BAB II STATISTIK MAXWELL-BOLTZMAN

BAB II STATISTIK MAXWELL-BOLTZMAN

A. Kapasitas Panas Jenis Zat Padat. Pada zat padat yang berbentuk kristal, atom-atom atau molekul-molekul pembangunnya tersusun secara teratur. Atom-atom atau molekulnya terikat satu sama lain melalui gaya interaksi antar molekul, sehingga pada suhu yang bukan nol Kelvin, terjadi gerakan-gerakan yang bebas. Albert Einsteint mengajukan model sederhana, dengan menganggap gerakan masing-masing molekul tadi bebas satu sama lain dan berupa ayunan harmonik tiga dimensi. Dengan menggunakan model yang sangat sederhana ini, dan dengan menggunakan mekanika statistik, maka energi satu molekul dapat ditentukan dengan menggunakan fungsi Hamilton, yaitu : 𝜀 = 𝐸𝑘 + 𝐸𝑝 1

𝑝

𝐸𝑘 = 2 𝑚𝑣 2 , dimana 𝑝 = 𝑚𝑣 dan 𝑣 = 𝑚 1

𝐸𝑘 = 2 𝑚𝑣𝑣 1

𝐸𝑘 = 2 𝑝𝑣 1

𝑝

𝐸𝑘 = 2 𝑝 𝑚 𝐸𝑘 = 𝐸𝑘 = 𝜀=

1 𝑝2 2𝑚 𝑝2 𝑚

1

(Energi kinetik) dan 𝐸𝑝 = 2 𝑘𝑥 2 (Energi potensial)

𝑃𝑥2 +𝑃𝑦2 +𝑃𝑧2 2𝑚

1

+ 2 𝑘(𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 )

(1)

Jika azas bagi rata energi (azas ekuipartisi energi), diterapkan dalam masalah ini, maka pada suhu yang cukup tinggi, energi rata-rata akibat gerakan molekul ini adalah : 6×

𝑘𝑇 2

= 3𝑘𝑇

(2)

karena molekul mengalami gerakan poliatomik (3 translasi, 2 rotasi, dan 1 vibrasi). Jadi, kalau diukur kapasitas panas jenis zat padat, maka akan diperoleh nilai 3 Nk atau 3R, dan hasil ini ternyata cocok untuk sebagian besar zat padat, yang dikenal dengan hukum Dulog dan Petit. Hasil eksperimen menunjukan, bahwa untuk suhu-suhu rendah, ternyata kapsitas panas jenis zat padat, tidak lagi sama dengan 3 Nk atau 3R, tetapi berharga lebih kecil, bahkan nilainya mendekati nol, ketika suhunya mendekati nol Kelvin. 1

Hal tersebut dapat dipahami dengan menggunakan mekanika kuantum dalam membahas status-status energi ayunan harmonik, jika pada ayunan harmonik diberlakukan mekanika kuantum, maka status energinya ditentukan oleh suatu bilangan kuantum n, yanh gerharga 0, 1, 2, 3, 4, 5, ....., sedangkan tingkatan energinya adalah : 1

𝜀𝑛 = ℎ𝑣(𝑛 + 2)

spin bilangan kuantum menurut mekanika kuantum,

(3)

sedangkan menurut mekanika klasik 𝐸 = ℎ𝑣 Energi rata-rata untuk gerak osilasi ini, diperoleh dari fungsi sebaran energi MaxwellBoltzman, yaitu : 𝑛 𝜀𝑛

𝜀 =

𝑛

𝑛

𝑘𝑇

(4)

𝜀 exp ⁡(− 𝑛 ) 𝑘𝑇

𝑛 𝜀𝑛

𝜀 =

𝜀 exp ⁡(− 𝑛 )

𝜀 (− 𝑛 ) 𝑘𝑇 ⁡ 𝜀𝑛 (− ) 𝑘𝑇

e

e

Kita misalkan : 1

ℎ𝑣

𝑍=

𝑛

exp⁡ [− 𝑛 + 2

𝑍=

𝑛

exp⁡ [− 𝑘𝑇 𝑛 + 2 ℎ𝑣]

1

1

] , dimana 𝜀𝑛 = ℎ𝑣(𝑛 + 2) 𝑘𝑇 1

1

Jika kita tuliskan 𝛽 = − 𝑘𝑇 , maka diperoleh : 𝑍=

𝑛

exp⁡ (𝛽 𝜀𝑛 )

𝑍=

𝑛

e(𝛽𝜀 𝑛 )

