PEMODELAN & DINAMIKA PROSES ORDER SATU

III

PEMODELAN & DINAMIKA PROSES ORDER SATU

•

Tujuan: Mhs mampu menjelaskan respon dinamik sistem order satu terhadap berbagai perubahan input (misalnya: step, ramp, sinus).

•

Materi: 1. Respon Sistem Order Satu (respon-respon: step, ramp, sinus, dead-time, lead-lag) 2. Fungsi Transfer dan Diagram Blok (Penyederhanaan diagram blok) 3. Dinamika Proses Order Satu (proses termal pada tangki, dinamika volume (liquid level), proses tangki pencampur, dll.)

Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY

DINPRO / III / 1

3.1. Respon Sistem Order Satu Pertimbangkan PD order satu linear berikut:

dy (t ) + a0 y (t ) = bx(t ) + c dt

a1

… (3.1.1)

Pada kondisi tunak (initial steady state):

dy (0 ) + a0 y (0 ) = bx(0 ) + c dt

a1

… (3.1.2)

=0

Pers. (3.1.1) – Pers. (1.1.2):

a1

dY (t ) + a0Y (t ) = bX (t ) dt

… (3.1.3)


DINPRO / III / 2

3.1 Respon Sistem Order Satu

dimana: Y(t) = y(t) – y(0) dan X(t) = x(t) – x(0) adalah term deviasi Pers (3.1.3) dibagi dengan a0 menghasilkan:

τ

dY (t ) + Y (t ) = K X (t ) dt

… (3.1.4)

a1 adalah konstanta waktu (time constant) a0 b K= adalah Gain kondisi tunak (steady state gain) a0

dimana: τ =

Transformasi Laplace Pers (3.1.4) :

τ sY (s ) + Y (s ) = KX (s ) ⎡ K ⎤ Y (s ) = ⎢ ⎥ X (s ) ⎣τ s + 1⎦ Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY

… (3.1.5) … (3.1.6)

DINPRO / III / 3

3.1. Respon Sistem Order Satu

Step Response Jika X(t) = ∆x u(t) ; dari Tabel 2.2.1 diperoleh X(s) = ∆x/s, dan disubstitusikan ke pers. (3.1.6) lalu diekspansi parsial menghasilkan:

Y (s ) =

K ∆x K∆x K∆x =− + τ s +1 s s + (1 τ ) s

Kebalikan Laplace berdasarkan Tabel 2.2.1 menghasilkan:

[

Y (t ) = K∆x u (t ) − e −t τ

]

… (3.1.7)

dimana: u(t) adalah unity (=1) ∆x adalah besarnya perubahan input (magnitude)


DINPRO / III / 4


Gambar 3.1.1 Respon sistem order satu terhadap perubahan input fungsi tahap 1.2

tτ

1

Y (t ) K∆x

Y (t ) K∆x

0.8

0

0

0.6

1.0

0.632

2.0

0.865

3.0

0.950

4.0

0.982

5.0

0.993

…

…

∞

1.000

0.4 0.2 0 0

1

2

3

4

5

6

7

tτ


DINPRO / III / 5


Ramp Response Ramp adalah kenaikan input secara linear dengan waktu mulai dari nol. Fungsi input: X(t) = rt, dimana r adalah slope dari Ramp. Dari Tabel 2.2.1 diperoleh bentuk laplace X(s) = r/s2, disubstisusikan ke pers. (3.1.6) lalu dengan ekspansi parsial menghasilkan:

Y (s ) =

A A1 A + 2+ 3 s s + (1 τ ) s 2 A1 dicari dengan pers. (2.3.9) dan A2, A3 berdasarkan per. (2.3.13) 1 ⎞ Kr ⎛ A1 = lim ⎜ s + ⎟ = Krτ s → −1 τ ⎝ τ ⎠ (τs + 1)s 2 K

r

τ s +1 s2

A2 = lim s 2 s →0

A3 = lim

s →0

=

Kr

(τs + 1)s 2

= Kr

d ⎡ 2 Kr ⎤ ⎢s ⎥ = − Krτ ds ⎣ (τs + 1)s 2 ⎦


BAB III Respon Sistem Order Satu

DINPRO / III / 6

YDH - DINPRO - 2


Jadi diperoleh ramp response:

Y (t ) = K rτ e−t τ + (K rt − K rτ )u(t ) = K rτ e−t τ + K r(t −τ )u(t )

… (3.1.8)

Gambar 3.1.2 Respon sistem order satu terhadap perubahan input fungsi ramp 8 7 6

Output terlambat (lag) setelah waktu τ

X (t ) τ

5 4 3

Y (t ) K

2 1 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8


DINPRO / III / 7


Sinusoidal Response Pertimbangkan X(t) = A sin(ωt), dimana A adalah amplitude dan ω adalah frekuensi (radian/waktu). Dari Tabel 2.2.1 diperoleh bentuk laplace X(s) = Aω /(s2+ω2), disubstisusikan ke pers. (3.1.6) lalu dengan ekspansi parsial menghasilkan: ⎛ K ⎞⎛ Aω ⎞ A3 A1 A2 ⎟⎟⎜ 2 Y (s ) = ⎜⎜ + + ⎟= 2 + τ 1 s + ( 1 τ ) s − i ω s + iω s + ω s ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Ingat (s2 + ω2)=(s – iω) (s + iω), dan A1, A2, A3 dicari dengan pers. (2.3.9) 1⎞ KAω KAω ⎛ A1 = lim ⎜ s + ⎟ = s → −1 τ ⎝ τ ⎠ (τs + 1) s 2 + ω 2 1 + τ 2ω 2

(

KAω

A2 = lim

s → iω

A3 = lim

(τs + 1)(s + iω )

s → − iω

=

)

KA(− τω − i )

(

2 1 + τ 2ω 2

)

KAω KA(− τω + i ) = (τs + 1)(s − iω ) 2 1 + τ 2ω 2

(

)


DINPRO / III / 8


Dengan pers. (2.4.11) diperoleh sinusoidal response:

Y (t ) =

KAωτ 1 +τ ω

2 2

e−t τ +

KA 1 +τ ω

2 2

sin(ωt + θ )

… (3.1.9)

dimana: θ = arctan(–ωτ) Gambar 3.1.3 Respon sistem order satu terhadap perubahan input fungsi sinus 1.5

X (t ) 1

Y (t ) 0.5

0 0

5

10

15

20

25

-0.5

-1

-1.5 Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY


DINPRO / III / 9

YDH - DINPRO - 3


Response with Time Delay Pertimbangkan Proses dengan First Order Plus Dead-Time berikut:

⎡ Ke − st D Y (s ) = ⎢ ⎢⎣ τ s + 1

⎤ ⎥ X (s ) ⎥⎦

… (3.1.10) FOPDT

Dimana tD adalah time delay atau dead time Jika dikenai perubahan step input menghasilkan respon:

(

Y (t ) = K ∆x u (t − t D ) 1 − e − (t −t D )/τ

)

… (3.1.11)

Dimana u(t – tD) menunjukkan bahwa responnya nol untuk t < tD Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY

DINPRO / III / 10


Gambar 3.1.4 Respon sistem order satu dengan time delay terhadap perubahan input fungsi tahap 2

1.8 ∆x

X(t) 1.6 1.4 1.20 1

K∆x 0.8 Y(t) 0.6 0.4 0.20 0 0

t= 0 1 t =2 tD 2 1 tD

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

t8

Time delay atau dead-time


DINPRO / III / 11


Respon FOPDT terhadap Ramp Input

[

]

Y (t ) = u (t − t D ) Krτe − (t −t D )/τ + Kr (t − t D − τ )

… (3.1.12)

