Fyzika III Optika. B. Skalární vlnová optika. Kamil Postava. Institut fyziky, VŠB Technická univerzita Ostrava (A931,tel

Vlnová rovnice, monochromatické vlny Polychromatické světlo Interference, difrakce

Fyzika III – Optika B. Skalární vlnová optika Kamil Postava [email protected] Institut fyziky, VŠB Technická univerzita Ostrava (A 931, tel. 3104)

14. dubna 2010

1

K. Postava: Fyzika III – Optika

B. Vlnová optika


Obsah přednášky

2

1

Vlnová rovnice, monochromatické vlny Úvod, postuláty vlnové optiky Monochromatické vlny, řešení Helmholtzovy rovnice Paraxiální Helmholtzova rovnice, Gaussův svazek

2

Polychromatické světlo Fourierova transformace – matematický úvod Vlnová funkce polychromatického světla Vlnové klubko

3

Interference, difrakce Interference, interferometry Koherenční vlastnosti světla Difrakce, Fourierova optika


B. Vlnová optika


Úvod, postuláty vlnové optiky Monochromatické vlny, řešení Helmholtzovy rovnice Paraxiální Helmholtzova rovnice, Gaussův svazek

Úvod Skalární vlnová optika Kvantová optika

Světlo se šíří ve formě vln, vlnoplochy jsou kolmé k paprskům jevy interference a difrakce – skládání vlnění

Elektromagnetická Skalární vlnová Paprsková

Huygensův princip (Huygens-Fresnelův) Skalární vlnová rovnice ∇2 u −

1 ∂2u =0 c2 ∂ t2

u – vlnová funkce 3


B. Vlnová optika



Úvod – interference

4


B. Vlnová optika



Úvod – interference

5


B. Vlnová optika



Úvod – difrakce

6


B. Vlnová optika



Úvod – hologramy

7


B. Vlnová optika



Postuláty skalární vlnové optiky světlo se šíří formou vln, ve vákuu rychlostí c, v neabsorbujícím prostředí o indexu lomu n se šíří rychlostí v = c/n je popsáno skalární vlnovou funkcí u(r, t), která závisí na prostorových souřadnicích r = x i + y j + z k a čase t vlnová funkce splňuje vlnovou rovnici: Vlnová rovnice ∇2 u − kde ∇2 = ∆ =

1 ∂2u = 0, v 2 ∂t2

∂2 ∂2 ∂2 + 2 + 2 je Laplaceův operátor 2 ∂x ∂y ∂z

– lineární diferenciální rovnice, splňuje princip superpozice: Jestliže u1 (r, t) a u2 (r, t) reprezentují optické vlny, pak u1 (r, t) + u2 (r, t) také reprezentuje možnou optickou vlnu. 8


B. Vlnová optika




1 ∂2u = 0, v 2 ∂t2




B. Vlnová optika




1 ∂2u = 0, v 2 ∂t2




B. Vlnová optika



Optická intenzita

detektory světla (sítnice oka, fotodetektory, CCD) jsou citlivé na intenzitu:

I(r, t) ∝ u2 (r, t) ,

Z T 1 kde < · · · > = lim · · · dt T →∞ 2T −T optický výkon ve Watech přenášený plochou S je definován: Z I(r, t) dS P (t) = S

9


B. Vlnová optika



Monochromatické vlny mezi významná řešení vlnové rovnice patří monochromatické vlny – s hamonickou časovou závislostí: u(r, t) = a(r) cos [ωt + ϕ(r)] , kde ω = 2πν je úhlová frekvence a ν je frekvence harmonické vlny (v Hz) ϕ(r) je počáteční fáze vlny a(r) je amplituda vlnění Intenzita I(r) ∝ a(r)2

10


B. Vlnová optika



Komplexní reprezentace vlnové funkce Eulerův vztah: e±iϕ = cos ϕ ± i sin ϕ

pro zjednodušení výpočtu s vlnovou funkcí zavádíme komplexní vlnovou funkci Komplexní vlnová funkce U (r, t) u(r, t) = ℜ {U (r, t)} =

1 [U (r, t) + U ∗ (r, t)] , 2

kde ℜ označuje reálnou část. Vlnová rovnice pro komplexní vlnovou funkci: ∇2 U (r, t) − 11

1 ∂ 2 U (r, t) = 0, v2 ∂t2


B. Vlnová optika



Komplexní reprezentace vlnové funkce Eulerův vztah: e±iϕ = cos ϕ ± i sin ϕ

pro zjednodušení výpočtu s vlnovou funkcí zavádíme komplexní vlnovou funkci Komplexní vlnová funkce U (r, t) u(r, t) = ℜ {U (r, t)} =

1 [U (r, t) + U ∗ (r, t)] , 2

kde ℜ označuje reálnou část. Vlnová rovnice pro komplexní vlnovou funkci: ∇2 U (r, t) − 11

1 ∂ 2 U (r, t) = 0, v2 ∂t2


B. Vlnová optika



Komplexní vlnová funkce monochromatické vlny

Monochromatické vlny, Helmholtzova rovnice Komplexní vlnová funkce monochromatické vlny: U (r, t) = U (r) ei ω t , kde U (r) je komplexní amplituda, která vyhovuje Helmholtzově rovnici ∇2 + k2 U (r) = 0,

ω ω = n = n k0 je vlnové číslo v c Intenzita: I(r) = |U (r)|2 .

kde k =

12


B. Vlnová optika



Významná řešení Helmholtzovy rovnice 1

Rovinné vlny U (r) = A exp [−i (kx x + ky y + kz z)] = A exp [−i k r] , kde k = i kx + j ky + k kz je vlnový vektor, |k| = k = ωv U (r, t) = A exp[i(ω t − k r)]

reálná vlnová funkce je dána u(r, t) = A cos(ω t − k r) x

Plochy konstantní fáze (vlnoplochy) jsou roviny. Intenzita: 13

I(r) = |A|2


k

z y

B. Vlnová optika



Významná řešení Helmholtzovy rovnice Reálná vlnová funkce rovinné vlny je dána u(r, t) = A cos(ω t − k r)

2π , kterou nazýváme Vlnová funkce je periodická na vzdálenosti λ = k 2π vlnová délka. Vlnové číslo k = . λ Rychlost v vyjadřuje rychlost šíření fáze – fázovou rychlost 14


