BAB 1 Konsep Dasar
1
BAB 2 PDB Linier Order Satu 2.1 PDB Linier Order Satu Homogen PDB order satu dapat dinyatakan dalam dy dx
= (
f x y
)
atau dalam bentuk derivatif (
) + (
M x y dx
2.1.1
) =0
(2.1)
N x y dy
PDB Eksak
Denisi 2.1.1 Misal suatu fungsi dari dua variabel real, dan kontinyu pada F
F
turunan pertama pada domain D maka jumlah difrensial dF didenisikan sebagai
(
dF x y
)=
(
@ F x y
)
@x
untuk semua (x y) 2 D.
13
dx
+
(
@ F x y @y
)
dy
BAB 2. PDB LINIER ORDER SATU
14
Denisi 2.1.2 Persamaan 2.1 disebut difrensial eksak pada domain
D
jika ada
fungsi F dari dua variabel x y sedemikian hingga ekspresi tersebut sama dengan jumlah dF (x y) untuk 8(x y) 2 D. Sesuaikan denisi 2.1.1 dengan persamaan 2.1 diperoleh
(
(
)=
@ F x y
(
)=
@ F x y
M x y
N x y
Teorema 2.1.1 Persamaan 2.1 dengan
)
@x
(
)
@y
M N
kontinyu pada turunan pertamanyan
(M N 2 C 1 (D)) akan memenuhi dua kondisi berikut: 1. Bila 2.1 PDB eksak di D maka 2. Sebaliknya bila
@M (xy ) @y
=
@M (xy ) @y
@N (xy ) @x
= @N@x(xy) untuk 8(
x y
untuk 8(x y) 2
D
)2
D
maka dikatakan 2.1
adalah PDB eksak.
Bukti Akan dibutkikan bagian pertama dari teorema ini. Jika 2.1 eksak di M dx
+
N dy
D
(
F
@ F x y @x
x y
maka
adalah eksak difrensial di . Dengan de nisi 2.1.1 dan 2.1.2, maka
terdapat suatu fungsi
untuk 8(
D
sedemikian hingga )= (
)
M x y
(
dan
@ F x y @y
) 2 . Selanjutnya turunkan D
M
)= (
N x y
terhadap
y
)
dan
N
diperoleh 2
(
@ F x y @ x@ y
)=
(
@ M x y @y
)
dan
2
(
@ F x y @ y@ x
Kita tahu bahwa (
@ F x y @ x@ y
)=
(
@ F x y @ y@ x
)
)=
(
@ N x y @x
)
terhadap x
BAB 2. PDB LINIER ORDER SATU untuk 8(
x y
15
) 2 , sehingga dapat disimpulkan D
(
@ M x y @y
)=
(
@ N x y
)
@x
8(x y) 2 D.
Selanjutnya gunakan fakta ini untuk membuktikan bagian yang kedua. 2.1.2
Solusi PDB Eksak
Ada dua cara menyelesaikan PDB jenis ini, yaitu menggunakan prosedur dalam teorema atau dengan teknik pengelompokan.
