6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou
h) y = log
Další dovednosti: -iracionální nerovnice -lineární nerovnice s parametrem -kvadratické nerovnice s parametrem
i)
y=
4
x− 1 x2 − 4
x− 4 x2 − 8
D( f ) = ( − 2;1) ∪ ( 2; ∞
(
D( f ) = − ∞ ; − 2 2 ∪ 2 2 ; ∞
)
x ∈ ( − ∞ ; − 2 ) ∪ ( 5; ∞
)
1. Řešte: a) 4 − 2 x − 17 > x + 5
x− 5 x+ 2 2 x + x− 2 b) ≤ 0 ( 2 x + 1).( x − 5)
Možné maturitní otázky: Lineární a kvadratické nerovnice Nerovnice s absolutní hodnotou Iracionální nerovnice Nerovnice s parametrem
2
x− 3
e)
( y = log ( 5 x
f)
y=
g) y =
D( f ) = ( − 2;1 ∪ 4; ∞
x 2 − 5 x + 4 + log( x + 2 )
y = log x 2 − 3 x + 2 2
)
− 8x − 4
)
x 2 − 3x + 2 + x− 2 + x+ 2
1− x 1+ x
1 x ∈ − 2; ∪ 1; 5) 2
c) x − 3x + 2 > 0
1. Řešte: a) ( x − 1) 2 .( x − 3).( 3x − 6 − x 2 ) < 0
Úlohy: 1. Určete definiční obor výrazu či funkce: x 1 + a) y = D( f ) = ( − 1;1) ∪ ( 2;10 ) x 2 − 3x + 2 10 + 9 x − x 2 D( f ) = 1; ∞ ) b) y = x − 2 x − 1 c) y = d)
x ∈ ( 3; ∞
)
x ∈ ( − 4; − 1) ∪ (1;5) x − 6x + 5 1 1 c) > 2 x ∈ ( − 13; − 3) ∪ ( − 1;2 ) ∪ ( 5; ∞ ) 2 x − 2 x − 15 x − x − 2
)
1. Řešte: a)
2 D ( f ) = − ∞ ; − ∪ ( 2; ∞ 5
b) x ≤ x + 1
3 + 2x − x
)
b) x + 5 x + 4 < 0 2
)
2
x ∈ (1; 2 ) ∪ ( 3; ∞
2
D( f ) = ( − ∞ ;1) ∪ ( 2; ∞
1
) (
)
D( f ) = ( − 1;1 ∪ 2; 3)
x − x − 5 ≥ 4( x − 3)
c) x 2 − 3 x + 2 > 0 d) x x − 1 + 3 x − 2 < 0
D( f ) = φ
e) 1
1 2 < x+ 2 x− 1
7 x∈ − ∞ ; 2 1 x ∈ − ;∞ ) 2 x ∈ ( − ∞ ;− 2 ) ∪ ( − 1;1) ∪ ( 2;+ ∞ x∈
) ( − ∞ ;1)
x ∈ ( − ∞ ;− 5) ∪ ( − 1;1) ∪ (1; ∞
)
f)
x− 1 <1 x+ 1
x ∈ ( 0; ∞
x ∈ − 6;
g) 2 x − 5 − 4 x + 7 ≥ 0
(
h) x + 10〉 x − 16 2
i) j)
2
4x + 7
1 3
3 ;+ ∞
x ∈ ( − ∞ ;− 2 ) ∪ ( 3;+ ∞
x2 − x 〉 6
5x − 3
) (
x ∈ − ∞ ;− 3 ∪
)
24 18 x ∈ − ∞ ;− ;+ ∞ ∪ − 7 17
≤ 3
k) x − 1 + 2 x < x
x∈ φ
l) x 2 − x + 1 < 0
x∈ φ
e)
)
)
)
( x + 1).( 2 x + 1)
c)
x − 1 > 2x − 4
d)
x + 18 < 2 − x
b) 3 − x > 3 1 − x 2
d)
x+ 3−
;p parametr
(
;m parametr ;m parametr ;a parametr
)
e) mx − 2 m − 1 x + m + 2 < 0
x− 1>
x + 7 > 2x − 1
28 x ∈ − ∞ ;− 9 x ∈ ( − ∞ ; − 5 ∪ 0;+ ∞ )
1. Řešte: 2 3 4 a) x( x − 1) .( x + 3).( x − 2 ) .( x + 1) > 0 x ∈ ( − 3;− 1) ∪ ( − 1;0 ) ∪ ( 2; ∞ 1 x ∈ 0; ∪ 2; + ∞ b) 2 x 3 − 5 x 2 + 2 x ≤ 0 2 4 3 2 c) x − 10 x + 35 x − 50 x + 24 > 0 x ∈ ( − ∞ ;1) ∪ ( 2;3) ∪ ( 4; ∞
17 − 17 17 + 17 x ∈ ; 8 8 x ∈ − 18;− 2
1. Řešte: a) ( x − 6).(1 − x ) < 3 + 2 x
c)
;p parametr
d) x 2 + 3mx − m > 0 2
2x − 1
74 13
;a parametr
f) a.( x − 1) + x( a − 1) ≤ a − x
