BAB 1 Konsep Dasar
1
BAB 2 PDB Linier Order Satu
2
BAB 3 Aplikasi PDB Order Satu
3
BAB 4 PDB Linier Order Dua
4
BAB 5 Aplikasi PDB Order Dua
5
BAB 6 Sistem PDB
6
BAB 7 PDB Nonlinier dan Kesetimbangan Dalam fenomena riel sedikit sekali model PDB muncul dalam bentuk linier. Sebaliknya persamaan itu muncul dengan model nonlinier yang sulit diselesaikan secara analitik. Suatu metoda yang terus berkembang pesat adalah metoda numerik. Namun demikian secara teoritis maupun praktis metoda ini memerlukan pemahaman khusus terutama menyangkut pembuatan komputer programming. Metoda sederhana namun cukup berarti adalah menghampiri persamaan nonlinier dengan persamaan linier termasuk didalamnya menganalisa perubahan koe-
sien dan syarat awalnya. Teknik ini dikenal dengan analisa kualitatif, yaitu mencoba menganalisa solusi PDB nonlinier secara gra s. Beberapa aspek penting untuk memahami teknik penyelesaian dengan cara ini dapat dijelaskan dalam bahasan berikut.
78
BAB 7. PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN
79
7.1 Sistem Linier Suatu sistem PDB order satu dengan persamaan yang disajikan sebagai n
1 = 2 =
dx
dt dx
dt
a11 x1
+
a12 x2
+ +
a1n xn
a21 x1
+
a22 x2
+ +
a2n xn
a11 x1
+
a12 x2
+ +
a1n xn
...
1 =
dx
dt
dapat ditulis dalam bentuk
x = Ax
d
dt
Misal solusi persamaan ini adalah x =
rt
e
rt
re
(7.1)
:
dan x =
= A
0
re
rt
maka
rt
e
(A ; I) = 0 r
Denisi 7.1.1 Misal A R maka vektor A = dimana adalah nilai eigen. nn
2
r
2
R disebut vektor eigen bila n
r
Untuk memperoleh nilai eigen dapat dipakai formulasi
(A ; I) = 0 yang
det
r
sekaligus merupakan persamaan karakteristik dari sistem PDB linier diatas. Selanjutnya bila persamaan (7.1) sama dengan nol, yaitu ddtx = Ax = 0 maka solusi sistem PDB linier akan mencapai titik kritis (titik kesetimbangan). Suatu contoh, diberikan sistem PDB 1 = ; 1 + 2 2 = ; 1 ; 2. Titik kritis dapat x
0
x
x x
0
diperoleh dengan menyelesaikan sistem 1+ 2 = 0
;x
x
1; 2 = 0
;x
x
x
x
BAB 7. PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN
80
dimana titik yang memenuhi adalah (0 0) sehingga titik kesetimbangannya adalah
(0 0).
7.2 Sistem Otonomus dan Trayektori Dalam hal ini akan dibahas sistem PDB dengan dua variabel terikat 1 2. x x
Denisi 7.2.1 Suatu PDB yang berbentuk 1 = 2 =
dx
dt dx
dt
(
)
(7.2)
(
)
(7.3)
f1 x1 x2
f2 x1 x2
adalah merupakan sistem otonomus karena f1 (x1 x2 ) dan f2 (x1 x2 ) bebas dari t.
Dengan demikian bila sarat Lipschitz dipenuhi oleh persamaan diatas maka x1
= 1( ) x
t
x2
= 2( ) x
(7.4)
t
merupakan solusinya dan memenuhi sarat awal
( ) = ( 1)0
x1 t0
x
( ) = ( 2 )0 .
x 2 t0
Jelas penyelesaian (7.4) menentukan sebuah kurva diruang tiga-dimensi
x
t x1 x2
.
