2 α i ms2i + sin 2 α i ms2i +

n −1 i =1 n −1 i =1

( y n − yi )2 mω2

(xn − xi )2 mω2

kovariance

- 50 (70) -

i

(2.161)

i

,

(2.162)


m xy = − ( xn − x1 )( y n − y1 ) mα20 +

n −1 i =1

sin α i cosα i ms2i −

n −1 i =1

(xn − xi )( y n − yi ) mω2

i

(2.163) st ední sou adnicová chyba m x2, y = m x2, y ( A) +

s12,n 2

mα20 +

1 n −1 2 1 n −1 2 2 ms + si ,n mωi 2 i =1 i 2 i =1

(2.164)

V praktických p ípadech jsou asto spln ny podmínky stejné úrovn p esnosti m ení délek stran po adu ( ms1 ≈ ms2 ≈ .......... msn −1 = ms ) a stejné úrovn p esnosti

m ení

vrcholových

( mω1 ≈ mω 2 ≈ .......... mω n −1 = mω )

úhl

a

p edcházející vzorce pak p ejdou na tvar : st ední chyby jednotlivých sou adnic m x2 = m x2A + ( y n − y1 ) mα20 + ms2

n −1

m y2 = m y2A + ( xn − x1 ) mα20 + ms2

n −1

2

2

i =1

i =1

cos 2 α i + mω2 sin 2 α i + mω2

n −1 i =1 n −1 i =1

( y n − yi )2

(2.165)

(xn − xi )2

(2.166)

kovariance m xy = − ( xn − x1 )( y n − y1 ) mα20 + ms2

n −1 i =1

sin α i cosα i − mω2

n −1 i =1

(xn − xi )( y n − yi ) (2.167)

st ední sou adnicová chyba m

2 x, y

= m

2 x , y ( A)

+

s12,n 2

mα20 +

n −1 2 1 2 ms + mω 2 2

n −1 i =1

si2,n

(2.168)

Zvláštním p ípadem tohoto typu polygonového po adu je p ímý po ad, kde hodnoty vrcholových úhl 2 . Jestliže navíc platí další i = 2R pro i podmínka s1 = s2 = ...... = sn-1 = s , jedná se o po ad rovnostranný (Obr. 18).

Obr. 18 - Vyty ení polohy bodu p ímým volným polygonovým po adem

- 51 (70) -


Pro takový tvar volného polygonového po adu lze odvodit jednodušší vztahy pro p esnost koncového bodu po adu v podélném a p í ném sm ru : skute ná chyba podélná (ve sm ru po adu)

ε l = ε s + ε s + ........... + ε s = 1

n −1

n −1

2

εs

(2.169)

i

1

st ední chyba p í ná (kolmo ke sm ru po adu)

ε q = s ε ω + s (ε ω + ε ω ) + s (ε ω + ε ω + ε ω ) + ....................... + 1

(

1

2

1

2

3

)

+ s ε ω1 + ε ω 2 + ................ + ε ω n −1 =

[

(2.170)

]

= s (n − 1)ε ω1 + (n − 2 )ε ω 2 + ..... + ε ω n −1 = s

n −1 i =1

(n − i )ε ω

i

Za p edpokladu stejné úrovn p esnosti m ení délek stran s a vrcholových úhl i jsou pak st ední chyby dány výrazy st ední chyba podélná

ml2 = (n − 1) ms2 2

(2.171)

st ední chyba p í ná

mq2 = s 2 mω2

n −1 i =1

(n − i )2

(2.172)

kterou lze se tením íselné ady upravit na kone ný tvar

mq2 = s 2 mω2

n (n − 1)(2n − 1) 6

(2.173)

Pro po ady s po tem vrchol n > 6 lze použít bez podstatné újmy na p esnosti ješt jednodušší vzorec pro st ední chybu p í nou ve tvaru

mq2 = s 2 mω2

(n − 1)3 7

=

n −1 2 2 L mω 7

(2.174)

kde L = s (n – 1) je celková délka po adu. V praktických p ípadech asto nebývá spln n p edpoklad stejných délek stran po adu. Pak je obvyklé dosazovat za s pr m rnou délku strany n −1

s=

i =1

si (2.175)

n −1

Poznámka : V inženýrskogeodetické praxi se volné polygonové po ady používají zejména p i ražb tunel a jiných podzemních inženýrských staveb, kde jsou omezené možnosti p ipojení a orientace. Analýza odvozených vzorc pro rozbory p esnosti polohy bodu vyty eného volným polygonovým po adem ukazuje, že chyby rostou se zv tšující se délkou po adu. Pokud je alespo p ibližn spln n p edpoklad p ímosti po adu, pak je pro velikost podélné chyby na konci po adu rozhodující p esnost délkového m ení a pro velikost p í né chyby je rozhodující p esnost úhlového m ení. Pro p edb žné orienta ní rozbory p esnosti se dají velmi dob e použít vzorce pro p ímý rovnostranný po ad. - 52 (70) -


Jsou-li kladeny zvýšené požadavky na p esnost vyty ení v p í ném sm ru, doporu uje se použití trojpodstavcové soupravy pro omezení vlivu centra ních chyb (d lní prorážkové po ady apod.). P i vysokých nárocích na spolehlivost se n které strany po adu orientují pomocí gyroteodolitu (nap . podzemní poly gonové po ady p i stavb metra aj.)