x 2 − 5 x − 24 > x + 2
b) x − 1 ≤
x ∈ ( − ∞ ; − 2 ∪ 5;
8− x
1. Řešte v oboru R: 1− x x− 2 − 1〈 2 a) a a px x − 1 2x + 3 − < b) p− 2 3 4 p x x 2 − ≥ + c) 2 p 2 p
1. Řešte: a)
( x + 2).( x − 5) <
)
) )
9. Určete číslo k tak, aby rovnice : x 2 − 2( k + 4 ) x + k 2 + 6k = 0 měla k ∈ − 8; + ∞ ) reálné kořeny.
x ∈ 1;6
3 x ∈ − 1; 0 ) ∪ ;1 5 3 x ∈ 1; 2
1. Řešte: 2 a) x + x − 3 x − 2 + 2 x − 1 ≤ ( x − 1)
3 x ∈ − ;2 4 2
2
1 x ∈ − ∞ ; − 4
b)
2x + 1 + 1〈1 x− 3
1 5 x∈ − ; 2 4
2
c)
x + 2 x − 15 3− x
f)
x ∈ ( − ∞ ; − 2 ∪ 2;+ ∞ ) − { ± 3}
≤ −7
1. Řešte nerovnice: a)
x 2 + x − 1〈 6 − x
− 1− 5 x∈ − ∞ ; ∪ 2
b) x − 3 x − 4 ≥ 0 c)
2 x + 6 〈 3 − 5x
d)
− x 2 + 8 x − 12 〉 3
e)
x2 − 5x + 4 〉 x − 3
f)
x − 2〉 4 − x
− 1 + 5 37 ; 2 13
x ∈ 16; + ∞
)
3 7
)
x ∈ − 3;−
x ∈ 2; 3) ∪ ( 5; 6
) 4; 6)
x ∈ 5;+ ∞ x ∈ 2; 3) ∪
2. Řešte nerovnice: 3 7 6 + < x+ 1 x+ 2 x− 1 b) 1 − 2 x − 1 + x ≥ 1 x + 1 1 + 2x 2( x − 4 ) 1 ≥ c) ( x − 1).( x − 7 ) x − 2
a)
5 x ∈ ( − ∞ ;− 2 ) ∪ − ;− 1 ∪ (1;5) 4 1 x ∈ − 1;− 2
x4 x4 (10 x − 6).x 2 + < x + 2 3 − x − x2 + x + 6 x2 − x + 1 1 e) 2 ≥ x + x+ 1 3
d)
x ∈ (1;2) ∪ ( 7;+ ∞
)
x ∈ ( − ∞ ;− 2 ) ∪ ( 3;+ ∞
)
x ∈ ( − ∞ ;+ ∞
) 3
4 x2 − 5x − 1 <1 2 x2 − 5x + 3
(
x∈ −
)
3 2 ;1 ∪ 2 ; 2
b) xy + yu + ux = xyu xz + zy + yz = xyz xz + zu + xz = xzu
7. Soustavy rovnic a nerovnic s více neznámými
yz + zu + yu = yzu
Další dovednosti: -řešit rovnice kde je více neznámých, než rovnic - řešit rovnice kde je méně neznámých, než rovnic -zvláštní soustavy
1. Řešte: 1 1 3 + = a) x+ y x− y 2 1 1 1 − = x+ y x− y 2
Možné maturitní otázky: Soustavy rovnic a nerovnic Nerovnice s absolutní hodnotou
3 1 ;− 2 2
a) 7 x + 3 y − 6 z = − 1
2 x − 4 y + 9 z = 28 7x + 9 y − 9z = 5
Úlohy: 1. Nádrž se plní 3-mi přívody A, B, C. Současně otevřenými přívody A, B se naplní za 1 hodinu, přívody A, C za 45 minut, přívody B, C za 1,5 hodiny. Jak dlouho by se plnila každým přívodem zvlášť? (72 min, 6 h, 2 h)
a)
([2;3;4])
4tgx + tgy = 8 16 tg
2
x − tg 2 y
= 8
([45°;26°35´])
a) 8 x − 7 y + 6 z − 5u = 16 x : y : z : u = 1: 2 : 3 : 4
2. Dva konvexní mnohoúhelníky mají dohromady 24 stran a 109 úhlopříček. Které to jsou? (11 a 13)
([-2;-4;-6;-8])
a) sin x − sin y = 0,62 x + y = 44° 40´
3. Dva dělníci společně odvedou práci za 12 dní. Po osmi dnech společné práce jeden onemocněl a druhý dokončil tuto práci za dalších 10 dnů. Za kolik dní by ji udělal každý sám?
