2016 NAMA : NPM : KELAS : KP : TUTOR : ASBAR :

LABORATORIUM MANAJEMEN DASAR STATISTIKA 1 PTA 2015/2016

NAMA

:

NPM

:

KELAS : KP

:

TUTOR : ASBAR :

FAKULTAS EKONOMI UNIVERSITAS GUNADARMA JAKARTA 2015

Lab. Manajemen Dasar

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas limpahan rahmat, hidayah, dan karunia-Nya sehingga Modul Praktikum Statistika 1 PTA 2015/2016 ini dapat terselesaikan dengan baik.

Modul praktikum ini merupakan penyempurnaan dari modul praktikum sebelumnya dan diharapkan dengan adanya modul praktikum ini dapat meningkatkan pemahaman dasar materi praktikum serta sebagai pedoman mahasiswa dalam melakukan penelitian-penelitian ekonomi. Selain itu, modul ini juga dapat digunakan sebagai dasar suatu pandangan mahasiswa melihat keadaan perekonomian dan disesuaikan dengan teori ekonomi yang ada.

Pada penyusunan modul ini, kami menyadari bahwa modul praktikum ini masih perlu disempurnakan kembali, sehingga diperlukannya kritik dan saran untuk penyajian serta isinya.

Akhir kata, penyusun mengucapkan terima kasih kepada Tim Litbang Statistika 1 PTA 2015/2016 Laboratorium Manajemen Dasar yang turut berpartisipasi dalam penyusunan modul praktikum ini. Penyusun juga mengucapkan terima kasih kepada seluruh pihak yang berpatisipasi sehingga pelaksanaan praktikum dapat berjalan dengan lancar.

Kelapa Dua, Juli 2015

Tim Litbang Statistika

Statistika 1

i

Litbang PTA 15/16


DAFTAR ISI

Halaman Depan Kata Pengantar ................................................................................................... i Daftar Isi............................................................................................................. ii Daftar Rumus ..................................................................................................... iv Daftar Gambar .................................................................................................... v Materi 1 Ukuran Statistik 1. Pendahuluan ................................................................................................... 1 2. Ukuran Pemusatan ......................................................................................... 1 3. Ukuran Penyebaran ........................................................................................ 5 4. Contoh Soal .................................................................................................... 8 Soal Kuis ............................................................................................................ 16 Materi 2 Distribusi Binomual 1. Pendahuluan ................................................................................................... 17 2. Tujuan Praktikum Binomial ........................................................................... 19 3. Contoh Soal .................................................................................................... 20 Soal Kuis ............................................................................................................ 32 Materi 3 Distribusi Poisson 1. Pendahuluan ................................................................................................... 34 2. Rumus Pendekatan Peluang Poison untuk Binomial ..................................... 34 3. Rumus Proses Poisson ................................................................................... 35 4. Ciri-ciri Distribusi Poisson............................................................................. 36 5. Contoh Soal .................................................................................................... 36 Soal Kuis ............................................................................................................ 50 Materi 4 Distribusi Normal 1. Pendahuluan ................................................................................................... 51 2. Definisi Konsep Dasar ................................................................................... 51 3. Bentuk Umum dan Rumus ............................................................................. 52 4. Kurva Distribusi Normal ................................................................................ 52 5. Contoh Soal .................................................................................................... 54

Statistika 1

ii

Litbang PTA 15/16


Soal Kuis ............................................................................................................ 65 Daftar Pustaka .................................................................................................... 68

Statistika 1

iii

Litbang PTA 15/16


DAFTAR RUMUS

1.1

Rumus Rata-rata Hitung...................................................................... 2

1.2

Rumus Letak Median 1 ....................................................................... 3

1.3

Rumus Letak Median 2 ....................................................................... 3

1.4

Rumus Letak Kuartil ........................................................................... 4

1.5

Rumus Jangkauan (Range).................................................................. 6

1.6

Rumus Ragam (Variance) untuk Sampel ............................................ 6

1.7

Rumus Ragam (Variance) untuk Populasi .......................................... 7

1.8

Rumus Standar Deviasi untuk Sampel ................................................ 7

1.9

Rumus Standar Deviasi untuk Populasi ............................................. 8