2.5.2

Vyty ení polohy bodu metodou pravoúhlých sou adnic


Bod je vyty ován jako koncový bod kolmice dané délky, která se vzty í v dané hodnot stani ení k výchozí m ické p ímce – spojnici dvou daných stabilizovaných bod (Obr. ).

Obr. 19 - Vyty ení polohy bodu pravoúhlými sou adnicemi

P i vyty ení polohy bodu pravoúhlými sou adnicemi od m ické p ímky dané dvojicí výchozích bod A , B jsou ty mi m enými (vyty ovanými) veli inami

a - délka stani ení, b - délka kolmice, - za azení bodu P´ do p ímky (vyty uje se v hodnot

= 0),

- úhel kolmice v i výchozí p ímce (vyty uje se v hodnotách = 90˚ pro kolmici vpravo a

= 270˚ pro kolmici vlevo)

Poloha vyty eného bodu je ur ena dvojicí sou adnic x , y podle vztah

x = x A + a cos (α A, B + µ ) + b cos (α A, B + µ + ω − 2 R )

(2.176)

y = y A + a sin (α A, B + µ ) + b sin (α A, B + µ + ω − 2 R )

(2.177)

Skute né chyby sou adnic se vypo tou diferencováním t chto vztah podle zákona hromad ní skute ných chyb

- 53 (70) -


(

)

ε x = ε x A − a sin (α A,B + µ ) ε α A, B + ε µ −

(

)

(2.178)

)

(2.179)

− b sin (α A,B + µ + ω − 2 R ) ε α A, B + ε µ + ε ω +

+ cos (α A, B + µ ) ε a + cos (α A, B + µ + ω − 2 R ) ε b

(

)

ε y = ε y A + a cos (α A, B + µ ) ε α A, B + ε µ +

(

+ b cos (α A,B + µ + ω − 2 R ) ε α A, B + ε µ + ε ω +

+ sin (α A, B + µ ) ε a + sin (α A,B + µ + ω − 2 R ) ε b

Pro další odvozování je ú elné uvažovat zvláštní volbu sou adnicové soustavy podle Obr. (osa x je vložena do p ímky AB a tedy A,B = 0). Dále pak s uvážením µ = 0 a ω = 90°,270° (pro kolmici vpravo resp. vlevo) lze po dosazení p epsat rovnice pro skute né chyby na následující tvar

( + a (ε

)

ε x = ε x A ± b εα A,B + ε µ + εω + ε a ε y = ε yA

α A,B

+ εµ

)

εb

a po zavedení vztahu pro skute nou chybu sm rníku výchozí p ímky

εα A , B =

ε yB − ε y A s A, B

dostanou tyto rovnice kone ný tvar b

ε x = ε xA ±

ε y = ε yA + = 1−

s A, B

a s A, B a

(ε y

(ε y

B

B

)

− ε yA

ε yA +

s A, B

(

− ε y A + ε a ± b ε µ + εω

a s A, B

)

)

(2.180)

εb + aε µ = (2.181)

ε yB

εb + aε µ

Uplatn ním zákona hromad ní st edních chyb pak lze napsat vztahy pro st ední chyby jednotlivých sou adnic vyty eného bodu

(

m 2y

= 1−

)

(

b2 m 2y A + m 2yB + ma2 ± b 2 mµ2 + mω2 2 s A, B

m x2 = m x2A ±

2

a

m 2y A +

s A, B

a2 m 2yB + mb2 + a 2 mµ2 2 s A, B

)

(2.182)

(2.183)

Kovariance je dána výrazem 2 mxy = ± 1−

a

b

s A, B s A, B

m 2y A ±

ab 2 m y B ± a b mµ2 2 s A, B

St ední sou adnicová chyba pak je

- 54 (70) -

(2.184)


m x2, y =

1 2 2 a a2 + b2 a2 + b2 2 mxA ± 1 − + 2 m 2y A + m yB + ma2 + mb2 + 2 s A, B s A, B s A2 , B

(

)

+ a 2 + b 2 mµ2 + b 2 mω2

]

(2.185)

Uvažují-li se odd len vliv vyty ení a vliv výchozích prvk , pak platí: Relativní p esnost:

st ední chyby jednotlivých sou adnic

(

m x2 = ma2 ± b 2 mµ2 + mω2

)

(2.186)

m 2y = mb2 + a 2 mµ2

(2.187)

2 m xy = a b mµ2

(2.188)

kovariance

Vliv p esnosti výchozích bod :

Je-li známa p esnost polohy výchozích bod , charakterizovaná nap . st ední sou adnicovou chybou výchozích bod mx,y(A) , bude st ední sou adnicová chyba vyty ovaného bodu dána výrazem m x2, y = 1 −

a s A, B

+

a2 + b2 m x2, y ( A) 2 s A, B

(2.189)

Poznámka: Metoda vyty ení polohy pravoúhlými sou adnicemi se v praxi používá ve dvou variantách. B žná varianta má krátký dosah a používá vyty ovací hranol (pentagon) a pásmo. P esná varianta pracuje s teodolitem a komparovaným pásmem i dálkom rem – zde se využijí odvozené vztahy pro rozbor p esnosti.

