MA1101 MATEMATIKA 1A MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 Semester I, 2013/2014 25 September 2013
Kuis 1 (Kuliah 1 (Kuliah yang Lalu) yang Lalu) 1 Selesaikan pertaksamaan |2x 1. |2x – 3| < |x|. 3| < |x| 2 Diketahui 2. ik h i f(x) = x f( ) 2 sin (1/x) i ( / ) untukk x ≠ 0 0 dan d f(0) = 0. a. Selidiki apakah f kontinu di 0. b. Selidiki apakah f mempunyai turunan di 0.
3. Tentukan turunan dari g(x) g(x) = 1/(sin x 1/(sin x + cos cos x). 9/25/2013
(c) Hendra Gunawan
2
Jawaban Kuis 1 1 |2x 1. |2x – 3|<|x| setara dengan (2x (2x – 3)2 < x < x2 atau 3x2 – 12x + 9 < 0 atau x2 – 4x + 3 < 0 atau (x – 1) ((x – 3) < 0. Jadi ) himpunan p penyelesaiannya p y y adalah { x|1< x < 3}. 2. (a) Untuk (a) Untuk x di x di dekat 0 (tidak 0 (tidak termasuk x x = 0) 0) berlaku: ‐x2 ≤ x2 sin(1/x) ≤ x2. Limit suku di ruas paling kiri p g dan p paling kanan, untuk g x menuju j 0, sama dengan 0. Jadi, menurut Teorema Apit, 1 2 ) lim x sin 0 f ((0). x 0 x Dengan demikian fungsi f kontinu di 0. 9/25/2013
(c) Hendra Gunawan
3
Jawaban Kuis 1 2.. (b) Untuk (b) U tu menyelidiki e ye d apa apakah a f mempunyai e pu ya turunan di 0, kita tentukan apakah limit dari [f(x) – f(0)]/[x – 0], yang sama dengan f(x)/x = x sin (1/x), untuk ( / ) k x menuju 0, ada d atau tidak. d k Untuk x di dekat 0 (tidak termasuk x = 0) ber‐ l k laku: ‐x ≤ x sin(1/x) ≤ x. Limit suku ≤ i (1/ ) ≤ Li it k di ruas paling kiri dan paling kanan, utk x menuju 0, sama dengan 0. Jadi, menurut 0. Jadi, menurut Teorema Apit 1 lim x sin 0. x 0 x
Dengan demikian f mempunyai f mempunyai turunan di 0 0 (dan f’(0) = 0). 9/25/2013
(c) Hendra Gunawan
4
Jawaban Kuis 1 3 Dengan menggunakan Aturan Hasilbagi, 3. Hasilbagi Aturan Jumlah, dan turunan dari fungsi sinus dan cosinus, turunan sinus dan cosinus turunan dari fungsi g(x) = 1/(sin x + cos x) adalah g’(x) g (x) = –[cos = [cos x – x sin x]/[sin x + cos sin x]/[sin x + cos x]2.
9/25/2013
(c) Hendra Gunawan
5
Sasaran Kuliah Hari Ini 2.6 Notasi 2 6 Notasi Leibniz & Turunan Leibniz & Turunan Tingkat Tinggi Tingkat Tinggi Menggunakan notasi Leibniz dan menentukan turunan tingkat tinggi dari fungsi yang yang diberikan, termasuk pola atau rumus umumnya. 2.7 Turunan Implisit Menentukan turunan fungsi g yyang diberikan g secara implisit.