a)
(30 h, 20 h) 4. Řešte soustavu rovnic: a) ( x + 3).( y − 1) = ( x − 1).( y + 2 ) ( x − 2 ).( y + 4 ) = ( x + 7 ).( y − 2 )
([3;3;3;3])
([5;4]) 4
3 2 tg x - tg y = 1 2
([39°; 5°40´])
tg x + tg y =
([45°; 26°35´])
a)
x ⋅ y = 400
( [ 4;100]; [100;4] )
x log y = 16 a)
x+ y = −2 2x − 3y = 1
3log x + 5log y = 14
32 log x − 52 log y = 56
b)
([100;10])
x+ 1
y x − 1 = 16 a) x 2 + y 2 = 74 x− y = 2
a) x + y = 5 x2 − y 2 = 5 a) x 2 + xy + y 2 = 37 x− y =1
a)
a)
1 [ 3;4]; − ;4 − 6 2
( [ − 5;− 7]; [ 7;5] )
8. Vlak pojíždí tunelem dlouhým 220 m. Od okamžiku, kdy vjede do tunelu lokomotiva, až do okamžiku, kdy poslední vagón opustí tunel, uplyne 19 sekund. Od tohoto okamžiku uplyne dalších 42 sekund, než lokomotiva přijede k návěšti, která je 1 km od tunelu. Vlak jede stálou rychlostí. Určete jeho rychlost a délku vlaku. (d = 160 m, v = 20 m/s)
([3;2])
( [ − 3;− 4]; [ 4;3] )
2. Řešte soustavy rovnic: a) x + 2 y + 3 z = 4 2x + 3y + 4z = 5
( [ − 1;1]; [ 3;9]; [ 3;− 3]; [ − 3;3] )
3 x + 3 y + 2 z = 10
x− 3 = y+ 5 x − 3 = 2y − 1
31 − 4t 8t + 25 t ; ; 6 6
7. V pravoúhlém trojúhelníku je součet délek stran 132 cm, součet obsahů čtverců nad jeho stranami je 6050 cm2. Jak dlouhé jsou jeho strany? (33 cm,44 cm,55 cm)
x− y = x+ 3 x+ 3 = y− 3
2x + y − z = 1 2 x + 5 y + z = 30
ch) y x = 64
x∈ φ
([-9;17;-7])
b) x + 2 y + 3 z = 4 2x + y − z = 3
20 4 10 4 [14;6]; ;− ; − ;− ; [ − 8;6] 3 3 3 3
3x + 4 y + 5 z = 6
([-6;11;-4])
c) x 2 + y 2 + 4 x − 2 y = 0
1. Řešte: a) 4 x − 2 y = 1
x− y− 2= 0
5
x∈ φ
3.