2.5.3

Vyty ení polohy bodu pr se íkovou metodou


Jedná se o zvláštní zp sob vyty ení polohy bodu jako pr se íku dvou p ímek daných spojnicemi stabilizovaných bod . Používá se tam, kde je t eba usnadnit provád ní opakovaného p esného polohového vyty ení. Jednoduchým p íkladem jsou stavební lavi ky (Obr. ). D ležit jší je uplatn ní p i stavb složitých základových konstrukcí staveb a zvlášt v mostním stavitelství (Obr. ).

- 55 (70) -


Obr. 20 - Stavební lavi ky

Obr. 21 - Pr se íková metoda p i stavb most

P i z izování stabilizací koncových bod p ímky 1 – 1´ se vychází ze znalosti vzdálenosti d obou bod O1 , O2 v ose mostu a z projektované hodnoty stani ení b vyty ovaného bodu. Na jedné stran mostu se z ídí stabilizace bodu 1 a zm í se jeho vzdálenost c od bodu O1 , jakož i úhel . Pak je možné vypo ítat úhel obou p ímek podle vzorce

cot g γ =

d − b − c cos β c sin β

Na druhé stran mostu se pak ve sm ru z bodu O2 daném úhlem vzdálenost a vypo tená z výrazu

a= b

sin γ sin (α + β )

(2.190) vyty í (2.191)

- 56 (70) -


a stabilizuje se bod 1´. Rozbor p esnosti vyty ení polohy bodu pr se íkovou metodou p edpokládá nejistotu polohy pouze v podélném sm ru (stani ení), zatímco v p í ném sm ru je bod za azován nap . metodou zám rné p ímky s výrazn vyšší p esností. Odvození je možné vykonat za spln ní podmínky α ≈ β → 90° , což je p edpoklad v praxi zpravidla spln ný. Pak lze vyjít ze vztahu

b d = a a+c

b=

ad a+c

Diferencováním tohoto vztahu podle prom nných a , c se získá vztah pro skute nou chybu stani ení b

εb =

cd

(a + c )

2

εa −

ad

(a + c )

2

εc =

cot g γ (c ε a − a ε c ) a+c

(2.192)

a po p echodu na st ední chybu

mb2 =

(

cot g 2 γ 2 2 c ma + a 2 mc2 (a + c )2

)

(2.193)

Tento výraz za p edpokladu stejné p esnosti délkového m ení ma = mc = ms získá tvar

mb2 =

(

)

cot g 2 γ 2 c + a 2 ms2 2 (a + c )

(2.194)

Poznámka: Vzdálenosti a, c bývá asto výhodné m it paralakticky. Doporuuje se, aby hodnota úhlu neklesla pod 20 gon.

2.5.4

Vyty ení polohy bodu pomocí GNSS

Globální naviga ní družicové systémy (GNSS) jsou v používání zhruba od po átku osmdesátých let minulého století, kdy za al fungovat americký systém GPS. K n mu pozd ji p ibyl ruský systém GLONASS a v sou asnosti je v poslední fázi p íprav spušt ní evropský civilní systém GALILEO. Jedná se o systémy poskytující údaje o 3D poloze v globálním geocentrickém prostorovém sou adnicovém systému v naviga ním režimu (m ení s jedním p ístrojem) s p esností n kolika metr (v i geocentru). M í-li se však v diferenciálním režimu (sou asné m ení dv ma aparaturami), lze relativní polohu (složky vektoru spojnice obou bod ) ur it s mnohem vyšší p esností n kolika milimetr (v závislosti na použité metod m ení). Signál je p enášen na dvou nosných frekvencích (L1,L2). M ení GNSS je ovlivn no zemskou atmosférou (ionosféra, troposféra) a více systematickými faktory(chyby hodin p ijíma e a družice, excentricity fázových center antén, vícecestné ší ení signálu aj.). Dosahovaná p esnost závisí též na aktuální konfiguraci družic v i p ijíma i vyjad ované íselným faktorem snížení p esnosti (DOP). Podrobn jší informace o struktu e a funkci systém GNSS lze nalézt nap . v [16], [19] aj.

- 57 (70) -


V inženýrské geodézii se pro ur ování polohy bod v sou asnosti využívá p edevším systém GPS, a koliv existují i spole né GPS+GLONASS aparatury. Používají se následující diferenciální metody: • statická m. – používá se pro budování vyty ovacích sítí vysoké p esnosti a p i m ení posun (relativní st ední sou adnicová chyba 1 – 5 mm), • rychlá statická m. – používá se pro ur ování polohy bod a pro budování vyty ovacích sítí (relativní st ední sou adnicová chyba 5 – 10 mm), • stop & go m. – p i kontrolních m eních, p i po izování dokumentace ukon ené výstavby (zvl. liniové stavby), p i m ení p etvo ení staticky a dynamicky zat žovaných konstrukcí (relativní st ední sou adnicová chyba 10 – 15 mm), • kinematická m. – p i kontrole geometrických parametr staveb (relativní st ední sou adnicová chyba 10 – 20 mm), • kinematická m. v reálném ase (RTK) – vyty ování, ov ovací a kontrolní m ení (relativní st ední sou adnicová chyba 15 – 25 mm).

