2016

MKB3383 - Teknik Pengolahan Citra Pengolahan Citra di Kawasan Frekuensi (Transformasi Fourier) Muhammad Zidny Naf’an, M.Kom. Gasal 2015/2016

Outline • Pengolahan Citra di Kawasan Spasial VS Kawasan Frekeunsi • Fourier Transform 1D • Fourier Transform 2D • Filtering pada Kawasan Frekuensi

Outline • Pengolahan Citra di Kawasan Spasial VS Kawasan Frekuensi • Fourier Transform 1D • Fourier Transform 2D • Filtering pada Kawasan Frekuensi

Pengolahan Citra di Kawasan Spasial VS Kawasan Frekuensi

Image Input

Image Processing

Image Output

Pengolahan Citra di Kawasan Spasial VS Kawasan Frekeunsi Image Input Frequency Distribution Processing

Inverse Transformation Image Output

Pengolahan Citra di Kawasan Frekuensi • Diperlukan pasangan transformasi dan transformasi balik (invers) • Contoh transformasi:

Transformasi Fourier • Ditemukan oleh Baptiste Joseph Fourier (17681830), ahli fisika dari Prancis • Digunakan untuk memetakan citra dari kawasan spasial ke dalam kawasan frekuensi • Melihat karakteristik spektrum citra • Ide dasar: semua fungsi yang bersifat periodis, betapapun kompleks fungsi tersebut, dapat dinyatakan sebagai penjumlahan sinusoid. Kuncinya terletak pada komposisi amplitude dan fase sinus setiap frekuensi.

Transformasi Fourier


Fourier Transform 1D Discrete Fourier Transform 1D • Terdapat fungsi f(x) yang memiliki N data (f(0), f(1), f(2), f(3), f(4), …, f(N-1)) • Jika dikenakan DFT, maka didapatkan: F(u) = (F(0), F(1), F(2), F(3), F(4), .., F(N-1))

Fourier Transform 1D Proses perubahan fungsi dari ranah ranah spasial ke ranah frekuensi dilakukan melalui Transformasi Fourier. Sedangkan perubahan fungsi dari ranah frekuensi ke ranah spasial dilakukan melalui Transformasi Fourier Balikan (invers).

Rumus FT – 1 Dimensi 

Rumus FT Kontinyu 1 Dimensi 1 F (u )  N









f ( x) exp[2 jux]dx

j=

−1

Rumus Invers-FT Kontinyu 1 Dimensi 

f ( x)   F (u ) exp[2 jux]du 





Rumus DFT 1 Dimensi (DFT = Discrete Fourier Transform) 1 N 1 F (u )   x 0 f ( x) exp[2 jux / N ] N Rumus Invers-DFT 1 Dimensi f ( x)   x 0 F (u ) exp[2 jux / N ] N 1

Transformasi Fourier 1-D • Nilai u disebut dengan domain frekuensi. • Masing-masing dari M buah dari F(u) disebut komponen frekuensi dari transformasi. • Transformasi Fourier seringkali dianalogikan dengan prisma kaca. Prisma kaca adalah suatu alat yang dapat memisahkan cahaya menjadi berbagai komponen warna. Masing-masing komponen warna memiliki panjang gelombang yang berbeda.

13

Euler Formula’s pada DFT 1D 𝑒 𝑖𝜃 = cos 𝜃 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑒 −𝑖𝜃 = cos 𝜃 − 𝑖 𝑠𝑖𝑛𝜃 Karena:

exp[2 jux]  cos 2ux  j sin 2ux

1 N 1 Maka: F (u )  f ( x) exp[2 jux / N ]  x 0 N 1 N 1   x 0 f ( x)(cos(2ux / N )  j sin( 2ux / N ))] N

Contoh Penghitungan DFT 1 dimensi (Gonzalez hlm 90-92) 1 N 1 1 N 1 f ( x ) exp[  2 j  ux / N ]  f ( x)(cos(2ux / N )  j sin( 2ux / N ))]   x 0 x 0 N N contoh : f (0)  2, f (1)  3, f (2)  4, f (3)  4 F (u ) 

1 N 1 f ( x)(cos(2 0 x / N )  j sin( 2 0 x / N ))]  x 0 N 1  [ f (0)  f (1)  f (2)  f (3)]  3.25 4 1 3 F (1)   x 0 f ( x)(cos(2x / 4)  j sin( 2x / 4))] 4 1  [2(1  0)  3(0  j )  4(1  0)  4(0  j ) 4 1 1  (2  3 j  4  4 j )  (2  j )  0.5  0.25 j 4 4 1 1 F (2)   [1]  0.25 F (3)   [2  j ]  0.5  0.25 j 4 4 F ( 0) 