Jika di differensialkan Z terhadap β, maka : 𝑑𝑧 𝑑𝛽 𝑑𝑧 𝑑𝛽

=

𝑑 𝑛 𝑑𝛽

(e𝛽𝜀 𝑛 )

=

𝑛 𝜀𝑛

e−𝜀 𝑛

Maka energi rata-rata osilator adalah : 1 𝑑𝑧

𝜀 = 𝑧 𝑑𝛽 𝑑

𝜀 = 𝑑𝛽 𝑙𝑛𝑧 𝜀 =

𝑑 𝑙𝑛 𝑍

(5)

𝑑𝛽

Persamaan diatas menginformasikan pada kita bahwa untuk mencari energi rata rata osilator, kita dapat memulai dengan mencari Z seperti yang didefinisikan dalam persaman 𝑍 = 𝑍=

𝑛

e(𝛽𝜀 𝑛 )

𝑛

e(𝛽𝜀 𝑛 ) . Sekarang mari kita mencari Z tersebut. 1

𝜀𝑛 = ℎ𝑣(𝑛 + 2 )

2

1

𝑍=

e𝛽 (ℎ𝑣(𝑛 +2))

𝑛

𝛽 ℎ𝑣 2

𝑍=e

e𝑛𝛽 ℎ𝑣

𝑛

Di mana : 1

𝑍=

exp⁡ [− 𝑛 + 2

𝑛

ℎ𝑣 𝑘𝑇

]

(6) ℎ𝑣

Jika diminsalkan 𝑥 = exp⁡ (− 𝑘𝑡 ), maka Z menjadi jumlah deret ukur yang nilainya : 𝑥 1/2 1 + 𝑥 + 𝑥 2 + … =

𝑥 1/2

(7)

1−𝑥

Dengan membandingkan persamaan 𝑍 = e

𝛽 ℎ𝑣 2

𝑛

e𝑛𝛽 ℎ𝑣 dengan persamaan (7)

kita identifikasikan bahwa x pada persamaan (7) ekivalen dengan e𝛽ℎ𝑣 pada persamaan 𝛽 ℎ𝑣 2

𝑍=e

e𝑛𝛽 ℎ𝑣 . Dengan demikian kita dapat menulis,

𝑛

𝛽 ℎ𝑣 2

1

𝑍=e

1−e 𝛽 ℎ 𝑣

Selanjutnya kita dapat memperoleh persamaan-persamaan berikut ini, 𝑙𝑛𝑍 = 𝑑 𝑑𝛽

𝛽ℎ𝑣 2

− ln⁡ (1 − e𝛽ℎ𝑣 )

𝑙𝑛𝑍 =

ℎ𝑣

=

ℎ𝑣

2

2

1

− (1−e 𝛽 ℎ 𝑣 ) 𝑥(−ℎ𝑣e𝛽ℎ𝑣 ) ℎ𝑣e 𝛽 ℎ 𝑣

+ 1−e 𝛽 ℎ 𝑣

Dengan demikian energi rata-rata osilator menjadi, 𝑑

𝜀 = 𝑑𝛽 𝑙𝑛𝑍 𝜀 =

ℎ𝑣

𝜀 =

ℎ𝑣

𝜀 =

ℎ𝑣

2 2 2

ℎ𝑣e 𝛽 ℎ 𝑣

+ 1−e 𝛽 ℎ 𝑣 ℎ𝑣

1

+ e −𝛽 ℎ 𝑣 −1 +

𝛽 = − 𝑘𝑇

ℎ𝑣 ℎ𝑣 e 𝑘𝑇 −1

Dengan menggunakan persamaan (5), diperoleh : 𝜀 = ℎ𝑣

1 2

+

1 exp

(8)

ℎ𝑣 −1 𝑘𝑇 ℎ𝑣

Tampak dari persamaan diatas, jika T→0 maka e𝑘𝑇 →∞. Dengan sifat ini, maka 𝜀 = Energi 𝜀 =

ℎ𝑣 2

ℎ𝑣 2

disebut energi titik nol.

