[1]
BI-LIN, vlcisla, 14, P. Olsˇa´k
[2]
Motivace
Vlastnı´ cˇı´slo, vektor
Je da´na transformace A : R2 → R2 . Najdeme takovou prˇ´ımku p procha´zejı´cı´ pocˇa´tkem, aby A(p) = p. → p = {t− u ; t ∈ R},
→ → → u . Prˇitom − u musı´ u ) = λ− Musı´ tedy existovat λ ∈ R tak, aby A(− by´t nenulovy´ vektor.
• motivace: smeˇr prˇ´ımky, kterou lin. transformace nezmeˇnı´
Zvolme v R2 neˇjakou ba´zi (naprˇ. standardnı´). Necht’ x jsou sou→ rˇadnice − u vzhledem k te´to ba´zi a A je matice transforamce A vzhledem k te´to ba´zi. Pak musı´
• invariantnı´ podprostory • charakteristicky´ polynom • ba´ze, vzhledem ke ktere´ je matice transformace nejjednodusˇsˇ´ı • podobnost s diagona´lnı´ maticı´
a) vlcisla, 14, b) P. Olsˇa´k, FEL CˇVUT, c) P. Olsˇa´k 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)
→ → A(p) = {A(t− u ); t ∈ R} = {t A(− u ); t ∈ R}
Ax = λ x,
x 6= o,
tj. (A − λ E) x = o,
x 6= o
Takzˇe matice A − λ E musı´ by´t singula´rnı´, neboli det(A − λ E) = 0. → Cˇ´ıslu λ budeme rˇ´ıkat vlastnı´ cˇ´ıslo a vektoru − u rˇ´ıka´me vlastnı´ vektor transformace A prˇ´ıslusˇejı´cı´ vlastnı´mu cˇ´ıslu λ .
L
. Viz p. d. 4/2010
BI-LIN, vlcisla, 14, P. Olsˇa´k
[3]
BI-LIN, vlcisla, 14, P. Olsˇa´k
[4]
Vlastnı´ cˇı´sla jsou i komplexnı´
Invariantnı´ podprostor
Kvadraticka´ rovnice det(A − λ E) = 0 (viz prˇedchozı´ motivacˇnı´ prˇ´ıklad) mu˚zˇe ale nemusı´ mı´t rea´lne´ korˇeny. Pokud ma´ dva ru˚zne´ rea´lne´ korˇeny, pak existujı´ dva smeˇry, ktere´ transformace A nemeˇnı´. Tj. existujı´ dveˇ prˇ´ımky, pro ktere´ je A(p) = p. Naprˇ´ıklad zkosenı´, ktere´ (1, 0) necha´ beze zmeˇny a (0, 1) zobrazı´ na (1, 1/2).
Necht’ A : L → L je linea´rnı´ transformace. Podprostor P ⊂ L, pro ktery´ platı´ A(P) = P nazy´va´me invariantnı´ podprostor vzhledem k A.
Pokud jsou korˇeny rovnice det(A − λ E) = 0 komplexnı´, pak neexistujı´ prˇ´ımky, pro ktere´ je A(p) = p (naprˇ´ıklad rotace). Pokud bychom chteˇli najı´t vlastnı´ vektory prˇ´ıslusˇejı´cı´ komplexnı´m vlastnı´m cˇ´ıslu˚m, budou mı´t komplexnı´ sourˇadnice. Je tedy potrˇeba pracovat s linea´rnı´m prostorem nad komplexnı´mi cˇ´ısly. Budeme potrˇebovat za´ruku existence vlastnı´ch cˇ´ısel. Budeme tedy muset prˇipustit komplexnı´ vlastnı´ cˇ´ısla a pracovat s linea´rnı´ prostorem L nad C.
Prˇedbeˇzˇna´ u ´ vaha: Je-li L linea´rnı´ prostor nad C, pak zarucˇeneˇ existujı´ vlastnı´ cˇ´ısla → → → → λ ∈ C, pro ktera´ je A(− x ) = λ− x,− x 6= − o . Spolecˇneˇ s nulovy´m vektorem tvorˇ´ı vsˇechny vlastnı´ vektory prˇ´ıslusˇejı´cı´ pevneˇ vybrane´mu vlastnı´mu cˇ´ıslu λ invariantnı´ podprostor. → Je-li L linea´rnı´ prostor nad R, pak kromeˇ {− o } a L dalsˇ´ı invariantnı´ podprostory vzhledem k A nemusejı´ existovat: vlastnı´ cˇ´ısla mohou by´t jen komplexnı´. Naprˇ´ıklad A je rotace.