2.1

Rumus Distribusi Binomial ................................................................. 19

2.2

Rumus Kombinasi ............................................................................... 19

3.1

Rumus Pendekatan Peluang Poisson utnuk Binomial......................... 34

3.2

Rumus Proses Poisson ........................................................................ 35

4.1

Rumus Distribusi Normal ................................................................... 52

Statistika 1

iv

Litbang PTA 15/16


DAFTAR GAMBAR

1.1 Gambar Tampilan Software R-Commander ............................................. 9 1.2 Gambar New Data Set ............................................................................... 9 1.3 Gambar Data Editor .................................................................................. 10 1.4 Gambar Hasil Software R-Commander (Active Data Set) ...................... 10 1.5 Gambar Hasil Software R-Commander (Numerical Summarise ............ 11 1.6 Gambar Tampilan Software R-Commander ............................................. 13 1.7 Gambar New Data Set Contoh Soal 2 ....................................................... 13 1.8 Gambar Data Editor Contoh Soal 2 .......................................................... 14 1.9 Gambar Output Software R-Commander Contoh Soal ............................ 15 1.10 Hasil Output Software R-Commander Soal Kuis ................................... 16 2.1 Gambar Tampilan Software R-Commander ............................................. 22 2.2 Gambar Cumulative Binomial Probabilities ............................................. 23 2.3 Gambar Output Software Distribusi Binomial.......................................... 23 2.4 Gambar Cumulative Binomial Probabilities Contoh Soal ....................... 25 2.5 Gambar Output Software Distribusi Binomial Contoh Soal 2 .................. 26 2.6 Gambar Script Window Contoh Soal 3 ..................................................... 27 2.7 Gambar Output Software Contoh Soal 3 .................................................. 28 2.8 Gambar Binomial Probabilities Contoh Soal 4 ......................................... 31 2.9 Gambar Output Software Distribusi Binomial Contoh Soal 4 .................. 31 2.10 Gambar Output Software Distribusi Binomial Soal Kuis ....................... 33 3.1 Gambar Tampilan Software R-Commander ............................................. 38 3.2 Gambar Script Window Contoh Soal 1 ..................................................... 39 3.3 Gambar Tampilan Software R-Commander (Poisson Probabilities) ........ 40 3.4 Gambar Poisson Probabilities ................................................................... 40 3.5 Gambar Output Poisson Probabilities ....................................................... 41 3.6 Tampilan Software R-Commander ........................................................... 43 3.7 Gambar Software R-Commander Poisson Tail Probabilites..................... 44 3.8 Gambar Poisson Probabilities ................................................................... 44 3.9 Gambar Output Software R-Commander Contoh Soal 3.......................... 45

Statistika 1

v

Litbang PTA 15/16


3.10 Gambar Tampilan Software R-Commander ........................................... 47 3.11 Tampilan Software R-Commander Poisson Distribution ....................... 48 3.12 Gambar Poisson Probabilities Contoh Soal ............................................ 48 3.13 Gambar Output Software R-Commander Contoh Soal 4........................ 49 3.14 Gambar Output Software Soal Kuis ........................................................ 50 4.1 Gambar Tampilan Software R-Commander ............................................. 56 4.2 Gambar Tampilan Software Normal Probabilities .................................... 56 4.3 Tampilan Normal Probabilities ................................................................. 56 4.4 Gambar Output Software R-Commander ................................................. 57 4.5 Gambar Software R-Commander.............................................................. 59 4.6 Gambar Software R-Commander Normal Probabilities ........................... 60 4.7 Gambar Normal Probabilities Contoh Soal 2 ........................................... 60 4.8 Gambar Output Software R-Commander Contoh Soal 2.......................... 61 4.9 Tampilan Software R-Commander ........................................................... 63 4.10 Gambar Output Software R-Commander Contoh Soal 4........................ 64 4.11 Gambar Output Software Soal Kuis ........................................................ 66 4.12 Gambar Tabel Z ...................................................................................... 67

Statistika 1

vi

Litbang PTA 15/16


Materi Ukuran Statistik

MATERI 1 UKURAN STATISTIK 1.