15. Znázorněte graficky množinu A ∩ B , jestliže: A = {[ x; y ] : x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ y ≤ x 2 + 1}
Řešte soustavy rovnic: 2 2 a) x + y + x + y = 36 9 27 [ 5;2]; − ; 5 5
3 x 2 + 3 y 2 + 4 x + 5 y = 117
b)
4 x 2 + 9 y 2 = 36
x+ y+
x + y = 20
( [ 6;10]; [10;6] )
x ≤ x+ 1
R ∧ y ∈ R ∧ y ≤ 2}
{[ x; y ] : x ∈ R ∧
}
2
13. Znázorněte graficky množinu A ∩ B , jestliže: 1 1 A = [ x; y ] : x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ x + y ≥ 1 2 3 B=
{[ x; y ] : x ∈ R ∧
}
y ∈ R ∧ x 2 + y 2 ≤ 4x
14. Znázorněte graficky množinu A ∩ B , jestliže: A = { [ x; y ] : x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ xy − 2 ≤ 0} B=
{[ x; y ] : x ∈
x∈
3 ;+ ∞ 2
)
20. Řešte graficky v RxR: a) 5x + 2y ≥ 10 b) 3x + 4y ≥ 12 c) 6x + 10y ≤ 60 d) 3x - 2y ≤ 6 Určete pro která [x, y] nabývá výraz V[x, y]: 0 = 3x + 5y extrémní hodnoty. 50 30 a) M ;− 19 19 b) M [ 20;− 12] c) M ; m − neexistuje 10 6 d) m ;− 7 7
y ∈ R ∧ 4 x + 9 y ≤ 36 2
x∈ φ
19. Řešte: 3x - 1 > x + 3y x (1 - 3x) > 4x - 3x2 - 2y
12. Znázorněte graficky množinu A ∩ B , jestliže: A = { [ x; y ] : x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ 2 x + y ≥ 2} B=
y ∈ 2 x − 3; x ∈ 1;2
18. Řešte soustavu nerovnic o jedné neznámé: 2 x 2 + x − 2 ≥ ( x − 2) + x
11. Znázorněte graficky množinu A ∩ B , jestliže: A = { [ x; y ] : x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ 4 x + 3 y ≤ 12}
{[ x; y ] : x ∈
}
R ∧ y ∈ R ∧ 4〈 x 2 + y 2 ≤ 25
17. Řešte graficky v RxR: 2 x − y + 3 ≤ 0 ∧ x + 2 y − 3 ≤ 0 ∧ 3x + y ≤ 0
x 2 + y 2 = 136
B=
{[ x; y ] : x ∈
16. Řešte graficky v RxR: x ≥ 1 ∧ x + y − 3 ≤ 0 ∧ y = 2x − 3
( [ 0;± 2]; [ − 3;0] )
3x 2 + 3 y 2 + 5x = 12
c)
B=
R ∧ y ∈ R ∧ x − y ≤ 1}
6
21. Graficky řešte a) y - x ≤ 1 b) x + 3y ≥ 5 c) 3x + y ≤ 15 d) 3 ≤ x + y ≤ 7 Zjistěte, kde má fce y = 2x - 3 extrém..
a) M [ 4;5] b) m[ 2;1] 18 21 c) M ; 5 5 11 11 d) m[ 2;1] ; M ; 3 3
7
a) a + b + c, β, χ b) a + b = 9, c = 5,7; χ = 75o c) a - b, α, β d) a - b = 4, c = 5,5, χ = 45o
8. Geometrické útvary v rovině Další dovednosti: -Eukleidova věta o výšce a odvěsnách -mocnost bodu ke kružnici -čtvrtá měřická úměrná -konstrukce úseček (Eukleidovy.věty, Pythagorova věta, čtvrtá geometrická úměrná) -tětivový tečnový čtyřúhelník -sinová a kosinová věta
6. Kosočtverec má plochu S= 864 cm2. Jedna úhlopříčka je o 12 cm kratší, než druhá. Určete úhlopříčky a stranu. (48; 36; 30 cm) 7. Vypočtěte obsah plochy ohraničené opsanou a vepsanou kružnicí trojúhelníku ABC: a = 16 cm, b = 49 cm, c = 55 cm. (2389,3 cm2) 8. Trojúhelník ABC rozdělte rovnoběžkou se stranou AB na dvě 2 x = vc − vc . části stejného obsahu. 2
Možné maturitní otázky: Rovinné útvary Množiny bodů dané vlastnosti
Úlohy: 1. Sestrojte rovnoběžník, znáš-li velikost sousedních stran a, b a velikost úhlu určeného úhlopříčkami.