B. Vlnová optika



Helmholtzova rovnice ve sférických souřadnicích z

Sférické (kulové) souřadnice r, ϕ, ϑ: element objemu: dV = r 2 sin ϑ dr dϕ dϑ

z [x , y , z ] ϑ

transformační vztahy:

r

x = r sin ϑ cos ϕ y = r sin ϑ sin ϕ z = r cos ϑ

y x

y

ϕ

x

Laplaceův operátor ve sférických souřadnicích: » „ «– „ « ∂ ∂2 ∂ ∂ 1 ∂ 1 1 r2 + sin ϑ + ∇2 = ∆ = 2 2 r ∂r ∂r sin ϑ ∂ϑ ∂ϑ sin ϑ ∂ϕ2 Předpokládejme, že U (r) = U (r) nezávisí na ϑ, ϕ, pak Helmholtzova rovnice: » „ «– 1 d 2 d U (r) r + k2 U (r) = 0 r 2 dr dr Po zavedení substituce U (r) = 15

V (r) : r


d2 V (r) + k2 V (r) = 0 dr 2 B. Vlnová optika



Významná řešení Helmholtzovy rovnice 2

Sférické vlny U (r) =

A exp [−i k r] , r

p kde r = x2 + y 2 + z 2 je vzdálenost od středu sférické vlny (zdroj světla, obraz). Vlnoplochy jsou kulové plochy se středem v počátku Jestliže poloha zdroje sférických vln je dána r0 , pak

Intenzita: 16

U (r) =

A exp [−i k |r − r0 |] |r − r0 |

I(r) =

|A|2 r2


B. Vlnová optika



Významná řešení Helmholtzovy rovnice

3

Parabolické vlny – Fresnelova aproximace sférických vln pro z ≫

p x2 + y 2

p r = x2 + y 2 + z 2 = z

U (r) = 17

r

1+

x2 + y 2 x2 + y 2 ≈ z + z2 2z

x2 + y 2 A exp [−i k z] exp −i k z 2z


B. Vlnová optika



*Vztah mezi vlnovou a paprskovou optikou Paprsková optika je limitním přístupem vlnové optiky pro λ → 0. Pro komplexní amplitudu: U (r) = a(r) e−i k0 S(r) Pak Helmholtzova rovnice přechází pro λ → 0 v Eikonálovou rovnici: |∇S|2 = n2

skalární funkce S(r) odpovídá eikonále paprskové optiky (dráhový rozdíl je dán S(rB ) − S(rA ))

plochy konstantní fáze (vlnoplochy) jsou kolmé k paprskům 18


B. Vlnová optika



Průchod vlny optickými komponenty

Propustnost destičky o tloušt’ce t(x, y) a indexu lomu n: t(x, y) = e−ik0 (n−1) d(x,y) .

19


B. Vlnová optika



Průchod vlny optickými komponenty zobrazení tenkou čočkou d(x, y) ≈

x2 + y 2 2

difrakce na mřížce

1 1 − R1 R2

d(x, y) =

d 2

t(x, y) = e−ik0 (n−1) d(x,y) =

∞ X

cq eiq

2

,

t(x, y) ≈ e

1 + cos 2π Λx

2π x Λ

, kde cq =

q=−∞

λ Pak sin θq = sin θi + q Λ

20


B. Vlnová optika

1 Λ

+y ik0 x 2f ′

Z

0

2

Λ

t(x, y) e−iq

2π x Λ

dx



Paraxiální vlny komplexní amplituda U (r) = A(r) exp[−ikz] rovinné vlny s pomalu se měnící komplexní obálkou A(r) – odpovídají paraxiálním paprskům ∆A ≪ A na ∆z = λ ∂2A ∂z 2

Paraxiální Helmholtzova rovnice pro komplexní obálku A(r) ∇2T A(r) − i 2k kde ∇2T = 21

∂2 ∂x2

+

∂2 ∂y 2

∂ A(r) = 0, ∂z

je transverzální Laplaceův operátor


B. Vlnová optika

≪ k2 A



Řešení paraxiální Helmholtzovy rovnice 1

Parabolická vlna – Fresnelova (paraxiální) aproximace sférické vlny s komplexní obálkou: A ρ2 A(r) = exp −i k , z 2z kde ρ2 = x2 + y 2 .

2

Pro z → z − ζ – parabolická vlna se středem v bodě z = ζ

Gaussův svazek základní svazek vycházející z laseru A ρ2 A(r) = exp −i k , q(z) 2 q(z)

kde q(z) = z + iz0 , z0 se nazývá konfokální (Rayleigho) parametr Gaussova svazku. 22


B. Vlnová optika



Gaussův svazek Gaussův svazek 1 1 λ = −i q(z) R(z) π w2 (z) z 2 0 Poloměr zakřivení vlnoplochy: R(z) = z 1 + z " 2 # z λ Příčný poloměr svazku: w2 (z) = w02 1 + , kde w02 = z0 z0 π Komplexní amplituda Gaussova svazku: ρ2 ρ2 w0 exp −ikz − ik exp − 2 + iζ(z) , U (r) = A0 w(z) w (z) 2R(z) kde A0 = 23

A z , ζ(z) = arctan iz0 z0 K. Postava: Fyzika III – Optika

B. Vlnová optika



Intenzita Gaussova svazku Intenzita Gaussova svazku 2

I(r) = |U (r)| = I0

w0 w(z)

2

2 ρ2 exp − 2 w (z) | {z } Gaussova funkce

pas w0

θ0

z0

√

2w0

z

z0 R(0) = ∞

R(z0 ) = 2z0

R(z ≫ z0 ) = z

příčné rozložení intenzity je dáno Gaussovou funkcí v kruhu o poloměru ρ0 je 1 − exp[−2ρ20 /w2 ] výkonu svazku 86 % je v kruhu o poloměru ρ0 = w(z); 99 % odpovídá poloměru ρ0 = 1.5 w(z) 24


B. Vlnová optika



Gaussův svazek

Divergence svazku:

25

w w0 λ θ0 = lim = = = z→∞ z z0 π w0


B. Vlnová optika

r

λ π z0



Gaussův svazek z 2 0 Poloměr zakřivení vlnoplochy: R(z) = z 1 + z

R(0) = ∞ R(z0 ) = 2z0 R(z ≫ z0 ) = z Hloubka fokusace – konfokální parametr 2z0 = 26


B. Vlnová optika

2π w02 λ



Transformace Gaussova svazeku optickým systémem Transformace Gaussova svazku čočkou

