4.3.2
Goniometrické nerovnice
Předpoklady: 4301 Pedagogická poznámka: Nerovnice je stejně jako rovnice možné řešit grafem i jednotkovou kružnicí. Oba způsoby mají své výhody i nevýhody a jsou v podstatě rovnocenné. Po vyřešení prvních čtyř příkladů nechávám studentům svobodu volby. Při řešení nerovnic, které obsahují tg nebo cotg používáme grafy funkcí. Spojíme zkušenosti, které máme s řešením nerovnic, s minulou hodinou. Vyřeš nerovnici sin x ≥
Př. 1:
Umíme vyřešit rovnici sin x =
1 . 2
1 . Nakreslíme jednotkovou kružnici a vyřešíme nerovnost 2
s pomocí obrázku.
1 T
T x2 x1 -1
S
Řešení rovnice x1 =
R 1
π
5 , x2 = π . 6 6
-1 1 ⇒ mají y-ovou souřadnici větší 2 1 1 (nebo rovnou) ⇒ jsou výše (nebo stejně vysoko) než čísla vyhovující rovnici sin x = . 2 2 Na jednotkové kružnici hledáme čísla, pro která sin x ≥
1
1 T
T x2
R
x1 S
-1
Řešením nerovnice jsou všechna čísla π 5 v intervalu ; π . 6 6
1
-1 Hodnoty se opakují s periodou 2π ⇒ řešením je každý interval K=∪ k∈Z
π
5 + k ⋅ 2π ; π + k ⋅ 2π . 6 6
π
5 + k ⋅ 2π ; π + k ⋅ 2π 6 6
Poznámka: Řešení předchozího příkladu je velmi podobné způsobu, kterým řešíme kvadratické nerovnice: najdeme kořeny rovnice a pomocí obrázku jednotkové kružnice (místo grafu používaného u kvadratických nerovnic) hledáme správné intervaly.
Př. 2:
Vyřeš nerovnici cos x ≤ −
y = cos x . Umíme vyřešit rovnici cos x = −
3 . Kromě jednotkové kružnice využij i graf funkce 2
3 . 2
1 T x1 x2 S
-1
5 7 Řešení rovnice x1 = π , x2 = π . 6 6
R 1
T -1
2
Na jednotkové kružnici hledáme čísla, pro která cos x ≤ − menší (nebo rovnou) − rovnici cos x = −
3 ⇒ mají x-ovou souřadnici 2
3 ⇒ jsou více vlevo (nebo stejně vlevo) jako čísla vyhovující 2
3 . 2
1 T x1 x2
R S
-1
Řešením nerovnice jsou všechna čísla 5 7 v intervalu π; π . 6 6
1
T -1 Kontrola pomocí grafu funkce y = cos x . Do grafu vyznačíme hodnotu y = −
3 : 2
1 x1
x2
-1
3 ⇒ hodnoty funkce jsou menší (nebo jsou 2 3 3 rovny) − ⇒ jsou níže (nebo stejně nízko) jako body přímky y = − . 2 2 5 7 Řešením nerovnice jsou všechna čísla v intervalu π; π . 6 6 π 5 Hodnoty se opakují s periodou 2π ⇒ řešením je každý interval + k ⋅ 2π ; π + k ⋅ 2π . 6 6 π 5 K=∪ + k ⋅ 2π ; π + k ⋅ 2π 6 k∈Z 6 Na ose x hledáme čísla, pro která cos x ≤ −
3
Pedagogická poznámka: U slabších studentů povoluji, aby ve všech následujících příkladech používali metodu, která je pro ně jednodušší.