9. Kružnici je vepsán a opsán pravidelný 6-ti úhelník. Rozdíl jejich obsahu je 8√3.Vypočtěte poloměr kružnice. (viz kapitola 3 př. 11) (r = 4 cm)
2. Sestrojte čtyřúhelník ABCD, jsou-li dány strany a,b,c,d ( a > d ) a úhlopříčka AC je osou úhlu stran AB a AD.
10. Vypočtěte strany pravoúhlého trojúhelníka,je-li ta=8, tb=12. (11,7; 5,5; 12,9 cm)
3. Sestrojte čtverec, je-li dáno: a) a + e = 8 b) e - a = 2
11. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: a) c, tc, χ, b) a, va, α c) a+b, va, c
4. Je dána přímka p a body A a B, které leží v téže polorovině s hraniční přímkou p. Sestrojte kružnici k, která se dotýká přímky p a prochází body A a B.
12. Sestrojte obdélník ABCD: a) a + b; e b) a + b; ω
5. Sestrojte trojúhelník: 8
13. Rozdělte kruh dvěma soustřednými kružnicemi na tři části 3 6 r1 = r. ; r2 = r. stejného obsahu. 3 3
b) vnější dotyk 20. Jsou dány dvě soustředné kružnice k1(O;1),k2(O;4) a bod A (OA= 3). Sestrojte všechny kružnice, které se dotýkají k1, k2 a prochází bodem A.
14. Sestrojte trojúhelník ABC, pro který platí: a = 5, α = 45° poloměr kružnice vepsané ρ =1,5 cm.
21. V obecném trojúhelníku ABC je dáno: r = 9 cm, a = 15 cm, β = 23°. Určete zbývající strany a úhly. (b = 7,03; c = 17,69; α = 56,5°, χ = 100,5°)
15. Jsou dány přímky a b a bod M. Sestrojte kružnici, která se dotýká obou přímek a prochází bodem M.
22. V obecném trojúhelníku ABC je dáno: c = 18 cm, vc = 16 cm, β = 16°20´. Určete zbývající strany a úhly. (a = 59,6; b = 39,95; α = 153,3°, χ = 7,3°)
16. Sestrojte ∆ ABC: a) c = 4, χ,= 60o, vc= 3 b) tb= 6, vb= 5, c = 5,5 c) ta= 6, tb= 9, tc= 12 d) vc= 3, b = 4, ρ = 1 e) va, α, oα f) r, va, α
23. Je dána kružnice l(O;r) a její tečna t. Sestrojte všechny kružnice, které mají poloměr 1 cm, dotýkají se přímky t a s kružnicí l mají vnější dotyk.
17. Sestrojte lichoběžník: a) a = 10, c = 5, e = 6, f = 12 b) b = 4, c = 9, f = 7, v = 3,5 c) b = 4; c = 2; f = 5; α = 60°. d)
24. Je dán obdélník ABCD, se stranami a a b. Sestrojte KLMN tak, aby jeho obsah byl roven 2 obsahu 3 obdélníku. x=
18. Sestrojte čtyřúhelník ABCD: a) a, b, e, f, ε b) a = 8, c = 5, e = 8,5; f = 6, δ = 45o c) tětivový, a = 5; β = 120°,e = 7; f =8
25. Je dána kružnice l(O;r), její bod A a mimo ni přímka t. Sestrojte všechny kružnice, které se dotýkají přímky t a kružnice l se dotýkají v bodě A.
d) tečnový, a = 7,5; b = 3,5, α = 45°; ρ =2.
čtverec daného a .2b 3
26. K danému pravoúhlému trojúhelníku ABC s odvěsnami a a b sestrojte: b x = a. a) čtverec 2
19. Jsou dány dvě různé rovnoběžky a, b a kružnice l(O;r), která rovnoběžky protíná. Sestrojte všechny kružnice, které se dotýkají přímek a a b a s kružnicí l mají: a) vnitřní dotyk 9
b) rovnostranný trojúhelník,
x=
2 a 3. b 3
které mají stejný obsah. 27. Je dán obdélník ABCD, se stranami a a b. Nad jeho úhlopříčkou sestrojte obdélník BDKL stejného obsahu. 2 2 x= a + b ab
10
6. Jsou dány tři soustředné kružnice. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby vrcholy ležely postupně na soustředných kružnicích.
9. Shodnosti v rovině Další dovednosti: - skládání zobrazení - přímá a nepřímá shodnost - věty o shodnosti trojúhelníků
7. Je dána úsečka AA1 (např. 5 cm). Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které je AA1= ta a pro které platí: a) c = 4, b = 7; b) b = 6, β = 45°; c) b = 6, tb = 6; d) χ = 45°; β = 60°.
