Derivatif (Turunan)
BAB I DERIVATIF (TURUNAN) Pada bab ini akan dipaparkan pengertian derivatif suatu fungsi, beberapa sifat aljabar derivatif, aturan rantai, dan derifativ fungsi invers. A. Pengertian Derivatif Pengertian derivatif fungsi f : [a, b] R di titik c [a, b] R dapat dijelaskan dalam definisi berikut. Definisi 1.1 Diberikan interval [a, b] R, fungsi f : [a, b] R, dan c [a, b]. Bilangan real L disebut derivatif fungsi f di titik c, jika diberikan sembarang bilangan 0 terdapat bilangan 0 sehingga untuk setiap x [a, b] dengan sifat 0 x – c berlaku 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑐) − 𝐿 < 𝜀. 𝑥−𝑐 Dalam hal ini fungsi f dikatakan terdiferensial (diferensiabel) di titik c dan ditulis 𝑓 ′ 𝑐 = L. Dengan kata lain, derivatif fungsi f di titik c dapat dinyatakan sebagai limit: 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑐) 𝑓 ′ 𝑥 = lim 𝑥→𝑐 𝑥−𝑐 jika limitnya ada. Catatan: Secara umum konsep derivatif dikenakan pada suatu fungsi yang terdefinisi pada suatu interval. Jika derivatif fungsi f : [a, b] R ada di titik c [a, b], maka nilainya dinotasikan dengan 𝑓 ′ 𝑐 . Dalam kasus fungsi 𝑓 ′ , sudah terbiasa untuk memandang 𝑓 ′ sebagai fungsi dari x. perhatikan contoh berikut. Diberikan fungsi bernilai real f yang didefinisikan dengan 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 , ∀𝑥 ∈ 𝑅 Untuk sembarang c R, diperoleh 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑐) 𝑓 ′ 𝑥 = lim 𝑥→𝑐 𝑥−𝑐 2 𝑥 − 𝑐2 = lim 𝑥→𝑐 𝑥 − 𝑐 = lim(𝑥 + 𝑐) 𝑥→𝑐
= 2𝑐 Jadi dalam kasus ini, fungsi 𝑓 ′ terdefinisi pada R dan 𝑓 ′ 𝑥 = 2𝑥, ∀𝑥 ∈ 𝑅. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa keterdiferensialan fungsi f di titik c mengakibatkan fungsi tersebut kontinu di titik c, hal tersebut diberikan pada teorema berikut. 1
Thobirin – Herawan, Analisis Real II
Derivatif (Turunan)
Teorema 1.2 Diberikan interval [a, b] R. Jika fungsi f : [a, b] R terdiferensial (mempunyai derivatif) di titik c [a, b], maka fungsi f kontinu di titik c. Bukti: Ambil sembarang x [a, b], dengan x c. Perhatikan bahwa 𝑓 𝑥 −𝑓 𝑐 𝑓 𝑥 −𝑓 𝑐 = 𝑥−𝑐 . 𝑥−𝑐 Berdasarkan hipotesis bahwa fungsi f terdiferensial atau 𝑓 ′ ada, maka dengan menerapkan operator dan sifat aljabar limit fungsi diperoleh lim 𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑐
𝑥→𝑐
= lim 𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 −𝑓 𝑐 𝑥−𝑐