Př. 3:
Vyřeš nerovnici sin x > −
3 . Při řešení využij obrázek jednotkové kružnice. 2
1
Základní řešením rovnice sin x = −
x1
R
S
-1
4 5 x1 = π , x2 = π . 3 3
1
x2
T
-1
3 2
T
3 3 ⇒ mají y-ovou souřadnici větší než − ⇒ leží na 2 2 3 jednotkové kružnici výše než čísla vyhovující rovnici sin x = − . 2
Hledáme čísla, pro která sin x > −
1
x1 S
-1
R 1
x2
T -1 Vybarvená čísla nemůžeme zapsat intervaly: 5 4 • π ; π (v intervalu píšeme vždy nejdříve menší číslo) 3 3 4 5 • π ; π (ten obsahuje mimo krajní body čísla, která nejsou řešením nerovnice) 3 3 T
⇒ použijeme pro jeden z krajních bodů číslo, které není v intervalu 0; 2π ) ⇒ dvě možnosti:
4
5 1 1 4 π − 2π = − π ⇒ získáme interval − π ; π , 3 3 3 3 4 10 5 10 • π + 2π = π ⇒ získáme interval π ; π . 3 3 3 3 Oba předchozí intervaly jsou navzájem posunuté o 2π .
•
1 4 Hodnoty se opakují s periodou 2π ⇒ řešením je každý interval − π + k ⋅ 2π ; π + k ⋅ 2π . 3 3 1 4 K = ∪ − π + k ⋅ 2π ; π + k ⋅ 2π 3 3 k∈Z
Př. 4:
Vyřeš nerovnici cos x ≥
2 . Při řešení využij graf funkce y = cos x . 2
2 π 7 má v intervalu 0; 2π dvě řešení: x1 = , x2 = π . 2 4 4 2 Nakreslíme graf funkce a zobrazíme do něj hodnotu . 2 Rovnice cos x =
1 0,5
-0,5 -1
Řešení v intervalu 0; 2π ) bychom museli zapsat pomocí dvou intervalů 0;
π
∪
4
7 π ; 2π . 4
Zápis se značně zjednoduší, když vybereme čísla mimo interval 0; 2π ) :
•
řešení pomocí intervalu kolem 0 ⇒
−
π π
, ; 4 4 7 11 • řešení pomocí intervalu kolem 2π ⇒ π; π . 4 4 Oba předchozí intervaly jsou navzájem posunuté o 2π . Hodnoty se opakují s periodou 2π ⇒ řešením je každý interval − K=∪ − k∈Z
π 4
+ k ⋅ 2π ;
π 4
+ k ⋅ 2π
5
π 4
+ k ⋅ 2π ;
π 4
+ k ⋅ 2π .
Př. 5:
Vyřeš nerovnici tg x > 3 .
π π π Rovnice tg x = 3 má v intervalu − ; jediné řešení: x = . 3 2 2 Nakreslíme graf funkce a zobrazíme do něj hodnotu 3 .
1
-1
π π π π Řešení v intervalu − ; můžeme zapsat jako ; , hodnoty funkce y = tg x se 2 2 3 2 π π opakují s periodou π ⇒ K = ∪ + k ⋅ π ; + k ⋅ π . 2 k∈Z 3
Př. 6:
Vyřeš nerovnici cotg x ≥ −1 .
3 Rovnice cotg x = −1 má v intervalu ( 0; π ) jediné řešení: x = π . 4 Nakreslíme graf funkce a zobrazíme do něj hodnotu −1 .
6
4 3 2 1
-1 -2 -3 -4
3 Řešení v intervalu ( 0; π ) můžeme zapsat jako 0; π , hodnoty funkce y = cotg x se 4 3 opakují s periodou π ⇒ K = ∪ 0 + k ⋅ π ; π + k ⋅ π . 4 k∈Z
Pedagogická poznámka: Před řešením následujících příkladů je dobré zdůraznit dvě věci: jde o těžší příklady, které nemusí zvládnout každý (on je také zdaleka každý nestihne), k jejich řešení není třeba nic nového mimo využití postupů, které jsme používali už dříve u jiných typů rovnic.