Možné maturitní otázky: Shodná zobrazení v rovině
8. Sestrojte lichoběžník ABCD je-li dáno: a, c, e, f. 9. Jsou dány rovnoběžné přímky a, b a bod M (ležící v pásu přímek a, b). Sestrojte kružnici, která se dotýká obou přímek a prochází bodem M. (Řešte úlohu dvěma způsoby).
Úlohy: 1. Společným bodem dvou kružnic veďte přímku tak, aby na ní kružnice vyťaly shodné tětivy.
10. Jsou dány dvě různé rovnoběžky a, b a bod M uvnitř pásu (a, b). Sestrojte všechny úsečky AB kolmé k přímkám a, b s krajními body A, B na přímkách a, b, které z bodu M vidíme pod úhlem 60o.
2. Dané jsou dva různé body A,B ležící v jedné z polorovin určených přímkou p. Sestrojte bod X∈p tak, aby AX+ BX bylo minimální.
11. Vyhledejte místo na řece šířky d, ve kterém by měl stát most tak, aby cesta z obce A do obce B byla co nejkratší.
3. Je dána kružnice k(S;3) a bod A, AS = 1,5. Sestrojte všechny tětivy XY kružnice k, s délkou 5,5 cm, které procházejí bodem A.
12. Sestrojte čtyřúhelník ABCD: a = 5, c = 5,5 ; e = 6, f = 5,5; ε =120o (ε = úhlu ASB).
4. Sestrojte čtyřúhelník ABCD, jsou-li dány velikosti jeho stran a, b, c, d ( a>d ) a úhlopříčka AC je osou úhlu alfa.
13. Jsou dány dvě rovnoběžné přímky a, b a mimo ně bod C. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A∈a, B∈b.
5. Sestrojte trojúhelník ABC: a) α, tb, a b) ta, β, χ c) c, va, a + b d) c, α, b - a
14. Sestrojte: a) čtverec ABCD: a + e, b) obdélník ABCD: e, a - b c) lichoběžník ABCD: b, c, d, α − β. 11
24. Jsou dány soustředné kružnice k1(S;4), k2(S;3) a bod A, AS = 2. Sestrojte všechny: a) rovnostranné trojúhelníky ABC, B∈k1, C∈k2 b) čtverce ABCD, B∈k1, D∈k2
15. Je dán ostrý úhel XVY a jeho vnitřní bod C. Sestrojte trojúhelník ABC tak, aby jeho vrcholy A, B ležely po řadě na polopřímkách VX a VY a obvod trojúhelníku byl minimální.
25. Jsou dány kružnice k1(S1;r1), k2(S2;r2), které se protínají v bodech C, Q. Sestrojte všechny rovnoramenné trojúhelníky ABC, pro které platí: A∈k1, B∈k2 a χ = 120°.
16. Kružnice k1(S1;r1), k2(S2;r2) leží v opačných polorovinách s hraniční přímkou p. Sestrojte kosočtverec ABCD tak, aby jeho vrcholy A, C ležely na kružnicích k1a k2 a úhlopříčka BD na přímce p. 17. Jsou dány soustředné kružnice k1(S1;r1), k2(S2;r2) a bod S ležící na menší z nich. Sestrojte rovnoběžník ABCD se středem S, jehož vrcholy leží na daných kružnicích. 18. Je dán trojúhelník ABC a jeho vnitřní bod M. Sestrojte všechny úsečky YX se středem M a s krajními body X, Y na hranici trojúhelníku. 19. Jsou dány kružnice k1(S1;3), k2(S2;2), S1S2 = 7. Sestrojte všechny úsečky XYS1S2, X∈k1 a Y∈k2 a 1 XY = S1S2. 2 20. Je dána kružnice k(S;r), její tečny t1t2 a úsečka délky a > 2r. Sestrojte všechny rovnostranné trojúhelníky ABC o délce strany a a A∈t1, B∈t2 a C∈k. 21. Je dána kružnice k(S;r), bod A uvnitř kružnice. Sestrojte všechny rovnoběžníky ABCD, jejichž vrcholy B, C, D leží na kružnici a strana AB má délku r. 22. Sestrojte rovnoběžník ABCD: a = 5; b = 3; ε = 120°. 23. Sestrojte lichoběžník ABCD: a = 6,5; b = 4; c = 3; d = 3. 12
c) ׀S1S21 = ׀
10. Podobnost a stejnolehlost
5. Sestrojte kosočtverec ABCD: e : f = 3 : 4 ; a=5.5. Další dovednosti: - Apollóniovy úlohy - Pappovy úlohy
6. Sestrojte kosodélník ABCD: a : b = 5 : 3, α = 75°, f = 6. 7. Pomocí stejnolehlosti sestrojte čtverec: a) a + e = 6 b) e - a = 2.
