X.4. PETIÉK KERTES HÁZA TÁRSASJÁTÉK. A feladatsor jellemzői

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakközépiskolások számára

X.4. PETIÉK KERTES HÁZA – TÁRSASJÁTÉK A feladatsor jellemzői Tárgy, téma Kombinatorika, valószínűségszámítás. Előzmények Kombinatorikai alapismeretek, valószínűségszámítási alapismeretek. Cél A binomiális eloszlás gyakorlása, a kombinatorikai, valószínűségszámítási tudás fejlesztése. A feladatsor által fejleszthető kompetenciák Tájékozódás a térben Tájékozódás az időben Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban Tapasztalatszerzés Képzelet Emlékezés Gondolkodás Ismeretek rendszerezése Ismerethordozók használata

+ + + + + + +

Ismeretek alkalmazása Problémakezelés és -megoldás Alkotás és kreativitás Kommunikáció Együttműködés Motiváltság Önismeret, önértékelés A matematika épülésének elvei

+ + + + + + +

Felhasználási útmutató A feladatsor társasjáték, ezért szükségesek hozzá a következő eszközök: íróeszközök; társasjáték tábla (az iskolai táblára előre felrajzolva vagy a mellékelt fólia írásvetítővel kivetítve), csapatonként 1 bábu, dobókocka, villámkérdések, igaz-hamis kérdések, segítségkártyák, a feladatok sokszorosítva és csapatonként szétvágva. A társasjáték szabályait a feladatsor végén találhatják. A feladatok önállóan és kiscsoportban is megoldhatóak. A feladatsor a társasjáték forma nélkül is feldolgozható. Az 1. és a 2. feladatban érdemes lerajzoltatni az összes esetet, míg a többiben ez már nem szükséges és nem is ajánlott. A 2. és a 4. feladatok kapcsolódnak egymáshoz a modellezés szintjén is. (Lásd a megoldást!) A 4. feladatban a binomiális eloszlást előhozva előkészíthető az 5. feladat. Ez utóbbiban hívjuk fel a figyelmet arra, hogy a megfogalmazott probléma, és a rá adott megoldás (mivel abszolút pontos adatok nem állnak rendelkezésünkre) becslés jellegű! A feladatsor megoldása akár önállóan, csoportban vagy közösen jó mintát, kapaszkodót adhat az ilyen problémák megoldásához.

X. Valószínűségszámítás

X.4. Petiék kertes háza

1.oldal/14


PETIÉK KERTES HÁZA Feladat sor K AP UF E STÉ S 1.

Peti elvállalta, hogy lefesti a kerti kiskapu léceit. A kapun 5 függőleges lécet kell lemázolnia zöld színűre. Hamarosan 2 léc lefestésével el is készült. a) Hányféleképpen nézhetett ki ekkor a kapu? Rajzold le az összes esetet!

b) Mekkora a valószínűsége annak, hogy két egymás melletti léc van lefestve? (Tegyük fel, hogy Peti a lécek festési sorrendjét a véletlenre bízta: egy-egy papírra felírta az 1, 2, 3, 4, 5 számokat, és kihúzott közülük egyet, majd még egyet. Ez a két szám mutatta meg neki, hogy balról számítva hányadik lécet fesse először.)

T OJÁ SKOP A SZ T Ó 2.

Délután Petit kiküldte az édesanyja a tyúkólba, hogy szedje össze a tojásokat. Alaposan körülnézett, és csak három tojást talált. a) Hányféleképpen rakhatta be a 3 tojást a tojástartóba? (Le is rajzolhatod az összes esetet.) Friss tojás

b) Mekkora a valószínűsége annak, hogy a tojások közül kettő egy oszlopba kerül? (3 oszlop és 2 sor van a tojástartóban.)



2.oldal/14


K ER ÍT É SFE STÉ S 3.

Másnap édesapjával közösen nekiláttak a kerítés léceinek lefestéséhez barna színűre. Peti 8 léc lefestését vállalta a 20-ból, melyeknek kiválasztását édesapja rá bízta. A festés jól sikerült. Peti édesanyja kiment megnézni a fiúkat, akik éppen akkor végeztek a munkával. Találomra rámutatott két lécre, és megkérdezte: „Ezt a kettőt Te festetted Peti?” Peti jól emlékezett a saját léceire, és ennek megfelelően igennel vagy nemmel válaszolt. a) Hányféleképpen választhatta ki Peti az általa lefestett 8 lécet? b) Mennyi az esélye annak, hogy az édesanyja kérdésére „igen”-nel válaszolt?