𝑓 𝑥 −𝑓 𝑐 𝑥→𝑐 𝑥→𝑐 𝑥→𝑐 𝑥−𝑐 ′ lim 𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑐 = 𝑓 𝑐 . 0 lim 𝑓 𝑥 − lim 𝑓 𝑥 = lim
𝑥−𝑐 lim 𝑥 − 𝑐
𝑥→𝑐
𝑥→𝑐
lim 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑐
𝑥→𝑐
Oleh karena lim𝑥→𝑐 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑐 maka terbukti f kontinu di c. Kekontinuan fungsi f : [a, b] R di suatu titik tidak menjamin eksistensi derivatif fungsi di titik tersebut. Contoh berikut memberikan penjelasan tentang hal ini. Diberikan fungsi bernilai real f yang didefinisikan dengan 𝑓 𝑥 = 𝑥, ∀𝑥 ∈ 𝑅 Tunjukkan bahwa fungsi tersebut kontinu di 0. Selanjutnya tunjukkan bahwa 𝑓 ′ 0 tidak ada. Jadi kekontinuan fungsi di suatu titik tidaklah menjadi syarat cukup eksistensi derivatif fungsi di titik tersebut. Selanjutnya diberikan sifat-sifat dasar dari derivatif yang sangat berguna dalam kalkulasi derivatif dari beberapa kombinasi fungsi-fungsi terdiferensial. B. Sifat-sifat Aljabar Derivatif Fungsi Teorema 1.3 Diberikan interval [a, b] R, c [a, b], serta fungsi f : [a, b] R dan fungsi g : [a, b] R keduanya terdiferensial di titik c. a. Untuk setiap R, fungsi f terdiferensial di titik c, dan 𝛼𝑓 ′ 𝑐 = 𝛼 𝑓 ′ (𝑐) b. Fungsi f + g terdiferensial di titik c, dan 𝑓 + 𝑔 ′ (𝑐) = 𝑓 ′ 𝑐 + 𝑔′ 𝑐 c. Fungsi f g terdiferensial di titik c, dan 𝑓𝑔 ′ (𝑐) = 𝑓 ′ 𝑐 𝑔(𝑐) + 𝑓(𝑐)𝑔′ 𝑐 d. Jika g(c) 0 maka fungsi
𝑓 𝑔
terdiferensial di titik c, dan 𝑓 ′ 𝑓 ′ 𝑐 𝑔 𝑐 − 𝑓(𝑐)𝑔′ 𝑐 (𝑐) = 𝑔 𝑔(𝑐) 2
Bukti: Pada buku ini dibuktikan bagian a, c, dan d. Sedangkan bagian b yang cukup mudah buktinya diserahkan kepada pembaca. 2
Thobirin – Herawan, Analisis Real II
Derivatif (Turunan)
Ambil sembarang interval [a, b] R, dan c [a, b]. Diketahui fungsi f : [a, b] R dan fungsi g : [a, b] R keduanya terdiferensial di titik c. a. Misalkan h = f, maka untuk setiap x [a, b] dengan x c diperoleh 𝑥 − 𝑐 𝛼𝑓 𝑥 − 𝛼𝑓 𝑐 = 𝑥−𝑐 𝑥−𝑐 𝑥 − 𝑐 𝛼𝑓 𝑥 − 𝛼𝑓 𝑐 lim = lim 𝑥→𝑐 𝑥→𝑐 𝑥−𝑐 𝑥−𝑐 ′ 𝑥 = 𝛼 lim 𝑥→𝑐 ′
𝑓 𝑥 −𝑓 𝑐 𝑥−𝑐
= 𝛼 𝑓 (𝑐) Karena h = f, maka diperoleh 𝛼𝑓 ′ 𝑐 = 𝛼 𝑓 ′ (𝑐). c. Misalkan h = fg, maka untuk setiap x [a, b] dengan x c diperoleh 𝑥 − 𝑐 𝑓𝑔 𝑥 − 𝑓𝑔 𝑐 = 𝑥−𝑐 𝑥−𝑐 𝑓(𝑥)𝑔 𝑥 − 𝑓(𝑐)𝑔 𝑐 = 𝑥−𝑐 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 − 𝑓 𝑐 𝑔 𝑥 + 𝑓(𝑐)𝑔 𝑥 − 𝑓(𝑐)𝑔 𝑐 = 𝑥−𝑐 𝑓 𝑥 −𝑓 𝑐 𝑔 𝑥 −𝑔 𝑐 = 𝑔 𝑥 + 𝑓(𝑐) 𝑥−𝑐 𝑥−𝑐 𝑥 − 𝑐 𝑓 𝑥 −𝑓 𝑐 𝑔 𝑥 −𝑔 𝑐 lim = lim 𝑔 𝑥 + 𝑓(𝑐) 𝑥→𝑐 𝑥→𝑐 𝑥−𝑐 𝑥−𝑐 𝑥−𝑐 ′ 𝑥 = lim 𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 −𝑓 𝑐 𝑔 𝑥 𝑥−𝑐
+ lim 𝑓 𝑐 𝑥→𝑐
𝑔 𝑥 −𝑔 𝑐 𝑥−𝑐