BI-LIN, vlcisla, 14, P. Olsˇa´k
[5]
BI-LIN, vlcisla, 14, P. Olsˇa´k
[6]
Vlastnı´ cˇı´slo, vlastnı´ vektor matice
Vlastnı´ cˇı´slo, vlastnı´ vektor transformace
Definice: Necht’ A je cˇtvercova´ matice typu (n, n) rea´lny´ch nebo komplexnı´ch cˇ´ısel. Cˇ´ıslo λ ∈ C se nazy´va´ vlastnı´m cˇ´ıslem matice A, pokud existuje vektor x ∈ Cn,1, x 6= o, takovy´, zˇe A ⋅ x = λ x. Vektor x, ktery´ splnˇuje uvedenou rovnost, se nazy´va´ vlastnı´ vektor matice A prˇ´ıslusˇny´ vlastnı´mu cˇ´ıslu λ .
Definice: Necht’ L je linea´rnı´ prostor konecˇne´ dimenze nad C a necht’ A : L → L je linea´rnı´ transformace. Cˇ´ıslo λ ∈ C se nazy´va´ → vlastnı´m cˇ´ıslem transformace A, pokud existuje vektor − x ∈ L, − → − → − → − → − → x 6= o takovy´, zˇe A( x ) = λ x . Vektor x , ktery´ splnˇuje uvedenou rovnost, se nazy´va´ vlastnı´ vektor transformace A prˇ´ıslusˇny´ vlastnı´mu cˇ´ıslu λ .
Pozorova´nı´: Z rovnosti A ⋅ x = λ x plyne (A − λ E) x = o. Protozˇe z definice musı´ x 6= o, je trˇeba, aby soustava meˇla nenulove´ rˇesˇenı´, tedy musı´ det(A − λ E) = 0. Definice: Polynom v promeˇnne´ λ tvaru det(A − λ E) se nazy´va´ charakteristicky´ polynom matice A. Pozorova´nı´: Charakteristicky´ polynom je stupneˇ n a jeho korˇeny jsou vlastnı´ cˇ´ısla matice A. Matice A ma´ tedy (vcˇetneˇ na´sobnostı´) n vlastnı´ch cˇ´ısel.
BI-LIN, vlcisla, 14, P. Olsˇa´k
Du ˚ sledek: Vsˇechny matice stejne´ linea´rnı´ transformace (vzhledem k ru˚zny´m ba´zı´m) majı´ shodna´ vlastnı´ cˇ´ısla (majı´ shodne´ spektrum).
[7]
Prˇı´klad Je da´na matice
Pozorova´nı´: Vlastnı´ cˇ´ıslo transformace A je stejne´ jako vlastnı´ cˇ´ıslo jejı´ matice A vzhledem k jake´koli ba´zi (B). Vlastnı´ vektor matice A pak obsahuje sourˇadnice vlastnı´ho vektoru transformace A vzhledem k ba´zi (B).
BI-LIN, vlcisla, 14, P. Olsˇa´k
[8]
Prˇı´klad, pokracˇova´nı´
5 −2 2 A = −1 4 −1 . −4 4 −1 Najdeme jejı´ vlastnı´ cˇ´ısla a k nim prˇ´ıslusˇejı´cı´ vlastnı´ vektory. −2 2 5−λ det −1 4−λ −1 = −λ 3 −8λ 2 + 21λ −18 = −(λ −3)2 (λ −2) −4 4 −1 − λ
Toto je charakteristicky´ polynom matice A. Ma´ dvojna´sobny´ korˇen λ = 3 a jednona´sobny´ korˇen λ = 2. Tyto korˇeny jsou vlastnı´ cˇ´ısla matice A. Najdeme jesˇteˇ vlastnı´ vektory prˇ´ıslusˇejı´cı´ vlastnı´m cˇ´ıslu˚m 3 a 2. . .
