BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1
Regresi Linier Sederhana
Regresi linier sederhana merupakan bagian regresi yang mencakup hubungan linier satu peubah acak tak bebas Y dengan satu peubah bebas X. Hubungan linier Y dan X dari satu populasi disebut garis regresi populasi yang dinyatakan persamaan sebagai berikut:
µ
µ α
Y.X
Y.X
= E (Y/X) = α + βX
(1)
= rata-rata Y untuk nilai X tertentu = jarak titik pangkal dengan titik potong garis regresi dengan sumbu Y (intercept) = nilai Y tanpa pengaruh X
β
= kemiringan (slope atau gradien) garis regresi = besarnya peubah Y sebagai akibat peubahan X satu satuan
Kalau ingin menduga rataan
µ
Y.X
, maka nilai Y perlu ditentukan untuk
suatunilai X tertentu. Nilai Y tersebut untuk Xi tertentu dinyatakan dengan Yi. Nilai Yi
Universitas Sumatera Utara
dan
µ
Y.X
pada umumnya tidak sama. Perbedaan tersebut tergantung pada ketepatan
model untuk menggambarkan keadaan yang sebenarnya dan ketepatan pengukuran peubah Y dan X.
Perbedaan antara Yi dan µY.X disebut galat acak (random error) dan dinyatakan dengan simbol εi. Dengan demikian:
εi = Yi - µY.X
(2)
Dari persamaan ini diperoleh model regresi l;inier sederhana dari suatu populasi sebagai berikut:
Yi = α + βXi+ εi
(3)
Paramenter βo dan β1 diduga dengan menggunakan garis regresi. Bentuk persamaan garis regresi adalah sebagai berikut:
Ŷ = a + bX
(4)
Dimana: a = intersept, jarak titik pangkal dan titik potong garis regresi dengan sumbu Y b = koefisien regresi
Universitas Sumatera Utara
Dalam hal ini: a merupakan penduga titik bagi α b merupakan penduga titik bagi β Ŷ merupakan penduga titik bagi µY.X
Nilai a dan b diperoleh dengan menggunakan metode kuadrat terkecil (least – squares methode). Metode kuadrat terkecil merupakan satu cara memperoleh a dan b, prinsip dari kuadrat terkecil meliputi meminimumkan jumlah dari simpangan kuadrat (the sum of squared deviations) dari nilai-nilai observasi terhadap nilai rata-ratanya. Cara meminimumkannya adalah sebagai berikut:
n
S=
n
ei2 =
i 1
(Yi – Ŷ)2 =
i 1
n
(Yi – a – bXi)2
(5)
i 1
Menghitung turunan S terhadap a dan b, hasilnya sebagai berikut:
S = a
(Yi a bX i ) 2 = i a
S = b
(Yi a bX i ) 2 = i b
= -2
X
i
2(Y
i
a bX i )(1) = -2
i
2(Y
i
(Y
i
a bX i )
i
a bX i )( X i )
i
(Yi a bX i )
i
Samakan kedua hasil turunan tersebut dengan nol (0), maka diperoleh syarat minimum adalah:
Universitas Sumatera Utara
-2
(Y
i
a bX i ) = 0
X
i
(Yi a bX i ) = 0
i
-2
(5)
i
Dari dua persyaratan diatas diperoleh persamaan normal sebagai berikut:
n
Xi =
na+b
i 1
a
n
X i 1
i
+b
n
n
Y i 1
X i 1
2 i
i
=
n
X Y i 1
i i
(6)
dan dari persamaan normal diperoleh:
n
1 n n X i Yi n i 1 i 1 n 1 n 2 X Xi i n i 1 i 1
X Y b=
i 1
i i
n
=
(X i 1
i
X )(Yi Y )
n
(X i 1
i
X )2
a = Ŷ – bX
(7)
atau a=
( Yi )( X i2 ) ( X i )( X i Yi )
b=
n X i Yi ( X i )( Yi )
n( X i2 ) ( X i ) 2
n X i2 ( X i ) 2
(8)
Universitas Sumatera Utara
Dengan menyelesaikan persamaan-persamaan ini, maka akan memperoleh nilai koefisien a dan nilai koefisien b.