Jika kita pandang sebagai parameter, maka bila berubah dalam selang interval t
tertentu
t
, titik ( 1( )
a < t < b
x
( )) akan menelusuri sebuah kurva yang disebut
t x2 t
trayektori atau orbit dari penyelesaian (7.4) di bidang x1x2. Dalam kajian dari
sistem sis, pasangan (
x1 x2
) disebut fase dari sistem oleh karena itu bidang
1 2 pada umumnya disebut bidang fase (phase plan), sedangkan gambar semua
x x
trayektori yang berpautan dalam bidang fase disebut potret fase. Untuk menentukan trayektori dari persamaan (7.2-7.2) dapat digunakan aturan rantai sebagai berikut: dx2 dx1
=
dx2 dt
dt dx1
= 2( 1(
) 2)
f
x1 x2
f
x1 x
(7.5)
BAB 7. PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN
81
Kemudian dengan menyelesaikan PDB ini akan diperoleh persamaan trayektori yang melalui titik-titik pada domain . Misal 2( D
f
x1 x2
) 6= 0 maka persamaan
trayektori yang melalui titik-titik lain misal adalah S
dx1 dx2
= 1( 2(
) 2)
f
x1 x2
f
x1 x
Titik-titik (( 1)0 ( 2)0) dalam bidang fase yang membuat x
x
f1
dan
f2
sama de-
ngan nol merupakan titik setimbang dari sistem (7.2-7.2) dan 1( ) = ( 1)0 x
t
x
()=
x2 t
( 2)0 adalah penyelesaian untuk semua . x
t
Contoh 7.2.1 Tentukan titik kritis sistem PDB dx
0 0 =B @
1 1C Ax
;
1 0 dan gambar keluarga trayektori yang berpautan dengan solusi yang memenuhi dt
p
syarat awal x1 (0) = 1 x2 (0) = 3.
Contoh 7.2.2 Tentukan titik kritis sistem PDB dx
0 0 =B @
1 1C Ax
;
1 0 dan gambar keluarga trayektori yang berpautan dengan solusi yang memenuhi dt
p
syarat awal x1 (0) = 1 x2 (0) = 3.
Penyelesaian 7.2.1 Titik kritis ditentukan dengan
0 B@ 0
1 1C Ax = 0
;
1 0
sehingga (0 0) adalah satu-satunya titik kritis. Kemudian dengan menggunakan
persamaan (7.5) maka persamaan trayektori didapat dari menyelesaikan PDB 2 =; 1
dx
x1
dx
x2
=0
x2 6
BAB 7. PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN
82
dimana penyelesaian umumnya adalah 21+ 22 = 2, suatu lingkaran yang berpusat x
x
c
di (0 0). Dengan menerapkan sarat awal, maka solusi khusus didapat sebagai
2
x1
+
2
x2
= 4. Trayektori dari solusi ini adalah berupa lingkaran yang berpusat di
(0 0), dimana gerakannya dapat dianalisis dari solusi
nilai
x1
semakin kecil nilai
x2
2
x2
= 4 ; 21. Semakin besar x
-nya, dengan demikian gerakan titik berlawanan
dengan arah jarum jam, lihat Gambar (7.1). x2
2
x1
Gambar 7.1: Trayektori sistem PDB dengan variasi nilai awal.
7.3 Kestabilan Titik Kritis dari Sistem Otonomus Persamaan otonomus yang ditulis dalam sistem berikut 1 = 2 =
dx
dt dx
dt
(
)
(7.6)
(
)
(7.7)
f1 x1 x2
f2 x1 x2
BAB 7. PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN
83
akan mempunyai (( 1)0 ( 2)0) sebagai titik kritis (atau kesetimbangan) dari sisx
x
tem (7.6-7.7) apabila 1(( 1)0 ( 2)0) = 0 dan 2(( 1)0 ( 2)0) = 0. Karena tuf
x
x
f
x
x
runan suatu konstanta sama dengan nol, akibatnya jika titik (( 1)0 ( 2)0) merux
x
pakan titik kritis dari sistem ini, maka sepasang fungsi konstan x
1( ) = ( 1)0 t
x
2( ) = ( 2)0
x
t
(7.8)
x
merupakan penyelesaian dari sistem (7.6-7.7) untuk semua nilai . t
Dalam banyak keadaan, sangat penting mengetahui apakah setiap penyelesaian dari sistem (7.6-7.7) yang memulai cukup dekat dengan penyelesaian (7.8) pada = 0 akan tetap dekat dengan (7.8) untuk seluruh t
t >
0 berikutnya. Jika
demikian halnya, penyelesaian (7.8), atau titik kritis (( 1)0 ( 2)0) disebut stabil. x
x
Untuk lebih jelasnya diberikan de nisi berikut.