Contoh Penghitungan DFT 1 dimensi (Gonzalez hlm 90-92) Hasil FT 1D pada slide sebelumnya terdiri dari bilangan real dan imajiner. Maka dapat digambarkan pada tabel berikut: F(u)

f(x) Real

Real

2

3.25

3

DFT

-0.5

4

-0.25

4

-0.5

Imajiner 0.25 -0.25

Transformasi Fourier 1-D • |F(u)| = [R2(u) + I2(u)]1/2 disebut magnitude atau spektrum dari transformasi Fourier dan :  I (u )   (u )  tan   R ( u )   fase dari disebut sudut fase atau spektrum 1

transformasi.

18

Soal Latihan DFT 1D 1 F (u )  N



N 1 x 0

f ( x)(cos(2ux / N )  j sin( 2ux / N ))]

Misalkan terdapat fungsi f(x) = (2,4,1,5) Bagaimanakah bentuk Transformasi Fourier-nya?


Transformasi Fourier 2-D • Fungsi citra input biasanya dikalikan dulu dengan (-1)x+y sebelum dilakukan perhitungan transformasi Fourier, karena titik pusat dari transformasi Fourier perlu digeser.





 f ( x, y)(1) x  y  F (u  M / 2, v  N / 2) Persamaan di atas menetapkan bahwa titik pusat Transformasi Fourier dari fungsi f(x,y)(-1)x+y [yaitu F(0,0)] berada pada lokasi u=M/2 dan v=N/2.

21

Rumus DFT – 2 dimensi 1 FT : F (u , v)  MN

M 1 N 1

 y 0 x 0

ux vy ux vy f ( y, x)(cos(2 (  ))  j sin( 2 (  ))) N M N M

M 1 N 1

InversFT : f ( y, x)   F (v, u )(cos(2 ( v 0 u 0

ux vy ux vy  ))  j sin( 2 (  ))) N M N M

M  tinggi citra (jumlah baris) N  lebar citra (jumlah kolom) Dalam hal ini, citra berukuran MxN (M baris dan N kolom). Komponen v bernilai dari 0 sampai dengan M-1 dan u bernilai dari 0 sampai dengan N-1. Dalam hal ini, u dan v menyatakan frekuensi, sedangkan nilai F(u, v) dinamakan koefisien Fourier atau spektrum frekuensi diskret. 23

Fast Fourier Transform (FFT) • Merupakan algoritma penghitungan yang mengurangi kompleksitas FT biasa dari N2 menjadi N log N saja • Pada implementasinya, FFT merupakan cara yang umum digunakan untuk menghitung FT diskret • InversFT juga dapat dihitung dengan kompleksitas N log2N (IFFT) – Di Matlab : fft(x) atau fft2(X) untuk FT dan ifft(x) atau ifft2(X) untuk invers FT

24

Visualisasi DFT Spektrum FT |𝐹 𝑢, 𝑣 | =

𝑅2 𝑣, 𝑢 + 𝐼2 (𝑣, 𝑢)

Dengan R(u,v) menyatakan bagian riil dan I(v,u) menyatakan imajiner

Sudut Fase Transformasi

 I (u , v ) 

 (u , v )  tan 1    R (u , v ) 

Dengan R(u,v) menyatakan bagian riil dan I(v,u) menyatakan imajiner

Power Spectrum FT

P (u , v )  F (u , v )

2

 R 2 (u , v )  I 2 (u , v ) Dengan R(u,v) menyatakan bagian riil dan I(v,u) menyatakan imajiner

Contoh Fourier Spectrum

26

Comparison : Low Frequency Original Images Showing a silhoutte of spaceship (Girty Lue).

Transform View

Low Frequency Small variation between image’s component, major frequency is low. Shown by the Fourier Transform Result 27

Comparison : High Frequency Original Images

Showing image of Freedom and Justice with METEOR unit also the Eternal Spaceship from Gundam SEED.

