@063
6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou rovnice Když se řekne s odmocninou, znamená to, že zadaná rovnice obsahuje neznámou pod odmocninou. není (ne)rovnice s odmocninou neznámá x není pod odmocninou
je (ne)rovnice s absolutní hodnotou
2x - √7 = 0 √2 x - 7 = 0
2x 1 5 0 3
x2
3 12 x
Na co si dát pozor ? † u rovnic i nerovnic je to stejné: pod odmocninou nesmí být záporné číslo Poznámka: Neznámá pod odmocninou - to dává nepřeberně variant, vezmeme-li v úvahu ještě různé stupně odmocnin. V tomto kurzu se omezíme na případy, kdy je v zadání druhá odmocnina a po úpravách vyjde lineární rovnice. S dalšími typy se budeme zabývat v kurzu "Rovnice a nerovnice II". K řešení vymezeného okruhu (ne)rovnic potřebujeme tyto znalosti: známý vzorec (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 pod odmocninou musí být nezáporné číslo √a má smysl jen když a 0 výsledek odmocniny je vždycky kladné číslo √b 0 neboli odmocnina je vždy nezáporná (√c)2 = c aby c mohlo být pod odmocninou, musí být nezáporné ale pozor !!! (√d2) = |d| d2 0 i pro záporné d, proto musíme při úpravě dát d do absolutní hodnoty Musíme rozlišovat, jestli se nejprve odmocňuje a pak umocňuje, nebo jestli se nejprve umocňuje a teprve pak odmocňuje. U nerovnic při umocňování (odmocňování) výrazu A > B musíme zkoumat, jestli platí, že menší strana B je nezáporná B 0. Jinak umocňovat (odmocňovat) nemůžeme. Symbolicky: platí-li pro A, B reálné A > B a zároveň B 0 pak platí A2 > B2 (resp √A > √B ) protipříklad
platí 2 > -7
ale neplatí 22 > (-7)2 tj 4 > 49
chyba je v tom, že menší strana není nezáporná !!!
Typ A. Zadaná rovnice obsahuje jedinou druhou odmocninu. Příklad: Řešte v R rovnici
4x2 1 2x
3
Řešení: rozbor Vždycky se snažíme (ne)rovnici upravit tak, aby odmocnina byla na jedné straně a všechny ostatní členy na druhé.
4x2 1
2x 3
Až se nám to podaří, umocníme celou rovnici (u nerovnic musíme ještě zkoumat další podmínku, viz dále) na druhou, tj. levou stranu zvlášť a pravou stranu zvlášť.
( 4 x 2 1 )2
(2 x
3) 2
Na levé straně se druhá odmocnina a druhá mocnina „vyruší“ podle pravidel (viz výše). Na pravé straně použijeme vzorec dvojčlen na druhou (též viz výše).
4x2 + 1 = 4x2 + 12x + 9 - 8 = 12x x = -2/3
kandidát řešení
Zkouška: musí být provedena zásadně do zadané (ne)rovnice
L( 2 / 3)
4(
2 2 2 ) 1 2 3 3
16 1 9
4 3
16 9 9
4 3
5 4 3
3
P(-2/3) = 3 Odpověď: Zadaná rovnice má jeden kořen x = -2/3; řešením je množina S = {-2/3}
Úkol: Řešte v R rovnici pokračování – výsledek
x2 1 1
x 3
@066 zpět Správně Řešte v R nerovnici
x2 1 1 0
Řešení:
x2 1 1
rozbor
protože menší strana je kladná 1 ≥ 0 můžeme nerovnici umocnit
x2+1 ≥ 1 x2 ≥ 0 Poslední nerovnice je pravdivá pro každé reálné číslo x, tedy kandidátem řešení jsou všechna reálná čísla. zkoušku musíme udělat obrácením postupu. Všechny kroky jsou jasné, jen připomeneme jediný.
x2+1 ≥ 1 ≥ 0 Protože menší strana je větší než nula, lze nerovnici odmocnit a znaménko nerovnosti se nezmění. Tak dostaneme
√(x2+1) ≥ 1 a nakonec původní nerovnici
x2 1 1 0 pokračování
@064 zpět Řešte v R rovnici Řešení: rozbor
kandidát
x2 1 1
x 3
x2 1 x 2 x2+1 = x2 - 4x + 4 1 = - 4x + 4 4x = 3 x = 3/4
zkouška
3 ( )2 1 1 4 3 3 12 P ( 3 / 4) 3 4 4 4 P(3/4) ≠ L(3/4) L( 3 / 4)
9 1 1 16 9 4
9 16 16
1
5 1 4
1 4
Odpověď: Zadaná rovnice nemá v R žádný kořen; množina řešení je prázdná S = Ø
Úkol: Řešte v R nerovnici Řešením je S = {-1; 1} S=Ø S=R zpět
x2 1 1 0
@067 zpět
Typ B. Rovnice obsahuje dvě druhé odmocniny a úpravami lze dosáhnout toho, že každá z nich bude na jedné straně a kromě nich, již nebude v součtu (rozdílu) žádný další člen.
Příklad: Řešte v R rovnici
x 1 2 2 x
0
Řešení: rozbor Rovnici snadno upravíme do tvaru
x 1
2 2 x
Nyní celou rovnici umocníme na druhou, tj. levou stranu zvlášť a pravou stranu zvlášť.
(x-1) = 4(2-x) x-1 = -4x+8 5x = 9 x = 9/5 zkouška L(9/5) = √(9/5-1) - 2√(2-9/5) = √(4/5) - 2√(1/5) = 2√(1/5) - 2√(1/5) = 0 P(9/5) = 0
Úkol: Řešte v R nerovnici pokračování - výsledek
2x 1
4
x
0
@065 Bohužel
znovu prostudujte
@069 zpět Řešte v R nerovnici
2x 1
4
x
0
Poznámka: Tato nerovnice ukazuje, že jasné postupy návodů nemusí vždycky vést k cíli. Převedeme-li jednu odmocninu na pravou stranu, dostaneme
2x 1
4
x
Tuto nerovnici nemůžeme umocnit!!! Menší strana (pravá) totiž není nezáporná díky mínusu před odmocninou. Řešení: rozbor: Víme, že odmocnina je vždy nezáporné číslo. Levá strana zadané nerovnice je tedy součet dvou nezáporných čísel a to je opět nezáporné číslo. Zadaná nerovnice tedy platí pro všechna x R, pro která mají odmocniny smysl. První odmocnina je platná pro 2x - 1 ≥ 0 => x ≥ 1/2 Druhá 4 - x ≥ 0 => 4 ≥ x Podmínky musí platit současně, což představuje interval <1/2; 4> . zkouška: Pro x <1/2; 4> mají obě odmocniny smysl a levá strana představuje součet dvou nezáporných čísel. Tedy levá strana je přinejhorším rovna nule. Spodní hranice určená pravou stranou proto nebude nikdy překročena. odpověď:
Řešením jsou všechna reálná čísla z intervalu <1/2; 4>
KONEC LEKCE