Bentuk persamaan Hamilton seperti yang terdapat pada persamaan (1), menunjukan bahwa osilasi dalam tiga dimensi, bisa dianggap seperti tiga buah ayunan

3

harmonik biasa, masing-masing dalam arah sumbu x, sumbu y, dan sumbu z. Dengan demikian status dan keadaan energinya ditentukan oleh tiga bilangan kuantum nx, ny, dan nz, yang masing-masing bisa berharga 0, 1, 2, 3, dst. Besarnya energi untuk status ini adalah : 1

𝜀𝑛 = ℎ𝑣(𝑛 + 2) 1

𝜀 𝑛𝑥 , 𝑛𝑦 , 𝑛𝑧 =

1

1

𝑛𝑥 + 2 + 𝑛𝑦 + 2 + 𝑛𝑧 + 2

ℎ𝑣

(9)

Dengan menggunakan cara yang sama, sesuai dengan persamaan (8), diperoleh : 1

𝜀 = 3ℎ𝑣

2

+

1 ℎ𝑣 𝑘𝑇

exp

(10)

−1

Kapasitas panas jenis pada suhu T, diperoleh melalui : 𝑐𝑣 = 𝑁

𝑑 𝜀

(11)

𝑑𝑇

Dan akan diperoleh : ℎ𝑣 𝑘𝑇

exp

ℎ𝑣

𝑐𝑣 = 3𝑁𝑘

(12)

𝑘𝑇 2 [exp ℎ 𝑣 −1] 2 𝑘𝑇

Persamaan diatas didapatkan dari kapasitas panas yang didefenisikan sebagai berikut : 𝐶𝑣 =

𝑑𝑈

(U = Energi dalam dan T = Suhu)

𝑑𝑇 𝑑

𝐶𝑣 = 𝑑𝑇

𝑝

𝐶𝑣 =

𝑔𝑝 𝑣

𝑝

ℎ𝑣

𝑔𝑝 𝑣

exp

𝑑 𝑑𝑇

{

ℎ𝑣 𝑘𝑇

−1

1 exp

ℎ𝑣 𝑘𝑇

−1

𝑑𝑣 }ℎ𝑣𝑑𝑣

Untuk menyederhanakan persamaan diatas mari kita lihat suku diferensial dalam ℎ𝑣

persamaan tersebut. Untuk mempermudah kita misalkan 𝑦 = 𝑘𝑇 . Dengan permisalan tersebut maka, 𝑑 𝑑𝑇

𝑑 𝑑𝑦

= 𝑑𝑦

𝑑𝑇 ℎ𝑣 𝑑

= − 𝑘𝑇 2 𝑑𝑦 𝑑

1

𝑑𝑇

ℎ𝑣 𝑘𝑇

exp

𝑑

−1

= 𝑑𝑇

1 𝑒 𝑦 −1 ℎ𝑣 𝑑

1

= − 𝑘𝑇 2 𝑑𝑦

𝑒 𝑦 −1

ℎ𝑣 𝑑

−𝑒 𝑦

=−

𝑘𝑇 2

𝑑𝑦

(𝑒 𝑦 −1)2

4

𝑒𝑦

ℎ𝑣

= 𝑘 𝑇 2 (𝑒 𝑦 −1)2 =

ℎ𝑣 ] 𝑘𝑇 ℎ𝑣 2 𝑘 𝑇 (exp [ ]−1)2 𝑘𝑇

exp [

ℎ𝑣

Dengan demikian, kapasitas kalor dapat di tulis, 𝐶𝑣 =

ℎ𝑣

𝑝

𝑔𝑝 𝑣 {𝑘 𝑇 2

ℎ2

𝐶𝑣 = 𝑘𝑇 2

𝑝

ℎ𝑣 ] 𝑘𝑇 ℎ𝑣 (exp [ ]−1)2 𝑘𝑇

exp [

𝑔𝑝 𝑣 {

}ℎ𝑣𝑑𝑣

ℎ𝑣 ] 𝑘𝑇 ℎ𝑣 (exp [ ]−1)2 𝑘𝑇

exp [

}𝑣 2 𝑑𝑣

Model Enstein Untuk mencari kapasitas kalor kristal, Einstein mengusulkan model bahwa semua phonon berosilasi dengan frekuensi karakteristik yang sama, v0. Dengan asumsi ini maka dapat kita tulis : 𝑔𝑝 𝑣 = 𝑁𝛿(𝑣 − 𝑣0 )

Dimana 𝛿(𝑣 − 𝑣0 ) merupakan fungsi delta Dirac. Dengan model ini kita dapatkan kapasitas kalor kristal untuk satu macam polarisasi saja sebesar ℎ2

𝐶𝑣 = 𝑘𝑇 2

𝑝

𝑝

𝑁𝛿(𝑣 − 𝑣0 )