Contoh 2.1.1 Tentukan solusi PDB eksak (3 2 + 4 ) + (2 2 + 2 ) = 0 x
xy dx
x
y dy
Penyelesaian 2.1.1 Jelas persamaan ini adalah PDB eksak karena (
@ M x y @y
) =4 = x
(
@ N x y
)
@x
8(x y) 2 D. Dengan menggunakan cara yang pertama maka kita mempunyai
(
@ F x y @x
) =3 2+4 x
y
dan
(
@ F x y @y
) =2 2+2 x
y
Integralkan bentuk pertama (
F x y
)=
Z
Z
(
) + ( ) = (3 2 + 4 ) + ( )
M x y @ x
Kemudian turunkan terhadap
y
x
xy @ x
y
(
@ F x y @y
) =2 2+ x
()
d y dy
padahal kita punya (
@ F x y @y
)= (
N x y
)=2 2+2 x
y
y
BAB 2. PDB LINIER ORDER SATU
16
sehingga 2 2+2 =2 2+ x
y
x
( ) atau
d y
( ) =2
d y
dy
Integralkan persamaan terakhir ini diperoleh ( ) = y
(
F x y
y:
dy
y
2
+ 0, dengan demikian c
) menjadi (
F x y
Bila (
F x y
)=
3
x
+2
2
x y
+ 2+ y
c0 :
) merupakan solusi umum maka keluarga solusi itu adalah (
F x y
)=
c1
sehingga
)
3
x
+2
2
x y
+ 2 + 0 = 1 atau y
c
c
3
x
+2
2
x y
+
y
2
=
c
yang merupakan solusi persamaan PDB eksak yang dimaksud. Cara yang kedua adalah dengan menggunakan teknik pengelompokan, lihat catatan dalam perkuliahan. 2.1.3
Faktor Integrasi
Faktor integrasi ini digunakan untuk menyelesaikan PDB order satu tidak eksak. Langkah yang dimaksud adalah merubah PDB tidak eksak menjadi eksak. Renungkan lagi persamaan 2.1, bila @M@y(xy) 6= @N@x(xy) maka dapat ditentukan (
x y
)
sedemikian hingga (
) (
) + (
x y M x y dx
) (
) =0
x y N x y dy
(2.2)
BAB 2. PDB LINIER ORDER SATU
17
merupakan PDB eksak. Sekarang bagaimana prosedur menentukan (
x y
), da-
patlah digunakan teorema 2.1.1 diatas. Bila persamaan 2.2 eksak maka (
@ M @y @ @y
M
@M @y
+
;
) =
@M @y
@N
@x
(
x y
= =
) =
(
@ N
)
@x @ @x N
N
@ @x
@ N @x @M @y
+
@N @x
;M ; ;
@ @y
@ M @y @N @x
(2.3)
adalah merupakan formula faktor integrasi secara umum.
Contoh 2.1.2 Tentukan solusi PDB berikut ini 1. (4xy +3y2 ;x)dx+x(x+2y)dy = 0, bila faktor integrasinya hanya tergantung pada x saja 2. (x2y + 2xy2 + 2x + 3y)dx + (x3 + 2x2 y + 3x)dy = 0, bila faktor integrasinya hanya tergantung pada xy
Penyelesaian 2.1.2 Soal nomor 1 bisa dilihat dalam catatan, selanjutnya kita bahas soal nomor 2. Jika z
=
xy
tergantung pada
xy
ini berarti
= (
x y
maka @ @x
=
()
@ z @z
y
atau
@
dan
@N
@y
=
()
@ z @z
x
sedangkan @M @y
=
x
2
+4 +3 xy
@x
=3 2+4 +3 x
xy
:
) misal
BAB 2. PDB LINIER ORDER SATU
18
Sekarang gunakan faktor integrasi 2.3 dan substitusikan nilai-nilai diatas ini, maka didapat
=
=
=
@z
z
e
=
+ 3 ) @@z(z) ; ( 2 + 2 2 + 2 + 3 ) @@z(z) ( 2 + 4 + 3) ; (3 2 + 4 + 3) y
x
x y
xy
xy
x
x
y
x
xy
@ @z @
Z
1
= ln
z
2
x y
x
Z
=
x
= 1
@z
( 3+2
@
xy
e
Dengan demikian faktor integrasinya adalah (
x y
)=
e
xy
. Sekarang soal nomor
dua menjadi PDB eksak dengan mengalikan faktor integrasi terhadap sukusukunya dimasing-masing ruas. xy
e
(
2
x y
+2
xy
2
+2 +3 ) + x
y dx
xy
e
( 3+2 x
2
x y
+3 ) =0 x dy
Dengan meyakini persamaan ini merupakan PDB eksak cara menyelesaikan sama dengan teknik diatas yakni terdapat dua cara. Coba anda kerjakan sebagai
latihan 2.1.4
Teknik Variabel Terpisah
Bila persaman 2.1 kita transformasikan kedalam bentuk ( ) ( ) + 2( ) 2( ) = 0
