Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice

Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice Příklad: Pro která x  R je součin x  2x  5 kladný? Řešení: Víme, že součin je kladný, mají-li oba činitelé stejné znaménko. Tedy aby platilo x  2x  5  0 , musí mít oba výrazy znaménko plus nebo oba znaménko mínus. Zapíšeme tento fakt pomocí soustavy nerovnic

x 2  0 x 5  0 Upravíme...

nebo x  2  0  x  5  0

x  2  x  5

x   2, 

x  2  x  5

nebo

x    , 5 

Součin bude kladný, když nastane buď první možnost nebo druhá, výsledek dostaneme sjednocením, tedy x    ,  5    2,  .

Velmi podobně rozhodneme, následující případ. Příklad: Pro která x  R je kladný kvadratický trojčlen x 2  9x  18 ? Řešení: Vyřešením kvadratické rovnice x 2  9x  18  0 najdeme její kořeny a napíšeme rozklad na součin kořenových činitelů.

x 1,2 

x1  6 9  81 72 9  3   x2  3 2 2



x 2  9x  18  x  3x  6

Máme tedy vlastně zjistit, pro která x  R platí x  3x  6  0 . To je tehdy, budou-li mít "obě závorky" znaménko plus nebo tehdy, když budou obě záporné, stejně jako v předchozím příkladu.

x  3  0  x  6  0 nebo x  3  0  x  6  0 x 3x 6 x 3 x 6

Závěr: x    , 3   6,  .

Poznámka: Zápis výpočtu může být různý. Zjišťovali jsme znaménko výrazu, a to se může měnit pouze v nulovém bodě daného výrazu nebo u složitějších tam, kde výraz není definován. Vezmeme tedy v úvahu nulové body kvadratického výrazu, ty obvykle rozdělí reálná čísla na 3 intervaly. Ve všech vnitřních bodech intervalu má výraz stejné znaménko. Stačí tedy zvolit vhodného zástupce, dosadit a vypočítat hodnotu v tomto bodě. K předchozímu příkladu: Body x  3 a x  6 rozdělí    ,  na intervaly   , 3  , 3 , 6  a 6 ,   . Vyberme si z prvního intervalu například x  1. Protože 12  9  18  10 , je jisté, že pro x    , 3  je x 2  9x  18  0 . Na dalších intervalech se bude střídat znaménko, protože jsou to jednoduché kořeny a při přechodu přes nulový bod liché násobnosti se znaménko vždy změní. Můžeme doplnit a máme výsledek.

Samozřejmě si můžete zjistit znaménko na každém intervalu dosazením.

Grafické řešení kvadratické nerovnice Výhodou grafického řešení je, že se vyhneme dosazování a dopočítávání hodnot. Grafem kvadratické funkce je parabola a nulové body jsou průsečíky grafu kvadratické funkce s osou x. Načrtneme tedy parabolu, která těmito body prochází. Kde leží graf nad osou, je výraz kladný, kde je pod osou, je záporný. Příklad: Řešte v R nerovnici x 2  2x  3  0 . Řešení: Vyřešením kvadratické rovnice x 2  2x  3  0 najdeme její kořeny a nerovnici upravíme na x  1x  3  0 . Body –1 a 3 naneseme na osu a načrtneme parabolu, která jimi prochází. Na intervalech, kde leží graf nad osou, jsou funkční hodnoty kladné, záporné a nulové jsou pro x   1, 3 .

Poznámka: Nemá-li příslušná kvadratická rovnice reálné kořeny, pak jsou všechny hodnoty kvadratického trojčlenu kladné nebo všechny záporné. A nerovnosti potom podle okolností vyhovují všechna x  R nebo řešení neexistuje. Příklad: Pro která x  R platí x 2  1  0 ? Řešení: Příslušná kvadratická rovnice x 2  1  0 má kořeny x 1,2    1   i . Budeme-li nerovnici řešit graficky, parabola nemá průsečík s osou.

Protože koeficient u x 2 je kladný, je parabola "otočená nahoru", tedy vrchol má níž než ohnisko. Celý graf leží nad osou x, a to znamená, že zadaná nerovnost platí pro libovolné x  R .

Řešené příklady: Řešte v R nerovnice: 1. x  3x  4  0 Řešení: Levá strana bude rovna nule pro x  3 a x  4 , nakreslíme tyto body na číselnou osu. Můžeme řešit a) Graficky: Graf leží nad osou (nerovnost platí) pro x   ,  4  3 ,   .

b) Zjištěním znaménka na vzniklých intervalech: Dosadíme-li například x  0 , je x  3x  4  12 . To znamená, že pro hodnoty v prostředním intervalu je výraz záporný, v krajních intervalech kladný. Nerovnost je splněna pro x   ,  4  3 ,   .

2. x  1x  3x  4  0 Řešení: Nulové body součinu na levé straně nakreslíme na osu.

Nerovnici budeme řešit zjištěním znamének hodnot v jednotlivých intervalech. Protože kdybychom součin roznásobili, dostali bychom polynom 3. stupně.

Zvolme například:  5  x  1x  3x  4  32  2  x  1x  3x  4  10  x  1x  3x  4  12 0  x  1x  3x  4  108 5 Není důležitá hodnota, ale její znaménko!

x x x x

A i v tomto případě stačilo zjistit znaménko na jednom intervalu a ostatní jsme mohli střídavě doplnit, protože všechny nulové body jsou jednoduchými kořeny příslušné rovnice. Nerovnost tedy platí pro x   ,  4   1, 3 .

3. 4x  x 2  0 Řešení: 4x  x 2  0  x 4  x   0 . Nulové body jsou x  0 a x  4 . Nakreslíme je na osu a načrtneme parabolu, která jimi prochází. (Vrchol výš než ohnisko, protože u x 2 je záporný koeficient!)

Nerovnost je splněna pro x  0 , 4  .

4. x 2  4x  7  0

4  16  28  R . Protože rovnice nemá 2 je kladný, máme

Řešení: Vypočítáme nulové body. x 1,2  reálné kořeny a koeficient u x 2

Zadaná nerovnice tedy nemá řešení .

5. 6x 2  x  1  0 Řešení: Nulové body x 1,2 

x1 

1 3

 1  1  24  1  5   1 12 12 x2   2

 1 1 Nerovnost platí pro x    ,  .  2 3

Příklady na procvičení: 1. Řešte v R kvadratické nerovnice a) x 2  2x  8  0

e) 3  2x  x 2  0

b) x 2  2x  4  0

f) x 2  4x  4  0

c) 3x 2  2x  1  0

g) x 2  4x  4  0

d) x 2  6x  10  0

h) 3x  x 2  0

2. Řešte v R nerovnice v součinovém tvaru a) x  1x  8  0

c) x  12 x  8  0

b) x  1x  8  0

d) x 2 x  1x  2  0

Výsledky:

1  1. a)  2 , 4  , b)  , c)   ,  1    ,   , d)   ,  , e)  3,1 , f)   ,  , 3  g)   ,  2     2,  , h)  , 0  3 ,  ; 2. a)   ,  8   1,  ,

b)  ,  8  1,  , c)  8 ,   , d) 1, 2 .