4. FELADATSOR (2015. 03. 02.) 1. feladat
Egy rendszer fundamentális egyenlete a következő: , , =
.
a) Írd fel az egyenletet intenzív mennyiségekkel!
b) Írd fel az egyenletet entrópiareperezentációban! c) Ellenőrizd, hogy a teljesülnek-e az axiómák erre az egyenletre! d) Határozd meg az energia-reprezentáció három állapotegyenletét e) Fejezd ki a nyomást a hőmérséklet, és a moláris térfogat függvényeként.
Egy termodinamikai rendszer két állapotegyenlete: = és = , ahol 2. feladat B konstans. Határozd meg a rendszer fundamentális egyenletét 3. feladat Két tartály (A és B) egyatomos ideális gázzal van töltve, mindkettő térfogata 3 2 m . A tartályok a környezetüktől izoláltak és egymástól egy nem átjárható, merev, hőszigetelő fallal vannak elválasztva. Az A tartályban 3 mol, a B-ben 5 mol gáz van, az A tartály hőmérséklete kezdetben 600 K, az összetett rendszer belső energiája 35 kJ, az egyes tartályokban a belső energia az = képlettel számolható. a) Számold ki a két részrendszer belső energiáját!
b) Számold ki a B tartály hőmérsékletét! c) Számold ki a két tartályban mérhető nyomást! d) Mekkora lesz az egyes részrendszerek hőmérséklete és nyomása, ha az őket elválasztó falat hővezetővé tesszük? e) Mekkora lesz az egyes részrendszerek nyomása, ha az őket elválasztó falat mozgathatóvá tesszük? f) Mekkora lesz az egyes részrendszerek hőmérséklete és nyomása, ha az őket elválasztó falat hővezetővé és mozgathatóvá tesszük?
Egy rendszer fundamentális egyenlete a következő: = ( pozitív 4. feladat konstans). a) Add meg a rendszer fundamentális egyenletét entrópia-, szabadenergia-, entalpia- és szabadentalpia-reprezentációban! b) Számold ki a rendszer izobár és izochor hőkapacitását, izoterm kompresszibilitását és hőtágulási együtthatóját!
5. feladat Egy rendszer izochor hőkapacitását a = √ összefüggés adja meg. Számold ki, hogy mekkora hőmennyiség szükséges 4 mólnyi anyag 100 dm3 állandó térfogaton történő melegítéséhez 200-ról 300 K-re.
6. feladat Egy rendszer fundamentális egyenlete a következő: = ( pozitív konstans). a) Add meg a rendszer fundamentális egyenletét entrópia-, szabadenergia-, entalpia- és szabadentalpia-reprezentációban! b) Számold ki a rendszer izobár és izochor hőkapacitását, izoterm kompresszibilitását és hőtágulási együtthatóját!
MEGOLDÁS 1. feladat
a) ,
=
$
, azaz !", # =
.
b) Az energia-reprezentációjú fundamentális egyenletet átrendezve az egyenletet kapjuk, azaz , , = %
.
=
c) Az 1. és a 2. axiómán nincs mit ellenőrizni. A 3. axióma három állítása és a 4. axióma ellenőrizendő: -
additivitás: Elég belátni, hogy &, &, & = &, , , ami az
%
&&& = %
& = & %
= & összefüggés alap-
ján teljesül. Másik lehetőség: a fundamentális egyenlet átírható intenzív változókra (ld. b) pont), így az előző átalakítás automatikusan teljesülni fog (akit érdekel, bizonyítsa be). -
differenciálhatóság (és folytonosság): az S függvény differenciálható függvények (√, √, √) szorzata ill. konstans-szorosa, így differenciálható. szig. mon. növekedés U szerint: A √ függvény szig. mon nő, és ennek pozitív
sokszorosa (%
-szorosa) is. Másik lehetőség: kiszámolni az S függvény U '
szerinti deriváltját: '
-
,
'
'
,
=3
> 0, így a függvény szig. mon. nő. -
, így , , = % . A kérdéses határérték:
d) A három állapotegyenlet:
-
teljesül.
-
4. axióma: lim-→/ = 0 . Ehhez kell az , , függvény. , , = lim-→/ = lim-→/ %
-
= %
'
= '
,
'
= − ' 3=
'
=3
,
' ,
= − −
=−
√ = %
lim-→/ √ = 0 , tehát az axióma
,
=
,
.
e) A feladat a , # függvény meghatározása. A d) pont eredményeit átírva intenzív
mennyiségekre kapjuk a = 3
$
és a =
$
. Az elsőből kifejezve s-t: ", # =
%
-
=
, ezt behelyettesítve a második összefüggésbe megkapjuk a kért összefüggést:
56 8 6 7
4 %
% . = √:
9
-
2. feladat Átírhatjuk inenzív változókra az első állapotegyenletet (bizonyítható, hogy mindig így van): ! = #. A képletekben u és v szerepel a lehetséges változók közül, így az "!, # fundamentális egyenletet fogjuk meghatározni. Ennek differenciális alakja: ;" = <
-
> -
!, #;! + !, #;#. Ehhez a két állapotfüggvényt kell kifehezni: = , = % = % >
? <
-
@
@
-
@?
>
@ ?
és
= % = 9 = % . E két öszefüggés bármelyikét a megfelelő változó szerint integrálva >
B
CB
megkapjuk a fundamentális egyenletet: A √# ! ;! = 2√#! (a másik képlettel ellenőrizhető). 3. feladat
a F = F F = 22,45 kJ, valamint K = LML − F = 12,55 kJ.
b) Az K = K K összefüggést átrendezve K = O = 201,3 K. c)Az ideális gázok állapotegyenletéből F =
Q -Q Q
O
= 7,483 kPa és K =
O -O O
= 4,184 kPa
d) Hővezető fal esetén a két rendszer közös hőmérsékletű lesz (T’). A rendszer izoláltsága miatt LML nem változik. Így LML = F ′ + K ′ = F + K ′ egyenletet átrendezve ′ = 350,8 K. A nyomásértékeket a c) részhez hasonlóan kell kiszámolni a közös -V -V hőmérsékletet behelyettesítve: ′F = Q = 4,375 kPa és ′K = O = 7,291 kPa. Q
O
e) Mozgatható fal esetén a két rendszer nyomása azonos lesz. A rendszer izoláltsága miatt LML nem változik. Az = egyenletet az ideális gáz állapotegyenlete alapján
átrendezve a = összefüggést kapjuk. Így LML = ""F + ""K = "F + "K . Az össztérfogat a külső falak merev volta miatt nem változik, ezért "F + "K = F + K = 4 m , és ezt a belső energia képletébe behelyettesítve " = 5,833 kPa.
f) Mozgatható és hővezető fal esetén a két rendszer hőmérséklete és nyomása is azonos lesz. A d) pontban az új hőmérséklet meghatározásánál nem használtuk ki, hogy az elválasztó fal merev, így ugyanazt a levezetést használhatjuk itt is. Hasonlóképpen, az e) pontban az elválasztó fal hőszigetelő voltát nem használtuk, így a nyomásra az a levezetés használható. Így ′′′ = 350,8 K és ′′′ = 5,833 kPa.
4. feladat a) A fontos állapotfüggvények: = B [ 7
\[
, =
, amiből = %
- % - % - - Z \] 7] valamint = Y = Y , amiből = ^ > és = : > .
Az entrópia egyszerű átrendezéssel megkapható: = %
A szabadenergia: _ = − = Az entalpia: c = + =
−
+
-
-
'
'- >,
=
'
'- , < '
e> = 'f- =
`< '
'>
>,
=
' -
-
%
-
'- ^ >
= a
'
'-
: >
-
b
>,
,
' -
= - '- : >
-,
: >
=
-V
+
- - ^ > <
' -
√d =
-
-,
^ >
B [ 7 % Z \]
-
-V -
>
,
a%
= %
-
>
b =
`
%
-
.
.
= − = −
- : >
.
.
= -.
: > `-
√ i j
.
: >
`
<
, = %
.
= %
= − -
=
−
-
: > -
= -
=
-
>,
=
`
= =
= %
= − - '> : >
5. feladat g = A-
A szabadentalpia: d = + − = b) > =
-
= >.
: >
= 4 √4 ∙ 0,1 300 − 200 = 49,8 kJ.
6. feladat
-
<
a) A fontos állapotfüggvények: = , = , amiből = % , = % > , B [ 7
\[
- % - % - - Z \] 7] valamint = Y = Y , amiből = ^ > és = : > .
Az entrópia egyszerű átrendezéssel megkapható: = %
`
.
`
-
A szabadenergia: _ = − = − = = a% b =
`
%
-
.
Az entalpia: c = + =
+
A szabadentalpia: d = + − = -
b) > = -
'
'- >, '
= '-
< '
e> = 'f- =
,
`< '
'>
>,
-
=
' -
'- ^ >
-
'
-
= a'- % b : >
>,
,
' -
= - '- : >
-,
: >
=
+
- - ^ >
-
= =
<
=
−
- ^ >
= %
>
=−
B [ 7 % Z \]
. -
= %- = % .
>,
' -
= − - '> : >
: > -
= - -,
: >
= -.
: > `-
= − -
: >
= >.
.
=−
- : >
.