Pendahuluan Statistika adalah kumpulan dari cara – cara dan aturan – aturan mengenai

pengumpulan, pengelolahan, penafsiran dan penarikan kesimpulan dari data yang diperoleh sebelumnya. Ukuran statistik merupakan ukuran yang menunjukan bagaimana suatu gugus data memusat dan menyebar. Di

dalam ukuran statistik ada tiga karakteristik utama dari ukuran

deskripsi data, yaitu distribusi data, ukuran pemusatan dan ukuran penyebaran. Distribusi data adalah metode statistika untuk menyusun data dengan cara membagi nilai – nilai observasi data ke dalam kelas – kelas dengan interval tertentu. Ukuran pusat data yang banyak digunakan untuk mendeskripsikan data adalah rata-rata hitung (mean), median, dan modus. Sedangkan ukuran penyebaran suatu kelompok data terhadap pusat data disebut disperse atau keragaman

data.

Ukuran

disperse

data

yang

umum

dipakai

adalah

jangkauan (range), variansi dan standar deviasi. 2.

Ukuran Pemusatan Nilai Pusat adalah suatu nilai yang mewakili semua nilai observasi dalam

suatu data. Disebut nilai pusat karena pada umumnya berlokasi di bagian tengah atau pusat dari suatu distribusi. Ukuran pemusatan data merupakan alat analisa statistik untuk mengetahui karakteristik umum dari suatu sampel atau populasi. Nilai pusat sering dianggap sebagai gambaran dari kondisi suatu data. Dalam statistika dikenal beberapa macam ukuran nilai pusat, yang sering digunakan yaitu rata-rata hitung (mean), median, dan modus.

Statistika 1

1

Litbang PTA 15/16


A.


Mean (rata-rata hitung) Rata-rata hitung merupakan ukuran pusat data yang paling sering digunakan

untuk menghitung rata-rata dari data, karena mudah dimengerti perhitungannya oleh siapa saja. Dari segi aritmetik mean adalah jumlah nilai dibagi dengan jumlah individu. Untuk mencari rata-rata hitung dilakukan dengan cara menjumlahkan seluruh data yang selanjutnya dibagi dengan banyaknya (jumlah) observasi atau data. 1.1 Rumus Rata-rata hitung

X =

/

/

Dimana:

B.

X

= Rata-rata hitung

Xi

= Nilai dari observasi ke-i

n atau N

= Banyaknya observasi ukuran sampel/populasi

fi

= Frekuensi dari observasi ke-i

Median Median adalah nilai yang terletak ditengah suatu data yang telah diurutkan

dari nilai terkecil hingga nilai terbesar. Dalam menentukan median dari data yang belum di kelompokan, yang dapat dilakukan hanya menentukan letak median saja, yaitu data atau satu titik angka yang letaknya berada ditengah-tengah rangkaian data yang berurut.  Jika jumlah data ganjil maka nilai median dapat diketahui secara langsung, dengan membagi 2 data sama banyak, nilai yang berada di tengah disebut dengan median. Jika digambarkan dengan rumus :

Statistika 1

2

Litbang PTA 15/16



1.2 Rumus Letak Median 1

 Jika jumlah data genap maka nilai median diambil dari rata – rata dua nilai yang terletak di tengah data. Jika digambarkan dengan rumus : 1.3 Rumus Letak Median 2

+ 2 Dimana :

C.

Me

= Letak median

n

= Jumlah data

Modus Modus merupakan nilai data yang paling banyak muncul atau nilai

yang mempunyai frekuensi yang paling besar, sehingga modus dimaknai sebagai data yang relatif dominan dalam suatu sampel atau populasi. Suatu data tidak selalu mempunyai modus atau mungkin terdapat lebih dari satu modus. Dalam data bisa terdapat satu modus (unimodus), dua modus (bimodus), lebih dari dua modus (multimodus), atau sama sekali tidak memiliki modus. Jika semua pengamatan mempunyai frekuensi sama maka modus tidak ada.

D.

