A Casimir effektus és a fizikai vákuum Takács Gábor MTA-ELTE Elméleti Fizikai Kutatócsoport ELTE Fizikai Intézet, Ortvay Kollokvium
2008. december 4.
Vázlat
1
Bevezetés: QED és a Casimir effektus története dióhéjban
2
Casimir effektus és nullponti energia
3
Gravitációs effektusok
4
Összefoglalás
5
Jelenlegi kutatási irányok
Az elektromágneses mező kvantumelmélete A relativisztikus kvantumelektrodinamika (QED) megalkotása
1948: Feynman, Schwinger, Tomonaga (Nobel-díj: 1965) ¡ ¢ 1 ¯ iγ µ (∂µ + ieAµ ) − m ψ L = − Fµν F µν + ψ 4
Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ
A foton és az elektron/pozitron elmélete (Kezdetek: Dirac, Pauli, Weisskopf, Jordan; 1927-)
A QED kísérleti igazolása
α=
e2 4πε0 h¯c
finomszerkezeti állandó
Elektron mágneses nyomatéka: Visszalökődés atommagokon: Hiperfinom felhasadás (müonium): Lamb eltolódás: Kvantum Hall effektus:
1/α = 137.035999710(96) 1/α = 137.03599878(91) 1/α = 137.035994(18) 1/α = 137.0368(7) 1/α = 137.0359979(32)
QED: „quod erat demonstrandum” – a legpontosabban igazolt fizikai elmélet!
A Casimir effektus története dióhéjban Két tökéletes vezető lemez között vákuumban vonzóerő lép fel (Casimir, 1948) h¯cπ 2 F =− A 240a4 A QED makroszkopikus jóslata: 1 µm távolság esetén 8.169 × 10−3 Pa Lamoreaux, 1996: kísérleti egyezés (5%-os pontosság)
Naív levezetés I: a zérusponti fluktuációk
Kvantált elektromágneses mező: Fourier módusok ¯ ¯ ¯ ¯ ω = c ¯~k ¯ , két polarizációs állapot Harmonikus oszcillátor alapállapoti energiája 1 E0 = h¯ω 2 Ebből a teljes térfogati energiasűrűségre jókora végtelen adódik: h¯ 2 2
Z
d 3~k ¯¯~ ¯¯ c ¯k ¯ = ∞ (2π)3
Naív levezetés II: a vákuumenergia megváltozása véges
Z
d 3~k →
Z Λ 0
k 2 dk
Z
d Ω~k
és a kölcsönhatási energia ¯ ¯ ¯ ¯ Λ1 Λ1 ¯ − ∑ h¯ω ¯¯ ∆E (a)Λ = ∑ h¯ω ¯ 2 2 plates vacuum ennek van értelme Λ → ∞ után, az erő pedig F (a) = −
∂ ∆E (a)Λ=∞ ∂a
Casimir erő ↔ nullponti energia?
Rejtély: ha elfogadjuk a zérómódusokat, akkor a vákuumban nagyon nagy energiasűrűség van. Realisztikusan: a kvantumtérelmélet (Standard Modell) biztos igaz kb. 103 GeV energiáig. Ha Λ ∼ 1 TeV: E J ∼ 1047 3 V m Ha Λ = MPlanck ∼ 1019 GeV (kvantumgravitáció!) akkor pedig E J ∼ 10110 3 V m Hogyan lesz ebből egy ennyire kicsiny effektus?
Planáris eset: defektek Bajnok, Palla & Takács ’2006: szisztematikus hosszútávolságú kifejtés k κ
z= 0
z= a
k||
R α(ω, k|| )
Z ¡ ¢ d D −1~kq ∞ d κ 2 ~ ~ Kα (κ, kq )Kβ2 (κ,~kq )e−2ω (κ,kq )a + O e−3ma D − 1 (2π) 0 2π q ω(κ,~kq ) = m2 + κ 2 +~kq2 , Kα2 (κ,~kq ) = Rα (ω → −iκ, kq → iω(κ,~kq ))
E (a) = − A
Z
Nincs UV divergencia, minden véges, fizikai mennyiségekkel (+analitikus elfolytatás) van kifejezve. Működik kölcsönható térelméletre + nemlineáris határfeltételre is.