27

1 1 1 − = ′, q2 q1 f

w0′ θ0 = ′ = w0 θ0


B. Vlnová optika

s

z0′ z0



Transformace Gaussova svazeku optickým systémem – fokusace Gaussova svazku

– kolimace Gaussova svazku

28


B. Vlnová optika



Transformace Gaussova svazeku optickým systémem Transformace Gaussova svazku optickým systémem A B Jeli optický systém popsán maticí M = : C D q2 =

29

A q1 + B C q1 + D


B. Vlnová optika



Jiná řešení paraxiální Helmholtzovy rovnice 3

Hermitovy-Gaussovy svazky

Ul,m (r) = Al,m

w0 Gl w(z)

"√

# "√ # » – 2x 2y x2 + y 2 Gm exp −ikz − ik + i(l + m + 1)ζ(z) , w(z) w(z) 2R(z)

kde Gl (u) = Hl (u) exp(−u2 /2) je Hermitova-Gaussova funkce

30

Hl (u) – Hermitovy polynomy Hl+1 (u) = 2u Hl (u) − 2l Hl−1 (u) H0 (u) = 1, H1 (u) = 2u, H2 (u) = 4u2 − 2, H3 (u) = 3u3 − 12u, K. Postava: Fyzika III – Optika

B. Vlnová optika

···



Jiná řešení paraxiální Helmholtzovy rovnice Hermitovy-Gaussovy svazky

svazek 0,0 je Gaussův svazek módy rezonátorů laserů se sférickými zrcadly 31


B. Vlnová optika



Jiná řešení paraxiální Helmholtzovy rovnice 4

Laguerre-Gaussovské svazky řešení paraxiální Helmholtzovy rovnice s kruhovou symetrií svazky vystupující z optického vlákna

32


B. Vlnová optika



Jiná řešení Helmholtzovy rovnice 5

Besselovy svazky exaktní řešení Helmholtzovy rovnice s válcovou symetrií nedifragující, samorekonstruující svazek vzniká průchodem světla na axikonu

U (r) = A0 J0 (kT ρ) exp(−iβz), 2 + β 2 = k2 kde J0 (u) je Besselova funkce 0-teho řádu, ρ2 = x2 + y 2 , kT 33


B. Vlnová optika



Postupné a stojaté vlny

postupné vlny – přenášejí energii (šíří se) v prostoru u(z, t) = A cos(ω t − k z) stojaté vlny – např. v rezonátoru s rovinnými zrcadly zrcadla ve vzdálenosti d:

U (z = 0) = U (z = d) = 0.

u(z, t) = A cos(ω t) · sin(kq z), kde q je modové číslo

dostáváme diskrétní spektrum: c fq = q 2d , λq = kq = q πd , 34


2d q .

B. Vlnová optika



Postupné a stojaté vlny

postupné vlny – přenášejí energii (šíří se) v prostoru u(z, t) = A cos(ω t − k z) stojaté vlny – např. v rezonátoru s rovinnými zrcadly zrcadla ve vzdálenosti d:

U (z = 0) = U (z = d) = 0.

u(z, t) = A cos(ω t) · sin(kq z), kde q je modové číslo

dostáváme diskrétní spektrum: c fq = q 2d , λq = kq = q πd , 34


2d q .

B. Vlnová optika



Optický rezonátor Využití stojatého vlnění v optických rezonátorech: rezonátor s rovinnými zrcadly – Fabry-Perotův rezonátor disperzní element ve spektroskopii úzkopásmové filtry s tenkými vrstvami

rezonátor s kulovými zrcadly rezonátor laseru – výběr určité frekvence, kolimace výstupního svazku z laseru

optické vlnovody vlnovody s fotonickými krystaly 35


B. Vlnová optika


Fourierova transformace – matematický úvod Vlnová funkce polychromatického světla Vlnové klubko

Polychromatické světlo spektrální popis – polychromatické světlo obsahuje různé frekvence (vlnové délky)

časový popis – polychromatické světlo je reprezentováno vlnou konečné délky (na rozdíl od nekonečné monochromatické vlny)

36


B. Vlnová optika



Fourierova transformace – definice f (t) =

Z

∞

i2πνt

F (ν) e

dν,

F (ν) =

1

linearita

2

frekvenční posuv: F (ν − ν0 ) → f (t) ei2πν0 t

3 4

5 6 7 8

∞

f (t) e−i2πνt dt

−∞

−∞

Vlastnosti Fourierovy transformace:

37

Z

časový posuv: F (ν) e−i2πντ → f (t − τ )

symetrie: f (t) – reálná → F (−ν) = F ∗ (ν) – hermitovsky symetrická šířka čáry: f (at) → 1/|a| F (ν/a)

R∞ konvoluce: F (ν) = F1 (ν)F2 (ν) → f (t) = −∞ f1 (τ )f2 (t − τ ) dτ R∞ korelace: F (ν) = F1∗ (ν)F2 (ν) → f (t) = −∞ f1∗ (τ )f2 (t + τ ) dτ R∞ R∞ Parsevalův teorém: −∞ |f (t)|2 dt = −∞ |F (ν)|2 dν K. Postava: Fyzika III – Optika

B. Vlnová optika



Fourierova transformace vybraných funkcí Funkce f (t) – časový průběh

Fourierova transformace F (ν) – spektrum

f (t) = 1

F (ν) = δ(ν), δ(x) =

f (t) = δ(t)

F (ν) = 1, f (x) =

f (t) = rect(t) =

38

1 0

|t| ≤ 1/2 jinde


F (ν) = sinc(ν) =

B. Vlnová optika

Z

1 2π

Z

∞

eikx dk ∞

∞

f (x′ )δ(x − x′ )dx ∞

sin πν πν



Fourierova transformace vybraných funkcí Funkce f (t) – časový průběh

Fourierova transformace F (ν) – spektrum

f (t) = e−|t|

F (ν) =

f (t) = e

39

−πt2


2 1 + (2πν)2

F (ν) = e

−πν 2

B. Vlnová optika

,

Z

∞

−αx2

e ∞

dx =

r

π α



Vlnová funkce polychromatického světla

vlnová funkce je superpozicí monochromatických vln různých frekvencí: Z ∞ Z ∞h i ˜ (r, ν) ei2πνt + U ˜ ∗ (r, ν) e−i2πνt dν, ˜ (r, ν) ei2πνt dν = u(r, t) = U U −∞

