A
Fuzzy rendszerek, számítási intelligencia gyakorló feladatok megoldása
Fuzzy halmazok jellemzői A fuzzy halmaz tartója az alaphalmaz azon elemeket tartalmazó részhalmaza, melyek tagsági értéke 0-nál nagyobb. A fuzzy halmaz magja az alaphalmaz azon elemeket tartalmazó részhalmaza, melyek tagsági értéke egy. A fuzzy halmaz magassága a tagsági függvényének supremuma. A fuzzy halmaz α− vágata az alaphalmaz azon elemeket tartalmazó részhalmaza, melyek tagsági értéke nagyobb, vagy egyenlő α-val. A fuzzy halmaz szigorú α− vágata az alaphalmaz azon elemeket tartalmazó részhalmaza, melyek tagsági értéke nagyobb α-nál. 1. Tartó Mag Magasság α−vágat szigorú α−vágat
„alacsony” [15\0\;17\0]) [15\0\;16\0] 1 [15\0\;17\01\0α] [15\0\;17\01\0α)
„középtermetű” „magas” ( 0\;19\0]) ( 0\;200] [16\ [18\ (180;200] (160;190) [17\0\;18\0] [19\0\;200] 1 1 [16\0+1\0α;190−10α] [18\0+1\0α;200] (16\0+1\0α;190−10α) (18\0+1\0α;200]
2. supp(A)=[π/2;π]) core(A)=π/2 Aα=[π/2;π−arcsin(α)] Aα+=[π/2;π−arcsin(α)) A0,5=[p/2;2,618] Az A halmaz normális. Az A halmaz konvex.
3. a) A és B halmazok algebrai szorzattal megvalósított metszete: μ A⋅B x =tg x ⋅cos 2 x Tudjuk, hogy sin x tg x = , cos x így sin x μ A⋅B x = ⋅cos 2 x =sin x ⋅cos x . cox x Szintén tudjuk, hogy sin 2x =2sin x cos x , azaz sin 2x sin x cos x = . 2 Így sin 2x μ A⋅B x = . 2 Ez már könnyedén felrajzolható:
b) supp(AB)=[0;π/4] core(AB)= Nincs magja, a függvény subnormális. h(AB)=\0,5 Az α-vágat meghatározásához x-re kell rendeznünk kell rendeznünk az sin 2x α= 2 egyenletet, így megkapható az α-vágat: arcsin 2α ABα=[ ;\0π,5] /4] ,ahol α≤0,5 ! 2 4. Jegyzet 47. o., 45. o. 5. Jegyzet 53. o., 51. o. 6. Jegyzet 57. o., 55. o.
7. FIGYELEM! EBBEN A PÉLDÁBAN A < JELÖLÉS JELENTÉSE NEM A „KISEBB”, HANEM A „RÉSZSOROZATA” (y<x jelentése tehát: y az x részsorozata) A relációt táblázatosan felírva, a nem megadott helyeken a reláció értékét 0-nak véve kapjuk a IV. oszlop értékeit. [R Y ] y=max R x
yx a) Definíció szerint a projekció értéke . Ez egyszerű példán keresztül a következőt jelenti: Az R1,2 projekció értékeit keressük. Határozzuk meg az x1 és x2 értékeinek minden lehetséges kombinációjára az R(x1,x2,x3) reláció maximumát. Az így kapott értékeket a táblázat minden megfelelő sorába beírjuk. A példában x1 és x2 összes kombinációi: a,c a,d b,c és b,d. A reláció a,c-hez tartozó értékei: R(x1,x2,x3)(a,c)={0,7;0} ennek maximuma 0,7, tehát a VIII. oszlop minden sorába, ahol x1=a ÉS x2=c a 0,7-et írjuk. A példa alapján kitölthetők az V-X. oszlopok.
b)A hengeres kiterjesztés definíciója a következő: [ R X−Y ] x =R y , minden x-re, ahol y<x, tehát az adott projekció értékét vesszük azon halmazok elemeinek összes kombinációjára, melyekre azt kiterjesztjük. Egyszerű példával: R1,2 { X 3 } hengeres kiterjesztés értéke az X3=e helyeken megegyezik az R1,2 értékeivel, melyek az X3=e-hez tartoznak. (Mivel a hengeres kiterjesztés a projekció fordított műveletének tekinthető ezek az oszlopok tulajdonképpen a projekciók másolatai.) A példa alapján kitölthetők a XI-XIII. oszlopok. [ P i X −Y i ] x . Gyakorlatilag ez azt jelenti, c) A hengeres lezárt definíciója: cyl {Pi } x=min i∈ I hogy minden sorban vesszük azoknak a hengeres kiterjesztéseknek a minimumát, melyek hengeres lezártját keressük. A példában a cyl {R1,2 , R1,3 , R 2,3 } hengeres lezárt az a,c,e esetben min(0,7;0,7;0,7)=0,7 , b,c,e esetben pedig min(0,5;0,9;0,7)=0,5. Ezzel a módszerrel kitölthető a XIV. oszlop.