C I C A HA T OS 4.

Petiék hat kiscicája arra bóklászott, amerre a festékesvödröket helyezték, és természetesen bele is estek mindannyian valamelyik vödörbe. (Bármelyik cica bármelyik színű – zöld vagy barna – festékbe egyforma valószínűséggel eshetett.) a) Mekkora a valószínűsége annak, hogy mind a hat cica zöld lett? b) Mekkora a valószínűsége annak, hogy éppen két cica lett barna? c) Mekkora a valószínűsége annak, hogy legalább négy cica lett barna?

PRÍMA 5.

SZ IL V A

Petiék kertjében sok szilvafa volt. Az idei termés egészen kiváló lett. 100 szilvából átlagosan 1 volt rossz (kukacos). Ez praktikusan azt jelenti, hogy 1/100 annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott szilva rossz. a) Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott szilva jó? b) Mekkora a valószínűsége annak, hogy két véletlenszerűen kiválasztott szilva közül az egyik jó, a másik rossz? c) Mekkora a valószínűsége annak, hogy 10 véletlenszerűen kiválasztott szilva között nincsen rossz? d) Mekkora a valószínűsége annak, hogy 5 véletlenszerűen kiválasztott szilva között egy rossz van? e) Mekkora a valószínűsége annak, hogy 10 véletlenszerűen kiválasztott szilva között két rossz van?



3.oldal/14


MEGOLDÁSOK Lerajzolva:

1.

 5 Kiszámolva: 4 + 3 + 2 + 1 = 10 vagy    10 -féleképpen nézhetett ki a kerítés.  2 b) A 10 eset mindegyike 0,1 valószínűséggel jöhetett ki. 4 olyan van köztük, ahol szomszédos lécek vannak lefestve, így a kérdezett valószínűség értéke: 0,4. 2. a) Lerajzolva:   

 

  

  

 

  

   









  

  

 

  

  





 



  

  

 

 



     

6 Kiszámolva:    20 .  3 b) A húsz egyenértékű esetből 12 olyan, hogy van két tojás egy oszlopban, így a kérdezett 12 valószínűség:  0,6 . 20  20  20! 3. a)    = 125 970-féleképpen.  8  8!  12! X. Valószínűségszámítás


4.oldal/14


 20  b) Az összes esetek száma:   ; ennyiféleképpen lehet a két lécet kiválasztani a húsz léc 2 8 közül. A kedvező esetek száma:   ; ennyiféleképpen lehet a két lécet kiválasztani a  2 8   . 2 28 14 Peti által lefestett nyolc léc közül. P(„igen” válasz) =   =   0,15 .  20  190 90   2 4.

1. megoldás Hat cica van. Mindegyik vagy zöld vagy barna. Ez összesen 26 = 64 eset. Nincs barna: 1 eset. Egy barna: 6 eset.       Kettő barna: 15 eset.       

 

 





  

   

 



 

  



  



Három barna: 20 eset.           



 

 



 















 

 



  

  

  



 

  

  





     

Négy barna: ugyanannyi eset van, mint a „két barná”-ből. 15 eset. Öt barna: ugyanannyi eset van, mint az „egy barná”-ből. 6 eset. Hat barna: 1 eset. Mind a 64 eset azonos valószínűséggel következik be. 1 a) P(6 zöld) = (jó esetek száma 1, összes esetek száma 64). 64 15 b) P(2 barna) = (jó esetek száma 15, összes esetek száma 64). 64 c) Most a kedvező esetek száma 15 + 6 + 1 = 22, így a valószínűség: 22 P(legalább 4 barna) = . 64 X. Valószínűségszámítás


5.oldal/14


2. megoldás Mivel tudjuk, hogy mindegyik cica vagy zöld vagy barna, így mindkét szín esélye egy cicánál 0,5. Alkalmazhatjuk a binomiális eloszlásnál tanult képletet: 6

1 1 a) P(6 zöld) =    . 64 2 2 4  6  1   1  15 b) P(2 barna cica) =          64  2  2   2  c) P(legalább 4 barna) = P(4 barna) + P(5 barna) + P(6 barna) = 4 2 5 1 6 0  6  1   1  6  1   1  6  1   1  15 6 1 22 11 =         +         +         =   =   0,34 . 64 64 64 64 32  4  2   2  5  2   2  6  2   2  99 = 0,99. 100 1 1  2   99   1  b) P(1 jó, 1 rossz) =        = 0,0198  0,02.  1   100   100 

5. a) P(jó szilva) =

10

0

10

10   99   1   99  c) P(mind a 10 jó) =     (Egyszerűbb így:   .)     0,9. 10 100 100 100         4  5   99   1  d) P(ötből 1 rossz) =         0,049.  1   100   100  8 2 10   99   1  e) P(tízből 2 rossz) =         0,0004.  2   100   100 



6.oldal/14


TÁRSASJÁTÉK A társasjáték játékszabálya A játékot 3–4 fős csapatokban játsszák a gyerekek, a csapatok száma az osztálylétszámtól függ. 5–6 csapatnál azonban nem érdemes többet játszatni, mert akkor hosszadalmassá és unalmassá válhat a játék. Kezdéskor a szerencsekártyák megkeverve, felirattal lefelé helyezkednek el, a csapatok bábui pedig a start mezőn állnak. A csapatok megkapták a feladatokat, melyek egyenként összehajtva, számozva állnak a rendelkezésükre. Minden csapatnak van még 5 segítségkártyája, melyet a feladatok megoldásánál használhat fel. A játékba lépés sorrendjét előzetes kockadobással lehet eldönteni. A dobott számok sorrendjében következnek a csapatok, az kezd, aki a legnagyobbat dobta. A játék akkor ér véget, amikor az utolsó feladatot is megoldották. (Természetesen a megkezdett dobáskört még be kell fejezni, hogy mindenkinek lehetősége legyen ugyanannyiszor soron következni a játékban. Ha már nincs feladat, akkor a játéktábla Feladat mezőire lépve is villámkérdést kapnak.) A pálya 30 mezőből áll. Az egyes mezőkön a feliratoknak megfelelően kell eljárni. Szerencse Húzni kell a szerencsekártyákból, és az azon szereplőknek megfelelően folytatódik a játék. Villámkérdés A csapat a játékvezető tanártól kap egy villámkérdést, melyre 2 percen belül kell választ adjon. Ha nem tudja a választ (rosszul válaszol), akkor két mezőt hátra, ha helyesen válaszolt, akkor három mezőt előre léphet. Ha egy csapat nem tudja a választ, akkor a többi válaszolhat helyette, legelőször az, aki a játéktáblán leghátrább áll (neki már nincs gondolkodási ideje). Ha ez a csapat sem tudja, akkor a játéktáblán levő aktuális állás szerint hátulról előre haladva kapnak lehetőséget a csapatok a válaszadásra (nekik sincs már gondolkodási idejük). Aki helyesen válaszol, az két mezőt előre léphet, és természetesen a többiek már nem adhatnak választ. Ha valaki egy „átszállt” villámkérdésre rosszul válaszol, akkor nem kap „büntetést” érte. Feladat Ha ilyen mezőre lép valamelyik csapat, akkor minden csapatnak meg kell oldania az éppen soron következő feladatot. A feladatok megoldására szánt idő korlátozott, a játékvezető tanár belátása szerint 5–8 perc, a feladat nehézségétől függően. A feladatok megoldásához a csapatok kérhetnek segítséget a tanártól, egy segítség egy segítségkártyába kerül. Ilyen kártyából minden csapat kap 5 db-ot a játék kezdetén, de a játékban is lehet további segítségkártyákat szerezni (pl. szerencsekártyák között, vagy a megfelelő mezőre lépve. A leggyorsabb megoldók választhatnak, hogy szerencsekártyát húznak vagy villámkérdést kérnek. (A szerencsekártyával hátrébb is kerülhetnek a játékban, a tudásuktól függetlenül; villámkérdéssel előre léphetnek, ha tudják a választ.)



7.oldal/14


Igaz-hamis A játékvezető tanártól a csapat egy igaz-hamis válasszal rendelkező kérdést kap, melyre azonnal kell válaszolnia. Ez a kérdés nem száll át a többi csapatra. Helyes válasz esetén 1 mezőt előre, helytelen válasz esetén 1 mezőt hátra kell lépni. A játék célja A játék során kétféle verseny zajlik. Az egyik a társasjáték, melyben az nyer, aki a játék végeztekor a legelőrébb áll. A másik pedig a feladatok megoldásáért kapható pontok versenye. Minden feladat megoldása 5 pontot ér, melyből felhasznált segítségenként 1 pontot kell levonni. Minden villámkérdés helyes megválaszolása 1 pontot ér, amely vonatkozik a másoktól „rabolt” villámkérdésekre is. A pontversenyt az nyeri, akinek a játék végén a legtöbb pontja van. Tanári útmutatások A villámkérdéseket, illetve az igaz-hamis kérdéseket tetszőleges sorrendben fel lehet tenni. A kérdések sora természetesen tovább bővíthető, igény szerint. A feladatok megoldásához igénybe vehető segítséget a játékvezető tanár adja. Ennek mikéntje szintén a játékvezetőre van bízva. Adhat hasonló jellegű, de egyszerűbb kérdést, feltehet rávezető kérdést, esetleg meg is mondhatja konkrétan a végeredményhez vezető számítások aktuális lépéseit.