0

˜ (r, ν) je spektrum kde U Z ∞ ˜ (r, ν) = U u(r, t)e−i2πνt dt, −∞

˜ (r, −ν) = U ˜ ∗ (r, ν) U

definujeme komplexní vlnovou funkci U (r, t) – komplexní analytický signál Z ∞ 1 ˜ (r, ν) ei2πνt dν. u(r, t) = ℜ[U (r, t)] = [U (r, t)+U ∗ (r, t)], U (r, t) = 2 U 2 0 40


B. Vlnová optika



Vlnová funkce polychromatického světla

vlnová funkce je superpozicí monochromatických vln různých frekvencí: Z ∞ Z ∞h i ˜ (r, ν) ei2πνt + U ˜ ∗ (r, ν) e−i2πνt dν, ˜ (r, ν) ei2πνt dν = u(r, t) = U U −∞

0

˜ (r, ν) je spektrum kde U Z ∞ ˜ (r, ν) = U u(r, t)e−i2πνt dt, −∞

˜ (r, −ν) = U ˜ ∗ (r, ν) U

definujeme komplexní vlnovou funkci U (r, t) – komplexní analytický signál Z ∞ 1 ˜ (r, ν) ei2πνt dν. u(r, t) = ℜ[U (r, t)] = [U (r, t)+U ∗ (r, t)], U (r, t) = 2 U 2 0 40


B. Vlnová optika



Vlnová funkce polychromatického světla Komplexní analytický signál (komplexní vlnová funkce polychromatického světla) U (r, t) vyhovuje vlnové rovnici: ∇2 U (r, t) −

1 U (r, t) = 0. v2

Intenzita: I(r, t) ∝ u2 (r, t) , čas mnohem větší než 1/ν0 . I(r, t) ∝

kde < > je středování přes

1 ∗2 1 1 2 U (r, t) + U (r, t) + hU (r, t)U ∗ (r, t)i 4 4 2

Intenzita kvazimonochromatického světla: I(r, t) = hU (r, t)U ∗ (r, t)i = |U (r, t)|2 41


B. Vlnová optika



Vlnová funkce polychromatického světla Komplexní analytický signál (komplexní vlnová funkce polychromatického světla) U (r, t) vyhovuje vlnové rovnici: ∇2 U (r, t) −

1 U (r, t) = 0. v2

Intenzita: I(r, t) ∝ u2 (r, t) , čas mnohem větší než 1/ν0 . I(r, t) ∝

kde < > je středování přes

1 ∗2 1 1 2 U (r, t) + U (r, t) + hU (r, t)U ∗ (r, t)i 4 4 2

Intenzita kvazimonochromatického světla: I(r, t) = hU (r, t)U ∗ (r, t)i = |U (r, t)|2 41


B. Vlnová optika



Vlnové klubko

42


B. Vlnová optika



*Vlnové klubko ∆ω ≪ ω

U (z, t) = kde A(z, t) =

Z Z

ω+∆ω

˜ (ω)ei(ωt−kz) dω = A(z, t) ei(ωt−kz) , U

ω−∆ω ω+∆ω

dk z] ˜ (ω)ei(ω−ω)[t− dω dω U

ω−∆ω

ω – fázová rychlost k dω roviny konstantní amplitudy se šíří rychlostí: vg = – grupová dk rychlost roviny konstantní fáze se šíří rychlostí: v =

43

k−k dk = dω ω−ω


B. Vlnová optika


Interference, interferometry Koherenční vlastnosti světla Difrakce, Fourierova optika

Interference – úvod interference je založena na principu superpozice (linearita vlnové rovnice) – vlnové funkce lze sčítat podle vzájemné fáze vln dochází ke konstruktivní nebo destruktivní interferenci

44


B. Vlnová optika



Interference dvou monochromatických vln téže frekvence Interferující komplexní amplitudy: U1 = kde I1 , I2 jsou intenzity a ϕ1 , ϕ2 fáze

√

I1 eiϕ1 , U2 =

√ iϕ I2 e 2 ,

výsledná vlna: U (r) = U1 (r) + U2 (r) Intenzita: I = |U |2 = |U1 +U2 |2 = (U1 +U2 ) (U1 +U2 )∗= |U1 |2 +|U2 |2 +U1 U2∗ +U1∗ U2 p I = I1 + I2 + 2 I1 I2 cos ∆ϕ,

kde ∆ϕ = ϕ2 − ϕ1 je rozdíl fází.

45


B. Vlnová optika



Interference dvou monochromatických vln téže frekvence Interferující komplexní amplitudy: U1 = kde I1 , I2 jsou intenzity a ϕ1 , ϕ2 fáze

√

I1 eiϕ1 , U2 =

√ iϕ I2 e 2 ,

výsledná vlna: U (r) = U1 (r) + U2 (r) Intenzita: I = |U |2 = |U1 +U2 |2 = (U1 +U2 ) (U1 +U2 )∗= |U1 |2 +|U2 |2 +U1 U2∗ +U1∗ U2 p I = I1 + I2 + 2 I1 I2 cos ∆ϕ,

kde ∆ϕ = ϕ2 − ϕ1 je rozdíl fází.

45


B. Vlnová optika



Interference dvou monochromatických vln Interference dvou monochromatických vln téže frekvence p I = I1 + I2 + 2 I1 I2 cos ∆ϕ, kde ∆ϕ = ϕ2 − ϕ1 =

2π ∆(nd) λ

Interferenční maximum Imax = ∆ϕ = m · 2π,

√

I1 +

√ 2 I2 pro

opt. draha = m λ. √ √ 2 Interferenční minimum Imin = I1 − I2 pro

opt. draha = (2m + 1) λ2 . √ 2 I1 I2 Imax − Imin = kontrast, viditelnost: V = Imax + Imin I1 + I2 ∆ϕ = (2m + 1) π,

46


B. Vlnová optika



Interference dvou rovinných vln x

x

k2 θ z

k1

p p θ θ U1 = I0 e−ik1 r = I0 e−i[xk sin 2 +zk cos 2 ] p p θ θ U2 = I0 e−ik2 r = I0 e−i[−xk sin 2 +zk cos 2 ]

I = 2I0 [1 + cos ∆ϕ] , ∆ϕ = 2 k x sin 47

θ 2

– vznik holografické mřížky – laserová anemometrie – optická expozice periodických struktur


B. Vlnová optika



Interference dvou rovinných vln x

x

k2 θ z

k1

p p θ θ U1 = I0 e−ik1 r = I0 e−i[xk sin 2 +zk cos 2 ] p p θ θ U2 = I0 e−ik2 r = I0 e−i[−xk sin 2 +zk cos 2 ]