Tetszőleges geometria, lineáris mezők Emig, Graham, Jaffe & Kardar ’2007 Z (C ) = Tr e
− h¯i HC T
Z
=
i
[DΦ]C e h¯ S[Φ]
Σ1
Σ2
Φ(~x, t + T ) = Φ(~x, t) és pl. Φ|C = 0 h¯ Z (C ) h¯ EC = lim ln = ∑ (ωn − ωn,∞ ) T →−i∞ |T | Z∞ n 2 Időfüggetlen C : Fourier kifejtés a mezőre
C=
[
Σα
α
Φ(~x, t) → Φ(~x, ω) Z h¯c ∞ ZC (iκ) EC = − d κ ln π 0 Z∞ (iκ) ZC (ω) =
Z
i
[DΦ(~x, ω)]C e h¯ T
R
d 3~x (ω 2 |Φ(~x,ω)|2 −|∇Φ(~x,ω)|2 )
Casimir erő=fluktuáló töltések kölcsönhatása Határfeltételek: Lagrange-multiplikátorok Z
[DΦ(~x)]C =
Z
[DΦ(~x)] ∏ α |
Z
[Dρα (~x)Dρα∗ (~x)] ei {z
R
Σα
d 3~x(ρα (~x)Φ(~x)+c.c.)
}
funkcionál Dirac-delta ρα : fluktuáló felületi töltés Σα -n ⇒ Qα,lm multipólusok. ( Z ¡ −1 ¢ k ∗ Qα,lm ZC (k) = ∏ [Dρα (~x)Dρα∗ (~x)] exp Tα lm,l 0 m0 Qα,l 0 m0 ∑ ∑ 2 α lm,l 0 m0 α ) ¡ ¢ k ∗ − ∑ ∑ Qα,lm Uαβ lm,l 0 m0 Qα,l 0 m0 − c.c. 2 α6=β lm,l 0 m0 EC = −
h¯c π
Z ∞ 0
d κ ln
det MC (iκ) det M∞ (iκ)
M(k) =
T−1 1 U21 .. .
U12 T−1 2 .. .
UN1 UN2
· · · U1N · · · U2N .. .. . . −1 · · · TN
Két test esetén Pl. két testre: ¡ ¢ h¯c ∞ E12 (C ) = − d κTr ln 1 − T1 U12 T2 U21 π 0 Formula két dimenzióban: Z h¯c ∞ E12 (L) = − d κ ln(1 − e−2κL R1 (iκ)R2 (iκ)) π 0 ahol R1,2 (ω) az ω frekvenciájú módus reflexiós együtthatója a peremeken és Z
e−2κL = e2iωL = e2i|k|L
,
ω = |k|
Vagyis itt: T1 U12 = eiωL R1 (ω) és T2 U21 = eiωL R2 (ω). Casimir kölcsönhatás k a fluktuáló felületi töltésekre kiátlagolt erő Emig, Graham, Jaffe & Kardar (2007) Tökéletesen véges, konvergens, fizikailag értelmes eredmény
Mi az elektromágneses mező energiája? Egy ponttöltés energiája E=
e 1 ~2 e2 ⇒ E = ε E = 0 4πε0 r 2 2 32π 2 ε0 r 4
Teljes mező energia: Z ∞ r0
4πr 2 E dr =
e2 8πε0 r0
r0 = 0: divergens! Renormálás alapötlete: mphys c 2 = m0 c 2 +
e2 8πε0 r0
mphys : a fizikai tömeg, csak ez mérhető, mivel a mező nem kapcsolható ki!
Az elektron sugara Fizikai tömeg mphys c 2 = m0 c 2 +
e2 8πε0 r0
m0 = 0: klasszikus elektronsugár r0 ∼ 10−15 m
Jelenlegi kísérletek: r0 < 10−18 m QED sajátenergia: Ã m0 c
2
=
mphys c
2
3α 1− log 4π
Ã
2 λCompton
r02
1 + 2
!