A példában kiszámított hengeres lezárt éppen megegyezik az eredeti relációval, de ez nincs minden esetben így. Olyan hengeres lezárt is előállítható, amelyik eltér az eredeti relációtól. I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X
x1
x2
x3
R(x1,x2,x3)
R1
R2
R3
R1,2
R1,3
R2,3
XI
a
c
e
0,7
0,7
0,7
0,9
0,7
0,7
0,7
0,7
R
1,2
X
{ 3}
XII R
1,3
X
{ 2}
0,7
XIII R
2,3
X
{ 1}
XIV cyl R
{
1,2
0,7
0,7
a
c
f
0
0,7
0,7
1
0,7
0
0
0,7
0
0
0
a
d
e
0
0,7
1
0,9
0
0,7
0,9
0
0,7
0,9
0
a
d
f
0
0,7
1
1
0
0
1
0
0
1
0
b
c
e
0,5
1
0,7
0,9
0,5
0,9
0,7
0,5
0,9
0,7
0,5
b
c
f
0
1
0,7
1
0,5
1
0
0,5
1
0
0
b
d
e
0,9
1
1
0,9
1
0,9
0,9
1
0,9
0,9
0,9
b
d
f
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
, . ..
}
8. A feladat megoldása: X1
X2 X3 X4 R(X1,X2,X3,X4)
R1,2
R1,3
R1,4
R2
R1,2,3
a
c
e
g
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
a
c
e
h
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
a
c
f
g
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
R 1,2 {X 3 , X 4 } R 1,3 {X 2 , X 4 } R 1,4 {X 2 , X 3 }
cyl {R 1,2 , R 1,3 , R 1,4 }
a
c
f
h
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
a
d
e
g
0,3
0,3
1
1
0,4
0,3
0,3
1
1
0,3
a
d
e
h
0
0,3
1
0
0,4
0,3
0,3
1
0
0
a
d
f
g
0
0,3
0
1
0,4
0
0,3
0
1
0
a
d
f
h
0
0,3
0
0
0,4
0
0,3
0
0
0
b
c
e
g
0
0,5
0
0,4
1
0
0,5
0
0,4
0
b
c
e
h
0
0,5
0
0,5
1
0
0,5
0
0,5
0
b
c
f
g
0
0,5
0,5
0,4
1
0,5
0,5
0,5
0,4
0,4
b
c
f
h
0,5
0,5
0,5
0,5
1
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
b
d
e
g
0
0,4
0
0,4
0,4
0
0,4
0
0,4
0
b
d
e
h
0
0,4
0
0,5
0,4
0
0,4
0
0,5
0
b
d
f
g
0,4
0,4
0,5
0,4
0,4
0,4
0,4
0,5
0,4
0,4
b
d
f
h
0
0,4
0,5
0,5
0,4
0,4
0,4
0,5
0,5
0,4
9. A feladat megoldása az alábbi ábrán látható. Az illeszkedési értékek kiszámolhatók a háromszög oldalaira, mint egyenesekre felírt egyenletek segítségével, vagy a hasonló háromszögek elve alapján is. A Mamdani irányítási rendszer a Zadeh-féle műveleteket használja, tehát t-normának a minimum, s-normának a maximum operátort. Az egyes szabályok súlyfaktorai tehát w1=min(0,5;0,5)=0,5 és w2=min(0,75;0,5)=0,5 Az egyes szabályok kimenetei a súlyfaktorok segítségével csonkolással állnak elő:
A rendszer fuzzy kimenete a szabályok eredményeinek uniója (s-norma). Zadeh-féle s-normával a közös maximum: A COG defuzzifikáció képlete: Y COG =
s 1∗T 1s 2∗T 2 , T 1T 2
ahol s1 az első trapéz súlypontjának vízszintes koordinátája, s2 a másodiké, T1 az első trapéz területe, T2 pedig a másodiké. s1=3; s2=5; T1=1,5; T2=1,5 YCOG=(3*1,5+5*1,5)/(1,5+1,5)=4 10. A feladat a 8. feladat alapján megoldható, az eredmények: YCOG=3,357
11. Larsen típusú irányítórendszer esetén a t-norma operátora az algebrai szorzat. Így a szabályok illeszkedési értékeinek algebrai szorzatát alkalmazva kapjuk az egyes szabályokra vonatkozó súlyokat. w1,1*w1,2=0,9*0,2=0,18 és w2,1*w2,2=0,2*0,3=0,06 Ezekkel a súlyokkal nem csonkoljuk, hanem zsugorítjuk (ez is szorzás!) a szabályok konzekvens függvényét. (A COG defuzzifikáció nem változik.)
12.
13. Az illeszkedési mértékek meghatározása azonos az eddigiekkel.
Az egyes szabályok súlyfaktorait az algebrai szorzat operátorral számoljuk: w1=0,2*0,7=0,14 w2=0,4*0,6=0,24 Az egyes szabályok konzekvensei a megadott egyenletekkel számolhatók: y1=2+3x1+7x2=2+3*1,8+7*1,4=17,2 y2=1+5x1+3x2=1+5*1,8+3*1,4=14,2 A defuzzifikáció számítása Takagi-Sugeno esetben: ω ⋅y ω 2⋅y 2 Y= 1 1 ω 1ω 2 A számítást elvégezve kapjuk a crisp eredményt: Y=15,305 14. Y=15,2689