5 − 3 −2 2 −1 4−3 −1 ∼ ( 1 −4 4 −1 − 3
λ =3:
−1
1),
takzˇe k λ = 3 prˇ´ıslusˇ´ı vlastnı´ vektory z 〈(1, 1, 0), (−1, 0, 1)〉. 5 − 2 −2 2 −1 2 −1 −1 . λ =2: 4−2 −1 ∼ 0 4 −1 −4 4 −1 − 2
takzˇe k λ = 2 prˇ´ıslusˇ´ı vlastnı´ vektory z 〈(−2, 1, 4)〉.
Pro vlastnı´ cˇ´ısla a vlastnı´ vektory platı´ naprˇ. na´sledujı´cı´ vztahy: −2 −2 5 −2 2 1 1 5 −2 2 −1 4 −1 1 = 3 1 , −1 4 −1 1 = 2 1 −4
4
−1
0
0
−4
4
−1
4
4
[9]
BI-LIN, vlcisla, 14, P. Olsˇa´k
Jiny´ prˇı´klad Je da´na matice
BI-LIN, vlcisla, 14, P. Olsˇa´k
[10]
Podobne´ matice
2 B = −1
Jejı´ charakteristicky´ polynom je
−1
4 10 8
Idea: Jak se „podobajı´ “ matice A a A′ stejne´ linea´rnı´ transformace A, jen vzhledem k ru˚zny´m ba´zı´m (B) a (B′ )? Platı´:
−3 −6 . −4
A′ = (PB→B′ )−1 ⋅ A ⋅ PB→B′ To na´s ispiruje k na´sledujı´cı´
det(B − λ E) = −λ 3 − 8λ 2 + 21λ − 18 = − (λ − 3)2 (λ − 2).
ˇ ´ıka´me, zˇe dveˇ cˇtvercove´ matice A, B ∈ Rn,n jsou poDefinici: R dobne´, pokud existuje regula´rnı´ matice P ∈ Rn,n takova´, zˇe
Hleda´me vlastnı´ vektory prˇ´ıslusˇejı´cı´ vlastnı´m cˇ´ıslu˚m 3 a 2: vlastnı´ 2−3 4 −3 −1 4 −3 vektor: λ = 3 : −1 10 − 3 −6 ∼ 0 1 −1 (1, 1, 1) −1 8 −4 − 3 vlastnı´ 2−2 4 −3 −1 8 −6 vektor: λ = 2 : −1 10 − 2 −6 ∼ 0 4 −3 (0, 3, 4) −1 8 −4 − 2
B = P−1 ⋅ A ⋅ P. Pozorova´nı´1: podobnost je relace ekvivalence. Pozorova´nı´2: podobne´ matice majı´ stejna´ vlastnı´ cˇ´ısla.
B ma´ stejna´ vlastnı´ cˇ´ısla jako A, ale jine´ invariantnı´ prostory.
BI-LIN, vlcisla, 14, P. Olsˇa´k
[11]
BI-LIN, vlcisla, 14, P. Olsˇa´k
[12]
Podobne´ matice majı´ stejny´ char. polynom
Podobnost s diagona´lnı´ maticı´
Tvrzenı´: Podobne´ matice majı´ stejny´ charakteristicky´ polynom.
´ loha: Budeme se pta´t, za jaky´ch podmı´nek je cˇtvercova´ matice A U podobna´ s diagona´lnı´ maticı´ tvaru: λ1 0 0 . . . 0 0 λ2 0 . . . 0 D= 0 0 λ3 . . . 0 . ...................
Du˚kaz: Necht’ B = P−1 AP je matice podobna´ s A. Je det (P−1AP − λ E) = det (P−1AP − λ P−1 EP) = = det (P−1AP − P−1λ EP) = = det (P−1 (A − λ E) P) = = det P−1 det (A − λ E) det P = det (A − λ E). Upozorneˇnı´: Obra´cene´ tvrzenı´ „majı´-li dveˇ matice stejny´ charakteristicky´ polynom, pak jsou podobne´“ neplatı´. Za chvı´li uka´zˇeme, zˇe matice A a B z prˇedchozı´ch prˇ´ıkladu˚ nejsou podobne´.
0
0
0
...
λn
Jiny´ pohled na u´lohu: je da´na transformace A svou maticı´ A vzhledem k neˇjake´ ba´zi. Pta´me se, zda existuje jina´ ba´ze, vzhledem ke ktere´ je matice transformace A diagona´lnı´. Pta´me se tedy, zda lze vhodnou volbou ba´ze co nejvı´ce zjednodusˇit matici transformace azˇ na diagona´lnı´ tvar. Pokud se to povede, pak z pohledu takove´ ba´ze je transformace A jen zmeˇnou meˇrˇ´ıtka ve smeˇrech vektoru˚ ba´ze (resp. projekce).
BI-LIN, vlcisla, 14, P. Olsˇa´k
[13]
BI-LIN, vlcisla, 14, P. Olsˇa´k
[14]
Rovnost A ⋅ P = P ⋅ D
Podmı´nka podobnosti s diagona´lnı´ maticı´
Veˇta: Necht’ A, P a D jsou cˇtvercove´ matice typu (n, n), necht’ P obsahuje nenulove´ sloupce a necht’ D je diagona´lnı´. Pak platı´
Tvrzenı´: Matice A typu (n, n) je podobna´ s diagona´lnı´ maticı´ pra´veˇ kdyzˇ ma´ n linea´rneˇ neza´visly´ch vlastnı´ch vektoru˚.
A⋅P = P⋅D
Skutecˇneˇ, stacˇ´ı tyto vektory napsat do sloupcu˚ matice P, da´le sestavit diagona´lnı´ matici D z odpovı´dajı´cı´ch vlastnı´ch cˇ´ısel a platı´ rovnost z prˇedchozı´ strany.
pra´veˇ tehdy, kdyzˇ D obsahuje vlastnı´ cˇ´ısla matice A a i-ty´ sloupec matice P obsahuje vlastnı´ vektor prˇ´ıslusˇejı´cı´ i-te´mu vlastnı´mu cˇ´ıslu v D. Du˚kaz: Necht’ D obsahuje na diagona´le cˇ´ısla λi . Rozna´sobenı´m rovnosti A ⋅ P = P ⋅ D po sloupcı´ch matice P = (p1, p2 , . . . , pn) dosta´va´me rovnosti A ⋅ pi = λi pi . Tyto rovnosti platı´ pra´veˇ kdyzˇ λi je vlastnı´ cˇ´ıslo matice A a pi je k neˇmu prˇ´ıslusˇejı´cı´ vlastnı´ vektor. Pozorova´nı´: Kdyby byla P regula´rnı´, pak P−1AP = D, takzˇe A bude podobna´ s diagona´lnı´ maticı´.
BI-LIN, vlcisla, 14, P. Olsˇa´k
Veˇta: Ru˚zna´ vlastnı´ cˇ´ısla majı´ linea´rneˇ neza´visle´ vlastnı´ vektory. Du˚kaz: technicky´, viz skriptum. Du ˚ sledek: Ma´-li matice A pouze jednona´sobna´ vlastnı´ cˇ´ısla (teˇch je n a jsou vza´jemneˇ ru˚zna´), pak je podobna´ s diagona´lnı´ maticı´. Upozorneˇnı´: Obra´cene´ tvrzenı´ „A je podobna´ s diagona´lnı´, pak ma´ vza´jemneˇ ru˚zna´ vlastnı´ cˇ´ısla“ neplatı´. Naprˇ. E ma´ n-na´sobne´ vlastnı´ cˇ´ıslo 1 a je prˇ´ımo rovna diagona´lnı´ matici.
[15]
BI-LIN, vlcisla, 14, P. Olsˇa´k
Prˇı´klad
Prˇı´klad: zmeˇna ba´ze
Matice A z prˇedchozı´ho prˇ´ıkladu je podobna´ s diagona´lnı´. Ma´ trˇi linea´rneˇ neza´visle´ vlastnı´ vektory, naprˇ.
