Analýza časových řad. Informační a komunikační technologie ve zdravotnictví. Biomedical Data Processing G r o u p

Analýza časových řad Informační a komunikační technologie ve zdravotnictví

Biomedical Data Processing G r o u p

Definice  Řada je posloupnost hodnot

Časová řada  chronologicky uspořádaná posloupnost hodnot určitého statistického ukazatele  formálně je realizací náhodného procesu

Signál


Motivace  Cílem analýzy je konstrukce vhodného modelu za účelem:  porozumění mechanismu generující hodnoty časové řady  pochopení podmínek a vazeb působících na vznik těchto hodnot

 Simulace pomocí modelu  Predikce řady


Dělení časových řad I. Dlouhodobé  jejich periodicita je jeden rok a více  aplikace jiných postupů než u ČŘ krátkodobých

Krátkodobé  jejich periodicita je kratší než jeden rok  čtvrtletní, měsíční, týdenní, atd...


Dělení časových řad II. Intervalové  řady intervalových ukazatelů (Př.: počet rozvodů za rok v ČR)  intervalový ukazatel = ukazatel, jehož velikost závisí na délce intervalu, za který je sledován  lze vytvořit součty (resp. průměry), je nutná stejná délka intervalů  pokud jsou intervaly různě dlouhé, je třeba provést přepočet na jednotkový interval (tzv. očišťování od důsledků kalendářních variací).

Okamžikové  řady okamžikových (stavových) ukazatelů (Př.: počet obyvatel ČR k 31.12.)  okamžikový ukazatel = ukazatel, jehož hodnoty se vztahují ke konkrétnímu časovému okamžiku  součet nedává reálný smysl, průměr nelze stanovit běžným způsobem  k průměrování používáme chronologický průměr 1 1 x1  x 2    x n 1  xn 2 x  2 n 1 Biomedical Data Processing G r o u p

Dělení časových řad III. s absolutními ukazateli  obsahují hodnoty tak jak byly zaznamenány

s relativní ukazateli  obsahují hodnoty jistým způsobem transformované


Dělení časových řad IV. Deterministické  neobsahují žádný prvek náhody  jsou konstruovány podle nějakého modelu  lze je přesně rekonstruovat (ne predikovat)

Stochastické  obsahují prvek náhody  naprostá většina jevů v reálném světě


Dělení časových řad V. Ekvidistantní  časové řady s konstantní časovou vzdáleností mezi jednotlivými hodnotami

Neekvidistantní  časové řady s různou časovou vzdáleností mezi jednotlivými hodnotami  Při zpracování vyžadují buď zvláštní přístup nebo korekce indexových i hodnotových řad


Dělení časových řad VI. Stacionární  hodnoty aritmetického průměru a variability jsou v celém průběhu řady stejné

Nestacionární  Hodnoty aritmetického průměrů a variability se v průběhu řady mění (nejsou stejné)  nestacionarita je projevem např. trendu řady nebo změny rozptylu hodnot


U signálu Deterministický x stochastický

Ekvidistantní x neekvidistantní

Stacionární x nestacionární


Složky časových řad I. Trendová složka  obecná tendence vývoje zkoumaného jevu za dlouhé období  výsledkem dlouhodobých a stálých procesů  trend může být rostoucí, klesající nebo může existovat řada bez trendu


Složky časových řad II. Periodické kolísání  Sezónní složka  pravidelně se opakující odchylka od trendové složky  perioda této složky je menší než celková velikost sledovaného období


Složky časových řad III. Periodické kolísání  Cyklická složka  udává kolísání okolo trendu v důsledku dlouhodobého cyklického vývoje


Složky časových řad V. Náhodná složka  nedá se popsat žádnou funkcí času  zbývá po vyloučení trendu, sezónní a cyklické složky


Základní úpravy časových řad  doplnění chybějících hodnot  časový posun  sezónní diference  kumulativní součet  vyhlazování časových řad


Základní úpravy časových řad Doplnění hodnot řady  v případě že v časové řadě některé hodnoty chybí  doplněné hodnoty nejsou plnohodnotné a mohou snížit kvalitu výsledků  existuje několik možností, jak chybějící data doplnit  náhrada chybějících hodnot nulami  náhrada chybějících hodnot aritmetickým průměrem či mediánem  náhrada chybějících hodnot trendem celé časové řady  náhrada chybějících hodnot na základě zvolené funkce a okolních bodů


Funkce pro doplnění hodnot řady Rozlišujeme čtyři úlohy pro doplnění hodnot řad  Interpolaci  doplňování hodnot doprostřed časových řad