f1 x g1 y dx
f
x g
y dy
(2.4)
selanjutnya kalikan persamaan ini dengan 1( ) 2( ) maka akan diadapat g
( ) 2( )
f1 x f
x
dx
+ 2( ) 1( ) g
x
g
y
dy
y f
=0
x
(2.5)
BAB 2. PDB LINIER ORDER SATU
19
Persamaan 2.4 tidak eksak namun persamaan 2.5 adalah eksak sehingga teknik penyelesaiannya menyesuaikan. Bisa juga dengan mengintegralkan langsung bentuk itu menjadi
Z
( ) + Z 2( ) = 0 2( ) 1( ) Contoh 2.1.3 Tentukan solusi PDB berikut ini dengan menggunakan teknik pemisaf1 x f
x
dx
g
x
g
y
dy
han variabel. 1. (x + y)2 dx ; xydy = 0 2. (2xy + 3y2 )dx ; (2xy + x2)dy = 0
Penyelesaian 2.1.3 Soal nomor 1 bisa dilihat dalam catatan, selanjutnya kita bahas soal nomor 2. Ambil suatu permisalan = y
dan tentunya
vx
dy
=
vdx
+
xdv
,
lalu substitusikan kedalam persamaan nomor 2. (2
2
x v
2
2
x vdx
+3
+3
2 2
x v dx
2 2
x v
) ; (2 dx
2
x v
+ 2)( x
vdx
+
xdv
) = 0
; 2x2v2 dx ; 2x3vdv ; x2 vdx ; x3 dv = 0
( + 2 ) ; 3(2 ; 1) = 0 1 ; (2 ; 1) = 0 ( + 2) Jelas persamaan terakhir ini merupakan PDB eksak sehingga gunakan cara x
2
v
v
x
dx
x
v
v
dx
v
v
dv
dv
yang sama untuk menyelesaikannya. Atau bisa diintegralkan langsung menjadi Z 1 ; Z (2 ; 1) = 0 ( + 2) ln + 0 + ln ; 3 ln(1 + ) + 1 = 0 x
x
c
ln + 0 + ln( x
c
v
v
v
) ; 3 ln(1 + (
y=x
y=x
v
dv
c
)) + 1 = 0
y=x
) ln + ln( x
v
dx
) ; 3 ln(1 + (
c
y=x
)) =
c
Persamaan terakhir adalah solusi umum dari PDB yang dimaksud.
BAB 2. PDB LINIER ORDER SATU
20
2.2 PDB Linier Order Satu Nonhomogen Pada umumnya PDB linier order satu nonhomogen dapat dinyatakan dengan dy dx dy dx
+ ( ) = ( ) P x y
+ ( ) = ( ) P x y
(2.6)
Q x
Q x y
(2.7)
n
Untuk persamaan 2.6 dapat kita tulis dalam ( ( ) ; ( )) + P x y
Q x
dx
dy
=0
sehingga (
M x y
) = ( ) ; ( ) dan P x y
(
Q x
N x y
)=1
:
Sekarang (
@ M x y @y
) = ( ) dan
(
@ N x y
P x
@x
) =0
dengan demikian persamaan ini bukan merupakan PDB eksak, sehingga perlu ditentukan faktor integrasinya. Kita pilih faktor integrasi yang hanya tergantung pada , yaitu ( ). sedemikian x
x
( ( ) ( ) ; ( ) ( )) + ( ) = 0 x P x y
x Q x
dx
merupakan PDB eksak, yang berakibat bahwa
x dy
@
( ) ( ) ; ( ) ( )
x P x y
x Q x
@y
=
( )
@ x @x
Selesaikan bentuk ini didapat 1 ( ) ( ) Z ln j j = ( )
( )
P x dx
) =
R e
P (x)dx
>
0
=
x
@ x
P x dx
BAB 2. PDB LINIER ORDER SATU
21
Kalikan terhadap persamaan 2.6 didapat
R
R
+
P (x)dx dy
e
dx
e
P (x)dx
( ) = ( )
P x y
R
P (x)dx
Q x e
yang mana hal ini sama dengan
d
R
e
dx
P (x)dx
R
= ( )
y
Q x e
P (x)dx
atau R e
P (x)dx
y
=
Z
R
P (x)dx
e
( ) +
Q x dx
c
atau
)
y
R R = ; P (x)dx e
R e
( ) +
P (x)dx Q
x dx
c
(2.8)
Persamaan ini disebut Persamaan Bernoulli Selanjutnya untuk persamaan 2.7 dapat kita tulis dalam y
Misal = 1;n maka v
y
dy dx
dx
= (1;1 n)
dv dx
Misal
;n dy y
P x y
n dv dx
Q x :
sehingga persamaan diatas menjadi
+ (1 ; ) ( ) = ( )(1 ; ) n P x v
( ) = (1 ; ) ( ) dan
Pp x
+ ( ) 1;n = ( )
n P x
Q x
n
( ) = (1 ; ) ( ) maka persamaan diatas
Qq x
n Q x
dapat direduksi kedalam bentuk
)
dv dx
+ p( ) = P
x v
( )
Qq x
adalah persaman sebagaimana 2.6, sehingga cara menyelesaikan sama.
Contoh 2.2.1 Tentukan solusi PDB berikut ini
BAB 2. PDB LINIER ORDER SATU dy 1. (x2 + 1) dx + 4xy = x
2.
dy dx
+ = y
3
xy
y
y
22
(2) = 1
(0) = 2
Penyelesaian 2.2.1 Soal nomor 1 dapat diselesaikan langsung dengan persamaan 2.8, sehingga + ( 24+ 1) = ( 2 + 1)
dy
x
dx
x
y
x
x
x maka ( ) = (x24+1) dan ( ) = (x2x+1) sehingga dengan menggunakan P x
Q x
; R P (x)dx y = e y
Z
R e
P (x)dx
( ) +
Q x dx
c
dapat ditentukan sebagai y
=
x
4
+ 2
4( + 1) 2 x
2
x
2( + 1) 2 x
2
+
c
( + 1)2 2 x
untuk (2) = 1 maka substitusikan ke persamaan ini didapat = 19, akhirnya y
c
solusi khususnya adalah
)
y
4 2 = 4( 2 + 1)2 + 2( 2 + 1)2 + ( 2 19 + 1)2 x
x
x
x
x
Ikuti langkah dalam prosedur yang telah diberikan untuk mengerjakan soal nomor 2. Anda kerjakan sebagai latihan
BAB 2. PDB LINIER ORDER SATU
23
Latihan Tutorial 2
1. Mana diantara soal-soal berikut ini yang merupakan PDB order 1 eksak. (a) ( sec2 + sec tan ) + (tan + 2 ) = 0 y
x
x
(b) ( 2 + 1) cos
(c)
2s;1 t
ds
rdr
+
x dx
+ 2 sin
s;s2 t2
x
rd
y dy
=0
=0
dt
2. Selesaikanlah PD order 1 eksak berikut ini (a) (2 sin cos + 2 sin ) + (sin2 ; 2 cos ) = 0
(b)
y
x
x
!
1+8xy 2=3 x2=3 y 1=3
dx
y
+
x dx
2x4=3 y 2=3 ;x1=3 y 4=3
!
x
y
= 0
dy
x dy
y
y
(0) = 3
(1) = 8
3. Tentukan faktor integrasi untuk masing-masing soal berikut ini
(a) (
2
x y
+2
xy
pada
2
+2 +3 ) +( 3+2 x
y dx
x
2
x y
+ 3 ) = 0, bila tergantung x dy
xy
(b) ( 3 ; 2 y
2
) + (2
x y dx
xy
2
; x3 )dy = 0, bila tergantung pada x + y
4. Gunakan metoda variabel terpisah untuk menyelesaikan beberapa persoalan berikut ini =0 (a) ( tan xy + ) ; p p p p (b) ( + + ; ) + ( ; ; + ) = 0 y dx
x
x
y
x
xdy
y dx
x
y
x
y dy
5. Gunakan metoda Bernoulli untuk menyelesaikan PD berikut ini dy (a) ( 2 + ; 2) dx + 3( + 1) = ; 1 x
(b)
dr d
x
x
+ tan = cos r
y
r
x
( pi4 ) = 1
