Samenvatting leerjaar 4 hoofdstuk 1: Rekenen Grote getallen Grote getallen, zoals 5300000000 zijn niet eenvoudig te lezen. Je kunt je gemakkelijk vergissen in een nul meer of minder, met grote gevolgen. Als je, van achter naar voor, na iedere 3 cijfers een klein beetje ruimte laat, of je zet een punt, wordt het allemaal duidelijker. 5300000000
5 300 000 000
5.300.000.000
Dit getal kun je ook schrijven als 5,3 miljard.
Wetenschappelijke notatie Naarmate getallen groter worden, wordt het minder praktisch om ze op te schrijven. Bij geld is het nodig héél precies te zijn, maar wanneer het om liters water in een oceaan gaat, of kilo’s zand in de woestijn, maakt het niet uit als je wat minder exact bent. In dat soort gevallen kunnen we de wetenschappelijke notatie gebruiken, je werkt dan met machten van 10 en schuift de komma op. 5 300 000 000 wordt dan 5,3 × 109 Het eerste getal is altijd groter of gelijk aan 1 en kleiner of gelijk aan 9, dan volgt een komma en daarna één decimaal, tenzij in de opgave anders wordt gevraagd. We sluiten af met “× 10a). De a staat voor het aantal plaatsen dat de komma opgeschoven moet worden. Bij een negatief getal voor a hebben we te maken met getallen kleiner dan 1. Zie onderstaande voorbeelden: 3110639 = 3,1 × 106 499299353325 = 5,0 × 1011 31 = 3,1 × 101
0,00023 = 2,3 × 10-4 0,322 = 3,2 × 10-1 0,000000000000645 = 6,5 × 10-13
Omgekeerd kan natuurlijk ook: 4,7 × 104 = 47 000 8,3 × 108 = 830 000 000 2,9 × 102 = 290
4,7 × 10-4 = 0,000 47 8,3 × 10-8 = 0,000 000 083 2,9 × 10-2 = 0,029
Tot slot, je kunt met je rekenmachine een berekening uitvoeren, waarbij het antwoord te groot is voor je scherm, zie hieronder.
Je rekenmachine geeft als antwoord op de vraag: “Hoeveel is 258?” het antwoord: “Dat is 1,525 878 906 × 1011”. Wanneer je deze vraag in een opgave krijgt, rond je normaal gesproken af op één decimaal: 1,5 × 1011.
Volgorde van bewerkingen Onthoud de volgende zin, en je weet altijd de volgorde van bewerkingen: Hoe Komen Wij Van Die Onvoldoendes Af?
H K W V D O A
Haakjes Kwadraten / machten Wortels Vermenigvuldigen Delen Optellen Aftrekken
In een berekening voor je de volgende 4 stappen uit: 1. 2. 3. 4.
Reken alles uit wat tussen haakjes staat Machtsverheffen en worteltrekken, van links naar rechts Vermenigvuldigen en delen, van links naar rechts Optellen en aftrekken, van links naar rechts
Bij een berekening die onder een wortelteken staat, zoals √4 5, voer je éérst de berekening uit voordat je de wortel trekt. Bij dit voorbeeld is de uitkomst dus 9, niet 7. In je rekenmachine voer je dit als volgt in:
√ 4
5 geeft als uitkomst 3.
Let op: fout is √4
5 met uitkomst 7.
Bij de eerste regel tel je 4 en 5 op en trek je de wortel van 9, bij de tweede regel tel je de wortel van 4 op bij 5.
De berekening
voer je op de volgende manier in:
(6 + 12) : (4 - 2) geeft als uitkomst 9 Let op: fout is 6 + 12 : 4 - 2 met uitkomst 7. Bij de eerste regel bereken je 6 + 12 en 4 - 2 en deel je 18 door 2, bij de tweede regel deel je 12 door 4, tel je 6 en 3 op en trek je 2 af van 9. Dan nu twee voorbeelden van het correct omgaan met rekenvolgorde, zonder je rekenmachine te gebruiken:
15
8
√8 18
18
7
√8
5
7
2
18
5
7
2
90
36
5
6
6
Stap 1: haakjes Stap 2: machten / wortels
36
Stap 3: vermenigvuldigen / delen
45
Stap 4: optellen / aftrekken
Als je niet weet wat √8 betekent, dit spreek je uit als de derdemachtswortel van 8. Je zoekt het getal waarvan de derde macht als uitkomst 8 heeft. Dat is natuurlijk 2, want 23 = 2 × 2 × 2 = 8.