8.oldal/14


VILLÁMKÉRDÉSEK 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25.

 6 Mennyi   ?  2 1000   ? Mennyi   1   7 Mennyi   ?  3  7  7 Melyik a nagyobb, a   vagy a   ?  3  4 10  10  Melyik a nagyobb, a   vagy a   ? 3 6 Mennyi 5! ? Igaz-e, hogy 5!5! = 10! ? Hányféleképpen választhatunk ki öt különböző elemből kettőt visszatevés nélkül, ha nem számít a kiválasztás sorrendje? Egy 3 fehér és 7 piros golyót tartalmazó dobozból húzunk golyókat. Melyiknek nagyobb a valószínűsége: 3 golyót kihúzva mindhárom fehér lesz, vagy 7 golyót kihúzva mind a hét piros lesz? Mennyi a valószínűsége annak, hogy szabályos dobókockával kétszer egymás után különböző számot dobunk? Egy szabályos dobókockával dobunk egyszer. Mennyi az esélye annak, hogy prímszámot dobunk? Egy szabályos dobókockával dobunk kétszer egymás után. Mennyi az esélye annak hogy a két dobott szám összege 3? Két dobókockával dobunk egyszerre. Mennyi az esélye annak, hogy a dobott számok szorzata páratlan? Egy piros és egy kék kockával dobunk egyszerre. Mennyi az esélye annak, hogy a dobott számok megegyeznek egymással? Hány átlója van egy konvex hétszögnek? Egy 10 fős társaságban mindenki mindenkivel egyszer kezet fogott. Összesen hány kézfogás történt? A ping-pong háziversenyen a 8 induló körmérkőzést játszott, mindenki mindenkivel egy meccset. Hány mérkőzést játszottak összesen? Hányféle sorrendben lehet megenni egy krémest, egy mignont és egy kókuszgolyót? Hányféle sorrendben lehet megenni egy krémest, egy mignont, egy kókuszgolyót és egy gesztenye szívet? Peti elhatározza, hogy minden nap elmegy vagy focizni, vagy úszni. Hány különböző hetirendet tud így összeállítani? Hány olyan kétjegyű pozitív egész szám van, melyben szerepel az 5-ös számjegy? Hány olyan kétjegyű pozitív egész szám van, melyben nem szerepel az 9-es számjegy? Hány olyan kétjegyű pozitív egész szám van, melyben a számjegyek szorzata 10? Hány olyan kétjegyű pozitív egész szám van, melyben a számjegyek szorzata 12? Hány olyan háromjegyű pozitív egész szám van, melyben a számjegyek négyzetösszege 1?



9.oldal/14


26. 27. 28. 29. 30. 31.

32.

Bergengóciának új zászlót terveznek. Hányféle zászlót tudnak javasolni, ha a zászló három különböző (piros, zöld és kék) színű vízszintes csíkból áll? Hány olyan, különböző számjegyekből álló kétjegyű szám van, melyben minden számjegy páratlan? Egy barátod azt mondja: „Válassz ebből a nyolc különböző csokiból kettőt!” Hányféleképpen választhatsz? Egy barátod azt mondja: „Válassz ebből a nyolc különböző csokiból hétfõre egyet és keddre egyet!” Hányféleképpen választhatsz? Hány TOTÓ-szelvényt kell kitölteni a biztos telitalálathoz a rendes TOTÓ-ban, ahol 13 meccsre kell tippelni (1, 2, X)? Hányféleképpen juthatunk A-ból F-be az alábbi ábrán? (Két „eljutás” akkor különböző, ha van két megjelölt pont, melyek között nem ugyanazt a szakaszt használtuk a két útban.) B C D E A F Hányféleképpen juthatunk A-ból F-be az alábbi ábrán? (Két „eljutás” akkor különböző, ha van két megjelölt pont, melyek között nem ugyanazt a szakaszt használtuk a két útban.) B

C

D

E

A 33.

F

Hányféleképpen juthatunk A-ból F-be az alábbi ábrán? (Két „eljutás” akkor különböző, ha van két megjelölt pont, melyek között nem ugyanazt a szakaszt használtuk a két útban.) B A

34. 35. 36.