Denisi 7.3.1 Titik kritis (( 1)0 ( 2)0) atau penyelesaian konstan (7.8) dari sistem (7.6-7.7) disebut stabil jika untuk setiap bilangan 0 terdapat suatui bix
x
e >
langan > 0 sedemikian hingga setiap penyelesaian (x1 (t) x2 (t)) yang pada t = 0 memenuhi
1(0) ; ( 1)0]2 + 2(0) ; ( 2)0]2 x
x
x
x
<
(7.9)
<
(7.10)
ujud dan memenuhi
1( ) ; ( 1)0]2 + 2( ) ; ( 2)0]2 x
t
x
x
t
x
untuk semua t 0.
Denisi 7.3.2 Titik kritis (( 1)0 ( 2)0) atau penyelesaian konstan (7.8) disebut stabil asimtotik jika titik itu stabil dan sebagai tambahan terdapat 0 sedemikian x
x
BAB 7. PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN
84
hingga setiap penyelesaian (x1 (t) x2 (t)) yang pada t = 0 memenuhi
1(0) ; ( 1)0]2 + 2(0) ; ( 2)0]2 x
x
x
x
< 0
(7.11)
ujud untuk semua t 0 dan memenuhi
lim 1( ) = 0
t!1
x
t
lim 2( ) = 0
t!1
x
t
(7.12)
Denisi 7.3.3 Sebuah titik yang tidak stabil disebut tak stabil. Secara singkat dikatakan, stabilitas berarti perubahan kecil dalam syarat awal hanya menyebabkan pengaruh kecil pada penyelesaian, stabil asimtotik berarti pengaruh dari perubahan kecil cendrung menghilang sama sekali (tidak berpengaruh) sedangkan ketakstabilan berarti suatu perubahan kecil pada syarat awalnya akan berakibat perubahan besar pada penyelesaian. Konsep mengenai titik stabil, stabil asimtotik dan tak stabil masing-masing digambarkan dalam Gambar 7.2.
Gambar 7.2: Potret fase sistem PDB dengan MAPLE
BAB 7. PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN
85
Contoh 7.3.1 Buktikan titik kritis (0 0) sistem PDB
dx dt
0 0 =B @
1 1C Ax
;
1 0
adalah stabil.
Penyelesaian 7.3.1 Misal diberikan
cos + 2 sin
t
(7.13)
() =
c1
cos
t
(7.14)
t
c
t ; c2
sin
adalah sebarang konstan. Karena titik kritis (0 0) maka ( 1)0 =
( 2)0 = 0 dan 1(0) = x
c1
x2 t
c1 c2
0. Pilih = . Solusi sistem ini adalah
() =
x1 t
dimana
>
x
c1 x2
x
(0) = ; 2, dan jelas c
1(0) ; ( 1)0]2 + 2(0) ; ( 2)0]2 x
x
x
(
c1 ;
x
0)2 + (
c2 ;
2
c1
0)2
+
2
c2
<
<
<
:
Selanjutnya apakah 1( ) ; ( 1)0]2 + 2( ) ; ( 2)0]2 x
t
x
x
t
x
< :
Substitusikan penyelesaian diatas didapat ( 1 cos + 2 sin )2 + ( 1 cos c
2
c1
cos2 + 2 1 cos t
c
tc2
t
c
sin + 22 sin2 + 21 cos2 t
c
t
c
t
t ;
c
2 1 cos c
tc2
t ; c2
sin )2 t
sin + 22 sin2 t
c
2
c1
+
t
2
c2
<
<
<
=
:
Lengkaplah pembuktian bahwa titik kritis (0 0) adalah stabil. Kita tahu bahwa
trayektori sistem PDB ini merupakan persamaan lingkaran yang berpusat di
BAB 7. PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN
86
(0 0), dengan demikian lingkaran itu tidak menghampiri titik kritis pada saat
. Ini berarti persamaan (7.12) tidak berlaku, oleh karena itu titik kritis
t ! 1
(0 0) bukan stabil asimtotik.