2.2
Regresi Linier berganda
Bila regresi linier sederhana digunakan untuk mengetahui hubungan dua variabel yaitu satu variabel bebas ( X ) dan satu variabel tak bebas ( Y ), maka regresi linier berganda digunakan untuk mengetahui hubungan antara dua variabel atau lebih variabel bebas ( X ) dengan variabel tak bebas ( Y ) dan juga digunakan untuk meramalkan nilai variabel tak bebas Y jika seluruh variabel bebasnya sudah diketahui nilainya dan semua koefisien regresi parsial sudah dihitung.
Bila jika dalam regresi linier sederhana hanya ada satu variabel bebas X yang dihubungkan dengan variabel tak bebas y linier dalam X, sehingga bentuk taksiran Y = a + bX, maka dalam regresi linier berganda terdapat sejumlah ( sebut saja k buah, k>1) variabel bebas yang yang dihubungkan dengan linier dalam semua variabel bebas. Jika variabel bebas X 1 , X 2 , X 3 , …,X k dan variabel tak bebas Y, maka bentuk umum linier berganda atas X 1 , X 2 , X 3 , … X k akan ditaksir oleh :
Y = a + b 1 X 1 +b 2 X 2 +b 3 X 3 +…+b k X k Dengan konstanta a0 dan koefisien a1, a2, a3,…,a k dapat ditaksir berdasarkan n buah pasangan data X 1 , X 2 , X 3 , … , X k . Y seperti halnya mencari a dan b dalam
model Y = a + bX diperlukan n buah pasangan data X dan Y, maka untuk mencari a, a1, a2, …, ak diperlukan juga pasangan data (X 1 , X 2 ,…, X k ,Y).
Universitas Sumatera Utara
Dengan menggunakan metode kuadrat terkecil, maka koefisien – koefisien a, a1, a2 dapat dihitung dengan sistem persamaan :
Y
= na 0 a1 X 1 a 2 X 2
YX
1
= a X 1 a1 X 12 a 2 X 1 X 2
YX
2
= a X 2 a1 X 1 X 2 a 2 X 22
Untuk mendapatkan harga – harga a, a1, dan a2 dari persamaan di atas disusun menurut datanya dan kemudian dapat diselesaikan dengan metode eliminasi dan substitusi.
2.3
Uji Keberartian Regresi
Uji keberartian regresi diperlukan untuk mengetahui apakah sekelompok variabel bebas secara bersamaan mempunyai pengaruh terhadap variabel tak bebas.
Langkah – langkah untuk pengujian keberartian regresi adalah sebagai berikut:
1. Kumpulkan data dalam bentuk tabel. 2. Statistik uji adalah:
JKreg
F=
k JKres
(n k 1)
Universitas Sumatera Utara
Dengan: F = Statistik F yang menyebar mengikuti distribusi derajat kebebasan V 1 = k dan V 2 = n – k – 1 Jkreg = Jumlah kuadrat regresi: b 1 y i x 1i +b 2
y x i
2i
+b 3 y i x 3i + ... b k
y x i
ki
x 1i = X 1i X , X 2i X , X 3i X , X ki X y = Y 1Y dengan derajat kebebasan (dk) = k
JKres = Jumlah Kuadrat Residu (sisa) =
(Y Yˆ )
2
Dengan derajat kebebasan n – k – 1 3. Kriteria Pengujian. a. H o:B 1 B 2 ... B k 0 (ini berarti bahwa antara Y dengan X 1 dan X 2 tidak ada hubungan)
H 1:B j 0 ( ini berarti bahwa Y tergantung pada X 1 dan X 2 atau kedua – duanya) b. Tolak H 0 Jika F Hitung > F Tabel Terima H 0 Jika F Hitung < F Tabel
2.4
Koefisien Korelasi
Dalam kehidupan, kadang kita dihadapkan pada situasi dimana harus mencari hubungan antara dua variabel yang kita amati. Misalkan bagaimana hubungan antara ketersediaan beras dengan jumlah produksi beras. Untuk melihat hubungan tersebut kita dapat menggunakan analisa korelasi.
Universitas Sumatera Utara
Korelasi merupakan istilah yang digunakan untuk mengukur kekuatan hubungan antar variabel. Analisa korelasi adalah nilai yang menunjukkan kekuatan dan arah hubungan linier antara dua peubah acak (random variable). Apabila terdapat hubungan antara variabel maka perubahan – perubahan yang terjadi pada salah satu variabel akan mengakibatkan terjadinya perubahan pada variabel lainnya. Jadi, dari analisis korelasi dapat diketahui hubungan antara variabel tersebut.