- 58 (70) -

Nep ímé ur ení prostorové vzdálenosti

3


Mezi úlohy vyskytující se ve stavebnictví náleží též ur ení vzdálenosti mezi dv ma zadanými body P1 , P2 s konkrétní požadovanou p esností. Nap íklad se m že jednat o zabudování n jakého za ízení do stávající stavební konstrukce, o technologické propojení dvou konstrukcí apod. Pokud tuto úlohu nelze ešit p ímo – nap . proto, že koncové body délky jsou nep ístupné – je nutné použít nep ímý postup. Ten je založen na metod sm rového protínání z pomocné základny, kterou se ur í vodorovná složka prostorové vzdálenosti, a na trigonometrické metod m ení výškových rozdíl , kterou se ur í výškový rozdíl obou koncových bod . Typická situace této úlohy je znázorn na na Obr. . Je t eba zvolit vhodné umíst ní pomocné základny, jejíž koncové body A , B jsou p i m ení zpravidla stabilizovány pouze do asn pomocí pevn postavených stativ s trojnožkami.

Obr. 22 - Pomocná základna pro ur ení nep ístupné vzdálenosti

kde c je délka pomocné základny AB , s je vodorovná složka prostorové vzdálenosti, h je svislá složka prostorové vzdálenosti, a1 , a2 , b1 , b2 jsou vodorovné vzdálenosti mezi body základny a koncovými body prostorové vzdálenosti, 1

,

2

,

1

,

2

jsou vodorovné protínací úhly vzhledem k základn ,

zA1 , zA2 , zB1 , zB2 jsou zenitové úhly zám r na oba koncové body P1 , P2 .

- 59 (70) -


Pro zm ení délky pomocné základny c je asto výhodné použití paralaktické metody m ení vzdáleností. Pak se tato vypo ítá podle vzorce

δ l c = cot g 2 2

(3.1)

Po etní ešení úlohy: Nejd íve se vypo ítají vzdálenosti a1 , a2 , b1 , b2 podle vztah využívajících sinovou v tu v trojúhelnících ABP1 , ABP2

a1 = c

sin β1 sin (α1 + β1 )

b1 = c

sin α1 sin (α1 + β1 )

a2 =c

sin β 2 sin (α 2 + β 2 )

b2 =c

sin α 2 sin (α 2 + β 2 )

(3.2)

V dalším kroku se vypo ítají pravoúhlé sou adnice koncových bod základny P1 , P2 v místní sou adnicové soustav vhodn zvolené nap . tak, že její po átek je v jednom koncovém bod pomocné základny (A) a jedna ze sou adnicových os (y) je vložena do sm ru základny:

x1 = a1 sin α1

y1 = a1 cosα1

x1 = − a2 sin α 2

y2 = a2 cosα 2

(3.3)

Pak lze vypo ítat vodorovnou složku s prostorové vzdálenosti ze vztahu s=

(x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2

= ∆x12, 2 + ∆y12, 2

(3.4)

Obr. 23 - Trigonometrické ur ení výškové složky

Výšková složka h se vypo te podle vzorc pro trigonometrické p evýšení podle Obr. . h = a 2 cot g z A2 − a1 cot g z A 1 = b2 cot g z B 2 − b1 cot g z B 1

Výsledná prostorová vzdálenost je pak dána vztahem

- 60 (70) -

(3.5)


d = s 2 + h2

(3.6)

Rozbor p esnosti: Diferencováním rovnice d 2 = s 2 + h 2 se získá vztah mezi skute nou chybou prostorové vzdálenosti a skute nými chybami obou složek

2dε d = 2sε s + 2hε h a po úprav

εd =

s h εs + εh d d

(3.7)

Po p echodu na st ední chyby podle zákona hromad ní st edních chyb bude

md2 =

s2 2 h2 2 ms + 2 mh d2 d

(3.8)

Na pravé stran tohoto výrazu je t eba vyjád it dále st ední chyby ms2 a mh2 .