√27 = 3, want 33 = 27
√16 = 2, want 24 = 16
√64 = 4, want 43 = 64
√81 = 3, want 34 = 81
√125 = 5, want 53 = 125
√256 = 4, want 44 = 256
Let op: 24 betekent niet 2 × 4 en is dus niet gelijk aan 8. Deze vergissing wordt vaak gemaakt. 24 betekent 2 × 2 × 2 × 2 en is gelijk aan 16. 24 wil zeggen dat je 4 keer het cijfer 2 op moet schrijven en er “×” tussen moet zetten.
Een tweede voorbeeld:
√
√
=
Stap 1: bereken alles tussen haakjes
=
Stap 2: bereken de wortel, onder de deelstreep vermenigvuldig je.
=
Stap 3: vermenigvuldigen
=3
Stap 4: delen
Bij een breuk moet je eerst alles boven de deelstreep én onder de deelstreep uitrekenen. Dat mag gelijktijdig, zoals je hierboven ziet. Pas als dat gebeurd is, kun je de laatste deling uitvoeren, in dit geval 9 : 3.
Wanneer je een opgave zonder rekenmachine moet maken, is het erg belangrijk stap voor stap te werken en alle tussenstappen ook op te schrijven. Doe je dat niet, verlies je daardoor punten.
Breuken De optelsom
kun je met behulp van de rekenmachine uitrekenen.
Bij de Casio fx82ms gaat dat als volgt: 7
8+3
5 =1
Wanneer je nu opnieuw op de knop
drukt, krijg je het antwoord als
een decimaal. In dit geval is dat 1,475.
De optelsom 1
1
3
6
voer je als volgt in:
4+6
Ook hier kun je met de knop getal, te weten 8,057692308.
4
13 = 8 de uitkomst omzetten in een decimaal
Natuurlijk kun je breuken ook zonder rekenmachine optellen. Je maakt dan eerst de breuken gelijknamig. Wanneer je een breuk zowel boven als onder de streep met hetzelfde getal vermenigvuldigt, verandert er niets aan de waarde van de breuk. Deze eigenschap gebruik je bij het gelijknamig maken, zie onderstaand.
1
Door
boven en onder de deelstreep te vermenigvuldigen met 5 en
boven en onder de deelstreep te vermenigvuldigen met 8, hebben we de breuken gelijknamig gemaakt. Daarna nog optellen en vereenvoudigen. Het tweede voorbeeld gaat als volgt:
1
6
1
6
7
7
7
8
Machten Bij het gebruik van machten moet je goed letten op het gebruik van mintekens en haakjes. Een paar voorbeelden:
62 -62 (-6)2 -(6)2
= = = =
6×6 -6 × 6 -6 × -6 -6 × 6
= = = =
36 -36 36 -36
=4×4×4 43 3 -4 = -4 × 4 × 4 3 (-4) = -4 × -4 × -4
= 64 = -64 = -64
(-4)4 = -4 × -4 × -4 × -4
= 256
Eenheden van tijd De volgende tijdseenheden dien je te kennen: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
millennium = 1000 jaar eeuw = 100 jaar jaar = 4 kwartalen jaar = 12 maanden jaar = 52 weken jaar = 365 dagen kwartaal = 13 weken week = 7 dagen dag = 24 uur uur = 60 minuten minuut = 60 seconden
Om te zien of een maand 31 dagen heeft of niet, kun je de knokkels van je hand gebruiken. Je hand heeft 4 knokkels en 3 “dalen” tussen de knokkels in. Maak een vuist, zodat je knokkels goed zichtbaar zijn. Je begint op een knokkel. Dat is januari met 31 dagen. Dan volgt een dal: februari met 28 dagen (of 29 in een schrikkeljaar). Knokkel, maart met 31 dagen. Dal, april met 30 dagen. Knokkel, mei met 31 dagen. Dal, juni met 30 dagen. Knokkel, juli met 31 dagen. Je bent nu aan het einde van je hand gekomen, dus beginnen we van voren af aan. Knokkel, augustus met 31 dagen. Dal, september met 30 dagen. Knokkel, oktober met 31 dagen. Dal, november met 30 dagen. En we eindigen met een knokkel, december met 31 dagen.