I = 2I0 [1 + cos ∆ϕ] , ∆ϕ = 2 k x sin 47

θ 2

– vznik holografické mřížky – laserová anemometrie – optická expozice periodických struktur


B. Vlnová optika



Interference dvou sférických vln – Youngův pokus

48


B. Vlnová optika



Interference dvou sférických vln – Youngův pokus x

x x z

a θ

d

parabolická aproximace sférické vlny (pro x, y ≪ d) r 2 x ± a2 + y 2 a 2 2 2 +y ≈d+ d + x± 2 2d a λ a θ= , ∆x = ∆ϕ = k x, d d θ 49


B. Vlnová optika



Michelsonův interferometr

měření posunutí testování kvality zrcadel, lámavých ploch – Twyman-Green FTIR spektrometry (Fourierovy spektrometry)

50


B. Vlnová optika



Mach-Zehnderův interferometr

měření změn indexu lomu modulátory v integrované optice

51


B. Vlnová optika



Sagnacův interferometr

laserové interferenční gyroskopy

52


B. Vlnová optika



Interference na tenké vrstvě rozdíl optických drah n2 (AB + BC) − n1 AD = 2 n2 d cos θ2 ± θ1 A d

θ2

D

n1 C n2

λ 2

interferenční maximum: 2n2 d cos θ2 = (2m + 1)

λ 2

B n3 – nezahrnuje mnohonásobné odrazy, jen pro neabsorbující materiály – exaktní popis pomocí maticových metod – využití v tenkovrstevných filtrech 53


B. Vlnová optika



Newtonova skla

R

R

d ρ maximum v reflexi: λ 2d = (2m + 1) , 2 54

d=


ρ2 , 2R

R=

B. Vlnová optika

ρ2m+n − ρ2n λm



Holografie

55


B. Vlnová optika



Vícesvazková interference – mřížka Interference M monochromatických vln stejné ampli√ tudy I0 vzájemně fázově posunutých o ϕ. Komplexní amplitudy interferujících vln: p Um = I0 ei(m−1)ϕ , m = 1, 2, · · · , M

označme h = eiϕ U

p = U1 + U2 + · · · + UM = I0 1 + h + h2 + · · · + hM −1 = p hM − 1 p 1 − eiM ϕ I0 = = I0 . h−1 1 − eiϕ

Intenzita: I = |U |2 56


B. Vlnová optika



Vícesvazková interference – mřížka Interference M monochromatických vln stejné ampli√ tudy I0 vzájemně fázově posunutých o ϕ. Komplexní amplitudy interferujících vln: p Um = I0 ei(m−1)ϕ , m = 1, 2, · · · , M

označme h = eiϕ U

p = U1 + U2 + · · · + UM = I0 1 + h + h2 + · · · + hM −1 = p hM − 1 p 1 − eiM ϕ I0 = = I0 . h−1 1 − eiϕ

Intenzita: I = |U |2 56


B. Vlnová optika



Vícesvazková interference – mřížka

Interference M vln stejné amplitudy – mřížka Intenzita: 2 Mϕ 1 − eiM ϕ 2 2 = I0 sin 2 . I = |U | = I0 1 − eiϕ sin2 ϕ2

použití ve spektrálních přístrojích – mřížka pro vysoké M .

57


B. Vlnová optika



Spektrální mřížka Fáze ϕ jako funkce úhlu θ: ϕ=

2π a sin θ = 2π m λ

Interferenční maximum: a θ

sin θ =

Využití ve spektrálních přístrojích:

58


λ m a

B. Vlnová optika



Vícesvazková interference – Fabry-Perotův interferometr Interference nekonečného počtu monochromatických vln s klesající amplitudou a konstantním fázovým rozdílem ϕ. Komplexní amplitudy interferujících vln: p Um = I0 hm−1 , m = 1, 2, · · · , ∞, d where h = r eiϕ √ √ p I0 I0 2 U = U1 +U2 +· · · = I0 1 + h + h + · · · = = . 1−h 1 − r eiϕ Intenzita:

I = |U |2 = 59

I0 |1 −

r eiϕ |2


=

Imax 1 + G sin2

B. Vlnová optika

ϕ 2



Vícesvazková interference – Fabry-Perotův interferometr Interference nekonečného počtu monochromatických vln s klesající amplitudou a konstantním fázovým rozdílem ϕ. Komplexní amplitudy interferujících vln: p Um = I0 hm−1 , m = 1, 2, · · · , ∞, d where h = r eiϕ √ √ p I0 I0 2 = . U = U1 +U2 +· · · = I0 1 + h + h + · · · = 1−h 1 − r eiϕ

Intenzita:

I = |U |2 = 59

I0 |1 −

r eiϕ |2


=

Imax 1 + G sin2

B. Vlnová optika

ϕ 2



Vícesvazková interference – Fabry-Perotův interferometr

d

Interference nekonečného počtu vln – Fabry-Perotův interferometr Intenzita: I = |U |2 = kde Imax 60

Imax 1 + G sin2

ϕ 2

I0 4r = , G= 2 (1 − r) (1 − r)2 K. Postava: Fyzika III – Optika

=

1+

Imax 2F 2 sin2 ϕ2 π

√ √ π G π r F= = 2 1−r B. Vlnová optika

,



Využití Fabry-Perotova interferometru: použití ve spektrálních přístrojích vysokého rozlišení – Fabry-Perotův interferometr úzkopásmových interferenčních filtrech – Fabry-Perotův filtr rezonátorech laserů – Fabry-Perotův rezonátor 1 c Šířka spektrální čáry: ∆ν = , kde F je finese (jemnost) F 2nd filtru

d

61


B. Vlnová optika



Interference monochromatických vln různých frekvencí komplexní vlnová funkce U = Intenzita:

p

I1 e−i2πν1 t +

p

I2 e−i2πν2 t

p I(t) = I1 + I2 + 2 I1 I2 cos 2π(ν2 − ν1 )t

– light beating

Interference N monochromatických vln – generace laserových pulsů mezimodovou interferencí

62


B. Vlnová optika



Koherenční vlastnosti světla – korelace vzájemná korelace (nekorelace) náhodných fluktuací amplitudy a fáze v různých bodech zdroje (nebo v různých časech)

ideální korelace

63


částečná korelace

B. Vlnová optika


64



B. Vlnová optika



Koherenční vlastnosti světla – vliv dekorelací interference má snížený kontrast, nebo je zcela potlačena

65


B. Vlnová optika



Koherenční vlastnosti světla komplexní vlnová funkce interferujících vln U (r, t) = K1 U (r1 , t − t1 ) + K2 U (r2 , t − t2 ), kde K1 , K2 jsou přenosové faktory (propagátory, ryze imaginární), τ = t2 − t1 , kde t1 = s1 /c, t2 = s2 /c.