ℎ2

𝐶𝑣 = 𝑘𝑇 2 𝐶𝑣 =

ℎ𝑣 ] 𝑘𝑇 ℎ𝑣 (exp [ ]−1)2 𝑘𝑇

ℎ 𝑣0 ] 𝑘𝑇 ℎ 𝑣0 2 𝑘 𝑇 (exp [ ]−1)2 𝑘𝑇

𝑁ℎ 2

exp [

𝑔𝑝 𝑣

exp [

𝑣 2 𝑑𝑣

ℎ𝑣 ] 𝑘𝑇 ℎ𝑣 (exp [ ]−1)2 𝑘𝑇

exp [

𝑣 2 𝑑𝑣

𝑣0 2

Untuk kristal 3 dimensi, terdapat tiga arah polarisasi phonon yang mungkin (arah sumbu x, y, dan z). Dengan menganggap bahwa ke tiga polarisasi tersebut memberikan sumbangan energi yang sama besar maka kapasitas kalor total menjadi tiga kali dari yang tampak dalam persamaan diatas, yaitu menjadi 𝐶𝑣 =

ℎ 𝑣0 ] 𝑘𝑇 ℎ 𝑣0 2 𝑘𝑇 (exp [ ]−1)2 𝑘𝑇

3𝑁ℎ 2

exp [

𝑣0 2

Sekarang kita tinjau kasus-kasus khusus, yaitu ketika T→0 dan T→∞ . Dalam kondisi ℎ𝑣

ℎ𝑣

ℎ𝑣

T→0, maka exp[ 𝑘𝑇0 ] >> 1, sehingga exp[ 𝑘𝑇0 ] − 1 → exp[ 𝑘𝑇0 ]. Akibatnya 𝐶𝑣 ≈

ℎ 𝑣0 ] 𝑘𝑇 ℎ 𝑣 𝑘 𝑇 2 (exp [ 0 ]−1)2 𝑘𝑇

3𝑁ℎ 2

exp [

𝑣0 2 5

3𝑁ℎ 2 𝑣0 2

𝐶𝑣 =

𝑘𝑇2

ℎ 𝑣0

𝑒 − 𝑘𝑇

Perhatikan suku pembilang dan penyebut pada persamaan diatas. Jika T→0 maka suku penyebut T2→0 dan suku pembilang exp[−

ℎ 𝑣0 𝑘𝑇

] →0, tetapi suku pembilang menuju nol

jauh lebih cepat dari pada suku penyebut. Dengan demikian, 𝐶𝑣 →0 jika T→0. Untuk

kasus

sebaliknya,

yaitu

T→∞,

maka

ℎ 𝑣0

→0

𝑘𝑇

kita

dapat

mengaproksimasinya exp

ℎ 𝑣0 𝑘𝑇

ℎ 𝑣0

≈ 1+

𝑘𝑇

Dengan aproksimasi ini, maka persamaan diatas dapat menjadi : 𝐶𝑣 ≈

𝐶𝑣 ≈

ℎ 𝑣0 𝑘𝑇 𝑘 𝑇 2 (1+ℎ 𝑣 0 −1)2 𝑘𝑇

3𝑁ℎ 2

1+

3𝑁ℎ 2

𝑘𝑇

𝑘𝑇2

ℎ𝑣0

2

𝑣0 2

𝑣0 2

𝐶𝑣 = 3𝑁𝑘 𝐶𝑣 = 3(𝑛𝑁𝐴 )𝑘 𝐶𝑣 = 3𝑛(𝑁𝐴 𝑘) 𝐶𝑣 = 3𝑛𝑅 Untuk mempelajari kapasitas panas jenis ini, kita misalkan 𝑥 =

ℎ𝑣 𝑘𝑇

. Pada suhu yang

cukup tinggi , x << 1, sehingga dapat ditulis : 𝑥2

exp 𝑥 − 1 = 1 + 𝑥 +

2!

exp 𝑥

𝑐𝑣 = 3𝑁𝑘𝑥 2 [exp

𝑥

+⋯−1 = 𝑥

(13)

1

−1]2

= 3𝑁𝑘𝑥 2 𝑥 2 = 3𝑁𝑘

(14)

Sebaliknya untuk suhu yang sangat rendah, maka x >> 1, besaran exp (x) menjadi lebih besar dari 1, sehingga : exp 𝑥 − 1 = exp 𝑥 Jadi :

(15) 𝑥2

𝑐𝑣 = 3𝑁𝑘 exp

(16)

𝑥

Bila x makin besar, maka kuadrat x juga makin besar, jauh lebih cepat dari pangkat berapapun juga, akibatnya : cv → 0 untuk x → ∞.