Rekenen met tijd Er is een groot verschil tussen 3,50 uur en 3:50 uur. In het eerste geval gaat het om drie-en-een-half uur, dus 3 uur en 30 minuten. In het tweede geval gaat het om 3 uur en 50 minuten. Let goed op of er een komma of een dubbele punt staat. Daaraan kun je het verschil zien. Een aantal voorbeelden van rekenen met tijd tref je hieronder aan. Hoeveel minuten is 3,30 uur?
3,75 uur is 3 uur en 0,30 uur. 3 × 60 = 180 minuten 0,30 × 60 = 18 minuten 180 + 18 = 198 minuten
Hoeveel uur is 213 minuten?
213 : 60 = 3,55 uur 3,55 uur is 3 uur en 0,55 uur 0,55 × 60 = 33 minuten dus 3 uur en 33 minuten (3:33 uur)
Of, op een andere manier:
213 : 60 = 3,55 uur 3 × 60 = 180 minuten 213 – 180 = 33 minuten dus 3 uur en 33 minuten (3:33 uur)
Reken 5,78 om naar uu:mm:ss:
5,78 uur is 5 uur en 0,78 uur 0,78 × 60 = 46,8 minuten 46,8 minuten is 46 min. en 0,80 min. 0,80 × 60 = 48 seconden dus het antwoord is 5:46:48
Reken 1,6 weken om naar dagen, uren en minuten:
1 week = 7 dagen 0,6 × 7 = 4,2 dagen 0,2 × 24 = 4,8 uur 0,8 × 60 = 48 minuten dus 11 dagen, 4 uur en 48 minuten
Snelheden omrekenen Omrekenen van km/h naar m/s: Omrekenen van m/s naar km/h:
delen door 3,6 vermenigvuldigen met 3,6
Waarom werken deze rekenregels? Het bewijs is eenvoudig: Er zitten 3600 secondes in een uur (60 minuten × 60 seconden), dus om 1 meter per seconde om te rekenen naar kilometers per uur, gebruik je een verhoudingstabel, waarin je boven en onder vermenigvuldigt met het getal 3600. 1 meter
3600 meter
3,6 kilometer
seconde
3600 secondes
uur
De laatste kolom is alleen omrekenen van meter naar kilometer en van secondes naar uren. Hiermee het bewijs: 1 m/s = 3,6 km/h.
Vergrotingsfactor Hieronder zie je drie vormen, te weten een lijn van 4 centimeter, een vierkant van 4 bij 4 centimeter en een kubus van 4 bij 4 bij 4 centimeter.
Hieronder staan wederom een lijn, vierkant en kubus. Deze zijn met een factor 3 vergroot.
De lijn is nu dus 4 × 3 = 12 centimeter lang. Het vierkant is 12 bij 12. Is de oppervlakte van het vierkant nu ook 3 × groter geworden? Je zou denken van wel, maar dat blijkt niet te kloppen. oppervlakte kleine vierkant: 4 × 4 = 16 cm2 oppervlakte grote vierkant: 12 × 12 = 144 cm2 144 : 16 = 9 Dus, de oppervlakte van het vierkant is 9 × groter geworden. Dat komt omdat de vergrotingsfactor in de lengte én in de breedte werkt. De vergroting van de oppervlakte is dus de vergrotingsfactor in het kwadraat. Controle: 32 is inderdaad 9. Bij de inhoud is de vergroting van de inhoud de vergrotingsfactor tot de macht 3, omdat de vergrotingsfactor daar in drie richtingen werkt. inhoud kleine kubus:
4 × 4 × 4 = 64 cm2
indoud grote kubus:
12 × 12 × 12 = 1728 cm2
1728 : 64 = 27 controle: 33 is inderdaad 27.