Př. 7:
Vyřeš nerovnici −
1 2 < sin x ≤ . 2 2
Problém: Nerovnice obsahuje dvě nerovnosti ⇒ dvě možnosti řešení: • vyřešíme každou nerovnost samostatně a výsledek určíme jako průnik obou řešení (musí platit obě nerovnosti současně) ⇒ nevýhoda – dvojí práce s kreslením grafu (nebo kružnice),
7
1 2 a sin x = , získané úhly nakreslíme 2 2 do jednoho obrázku, kde rovnou určíme řešení (rychlejší postup s menší pravděpodobností chyby). Základní řešení rovnic: 1 7 11 • sin x = − ⇒ x1 = π , x2 = π (šestinové úhly v záporné polorovině), 2 6 6 2 π 3 • sin x = ⇒ x3 = , x4 = π (čtvrtinové úhly v kladné polorovině). 2 4 4 1 2 Do grafu vyznačíme přímky y = − , y = a všechny čtyři určené hodnoty úhlů: 2 2 •
samostatně řešíme pouze rovnice sin x = −
1 x1 x3
x2
x4
-1
Na ose x hledáme čísla, pro která: 2 2 sin x ≤ ⇒ hodnoty funkce leží pod (nebo stejně nízko) přímkou y = , 2 2 1 1 sin x > − ⇒ hodnoty funkce leží nad přímkou y = − . 2 2
1 x1 x3
x2
x4
x5
-1
Řešením nerovnice jsou všechna čísla v intervalech
3 7 11 π 9 π ; π a π ; + 2π = π . 4 6 6 4 4
Hodnoty se opakují s periodou 2π ⇒ 3 7 9 11 K = ∪ π + k ⋅ 2π ; π k ⋅ 2π ∪ π k ⋅ 2π ; π k ⋅ 2π 6 4 6 k∈Z 4
8
Př. 8:
π 3 Vyřeš nerovnici sin 3 x − > . 3 2
Problém: uvnitř sinu je složitější výraz ⇒ substituce. π 3 Substituce: z = 3 x − ⇒ nerovnice sin z > . 3 2 3 π 2 Základní řešení rovnice: sin z = ⇒ z1 = , z2 = π (třetinové úhly v kladné 2 3 3 polorovině). 3 Do grafu vyznačíme přímku y = a určené hodnoty úhlů z1 , z2 . Na ose x hledáme čísla, 2 3 2 pro která sin z > ⇒ hodnoty funkce leží nad přímkou y = . 2 2
1
x1
x2
-1
π 2 Řešením nerovnice jsou všechna čísla v intervalu ; π . 3 3 2 π Hodnoty se opakují s periodou 2π ⇒ K = ∪ + k ⋅ 2π ; π + k ⋅ 2π . 3 k∈Z 3 Návrat k původní proměnné: (přepočítáme meze a periodu intervalů) π π π 2 z1 = 3 x1 − = + k ⋅ 2π z2 = 3 x2 − = π + k ⋅ 2π 3 3 3 3 π π π π 2 π 3 x1 − = + k ⋅ 2π /+ 3 x2 − = π + k ⋅ 2π /+ 3 3 3 3 3 3 2 3 x2 = π + k ⋅ 2π / :3 3 x1 = π + k ⋅ 2π / :3 3 π 2 x2 = + k ⋅ π 2 2 3 3 x1 = π + k ⋅ π 9 3 2 π 2 2 K = ∪ π + k ⋅ π; + k ⋅ π 3 3 3 k∈Z 9
Pedagogická poznámka: Při substituci nepoužíváme standardní označení proměnné y, kvůli možnosti záměny s označením osy y v grafu. Studenti samozřejmě budou y při substituci často používat, pokud se jim nezačne plést s označením osy, není to na závadu.