6

Meskipun model yang diajukan Einsteint sangat sederhana, namun secara kualitatif, ternyata sesuai dengan kapasitas panas jenis yang diukur dalam eksperimen, yang dapat digunakan untuk mengembangkan model-model lain, untuk memahami gerak molekul-molekul dalam kisi-kisi.

B. Perangai Bahan Paramagnetik. Sifat perangai suatu bahan dapat dipahami, jika molekul-molekul yang membagun bahan tersebut, dianggap memiliki moment magnetik. Bila suatu medan magnet luar H dikenakan terhadap bahan paramagnetik, maka moment-moment magnetik tadi berusaha untuk menyesuaikan diri, untuk mencari arah yang energinya paling kecil. Energi interaksi sebuah moment magnetik dengan medan magnet akan berharga paling kecil, bila moment magnetik tadi mempunyai arah yang sama dengan arah medan magnet luar H, yang mengakibatkan terjadinya medan magnet tambahan. Tambahan medan magnet yang berasal dari moment magnetik tersebut dinamakan “magnetisasi”. Mekanika statistik dapat diterapkan pada molekul-molekul gas yang memiliki moment magnetik. Pada gas, jarah antar molekul-molekulnya cukup jauh, sehingga energi interaksi antara moment magnetik yang satu dengan moment magnetik yang lain, relatif sangat kecil, dibandingkan dengan energi interaksi antara moment magnetik dengan medan magnet luar H. Jadi, disamping energi yang timbul karena gerak, harus pula diperhitungkan energi interaksi antara

molekul dengan medan magnet. Bila

moment magnetik yang dimiliki molekul adalah μ, dan arahnya membentuk sudut θ, dengan medan magnet induksi B, maka energi interaksi dapat diperoleh sebagai berikut : Moment magnetik berupa dipole, bila diletakan dalam medan induksi B, akan menimbulkan moment kopel yang besarnya : 𝜏 = 𝜇 𝐵 𝑠𝑖𝑛𝜃

(1)

Bila sudut θ diubah menjadi θ + dθ, diperlukan kerja yang besarnya : 𝑑𝑊 = 𝜇 𝐵 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑑𝜃

(2)

Jika diambil energi W = 0, ketika posisi θ = 90 0, maka energi potensial magnetik adalah : 𝑊=

𝑑𝑊 = −𝜇 𝐵 𝑐𝑜𝑠𝜃

(3)

Menurut teori klasik, moment magnetik molekul, bisa membentuk sudut sebarang terhadap arah medan magnet luar. Dengan mengganti u = - cosθ, dan 𝑥 = fungsi partisi dapat ditulis : 7

𝜇𝐵 𝑘𝑇

, maka

+1 −𝑢𝑥 𝑒 −1

𝑍=

𝑑𝑢

(4)

Dengan batas -1 sampai +1. Untuk sudut dari 0 sampai 1800. Jika terdapat sejumlah N moment magnetik, maka besarnya magnetisasi yang terjadi pada sistem dapat dihitung, sehingga : 𝑀=

+1 − −1 𝑍

𝑁

𝜇𝑢 𝑒 −𝑢𝑥 𝑑𝑢

(5)

Dimana 𝜇𝑢 adalah magnetisasi yang disumbangkan oleh satu moment magnetik yang 𝑁

bersudut θ, sedangkan

𝑍

𝑒 −𝑢𝑥 adalah banyaknya molekul yang membentuk sudut itu

dengan medan magnet B. Dan M dihitung seperti persamaan berikut : 1

𝑀 = 𝜇𝑁 cot 𝑔ℎ 𝑥 − 𝑥

(6)

Magnetisasi ini dapat dipelajari perangainya dengan mudah untuk dua kasus ekstrem, yaitu : 1. Pada medan magnet induksi B yang besar dan suhu T yang rendah. Dalam hal ini nilai 𝑥 =

𝜇𝐵 𝑘𝑇

menjadi sangat besar, sehingga nilai cotgh mendekati 1, sedangkan

1 𝑥

menjadi sangat kecil dan dapat diabaikan. Dengan demikian diperoleh : 𝑀 = 𝑁𝜇. Hal ini diperoleh ketika seluruh moment magnetik mempunyai arah yang sama dengan medan magnet B, sehingga dihasilkan magnetisasi terbesar. 2. Pada medan magnet induksi B yang kecil dan suhu T yang tinggi. Dalam hal ini nilai x << 1, sehingga : 1