Respon FOPDT terhadap Sinusoidal Input ⎫⎪ ⎧⎪ KAωτ −(t −t )/τ KA D Y (t ) = u (t − t D )⎨ e sin[ω (t − t D ) + θ ]⎬ … (3.1.13) + 2 2 ⎪⎭ ⎪⎩1 + τ ω 1 + τ 2ω 2

TUGAS 02 Buat grafik respon untuk pers. (3.1.12) dan pers. (3.1.13) ! Ambil nilai: K = 1, r = 1, tD = 3, τ = 1, ω = 1 Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY


DINPRO / III / 12

YDH - DINPRO - 4


Respon Untuk Unit Lead-Lag Pertimbangkan FT Lead-Lag berikut:

⎡τ s +1⎤ Y (s ) = ⎢ ld ⎥ X (s ) ⎣⎢τ s + 1 ⎦⎥

… (3.1.14) Lead-Lag Unit

Dimana: τld adalah konstanta waktu untuk numerator (lead) τlg adalah konstanta waktu untuk denominator (lag) Lead-Lag diaplikasikan untuk kompensasi dinamik FFC (Feed Forward Control) Æ dibahas pada pertemuan y.a.d.


DINPRO / III / 13


Respon Lead-Lag Unit terhadap step input

⎛τ ⎞ −t / τ Y (t ) = u (t ) + ⎜ ld − 1⎟e ⎜τ ⎟ ⎝ ⎠

… (3.1.15)

Gambar 3.1.5 Respon Lead-Lag Unit terhadap perubahan input fungsi tahap 2

τ ld τ

=2

Y(t)

1.5

1

1

0.5

0.5

0 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

t Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY

DINPRO / III / 14


Respon Lead-Lag Unit terhadap ramp input

Y (t ) = (τ

− τ ld )e

−t / τ

+ t +τ

−τ

… (3.1.16)

Gambar 3.1.6 Respon Lead-Lag Unit terhadap perubahan input fungsi ramp 10

(τld − τlg)

9

(a) Net Lead: τld > τlg

8 7

(b) Net Lag: τlg > τld

(a)

Y(t)

6

(τlg − τld)

X(t)

5 4 3

(b)

2 1 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

t Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY


DINPRO / III / 15

YDH - DINPRO - 5

3.2 Fungsi Transfer dan Diagram Blok Fungsi Transfer G (s ) =

Y (s ) K (am s m + am −1s m −1 + L + a1s + 1)e −t D s = X (s ) (bn s n + bn −1s n −1 + L + b1s + 1)

… (3.2.1)

n≥m

Dimana:

G(s) = fungsi transfer (secara umum) Y(s) = transformasi laplace variabel output X(s) = transformasi laplace variabel input K, a, b = konstanta tD = deadtime Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY

DINPRO / III / 16

3.2 Fungsi Transfer & Diagram Blok

Diagram Blok Diagram blok dibentuk oleh kombinasi 4 elemen dasar: 1. panah (arrow) : informasi arah, yang menggambarkan variabel proses atau sinyal kontrol 2. titik penjumlahan (summing point) : penjumlahan aljabar input panah 3. titik percabangan (branch point) : posisi dimana panah bercabang menuju ke titik penjumlahan atau blok yang lain 4. blok (block) : operasi matematis dalam fungsi transfer Block

Summing point

R(s)

E(s)

+ −

Arrow

M(s)

GC(s)

Arrow C(s)

M(s)

Branch point

M(s) = Gc(s).E(s) = Gc(s).{R(s) – C(s)} Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY

DINPRO / III / 17


Diagram Blok Sederhana Satu-Input-Satu-Output (SISO) X(s)

G(s)

Y(s)

n-Input-Satu-Output X1(s) X2(s)

Dua-Input-Satu-Output X1(s)

G1(s)

+

Xn(s) Y(s)

X2(s)

G2(s)

G2(s) . . .