! + O(α )
λCompton = 2.4263102175(33) × 10−12 m
r0 ∼ 10−18 m
:
5% korrekció.
Elméleti határ: m0 > 0
→
r0 > 10−136 m
2
Két ponttöltés
~E = ~E1 + ~E2 → E = 1 ε0~E 2 2 Két ponttöltés egymástól d távolságra Z
d 3~xE
továbbra is divergens, ha r0 = 0 µ ¶ e1 e2 1 1 de: E(d1 ) − E(d2 ) = − véges! 4πε0 d1 d2 e1 e2 Kölcsönhatási energia: Eint (d ) = 4πε0 d
E(d ) =
Egyszerűen azért működik, mert WLorentz = −
Z
d 3~x∆E
Casimir effektus és van der Waals erő
van der Waals erő = fluktuáló dipólusok közti kölcsönhatás
~d1 ·~d2 r 2 − 3(~d1 ·~r )(~d2 ·~r ) r5 h0|Hint |mihm|Hint |0i ∝ r −6 = ∑ E − E 0 m m6=0
Hint = Veff
Casimir eredetileg ezt próbálta relativisztikusan megfogalmazni és valóban: Casimir effektus = relativisztikus vdW
Gravitációs effektusok. Az ekvivalencia elv
Kötési energia: tömegdefektus Kémiai kötések: ∆m/m = 10−9 ⇓ EM energiára az ekvivalencia elv legalább 10−3 pontossággal érvényes! Az elektromágneses energia és impulzus is gravitál!
Energia-impulzus és az Einstein egyenlet Einstein „legnagyobb tévedése”: 1 Rµν − gµν R + λ gµν 2 (λ )
vagy másképp: Tµν
Tµν =
E
−p
−p −p
⇒λ olyan anyag, amire p = −E ⇒ZPE?? µ ¶4 E Λ J 47 T00 = ∼ 10 × V 1 TeV m3
8πG Tµν c4 c 4λ = − gµν 8πG
=
FRW kozmológia
Nagy léptékben az Univerzum sík, de tágul: ds 2 = c 2 dt 2 − a(t)2 (dx 2 + dy 2 + dz 2 ) Friedman-Robertson-Walker kozmológia: H(t)2 =
a˙ 8πG E (t) H(t) = 3c 2 a
A tágulás sebessége nem állandó: ¨a 4πG = − 2 (E + 3p) a 3c Közönséges anyag: E , p > 0 ⇒ a tágulásnak lassulnia kellene!
Sötét energia Kozmológiai mérések: a tágulás gyorsul!
Sötét energia: p = w E Mérések: E ∼ 5.4 × 10−10
J m3
és w < −1/3 w = −1.00 ± 0.05
ZPE és sötét energia Nullponti rezgésekkel Λ energián levágva: µ
Λ E ∼ 10 × 1 TeV 47
Mérések:
¶4
J m3
J m3 ⇒ nullponti energia nem gravitálhat, Casimirhoz sem kell! ⇒ minek egyáltalán ilyenről beszélni? Csak félreértések forrása! Megjegyzés: kompakt extra dimenziók (∼ 10 µm) Casimir energiája, vagy az ún. dinamikai Casimir effektus lehet esetleg kozmológiailag releváns. E ∼ 5.4 × 10−10
Hogy esik a Casimir energia? Két parallel lemez között
hT µν i = u
1 −1
θ (z)θ (a − z)
−1 3
π 2 h¯c z= 0 z= a 1440a4 Megjegyzések: 1. Térfogati divergencia („ZPE”) triviálisan eliminálva.
u=−
h¯ u0 = 2
Z
d 3~k ¯¯~ ¯¯ c ¯k ¯ (2π)3
(kívül-belül jelen van) 2. Felületi divergencia ∝ z −4 ⇒ lemezek tömegének renormálása.