Intenzita

I(r) = hI(r, t)i = |K1 |2 I(r1 )+|K2 |2 I(r2 )+2|K1 K2 | ℜ{Γ(r1 , r2 , τ )}, kde Γ(r1 , r2 , τ ) = Γ12 (τ ) = hU ∗ ((r1 , t + τ ) U ((r2 , t)i je funkce vzájemné koherence Z T 1 · · · dt. < · · · >= lim T →∞ 2T −T 66


B. Vlnová optika



Koherenční vlastnosti světla komplexní vlnová funkce interferujících vln U (r, t) = K1 U (r1 , t − t1 ) + K2 U (r2 , t − t2 ), kde K1 , K2 jsou přenosové faktory (propagátory, ryze imaginární), τ = t2 − t1 , kde t1 = s1 /c, t2 = s2 /c. Intenzita

I(r) = hI(r, t)i = |K1 |2 I(r1 )+|K2 |2 I(r2 )+2|K1 K2 | ℜ{Γ(r1 , r2 , τ )}, kde Γ(r1 , r2 , τ ) = Γ12 (τ ) = hU ∗ ((r1 , t + τ ) U ((r2 , t)i je funkce vzájemné koherence Z T 1 · · · dt. < · · · >= lim T →∞ 2T −T 66


B. Vlnová optika



Funkce vzájemné koherence Funkce vzájemné koherence: Γ(r1 , r2 , τ ) = Γ12 (τ ) = hU ∗ (r1 , t + τ ) U (r2 , t)i speciálně Γ12 (0) je vzájemná intenzita a I(ri ) = Ii = Γ(ri , ri , 0) jsou střední intenzity v bodech ri . komplexní stupeň vzájemné koherence Γ(r1 , r2 , τ ) γ12 (τ ) = γ(r1 , r2 , τ ) = p I(r1 ) I(r2 )

67


B. Vlnová optika



Funkce vzájemné koherence Funkce vzájemné koherence: Γ(r1 , r2 , τ ) = Γ12 (τ ) = hU ∗ (r1 , t + τ ) U (r2 , t)i speciálně Γ12 (0) je vzájemná intenzita a I(ri ) = Ii = Γ(ri , ri , 0) jsou střední intenzity v bodech ri . komplexní stupeň vzájemné koherence Γ(r1 , r2 , τ ) γ12 (τ ) = γ(r1 , r2 , τ ) = p I(r1 ) I(r2 )

67


B. Vlnová optika



Interference častečně koherentních vln Wolfův interferenční zákon I(r) = I

(1)

(r) + I

kde ϕ = arg{γ12 (τ )}.

(2)

q (r) + 2 I (1) (r) I (2) (r) |γ12 (τ )| cos ϕ,

Jestliže I (1) = I (2) , pak kontrast interference V = |γ12 (τ )|

Komplexní stupeň vzájemné koherence 0 ≤ |γ12 (τ )| ≤ 1: 1

2 3

68

γ12 (τ ) = eiϕ , |γ12 (τ )| = 1 – koherentní světlo p I = I (1) + I (2) + 2 I (1) I (2) cos ϕ

|γ12 (τ )| = 0 – nekoherentní (chaotické) světlo I = I (1) + I (2) 0 < |γ12 (τ )| < 1 – částečně koherentní světlo K. Postava: Fyzika III – Optika

B. Vlnová optika



Interference častečně koherentních vln Wolfův interferenční zákon I(r) = I

(1)

(r) + I

kde ϕ = arg{γ12 (τ )}.

(2)

q (r) + 2 I (1) (r) I (2) (r) |γ12 (τ )| cos ϕ,

Jestliže I (1) = I (2) , pak kontrast interference V = |γ12 (τ )|

Komplexní stupeň vzájemné koherence 0 ≤ |γ12 (τ )| ≤ 1: 1

2 3

68

γ12 (τ ) = eiϕ , |γ12 (τ )| = 1 – koherentní světlo p I = I (1) + I (2) + 2 I (1) I (2) cos ϕ

|γ12 (τ )| = 0 – nekoherentní (chaotické) světlo I = I (1) + I (2) 0 < |γ12 (τ )| < 1 – částečně koherentní světlo K. Postava: Fyzika III – Optika

B. Vlnová optika



Časová a prostorová koherence pro r1 = r2 : Γ(τ ) Časová koherence

koherenční čas τc – pro τ ≪ τc vlnění je dostatečně korelováno – dochází k interferenci – pro τ ≫ τc vlnění není dostatečně korelováno – nedochází k interferenci koherenční délka lc = c τc 69


B. Vlnová optika



Časová a prostorová koherence Prostorová koherence

70


B. Vlnová optika



Vlastnosti funkce vzájemné koherence Γ(r1, r2, τ ) zobecnění intenzity: I(ri ) = Ii = Γ(ri , ri , 0) Fourierův rozklad – Wienerova-Chichinova věta Γ12 (τ ) =

Z

∞

G12 (ν) e

i2πντ

dν,

G12 (ν) =

0

Z

−∞

G12 (ν) je vzájemná spektrální hustota – vyhovuje Helmholtzově rovnici stupeň koherence souvisí se spektrem zdroje 1 šířka spektrální čáry: ∆ν ≈ . τc

71


∞

B. Vlnová optika

Γ12 (τ ) e−i2πντ dτ



Vlastnosti funkce vzájemné koherence Γ(r1, r2, τ ) zobecnění intenzity: I(ri ) = Ii = Γ(ri , ri , 0) Fourierův rozklad – Wienerova-Chichinova věta Γ12 (τ ) =

Z

∞

G12 (ν) e

i2πντ

dν,

G12 (ν) =

0

Z

−∞

G12 (ν) je vzájemná spektrální hustota – vyhovuje Helmholtzově rovnici stupeň koherence souvisí se spektrem zdroje 1 šířka spektrální čáry: ∆ν ≈ . τc

71


∞

B. Vlnová optika

Γ12 (τ ) e−i2πντ dτ



Souvislost koherence a šířky spektra

72


B. Vlnová optika



Koherence typických světelných zdrojů

∆ν(Hz)