Contoh 7.3.2 Buktikan titik kritis (0 0) sistem PDB dx
0 =B @
dt
1 CA x
1 0
;
0
1
;
adalah stabil asimtotik.
Penyelesaian 7.3.2 Mula-mula harus dibuktikan bahwa (0 0) adalah stabil.
Misal diberikan
>
0. Pilih = . Solusi umum sistem pada soal ini adalah
() =
c1 e
() =
c2 e
x1 t
x2 t
dimana c1 x2
c1 c2
t
(7.15)
t
(7.16)
;
;
adalah sebarang konstan. Disini ( 1)0 = ( 2)0 = 0 dan 1(0) = x
x
(0) = 2, dan jelas c
1(0) ; ( 1)0]2 + 2(0) ; ( 2)0]2 x
x
x
(
c1 ;
x
0)2 + (
c2 ;
2
c1
0)2
+
2
c2
<
<
<
:
Selanjutnya apakah 1( ) ; ( 1)0]2 + 2( ) ; ( 2)0]2 x
t
x
x
t
x
< :
Substitusikan penyelesaian diatas didapat (
) +(
t 2
;
c1 e
;
c2 e
( 21 + 22) c
c
)
t 2
2t
;
e
<
<
c1
2
+
2
c2 <
=
x
BAB 7. PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN
87
dengan demikian titik (0 0) adalah stabil. Karena untuk sebarang
lim 1( ) = tlim
t!1
x
t
!1
c1 e
t
;
=0
lim 2( ) = tlim
t!1
x
t
!1
t
;
c2 e
c1 c2
berlaku
=0
maka titik (0 0) adalah stabil asimtotik.
Contoh 7.3.3 Buktikan titik kritis (0 0) sistem PDB
0 =B @
dx dt
1 4C Ax
3
;
2 3
;
adalah takstabil.
Penyelesaian 7.3.3 Misal titik (0 0) adalah stabil maka untuk
>
>
0 terdapat
0 sedemikian hingga memenuhi persamaan (7.9-7.10). Perhatikan bentuk
penyelesaian sistem ini p
() = 2 p 2( ) = 2
x1 t
x
t
Disini ( 1)0 = ( 2)0 = 0 dan 1(0) = 2(0) = x
x
x
(7.17)
t
(7.18)
2
, dan
<
<
:
p
2
e
t
p
x
p
(
e
)2 + (
2
)2
2 Selanjutnya apakah
1( ) ; ( 1)0]2 + 2( ) ; ( 2)0]2 x
t
x
x
t
x
Substitusikan penyelesaian diatas didapat p
p
(
2
e
) +(
t 2
2
e
2
)
t 2
e
2t
<
<
:
< :
BAB 7. PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN Jelas ini tidak akan berlaku untuk semua nilai
88
0, sehingga titik kristis (0 0)
t
adalah takstabil. Selanjutnya sifat-sifat kestabilan secara umum dari sistem otonomus linier dx dt
0 =B @
a
b
1 CA x
c
d
dapat dianalisa dari nilai eigen matriknya. Bila
= 0 maka titik kritis
ad ; bc 6
(0 0) adalah satu-satunya titik kristis sistem ini dan solusinya akan berbentuk
()=A
x1 t
e
t
()=B
x2 t
e
t
:
dan sifat-s at kestabilan dapat dilihat dalam teorema berikut.
Teorema 7.3.1 Titik kritis (0 0) dari sistem PDB otonomus
akan stabil jika dan hanya jika kedua nilai eigennya riel dan negatif atau mempunyai bagian riel yang takpositif.
akan stabil asimtotik jika dan hanya jika kedua nilai eigennya riel dan negatif atau mempunyai bagian riel yang negatif.
akan takstabil jika dan hanya jika salah satu atau kedua nilai eigennya riel dan positif atau paling sedikit satu nilai eigen mempunyai bagian riel yang positif.