𝑓 𝑥 −𝑓 𝑐 𝑔 𝑥 −𝑔 𝑐 lim 𝑔(𝑥) + lim 𝑓 𝑐 lim 𝑥→𝑐 𝑥→𝑐 𝑥→𝑐 𝑥→𝑐 𝑥−𝑐 𝑥−𝑐
= lim
= 𝑓 ′ 𝑐 𝑔(𝑐) + 𝑓 𝑐 𝑔′ (𝑐) Karena h = fg, maka diperoleh 𝑓𝑔 ′ (𝑐) = 𝑓 ′ 𝑐 𝑔(𝑐) + 𝑓 𝑐 𝑔′ (𝑐) d. Misalkan =
𝑓 𝑔
dan g 0, maka untuk setiap x [a, b] dengan x c diperoleh 𝑓 𝑥 − 𝑐 𝑔 = 𝑥−𝑐
𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥−𝑐
𝑐
𝑓(𝑥) 𝑓(𝑐) − 𝑔(𝑥) 𝑔(𝑐) = 𝑥−𝑐 𝑓(𝑥) 𝑓 𝑐 − 𝑔 𝑥 𝑔(𝑐) 𝑔(𝑥) 𝑔 𝑐 = (𝑥 − 𝑐)𝑔 𝑥 𝑔(𝑐)
3
=
𝑓 𝑥 𝑔 𝑐 − 𝑓(𝑐)𝑔 𝑥 (𝑥 − 𝑐)𝑔 𝑥 𝑔(𝑐)
=
𝑓 𝑥 𝑔 𝑐 − 𝑓 𝑐 𝑔 𝑐 + 𝑓(𝑐)𝑔 𝑐 − 𝑓(𝑐)𝑔 𝑥 (𝑥 − 𝑐)𝑔 𝑥 𝑔(𝑐) Thobirin – Herawan, Analisis Real II
Derivatif (Turunan)
𝑓 𝑥 −𝑓 𝑐 𝑥−𝑐
= 𝑥 − 𝑐 = lim 𝑥→𝑐 𝑥→𝑐 𝑥−𝑐 lim
𝑓 𝑥 −𝑓 𝑐 𝑥−𝑐
𝑔 𝑐 − 𝑓(𝑐)
′ (𝑐) = 𝑓 ′ (𝑐)𝑔 𝑐 − 𝑓 𝑐 𝑔′ (𝑐) Karena =
𝑓 𝑔
𝑔 𝑐 − 𝑓(𝑐)
𝑔 𝑥 −𝑔 𝑐 𝑥−𝑐
𝑔 𝑥 −𝑔 𝑐 𝑥−𝑐
1 𝑔 𝑥 𝑔(𝑐)
1 𝑥→𝑐 𝑔 𝑥 𝑔(𝑐) lim
1 𝑔 𝑐 𝑔(𝑐)
, maka diperoleh 𝑓 ′ 𝑓 ′ 𝑐 𝑔 𝑐 − 𝑓(𝑐)𝑔′ 𝑐 (𝑐) = 𝑔 𝑔(𝑐) 2
Dengan menggunakan induksi matematika, pembaca dapat memperluas aturan-aturan pendiferensialan yang secara ringkas diberikan pada akibat berikut. Akibat 1.4 Jika 𝑓1 , 𝑓2 , 𝑓3 , … , 𝑓𝑛 masing-masing fungsi dari [a, b] R ke R dan terdiferensial di c [a, b], maka a. fungsi 𝑓1 + 𝑓2 + 𝑓3 + … + 𝑓𝑛 terdiferensial di titik c, dan 𝑓1 + 𝑓2 + 𝑓3 + … + 𝑓𝑛 ′ 𝑐 = 𝑓1 (𝑐) + 𝑓2 (𝑐) + 𝑓3 (𝑐) + … + 𝑓𝑛 (𝑐) b. fungsi 𝑓1 𝑓2 𝑓3 … 𝑓𝑛 terdiferensial di titik c, dan 𝑓1 𝑓2 𝑓3 … 𝑓𝑛 ′ (𝑐) = 𝑓1′ 𝑐 𝑓2 𝑐 𝑓3 𝑐 … 𝑓𝑛 (𝑐) + 𝑓1 𝑐 𝑓2 ′ 𝑐 𝑓3 𝑐 … 𝑓𝑛 (𝑐) + 𝑓1 𝑐 𝑓2 𝑐 𝑓3′ (𝑐) … 𝑓𝑛 𝑐 + ⋯ + 𝑓1 𝑐 𝑓2 𝑐 𝑓3 𝑐 … 𝑓𝑛 ′(𝑐)
(1.1)
Jika pada (1.1) fungsi-fungsinya sama, yaitu 𝑓1 = 𝑓2 = 𝑓3 = ⋯ = 𝑓𝑛 = 𝑓 maka pada (1.1) berlaku 𝑓 𝑛 ′ 𝑐 = 𝑛𝑓 ′ (𝑐) 𝑓(𝑐) 𝑛−1 (1.2) Catatan: Jika [a, b] R suatu interval dan f : [a, b] R fungsi, maka terdapat notasi lain yang sering digunakan untuk menyatakan derivatif fungsi f, sebagai contoh Df atau 𝑓 ′ atau
𝑑𝑓 𝑑𝑥
(jika x variabel
bebas atau f bukan fungsi implisit). Demikian halnya pada Teorema 1.3 bagian b dan c dapat pula ditulis sebagai D(f + g) = Df + Dg dan D(f g) = (Df)g + f(Dg). C. Aturan Rantai (Chain Rule) Pada bagian ini diberikan suatu aturan pendiferensialan fungsi-fungsi komposisi yang dikenal dengan aturan rantai (chain rule). Aturan rantai memberikan suatu cara untuk mencari derivatif dari fungsi komposisi g o f. Jika fungsi f terdiferensial di titik c dan fungsi g terdiferensial di f(c), maka derivatif dari fungsi g o f di titik c adalah 𝑔 o 𝑓 ′ 𝑐 = 𝑔′ 𝑓 𝑐 𝑓′(𝑐) atau 𝑔o𝑓 4
′
= 𝑔′ o 𝑓 𝑓 ′ . Thobirin – Herawan, Analisis Real II
Derivatif (Turunan)
