BAB 3 INVERS LAPLACE Pokok Pembahasan :

MATEMATIKA LANJUT

INVERS LAPLACE

BAB 3

INVERS LAPLACE Pokok Pembahasan : Prinsip Dasar Invers Laplce Fungsi-Fungsi Dasar Ekspansi Parsial Konvolusi

AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO – FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA

MATEMATIKA LANJUT

INVERS LAPLACE

1. PRINSIP DASAR Inverse Laplace adalah kebalikan dari transformasi Laplace, yaitu transformasi F(s) menjadi f(t). L-1 F(s) = f(t)

( 3-1 )

⊕ Pernyataan invers Laplace dinyatakan dengan simbol “ L-1 “ ⊕ Invers Laplace dapat dilakukan terhadap semua fungsi : • Fungsi-fungsi Elementer • Fungsi-fungsi Non Elementer 2. INVERS LAPLACE FUNGSI-FUNGSI ELEMENTER Invers Laplace fungsi-fungsi dasar dapat dilihat dalam Ikhtisar Transform. Laplace. Hasil invers merupakan kebalikan dari transformasinya. AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO – FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA

2

MATEMATIKA LANJUT

INVERS LAPLACE

3. FRAKSI PARSIAL (PARTIAL FRACTION) Ekspansi Heaviside merupakan salah satu cara penyelesaian invers Laplace untuk fungsi-fungsi non elementer. Bila bentuk Transformasi Laplace merupakan pembagian 2 buah persamaan polinomial yang dinyatakan dengan : F(s) =

A(s) B(s)

( 3-2 )

⊕ A(s) dan B(s) adalah polinomial dalam s ⊕ Pangkat (orde) s pada A(s) < orde s pada B(s). ⊕ A(s) = amsm + am-1sm-1 + ...... + a1s + a0 ⊕ B(s) = bn sn + bn-1sn-1 + ....... + b1s + b0 AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO – FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA

3

MATEMATIKA LANJUT

INVERS LAPLACE

⊕ B(s) dapat diuraikan menjadi : • B(s) = bn(s-s1)(s-s2) ........(s-sk) ...... (s-sn) • s1, s2, s3,.....sn = akar-akar B(s). ⊕ Akar-akar B(s) dapat berupa : • Bilangan nyata (riel) • Bilangan imajiner (khayal) • Bilangan kompleks. ⊕ Akar-akar B(s) meliputi akar-akar : • Berharga tak sama (berbeda). • Berharga sama. AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO – FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA

4

MATEMATIKA LANJUT

INVERS LAPLACE

Contoh pembagian fungsi polinomial rasional (terukur) : 3s 3 + 2s + 1 F(s) = s2 + s + 2

3s - 3 (s 2 + s+ 2 )

3s 3 +

2s + 1

3s3 + 3s2 + 6s

- 3s2 − 4s + 1 - 3 s 2 − 3s − 6 - s + 7

Sehingga F(s) menjadi :

F(s) = 3s - 3 +


-s + 7 s2 + s + 2 5

MATEMATIKA LANJUT

INVERS LAPLACE

3.1. Fraksi Parsial Dengan Akar-akar Tak Sama Bila akar-akar B(s) tak ada yang sama dan m < n, maka :

F (s) =

A (s) b (s -s 1 )(s -s 2 )....(s -s k ).....(s -s n )

1 F (s) = bn

⎡ k1 ⎤ k k k 2 k n ⎢ ⎥ + + .... + + ... + ⎢ s − s1 s − s2 s − sk s − s n ⎥⎦ ⎣

Besaran-besaran k1, k2, k3 ...kn dapat ditentukan dengan rumus : ⎛ A (s) ⎞⎟ ⎜ ⎟ k k = ⎜ b n (s − s k ). ⎟ ⎜⎝ ⎟ B(s) ⎠

( 3-3 ) S= S k


6

MATEMATIKA LANJUT

INVERS LAPLACE

Contoh : L-1

1 s (s -2 )(s + 1 )

=

L-1

k1= s

⎛ k1 k3 k2 ⎜⎜ + + ⎜⎝ s (s -2 ) (s+ 1 )

1 {s ( s - 2 ) ( s + 1 ) } s = 0

= -

⎞⎟ ⎟⎟ ⎠⎟

1 2

1 1 = {s(s-2)(s+1) } s = 2 6 1 1 k 3 = (s+1) = {s(s-2)(s+1) } s = -1 3 k 2 = (s-2)

L-1

1 s (s -2 )(s -1 )

= L-1

⎛− 1 1 1 ⎜⎜ 6 + 3 2 + ⎜⎜ s (s -2 ) (s+ 1 ⎜⎝

⎞⎟ ⎟⎟ ) ⎠⎟⎟⎟

f(t) = -½ u(t) + 1/6 e2t u(t) + 1/3 e-t u(t) AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO – FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA

7

MATEMATIKA LANJUT

INVERS LAPLACE

3.2. Fraksi Parsial Dengan Akar-akar Sama Bila akar-akar B(s) ada yang sama dan m < n, pada :

F (s) =

A (s) b (s -s 1 )(s -s 2 )....(s -s k ).....(s -s n )

Bila terdapat p buah akar yang sama, maka : A (s) 1 = B (s) bn

⎡ k 1p k 1 p -1 k 11 ⎢ + + ...+ + .... p -1 ⎢ ( s -s 1 ) p ( s -s 1 ) ( s -s 1 ) ⎣

k n ⎤⎥ + +....+ + ......... + (s-s p+1 ) (s-s p+2 ) (s-s n ) ⎥⎥⎦ k p+1

k p+2


8

MATEMATIKA LANJUT

INVERS LAPLACE

dengan :

k

k

k

1p

1 p -1

1k

= b

= b

=

(s -s1 )

n

n

p

A (s) B (s)

d (s -s1 ) d s

p

( 3-4a ) s = s1

A (s) B (s)

b n d p -k (s -s1 ) p -k (p -k )! d s


( 3-4b )

s = s1

p

A (s) B (s)

( 3-4c ) s = s1

9

MATEMATIKA LANJUT

INVERS LAPLACE

Contoh :

F(s) = F(s) L-1=

3 (s + 1) 2 (s + 2)

k3 k1 k2 + + (s + 1) 2 s + 1 s + 2

⎛ ⎞⎟ 3 ⎜ ⎟ k1 = (s + 1) F(s) = (s + 1) ⎜ s=−1 ⎜⎝ (s + 1) 2 (s + 2) ⎠⎟⎟ 2

k2=

d 3 (s + 1 ) 2 ds (s + 1 ) 2 (s + 2 )

k 3 = (s + 2)

=3

2

s=−1

= −3 s= − 1

3 =3 2 (s + 1) (s + 2) s=−2

3 3 3 3 = − + (s +1) (s + 2) (s +1)2 (s +1) (s + 2)

L2 -1

f(t) = 3te-t – 3e-t + 3e-2t = 3 [(t-1)e-t + e-2t] AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO – FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA

10

MATEMATIKA LANJUT

INVERS LAPLACE

Cara lain untuk mencari nilai k2 : ⊕ Substitusikan harga k1 yang telah di dapat. ⊕ Pindahkan ke ruas kiri. Hitung k2 dengan metode fraksi parsial dengan akar berbeda. k1 = (s + 1) 2 F(s)

⎛ ⎞⎟ 3 ⎟ = (s + 1) 2 ⎜⎜ =3 s=−1 ⎜⎝ (s + 1) 2 (s + 2) ⎠⎟⎟ s=−1

k3 k2 3 3 = + + (s + 1) 2 (s + 2) (s + 1) 2 (s + 1) (s + 2) k3 3 3 k2 − = + (s +1)2 (s + 2) (s +1)2 (s +1) (s + 2) k3 k2 −3 = + (s + 1)(s + 2) (s + 1) (s + 2)

k 2 = (s + 1 )

3 (s + 1 ) (s + 2 )

= −3 s= − 1


11

MATEMATIKA LANJUT

INVERS LAPLACE

3.3. Ekspansi Parsial Dengan Akar-akar Kompleks

Akar-akar kompleks terjadi dalam pasangan konjugasinya Bila F (s ) = α ± jβ

F (s) =

k1 k2 + s - α - jβ s - α + jβ

k 1 = ( s - α - j β ) F ( s ) |s

= α + jβ

k 2 = ( s - α + j β ) F ( s )|s = α -j β


( 3-5 ) ( 3-6 )

( 3-7a )

( 3-7b )

12

MATEMATIKA LANJUT

INVERS LAPLACE

Bila

F(s) =

Ar A r-1 A1 N(s) ... = + + + + F1 (s) r r r −1 D 1 (s)(s − p) (s − p) (s − p) (s − p)

( 3-8 )

d d (s −p)r F(s) = [Ar +(s −p)Ar−1 +(s −p)2 Ar−2 +....) ds ds d d (s − p) r F(s) = [A r−1 + 2(s − p)A r−2 + ....] ds ds


( 3-9 )

13

MATEMATIKA LANJUT

INVERS LAPLACE

Contoh : 1.

F(s) =

s (s + 1)(s 2 + 2s + 2)

F(s) =

s (s + 1)(s + 1 − j1)(s + 1)(s + 1 + j1)

F(s) =

A B B* + + (s +1) (s +1− j1) (s +1 + j1)

A=

s = −1 2 s + 2s + 2 s=−1

B=

s 1− j1 1 = = ∠−45o (s +1)(s +1+ j1) s=1+j1 2 2

f (t) = −e−t + 2 e−t cos (t − 45o )


14

MATEMATIKA LANJUT

INVERS LAPLACE

2.