+ +

Y(s) +

Gn(s)

+



G1(s)

DINPRO / III / 18

YDH - DINPRO - 6


Y (s ) 1 = U (s ) τs + 1

Contoh 3.2.1: Gambarkan diagram blok untuk pers: Y(s)

1 τs + 1

U(s)

Contoh 3.2.2: Gambarkan diagram blok untuk pers:

Γ(s ) = Γi(s)

Γs(s)

K1 K Γi (s ) + 2 ΓS (s ) τs + 1 τs + 1 K1

Γi(s)

τs + 1

+

K2

Γ(s)

K1

+

atau Γs(s)

+

τs + 1

+

K2


1 Γ(s) τs + 1

DINPRO / III / 19


Contoh 3.2.3: Tentukan Fungsi Transfer hubungan Y terhadap X1 dan X2 berdasarkan diagram blok berikut: X1(s)

G1 +

−

G2

Y1

G3

Y3 + Y(s)

X2(s)

G4

Y2 +

+

−

Y3

Penyelesaian dengan manipulasi aljabar:

+ Y(s)

Y = Y3 + Y2

Y2 + Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY

DINPRO / III / 20

3.2 Fungsi Transfer & Diagram Blok Y1

dari

G3

Y3

diperoleh:

Y = Y1G3 + Y2

Mencari Y1 X1(s)

G2

Y1 = Z1 + Z2

Z1

G1

−

Y1 = X1G1 – X1G2

+ Y1

Y1 = X1 (G1 – G2)

Z2

Mencari Y2 X2(s)

Z3 G4

Y2

+

−

Y2 = Z3 – X2 Y2 = X2G4 – X2 Y2 = X2 (G4 – 1)



DINPRO / III / 21

YDH - DINPRO - 7


Substitusi Y1 dan Y2 ke Y:

Y (s ) = (G1 − G2 )G3 X 1 (s ) + (G4 − 1)X 2 (s )

Diagram blok sederhana untuk soal 3.2.3: X1(s)

(G1 – G2)G3

+

Y(s)

+

X2(s)

(G4 – 1)


DINPRO / III / 22


Contoh 3.2.4: Tentukan Fungsi Transfer hubungan C terhadap L dan C set berdasarkan diagram blok berikut, dan sederhanakan diagram bloknya: L(s) C set(s)

E

+

G1

G5 +

Gc

G2

G3

C(s)

+

G4

X

−

G6

Penyelesaian dengan manipulasi aljabar: E(s) = G1 C

set(s)

C(s) = G4 X(s)

– G6 C(s)

X(s) = GcG2G3 E(s) + G5 L(s) X(s) = GcG2G3 [G1C set(s) – G6C(s)] + G5 L(s) C(s) = G4 {GcG2G3 [G1C set(s) – G6C(s)] + G5 L(s)} Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY

DINPRO / III / 23


Penyusunan persamaan untuk mendapatkan hubungan C terhadap perubahan Cset dan L:

C (s ) = G1Gc G2G3G4C set (s ) − Gc G2G3G4G6C (s ) + G4G5 L(s ) C (s )(1 + Gc G2G3G4G6 ) = G1Gc G2G3G4C set (s ) + G4G5 L(s ) C (s ) =

G1Gc G2 G3G4 G4 G5 C set (s ) + L(s ) 1 + Gc G2 G3G4 G6 1 + Gc G2G3G4 G6

Jadi, diperoleh dua fungsi transfer:

Gsp (s ) =

C (s )

=

G1Gc G2 G3G4 1 + Gc G2 G3G4 G6

(s ) G4 G5 C (s ) Gload (s ) = = L(s ) 1 + Gc G2 G3G4G6 C

set



DINPRO / III / 24

YDH - DINPRO - 8


Diagram blok sederhana (Contoh 3.2.4) hubungan dua input: Cset(s) dan L(s), dengan satu output C(s) adalah:

C set(s)

G1Gc G2G3G4 1 + Gc G2 G3G4 G6

L(s)

+

G4G5 1 + Gc G2G3G4 G6

C(s)

+


DINPRO / III / 25

3.3 Dinamika Proses Order Satu Pemodelan Untuk Proses-Proses Industri

Mengapa perlu pemodelan?