Teorema 1.5 (Aturan Rantai) Diberikan interval [a, b] dan[c, d] keduanya interval di dalam R, g : [c, d] R dan f : [a, b] R keduanya fungsi dengan sifat f([a, b]) [c, d] dan c* [a, b]. Jika fungsi f terdiferensial di titik c* dan fungsi g terdiferensial di f(c*), maka fungsi komposisi g o f terdiferensial di titik c*, dan 𝑔 o 𝑓 ′ 𝑐 ∗ = 𝑔′ 𝑓 𝑐 ∗ 𝑓 ′ 𝑐 ∗ . Bukti: Misalkan e = f(c*), oleh karena g terdiferensial di f(c*) maka 𝑔′ 𝑒 didefiniskan fungsi bernilai real G yang well-defined pada [c, d] dengan 𝑔 𝑦 − 𝑔(𝑒) , 𝑦≠𝑒 𝑦−𝑒 𝐺 𝑦 = 𝑔′ (𝑒)
,
ada. Selanjutnya
𝑦=𝑒
Oleh karena fungsi g terdiferensial di e = f(c*), maka 𝑔 𝑦 −𝑔 𝑒 lim 𝐺(𝑦) = lim = 𝑔′ 𝑒 = 𝐺 𝑒 . 𝑦→𝑒 𝑦→𝑒 𝑦−𝑒 Hal ini menunjukkan bahwa fungsi G kontinu di e = f(c*). Selanjutnya karena fungsi G kontinu di e = f(c*), fungsi f kontinu di c* dan f([a, b]) [c, d], maka berdasarkan teorema kekontinuan komposisi fungsi-fungsi kontinu, diperoleh G o f kontinu di c*, sehingga lim∗ 𝐺 o 𝑓 𝑥 = lim 𝐺 𝑓(𝑥) = 𝐺 𝑓(𝑐 ∗ ) = 𝐺 𝑒 = 𝑔′ 𝑒 = 𝑔′ 𝑓(𝑐 ∗ ) 𝑥→𝑐
𝑥→𝑐
Dari definisi fungsi G, dapat ditulis 𝑔 𝑦 −𝑔 𝑒 =𝐺 𝑦 𝑦−𝑒 , ∀𝑦 ∈ [𝑐, 𝑑] * Oleh karenanya, jika x [a, b] dengan x c , dan f(x) = y, diperoleh 𝑔 o 𝑓 𝑥 − 𝑔 o 𝑓 𝑐 ∗ = 𝑔 𝑓(𝑥) − 𝑔 𝑓(𝑐 ∗ ) =𝑔 𝑦 −𝑔 𝑒 =𝐺 𝑦 𝑦−𝑒 = 𝐺 𝑓(𝑥) 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑐 ∗ ) = (𝐺 o 𝑓) 𝑥 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑐 ∗ ) 𝑔 o 𝑓 𝑥 − 𝑔 o 𝑓 𝑐∗ 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑐 ∗ ) = (𝐺 o 𝑓) 𝑥 𝑥 − 𝑐∗ 𝑥 − 𝑐∗ Selanjutnya untuk x c* dan dengan menerapkan operator limit, diperoleh 𝑔 o 𝑓 𝑥 − 𝑔 o 𝑓 𝑐∗ 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑐 ∗ ) lim∗ = lim (𝐺 o 𝑓) 𝑥 lim 𝑥→𝑐 𝑥→𝑐 ∗ 𝑥→𝑐 ∗ 𝑥 − 𝑐∗ 𝑥 − 𝑐∗ 𝑔o𝑓
′
𝑐 ∗ = 𝑔′ 𝑓(𝑐 ∗ ) 𝑓 ′ 𝑐 ∗ .
Dengan demikian bukti telah lengkap. Sering kita jumpai dalam kuliah kalkulus integral, notasi Df = 𝑓 ′ . Oleh karenanya aturan rantai 𝑔o𝑓
′
𝑐 = 𝑔′ 𝑓 𝑐 𝑓 ′ 𝑐
dapat pula ditulis 𝐷 𝑔o𝑓 = 𝐷 𝑔 5
o
𝑓 𝐷𝑓. Thobirin – Herawan, Analisis Real II
Derivatif (Turunan)
Contoh 1.6 1. Diberikan interval [a, b] R, jika fungsi f : [a, b] R terdiferensial pada [a, b] dan g(y) = yn y R, n N 𝑔o𝑓 𝑥 =𝑔 𝑓 𝑥
= 𝑓 𝑥
𝑛
.
Oleh karenanya berdasarkan Teorema 1.5 diperoleh 𝑔o𝑓
′
𝐷 𝑓 𝑥
𝑥 = 𝑔′ 𝑓 𝑥 𝑓 ′ 𝑥 , 𝑛
∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]
= 𝑔′ 𝑓 𝑥 𝑓 ′ 𝑥
(1.3) ′
Dapat dimengerti bahwa, jika g(y) = yn maka 𝑔 𝑦 = 𝑛𝑦 diperoleh 𝑛
𝐷 𝑓 𝑥 𝑛
Misalkan f(x) = 2x, maka 𝐷 (2𝑥) contoh lain.
=𝑛 𝑓 𝑥 𝑛−1
= 2𝑛(2𝑥)
𝑛−1
, oleh karenanya dari (1.3)
𝑛−1 ′
𝑓 𝑥 .