Fermi koordináták Gravitációs energia gyenge tér közelítésben: Eg = −
Z
d 3~x hµν (~x)T µν (~x)
Probléma: Eg nem mértékinvariáns! hµν → hµν + ∂µ ξν + ∂ν ξµ : ∆Eg = 2
Z
d 3~xξµ ∂ν T µν
márpedig ∂ν T µν 6= 0: a lemezekre erő hat! Megoldások: (a) egyensúly létrehozása (pl. gáz a lemezek között) (b) lokálisan inerciális koordinátarendszer (K.A. Milton et al.): Fermi koordináták: gij kvadratikus az adott ponttól vett távolságban F = −E g A ahol E a Casimir energiasűrűség, g a lokális nehézségi gyorsulás (c=1).
Összefoglalás 1
Térfogati divergencia: értelmetlen, ZPE nincs!
2
Casimir effektus= fluktuáló töltések közti erő (relativisztikus van der Waals).
3
Felületi divergencia: Casimir sajátenergiánál lép fel. Eliminálandó renormálással: levágási skála alatt pontosabb mikroszkopikus anyagmodell kell. ~ z −4
T00
z
4
⇒ Einstein-Maxwell egyenletek disztribúció forrással (Fulling et al.) Van-e értelme a Casimir sajátenergiának? Egyesek vitatják, mások mellette érvelnek. ld. Boyer eredménye: σsphere = 0.04618 · · · × Rh¯c2
Új mérési eljárások
AFM (Atomic Force Microscope), érzékenység elvileg akár 10−17 N (elért: 10−13 N) Torziós „mérleg” Si-lap, dielektromos állandója lézerrel (Capasso, Harvard) modulálható (U. Mohideen et al., UC Riverside) Lamoreaux: 5% → jelenleg egy nagyságrenddel jobb pontosság!
Geometria függés
PFA (Proximity Force Approximation): felületi egyenetlenségekre átlagoljuk a planáris erőt (ezt használják a mai kísérletek analízisekor). Feltétele: λc À zA . Cél: kimérni az eltérést a PFA-tól! → hideg atom technikák, BEC (Dalvit, LANL) Az árkolt felületen a plató felett PFA az oldalirányú erőre zérust ad. Nemzérus laterális erő → frekvencia eltolódás.
Hőmérséklet, anyagi minőség
(U. Mohideen et al.)
Drude modell: ε(ω) = 1 −
2 ωplasmon
ω(ω + iγ)
∼ ω −1 ha ω kicsi
Probléma: TE nullmódus járuléka ellentmond a termodinamika 3 . főtételének és a kísérletekkel se egyezik! Jelenleg vita az irodalomban: Mostepanenko: ω = 0 módusra véges mintán nem érvényes a Drude modell, plazmon tagok összegével kell befittelni ε-t. Brevik: figyelembe kell venni γ T -függését vagy más ε(ω) elméleti formulát kell használni?
Vákuum kettőstörése, axionok 1 ³~ 2 ~ 2 ´ ξ Leffective = E −B + 2 2
ξ=
h¯e 4 45πm4 c 7
µ³ ´2 ¶ ´2 ³ 2 2 ~E − ~B + 7 ~E · ~B
∆n ∼ 4 × 10−24 (Bext /1 Tesla)2 PVLAS (Polarizzazione del Vuoto con LASer, INFN, Padova) QED-hez még nem elég érzékeny (104 ) és még nincs jel! → Axionok és „shining light through walls”
Axionok
1 1 ³ ~ 2 ~ 2´ 1 L = ∂µ a∂ µ a − ma2 a2 + ε E − B − ga a~E · ~B 2 2 2
(University of Florida and Lawrence Livermore National Laboratory)
Dinamikai Casimir effektus Időfüggő határfeltételek: foton keltés (Casimir dugattyú). Probléma: mikrohullámú rezonátorban ω ∼GHz! MIR (Motion Induced Radiation) kísérlet (Padova)
2008-ra ígérték, de még mindig készül...
Nem-Newtoni gravitáció
V (r ) = α
e−r /λ r