Korelasi yang terjadi antara dua variabel dapat berupa korelasi positf, korelasi negatif, tidak ada korelasi ataupun korelasi sempurna.
1. Korelasi Positif. Korelasi Positif adalah Korelasi dua variabel, dimana apabila variabel bebas X meningkat maka variabel tak bebas Y cenderung meningkat pula. Semakin dekat nilai koefisien korelasi ke +1, maka semakin kuat korelasi positifnya. 2. Korelasi Negatif. Korelasi Negatif adalah Korelasi dua variabel, dimana apabila variabel bebas X meningkat maka variabel tak bebas Y cenderung
menurun.
Semakin dekat nilai koefisien korelasi ke -1, maka semakin kuat korelasi negatifnya. 3. Tidak ada Korelasi Tidak adanya korelasi terjadi apabila variabel bebas X dan variabel tak bebas Y tidak menunjukkan adanya hubungan. Hasil perhitungan korelasi mendekati 0 atau sama dengan 0.
Universitas Sumatera Utara
4. Korelasi Sempurna Korelasi Sempurna adalah korelasi dua variabel dimana kenaikan atau penurunan harga variabel X berbanding dengan kenaikan atau penurunan harga variabel tak bebas Y. Hasil perhitungan korelasi +1 atau -1, maka menunjukkan berkolerasi positif atau negatif yang sempurna
Jika yang diukur korelasi antara variabel X dengan variabel Y dinotasikan r xy , maka rumus yang digunakan adalah:
n X iY i( X i)( Y i)
r xy
n X i2 ( X i) 2 (n Yi 2 ( Y i) 2 )
Dimana : = Banyaknya pasangan data X dan Y
n
X Y
i
1
= Jumlah nilai – nilai dari variabel X = Jumlah nilai – nilai dari variabel Y
X
2 i
= Jumlah kuadrat nilai – nilai dari variabel X
Y
2
= Jumlah kuadrat nilai – nilai dari variabel Y
i
X Y
i i
= Jumlah hasil kali nilai-nilai variabel X dan Y
Sedangkan untuk menghitung korelasi antara variabel tak bebas dengan dua variabel bebas adalah :
Universitas Sumatera Utara
r y.x1 =
ry . x 2 =
n X 1iY i ( X 1i )( Y i)
n X 12i ( X 1i) 2 (n Yi 2 ( Y i) 2 ) n X 2i Y i ( X 2i)( Y i)
n X 22i ( X 2i) 2 (n Yi 2 ( Y i) 2 )
Ukuran yang dipakai untuk mengetahui derajat hubungan antara dua variabel atau lebih terutama untuk data kuantitatif disebut koefisien korelasi. Besar kecilnya hubungan antara dua variabel dinyatakan dengan bilangan. Koefisien Korelasi ini bergerak antara 0,000 sampai 1,000 atau antara 0,000 sampai -0,000 tergantung kepada arah korelasi. Koefisien yang bertanda positif menunjukan arah korelasi yang positif, koefisien korelasi yang bertanda negatif menunjukkan arah korelasi yang negatif, sedang koefisien yang bernilai 0,000 menunjukkan tidak adanya hubungan.
Untuk lebih memudahkan mengetahui bagaimana sebenarnya keeratan hubungan antara variabel – variabel tersebut, dapat dilihat perumusan sebagai berikut:
-1,00 ≤ r ≥ -0,80 Berarti Berkorelasi Kuat -0,79 ≤ r ≥ -0,50 Berarti Berkorelasi Sedang -0,49 ≤ r ≥ 0,49 Berarti Berkorelasi Lemah 0,50 ≤ r ≥ 0,79 Berarti Berkorelasi Sedang 0,80 ≤ r ≥ 1,00 Berarti Berkorelasi Kuat
Universitas Sumatera Utara
2.5
Uji Keberartian Koefisien Korelasi
Setelah diperoleh r y. x1 dan r y . x 2 maka langkah selanjutnya adalah melakukan uji keberartian koefisien korelasi antara X dan Y. Dengan langkah – langkah sebagai berikut: 1.
Statistik Uji adalah: t0 =
n n2 1 r 2
Dengan : r = Koefisien Korelasi n= Banyak Pasangan 2.
Kriteria Pengujian Tolak H 0 Jika t Hitung > t Tabel dan terima H 0 Jika t Hitung < t Tabel Dengan t Tabel diperoleh dari tabel t dengan α dan dk = n – k – 1.
Universitas Sumatera Utara