St ední chyba vodorovné složky: s 2 = ∆x12, 2 + ∆y12, 2 se podobným postupem jako v

Diferencováním rovnice

p edcházejícím p ípad získá vztah

εs =

∆x1, 2 s

ε ∆x1, 2 +

∆y1, 2 s

ε ∆y1, 2 =

∆x1, 2 s

(ε x

2

)

−εx1 +

∆y1, 2 s

(ε y

2

−ε y1

)

a po p echodu na st ední chyby bude

ms2 =

∆x12, 2 s

2

(m

2 x1

)

+ mx22 +

∆y12, 2 s

2

(m

2 y1

+ m 2y2

)

(3.9)

V tomto vztahu je t eba ješt vyjád it st ední chyby jednotlivých sou adnic bod P1 , P2 prost ednictvím st edních chyb m ených veli in. Vyjdeme-li ze vztahu pro sou adnici x1

x1 = a1 sin α1 = c

sin α1 sin β1 sin (α1 + β1 )

(3.10)

podle zákona hromad ní skute ných chyb bude

ε x1 = =

∂ x1 ∂x ∂x ε c + 1 ε α1 + 1 ε β1 = ∂c ∂ α1 ∂ β1

sin α1 sin β1 cosα1 sin β1 sin (α1 + β1 ) − sin α1 sin β1 cos(α1 + β1 ) εc + c ε α1 + sin (α1 + β1 ) sin 2 (α1 + β1 )

+c

sin α1 cos β1 sin (α1 + β1 ) − sin α1 sin β1 cos(α1 + β1 ) ε β1 sin 2 (α1 + β1 )

a po úprav a dosazení z (3.10)

- 61 (70) -


ε x1 =

x1 c sin 2 β1 c sin 2 α1 x a2 b2 εc + 2 ε α1 + 2 ε β1 = 1 ε c + 1 ε α1 + 1 ε β1 c c c c sin (α1 + β1 ) sin (α1 + β1 ) (3.11)

Odtud se podle zákona hromad ní st edních chyb získá vztah

mx21

x12 2 a14 2 b14 2 = 2 mc + 2 mα1 + 2 mβ1 c c c

(3.12)

Za p edpokladu ekvivalentní p esnosti m ení vodorovných úhl

1

,

1

mα1 ≈ mβ1 = mω lze výše odvozený vztah upravit na tvar

mx21 =

x12 2 a14 + b14 2 mc + mω c2 c2

kde mc je st ední chyba délky pomocné základny a m ených horizontálních úhl .

(3.13) je st ední chyba zm -

Analogickým postupem lze odvodit vztah

mx22 =

x22 2 a24 + b24 2 mc + mω c2 c2

(3.14)

Nyní vyjdeme-li ze vztahu pro sou adnici y1

y1 = a1 cos α1 = c

cos α1 sin β1 sin (α1 + β1 )

(3.15)

podle zákona hromad ní skute ných chyb bude

ε y1 = =

∂ y1 ∂y ∂y ε c + 1 ε α1 + 1 ε β1 = ∂c ∂ α1 ∂ β1

cosα1 sin β1 sin α1 sin β1 sin (α1 + β1 ) + cosα1 sin β1 cos(α1 + β1 ) εc + c ε α1 + sin (α1 + β1 ) sin 2 (α1 + β1 ) +c

cosα1 cos β1 sin (α1 + β1 ) − cosα1 sin β1 cos(α1 + β1 ) ε β1 sin 2 (α1 + β1 )

Po úprav a dosazení z (3.15) se získá vztah

ε y1 = =

y1 c sin β1 cos β1 c sin α cosα1 εc − ε α1 + 2 1 εβ = 2 c sin (α1 + β1 ) sin (α1 + β1 ) 1 y1 a 2 cot gβ1 b 2 cot gα1 εc − 1 ε α1 + 1 ε β1 c c c

(3.16)

Odtud se podle zákona hromad ní st edních chyb získá vztah

m 2y1

y12 2 a14 cot g 2 β1 2 b14 cot g 2α1 2 = 2 mc + mα1 + mβ1 c c2 c2 - 62 (70) -

(3.17)


Za p edpokladu ekvivalentní p esnosti m ení vodorovných úhl

1

,

1

mα1 ≈ mβ1 = mω lze výše odvozený vztah upravit na tvar

y12 2 a14 cot g 2 β1 + b14 cot g 2α1 2 mc + mω c2 c2

m 2y1 =

(3.18)

Analogickým postupem lze odvodit vztah

y22 2 a24 cot g 2 β 2 + b24 cot g 2α 2 2 mc + mω c2 c2

m 2y2 =

(3.19)

Dosadí-li se vztahy pro st ední chyby jednotlivých sou adnic bod P1 , P2 do rovnice (3.9), získá se obecný vztah pro st ední chybu ms vodorovné složky prostorové vzdálenosti (po úprav ):

ms2 =

1 c s

2 2

+

[∆x (x 2 1, 2

1 c s

2 2

2 1

)

[∆x (a 2 1, 2

)]

(

+ x22 + ∆y12, 2 y12 + y22 mc2 + 4 1

)

(

+ a24 + b14 + b24 + ∆y12, 2 a14 cot g 2 β1 + a24 cot g 2 β 2 +

) ] mω2

+ b14 cot g 2α1 + b24 cot g 2α 21

.