 Extrapolaci  nalezení hodnot na koncích řady

 Aproximaci  nalezení přibližné hodnoty čísla

 Predikci  konstrukce předpovědi budoucího průběhu


Funkce pro doplnění hodnot řady Interpolace  nalezení chybějícího údaje závislé veličiny y pro některou hodnotu x uvnitř intervalu známých hodnot  není úloha jednoznačná a má smysl jen v jistých mezích přesnosti  lineární interpolace, kvadratická interpolace, polynomiální interpolace


Funkce pro doplnění hodnot řady Extrapolace  nalezení chybějícího údaje závislé veličiny y pro některou hodnotu x mimo interval známých hodnot  jednodušší případ predikce  z matematického hlediska mnohem méně přesná a složitější metoda než interpolace – zpravidla nelze mat. prostředky zodpovědně odhadnout budoucí nebo minulý vývoj


Funkce pro doplnění hodnot řady Aproximace  nalezení přibližné hodnoty čísla, nebo jedné z jeho možných hodnot  může také znamenat nahrazení čísla vhodným číslem blízkým  narozdíl od interpolace není nutné, aby tato křivka přesně procházela zadanými body


Základní úpravy časových řad Časový posun  vytvoření časové řady opožděné resp. předbíhající jinou totožné časovou řadu  představuje to vlastně posunutí časové řady “dopředu” případně “dozadu” oproti původní časové řadě  nově vytvořené proměnné mají na začátku, resp. na konci tolik chybějících hodnot, o kolik kroků se posun prováděl.


Základní úpravy časových řad Sezónní diference  diference mezi okamžiky vzdálenými o celistvý násobek délky periody  vyjadřuje velikost změny, ke které došlo mezi dvěma časovými okamžiky měření  je-li kladná, řada v daném čase roste,  je-li záporná, řada klesá.  sezónní diferencí se data zbavují sezónních vlivů


Základní úpravy časových řad Kumulativní součet  součet pozorování za určitý časový úsek.  opačná operace k diferenci  kumulativním součtem bílého šumu = náhodná procházka  nikdy nelze předvídat, zda tato funkce se obrátí vzhůru nebo dolů (tzv. procházka “opilého námořníka”)  náhodná procházka je hladší nežli bílý šum, jelikož integrace potlačuje vyšší frekvenční složky a zvýrazní nižší frekvence.


Základní úpravy časových řad Vyhlazování časových řad  střední hodnota chyby je nulová (je to náhodná veličina)  jednotlivé chyby nejsou vzájemně závislé (tj. nekorelované)  zprůměrováním několika po sobě následujících pozorování budou se chyby navzájem rušit  skutečná sledovaná hodnota procesu naopak vynikne  tomto pozorování jsou založeny metody vyhlazování časových řad


Zpracování časových řad Popisné charakteristiky  charakteristiky polohy  charakteristiky variability  míry dynamiky  korelace

Analýza časových řad  klouzavé průměry  dekompozice složek časové řady  lineární dynamické modely  Boxova-Jenkinsova metodologie  spektrální analýza časových řad


Popisné charakteristiky  Charakteristiky polohy  prostý aritmetický průměr 1 x  n

n



i 1

xi

 vážený aritmetický průměr

  n

x

i 1 n

wi xi

i 1

wi

, kde X  { x1 ,  , x n } jsou hodnoty a W  {w1 ,  , wn } jsou váhy

 Modus  hodnota znaku s největší relativní četností

 Medián  hodnota, jež dělí řadu podle velikosti seřazených výsledků na dvě stejně početné poloviny Biomedical Data Processing G r o u p

Interval spolehlivost pro průměr  - populační průměr x - výběrový průměr  - populační směrodatná odchylka s - výběrová směrodatná odchylka   x  u 1 

 N

u1- - pravděpodobnostní kvantil (např. u0,95 = 1,96)


Popisné charakteristiky  Charakteristiky variability  rozptyl

s

2 y

1  n 1

n



t 1

( yt  y )2

 směrodatná odchylka

sy 

s y2 

1 n 1

n



t 1

( yt  y )2


Popisné charakteristiky  míry dynamiky  absolutní přírůstek

 y t  y t  y t  1 , t  2 , 3,  , n  průměrný absolutní přírůstek  yt   y2  y1    y3  y2      yn  yn1   yn  y1  n 1 n 1 n 1  relativní přírůstek

t 

 yt y  y t 1 yt  t  1 y t 1 y t 1 y t 1

 průměrný koeficient růstu k 

n 1

k1k 2  k n 

n 1

yn y2 y3 y4   y1 y 3 y 3 y n 1

n 1

yn y1


Popisné charakteristiky  Korelace  vyjadřuje relativní míru závislosti ve vzájemném vývoji dvou časových řad n

s xy 

 x t 1

t

 x   y t  y  sx  sy

  1;

1


Analýza časové řady Dekompozice časové řady - jednorozměrný model  nejjednodušší koncepce modelování ČŘ  reálná hodnota ČŘ (yt) je funkcí času (t).

yt  f (t ;  t ); Yt  f (t ); t  1,2,  , n yt  Yt   t

 t yt  Yt  t časová proměnná  yt reálná hodnota ukazatele v čase t  Yt modelová (teoretická) hodnota ukazatele v čase t  t náhodná (nepravidelná) složka v čase t.