9
Př. 9:
Vyřeš nerovnici cos x >
3 . 2
Problém: cos x je uvnitř absolutní hodnoty ⇒ substituce. 3 Substituce: a = cos x ⇒ nerovnice a = a − 0 > . 2 3 3 3 Hledáme čísla vzdálená od nuly více než o ⇒ platí y ∈ −∞; − ; ∞ . ∪ 2 2 2 Přepíšeme interval hodnot a = cos x pomocí nerovnic: 3 3 3 3 nebo a = cos x > . a = cos x ∈ −∞; − ; ∞ ⇔ a = cos x < − ∪ 2 2 2 2 Získali jsme dvě nerovnice, každou vyřešíme zvlášť. Protože stačí, aby nalezená hodnota x splňovala jednu z podmínek, získáme celkové řešení jako sjednocení. 3 a) cos x < − 2 3 5 7 Základní řešení rovnice: cos x = − ⇒ x1 = π , x2 = π (šestinové úhly v záporné 2 6 6 polorovině osy x). 3 Do grafu vyznačíme přímku y = − a určené hodnoty úhlů x1 , x2 . Na ose x hledáme čísla, 2 3 3 pro která cos x < − ⇒ hodnoty funkce leží pod přímkou y = − . 2 2
1 x1
x2
-1
5 7 Řešením nerovnice jsou všechna čísla v intervalu π ; π , hodnoty se opakují s periodou 6 6 7 5 2π ⇒ K1 = ∪ π + k ⋅ 2π ; π + k ⋅ 2π . 6 k∈Z 6 3 b) y = cos x > 2
10
Základní řešení rovnice: cos x =
3 π 11 ⇒ x1 = , x2 = π (šestinové úhly v kladné 2 6 6
polorovině osy x). 3 a určené hodnoty úhlů x1 , x2 . Na ose x hledáme čísla, 2 3 3 pro která cos x > ⇒ hodnoty funkce leží nad přímkou y = . 2 2 Do grafu vyznačíme přímku y =
1
x1
x2
-1
π π Řešením nerovnice jsou všechna čísla v intervalu − ; , hodnoty se opakují s periodou 6 6 π π 2π ⇒ K 2 = ∪ − + k ⋅ 2π ; + k ⋅ 2π . 6 6 k∈Z 5 7 π π K = ∪ π + k ⋅ 2π ; π + k ⋅ 2π ∪ − + k ⋅ 2π ; + k ⋅ 2π 6 6 6 k∈Z 6
Př. 10: Vyřeš nerovnici 2sin x − 1 ≥ 1 . Problém: sin x je uvnitř absolutní hodnoty ⇒ substituce. Substituce: y = sin x ⇒ nerovnice 2a − 1 ≥ 1 . Nerovnici nemůže ihned interpretovat pomocí vzdálenosti obrazů bodů na číselné ose ⇒ 1 upravíme: 2a − 1 = 2 a − 2 1 2 a − ≥1 / : 2 2 1 1 a− ≥ 2 2 1 1 Hledáme čísla vzdálená od více než o (nebo přesně o) ⇒ platí a ∈ ( −∞;0 ∪ 1; ∞ ) . 2 2 Přepíšeme interval hodnot a = sin x pomocí nerovnic: a = sin x ∈ ( −∞;0 ∪ 1; ∞ ) ⇔ a = sin x ≤ 0 nebo a = sin x ≥ 1 . Získali jsme dvě nerovnice, každou vyřešíme zvlášť. Protože stačí, aby nalezená hodnota x splňovala jednu z podmínek, získáme celkové řešení jako sjednocení. 11
a) a = sin x ≤ 0 Základní řešení rovnice: sin x = 0 ⇒ x1 = 0 , x2 = π . Do grafu vyznačíme přímku y = 0 a určené hodnoty úhlů x1 , x2 . Na ose x hledáme čísla, pro která sin x ≤ 0 ⇒ hodnoty funkce leží pod nebo na přímce y = 0 .
1
x1
x2
-1
Řešením nerovnice jsou všechna čísla v intervalu π ; 2π , hodnoty se opakují s periodou 2π ⇒ K1 = ∪ π + k ⋅ 2π ; 2π + k ⋅ 2π . k∈Z
b) a = sin x ≥ 1 Základní řešení rovnice: sin x = 1 ⇒ x1 =
π
. 2 Do grafu vyznačíme přímku y = 1 a určenou hodnotu úhlu x1 . Na ose x hledáme čísla, pro která sin x ≥ 1 ⇒ hodnoty funkce leží nad nebo na přímce y = 1 .
1
-1
x1
π
π , hodnoty se opakují s periodou 2π ⇒ K 2 = ∪ + k ⋅ 2π . 2 k∈Z 2 π K = ∪ π + k ⋅ 2π ; 2π + k ⋅ 2π ∪ + k ⋅ 2π 2 k∈Z
Řešením nerovnice je číslo
Př. 11: Petáková: strana 55/cvičení 26 a) b) e) f) strana 55/cvičení 27 a) b)
12
Shrnutí: Při řešení goniometrických nerovnic využíváme grafy goniometrických funkcí (nebo znázornění pomocí jednotkové kružnice) a řešení odpovídajících goniometrických rovnic.
13
