@042
4. Lineární (ne)rovnice s racionalitou rovnice Když se řekne s racionalitou, znamená to, že zadaná rovnice obsahuje nějaký zlomek a neznámá je ve jmenovateli zlomku. Na co si dát pozor ? † u rovnic je to nula ve jmenovateli † u nerovnic ještě možná změna relačního znaménka
Nejprve si ukážeme tři možnosti, které mohou nastat při řešení rovnic s racionalitou, a které se po úpravách stanou lineárními rovnicemi. Příklad: Řešte v R rovnici
3x 2 x 1
0
Řešení: rozbor Tato rovnice má smysl pouze tehdy, nebude-li ve jmenovateli nula. Musíme zjistit, kdy taková situace nastává a proto nejprve řešíme lineární rovnici (jmenovatel položíme roven 0). x+1=0 x = -1 Číslo -1 musíme vyloučit z dalších úvah o řešení, protože by to znamenalo dostat nulu do jmenovatele. Je zřejmé, že číslo –1 nemůže být v žádném případě kořenem zadané rovnice. Za předpokladu, že x ≠ -1 , můžeme zadanou rovnici vynásobit výrazem (x+1) a dostaneme 3x - 2 = 0 Odkud snadno dostaneme x = 2/3 což je číslo různé od -1 a tedy je to kandidát na řešení.
zkouška:
2 L( ) 3
2 2 3 2 1 3
3
2 2 5 3
3.0 5
0 5
0
2 P( ) 0 3
závěr: Tato rovnice má v R jediné řešení x = 2/3. S = {2/3} pokračování
L
P
@045 Předchozí tři příklady ukázaly, že řešením lineární rovnice s racionalitou může být jednoprvková množina (jedno číslo) nekonečně mnoho čísel (vyjádříme nejlépe intervalem) množina prázdná Úkol: : Řešte v R rovnici
x 3 x 4
Řešení: S = {2} S = (-∞; 4) S = {4} zpět
(4; +∞)
1 2
@048 Bohužel. Nerovnici
x 2 x 1
2
přece nelze rozložit na případy
I. x+1<0 x-2≤2 Zlomek musíte vynásobit a ne pracovat pouze s čitatelem.
znovu prostudujte
II. x+1>0 x-2≥2
@051 Bohužel.
znovu prostudujte
@054 zpět Správně. Řešte v R nerovnici
6
1
x2 1 Řešení: rozbor
x2
2x 3 x2 1
Libovolné reálné číslo umocněné na druhou je vždy nezáporné x2
0
Tedy x2+1 1 > 0 je vždycky kladné. Vynásobíme-li zadanou nerovnost výrazem (x2+1), znaménko nerovnosti se nezmění nerovnici vydělíme kladným číslem (x2+1) 2 2 6 + x + 1 ≤ x + 2x - 3 7 ≤ 2x - 3 10 ≤ 2x 5≤x Kandidáti řešení jsou tedy čísla z intervalu <5; +∞) a zkouškou obráceným postupem dokážeme, že to nejsou jen kandidáti, ale přímo kořeny nerovnice (řešení nerovnice). Úkol: Řešte v N rovnici
1
1
y 2
y 3
3 y 10 ( y 2)( y 3)
Nespěchejte za výsledkem, ale aspoň se pokuste rovnici vyřešit sami. výsledek
@043 zpět Příklad: Řešte v R rovnici
3x 3 x 1
0
Řešení: rozbor Tato rovnice má smysl pouze tehdy, nebude-li ve jmenovateli nula. Proto i tentokrát musíme z dalších úvah vyloučit číslo -1. Za předpokladu, že x ≠ -1, můžeme zadanou rovnici vynásobit výrazem (x+1) a dostaneme 3x + 3 = 0 a po úpravě x = -1 což je vyloučené číslo. zkouška Nedostali jsme žádného kandidáta na řešení, tedy zkouška odpadá (není co přezkoušet). závěr: Tato rovnice nemá v R řešení. S = Ø pokračování
@046 Bohužel, řešte rovnici pečlivěji.
znovu prostudujte
@049 Bohužel. Pravděpodobně jste jen nepřesně provedl závěry.