Kuartil Kuartil merupakan nilai yang membagi suatu data yang telah diurutkan

dari nilai terendah sampai nilai tertinggi menjadi 4 bagian yang sama besar. Nilai-nilai kuartil diberi simbol Q1 (kuartil pertama), Q2 (kuartil kedua) dan

Statistika 1

3

Litbang PTA 15/16



Q3 (kuartil ketiga). Nilai Q2 sama dengan nilai median. Rumus untuk mencari letak kuartil: 1.4 Rumus Letak Kuartil

Q1

Q2

Q3

Dimana : i

= 1, 2, 3

Q1

= Kuartil bawah

Q2

= Kuartil tengah/median

Q3

= Kuartil atas

n

= Jumlah data

Contoh Soal 1. Sebuah toko kerudung ternama memiliki data permintaan dari costumer yaitu 55, 51, 65, 65, 66. Carilah rata-rata permintaannya, median, dan berapakah kuartil Q1, Q2 dan Q3 ! Analisis ! Diketahui : 51, 55, 65, 65, 66 Ditanya

: Mean, Median, Q1, Q2, dan Q3 ?

Jawab

:



Statistika 1

4

Litbang PTA 15/16



 

Letak kuartil 1 = i(n+1)/4 = 1(5+1)/4 = 1,5 = data ke 1,5 = (51+55)/2 = 53



Letak kuartil 2 = i(n+1)/4 = 2(5+1)/4 = 3 = data ke 3 = 65



Letak kuartil 3 = i(n+1)/4 = 3(5+1)/4 = 4.5 = data ke 4.5 = (65+66)/2 = 65.5

Analisis

:

Jadi, rata-rata permintaan kerudung sebesar 60,4 dengan median sebesar 65, jangkauan sebesar 15. Didapat nilai kuartil pertama, kedua dan ketiga yaitu masing – masing 53, 65 dan 65.5 3.

Ukuran Penyebaran Ukuran penyebaran adalah besarnya penyimpangan suatu data dari

sentralnya. Ukuran penyebaran adalah salah satu aspek yang sangat penting dalam statistika deskriptif karena dapat digunakan untuk mengukur variabilitas nilai – nilai observasi dari nilai sentralnya. Dua kelompok data mungkin mempunyai rata – rata yang sama, tetapi berbeda dalam hal variabilitas nilai – nilai observasinya. Contoh : Data A terdiri dari nilai – nilai 52, 56, 60, 64, 68 Data B terdiri dari nilai – nilai 40, 50, 60, 70, 80 Rata – rata kedua kelompok data tersebut adalah sama, yakni 60. Namun demikian, variansi nilai – nilai terhadap nilai sentral kedua kelompok data tersebut berbeda. Perhatikan gambar berikut : Data A :

52

56

60

64

68

Data B :

40 Statistika 1

50

60

70

80 5

Litbang PTA 15/16



A. Jangkauan (range) Jangkauan atau range suatu data adalah selisih antara nilai maksimum dengan nilai minimum. 1.5 Rumus Jangkauan (Range)

R = Xmax - Xmin Dimana : R

: Range (Jangkauan)

Xmax : Nilai tertinggi dari suatu data Xmin : Nilai terendah dari suatu data

Range adalah ukuran penyebaran yang paling sederhana. Kelemahannya, range hanya ditentukan oleh dua nilai observasi. Jika pada data terdapat nilai ekstrem, maka range akan memberikan gambaran yang variabilitasnya yang kurang benar. Contoh : Data

: 40, 41, 42, 45, 470, 540, 600, 880, 950, 1000

Range : 1000 – 40 = 960.

B. Ragam (Variance) Ragam adalah rata-rata kuadrat selisih atau kuadrat simpangan dari semua nilai data terhadap rata-rata hitung. Variansi untuk sampel dilambangkan dengan s2. Sedangkan untuk populasi dilambangkan dengan σ2 1.6 Rumus Ragam (Variance) untuk Sample

s2

Statistika 1

6

Litbang PTA 15/16



1.7 Rumus Ragam (Variance) untuk Populasi

σ2

Dimana : s2 = Varians (untuk sampel) σ2 = Varians (untuk populasi) Xi = Nilai observasi sampai dengan ke-i pada sampel n = Banyaknya data pada sampel X = Rata-rata pada sampel µ = Rata-rata pada populasi

C. Standar Deviasi Standar deviasi adalah akar pangkat dua dari variansi. Standar deviasi seringkali disebut simpangan baku. 1.8 . Rumus Standar Deviasi Sampel 1.9 2

s Dimana : S = Standar Deviasi pada sampel s2 = Varians pada sampel

Sedangkan untuk rumus standar deviasi pada populasi adalah sebagai berikut ini : 1.9 Rumus Standar Deviasi Populasi

σ =1.10

Statistika 1

7

Litbang PTA 15/16



Dimana :

σ = Standar Deviasi pada populasi σ2 = Varians pada populasi 4. Contoh Soal 1. Tempat pelatihan software Komputer “ELF” memiliki 7 score ujian siswa yang mengikuti pelatihan yaitu 55, 16, 55, 55, 56, 56, 16. Tentukanlah Mean, Median, Modus, Range, Varians dan Standar Deviasinya!

Dik

: 16, 16, 55, 55, 55, 56, 56

Dit

: X , Median, Modus, R,

,s?

Jawab : 

X=

=

= 44,14



Letak Median =



Modus = 55



Range =



=

-

=

=

= 4, data ke-4 median = 55

= 56 – 16 = 40

+

+

+

+

+ +

/ (7 - 1) = 369,79 

s

=

=

= 19,22

Analisis : Jadi, score ujian siswa yang mengikuti pelatihan yaitu rata-rata hitung sebesar 44,14 Median sebesar 55, Modus sebesar 55, Jangkauan sebesar 40, Variansi sebesar 369,79 dan Standar Deviasi sebesar 19,22

Statistika 1

8

Litbang PTA 15/16



Untuk mencari nilai statistik data tersebut dengan menggunakan R-Commander, berikut ini adalah langkah-langkahnya:  Tekan Icon R-Commander pada dekstop maka akan muncul tampil seperti berikut : 1.1 Gambar Tampilan Software R-Commander

 Pilih Menu Data, New Data Set. Masukan nama dari data set, lalu OK 1.2 Gambar New Data Set

Statistika 1

9

Litbang PTA 15/16



 Masukan data nilai statistik. Untuk mengubah nama dan tipe variabel, dapat dilakukan dengan cara double klik pada variabel yang ingin diubah pada var1. Jika sudah selesai dalam pengisian data tekan tomboh (X) atau Close. 1.3 Gambar Data Editor

 Jika sudah benar data yang diinput maka pilih Menu Statistics, lalu Summaries, lalu pilih Active Data Set 1.4 Gambar Hasil Software R-Commander (Active Data Set)

Statistika 1

10

Litbang PTA 15/16



 Lalu pilih menu Statistics, pilih Summarise, pilih Numerical Summarise. Maka akan muncul tampilan berikut.

1.5 Gambar Hasil Software R-Commander (Numerical Summarise)

Statistika 1

11

Litbang PTA 15/16



2. Tentukanlah mean, modus, dan jangkauan dari data pada tabel dibawah ini! Skor (x)

156

166

151

116

Frekuensi (f)

5

5

6

5

Dik

: x1= 156

f1= 5

x2= 166

f2= 5

x3= 151

f3= 6

x4= 116

f4= 5

: x̄, modus, median dan jangkauan

Dit

Jawab : • x̄

= = (156 x 5) + (166 x 5) + (151 x 6) + (116 x 5) 21 = 3096 = 147,43 21

• Modus

= 151

• Median

= 151

• Jangkauan = Xmax – Xmin = 166 – 116 = 50 • Analisis : Jadi, dari data tersebut diperoleh mean = 147,43; modus 151 dan jangkauan 50. Untuk mencari nilai statistik data tersebut dengan menggunakan RCommander, berikut ini adalah langkah-langkahnya:  Tekan Icon R-Commander pada dekstop maka akan muncul tampil seperti berikut :

Statistika 1

12

Litbang PTA 15/16



1.6 Gambar Tampilan Software R-Commander

 Pilih Menu Data, New Data Set. Masukan nama dari data set, lalu OK 1.7 Gambar New Data Set Contoh Soal 2

Statistika 1

13

Litbang PTA 15/16



 Masukan data nilai statistik. Untuk mengubah nama dan tipe variabel, dapat dilakukan dengan cara double klik pada variabel yang ingin diubah pada var1. Jika sudah selesai dalam pengisian data tekan tomboh (X) atau Close.