vergrotingsfactor is lengte groot : lengte klein vergroting oppervlakte is vergrotingsfactor2 vergroting inhoud is vergrotingsfactor3
Omgekeerd werkt dit dus ook, zoals de volgende voorbeelden illustreren: De oppervlakte van een vijver op een maquette is 256 keer kleiner dan de werkelijkheid. Wat is de schaal van de maquette? vergrotingsfactor2 = 256, dus vergrotingsfactor = √256 = 16 de schaal is dus 1 : 16
De inhoud van een modelwoning is 2,5 m3. De schaal is 1 : 6. Wat is de inhoud van de woning? vergrotingsfactor is 6 en 63 = 216 2,5 × 216 = 540 m3
Verhoudingen Met verhoudingen kun je bereken hoeveel je nodig hebt, bijvoorbeeld bij het aanmaken van limonade of het mengen van verf. Daarvoor gebruiken we dan ook een verhoudingstabel. In een verhoudingstabel mag je vermenigvuldigen en delen, mits je dat voor alle onderdelen hetzelfde doet. Bij het aanmaken van limonade gebruik je 7 delen water op 1 deel siroop. Je kunt dus ook zeggen, 7 dl water op 1 dl siroop. Wanneer we nu de hoeveelheid water met 2 vermenigvuldigen, moet ik dat ook met de hoeveelheid siroop doen, 14 dl water op 2 dl siroop. Doe je dat niet, klopt de verhouding niet meer. Een voorbeeld: Je wil oranje verf maken. Daarvoor meng je 3 delen rood, 4 delen geel en 1 deel wit. Hoeveel heb je van alles nodig wanneer je 5 liter verf nodig hebt? :8
×5
Rood
3
1,875 liter
Geel
4
2,5 liter
Wit
1
0,625 liter
Oranje
8
1
:8
5 liter
×5
De uitkomsten 3 : 8, 4 : 8 en 1 : 8 zijn niet van belang, die vullen we dus ook niet in. Je rekent uit 3 : 8 × 5 en 4 : 8 × 5 en 1 : 8 × 5.
Op dezelfde manier bereken je de verhouding in procenten:
:8
× 100%
Rood
3
37,5%
Geel
4
50%
Wit
1
12,5%
Oranje
8
1
:8
100%
× 100%
Natuurlijk kun je de procenten ook anders berekenen, namelijk: Rood:
× 100% = 37,5%
Geel:
× 100% = 50,0%
Wit:
× 100% = 12,5%
Breuk, deling en procenten Breuken, delingen en procenten hebben alles met elkaar te maken, zoals je bij het vorige onderdeel hebt kunnen zien. Daarom kunnen we ze in een tabel zetten. breuk 1 8 3 7 4 5
deling
uitkomst deling
procenten
1:8
0,125
12,5%
3:7
0,42857
42,8%
4:5
0,8
80,0%
Vanaf breuk naar deling, uitkomst en procenten werken is niet moeilijk, je kunt daarvoor je rekenmachine gebruiken. De omgekeerde volgorde is lastiger: wat als je alleen een percentage of de uitkomst van de deling weet? Stel je voor dat het percentage 37,5% is. De uitkomst van de deling is dan 37,5 : 100 = 0,375. Maar welke breuk hoort daar nu bij? In een breuk werken we alleen met hele getallen. Om van 0,375 een geheel getal te maken, moeten we de komma 3 plaatsen opschuiven en dus vermenigvuldigen met duizend. De breuk die daarbij hoort, gaan we vervolgens vereenvoudigen, zoals hieronder:
De bijbehorende deling is vervolgens 3 : 8.
Grafen Een graaf is een schematisch tekening van bijvoorbeeld een wegennet waarin alleen de wegen, plaatsen en afstanden staan gegeven. Er wordt onderscheid gemaakt tussen twee graven, namelijk de gewogen en gerichte graaf. De gewogen graaf bevat getallen voor de afstanden, een gerichte graaf bevat daarnaast minimaal één eenrichtingsweg.
5
E
Zie het voorbeeld hiernaast: Van A naar F = 3 Van B naar A = 6 Van A naar B moet via F = 3 + 8 = 11 Kies altijd voor de kortste weg!
D
5
F
8
3
3
G 4
C 2
A
6
B
Bij een graaf kun je een afstandstabel maken, en omgekeerd.