Ketiga contoh yang diberikan semuanya adalah sistem otonomus linier. Dalam contoh (7.3.1) persamaan kuadratik nilai eigen (persamaan karakteristik) 2 +1 =
0. Akar-akarnya adalah 0 , jelas mempunyai bagin riel yang tak positif (yaitu i
0) maka menurut teorema titik kritis ini (0 0) adalah stabil. Dalam contoh
BAB 7. PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN (7.3.2) persamaan karakteristiknya berbentuk 1
2
89
+ 2 + 1 = 0. Akar-akarnya
= ;1 = 2. Karena akar-akarnya riel dan negatif maka titik kritis (0 0) adalah
stabil asimtotik. Terakhir contoh (7.3.3) persamaan karakteristiknya
2
;
1=0
akar-akarnya = 1 dan = ;1 sehingga titik kritisnya takstabil.
Sekarang perhatikan kembali sistem otonomus (7.6-7.7). Misal titik kritis itu (( 1)0 ( 2)0) mengalami transformasi karena pemetaan yang berbentuk x
x1 ;
x
( 1) ; 0 dan x
X2
=
x2 ;
X1
=
( 2) ; 0, dan memetakan sistem otonomus kedalam x
sistem sepadan dengan (0 0) sebagai titik kritis, tanpa mengurangi perumuman,
dimana (0 0) juga merupakan titik kritis sistem (7.6-7.7) maka inilah suatu teknik
untuk menghampiri bentuk sistem non linier dengan sistem linier. Sistem hampiran ini akan menjadi sistem yang hampir linier dengan bentuk umum sebagai berikut dx dt
dengan
0 =B @
a
c
b
1 CA
+ (
)
F x1 x2
x
d
= 0 dan (0 0) = 0. Jadi (0 0) tetap merupakan titik kritis
ad ; bc 6
F
sistem ini. Kemudian bila fungsi-fungsi
1
( ) didekat titik kritis asal, dan
p( 21+ 2)2 = 0
(7.19)
F 2 C
I
juga terjadi bahwa lim !
x1 0 x2 0
!
dikatakan bahwa sistem linier dx dt
F x x x1
0 =B @
x2
a
b
1 CA x
c
d
merupakan hampiran yang baik terhadap sistem PDB hampir linier diatas. Selanjutnya berkenaan dengan kestabilan titik kritis akan mengikuti teorema berikut.
BAB 7. PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN
90
Teorema 7.3.2 Titik kritis (0 0) dari sistem PDB hampir linier
akan stabil asimtutik jika titik kritis (0 0) dari sistem PDB linier adalah stabil asimtutik.
akan takstabil jika titik kritis (0 0) dari sistem PDB linier adalah takstabil.
Contoh 7.3.4 Buktikan bahwa titik kritis (0 0) sistem PDB hampir linier
0
=
;x1
0
=
; x2 ;
x1
x2
+
x2
2
+ ( 21 + 22) x
x
( 21 + 22)3=2 x
x
adalah stabil asimtutik.
Penyelesaian 7.3.4 Di sini = 1 = 1 = 0 = 2, dan ; b
a
sedang 1 ( F
x1 x2
) = ( 21 + 22) x
x
(
F2 x1 x2
c
;
d
ad ; bc
= 2 6= 0
) = ( 21 + 22)2. Juga 1(0 0) = 2(0 0) = x
x
F
F
0, sehingga syarat (7.19) terpenuhi. Dengan demikian sistem liniernya sekarang adalah 0
=
;x1
0
=
; x2
x1
x2
+
x2
2
Persamaan karakteristik persamaan ini adalah akarnya adalah
1
= ;1 dan
1
2
+ 3 + 2 = 0, dimana akar
= ;2. Karena kedua akarnya bernilai riel dan
negatif maka titik kritis sistem linier ini adalah adalah stabil asimtutik yang berakibat bahwa sistem yang hampir linier itu juga stabil asimtutik.
Contoh 7.3.5 Buktikan bahwa titik kritis (0 0) sistem PDB hampir linier
0
=
; x1
0
=
; x1
x1
x2
3 +4 2+( 2 +3
x
2
2
x1 ; x2
x2 ; x1 x2
)
BAB 7. PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN
91
adalah stabil asimtutik.
Penyelesaian 7.3.5 Di sini = 3 = 4 = 2 = 3, dan ; b
a
sedang
(
F1 x1 x2
Kita nyatakan (syarat
x !
)=(
x1
2
2
)
(
x1 ; x2 F2 x1 x2
dan
0 dan
)=;
x1 x2
dalam koordinat polar:
x2
x !