. Dipersilakan pembaca untuk memberikan
2. Diberikan interval [a, b] R, jika fungsi f : [a, b] R terdiferensial pada [a, b] dengan sifat 𝑓(𝑥) ≠ 0 dan 𝑓′(𝑥) ≠ 0 untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]. Jika 𝑦 =
1 𝑦
, 𝑦 ≠ 0, dapat dimengerti
1
bahwa ′ 𝑦 = − 𝑦 2 , 𝑦 ≠ 0. Oleh karenanya diperoleh 1 𝑓
′
𝑥 = o𝑓
′
𝑥 = ′ 𝑓 𝑥 𝑓 ′ 𝑥 = −
𝑓′(𝑥) . 𝑓(𝑥) 2
3. Tugas bagi pembaca untuk menunjukkan Jika 𝑓 𝑥 = sin 𝑥 , maka 𝑓′ 𝑥 = cos 𝑥 untuk setiap x R dan jika 𝑔 𝑥 = cos 𝑥 , maka 𝑔′ 𝑥 = − sin 𝑥 untuk setiap x R. Dengan menggunakan sifat aljabar derivatif, yaitu aturan pembagian untuk setiap x R dengan 𝑥 ≠
2𝑘+1 𝜋 2
untuk k bilangan bulat, selanjutnya diperoleh 𝑥 =
𝑓(𝑥) sin 𝑥 = = tan 𝑥 𝑔(𝑥) cos 𝑥
Jadi cos 𝑥 cos 𝑥 − (sin 𝑥)(− sin 𝑥) cos2 𝑥 2 2 cos 𝑥 + sin 𝑥 1 𝐷 tan 𝑥 = = = sec 2 𝑥. 2 cos 𝑥 cos2 𝑥
′ 𝑥 = 𝐷 tan 𝑥 =
Demikian halnya untuk setiap x R dengan 𝑥 ≠ 𝐷 sec 𝑥 = 𝐷
2𝑘+1 𝜋 2
untuk k bilangan bulat, diperoleh
1 0. cos 𝑥 − 1. (−sin 𝑥) sin 𝑥 1 sin 𝑥 = = = . = sec 𝑥 tan 𝑥 2 2 cos 𝑥 cos 𝑥 cos 𝑥 cos 𝑥 cos 𝑥 cos 𝑥 −sin 𝑥 sin 𝑥 − cos 𝑥 cos 𝑥 𝐷 cot 𝑥 = 𝐷 = sin 𝑥 sin2 𝑥 2 −(sin 𝑥 + cos 2 𝑥) = sin2 𝑥 −1 = = − csc2 𝑥 sin2 𝑥 6
Thobirin – Herawan, Analisis Real II
Derivatif (Turunan)
𝐷 csc 𝑥 = 𝐷
1 0. sin 𝑥 − 1. cos 𝑥 − cos 𝑥 1 cos 𝑥 = = =− . = − csc 𝑥 cot 𝑥 2 2 sin 𝑥 sin 𝑥 sin 𝑥 sin 𝑥 sin 𝑥
4. Diberikan suatu fungsi f yang didefinisikan sebagai berikut. 1 𝑥 2 sin , 𝑥≠0 𝑥 𝑓 𝑥 = 0 , 𝑥=0 Jika digunakan sifat aljabar derivatif, yaitu aturan perkalian titik (dot product) pada Teorema 1.3 bagian c dan aturan rantai (Teorema 1.5) diperoleh 1 1 𝑓 ′ 𝑥 = 2𝑥 sin − cos , 𝑥 ≠ 0. 𝑥 𝑥 Jika 𝑥 = 0 tak satu pun dari aturan kalkulasi dapat digunakan. Konsekuensinya untuk mencari derivatif di titik 0 digunakan definisi, sehingga diperoleh 𝑓 𝑥 − 𝑓(0) 𝑓 ′ 0 = lim 𝑥→0 𝑥−0 1 𝑥 2 sin 𝑥 = lim 𝑥→0 𝑥 1 = lim 𝑥 sin 𝑥→0 𝑥 =0 Jadi derivatif f, yaitu 𝑓 ′ ada di mana-mana. Namun fungsi 𝑓 ′ tidak punya limit di x = 0, oleh karenanya 𝑓 ′ diskontinu di titik 0. Dengan demikian, suatu fungsi yang terdiferensial di mana-mana, tidaklah selalu mempunyai fungsi turunan yang kontinu.