1) Pelatihan operator (Operator training) 2) Perancangan proses (Process design) 3) Keselamatan sistem (Safety system) 4) Pengendalian proses (Process control)

Untuk mempelajari karakteristik sistem proses (tangki, reaktor, menara distilasi, penukar panas, dll) dan kelakuaannya, diperlukan: 1. variabel-variabel bebas (independent variables) dan tidak bebas (state variables) dari sistem 2. persamaan-persamaan hubungan antara variabel proses yang dapat menggambarkan kelakuan dinamik proses terhadap perubahan waktu Tiga kuantitas fundamental dalam Proses Kimia: (1) MASA, (2) ENERGI, dan (3) MOMENTUM Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY

DINPRO / III / 26

3.3 Dinamika Proses Order Satu

PRINSIP KEKEKALAN DARI KUANTITAS S

⎡ Akumulasi S ⎤ ⎡ Laju aliran S ⎤ ⎡ Laju aliran S ⎤ ⎢dalam sistem⎥ ⎢masuk sistem ⎥ ⎢keluar sistem ⎥ ⎣ ⎦=⎣ ⎦−⎣ ⎦ periode waktu periode waktu periode waktu

+

⎡ Sejumlah S yg ter ⎤ ⎢bangkitkan dlm sistem⎥ ⎣ ⎦ periode waktu

⎡ Sejumlah S yg ter ⎤ ⎢konsumsi dlm sistem⎥ ⎦ −⎣ periode waktu … (3.3.1)

Massa S dapat berupa:

Energi

Massa Total Massa Komponen

Momentum Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY


DINPRO / III / 27

YDH - DINPRO - 9


Contoh 3.3.1: Tentukan Fungsi Transfer hubungan input (f1 dan f2) dan output (h) untuk sistem proses tangki cairan berikut: f

f2(t), ρ

f1(t), ρ

: laju alir volumetrik, [m3/menit]

ρ : densitas cairan, [kg/m3]

h : ketinggian cairan di dalam tangki [m] A : luas penampang tangki

h(t ) R

f 3 (t ) =

h(t), [m]

⎡ menit ⎤ ⎥ ⎣ m2 ⎦

R : tahanan aliran cairan ⎢

ρ

Asumsi: densitas cairan umpan, ρ tetap dan suhu cairan tetap

Penyelesaian: N.M. kondisi tidak tunak:

f1 (t )ρ + f 2 (t )ρ − f 3 (t )ρ =

d (ρV ) dh(t ) = ρA dt dt

… (3.3.2)


DINPRO / III / 28


f1 (t ) + f 2 (t ) −

dh(t ) h(t ) =A dt R

… (3.3.3)

N.M. kondisi tunak:

f1s + f 2 s −

dh hs =A s dt R

… (3.3.4)

Pers. (3.33) – pers. (3.3.4) menghasilkan:

[ f1 (t ) − f1s ] + [ f 2 (t ) − f 2s ] − [h(t ) − hs ] = A dh(t ) − hs R

… (3.3.5)

dt

Persamaan keadaan (model matematik) dalam term deviasi adalah:

K p F1 (t ) + K p F2 (t ) = τ p

dH (t ) + H (t ) dt

… (3.3.6)


DINPRO / III / 29


dimana: F1 (t ) = f1 (t ) − f1s

F2 (t ) = f 2 (t ) − f 2 s

Term deviasi

… (3.3.7)

H (t ) = h(t ) − hs

: Gain proses

… (3.3.8)

τ p = AR : Konstanta waktu proses

… (3.3.9)

Kp = R

Karena pers. (3.3.6) adalah linear, maka dapat dilakukan TL:

K p F1 (s ) + K p F2 (s ) = τ p sH (s ) + H (s )

H (s ) =

Kp

τ ps +1

F1 (s ) +

Kp

τ p s +1



F2 (s )

… (3.3.10)

DINPRO / III / 30

YDH - DINPRO - 10


Jika laju volumetrik f1(t) berubah, dan f2(t) tetap, maka F2(s) = 0, sehingga pers. (3.3.7) menjadi:

H (s ) =

Kp

τ ps +1

F1 (s )

… (3.3.11)

Fungsi transfer pengaruh f1(t) terhadap h(t):

G1 (s ) =

Kp H (s ) = F1 (s ) τ p s + 1

… (3.3.12)

Jika laju volumetrik f2(t) berubah, dan f1(t) tetap, maka F1(s) = 0, sehingga pers. (3.3.7) menjadi:

H (s ) =

Kp

τ p s +1

F2 (s )

… (3.3.13)


DINPRO / III / 31


Fungsi transfer pengaruh f2(t) terhadap h(t):

G2 (s ) =

Kp H (s ) = F2 (s ) τ p s + 1

… (3.3.14)

Diagram blok proses tangki cairan (Contoh 3.3.1) F1(s)

F2(s)

Kp

τ ps +1

+

Kp

+

H(s)

atau

τ ps +1

F1(s) +

F2(s)

+

Kp

H(s)

τ ps +1


DINPRO / III / 32


Contoh 3.3.2: Linearisasi persamaan laju aliran tak-linear Tinjau kembali Contoh 3.3.1, jika laju alir keluar tangki dinyatakan dengan pers. tak-linear:

f 3 (t ) = β h(t )

Substitusi pers. (3.3.12) ke (3.3.2):

f1 (t ) + f 2 (t ) − β h(t ) = A

dh(t ) dt

… (3.3.15)

… (3.3.16)

tak-linear Linearisasi pers. tak-linear:

f 3 (t ) = β h(0) + β f 3 (t ) = β hs +

1 2 h(0)

[h(t ) − h(0)]

β [h(t ) − hs ] = β h(t ) + β hs 2 2 hs 2 hs



… (3.3.17)

DINPRO / III / 33

YDH - DINPRO - 11


Maka diperoleh persamaan linear:

f1 (t ) + f 2 (t ) −

β

h(t ) −

2 hs

β

=A

hs

2

dh(t ) dt

… (3.3.18)

N.M. pada kondisi tunak:

β β hs − hs 2 2 hs

f1s + f 2 s −

=A

dhs dt

… (3.3.19)

Pers. (3.3.14) – Pers. (3.3.15):

[ f1 (t ) − f1s ] + [ f 2 (t ) − f 2 s ] − F1 (t ) + F2 (t ) = A

β 2 hs

[h(t ) − hs ]

=A

d [h(t ) − hs ] dt

dH (t ) β + H (t ) dt 2 hs


DINPRO / III / 34


Persamaan keadaan dalam term deviasi:

K p F1 (t ) + K p F2 (t ) = τ p

dimana:

Kp =

2 hs

τp =

2 A hs

dH (t ) + H (t ) dt

… (3.3.20)

… (3.3.21)

β

… (3.3.22)

β

Dengan cara yang sama diperoleh transformasi laplace:

H (s ) =

Kp

τ ps +1

F1 (s ) +

Kp

τ ps +1

F2 (s )


DINPRO / III / 35


Contoh 3.3.3: Respon dinamik tangki cairan terhadap perubahan step input Tinjau kembali Contoh 3.3.1, jika diketahui data sebagai berikut: Dimensi tangki: Luas alas: A = 1 [m2] ; Tinggi tangki = 2 [m]

m3 ; Tinggi cairan: hs = 1 [m] menit menit h(t ) , dengan R = 2 f3(t) dinyatakan dengan pers. linear: f 3 (t ) = R m2 f1s = 0.2

m3 menit

;

f 2 s = 0.3

Parameter kondisi tunak:

Kp = R = 2

[ ]

⎡ menit ⎤ (1) m 2 = 2 menit 2 ⎥ ⎣ m ⎦ menit

τ p = RA = (2)⎢

m2



DINPRO / III / 36

YDH - DINPRO - 12


Jika tiba-tiba laju alir volumetrik f1(t) berubah menjadi 0.6

m3 menit

sedangkan laju alir volumetrik f2(t) tetap, maka F2(s) = 0 magnitude : M = f1s − f1snew = 0.6