Matice A z prˇedchozı´ho prˇ´ıkladu odpovı´da´ transformaci:
(1, 1, 0), (−1, 0, 1), (−2, 1, 4). Tudı´zˇ platı´ −1 5 1 −1 −2 1 0 1 ⋅ −1 −4 0 1 4
−2 4 4
1 2 −1 ⋅ 1 0 −1
−1 0 1
3 −2 1 = 0 0 4
0 0 3 0 0 2
Matice B z prˇedchozı´ho prˇ´ıkladu nenı´ podobna´ s diagona´lnı´, protozˇe nema´ trˇi linea´rneˇ neza´visle´ vlastnı´ vektory. Takzˇe: matice A a B nejsou vza´jemneˇ podobne´, acˇkoli majı´ stejny´ charakteristicky´ polynom a stejna´ vlastnı´ cˇ´ısla.
[16]
x′ = 5x − 2y + 2z y′ = − x + 4y − z z′ = − 4x + 4y − z Vzhledem k ba´zi (C) = ((1, 1, 0), (−1, 0, 1), (−2, 1, 4)) ma´ tata´zˇ transformace diagona´lnı´ matici 3 0 0 D = 0 3 0 0 0 2 takzˇe v te´to ba´zi se sourˇadnice obrazu pocˇ´ıtajı´ takto: x′ = 3x,
y′ = 3y,
z′ = 2z.
BI-LIN, vlcisla, 14, P. Olsˇa´k
[17]
Nutna´ podmı´nka podobnosti s diagona´lnı´ maticı´
BI-LIN, vlcisla, 14, P. Olsˇa´k
[18]
Jordanu ˚ v kanonicky´ tvar
Da´ se uka´zat, zˇe dimenze nulove´ho prostoru matice A − λ E je vzˇdy mensˇ´ı nebo rovna na´sobnosti vlastnı´ho cˇ´ısla λ . Matice A typu (n, n) je podobna´ s diagona´lnı´ pra´veˇ kdyzˇ ma´ n linea´rneˇ neza´visly´ch vlastnı´ch vektoru˚. To znamena´, zˇe ma´-li k na´sobne´ vlastnı´ cˇ´ıslo λ , musı´ mu prˇ´ıslusˇet k linea´rneˇ neza´visly´ch vektoru˚, neboli dimenze nulove´ho prostoru matice A − λ E musı´ by´t prˇesneˇ rovna k. Pokud tedy pro kazˇde´ vı´cena´sobne´ vlastnı´ cˇ´ıslo λ je dimenze nulove´ho prostoru matice A − λ E prˇesneˇ rovna na´sobnosti tohoto vlastnı´ho cˇ´ısla, je matice A podobna´ s diagona´lnı´ maticı´.
Da´ se uka´zat, zˇe kazˇda´ matice A je podobna´ asponˇ se „skoro diagona´lnı´ “ maticı´ tvaru: λi 1 0 . . . 0 J1 O . . . O 0 λi 1 . . . 0 O J2 . . . O , kde Ji = J= ... ... 0 0 0 ... 1 O O . . . Jm 0 0 0 . . . λi Cˇ´ısla λi jsou vlastnı´ cˇ´ısla matice A. Matici J se rˇ´ıka´ Jordanu ˚v kanonicky´ tvar matice A. Na diagona´le matice J se objevı´ kazˇde´ vlastnı´ cˇ´ıslo tolikra´t, kolik je jeho na´sobnost. Dimenze nulove´ho prostoru matice A−λ E odpovı´da´ pocˇtu Jordanovy´ch bloku˚ Ji se stejny´m vlastnı´m cˇ´ıslem λ . Takzˇe tyto Jordanovy bloky se mohou pro stejne´ (vı´cena´sobne´) vlastnı´ cˇ´ıslo opakovat.
BI-LIN, vlcisla, 14, P. Olsˇa´k
[19]
Cvicˇenı´ • Vysveˇtlete, procˇ det A je roven soucˇinu vlastnı´ch cˇ´ısel matice A. • Vysveˇtlete, procˇ det A je roven absolutnı´mu cˇlenu charakteristicke´ho polynomu matice A. • Prˇedpokla´dejte A matici podobnou s diagona´lnı´. Kdyzˇ do charakteristicke´ho polynomu matice A mı´sto λ zapı´sˇete matici A, dosta´va´te nulovou matici. Procˇ? • Prˇedchozı´ tvrzenı´ patı´ i pro matice, ktere´ nejsou podobne´ s diagona´lnı´ maticı´.