AFSTANDSTABEL
naar
A A
van
B
C
D
E
F
G
11
13
16
21
3
20
2
5
10
8
9
3
8
10
7
5
10
4
5
9
B
6
C
8
2
D
11
5
3
E
8
10
8
5
F
3
8
10
13
18
G
15
9
7
4
9
17 14
Op de volgende pagina’s volgt een herhaling van de lesstof uit leerjaar 3, over het rekenen met procenten.
Percentage berekenen Paco werkt bij een installatiebedrijf, hij monteert wastafelkranen in nieuwe huizen. Tijdens het testen blijken 12 van de 64 aangesloten kranen niet volledig af te sluiten. Het gaat om 12 van de 64, dus 64 is het geheel en 12 is daar een deel van. Je berekent het percentage met de volgende formule: percentage = deel : geheel × 100%
Hoeveel procent is 12 van de 64? Antwoord: 12 : 64 × 100% = 18,8% ofwel:
100%
18,8%
Rekenen met procenten Noord-Brabant heeft ongeveer 2.470.000 inwoners. Daarvan is ca. 89% katholiek (bron: CBS). Hoeveel inwoners zijn dat? Procent betekent letterlijk “per honderd”. Van iedere honderd inwoners zijn er dus 89 katholiek. De bijbehorende breuk is en dat is 0,89. deel = percentage : 100% × geheel
Hoeveel is 89% van 2.470.000? Antwoord: 89 : 100 = 0,89 0,89 × 2.470.000 = 2.198.300
Procenten en korting Je gaat een nieuwe telefoon kopen. Deze kost € 680,-. Neem je er echter een abonnement bij, krijg je 82% korting. Wat kost de telefoon dan nog? In plaats van het berekenen van de korting, gaan wij direct uitrekenen wat je nog moet betalen. Wanneer je 82% korting krijgt, betaal je nog 18%. Immers, 100% - 82% = 18%. Hoe je 18% van € 680,- uitrekent, hebben we al behandeld.
Hoeveel is 18% van € 680,-? Antwoord: 18 : 100 = 0,18 0,18 × € 680,- = € 122,40
Procenten en prijsverhoging Een tablet kost in december € 399,-. Per 1 januari gaat de prijs met 3% omhoog. Wat betaal je in januari voor deze tablet? Ook hier gaan we direct uitrekenen wat je moet betalen. Bij een stijging van 3%, betaal je 103%. Immers, 100% + 3% = 103%.
Hoeveel is 103% van € 399,-? Antwoord: 103 : 100 = 1,03 1,03 × € 399,- = € 410,97
Het klinkt raar dat je met meer dan 100% kunt rekenen. Als 100% het geheel is, hoe kun je dan meer hebben? Ik hoop dat je uit het voorbeeld snapt, dat het geheel zelf natuurlijk altijd groter kan worden. Ten opzichte van de beginsituatie (100%) zijn we nu dus gestegen tot boven 100%.
BTW Bij Makro zijn alle prijzen exclusief 19% BTW. Aan de kassa komt die BTW dus boven de prijs op het prijskaartje. Een X-Box 360 Kinect 4Gb is in de aanbieding voor € 239,-, exclusief BTW. Wat is de prijs die je aan de kassa betaalt? De 21% BTW kunnen we zien als een prijsstijging, zie vorige paragraaf.
100% + 21% = 121% Hoeveel is 121% van € 239,-? Antwoord: 121 : 100 = 1,21 1,21 × € 239,- = € 289,19
Promille Naast procent kennen we ook promille. Procent betekent “per honderd”, promille betekent “per duizend”. Alle rekenregels voor procent gelden ook voor promille. Je vervangt alleen het getal 100 door het getal 1000. Het teken voor promille is o⁄oo Ook geldt: 1% =
, 1o⁄oo =
, dus 1% = 10o⁄oo.
Deelnemers aan het verkeer kennen promille van de alcohol-limiet. Je mag als bestuurder niet meer dan 0,5o⁄oo alcohol in je bloed hebben. Dat is dus gelijk aan 0,05%. Jan drinkt 5 glazen bier van 25 cl. Het bier heeft een alcoholgehalte van 5%. Jan weegt 70 kg, 60% van zijn lichaam bestaat uit vocht. Wat is zijn alcoholpromillage? Mag hij autorijden? Dit probleem bestaat uit diverse onderdelen, die we stap voor stap op moeten lossen. Dat gaat als volgt:
Hoeveelheid alcohol in het bier: 25 cl = 250 ml 5 × 250 ml = 1.250 ml 5 : 100 = 0,05 0,05 × 1.250 = 62,5 ml
Hoeveelheid vocht in het lichaam: 60 : 100 = 0,6 0,6 × 70 = 42 kg = 42 liter = 42.000 ml
Alcoholpromillage: promillage = deel : geheel × 1000 ⁄
Antwoord:
, .