Analýza časové řady Dekompozice časové řady – klasický (formální) model  trend (Tt)  sezónní složku (St)  cyklickou složku (Ct)  náhodnou složku (Et)

Formy dekompozice  adaptivní dekompozice

yt  Tt  Ct  St  Et  multiplikativní dekompozice

yt  Tt  Ct  St  Et Biomedical Data Processing G r o u p

Analýza časové řady Dekompozice časové řady - vícerozměrný model  je založen na předpokladu, že vývoj analyzovaného ukazatele není ovlivněn pouze časovým faktorem, ale rovněž skupinou jiných, souvisejících ukazatelů  jedná se o tzv. příčinné (faktorové) ukazatele  pomocí těchto ukazatelů se snažíme vývoj analyzovaného ukazatele vysvětlit.

Yt  f (t ; x1 , x2 , , x p ); t  1, 2, , n kde x1,x2,…,xn jsou příčinné (faktorové) ukazatele


Analýza časové řady Trendová analýza  vývoj v čase ~ tendence a předpověď do budoucna  hovoříme o vyrovnání - vyrovnání periodických fluktuací a náhodných chyb

 předpoklad: St = 0; Ct = 0 ï Yt = Tt ; yt= Tt+ t  lze počítat 2 způsoby:  vyrovnání mechanické - klouzavé průměry  vyrovnání analytické - časová řada (sledujeme trendovou fci.)

Periodické kolísání  sezónní  cyklické  krátkodobé

Nahodilé kolísání Biomedical Data Processing G r o u p

Analýza časové řady Klouzavé průměry  adaptivní přístup k modelování trendu ČŘ  posloupnost empirických pozorování nahradíme řadou průměrů z těchto pozorování vypočtených  každý z těchto průměrů reprezentuje určitou skupinu pozorování  při postupném výpočtu průměrů postupujeme (kloužeme) vždy o jedno pozorování kupředu, přičemž první pozorování z dané skupiny vypouštíme.  v prvé řadě je třeba stanovit počet pozorování , z nichž vypočteme jednotlivé klouzavé průměry  klouzavá část období interpolace (m)  časový interval délky m, který se posunuje po časové ose vždy o jednotku.


Klouzavé průměry  Volba délky klouzavé části období interpolace  nelze stanovit exaktními statistickými postupy  stanovujeme především na základě věcné analýzy (heuristicky)  přednost dáváme průměrům nižšího řádu  u neperiodických ČŘ se nejčastěji volí délka klouzavé části 3, 5, 7  u ČŘ s periodickou složkou je délka klouzavých průměrů rovna periodě sezónních nebo cyklických výkyvů

 Identifikace jednotlivých klouzavých částí  jednotlivé klouzavé části reprezentujeme jejich středními body (angl. target)  je-li m liché číslo, pak střední bod klouzavé části je číslo celé t  je-li m sudé číslo, pak střední bod klouzavé části není celé číslo t+0.5 Biomedical Data Processing G r o u p

Klouzavé průměry Prosté klouzavé průměry  klouzavé části o rozsahu m = 2p + 1 musí mít lineární trend

yt  p  yt  p1   yt  p1  yt  p 1 p yt   yt ,i  m i  p m t  p  1, p  2,, n  p  střední body klouzavých částí jsou celá čísla t  při tomto postupu zůstane p hodnot na začátku ČŘ a p hodnot na konci ČŘ nevyrovnáno


Klouzavé průměry Vážené klouzavé průměry  klouzavé části o rozsahu m = 2p + 1 musí mít parabolický trend.

yt 

p

W y

i  p

i

t ,i

, t  p  1, p  2,  , n  p

kde Wi 

3 2 2 ( 3 m  7  20 i ), i   p,  ,1,0,1,  , p 2 4m(m  4) p

Pro váhy platí :  Wo  1 a Wi W i i  -p


Klouzavé průměry  Centrovaný klouzavý průměr  speciální případ váženého klouzavého průměru  používáme je v případě, že rozsah klouzavé části (m) je číslo

sudé

 střední body klouzavých částí již nejsou celá čísla, proto nelze přímo přiřadit hodnoty klouzavých průměrů