znovu prostudujte
@044 zpět Příklad: Řešte v R rovnici
x 1 1 x 1
Řešení: rozbor Tato rovnice má smysl pouze tehdy, nebude-li ve jmenovateli nula. I tentokrát musíme z dalších úvah vyloučit číslo -1. Za předpokladu, že x ≠ -1, můžeme zadanou rovnici vynásobit výrazem (x+1) a dostaneme x+1=x+1 Na obou stranách rovnice je týž výraz, tedy pro každé reálné x jde o pravdivý výrok. Tedy kandidáti řešení jsou všechna reálná čísla kromě vyloučeného čísla –1. zkouška Kandidátů je nekonečně mnoho, tak zkoušku můžeme provést jen obrácením postupu x+1=x+1 celou rovnici vydělíme (x+1), protože máme vyloučeno číslo –1, dělíme nenulovým výrazem
x 1 x 1
x 1 x 1
Levou stranu necháme bez úpravy, zlomek na pravé straně vykrátíme
x 1 1 x 1 a dostáváme původní rovnici. závěr: Řešená rovnice má nekonečně mnoho řešení. Jsou to všechna reálná čísla z množiny S = R\{-1} či vyjádřeno intervaly (-∞; -1) (-1; +∞) pokračování
@047 zpět Správně.
x 3 x 4
1 2
Nejprve musíme vyloučit číslo 4, neboť s ním bychom dostali do jmenovatele nulu. Dále vynásobíme celou rovnici číslem 2 a výrazem (x-4). 2(x – 3) = x - 4 levou stranu roznásobíme a provedeme pár další úprav a skončíme určením kandidáta na řešení x=2 Zkouška dokáže, že je to opravdu řešení zadané rovnice.
nerovnice Příklad: Řešte v R nerovnici
x 2 0 x 1 Řešení: Jsme již znalci, a tak je nám jasné, že nerovnice má smysl jen pro x ≠ -1 . Číslo x =1 rozděluje reálná čísla na dvě části. Vyznačme si rozbor řešení do tabulky x x+1
-∞
+
x R : jestliže
rozbor
kandidáti řešení zkouška řešení
+∞
-1 -1 — x R : jestliže
x 2 0 x 1 x-2>0 x>2 pak (2; +∞)
pak
x 2 0 x 1 x-2<0 x<2 pak (-∞; 2) jestliže
(-∞; -1)∩ (2; +∞) = Ø
(-1; +∞)∩ (-∞; 2) = (-1; 2)
se provede obrácením postupu (modrá cesta) – naznačeno šipkou sjednocení dílčích řešení Ø (-1; 2) je řešení celkové
závěr: Nerovnice má za řešení všechna x z intervalu (-1; 2)
Úkol: Řešte v R nerovnici
x 2 x 1
2
Řešení: S = (-∞; -1)
<4; +∞)
S = (-∞; -4>
(-1; +∞)
S = <-4; -1) zpět
@050 zpět Správně. Řešte v R nerovnici x x+1
x 2 x 1
2
-∞
+
x R : jestliže
pak
x R : jestliže
x 2 2 x 1 x - 2 2(x + 1) x – 2 2x + 2 -4 x pak (-∞; -4> jestliže
rozbor
kandidáti řešení zkouška řešení
(-∞; -1)∩ (-∞; -4> = (-∞; -4>
t 2
pak
x 2 2 x 1 x - 2 2(x + 1) x – 2 2x + 2 -4 x pak <-4; +∞) jestliže (-1; +∞)∩ <-4; +∞) = (-1; +∞)
se provede obrácením postupu (modrá cesta) – naznačeno šipkou sjednocení dílčích řešení (-∞; -4> (-1; +∞) je řešení celkové
Úkol: Řešte v N rovnice a) t 1 b)
7
Řešení: v N má pouze rovnice má pouze rovnice c mají pouze rovnice a, c má pouze rovnice b zpět
+∞
-1 -1 —
1 t t 1
2
c)
1 t t 3
2
@052 zpět Správně.
a)
t 1 t 2 x=-5/2 Ø
7
b)
1 t t 1
c)
2
Řešení v R rovnic Ø Řešení: v N Ø
1 t t 3
2
x=4 x=4
V množině přirozených čísle N má řešení pouze rovnice c . Úkol: Řešte v R nerovnici
6 x2 1
1
x2
2x 3 x2 1
Poznámka: Neděste se x2 . Po úpravě v rozboru tento člen zmizí. Řešení: S = (-1; 5> S = (-∞; -1) S = <5; +∞) zpět
<5; +∞)
@053 Bohužel.
znovu prostudujte
@055 zpět Příklad: Řešte v N rovnici
1
1
y 2
y 3
3 y 10 ( y 2)( y 3)
Řešení: rozbor Ve jmenovateli se objeví nula, pokud y nabude hodnoty 2 nebo 3. Proto tato dvě čísla musíme vyloučit. y 2a y 3 Za tohoto předpokladu vynásobíme rovnici postupně výrazy (y-2) a (y-3) a další úpravy následují ( y - 3 ) - ( y - 2 ) = 3y - 10 - 1 = 3y - 10 9 = 3y 3=y Dopracovali jsme se k číslu, které je předem vyloučeno. Proto je S = Ø závěr: Zadaná rovnice nemá řešení v R tedy ani v N.
KONEC LEKCE
