Matematika I – seminář: Goniometrické a cyklometrické funkce 1
4. GONIOMETRICKÉ A CYKLOMETRICKÉ FUNKCE, ROVNICE A NEROVNICE 4.1. GONIOMETRICKÉ FUNKCE V této kapitole se dozvíte: •
vztah mezi stupň ovou a obloukovou mírou;
•
jak jso u definov án y čtyři základ n í gonio metrické funk ce: sinus, kosinus, tangen s a k otangen s;
•
jak v ypad ají g rafy gonio metric kých funkcí a jaké mají tyto funk ce v lastnosti;
•
důležité vzorce pro práci s goniometrickými funkcemi.
Klíčová slova této kapitoly: goniometrické funkce, sinus, kosinus, tangens, kotangens, sekans, kosekans, součtové vzorce.
Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly: 0 ,75 + 2 ,0 hodin y (teo rie + řešení p říkladů)
Matematika I – seminář: Goniometrické a cyklometrické funkce 2
Oblouková a stupňová míra. Velikost rovinného úhlu se v praxi vyjadřuje ve stupních, kdy přímému úhlu odpovídá hodnota 180º (a tedy pravému úhlu 90º, plnému úhlu 360º). V teorii se dává přednost tzv. obloukové míře, jejíž jednotkou je bezrozměrná jednotka zvaná radián. Je-li úhel α v radiánech, a úhel α º tentýž úhel ve stupních, pak platí převodní vztah α=
π αº . 180
π π π π = 90º , = 60º , = 45º , = 30º . 2 3 4 6 V dalším textu budou všechny úhly výhradně v obloukové míře! Tudíž π = 180º , 2π = 360º ,
Goniometrické funkce. Goniometrické funkce jsou zavedeny buď pomocí jednotkové kružnice nebo (pro ostré úhly) pomocí pravoúhlého trojúhelníka. Připomeňme druhý případ. Nechť je dán pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem u vrcholu C. Úhel u vrcholu A označíme α . Čtyři základní goniometrické funkce jsou pak definovány takto: BC sinus: sin α = , tzn. poměr velikostí protilehlé odvěsny a přepony; AB kosinus: cos α = tangens: tgα =
AC , tzn. poměr velikostí přilehlé odvěsny a přepony; AB
BC sin α = , tzn. poměr velikostí protilehlé odvěsny a přilehlé odvěsny; cos α AC
kotangens: cotgα =
AC cos α = , tzn. poměr velikostí přilehlé odvěsny a protilehlé odvěsny. sinα BC
Další dvě goniometrické funkce, sekans ( sec α =
1 1 ) a kosekans ( cosec α = ) se cos α sin α
běžně nepoužívají. Grafy goniometrických funkcí. Velmi mnoho informací o goniometrických funkcích ukazují jejich grafy, které je nutné znát zpaměti.
Matematika I – seminář: Goniometrické a cyklometrické funkce 3
Základní vlastnosti goniometrických funkcí. Všechny základní vlastnosti vyčteme z grafů. Funkce sinus, resp. cosinus je 2π - periodická, spojitá, definiční obor je R , obor hodnot uzavřený interval −1, 1 . Funkce tangens, resp. π cotangens jsou π - periodické, definované v R bez množiny + kπ , k ∈ Z , resp. 2 {kπ , k ∈ Z } , oborem hodnot je celá množina R . Žádná z uvedených funkcí není prostá. Tabulka hodnot goniometrických funkcí pro vybrané argumenty z prvního kvadrantu. argument α :
0
π
sinα
0
1
cosα tgα
1
3
0
3
cotgα
nedefinováno
6 2 2
π 2 2
4 2 2
3
1
3
1
π
3 2
2 1
2
0
3
nedefinováno
3
0
3 1
π
3
Uvedenou tabulku je třeba znát zpaměti, není to příliš obtížné. Vybrané vzorce pro počítání s goniometrickými funkcemi. Uvedené vzorce patří k základnímu matematickému vybavení a nejdůležitější z nich (jsou uvedeny v rámečku) je nutné znát zpaměti. Součtové vzorce pro sinus a kosinus. sin (α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β , cos (α ± β ) = cos α cos β ∓ sin α sin β . Z uvedených vzorců lze odvodit následující: sin 2 α + cos 2 α = 1 . sin ( π 2 ± α ) = cos α , sin (π ± α ) = ∓ sin α , cos ( π 2 ± α ) = ∓ sin α , cos (π ± α ) = − cos α . Sinus a kosinus dvojnásobného argumentu. sin 2α = 2sin α cos α , cos 2α = cos 2 α − sin 2 α . Sinus a kosinus polovičního argumentu. sin
1 − cos α 1 + cos α α α = , cos = 2 2 2 2
Matematika I – seminář: Goniometrické a cyklometrické funkce 4
Součtové vzorce pro funkční hodnoty sinů a kosinů. sin α ± sin β = 2sin cos α + cos β = 2 cos