F1 (s ) =

m3 m3 m3 − 0.2 = 0.4 menit menit menit

M s

Persamaan respon dinamik level cairan h(t):

H (s ) =

Kp

M τ ps +1 s

… (3.3.23)

Laplace inverse pers. (3.3.23):

⎡ Kp τp ⎛ M ⎜ ⎢⎣ s + 1 τ p ⎝ s

L −1[H (s )] = L −1⎢

⎡ P ⎤ ⎞⎤ −1 −1 ⎡ Q ⎤ ⎟⎥ = L ⎢ ⎥+L ⎢ ⎥ ⎠⎥⎦ ⎣s⎦ ⎢⎣ s + 1 τ p ⎥⎦


DINPRO / III / 37


Mencari P dan Q

⎡ Kp ⎢ τp ⎢ 1 τ p ⎢s + τ p ⎢⎣ ⎡ Kp τp lim ⎢ ⎢ Q= s → 0⎢s + 1 τp ⎢⎣

lim P=s→− 1

⎤ ⎡ ⎛ ⎞⎤ ⎥ ⎢⎛ K p ⎞⎜ M ⎟⎥ M⎛ ⎞ 1 ⎜ ⎟ = −K p M ⎜ s + τ ⎟⎥ = ⎢ ⎜ ⎟⎜ 1 ⎟⎥ p ⎠⎥ s ⎝ ⎢⎝ τ p ⎠⎜ − τ p ⎟⎥ ⎝ ⎠⎦ ⎥⎦ ⎣ ⎤ ⎡⎛ K p ⎞ ⎤ ⎜ τ p ⎟⎟ ⎥ M ⎥ ⎢⎜ (s )⎥ = ⎢⎜ 1 ⎟M ⎥ = K p M s ⎥ ⎥ ⎢ 0+ τ p ⎟ ⎥⎦ ⎢⎣⎜⎝ ⎠ ⎥⎦

maka:

⎡ Kp ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ − K pM ⎥ τ ⎡ K pM ⎤ M p −1 −1 −1 ⎢ ⎥=L ⎢ L [H (s )] = L ⎢ + L −1⎢ ⎥ ⎥ s+ 1 ⎥ ⎢ s + 1τ s ⎥ ⎣ s ⎦ ⎢ τ p p⎦ ⎣ ⎢⎣ ⎥⎦ Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY

DINPRO / III / 38


− ⎛ + K p M = K p M ⎜1 − e ⎜ ⎝ Karena H (t ) = h(t ) − hs

H (t ) = − K p M e

− t

τp

t

τp

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

… (3.3.24)

Jadi diperoleh respon dinamik level cairan terhadap perubahan input:

(

h(t ) = hs + K p M 1 − e

−t τ p

)

… (3.3.25)

⎡ m 3 ⎤⎛ −t ⎞ ⎡ menit ⎤ h(t ) = (1 )[m] + (2) ⎢ 2 ⎥ (0,4) ⎢ ⎥ ⎜1 − e 2 ⎟ ⎠ ⎣ m ⎦ ⎢⎣ menit ⎥⎦⎝ −t ⎞ ⎛ h(t ) = 1 + 0,8⎜1 − e 2 ⎟ ⎠ ⎝ Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY


… (3.3.26)

DINPRO / III / 39

YDH - DINPRO - 13


Liquid Level (m )

3

f 1 (t ) [m /mnt]

Respon dinamik level cairan terhadap perubahan laju alir umpan dengan step input 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0

2

4

0

2

4

6 time (mnt)

8

10

12

6

8

10

12

2.0 1.8 1.6 1.4 1.2 1.0 0.8

time (mnt) Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY


DINPRO / III / 40

YDH - DINPRO - 14

PEMODELAN & DINAMIKA PROSES ORDER SATU

Recommend Documents