37. 38. 39.

40.

C

D

E F

Hányféleképpen lehet az 5-öt nála kisebb pozitív egész számok összegeként felírni? Az összegben legalább két tagnak kell szerepelnie. (Beugratós!) Egy 8-résztvevős futóversenyen hányadik lesz az a futó, aki a cél előtt az utolsó másodpercekben megelőzi a másodikat? (Tréfás.) Ez az eset a 41-es villamoson történt. A villamos 19 utassal indult el a végállomásról, majd leszálltak 5-en és felszálltak 7-en; majd leszállt 2 utas és felszállt 9; aztán nem volt leszálló és felszálltak 13-an; majd leszállt 8 utas és felszállt 12; majd leszálltak 5-en és nem szállt fel senki. Hányas villamosról szólt a történet? Hat pásztor hat kecskét őriz, akik nagyon rakoncátlankodnak, ezért mérgében minden pásztor minden kecskére hatszor rávág a botjával. Hányat ütöttek összesen? (Beugratós!) Kilenc kosárban kilenc macska, minden macskának kilenc kölyke. Hány macskakölyök van összesen? Egy számítógépben menthetünk mágneslemezre, merevlemezre, pendrive-ra vagy CDre. Egy dokumentumot kétszer egymás után véletlenszerűen elmentünk valamelyik adathordozóra. Ezután kistestvérünk kiveszi a mágneslemezt és összetöri. Mi annak a valószínűsége, hogy megsemmisült a munkánk? Hányféle sorrendben lehet 40 villámkérdést feladni?



10.oldal/14


IGAZ-HAMIS 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

15.

16. 17.

18. 19.

20.

Ha harminc napra jut 4! db kolbász, akkor több nap van, mint kolbász. Ha az ember sokat lottózik, akkor előbb-utóbb biztosan nyer. Nagyobb esélye van annak, hogy ezen a héten nem húzzák ki a múlt heti lottószámokat, mint annak, hogy kihúzzák. Nagyobb esélye van annak, hogy az én egy szelvényemen megjátszott lottószámaimat húzzák ki, mint annak, hogy a múlt heti lottószámokat húzzák ki. Kétszer egymás utáni héten nem nyerhetek ugyanazokkal a lottószámokkal. Két szabályos dobókockával dobva a kapott számok összege nagyobb eséllyel lesz 2, mint 12. Lehetetlen esemény is bekövetkezhet. 0 valószínűségű esemény is bekövetkezhet. Ha egy eseménynek 1 a valószínűsége, akkor az biztosan bekövetkezik. Ugyanannyiféleképpen választhatok ki 6 tárgyból 2-t visszatevés nélkül, mint 4-et. 6 különböző tárgyat 120-féleképpen rendezhetek sorba. Egy sportversenyen 12 induló esetén 132-féle eredmény lehet, ha csak az első és a második helyezettet tekintjük. A 35711 számnak pontosan 8 olyan osztója van, melynek két prímtényezője van. Ha a lottóhúzásnál egy számgömb beszorul, és csak a harmadik szám kihúzása után kerül be a többi közé, akkor ez nem befolyásolja a lottóhúzás igazságosságát (vagyis továbbra is minden számötösnek ugyanakkora a valószínűsége). Egy csepp piros, egy csepp kék és egy csepp zöld színű festékünk van. Egy cseppet csak egyszer használhatunk fel. Így összesen nyolcféle lehetőségünk van kevert szín előállítására. Egy húszoldalas újságban a 11. oldal hátulján a 10. oldal van. A számítógép merevlemezén 10 könyvtár van. Valamelyikbe véletlenszerűen elmentünk egy fájlt, majd véletlenszerűen letörlünk egy könyvtárt. Annak a valószínűsége, hogy elveszett a fájlunk, 0,1. Ketten játszanak egy játékot. Ha 0,9 a valószínűsége annak, hogy egy játékban a kezdő nyer, akkor 0,1 a valószínűsége annak, hogy a második nyer. 1 Tudom, hogy szabályos dobókockával páros számot dobtunk. Ekkor annak a való6 színűsége, hogy a dobott szám 4. 1 Visszatevéssel húzunk 10 tárgy közül kétszer. annak a valószínűsége, hogy ugya100 nazt a tárgyat kétszer húztuk ki.



11.oldal/14




12.oldal/14




13.oldal/14




14.oldal/14

X.4. PETIÉK KERTES HÁZA TÁRSASJÁTÉK. A feladatsor jellemzői

Recommend Documents