; d
c
0 sepadan dengan
r !
, juga x1
F1
F
x2
!
x
F
!
r
x x
r
r
r
!
r
r
!
x
0). Maka
r
!
x
x x
x
= sin maka
2 (cos2 ; sin2 ) = lim cos 2 = 0 1( 1 2) p = lim lim 2+ 2 r 0 r 0 r 0 1 2 2 (cos sin ) = lim ; cos sin = 0 2( 1 2) p = lim ; lim 2+ 2 r 0 r 0 r 0 1 2 F
= 2 6= 0
(0 0) = 2(0 0) = 0.
= cos r
ad ; bc
:
!
Jadi syarat (7.19) terpenuhi, sehingga kajian difokuskan pada bagian sistem linier 0
=
; x1
0
=
; x1
x1
x2
dimana nilai eigennya adalah
1
3 +4
x2
2 +3
= 1 dan
2
x2
= ;1. Karena salah satu akarnya
adalah positif dan titik (0 0) adalah titik kritis dari sistem linier ini sehingga men
jadi takstabil maka sistem hampir linier diatas merupakan sistem PDB dengan titik keritis takstabil.
7.4 Potret Fase Sistem Otonomus Sebagaimana dijelaskan sebelumnya, gambar semua trayektori yang berpautan dari suatu sistem PDB disebut potret fase. Bila sistem PDB itu adalah otonomus linier dx dt
0 =B @
a
b
c
d
1 CA x
BAB 7. PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN maka solusi umumnya adalah 1( ) = A x
t
eigen dari matrik
rt
e
0 B@
a
b
c
()=B
x2 t
1 CA
92 rt
e
dimana adalah nilai r
:
d
yaitu, merupakan akar dari persamaan karakteristik r
det(A ; I) = 0 r
(7.20)
:
Potret fase dari sistem otonomus linier diatas hampir seluruhnya tergantung pada akar-akar
r1 r2
dari persamaan (7.20). Tabel (7.1) merupakan rangkuman potret
fase sistem PDB dengan sifat-sifat stabilitasnya. Sedangkan tipe-tipe titik kritis 0
x
=A
x
r1 < r2 < r1 <
0
r1
r2 >
r
r2 <
= 1 =
r1 r2 > < r1
=
0 0
0 0 0 0
i
i r2
Simpul Simpul Titik plana Simpul sempurna atau tak sempurna Simpul sempurna atau tak sempurna Titik spiral (Fokus)
Tidak stabil Stabil asimtotik Tidak stabil Tidak stabil Stabil asimtotik
Tipe titik kritis
> r2
=
det A 6= 0
r
Nilai eigen r1 > r2 >
det(A ; I) = 0
=;
i
Pusat
Stabilitas
Tidak stabil Stabil asimtotik Stabil
Tabel 7.1: Potret fase dan stabilitas sistem PDB otonomus linier pada kolom dua dapat dijelaskan melalui Gambar 7.3.