Možné maturitní otázky: Stejnolehlost a podobnost
8. Do daného trojúhelníku ABC vepište čtverec KLMN tak, aby KL ⊂ AB, M ∈ a, N ∈ b. 9. Jsou dány dvě kružnice se stejnými poloměry k1(O1,r), k2(O2, r), které se protínají. Bod O je středem úsečky
Úlohy: 1. Sestrojte ABC: a) α = 60o, β = 75o, ρ = 1,6; b) α = 60°, β = 45°, tc= 6;
O1O2. Veďte bodem O přímku tak, aby její průsečíky s kružnicemi k1, k2 byly krajními body tří shodných úseček.
c) b : a = 5 : 4, χ = 60o, vc = 5; d) a : c = 4 : 7, β = 45o, tc = 4,5; e) a : b : c = 7 : 4 : 5, vb = 4; f) α = 45o, β = 60ο, r = 5; g) b + c = 14, α = 75°, χ = 45°; h) α = 45°, β = 55° , vc = 4.
10. Jsou dány dvě různoběžné přímky a, b a bod M. Sestrojte kružnici, která prochází bodem M a dotýká se přímek a a b. 11. Je dán konvexní úhel AVB a bod M, který leží uvnitř úhlu. Bodem M veďte přímku m , která protíná ramena VA, VB v bodech X,Y a přitom platí: ׀VX ׀: ׀VY3 : 2 = ׀.
2. Sestrojte kružnici, která se dotýká dané přímky t v jejím bodě A a dané kružnice k, která přímku t neprotíná.
12. Je dán čtverec ABCD (a = 5) a bod M (׀BM2 = ׀, M ∈ BD). Sestrojte všechny úsečky XY, které jdou bodem M a mají krajní body na hranici čtverce ABCD tak, aby platilo: ׀MX ׀: ׀MY3 : 4 = ׀.
3. Je daná kružnice k a na ní bod T. Sestrojte kružnici, která má s danou kružnicí dotyk v bodě T a dotýká se dané přímky p. 4. Sestrojte společné tečny ke dvěma kružnicím k1(S1;2,5), k2(S2;1,5) různého poloměru., jeli: a) ׀S1S26 = ׀ b) ׀S1S23 = ׀
13. Do kružnice k(S;4cm) vepište obdélník ABCD, pro který platí: AB : BC = 3 : 4. 13
14. Jsou dány různoběžky a, b a kružnice l(O;r) ležící uvnitř jednoho úhlu určeného přímkami a, b. Sestrojte kružnici, která se dotýká přímek a, b a s kružnicí l má dotyk: a) vnitřní b) vnější 15. Je dána kružnice k(S;4cm), její tečna t a bod M ∈ k tak, že ׀Mt2 = ׀cm. Sestrojte úsečku XY procházející bodem M tak, aby X ∈ k, Y ∈ t a ׀MX ׀: ׀MY3:2 = ׀. 16. Jsou dány dvě protínající se kružnice. Jedním jejich průsečíkem veďte takovou přímku, která na kružnicích vytíná tětivy, jejichž poměr délek je 3:2. 17. Je dána kružnice k a její dva navzájem kolmé průměry. Sestrojte tětivu kružnice k, kterou dané průměry rozdělí na tři shodné úsečky. 18. Ve vnitřní oblasti kružnice k zvolte bod T. Sestrojte všechny rovnoramenné trojúhelníky ABC vepsané kružnici k, které mají těžiště T. 19. Do daného útvaru vepište aspoň jeden čtverec tak, že všechny jeho vrcholy leží na hranici útvaru a čtverec má s útvarem společnou osu souměrnosti. Je dán: a) rovnoramenný trojúhelník b) kosočtverec c) kruhová výseč d) půlkruh e) kruhová úseč 20. Je dána kružnice k(S;3,5) a bod M (׀SM2 = )׀. Sestrojte všechny tětivy kružnice k, které jdou bodem M a jsou bodem M děleny v poměru 2 : 5. 14