𝑥

cot 𝑔ℎ 𝑥 = 𝑥 + 3 Dan magnetisasi : 𝑀 = 𝜇𝑁

𝑥 3

=

𝑁𝜇 2 𝐵

(7)

3𝑘𝑇

Karena induksi magnetik 𝐵 = 𝜇0 𝐻, maka persamaan (7) dapat ditulis dalam bentuk : 𝐻

𝑀=𝐶𝑇

(8)

Dengan C merupakan tetapan yang berharga : 𝐶=

𝑁𝜇 2 𝜇 0

(9)

3𝑘

Hubungan antara magnetisasi terhadap suhu T, seperti pada persamaan (8), ditemukan oleh Piere Curie pada tahun 1805, yang diperolehnya berdasarkan hasil pengamatan, dan sampai sekarang dikenal sebagai “Hukum curie”. Hukum yang diperoleh secara empirik ini, jelas tidak berlaku jika suhu T sangat rendah, karena bila

8

T → 0, akan dihasilkan magnetisasi yang sangat besar dan tidak terbatas. Padahal magnetisasi terbesar bdiperoleh ketika semua moment magnetik mempunyai arah yang sama dengan arah medan H. Jika kita gunakan mekanika kuantum, maka kan dihasilkan perhitungan yang sedikit berbeda. Menurut mekanika kuantum, orientasi moment magnetik terhadap arah medan H, tidak bisa memiliki sudut sebarang, tetapi pada persyaratan kuantisasi yang membatasi besar sudut yang diperkenankan. Hasil ini bukan hanya dapat dibuktikan secara teoritis, tetapi juga dapat ditunjukkan kebenarannya melalui hasil eksperimen, salah satu diantaranya adalah eksperimen yang dilakukan oleh Stern dan Gerlach. Dalam eksperimen tersebut ditunjukan bahwa berkas ataom-atom perak yang dilewatkan melalui medan magnet, hanya akan terurai dalam dua kelompok saja, yang satu paralel dengan medan H, dan yang lain antiparalel dengan medan H, tepat seperti yang diramalkan mekanika kuantum. Untuk kasus ini, fungsi partisi Z menjadi sangat sederhana, yakni : 𝑍 = exp 𝑥 + exp −𝑥 = 2 cosh⁡ (𝑥) Dengan populasi untuk kedua kelompok, masing-masing : 𝑁

exp 𝑥

𝑁1 = 2 (cosh

𝑥

)

dan

𝑁 exp −𝑥

𝑁2 = 2 ( cosh

𝑥

)

Dengan demikian diperoleh magnetisasi : 𝑀 = 𝜇𝑁1 − 𝜇𝑁2 = 𝜇𝑁 𝑡𝑔ℎ(𝑥) 𝜇𝐵

𝑀 = 𝜇𝑁 𝑡𝑔ℎ( 𝑘𝑇 )

(10)

Bila x >> 1, magnetisasi mendekati nilai jenuh 𝑁𝜇, sedangkan untuk x << 1, magnetisasi M akan mendekati hukum curie, dengan tetapan C menjadi tiga kali lebih besar dari perhitungan mekanika klasik.

9

BAB III KESIMPULAN

A. Kapasitas Panas Jenis Zat Padat. 1. Pada suhu yang cukup tinggi , x << 1, sehingga dapat ditulis : exp 𝑥 − 1 = 1 + 𝑥 + 𝑐𝑣 = 3𝑁𝑘𝑥 2

Jadi :

𝑥2 2!

+ ⋯−1 = 𝑥

exp 𝑥 [exp 𝑥 −1]2

= 3𝑁𝑘𝑥 2

1 𝑥2

= 3𝑁𝑘

2. Pada suhu yang sangat rendah, maka x >> 1, besaran exp (x) menjadi lebih besar dari 1, sehingga : exp 𝑥 − 1 = exp 𝑥 𝑥2

𝑐𝑣 = 3𝑁𝑘 ex p

Jadi :

𝑥

C. Perangai Bahan Paramagnetik. Magnetisasi dapat dipelajari perangainya dengan mudah untuk dua kasus ekstrem, yaitu : 1. Pada medan magnet induksi B yang besar dan suhu T yang rendah. 𝑀 = 𝑁𝜇. 2. Pada medan magnet induksi B yang kecil dan suhu T yang tinggi. 𝐻

𝑀=𝐶𝑇

Dengan C merupakan tetapan yang berharga 𝐶 =

10

𝑁𝜇 2 𝜇 0 3𝑘