Contoh 7.4.1 Buatlah gambar potret fase dari sistem otonomus linier 0
=
; x1
0
=
x1 ;
x1
x2
2 + 2
x2
x2
(7.21) (7.22)
BAB 7. PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN
93
x2 x2
x2 ((x1)0 , (x2)0)
x1
(b)
x1
(a)
x1
(c)
Gambar 7.3: Ringkasan potret fase
Penyelesaian 7.4.1 Akar-akar karakteristik sistem ini adalah 1 = 1 dan 2 = ;
r
r
3, sehingga penyelesaian umumnya adalah
;
() =
c1 e
() =
c1 e
x1 t
x2 t
t
;
t
;
+
c2 e
(7.23)
3t
;
; c2 e
3t
;
(7.24)
:
Akan ditentukan trayektori dari semua penyelesaian yang diberikan oleh penyelesaian umum ini untuk semua nilai didapat penyelesaian (0 0). Bila
x1
= 0 dan
c1 6
c2
=
x2
c1 c2
= 0 dan
() =
c1 e
() =
c1 e
y
=
x >
= 0 maka
(7.25)
t
;
t
;
(7.26)
= 0 didapat penyelesaian () =
c2 e
() =
;c2 e
x2 t
c1 >
c2
c2 6
x1 t
Untuk
=
= 0 didapat penyelesaian
x2 t
c1
c1
= 0 dimana trayektorinya merupakan titik asal
x1 t
dan bila
yang berbeda. Bila
;
(7.27)
3t 3t
;
(7.28)
:
0 semua penyelesaian (7.25-7.26) mempunyai trayektori yang sama,
0. Demikian pula untuk
persamaan (7.26-7.27) bila
c2 >
c1 <
0, trayektorinya adalah =
0 dan
y
c2 <
x <
0. Pada
0, berturut-turut akan diperoleh
BAB 7. PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN trayektori = ; y
0 dan = ;
x <
y
x >
94
0. Keempat trayektori ini akan berupa
setengah garis-garis lurus sebagaimana terlihat dalam Gambar 7.4. Panah-panah pada setengah garis itu menunjukkan arah gerakan pada trayektori bila bertamt
bah. Untuk mendapatkan trayektori lainnya secara eksplisit kita harus mengeliminasi pada persamaan (7.25-7.26) dan menyelidiki semua kurva yang diperoleh t
untuk nilai konstanta
c1 c2
yang tidak nol. Bila ini sulit dilakukan maka dapat
dianalisa dari (7.23-7.24), jelas bahwa bila
t ! 1
setiap trayektori dari sistem
PDB pada soal ini akan menuju (0 0). Selanjutnya, untuk
= 0 dan
c1 6
= 0,
c2 6
kita punyai lim = tlim = t x
!1
y
!1
t
;
y
c1 e
x
c1 e
;
t
; c2 e
+
;
c2 e
3t
;
3t
= tlim
!1
c1 ; c2 e c1
+
2t
;
2t
;
c2 e
= 1 () = y
x:
Jadi, semua trayektori ini menuju titik asal dan menyinggung garis = . Gamy
x
bar 7.4 menunjukkan beberapa potret fase sistem (7.21-7.22). y
y = −x > 0
y= x>0
x
y = x < 0
y = −x < 0
Gambar 7.4: Potret fase untuk nilai awal tertentu Selanjutnya dengan MAPLE potret fase ini dapat digambar dengan mudah melalui fungsi DEplot.
BAB 7. PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN
95
%Menggunakan fungsi DEplot
with(DEtools):
ode1:=di(x1(t),t)=-2*x1(t)+x2(t)
ode2:=di(x2(t),t)=x1(t)-2*x2(t)
DEplot(ode1,ode2,x1(t),x2(t)],t=-3..3,x1=-3..3,x2=-3..3) Hasil dari menjalankan fungsi ini dapat dilihat pada gambar dibawah ini.
Gambar 7.5: Potret fase sistem secara umum
Contoh 7.4.2 Buatlah gambar potret fase dari sistem otonomus linier 0
= 3
2
(7.29)
0
= 2
2
(7.30)
x1
x2
x1 ;
x1 ;
x2
x2
Penyelesaian 7.4.2 Akar-akar karakteristik sistem ini adalah 1 = 1 dan 2 = r
;
r
2, sehingga penyelesaian umumnya adalah () =
x1 t
() = 2
x2 t
+
t
;
c1 e
c1 e
t
;
c2 e
+1 2
(7.31)
2t 2t
c2 e
:
(7.32)
BAB 7. PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN Bila