× 1000o⁄oo = 1,5o⁄oo
Conclusie: Jan mag dus niet autorijden!
Exponentiële toename Stel je voor dat je een loterij wint, je ontvangt € 750,-. Dit geld zet je op een spaarrekening. De bank geeft je 3,2% rente. Hoeveel staat er na 5 jaar op je rekening? Wat niet gaat werken, is uitrekenen hoeveel rente je het eerste jaar krijgt en dat bedrag vervolgens vermenigvuldigen met 5. Immers, de rente die je het eerste jaar krijgt, komt bij het bedrag op je bankrekening. Het tweede jaar ontvang je dus meer rente, het derde jaar nog meer, enz. Dat noemen we rente op rente.
Maar hoe rekenen we dit dan wel uit?
Laten we beginnen met het bedrag na 1 jaar: € 750,- is 100%. Er komt 3,2% bij. 100% + 3,2% = 103,2% 103,2 : 100 = 1,032. € 750,- × 1,032 = € 774,-, je hebt € 24,- rente ontvangen. Na Na Na Na
2 3 4 5
jaar: jaar: jaar: jaar:
€ € € €
774,00 798,77 824,33 850,71
× × × ×
1,032 1,032 1,032 1,032
= = = =
€ € € €
798,77 824,33 850,71 877,93
(€ (€ (€ (€
24,77 25,56 26,38 27,22
rente) rente) rente) rente)
Er zitten twee nadelen aan bovenstaande methode. Hij is omslachtig en omdat je steeds tussentijds af moet ronden, is hij ook niet erg nauwkeurig. Het kan ook in één keer: € 750,- × 1,032 × 1,032 × 1,032 × 1,032 × 1,032 = € 877,93 Je zult zeggen, daar komt hetzelfde uit. Maar dat is niet waar, zonder afronding komen er deze uitkomsten uit: € 877,93272 en € 877,9297173, verschil € 0,0030027. Dat is natuurlijk voor jou een miniem verschil, maar voor een bank die met miljarden werkt, gaat het om enorme bedragen.
Laten we nog even terugkijken naar de berekening:
€ 750,- × 1,032 × 1,032 × 1,032 × 1,032 × 1,032 = € 877,93
Hoewel dit de juiste uitkomst levert en korter is dan per jaar het bedrag uitrekenen, zoals we hebben gezien, blijft ook dit een omslachtige methode. Immers, stel je eens voor dat je moet uitrekenen hoeveel er na 20 jaar op je rekening staat. De berekening die je dan zou moeten maken, past niet eens op je rekenmachine. De oplossing is werken met machten.
1,0322 = 1,032 × 1,032 1,0323 = 1,032 × 1,032 × 1,032 1,0324 = 1,032 × 1,032 × 1,032 × 1,032 1,0325 = 1,032 × 1,032 × 1,032 × 1,032 × 1,032
Dus, wat staat er op de rekening? na 5 jaar: € 750,- × 1,0325 = € 877,93 na 20 jaar: € 750,- × 1,03220 = € 1.408,17
Op je rekenmachine voer je dat in als 750×1,032^5 of 750×1,032^20. Het bedrag waar je mee begint, noemen we het begingetal. Het getal waar je mee vermenigvuldigt, heet de groeifactor. In ons voorbeeld is het begingetal dus 750 en de groeifactor 1,032.
Een automerk verwacht een jaarlijkse groei van 2,8%. Ze verkopen nu 28.366 auto’s per jaar. Hoeveel auto’s verkopen ze over 10 jaar?
100% + 2,8% = 102,8% 102,8% : 100 = 1,028 28.366 × 1,02810 = 37.387,74 Antwoord: 37.388 auto’s We ronden af op het dichtstbijzijnde gehele getal, omdat je natuurlijk niet 0,74 auto kunt verkopen.