(3.20)

St ední chyba svislé složky: Diferencováním vztahu (3.5) pro výškovou složku se získá vztah pro její skute nou chybu

εh =

∂h ∂h ∂h ε a1 + ε a2 + ε z = ∂a1 ∂a2 ∂z

= − cot g z A1 ε a1 + cot g z A2 ε a2 +

a1 a2 − εz 2 sin z A1 sin 2 z A2 (3.21)

a po p echodu na st ední chyby mh2 = cot g 2 z A1 ma21 + cot g 2 z A2 ma22 +

a12 a22 + m z2 4 4 sin z A1 sin z A2 (3.22)

V tomto vztahu je t eba ješt vyjád it st ední chyby délek a1 , a2 prost ednictvím st edních chyb m ených veli in. Vyjdeme-li ze vztahu pro délku a1

a1 = c

sin β1 sin (α1 + β1 )

(3.23)

- 63 (70) -


podle zákona hromad ní skute ných chyb bude platit

ε a1 =

∂ a1 ∂a ∂a ε c + 1 ε α1 + 1 ε β1 = ∂c ∂ α1 ∂ β1 sin β1 sin β1 cos (α1 + β1 ) εc − c ε α1 + sin (α1 + β1 ) sin 2 (α1 + β1 )

=

+c

cos β1 sin (α1 + β1 ) − sin β1 cos (α1 + β1 ) ε β1 sin 2 (α1 + β1 )

a po dosazení z (3.23) a úprav

ε a1 =

a1 b1 ε c + a1 cot g (α1 + β1 ) ε α1 + εβ c sin (α1 + β1 ) 1

Po p echodu na st ední chyby a za p edpokladu mα1 ≈ mβ1 = mω

(3.24) pak bude

platit vztah

ma21 = =

a12 2 b12 2 2 ( ) m + a cot g α + β + mω2 = c 1 1 1 c2 sin 2 (α1 + β1 ) a12 2 a12 cos 2 (α1 + β1 ) + b12 2 mc + mω c2 sin 2 (α1 + β1 )

(3.25)

kde mc je op t st ední chyba délky pomocné základny a m je st ední chyba zm ených horizontálních úhl . Obdobným zp sobem lze odvodit

ma22 =

a22 2 a22 cos 2 (α 2 + β 2 ) + b22 2 mc + mω c2 sin 2 (α 2 + β 2 )

(3.26)

Dosazením t chto posledních dvou vztah do rovnice (3.22) se získá obecný vztah pro st ední chybu vertikální složky

mh2 =

a12 a22 2 cot g z + cot g 2 z A2 mc2 + A1 2 2 c c

a12 cos 2 (α1 + β1 ) + b12 a22 cos 2 (α 2 + β 2 ) + b22 2 + cot g z A1 + cot g 2 z A 2 mω2 + 2 2 sin (α1 + β1 ) sin (α 2 + β 2 ) a12 a22 + + m z2 4 4 sin z A1 sin z A2

(3.27)

St ední chyba prostorové vzdálenosti: Výsledný vztah pro st ední chybu prostorové vzdálenosti pak lze kone n napsat podle (3.8) s využitím vztah (3.20) a (3.27) v obecném tvaru

md2 =

1 d2

{ [∆x (x 2 1, 2

2 1

)

(

)]

+ x22 + ∆y12, 2 y12 + y22 mc2 +

- 64 (70) -


[

( (a

)

+ ∆x12, 2 a14 + a24 + b14 + b24 + + ∆y12, 2 +

4 1

cot g 2 β1 + a24 cot g 2 β 2 + b14 cot g 2α1 + b24 cot g 2α 2

) ] mω }+ 2

a12 a22 2 cot g z + cot g 2 z A2 mc2 + A1 c2 c2

h2 d2

a12 cos 2 (α1 + β1 ) + b12 a22 cos 2 (α 2 + β 2 ) + b22 2 + cot g z A1 + cot g 2 z A 2 mω2 + 2 2 sin (α1 + β1 ) sin (α 2 + β 2 ) +

a12 a22 + m z2 sin 4 z A1 sin 4 z A2

(3.28)

Výhodn jší pro odvození této st ední chyby je situace ideálního uspo ádání ur ujícího obrazce, kdy se uvažuje pomocná základna umíst ná symetricky uprost ed v kolmé poloze – viz. Obr. .

Obr. 24 – Ideální uspo ádání ur ujícího obrazce

Pro toto uspo ádání lze uvažovat a1 = a2 = b1 = b2 = a

,

α 1 = α 2 = β1 = β 2 = ω

a tedy a=

s2 + c2 2

,

- 65 (70) -

(3.29)


sin ω =

s s = 2a s2 + c2

cos ω =

,

c c = 2a s2 + c2

,

tgω =

s c

a sou adnice koncových bod prostorové vzdálenosti jsou

x1 =

s 2

x2 = −

,

∆x1, 2 = s

s 2

,

,

∆y1, 2 = 0

y1 = y 2 =

c 2 (3.30)

Po dosazení t chto vztah do rovnic (3.13), (3.14), (3.18) a (3.19) se tyto zjednoduší následovn :

mx21

=

mx22

(

s2 2 s2 + c2 = mc + 4c2 8c2

)

2

mω2

(3.31)

m 2y1 = m 2y2 = 0

(3.32)

a st ední chyba vodorovné složky bude nyní

ms2

(

s2 2 s2 + c2 = mc + 2c2 4c2

)