C. Derivatif Fungsi Invers Pada bagian ini dipaparkan hubungan derivatif suatu fungsi dengan derivatif inversnya, jika fungsi yang bersangkutan mempunyai invers. Pada bagian ini pembahasan hanya dibatasi pada fungsi kontinu yang monoton tegas. Teorema 1.7 Diberikan interval [a, b] R, dan f : [a, b] R fungsi monoton tegas (stricly monotone) dan kontinu pada [a, b]. Diberikan [c, d] = f([a, b]) dan g : [c, d] R invers fungsi f yang monoton tegas dan kontinu. Jika fungsi f terdiferensial di titik 𝑐 ∗ [a, b] dan 𝑓 ′ (𝑐 ∗ ) ≠ 0, maka fungsi g terdiferensial di titik e = 𝑓(𝑐 ∗ ), lebih lanjut 1 1 𝑔′ 𝑒 = ′ ∗ = ′ 𝑓 (𝑐 ) 𝑓 (𝑔 𝑒 ) Bukti: Ambil sembarang y [c, d] dengan y ≠ e, selanjutnya didedifiniskan fungsi H : [c, d] R dengan 𝑓 𝑔 𝑦 − 𝑓(𝑔 𝑒 ) 𝐻 𝑦 = 𝑔 𝑦 − 𝑔(𝑒)
7
Thobirin – Herawan, Analisis Real II
Derivatif (Turunan)
Diketahui g monoton tegas, selanjutnya mudah dimengerti bahwa untuk setiap y [c, d] dengan y ≠ e, maka 𝑔(𝑦) ≠ 𝑔(𝑒), dengan kata lain H : [c, d] R well-define. Demikian halnya jika 𝑦 = 𝑓(𝑔 𝑦 ) dan 𝑒 = 𝑓(𝑔 𝑒 ) maka berdasarkan definisi fungsi H diperoleh 𝑦−𝑒 𝐻 𝑦 = . 𝑔 𝑦 − 𝑔(𝑒) Mudah dimengerti bahwa untuk setiap y [c, d] dengan y ≠ e, maka H(y) ≠ 0. Selanjutnya dibuktikan bahwa lim 𝐻 𝑦 = 𝑓 ′ 𝑐 ∗ . 𝑦→𝑒
Diberikan bilangan 0 dan jika f terdiferensial di 𝑐 ∗ = g(e), maka terdapat bilangan 0 sehingga untuk setiap x [a, b] dengan sifat 0 x – 𝑐 ∗ berlaku 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑐 ∗ ) − 𝑓 ′ (𝑐 ∗ ) < 𝜀. 𝑥 − 𝑐∗ Diketahui g kontinu di titik e = 𝑓 ′ (𝑐 ∗ ), artinya untuk setiap bilangan 0 terdapat bilangan 0 sehingga untuk setiap y [c, d] dengan 0 y – e maka berlaku 𝑔 𝑦 − 𝑔(𝑒) < 𝛿. (1.4) Karena g fungsi invers dari f, maka g bijektif, dengan kata lain g injektif dan surjektif. g injektif dan 𝑐 ∗ = 𝑔(𝑒), maka dari pembahasan sebelumnya dan berdasarkan (1.4), diperoleh; jika 0 y – e maka 𝑔 𝑦 − 𝑔(𝑒) = |𝑔(𝑦) − 𝑐 ∗ | < 𝛿 untuk setiap y [c, d] . Oleh karenanya untuk setiap y [c, d] dengan 0 y – e berakibat 𝐻 𝑦 − 𝑓′(𝑐 ∗ ) =
𝑓 𝑔 𝑦 − 𝑓(𝑔 𝑒 ) − 𝑓′(𝑐 ∗ ) < 𝜀 𝑔 𝑦 − 𝑔(𝑒)
untuk sembarang 0. Jadi lim 𝐻 𝑦 = 𝑓 ′ 𝑐 ∗ . 𝑦→𝑒
Perhatikan bahwa karena y ≠ e maka 𝐻 𝑦 = 𝑔
𝑦−𝑒 𝑦 −𝑔(𝑒)
0, sehingga diperoleh
𝑔(𝑦)−𝑔(𝑒) 𝑦−𝑒
1
= 𝐻(𝑦) .