τc = 1/∆ν

lc = c τc

Sluneční světlo λ0 = 400 − 800 nm

3, 75 · 1014

2,7 fs

800 nm

LED

1, 5 · 1013

67 fs

20 µm

Nízkotlaká sodíková výbojka

5 · 1011

2 ps

600 µm

Vícemodový He-Ne laser λ0 = 632, 8 nm

1, 5 · 109

0,7 ns

20 cm

1 · 106

1 µs

300 m

λ0 = 1 µm, ∆λ = 50 nm

Jednomodový He-Ne laser

73


B. Vlnová optika



Vlastnosti funkce vzájemné koherence Γ(r1, r2, τ ) vyhovuje vlnové rovnici: ∆Γ12 (τ ) −

1 ∂Γ12 (τ ) =0 c2 ∂τ 2

koherenční vlastnosti se mění během šíření – dochází ke zlepšování koherence využití k měření průměru hvězd – hvězdný interfereometr

74


B. Vlnová optika



Difrakce Difrakce (ohyb) jev, při něnž se světlo odchyluje od přímočarého šíření jinak než lomem nebo odrazem je vlnový jev, souvisí stejně jako interference s principem superpozice, je popsán vlnovou (Helmholtzovou) rovnicí spojitá superpozice v okolí překážky

75


B. Vlnová optika



Skalární teorie difrakce Helmholtzova rovnice:

∇2 U (r) + k2 U (r) = 0

využití Greenovy integrální věty: ZZZ

V

(U ∇2 G−G ∇2 U ) dV =

ZZZ

V

ZZ ∇(U ∇G−G ∇U ) dV = (U ∇G−G ∇U ) dS, S

kde U, G jsou komplexní funkce a plocha S obepíná objem V . n

Volba Greenovy funkce: 1 G(r) = e−ikr , r kde r je vzdálenost od P.

r V

G(r) vyhovuje Helmholtzově rovnici ∇2 G(r) + k2 G(r) = 0. 76


B. Vlnová optika

P

ǫ Sǫ

S



Skalární teorie difrakce Chceme odvodit vztah pro výpočet U (P), známe-li U a ∂U ∂n na ploše S. gradienty lze převést na derivaci podle n vnější normály: ∂U ∂U dS cos(r, n) = dS. ∂r ∂n

r

Plocha obepínající objem V : S + Sǫ

ǫ

∇U · dS =

V S

Sǫ 1 e−ikr 1 −ikr = cos(n, r) −ik − e r r r RR Pro ǫ → 0 a Sǫ dS = 4πǫ2 ZZ ∂U e−ikr ∂U 1 −ikǫ − U (1 + ikǫ) − ǫ U ik + dS = 4π e r ∂n r ∂n Sǫ ∂ ∂n

77

P


B. Vlnová optika



Skalární teorie difrakce Chceme odvodit vztah pro výpočet U (P), známe-li U a ∂U ∂n na ploše S. gradienty lze převést na derivaci podle n vnější normály: ∂U ∂U dS cos(r, n) = dS. ∂r ∂n

r

Plocha obepínající objem V : S + Sǫ

ǫ

∇U · dS =

V S

Sǫ 1 e−ikr 1 −ikr = cos(n, r) −ik − e r r r RR Pro ǫ → 0 a Sǫ dS = 4πǫ2 ZZ ∂U e−ikr ∂U 1 −ikǫ − U (1 + ikǫ) − ǫ dS = 4π e U ik + r ∂n r ∂n Sǫ ∂ ∂n

77

P


B. Vlnová optika



Skalární teorie difrakce Helmholtzův-Kirchhoffův integrální vzorec: ZZ 1 e−ikr ∂U ∂ e−ikr U (P) = −U dS. 4π r ∂n ∂n r S Volba plochy S = A + B + C:

A – otvor ve stínítku osvětleného B rovinnou vlnou U (Q), ∂U ∂n = ik U (Q) jen málo se liší od hodnot, kdyby tam A stínítko B nebylo n Q B – neprůsvitná část stínítka

C – část kulové plochy (R → ∞) ∂U =0 U = 0, ∂n 78


B. Vlnová optika

C

r

P



Huygens-Fresnelův princip Fresnel-Kirchhoffův difrakční vzorec (pro r ≫ λ): i U (P) = 2λ

ZZ

U (Q) A

e−ikr [cos(n, r) − 1] dS r

Huygens-Fresnelův princip – rozšíření Huygensova principu o princip superpozice Každý bod vlnoplochy v libovolném okamžiku se stává zdrojem elementární sférické vlny. Vlnění v libovolném bodě prostoru je určeno superpozicí těchto elementárních vln.

79


B. Vlnová optika



Komplexní amplituda difragované vlny x

Pro r ≫ rozměry A:

r = r0 ,

P(x,y,z)

r

cos(n, r) = cos ϕ

fázový člen e−ikr je výrazně citlivý na malé změny r

r0 ϕ y

Komplexní amplituda difragované vlny ZZ ∞ t(ξ, η) e−ikr dξ dη, U (x, y) = C −∞

kde t(ξ, η) je pupilová (aperturní) funkce a r je funkcí ξ, η r 2 = (x − ξ)2 + (y − η)2 + z 2 , 80


r02 = x2 + y 2 + z 2 .

B. Vlnová optika

z



Komplexní amplituda difragované vlny dopadá-li na stínitko rovinná vlna: ZZ ∞ t(ζ, η) e−ik f (ζ,η) dζdη, U (P ) = U (x, y) = C −∞

kde t(ζ, η) je pupilová funkce a Fraunhoferova

z

}| { ζx + ηy ζ 2 + η 2 f (ζ, η) = − −··· + r0 2r0 | {z } Fresnelova aproximace

aproximace rovinných vln – Fraunhoferova difrakce aproximace parabolických vln – Fresnelova difrakce 81


B. Vlnová optika



Komplexní amplituda difragované vlny Fraunhoferova difrakce

Fraunhoferova aproximace difrakčního integrálu U (x, y) = C

ZZ

∞

“ ” y i 2π ζ x +η λ r λ r 0 0 t(ζ, η) e dζdη

=

−∞ x y = CT , . λ r0 λ r0

T – Fourierova transformace pupilové funkce Realizace Fraunhoferovy difrakce: v dalekém poli – Fresnelovo číslo NF = maximální příčný rozměr stínítka

b2 λ r0

spojnou čočkou v ohnisku 82


B. Vlnová optika

≪ 1, kde b je



Komplexní amplituda difragované vlny Fresnelova difrakce

Fresnelova aproximace difrakčního integrálu ZZ ∞ π 2 2 t(ζ, η) e−i λ d [(ζ−x) +(η−y) ] dζdη U (x, y) = C1 −∞