2

mω2

(3.33)

Pro svislou složku lze za p edpokladu ideálního uspo ádání m ení výraz (3.27) upravit s využitím vztah (3.30) a rovnice

ma2

(

s2 + c2 2 s2 + c2 = mc + 4 c2

) + (s 2

)(

2

+ c2 s2 − c2 16 s 2 c 2

)

2

mω2

na tvar mh2

(

2

2

= cot g z A1 + cot g z A2 +

1 sin 4 z A1

+

)

1 sin 4 z A2

(

s2 + c2 2 s2 + c2 m + c 4 c2 s2 + c2 2 mz 4

) + (s 2

2

)(

+ c2 s2 − c2 16 s 2 c 2

)

2

mω2 +

(3.34)

Jestliže však platí, že p evýšení h obou koncových bod prostorové vzdálenosti nep evyšuje tvrtinu velikosti vodorovné složky s (h < s/4) a sklon zám r nep esáhne 30 gon (což odpovídá v tšin praktických p ípad ), pak ve výše uvedených vzorcích ást vyjad ující vliv chyby v ur ení p evýšení nep esáhne 1/10 ásti vyjad ující vliv chyby v ur ení vodorovné složky. P i malém h pak platí s/d 1 a vzorec pro st ední chybu prostorové vzdálenosti se zjednoduší na tvar

md2

(

s2 2 s2 + c2 mc + = 2c2 4c2

)

2

mω2

(3.35)

Jestliže je délka pomocné základny c m ena paralakticky se základnovou latí délky 2 m, tento vzorec v d sledku platnosti

- 66 (70) -


mc2

c4 2 = mδ 4

(3.36)

p ejde na tvar

md2

(

s 2c 2 2 s 2 + c 2 = mδ + 8 4c2

)

2

mω2

.

(3.37)

Pro hrubý p edb žný odhad p esnosti lze použít orienta ní vztah

md2 =

s3 2 mω 4

(3.38)

Odvození optimální délky pomocné základny: Ozna í-li se po et skupin m ení úhl jednotek m ení paralaktického úhlu ti vztah 2

mδ 0 =

mω2 0 2

,

2

mω =

, 2 , 1 , 2 symbolem n a po et symbolem n , pak v d sledku platnos1

mω2 0

2

mδ =

,

nω

mδ20 nδ

(3.39)

bude vztah mezi st ední chybou vodorovného úhlu a st ední chybou paralaktického úhlu

mδ2 =

nω 2 mω 2nδ

(3.40)

což po dosazení do (3.37) a úprav dá vztah

md2

(

s 2 c 2 nω s2 + c2 = + 16nδ 4c2

)

2

mω2

(3.41)

Ozna í-li se symbolem k pom r po tu úhlových skupin a paralaktických jednotek

k=

nω nδ

(3.42)

pak p edcházející vztah získá tvar

md2

(

k s 2c 2 s 2 + c 2 = + 16 4c2

)

2

mω2

(3.43)

a optimální délku pomocné základny c lze najít jako minimum výrazu v závorce podle rovnice

(

∂ k s 2c 2 s 2 + c 2 + ∂c 16 4c2

)

2

=0

což po zderivování a úprav vede na rovnici

- 67 (70) -


(

)

(

k s 2c 8 c3 s 2 + c 2 − 4 c s 2 + c 2 + 8 8c4

)

2

=0

která vede po další úprav na rovnici tvrtého stupn

(k s

2

)

+ 4 c4 − 4 s4 = 0

jejíž reálný kladný ko en je c4 =

4 s4 4 s2 ≈ k k s2 + 4

(

)

a tedy copt ≈ 4

4 s2 = k

2s k

(3.44)

Pro k = 1 (stejný po et úhlových skupin a paralaktických jednotek ) tedy bude optimální délka pomocné základny copt = 2 s ≈ 1,41 s a pro k =

(3.45)

1 bude optimální délka pomocné základny 2

copt = 4 8 s 2 = 4 8 s ≈ 1,68 s

(3.46)

Praktická doporu ení: V terénu sta í délku pomocné základny vyty it hrubým odm ením (pásmo, krokování) s p esností 0,5 m. Podle možností je žádoucí p iblížit se co nejvíce ideálnímu uspo ádání ur ujícího obrazce podle Obr. 24 . Koncové body základny se stabilizují do asn jen po dobu vlastního m ení d kladn postavenými stativy s pevnými trojnožkami. S ohledem na možné zm ny jejich postavení je žádoucí, aby úhlové m ení prob hlo v co nejkratší dob . P i paralaktickém m ení délky pomocné základny se volí postup se základnovou latí na konci m ené délky. Paralaktický úhel se m í s dodržením správného technologického postupu – viz. [3]. Minimální po et paralaktických jednotek se volí 2 , doporu uje se však volit v tší sudý n . Kvalitu m ení je t eba kontrolovat rozborem p esnosti p i m ení [3] (test odlehlých m ení aj.). P i vyšších požadavcích p esnosti se zavádí opravy z komparace základnové lat a z podélné excentricity spojnic ter lat . Na každém z obou koncových bod pomocné základny se m í odd len p íslušné po ty skupin vodorovných a svislých úhl . Doporu uje se p ed m ením pe liv urovnávat p ístroj. Rozborem p esnosti p i m ení se kontrolují uzáv ry skupin a diference mezi redukovanými pr m ry jednotlivých sm r mezi skupinami. Mají-li zám ry strm jší sklony, opravují se o vliv nesvislosti osy alhidády postupem viz. [3]. P ístroj (a pokud možno i stativ) se po celou dobu m ení chrání p ed p ímým slune ním svitem m ickým deštníkem. Sousední bod základny se signalizuje zám rným ter em nebo st edovým ter íkem základnové lat (t eba p ezkoušet jeho možnou excentricitu).