Dapat disimpulkan, untuk setiap y [c, d] dengan y ≠ e, berlaku 𝑔 𝑦 −𝑔 𝑒 1 1 1 𝑔′ 𝑒 = lim = lim = = ′ ∗ . 𝑦→𝑒 𝑦→𝑒 𝐻(𝑦) 𝑦−𝑒 lim 𝐻(𝑦) 𝑓 (𝑐 ) 𝑦→𝑒
Terbukti 𝑔′ 𝑒 =
1 𝑓 ′ (𝑐 ∗ )
=
1 𝑓 ′ (𝑔
. 𝑒 )
Catatan: Persyaratan 𝑓 ′ (𝑐 ∗ ) ≠ 0 pada Teorema 1.7 sangat penting . Faktanya, apabila 𝑓 ′ 𝑐 ∗ = 0 maka fungsi invers g tidak terdiferensial di e = 𝑓(𝑐 ∗ ). Artinya, jika g terdiferensial di titik e = 𝑓(𝑐 ∗ ) dan jika f invers fungsi g, maka dapat diterapkan Teorema 1.7 pada fungsi g untuk dapat menyimpulkan bahwa fungsi f terdiferensial di titik 𝑐 ∗ = 𝑔(𝑒) dan diperoleh 1 𝑔′ 𝑒 = ′ ∗ 1 = 𝑔′ 𝑒 𝑓 ′ 𝑐 ∗ = 0. 𝑓 (𝑐 ) Nampak terjadi kontradiksi, oleh karena itu g tak terdiferensial di titik e = 𝑓(𝑐 ∗ ). Perhatikan contoh berikut. Diberikan fungsi bernilai real f yang didefinisikan dengan 𝑓 𝑥 = 𝑥3, ∀𝑥 ∈ 𝑅 8
Thobirin – Herawan, Analisis Real II
Derivatif (Turunan) 1
Dapat dimengerti bahwa 𝑓 −1 𝑥 = 𝑥 3 , ∀𝑥 ∈ 𝑅, 𝑓 ′ 𝑥 = 3𝑥 2 , dan 2
𝑥 −3 𝑔′ 𝑥 = 𝑓 −1 ′ (𝑥) = . 3 Ambil titik 𝑐 ∗ = 0, diperoleh e = 𝑓(𝑐 ∗ ) = 0 dan 𝑓′(𝑐 ∗ ) = 0. Dengan demikian 1 = 𝑔′ (𝑒)𝑓′(𝑐 ∗ ) = 0. 1
Terjadi kontradiksi, sehingga dapat disimpulkan bahwa 𝑓 −1 𝑥 = 𝑥 3 , ∀𝑥 ∈ 𝑅 tak terdiferensial di 0. Teorema 1.8 Diberikan interval [a, b] R, dan f : [a, b] R fungsi monoton tegas (stricly monotone) pada [a, b]. Diberikan [c, d] = f([a, b]) dan g : [c, d] R invers fungsi f. Jika fungsi f terdiferensial pada [a, b] dan 𝑓 ′ (𝑐 ∗ ) ≠ 0 untuk setiap x [a, b] , maka fungsi g terdiferensial pada [c, d], lebih lanjut 1 𝑔′ 𝑦 = ′ = ∀𝑦 ∈ 𝑐, 𝑑 . (𝑓 o 𝑔)(𝑦) Bukti teorema diserahkan kepada pembaca sebagai latihan. Contoh 1.9 1. Diberikan 𝑛 ∈ 𝑁 dengan n genap, I = [0, ∞) dan fungsi bernilai real f : I R yang didefinisikan dengan 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑛 , ∀𝑥 ∈ 𝐼, dapat dibuktikan bahwa fungsi f naik tegas dan kontinu pada I. 1
Sehingga fungsi inversnya ada pada I, sehingga fungsi inversnya ada, yaitu 𝑔 𝑦 = 𝑦 𝑛 , ∀𝑦 ∈ [0, ∞). Fungsi g naik tegas dan kontinu pada [0, ∞). Lebih lanjut diperoleh 𝑓′ 𝑥 = 𝑛𝑥 𝑛−1 , ∀𝑥 ∈ 𝐼. 1
Oleh karenanya jika y 0, maka 𝑔 𝑦 = 𝑦 𝑛 ada, dan 1 1 𝑔′ 𝑦 = ′ = 1 𝑓 o 𝑔 (𝑦) 𝑛 𝑦𝑛
𝑛−1
1
=
𝑛 𝑦
𝑛−1 𝑛
.
Dengan kata lain 1 − 𝑛−1 1 1 𝑦 𝑛 = 𝑦 𝑛 −1 𝑛 𝑛 untuk y 0, akan tetapi g tak terdiferensial di titik 0. 𝑔′ 𝑦 =
2. Diberikan 𝑛 ∈ 𝑁 , n ganjil dengan sifat n 1, dan dua fungsi bernilai real F dan G berturut-turut didefinisikan dengan 𝐹 𝑥 = 𝑥𝑛 , ∀𝑥 ∈ 𝑅 dan 1
𝐺 𝑦 = 𝑦𝑛 , ∀𝑦 ∈ 𝑅 Dapat dipahami bahwa G merupakan fungsi invers F. Berdasarkan nomor 1 telah ditemukan 1 − 𝑛−1 1 1 𝐺 ′ 𝑦 = 𝑦 𝑛 = 𝑦 𝑛 −1 𝑛 𝑛 untuk y 0 dan G tak terdiferensial di titik 0, akan tetapi terdiferensial di titik-titik lain. 3. Diberikan 𝑟 =
𝑚 𝑛
bilangan rasional positif, diberikan I = [0, ∞)dan fungsi bernilai real h
didefinisikan dengan h(x) = 𝑥 𝑟 , ∀𝑥 ∈ 𝐼. Fungsi h dapat dinyatakan sebagai komposisi fungsi1
fungsi f(x) = 𝑥 𝑚 , ∀𝑥 ∈ 𝐼 dan g(x) = 𝑥 𝑛 , ∀𝑥 ∈ 𝐼. Dapat dimengerti bahwa h(x) = (f o g)(x) ∀𝑥 ∈ 𝐼. Dengan mengaplikasikan aturan rantai (Teorema 1.5) dan berdasrakan hasil nomor 1 atau nomor 2, diperoleh 9 Thobirin – Herawan, Analisis Real II
Derivatif (Turunan) 1 𝑚 −1
′ 𝑥 = 𝑓 ′ 𝑔 𝑥 𝑔′ 𝑥 = 𝑚 𝑥 𝑛
𝑚 −1 𝑛
1 1 −1 𝑥𝑛 𝑛
1
=
𝑚 𝑛
𝑥
=
𝑚 𝑛
𝑥 𝑛 − 𝑛 𝑥 𝑛 −1
=
𝑚 𝑛
𝑥𝑛
𝑚
𝑚
1
𝑥 𝑛 −1 1
−1
= 𝑟𝑥 𝑟−1 untuk setiap x 0 𝜋 𝜋
4. Diberikan fungsi sinus, 𝑓 𝑥 = sin 𝑥 yang dibatasi pada pada domain I = − 2 , 2 . Jelas f naik 𝜋
𝜋
𝜋
tegas pada I. Pembaca tahu bahwa sin − 2 = − sin 2 = −1 dan sin 2 = 1. Selanjutnya diberikan J = [–1, 1], perhatikan bahwa f : I J merupakan fungsi bijektif, akibatnya f mempunyai invers 𝜋 𝜋
yaitu 𝑓 −1 𝑥 = arcsin 𝑥. Dengan demikian, jika diberikan I = − 2 , 2 dan J = [–1, 1], maka 𝑦 = sin 𝑥
𝑥 = arcsin 𝑦.