α±β α∓β cos 2 2
α+β α −β α+β α −β cos sin , cos α − cos β = −2sin . 2 2 2 2
Součtové vzorce pro tangentu a kotangentu. tg (α ± β ) =
tgα ± tgβ cotgα cotgβ ∓ 1 , cotg (α ± β ) = . 1 ∓ tgα tgβ cotgβ ± cotgα
Tangens a kotangens dvojnásobného a polovičního úhlu. tg2α =
2tgα 1 − cos α 1 + cos α cotg 2α − 1 α α cotg2 , α = , tg = , cotg = . 2 2cotgα 1 − tg α 2 1 + cos α 2 1 − cos α
Vztahy mezi různými goniometrickými funkcemi. tgα =
1 1 1 , 1 + tg 2α = , 1 + cotg 2α = . 2 cotgα cos α sin 2 α
Shrnutí kapitoly: K měření úhlů se ve vyšší matematice používá takřka výlučně obloukové míry, vyjadřované v radiánech. Převodní vztah mezi obloukovou a stupňovou mírou je jednoduchý a je dán tím, že přímému úhlu ( 180° ) odpovídá hodnota π radiánů. Základními goniometrickými funkcemi jsou funkce sinus, kosinus, tangens a kotangens. Funkce sekans a kosekans se používají zřídka. Uvedené funkce jsou definovány pomocí jednotkové kružnice nebo pravoúhlého trojúhelníka. Velmi důležité jsou grafy goniometrických funkcí, ze kterých lze vyčíst většinu jejich vlastností, zejména definiční obory, obory hodnot, periodicitu a nulové body. Ve výpočetní praxi je často nutné použít vzorce s goniometrickými funkcemi. Těchto vzorců je relativně mnoho a ty nejdůležitější je nezbytné znát zpaměti.
Matematika I – seminář: Goniometrické a cyklometrické funkce 5
Otázky: •
Jak se jmen ují a jak jso u definován y čtyři nejp oužív anější goni ometrické funk ce?
•
Jaké základ ní vlastn osti mají funkce sinu s a k o sinu s? Jaký mají defin iční obo r a obor hodnot? Jak je to s jejic h periodicitou a mo notón no stí?
•
Jaké základ ní vlastn osti mají f unkce tangen s a kotangen s? Jaký mají d efiničn í obo r a obor hodnot? Jak je to s j ejich periodicitou a mo n otó nno stí?
•
Načrtněte zpaměti grafy všech čty ř nejpoužívanějších gon io metri ck ý ch funkcí. Jakými význačnými body tyto grafy mu sí p ro ch ázet?
•
Napište zpaměti základní vzorce p ro p ráci s goniometrickými fu n kcemi.
Příklad 1. Určete hodnotu výrazu převodem argumentu do prvního kvadrantu: 3 7 7 5 17 2 a) sin π ; b) cos π ; c) tg π ; d) cotg- π ; e) sin π ; f) cos 17 + π . 5 4 6 4 3 3 Návod. Využijte periodicity goniometrických funkcí a jejich dalších vlastností, např. sudosti nebo lichosti apod. Všechny požadované vlastnosti lze vyčíst z grafů. Příklad 2. Určete hodnotu výrazu převodem argumentu do prvního kvadrantu: a) sin
1 1 5 5 π 7 π ; b) cos π ; c) sin π ; d) cos π ; e) tg ; f) tg π . 12 12 12 12 8 12
Návod. Rozepište argument na vhodný součet nebo rozdíl úhlů a použijte součtové vzorce. 1 1 1 Např. π = π − π . 12 4 6 Příklad 3. Zjednodušte výrazy s goniometrickými funkcemi. Uveďte podmínky platnosti. 1 + cos α sin α sin 2 α − ; c) ; sin α 1 − cos α 1 + cos α tg α cotg α 1 − cos 2α sin 2α d) + ; e) − ; f) cos (α + β ) ⋅ cos (α − β ) . 2 1 − tg α 1 − cotg α sin 2α 1 + cos 2α
a) sin 4 α − cos 4 α + cos 2 α ; b)
Návod. Použijte vzorců pro práci s goniometrickými funkcemi.
Řešení příkladů: π 2 π 3 π 3 π = ; 1b) − cos = − ; 1c) − tg = −1 ; 1d) cotg = ; 4 2 6 2 3 3 4 π 3 2π 1e) − sin = − ; 1f) − cos ≈ −0,3090 . 3 2 5 1a) sin
2a)
6− 2 ; 2b) 4
6+ 2 ; 2c) 4
6+ 2 ; 2d) 4
6− 2 ; 2e) 4
2 − 1 ; 2f) −2 − 3 .
3a) sin 2 α ; 3b) 0, α ≠ kπ ; 3c) 1 − cos α , α ≠ π + 2kπ ; 3d) 0, α ≠ k
π ; 3e) 2tgα ; 4
3f) cos 2 α − sin 2 β .
Další zdroje: 1. POLÁK, J. Přehled středoškolské matematiky. 6. vyd. Praha: Prometheus, 1997. 2. POLÁK, J. Středoškolská matematika v úlohách I. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1996. 3. POLÁK, J. Středoškolská matematika v úlohách II. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1996. 4. REKTORYS, K. a spol. Přehled užité matematiky. 6. přepr. vyd. Praha: Prometheus, 1995.
ZÁVĚR:
