Syntetická geometrie
3.cvičení 1. Bodem A kolmici:
• Zvolím bod X ∈ p • k(A, r1 = |XA|), • k ∩ p = {X, Y } • u(X, r1 = |XA|), v (Y, r1 = |XA|) • u ∩ v = {A, R} • q = AR Bodem A rovnoběžku: Ještě jednu kolmici 2. Tři úhly, které je možno rozdělit eukleidovsky na tři shodné části: 90◦, 180◦, 45◦
1
Syntetická geometrie
3. Každý bod posloupnosti je buď jeden z množiny {[0, 0], [1, 0]} nebo jsme ho sestrojili jako: • Průsečík dvou přímek určených body z posloupnosti. • Průsečík přímky určené body z posloupnosti a kružnice určené středem a bodem na kružnici. • Průsečík dvou kružnic určených středem a bodem na kružnici. Sestrojíme posloupnost [1 √, 0], [0, 0], [2, 0] a [0, 0], [1, 0], [−1, 0], [0, 3]
4. Proč je pravidelný 8738-úhelník eukleidovsky sestrojitelný? Gaussova-Wantzelova věta: Pravidelný n-úhelník je eukleidovsky sestrojitelný, právě když buďto n = 4 · 2k (k = 0, 1, . . ., anebo n = p1 · · · · pm · 2k (k = 0, 1, . . .), kde p1, p2, . . . pm jsou a Fermatova prvočísla (22 + 1). 8738 = 2 · 4369 = 2 · 17 · 257 = 2 · (24 + 1) · (28 + 1) 5. Pravidelný pětiúhelník - str. 135
2
Syntetická geometrie
6. Konstrukce metodou množin bodů dané vlastnosti-str. 83 a 123 Neznámé body - prvky průniku dvou množin všech bodů dané vlastnosti. První z množin - vyloučíme jednu z podmínek zadání (aby body vyhovující zbývajícím podmínkám tvořily dobře popsatelnou množinu všech bodů dané vlastnosti). Obdobně určíme i druhou množinu všech bodů dané vlastnosti. Průnik - splňuje všechny podmínky ze zadání. 7. Sestrojte kružnici, která prochází daným bodem A a dotýká se dané přímky t v bodě T .
Rozbor: • Množinu M1 středů kružnic, pro které je přímka t tečnou tvoří kolmice k přímce t, procházející bodem T . • Množinou M2 jsou všechny body, které mají od bodů T a A stejnou vzdálenost, tj. osa úsečky T A. • Středy hledaných kružnic leží v průniku množin M1 a M2 . • Poloměr je určen vzdáleností středu a dotykového bodu. Konstrukce: 1. q ; q ⊥ t; T ∈ q 2. o; o = {X ∈ E2 ; |AX| = |T X|} 3. S ; S ∈ o ∩ q 4. k; k(S ; r = |AT |) Důkaz: Diskuse: 1 řešení - bod A ∈ / t, 0 řešení - bod A ∈ t 3
Syntetická geometrie
8. Sestrojte trojúhelník, je-li dána velikost jedné jeho strany (AB ), příslušné výšky vc a příslušné těžnice tc .
Rozbor: • Umístíme stranu AB . • Bod C je vzdálen od středu úsečky AB o velikost těžnice tc . Množinou M1 je kružnice se středem ve středu úsečky AB a poloměrem tc . • Množinou M2 jsou všechny body, které mají od AB vzdálenost vc , rovnoběžky s AB ve vzdálenosti vc . • Bod C leží v průniku množin M1 a M2 . Konstrukce: 1. AB ; 2. Q; Q = {X ∈ E2 ; |X, AB| = vc } 3. Sc ; Sc ∈ AB ; |Sc A| = |Sc B| (střed úsečky) 4. k; k(Sc ; r = ta ) 5. C C ∈ k ∩ q 6. 4ABC Důkaz: C leží na kružnici k(Sc ; r = ta ), vzdálenost |Sc C| = tc ; C leží na rovnoběžce q||AB ve vzdálenosti vc , tj. výška trojúhelníka je vc . Diskuse: 0,2,4 řešení
4
Syntetická geometrie
9. - jako 10. 10. Je dán ostrý úhel AV B . Sestrojte kružnici k tak, aby se dotýkala obou ramen daného úhlu a procházela bodem B .
Konstrukce: 1. q ; q ⊥ V B ; B ∈ q 2. o; o = {X ∈ 6 AV B ; |X, 7→ V A| = |X, 7→ V B|} 3. S ; S ∈ o ∩ q 4. k; k(S ; r = |SB|) 11. Je dána přímka p, bod A ∈ / p a úsečka délky r . Sestrojte kružnici k tak, aby měla poloměr r , procházela bodem A a dotýkala se přímky p.
Konstrukce: 1. Q; Q = {X ∈ E2 ; |X, p| = r} = {q, q 0 } 2. u; u(A; r ) 3. S ; S ∈ Q ∩ u = {S, S 0 } 4. k; k(S ; r )
5
Syntetická geometrie
12. Jsou dány dvě nesoustředné kružnice k1 (S1 , r1 ) a k2 (S2 , r2 ). Sestrojte kružnici k tak, aby měla daný poloměr r a dotýkala se vně obou daných kružnic. Rozbor:
• Množinu M1 tvoří středy všech kružnic, které se dotýkají kružnice k1 vně a mají poloměr r leží na kružnici k10 (S1 , r1 + r ). • Množinu M2 tvoří středy všech kružnic, které se dotýkají kružnice k2 vně a mají poloměr r leží na kružnici k20 (S2 , r2 + r ). • Středy kružnic, které se dotýkají obou kružnic leží v průniku kružnic k10 a k20 . 13. Sestrojte kružnici, která se dotýká přímek a, b, c takových, že a||b a c je s oběma různoběžná. Rozbor:
• Množinou M1 středů kružnic, které se dotýkají přímek a a c je sjednocení všech os úhlů určených přímkami a, c. • Množinou M2 středů kružnic, které se dotýkají přímek b a c je sjednocení všech os úhlů určených přímkami b, c. • Středy kružnic ze zadání úlohy leží v průniku množin M1 ∩ M2 . • Poloměr kružnice najdeme jako vzdálenost středu od libovolné z přímek a, b, c 6
Syntetická geometrie
14. Sestrojte kružnici, která se dotýká dvou soustředných kružnic k1 , k2 a přímky p.
Rozbor: • Množina středů všech kružnic, které se dotýkají soustředných kružnic r +r r −r k1 (S, r1 ) a k2 (S, r2 ) je dvojice kružnic u(S, 1 2 2 ) a u0 (S, 2 2 1 ). Zároveň víme, že kružnice, jejichž středy leží na u, mají poloměr r = r2 −r1 r +r a kružnice, jejichž středy leží na u0 , mají poloměr r 0 = 1 2 2 . 2 • Množinou středů všech kružnic, které se dotýkají přímky p a mají daný poloměr r resp. r 0 jsou rovnoběžky p, q resp. p0 , q 0 ve vzdálenosti r resp. r 0 . • Středy kružnic, které se dotýkají obou kružnic a přímky p leží v průniku kružnice u a rovnoběžek p, q nebo v průniku kružnice u0 a rovnoběžek p0 , q 0 .
7
Syntetická geometrie
15. Sestrojte kružnici, která se dotýká dvou rovnoběžek p, q a prochází bodem A.
8