Dapat dimengerti bahwa fungsi sinus terdiferensial pada I dengan 𝑑 (sin 𝑥) = cos 𝑥, ∀𝑥 ∈ 𝐼. 𝑑𝑥 𝜋 𝜋 Selanjutnya untuk setiap 𝑥 ∈ − 2 , 2 nilai cos 𝑥 ≠ 0, maka berdasarkan Teorema 1.7 diperoleh 𝑑(arcsin 𝑦) 1 1 = = 𝑑(sin 𝑥) cos 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 1 = cos2 𝑥 1 = 1 − sin2 𝑥 1 = 1 − 𝑦2 untuk setiap 𝑦 ∈ (−1, 1)
Perlu dicatat bahwa
𝑑(arcsin 𝑦) 𝑑𝑦
tidak ada di titik –1 dan 1.
LATIHAN 1 1.
Gunakan definisi derivatif fungsi untuk mencari derivatif beberapa fungsi bernilai real berikut a. 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 , 𝑥 ∈ 𝑅 1
b. 𝑔 𝑥 = 𝑥 , 𝑥 ∈ 𝑅 − {0} c. 𝑥 = 𝑥, 𝑥 ∈ 0, ∞ d. 𝜑 𝑥 =
1 𝑥
, 𝑥 ∈ 0, ∞ 1
2.
Buktikan bahwa 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 , 𝑥 ∈ 𝑅 tak terdiferensial di titik x = 0
3.
Buktikan Teorema 1.1 bagian b.
10
Thobirin – Herawan, Analisis Real II
Derivatif (Turunan)
4.
Diberikan fungsi f : R R didefinisikan dengan 𝑥 2 , 𝑥 rasional 𝑓 𝑥 = 0 , 𝑥 irrasional Buktikan bahwa f terdiferensial di titik x = 0 dan tentukan 𝑓′ 0 .
5.
Menggunakan aturan rantai, tentukan derivatif beberapa fungsi bernilai real berikut 𝑥
a. 𝑓 𝑥 = 1+𝑥 2 , 𝑥 ∈ 𝑅 b. 𝑔 𝑥 = 5 − 2𝑥 + 𝑥 2 , 𝑥 ∈ 𝑅 c. 𝑥 = sin 𝑥 𝑘
𝑚
, 𝑚, 𝑘 ∈ 𝑁
d. 𝜑 𝑥 = tan 𝑥 2 , 𝑥 <
𝜋 2
6.
Diberikan 𝑛 ∈ 𝑁 dan fungsi f : R R didefinisikan dengan 𝑥𝑛 , 𝑥 ≥ 0 𝑓 𝑥 = 0 , 𝑥<0 Tentukan nilai n agar 𝑓′ kontinu di titik 0 dan 𝑓′ terdiferensial di titik 0.
7.
Andaikan f : R R terdiferensial di titik 𝑐 ∈ 𝑅 dan 𝑓 𝑐 = 0. Buktikan bahwa fungsi 𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑥) terdiferensial di titik c jika dan hanya jika 𝑓′ 𝑐 = 0.
8.
Diberikan fungsi g : R R didefinisikan dengan 𝑥 2 sin 𝑥 −2 , 𝑥 ≠ 0 𝑔 𝑥 = 0 , 𝑥=0 Tunjukkan bahwa g terdiferensial pada R dan tunjukkan bahwa 𝑔′ tak terbatas pada [–1, 1].
9.
Jika 𝑟 > 0 suatu bilangan rasional, fungsi f : R R didefinisikan dengan 𝑓 𝑥 =
𝑥 𝑟 sin 0
1 𝑥
,
𝑥≠0
,
𝑥=0
Tentukan nilai r agar 𝑓′ ada.
11
Thobirin – Herawan, Analisis Real II