9/25/2013
(c) Hendra Gunawan
6
MA1101 MATEMATIKA 1A MA1101 MATEMATIKA 1A
2.6 NOTASI LEIBNIZ & TURUNAN TINGKAT TINGGI TINGKAT TINGGI Menggunakan notasi Leibniz dan menentukan t turunan ti k t tinggi tingkat ti i dari d i fungsi f i yang diberikan, termasuk pola atau rumus umumnya. 9/25/2013
(c) Hendra Gunawan
7
Notasi Leibniz Pada gambar di samping, tampak bahwa pertambahan sebesar ∆x pada x menyebabkan pertambahan sebesar ∆y pada y, dengan ∆y = f(x + ∆x) – y f ff(x). Bagi kedua ruas dengan ∆x, kita peroleh
∆y
x
x+∆x
y f ( x x) f ( x) . x x
9/25/2013
(c) Hendra Gunawan
8
Notasi Leibniz Jika ∆x → 0, maka , y f ( x x) f ( x) lim lim f ' ( x). x 0 x x 0 x Leibniz menggunakan lambang dy/dx untuk y menyatakan lim x . Jadi, jika y = f(x), maka x 0 d dy f ' ( x). dx C t t D l Catatan: Dalam notasi t i ini, dy/dx i i d /d merupakan k satu t kesatuan, bukan hasilbagi dy dan dx. C t h 1. Jika Contoh 1 Jik y = x3 + x, maka k dy/dx d /d = 3x 3 2 + 1. 1 9/25/2013
(c) Hendra Gunawan
9
Aturan Rantai dalam Notasi Leibniz Dengan notasi Leibniz, Aturan Leibniz, Aturan Rantai berbunyi: Jika y = f(u) dan u = g(x), maka dy dy du . . dx du dx Contoh 2. Misalkan y = (x3 + x)10 = u10 dengan u = x3 + x. Maka dy dy du . 10u 9 .(3 x 2 1) 10( x 3 x) 9 (3 x 2 1). dx du dx 9/25/2013
(c) Hendra Gunawan
10
Turunan Tingkat Tinggi Tingkat Tinggi Diberikan sebuah fungsi f, kita turunkan f ’, yang juga merupakan fungsi. Dari f fungsi Dari f ’ dapat dapat kita turunkan f ’’ = (f ’)’, yang disebut turunan kedua f , dan dari ff ’’ kita dapat p memperoleh p turunan ketiga g f ,, yakni y f ’’’ = (f ’’)’, dst. Turunan ke‐n k d i y = f(x) dilambangkan dari f( ) dil b k dengan d f (n) atau dny/dxn. Contoh 3. Jika y = sin 2x, maka dy/dx = 2 cos 2x, d2y/dx2 = ‐4 sin 2x, d3y/dx3 = ‐8 cos 2x, dst. Dapatkah anda menentukan rumus untuk dny/dxn? 9/25/2013
(c) Hendra Gunawan
11
Catatan Bila turunan pertama mempunyai interpretasi fi i kecepatan fisis k t sesaat, maka t k turunan t k d kedua secara fisis dapat diinterpretasikan sebagai percepatan (sesaat) yang mengukur (sesaat) yang mengukur laju perubahan kecepatan terhadap waktu (lihat buku teks Purcell & Varberg). Purcell & Varberg) Untuk memahami lebih jauh tentang interpretasi dari turunan, khususnya turunan pertama, kedua, dan ketiga, baca buku teks Purcell & Varberg tentang model matematika. 9/25/2013
(c) Hendra Gunawan
12
Latihan 1. Diketahui y = sin2 (2x). Tentukan dy/dx. 2. Tentukan rumus umum turunan ke‐n dari f(x) = 1/x f(x) = 1/x.
9/25/2013
(c) Hendra Gunawan
13
MA1101 MATEMATIKA 1A MA1101 MATEMATIKA 1A
2.7 TURUNAN IMPLISIT Menentukan turunan fungsi yang diberikan yang diberikan secara implisit.
9/25/2013
(c) Hendra Gunawan
14
Turunan Fungsi Implisit Misalkan kita mempunyai persamaan 7y3 + y = x3 dan ingin menentukan persamaan garis singgung pada grafik persamaan tersebut di (2,1). Masalahnya (2 1) Masalahnya adalah bagaimana menghitung dy/dx, padahal kita ttidak da mempunyai e pu ya rumus u us eeksplisit sp s t u untuk tu yy dalam da a x. Secara implisit, kita dapat menurunkan kedua ruas t h d x dengan terhadap d menggunakan k Aturan At R t i Rantai (dengan mengingat bahwa y adalah fungsi dari x): 21y2.dy/dx dy/dx + dy/dx + dy/dx = 3x 3x2. 9/25/2013
(c) Hendra Gunawan
15
Dengan demikian kita peroleh dy/dx = (3x2)/(21y2+1). Di titik (2,1), kita hitung dy/dx = 12/(21 + 1) = 6/11. Jadi persamaan garis singgungnya adalah y – 1 = 6/11(x – 2) atau 6x – 11y – 1 = 0. 9/25/2013
(c) Hendra Gunawan
16
Aturan Pangkat Rasional Dengan penurunan implisit, kita dapat membuktikan Aturan Pangkat Rasional berikut: Jika y = xr (r є Q), maka dy/dx = r.xr‐1. (Buktinya diberikan di papan tulis.)
9/25/2013
(c) Hendra Gunawan
17
Latihan 1 Tentukan persamaan garis singgung pada 1. kurva y5 + 7y = x3 di titik (2,1). 2 Diberikan persamaan x2 + y 2. + y3 = x + 1, tentukan = x + 1 tentukan dy/dx dan d2y/dx2.
9/25/2013
(c) Hendra Gunawan
18