Exponentiële afname Bij vermenigvuldigen met een getal groter dan 1, wordt het resultaat groter dan het beginpunt. Immers, 3 × 1,2 = 3,6 (3,6 is groter dan 3). Bij vermenigvuldigen met een getal kleiner dan 1, wordt het resultaat natuurlijk kleiner, 3 × 0,8 = 2,4 (2,4 is kleiner dan 3). Hetzelfde is waar bij machten. Dit blijkt ook uit de volgende voorbeelden. Zo geldt 1,0150 = 1,64 en 0,9950 =0,61. Waarom ga ik hier zo uitgebreid op in? Om je er goed van te doordringen dat vermenigvuldigen niet altijd betekent dat je ook vermeerdert. De conclusie die je hieruit kunt trekken, is dat een groeifactor groter dan 1 betekent dat er sprake is van groei. Bij een groeifactor kleiner dan 1 is er sprake van afname.
Exponentiële toename:
groeifactor > 1
Exponentiële afname:
groeifactor < 1
> betekent “groter dan”, < betekent “kleiner dan”.
In 1998 leefde op de zuidpool een populatie pinguïns. Deze bestond uit 48.000 dieren. Door een ziekte was er sprake van een jaarlijks afname van 1,7%. Hoe groot is de populatie in 2012?
2012 – 1998 = 14 jaar 100% - 1,7% = 98,3% 98,3% : 100 = 0,983 48.000 × 0,98314 = 37.756,39 Antwoord: 37.756 pinguïns We ronden af op het dichtstbijzijnde gehele getal, omdat je natuurlijk geen 0,39 pinguïn kunt hebben.
Procenten met verhoudingstabel Bij procenten hebben we tot nu toe steeds gerekend in situaties waarin de beginsituatie bekend was. Met andere woorden, we wisten wat er 100% was. Maar wat als je dat niet weet? In Schijndel wonen 5761 jongeren tussen 0 en 19 jaar (bron: CBS). Dat is 25,1% van de totale bevolking. Hoeveel inwoners heeft Schijndel? Een dergelijke opgave lossen we op met een verhoudingstabel. Zo’n tabel werkt volgens het principe dat wat je aan de onderzijde van de tabel doet, je ook aan de bovenzijde moet doen. Hoe kom je nu van 25,1% naar 100%? Bij verhoudingen mag je nooit optellen of aftrekken, dus “74,9% erbij” is niet de oplossing. Maar wat als je nu eerst deelt door 25,1 en daarna vermenigvuldigt met 100? Op die manier komen we op 100 uit, omdat 25,1 : 25,1 = 1 en 100 × 1 = 100. Deze methode kun je in dit soort situaties altijd toepassen, zoals je op de volgende pagina's in de verschillende voorbeelden kunt zien. In Schijndel wonen 5761 jongeren tussen 0 en 19 jaar (bron: CBS). Dat is 25,1% van de totale bevolking. Hoeveel inwoners heeft Schijndel?
: 25,1
× 100
5761
22.952
25,1%
1%
: 25,1
100%
× 100
Het vakje waar de uitkomst van de deling 5761 : 25,1 zou moeten staan is gearceerd. Dat doen we omdat we die uitkomst niet opschrijven, dat is namelijk een tussenuitkomst. Om het antwoord te berekenen, voeren we op de rekenmachine in één keer in: 5761 : 25,1 × 100 =. Als antwoord vinden we dan 22.952 (uiteraard hebben we afgerond op een geheel getal omdat je nu eenmaal geen halve bewoners hebt.) Een Galaxy SII wordt 5% duurder en kost dan € 628,95. Hoeveel kostte de telefoon vóór de prijsverhoging?
: 105
× 100
€ 628,95
€ 599,-
105%
1%
: 105
100%
× 100
In dit voorbeeld zie je dat de prijs 5% stijgt, en 100% + 5% = 105%. We delen dus eerst door 105 om op 1% uit te komen. De vervolgstap is altijd hetzelfde, namelijk vermenigvuldigen met 100 om op 100% uit te komen. Een Nintendo WII wordt 11% goedkoper en kost dan € 209,15. Hoeveel kostte de gameconsole vóór de prijsverlaging?
: 89
× 100
€ 209,15
€ 235,-
89%
1%
: 89
100%
× 100