c1
=
= 0 maka didapat penyelesaian
c2
merupakan titik asal (0 0). Bila
= 0 dan
c1 6
() =
x1 t
= 0 dan
lurus
x2
>
=2
=2
x2
x1 <
c1 e
t
;
(7.34)
= 0 didapat penyelesaian () =
c2 e
() =
;c2 e
x2 t
c1
(7.33)
t
c2 6
x1 t
Untuk
= 0 dimana trayektorinya
;
() = 2
c1
x2
= 0 didapat penyelesaian
c2
c1 e
x2 t
dan bila
=
x1
96
(7.35)
2t 2t
(7.36)
:
0 trayektori sistem persamaan (7.33-7.34) berupa setengah garis
x1 >
0, sedangkan untuk
0. Kemudian untuk
trayektori setengah garis
x2
= 12
c1 <
0, trayektorinya adalah setengah garis
c2 >
0 dan
x1 >
0 dan
0, berturut-turut akan diperoleh
c2 <
= 12
x2
x1 <
0. Arah gerakan titiknya
menuju ke titik asal sebagaimana terlihat dalam Gambar 7.4. Untuk
= 0 dan
c1 6
= 0, kita peroleh
c2 6
lim t
!1
x2 x1
= tlim
2
!1
+ 12 2 2t 2 = tlim t + 2t 2
t
;
c1 e
;
c1 e
c e
!1
+ 12 2 1 = 2 () 3t + 2
3t
;
c1 e
c e
c
;
c1 e
c
x2
= 21
x1 :
dan untuk lim t
!;1
x2 x1
= t lim
!;1
2
;
c1 e
;
c1 e
+ 12 2 2t 2 1 + 12 2 3t = t lim = 2 () t + 2t 3t 2 1+ 2
t
c e
c e
!;1
Hal ini menyatakan bahwa untuk x2
= 21 1, sedangkan untuk x
t ! ;1
c e
c
t ! 1
c
c e
x2
=2
x1 :
semua trayektori asimtotis ke garis
semua trayektori asimtotis ke garis
x2
= 2 1. x
Gambar 7.4 menggambarkan beberapa trayektori dari potret fase sistem (7.217.22), dan menunjukkan bahwa hanya ada dua trayektori yang menuju titik asal, selebihnya menjauhi yaitu menuju 1 bila
t ! 1
.
Selanjutnya melalui penerapan fungsi DEplot didapat potret fase umum berikut.
BAB 7. PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN y
y = 2x > 0 y =
1 x >0 2
x
y =
1 x <0 2
y = 2x < 0
Gambar 7.6: Potret fase untuk nilai awal tertentu
Gambar 7.7: Potret fase sistem secara umum
97
BAB 7. PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN
98
Latihan Tutorial 2
1. Tentukan titik kritis dan persamaan trayektori dari penyelesaian sistem berikut. (a)
x1
0
=;
x2
(b)
x1
0
=;
x2
(c)
x1
0
=;
x2
(d)
x1
0
=; 1+
(e)
x1
0
=
x2
(f)
x1
0
=
x1 ; x1 x2
x1
x2
x1
x
0
=2
0
= ;4 sin
0
=2
x2
x2
0
x2
x1
x2
0
x2
=;
= ; sin 0
x2
x1 ; x2
x1
=; 2+ x
x1 x2
2. Transformasikan PDB berikut kedalam sistem PDB order satu dan hitung persamaan trayektorinya (a)
x
(b)
x
(c)
x
00
+ =0
00
+ sin = 0
00
x
x
;x
+
=0
3
x
3. Tentukan apakah titik kritis (0 0) merupakan titik stabil, stabil asimtutik
atau tak stabil. (a)
x1
0
=
(b)
x1
0
=; 1+
x2
x2
(c)
x1
0
=; 1+
x2
x2
(d)
x1
0
=5
x2
0
x2
x
x
x1 ;
6
=;
x2
x1
0
= ;2
0
=;
0
x2
x2
=6
x1 ; x2
x1 ;
7
x2
BAB 7. PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN (e)
x1
0
= ;3 1 + 4
(f)
x1
0
=5
(g)
x1
0
=
(h)
x1
0
=3
x1 ;
x2
+
0
6 2+ x
x2
= ;2 1 + 3
2
x1
=6
0
x1 ;
x2
0
x2
x
=5
x
x1 ;
x
populasi yang berlomba, dimana x2
0
x2
6 2+1 x
7
x2 ; x1 x2
= ;2 1 + 3 2 +
2 2 + ( 21 + 22)2 x
x2
x
x1 x2
x1 ; x1 x2
x1 ;
4. Misal sistem
0
x2
x
99
0
x2 x1
x
=4
2
x2
x1 ; x2
=6
x1 ;
+(
2
)
2 2
x1 ; x2
7 2 + 1 menunjukkan dua x
adalah populasi yang diperlukan dan
adalah populasi parasit. Buktikan bahwa titik kritis (0 0) dari sistem
ini adalah stabil asimtotik dan karena itu kedua populasi ini akan menuju kepunahan.