- 68 (70) -

Záv r

4

Záv r

4.1

Shrnutí

P edkládaný studijní text je v nován pokro ilejší problematice inženýrské geodézie. Je zam en více teoreticky a podává systematický p ehled metod rozbor p esnosti m ení a vyty ení horizontální polohy od jednoduchých základních metod bez vyrovnání až po složit jší metody vyty ení polohy bodu v sou adnicové rovin . Jsou zde odvozeny vztahy pro výpo et jednotlivých prvk kovarian ních matic jak pro relativní, tak pro souhrnný rozbor p esnosti vyty ení.

4.2

Studijní prameny

4.2.1

Seznam použité literatury

[1]

Michal ák, O., Vosika, O., Veselý, M., Novák, Z. Inžinierska geodézia I. Alfa, Bratislava 1985

[2]

Michal ák, O., Vosika, O., Veselý, M., Novák, Z. Inžinierska geodézia II. Alfa, Bratislava 1990

[3]

Švábenský, O., Vitula, A. Inženýrská geodézie. Návody ke cvi ením I. VUT Brno, 1993

[4]

Švábenský, O., Vitula, A. Inženýrská geodézie. Návody ke cvi ením II. VUT Brno, 1991

[5]

SN 73 0420-1 P esnost vyty ování staveb – davky. NI, Praha 2002

ást 1: Základní poža-

[6]

SN 73 0420-2 P esnost vyty ování staveb – chylky. NI, Praha 2002

ást 1: Vyty ovací od-

[7]

SN 73 0202 Geometrická p esnost ve výstavb . Základní ustanovení. NI, Praha 1995

[8]

SN 73 0212-1 Geometrická p esnost ve výstavb . Kontrola p esnosti. ást 1: Základní ustanovení. NI, Praha 1996

[9]

SN 73 0212-3 Geometrická p esnost ve výstavb . Kontrola p esnosti. ást 3: Pozemní stavební objekty. NI, Praha 1997

[10]

SN 73 0212-4 Geometrická p esnost ve výstavb . Kontrola p esnosti. ást 4: Liniové stavební objekty. NI, Praha 1997

[11]

SN 73 0212-5 Geometrická p esnost ve výstavb . Kontrola p esnosti. ást 5: Kontrola p esnosti stavebních dílc . NI, Praha 1994

[12]

SN 73 0212-6 Geometrická p esnost ve výstavb . Kontrola p esnosti. ást 6: Statistická analýza a p ejímka. NI, Praha 1993

[13]

SN 73 0212-7 Geometrická p esnost ve výstavb . Kontrola p esnosti. ást 7: Statistická regulace. NI, Praha 1994

- 69 (70) -


[14]

Krumphanzl, V. Inženýrská geodézie I. Základy vyty ovacích prací. SNTL, Praha 1966

[15]

Krumphanzl, V., Michal ák, O. Inženýrská geodézie II. Kartografie, Praha 1975

[16]

Švábenský, O., Fixel, J., Weigel, J. Základy GPS a jeho praktické aplikace. CERM, Brno1995

[17]

Švábenský, O., Vitula, A., Bureš, J. Inženýrská geodézie I, M01 - Základy inženýrské geodézie. SO pro kombinovanou formu studia, Brno 2006

[18]

Švábenský, O., Vitula, A., Bureš, J. Inženýrská geodézie I, M02 – Geodézie ve stavebnictví. SO pro kombinovanou formu studia, Brno 2006

4.2.2

Seznam dopl kové studijní literatury

[19]

Richardus, P. Project Surveying. A.A. Balkema, Rotterdam 1995

[20]

Mueller, W.: Ingenieurgeodäsie, VB Berlin, 1984.

[21]

Hofmann-Wellenhof, B., Kienast, G., Lichtenegger, H. GPS in der Praxis. Springer, Wien 1994

[22]

Irvine, W. Surveying for Construction. McGraw-Hill, Glasgow 1995

4.2.3

Odkazy na další studijní zdroje a prameny

[23]

http://www.vugtk.cz/nzk/indnzk.html

[24]

http://www.vugtk.cz/odis/index1.html

[25]

http://knihovny.cvut.cz/sluzby/fsv/index.html

[26]

http://library.fce.vutbr.cz/

- 70 (70) -

INŽENÝRSKÁ GEODÉZIE II

Recommend Documents