Postup výpočtu

 první vypočtený klouzavý průměr přiřadíme střednímu bodu t, který není celočíselný  další klouzavý průměr přiřadíme střednímu bodu t+1, který opět není celočíselný  celočíselný, tedy interpretovatelný, je bod t+0.5, který leží mezi body t a t+1  hodnotu klouzavého průměru, odpovídající bodu t+0.5, vypočteme jako aritmetický průměr dvou sousedních klouzavých průměrů. Biomedical Data Processing G r o u p

Analytické vyrovnávání  Trendové funkce  lineární

Tt  a0  a1t

 exponenciální

Tt  a0  a1t  logaritmická

Tt  a 0  a1 log( t )  Kvadratická

Tt  a 0  a 1 t  a 2 t 2  nepřímá úměrnost

a1 Tt  a 0  t Biomedical Data Processing G r o u p

Analytické vyrovnávání  Další trendové funkce  modifikovaný exponenciální trend

Tt  k  a 0 a1t  logistický trend

1 Tt  k  a 0 a 1t  S-křivka

Tt  e

1 ( a0  a1 ) t

 Gompertzova křivka

Tt  k  a 0

a 1t


Analytické vyrovnávání Míry úspěšnosti zvolené trendové funkce  Střední kvadratická (čtvercová) chyba odhadu

n

M .S . E . 



t 1

 2 ( y t  Tt )

 nejčastější měřítko kvality modelu  přednost dáváme vždy tomu modelu, u něhož je hodnota M.S.E. nejnižší  prostřednictvím M.S.E. můžeme srovnávat jen funkce se stejným počtem parametrů

 ST  (Tt  y )2 p 1 p 1  2 , kde y  F  SR ( y T   t t) n p n p

 Statistika F

n

  Tt n

 za nejlepší považujeme model, pro který je hodnota statistiky F nejvyšší

 Index determinace

I

2



ST  Sy

 

 (T t  y ) 2 ( yt  y )2


Trendová analýza Boxova-Jenkinsova metodologie  ARMA modely pro stacionární časové řady  modeluje nesystematickou složku, korelovanými náhodnými veličinami.

která

je

tvořena

 ARIMA(p,d,q), v případě sezónních vlivů SARIMA modely  AR(p) – auto-regresivní modely  MA(q) – modely klouzavých průměrů reziduální složky  d - řád diferencování

 (S)ARIMA modely pro kovarianční stacionární časové řady


Trendová analýza Spektrální analýza časových řad  časová řada se považuje za kombinaci sinusových a kosinusových křivek s různými amplitudami a frekvencemi


Analýza periodického kolísání  Sezónní kolísání  periodicky se opakující obousměrné odchylky hodnot ČŘ od trendu  délka periody je maximálně jeden rok  oscilace vznikají v důsledku přímých či nepřímých příčin, které se rok co rok pravidelně opakují  nejprve je třeba zjistit, zda ČŘ reálně vykazuje sezónní výkyvy

 kvantifikace sezónních výkyvů  očištění ČŘ, tj. vyloučení sezónní složky.

Cíl sezónního očišťování:  - odkrytí základní dynamiky vývoje zkoumaných jevů  - umožnění bezprostředního srovnání vývoje v jednotlivých sezónách v rámci roku. Biomedical Data Processing G r o u p

Sezónní kolísání  Model konstantní sezónnosti (aditivní model):

yij  Tij  Sij  ij , i 1,2,, m; j 1,2,, r kde i je pořadí roku a j je dílčí období v rámci roku (sezóny)

Kvantifikace sezónních výkyvů :  empirické sezónní rozdíly (odchylky) = yij – Tij  průměrné sezónní rozdíly  standardizované sezónní rozdíly (= sezónní faktory rozdílové)  Standardizace (normování)  součet sezónních rozdílů v rámci roku musí být roven 0, tzn. v rámci roku se  sezónní výkyvy kompenzují.


Sezónní kolísání  Model proporcionální sezónnosti (multiplikativní model)

yij  Tij  S ij   ij , i  1, 2,  , m ; j  1, 2,  , r Kvantifikace sezónních výkyvů  empirické sezónní indexy = yij/Tij  průměrné sezónní indexy  standardizované sezónní indexy (sezónní faktory indexní)  Standardizace (normování): součet sezónních indexů v rámci roku musí být roven r, tzn. v rámci roku se sezónní výkyvy kompenzují.


Analýza periodického kolísání  Cyklické kolísání  s periodou více let  Krátkodobé kolísání  s periodou kratší než jeden rok


Reference Jana Hančlová, Lubor Tvrdý – Úvod do analýzy časových řad, VŠB-TU Ostrava, 2003, http://gis.vsb.cz/pan Časové řady – kapitola z výukových materiálů http://homen.vsb.cz/~oti73/cdpast1/


Děkuji za pozornost


Analýza časových řad. Informační a komunikační technologie ve zdravotnictví. Biomedical Data Processing G r o u p

Recommend Documents