F(s) = F(s) =

A=

1 (s + 1)(s 2 + 2s + 2) 2

A B A* B* C + + + + (s − p) 2 s − p (s − p*) 2 s − p * s + 1

1 (s + 1)(s − p*) 2

= s= p

1 1 1 = = j (p + 1)(p − p*) 2 (+ j)(2 j) 2 4

d 1 −[(s − p*)2 + 2(s +1)(S− p*)] = ds (s +1)(s − p*)2 (S +1)2 (S− p*)4

−[(p − p*) 2 + 2(p + 1)(p − p*)] B= (p + 1) 2 (p − p*) 4 Bila p – p*=2j dan p+1 = j, maka :

B =


− [ − 4 + 2 ( j) ( 2 j) ] 1 = ( − 1) (1 6 ) 2 15

MATEMATIKA LANJUT

INVERS LAPLACE

Selanjutnya C=

1 =1 s 2 + 2s + 2 s=−1

f(t) = Atept + Bept + A* tep*t + B*ep*t + Ce-t Bila

A = (1/4) ∠ 90o

dan

B = ½ ∠ 0o

f(t) = te-t cos( t + 90o ) + e-t cos t + e-t


16

MATEMATIKA LANJUT

INVERS LAPLACE

4. KONVOLUSI Bila f(t) merupakan inverse F(S) dan g(t) merupakan inverse G(S), maka h(t) merupakan invers dari produk H(S) = F(S) G(S). h(t) disebut konvolusi dan dituliskan dengan : t

h(t) = (f *g)(t) = ∫ f ( τ)g(t − τ)dτ

( 3-10 )

0

Untuk τ > 0. Dengan definisi G(S) dan teori pergeseran, didapatkan : ∞

e−sτ G(S) = ∫ e −st g(t − τ) dt

( 3-11 )

0 AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO – FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA

17

MATEMATIKA LANJUT

INVERS LAPLACE

Sehingga : ∞

t

H(S) = F(S) G(S) = ∫ e −st ∫ f (τ)g(t − τ)dτ dt 0

( 3-12 )

0

Sifat-sifat dasar operasi aritmatik konvolusi a. b. c.

Komutatif Distributif Asosiatif

f*g=g*f f *( g1 + g2 ) = f * g1 + f * g2 (f*g)*v=f*(g*v) f*0=0*f=0

Demikian pula halnya perkalian dengan bilangan lain kecuali 1, karena Khusus untuk 1 * g ≠ g AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO – FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA

18

MATEMATIKA LANJUT

INVERS LAPLACE

Contoh Soal dan Penylesaian H(S) = 1/[(S2)(S- ω)] ; tentukan h(t) ! Jawab :

1 F(S) = 2 S

dan

1 G(S) = S-ω

f (t) = t

dan

g(t) = eωt

t

h(t) = t *eωt = ∫ f (τ)g(t − τ)dτ dt 0 t

h(t) = t *eωt = ∫ τ eω(t −τ) dτ 0

h(t) = t *e

ωt

=e

ωt

t

∫τ e

−ωτ )

dτ

;

0 AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO – FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA

1 ωt h(t) = 2 (e − ω − 1) ω 19

MATEMATIKA LANJUT

INVERS LAPLACE

SOAL-SOAL LATIHAN Tentukan f(t) dari persamaan berikut dengan metode konvolusi

1 1. (s-ω) 2 1 3. s(s 2 + ω2 ) 1 5. 2 2 s (s - ω) s 7. 2 (s + ω) 2

1 2. α ≠ β s(s-α)(s-β) s 4. 2 2 2 (s +ω ) 1 6. s (s 2 +5) 2 1 8. (s - 3)(s 2 +5)

6s 9. s(s + 1)2 + 1

2s + 1 10. 2 (s + 4s + 13) 2


20

MATEMATIKA LANJUT

INVERS LAPLACE

SOAL-SOAL TAMBAHAN Tentukan f(t) dari persamaan-persamaan berikut :

s 1. 2 (s + 1)(s + 2) s 3. 2 (s + 5s + 5)

1 2. 2 (s +3s+1) s+2 4. s (s 2 - ω2 )

Selesaikan transformasi Laplace persamaan-persamaan berikut :

5. t cos(ωt+θ)

6. eat sin(ωt+θ)

7. ( 4t 3 + t 2 + 3 ) cos(ωt + α) 8. sin(ωt + α) cos(ωt + β) Bila diketahui

1 1 9. + z1 z2

Z1 ∠ ( ωt + θ ) dan Z2 ∠ ( ωt - θ ) , maka hitung :

10. eat ( z1 + z 2 )


21

BAB 3 INVERS LAPLACE Pokok Pembahasan :

Recommend Documents