Fresnelova difrakce: využití, kde přestává platit Franhoferova aproximace (difrakce na hraně) má historický význam, dnes numerický výpočet difrakčního integrálu

83


B. Vlnová optika



Fraunhoferova difrakce na štěrbině, obdélníkovém otvoru Obdélníkový otvor o rozměrech Dx , Dy Pupilová funkce ( 1 |ζ| < Dx /2, |η| < Dy /2 t(ζ, η) = 0 jinde Intenzita: I(x, y) = I0 sinc

2

Dx x λd

sinc

2

Dy y λd

,

sin πx . πx maxima funkce sinc: 1; 0.047; 0.017 kde

84

sinc x =


B. Vlnová optika



Fraunhoferova difrakce na štěrbině

85


B. Vlnová optika



Fresnelova difrakce na štěrbině

86


B. Vlnová optika



Fresnelova difrakce na Gausovské apertuře

87


B. Vlnová optika



Fraunhoferova difrakce na kruhovém otvoru Pupilová funkce: t(ζ, η) =

(

1 0

p r = ζ 2 + η 2 < D/2, jinde

převod do polárních souřadnic: v rovině pupily ζ = w cos ϕ, η = w sin ϕ v rovině stínítka x = ρ cos ψ, y = ρ sin ψ

88


B. Vlnová optika



Fraunhoferova difrakce na kruhovém otvoru Pupilová funkce: t(ζ, η) =

(

1 0

p r = ζ 2 + η 2 < D/2, jinde

převod do polárních souřadnic: v rovině pupily ζ = w cos ϕ, η = w sin ϕ v rovině stínítka x = ρ cos ψ, y = ρ sin ψ

88


B. Vlnová optika



Fraunhoferova difrakce na kruhovém otvoru

U (x, y) = C

ZZ

∞

−∞

“ ” y i 2π ζ x +η λ r λ r 0 0 t(ζ, η) e dζ

dη

po převodu do polárních souřadnic a využitím dζ dη = w dw dϕ

U (ρ, ψ) = C

Z

0

= 2πC

D/2 Z 2π

Z

0 D/2

0

89


wρ

ei 2π λd cos(ϕ−ψ) w dw dρ =

w ρ dw. w J0 2π λd

B. Vlnová optika



Fraunhoferova difrakce na kruhovém otvoru

U (x, y) = C

ZZ

∞

−∞

“ ” y i 2π ζ x +η λ r λ r 0 0 t(ζ, η) e dζ

dη

po převodu do polárních souřadnic a využitím dζ dη = w dw dϕ

U (ρ, ψ) = C

Z

0

= 2πC

D/2 Z 2π

Z

0 D/2

0

89


wρ

ei 2π λd cos(ϕ−ψ) w dw dρ =

w ρ dw. w J0 2π λd

B. Vlnová optika



Besselovy funkce Besselova funkce n-tého řádu Jn (x) (řešení Besselovy rovnice): Jn (x) =

i−n 2π

Z

2π

ei(x cos α + n α) dα

0

d n [x Jn (x)] = xn Jn−1 (x) dx Z x ζ n Jn−1 (ζ) dζ = xn Jn (x) 0

speciálně Z x ζ J0 (ζ) dζ = x J1 (x) 0

90


B. Vlnová optika



Fraunhoferova difrakce na kruhovém otvoru Po integraci a úpravě: U (ρ) =

D2

πC 4

2 J1

πDρ λd πDρ λd

Fraunhoferova difrakce na kruhovém otvoru 2  2 J1 πDρ λd  . I(ρ) = |U (ρ)|2 = I0  πDρ λd

Funkce

h

2J1 (τ ) τ

i2

má první minimum pro τ = 3.832.

Centrální maximum se nazýva Airyho disk, jeho poloměr je ρs = 1.22 91


λd D

B. Vlnová optika



Srovnání difrakce na štěrbině a kruhovém otvoru štěrbina x 1. 1. 2. 2. 3.

92

minimum vedlejší max minimum vedlejší max vedlejší max

π 1.430π 2π 2.459π 3.470π

sin x 2 x

0 0.0472 0 0.0167 0.0083


kruhový otvor 2J1 x 2 x x

3.832 = 1.22π 1.635π 2.233π 2.679π 3.699π

B. Vlnová optika

0 0.0175 0 0.0042 0.0016



Rozlišovací schopnost difrakce na objektivu (dalekohledu, mikroskopu, kamery, oka) omezuje spolu s aberacemi rozlišení přístroje Rayleigho kritérium: dva body jsou rozlišeny, jestliže maximum Airyho disku prvního bodu spadá alespoň do minima difrakčního obrazce druhého bodu

93


B. Vlnová optika



Rozlišovací schopnost přístrojů objektiv dalekohledu D

dalekohled, objektiv kamery, pupila oka o průměru D θ = 1.22

θ θ

λ D

f′ objektiv mikroskopu n′ n σ′ y σ

mikroskopu s objektivem o numerické apertuře An = n sin σ y=

θ

0.61 λ , An

a′

′ ′ ′ Bylo využito sinovy podmínky: y n | sin {z σ} = y n sin σ An

94


B. Vlnová optika



Vliv difrakce a aberací na optické zobrazení Zobrazení bodu oční čočkou v závislosti na průměru zornice

Průměr zornice oka se adaptací mění v rozsahu 2 – 8 mm. 95


B. Vlnová optika



Babinetův princip vychází z linearity Helmholtzovy rovnice Jsou-li U1 a U2 komplexní amplitudy difrakčních obrazců od komplementárních stínítek, pak U = U1 + U2 je komplexní amplituda pole bez přítomnosti stínítek.

96


B. Vlnová optika



Fresnelova difrakce na hraně

97


B. Vlnová optika



Fourierova optika časová oblast – frekvenční spektrum

prostorová oblast – spektrum prostorových frekvencí (úhlů)

98


B. Vlnová optika



Fourierova optika Optická Fourierova transformace a filtrace 4f soustavou

– využití pro zlepšení kvality svazků prostorovou filtrací

99


B. Vlnová optika

Fyzika III Optika. B. Skalární vlnová optika. Kamil Postava. Institut fyziky, VŠB Technická univerzita Ostrava (A931,tel

Recommend Documents