Regresi Linier Sederhana
Diah Indriani Bagian Biostatistika dan Kependudukan Fakultas Kesehatan Masyarakat Universitas Airlangga
1
Definisi Pengaruh Jika terdapat 2 variabel, misalkan X dan Y yang data-datanya diplot seperti gambar dibawah Y
Y
2
X
X
Y
Y
X
X
Y
X 3
Definisi Pengaruh Maka plot data yang membentuk suatu pola tertentu menunjukkan bahwa variabel X dan Y membentuk suatu hubungan X
Y
hubungan
X
Y
pengaruh
4
Definisi Pengaruh Jika sudah jelas arah hubungannya Mana variabel yang mempengaruhi ? Mana variabel yang dipengaruhi ? Maka disebut Pengaruh Jika belum jelas variabel yang dipengaruhi / mempengaruhi (belum jelas arah hubungannya), maka disebut Hubungan 5
Regresi Linier Y Terhadap X Jika pola yang membentuk hubungan X dan Y membentuk suatu garis lurus, maka disebut Pengaruh Linier Dimana : variabel X variabel bebas (independent) variabel Y variabel terikat (dependent) Nilai-nilai Y ditentukan oleh nilai-nilai X Variabel Y dipengaruhi oleh variabel X Variabel X mempengaruhi variabel Y 6
Regresi Linier Y Terhadap X Plot antara X dan Y Y
Garis lurus tersebut membentuk persamaan : Y = a + bX a disebut intersep b disebut slope X
7
Intersep Bila X = 0 maka Y = a
Bila a = 0 maka garis akan melalui titik (0,0)
Y
a
Y
. X 8
X
Slope Slope = kemiringan Y = a + bX Perubahan 1 satuan pada X mengakibatkan perubahan b satuan pada Y, sehingga Y mengukur kemiringan/slope garis tersebut. 9
Slope Y
b satuan α 1 satuan
X 10
Slope Bila b positif Bertambahnya nilai X mengakibatkan bertambahnya nilai Y Bila b negatif Bertambahnya nilai X mengakibatkan berkurangnya nilai Y 11
Regresi Linier Sederhana Model regresi linier yang hanya melibatkan satu variabel bebas (X). Model regresinya sbb:
Y = α + βX Dimana : Y = variabel terikat X = variable bebas α, β = parameter regresi 12
Regresi Linier Sederhana Sehingga setiap pasangan pengamatan (Xi, Yi) dalam sampel akan memenuhi persamaan
Yi = α + β X i + ε i Dimana :
εi
= sisaan / galat / eror Atau dalam persamaan dugaannya
Yi = a + bX i + ei 13
Sisaan / Galat / Eror Adalah penyimpangan model regresi dari nilai yang sebenarnya
Y
. . .
e10
e8
. .e . e 1
e3
. . . e5
e6
e9
e7
.e
4
2
X 14
Metode Pendugaan Parameter Regresi
α, β parameter regresi yang akan diduga dari data sampel a, b penduga parameter regresi Metode Metode Kuadrat Terkecil (MKT) (suatu metode pendugaan parameter dengan n meminimumkan ∑ ei 2 / Jumlah Kuadrat Eror / SSE ) i =1
15
Metode Pendugaan Parameter Regresi
Yi = a + bX i + ei ei = Yi − a − bX i n
n
2 SSE ∑ ei = ∑ (Yi − a − bX i ) 2
i =1
i =1
Nilai dugaan a dan b diperoleh dari proses sbb : 1. Dilakukan turunan pertama terhadap a dan b n ∂ (∑ ei 2 ) = −2∑ (Yi − a − bX i ) ∂a i =1
n ∂ (∑ ei ) = −2∑ (Yi − a − bX i )X i ∂b i =1 2
16
Metode Pendugaan Parameter Regresi 2. Kedua persamaan hasil penurunan disamkan dengan nol n
n
na + b∑ X i = ∑ Yi n
i =1
n
i =1
n
a ∑ X i + b∑ X i = ∑ X iYi 2
i =1
i =1
i =1
n n n n∑ X iYi − ∑ X i ∑ Yi i =1 i =1 b = i =1 n n 2 n∑ X i − ∑ X i i =1 i =1
a = Y − bX
17
Metode Pendugaan Parameter Regresi Penduga Parameter Regresi α, β n n n n∑ X iYi − ∑ X i ∑ Yi i =1 i =1 b = i =1 2 n n 2 n∑ X i − ∑ X i i =1 i =1
Dimana : X = rata-rata Xi 18
Y
a = Y − bX
= rata-rata Yi
Uji Model Regresi Dilakukan dengan pendekatan analisis variansi dengan menguraikan komponen-komponen total keragaman dari variabel terikat SST = SSR + SSE SST = Sum of Square Total / Jumlah Kuadrat Total SSR = Sum of Square Regression / Jumlah Kuadrat Regresi SSE = Sum of Square Eror / Jumlah Kuadrat Eror 19
Uji Model Regresi SST = Jyy SSR = b Jxy SSE = SST – SSR = Jyy– b Jxy
Jyy
n ∑ Yi n 2 i =1 = ∑ Yi − n i =1 20
2
n n ∑ X i ∑ Yi n i =1 i =1 Jxy = ∑ X iYi − n i =1
Uji Model Regresi Tahapan uji keberartian model regresi sbb: 1. Hipotesis = H0 : β = 0 H1 : β ≠ 0 dimana β = matriks [ β0, β1]
21
Uji Model Regresi 2. Tabel Analisis Ragam Komponen Regresi
SS
db
Regresi
SSR
1
Eror
SSE
n – 2 s2 = SSE / n-2
Total
SST
n–1
22
MS
Fhitung
MSR = SSR/1 MSR / s2
Uji Model Regresi 3. Pengambilan Keputusan H0 ditolak jika Fhitung > Ftabel(1 , n-2) pada taraf kepercayaan α
23
Uji Parsial Parameter Regresi Uji parsial untuk menguji apakah parameter β berarti pada model secara parsial Tahapan Ujinya : 1. Hipotesis = H0 : β = 0 H1 : β ≠ 0 24
Uji Parsial Parameter Regresi 2. Statistik Uji =
t= Dimana
b − β0 s / J xx
n X ∑ i n 2 J xx = ∑ X i − i =1 n i =1
2
s=
SSE n−2
25
Uji Parsial Parameter Regresi 3. Pengambilan Keputusan = H0 ditolak jika thitung > t α/2(db= n-2) pada taraf kepercayaan α
26
Uji Intersep Model Regresi Uji parsial untuk menguji apakah parameter α berarti pada model secara parsial Tahapan Ujinya : 1. Hipotesis = H0 : α = 0 H1 : α ≠ 0 27
Uji Intersep Model Regresi 2. Statistik Uji =
t=
a −α n
s ∑ X i / n J xx 2
i =1
Dimana
n X ∑ i n 2 i =1 J xx = ∑ X i − n i =1 28
2
s=
SSE n−2
Uji Intersep Model Regresi 3. Pengambilan Keputusan =
thitung > t H0 ditolak jika pada taraf kepercayaan α
α/2(db= n-2)
29
Selang Kepercayaan Untuk β Selang kepercayaan untuk parameter β dalam persamaan regresi Y = α + βX
t s t s P b − α / 2 < β < b + α / 2 = (1 − α )100% J xx J xx
30
Selang Kepercayaan Untuk α Selang kepercayaan untuk parameter α dalam persamaan regresi Y = α + βX n n 2 t s X t s ∑ i ∑ Xi2 α /2 α /2 i =1 i =1 = (1 − α )100% P a − <α < a + n J xx n J xx
31