Transform View

High Frequency

High variation between image’s component, major frequency is High. Shown by the Fourier Transform Result 28


Filtering pada Domain Frekuensi •

Langkah-langkah filtering pada domain frekuensi adalah: 1. Kalikan citra input dengan (-1)x+y untuk memusatkan transformasi. 2. Hitung F(u,v), DFT dari citra pada langkah (1). 3. Kalikan F(u,v) dengan fungsi filter H(u,v). 4. Hitung inverse DFT dari citra pada langkah (3). 5. Gunakan bagian real dari citra pada langkah (4) 6. Kalikan hasil (5) dengan (-1)x+y.

Filtering pada Domain Frekuensi

31

Filter Penghalusan • Model filtering pada domain frekuensi adalah : G(u,v) = H(u,v) F(u,v) dengan F(u,v) adalah transformasi Fourier dari citra yang akan dihaluskan. • Tujuannya adalah memilih fungsi filter H(u,v) yang menghasilkan G(u,v) dengan menurunkan komponen frekuensi tinggi dari F(u,v).

32

Contoh Filtering pada Domain Frekuensi • Filter yang didefinisikan sebagai berikut: if (u, v)  ( M / 2, N / 2) 0 H (u, v)   1 otherwise

disebut filter notch karena filter tersebut adalah fungsi konstan dengan sebuah lubang (notch) di pusatnya.

33

Contoh Hasil Filter Notch

34

HIGHPASS DAN LOWPASS FILTERING PADA DOMAIN FREKUENSI

Filtering pada Domain Frekuensi • Filter lowpass adalah filter yang mengubah (menurunkan) komponen frekuensi tinggi, dan melewatkan (passing) komponen frekuensi rendah. Citra yang difilter menggunakan filter lowpass memiliki detail yang kurang tajam dibandingkan citra asal. • Filter highpass adalah filter yang mengubah (menurunkan) komponen frekuensi rendah, dan melewatkan (passing) kompinen frekuensi tinggi. ” high frequencies. Citra yang difilter menggunakan filter highpass memiliki detail yang lebih tajam dibandingkan citra asal. 36


37


38

Sample: Monochrome Low Pass

Gaussian Blur

High Pass

Sharpen More

39

Sample: Color Low Pass

Gaussian Blur

High Pass

Sharpen More

40

Other Implementation : Low Pass Filter “Noised” image

Smooth image

Gaussian Low Pass

Original Image

Flare effect (beam)

Enhanced Image

Reduced Flare effect

41

Other Implementation : High Pass Filter

Easier to read text

Hard to read text

Gaussian High Pass

Original Image

Enhanced Image

Flare effect (beam)

More Flare Effect Reduced Eye Point

42

Other Implementation : High Pass Filter Easier to read text

Hard to read text

Sharpen

Original Image

Enhanced Image More Flare Effect

Flare effect (beam)

Exposure of Eye Point

43

Other Implementation : High Boost Filtering

Unsharp Mask

Original Image

Enhanced Image Enhanced Flare Effect Reduction of Eye Point

Flare effect (beam)

44

Unsharp Mask: Generating Sharp Image by substracting blur version of the image itself

Other Implementation : Combination Filtering High Pass

Multiplied

Original Image

Low Pass

Enhanced Image Slight Flare Effect Reduction of Eye Point

45

Tugas Kelompok •

Ada tiga tipe filter lowpass, yaitu: 1. Filter Ideal  fungsi filter yang sangat tajam. 2. Filter Gaussian  fungsi filter yang sangat halus. 3. Filter Butterworth  transisi di antara dua fungsi ekstrim. Filter Butterworth memiliki parameter yang disebut order filter. Nilai order filter tinggi  mendekati filter Ideal. Nilai order filter rendah  mendekati filter Gaussian. Buatlah ringkasan yang berisi penjelasan dan contoh hasil pengolahan citra dengan tiga tipe filter lowpass di atas Dikumpulkan via email [email protected] dengan judul: [TUGAS LOWPASS] KELOMPOK 1/2/3/4 Paling lambat tgl 5 Maret 2016

Referensi • Kadir, Abdul dan Adhi Susanto. 2013. Teori Dan Aplikasi Pengolahan Citra. Yogyakarta: Penerbit Andi. • Slide Pengolahan Citra, Departement Teknik Informatika IT Telkom • Prof. Aniati Murni A., Pengolahan Citra Digital, Fak. Ilmu Komputer, Universitas Indonesia. • Rinaldi Munir, Pengolahan Citra Digital • Pengolahan Citra Digital, ITS. http://share.its.ac.id/pluginfile.php/374/mod_res ource/content/1/03_-_Transformasi_Citra.ppt

2016

Recommend Documents