1.8 Gambar Data Editor Contoh Soal 2

 Jika sudah benar data yang diinput maka pilih Menu Statistics, lalu Summaries, lalu pilih Active Data Set

Statistika 1

14

Litbang PTA 15/16



1.9 Gambar Output Software R-Commander Contoh Soal 2

Statistika 1

15

Litbang PTA 15/16



Soal Kuis Lembaga Pelatihan Bahasa Korea “DaehanMinguk” memiliki 5 nilai dari ujian yang diberikan kepada suatu kelas yaitu 65, 66, 66, 61, 66. Tentukanlah Mean, Median, Modus, dan Range nya!

Dik : 61, 65, 66, 66, 66 Dit : X , Median, Modus, R ? Jawab 

: X=

=



Letak Median =



Modus = 66



Range =

= 64,8 =

-

= 3, data ke-3 median = 66

= 66 – 61 = 5

Analisis : Jadi, nilai ujian siswa yang mengikuti pelatihan Bahasa Korea yaitu rata-rata hitung sebesar 64,8 Median sebesar 66, Modus sebesar 66 dan Jangkauannya sebesar 5. 1.10 Hasil Output Software R-Commander Soal Kuis

Statistika 1

16

Litbang PTA 15/16


Materi Distribusi Binomial

MATERI 2 DISTRIBUSI BINOMIAL 1. Pendahuluan Distribusi binomial merupakan distribusi probabilitas diskrit yang sering terjadi. Distribusi ini mula-mula ditemukan oleh seorang ahli matematika berkebangsaan Swiss bernama Jacob Bernoulli. oleh karena itu distribusi binomial dikenal juga sebagai distribusi Bernoulli. Distribusi binomial dapat digunakan apabila suatu proses sampling dapat diasumsikan sesuai dengan proses Bernoulli. Proses Bernoulli adalah suatu proses probabilitas yang dapat dilakukan berulang kali, misalnya : 

Seorang petugas telemarketing berhasil membuat konsumen “membeli produknya” atau “tidak membeli produknya”.

 Sebuah produk diklasifikasikan “dapat diterima” atau “tidak dapat diterima” oleh departemen kendali mutu.

Dari contoh petugas telemarketing di atas dapat diberikan suatu label “berhasil” untuk membeli produknya dan label “gagal” untuk tidak membeli produknya ataupun sebaliknya. Begitu juga dengan klasifikasi produk, kita dapat memberi label “berhasil” untuk dapat diterima dan label “gagal” untuk tidak dapat diterima ataupun sebaliknya. Akan tetapi pemberian label tersebut tidak otomatis menyatakan bahwa satu hasil adalah baik dan yang lainnya tidak baik. Ulangan-ulangan tersebut bersifat bebas dan peluang berhasil atau gagal setiap ulangan memiliki probabilitas yang sama yaitu 50% atau ½. Distribusi binomial memiliki sedikit kesamaan dengan distribusi poisson. Keduanya berusaha mencari kemungkinan yang timbul dari suatu peristiwa/kejadian yang ada, namun ada beberapa hal yang membedakan penggunaan kedua distribusi tersebut, yaitu:

Statistika 1

17

Litbang PTA 15/16



 Distribusi binomial digunakan jika besarnya sampel (n) < 20 (kurang dari 20) dan nilai peluang berhasil dalam setiap ulangan (p) > 0.05.  Distribusi poisson digunakan jika besarnya sampel (n) ≥ 20 (lebih dari 20 atau sama dengan 20) dan nilai peluang berhasil dalam setiap ulangan (p) ≤ 0.05 (kurang dari 0.05 atau sama dengan 0.05). Adapun ciri-ciri atau karakteristik distribusi binomial adalah sebagai berikut : a) Percobaan diulang sebanyak n kali b) Hasil setiap ulangan dapat dikategorikan dalam 2 kelas, dimisalkan “berhasil” atau “gagal” “ya” atau “tidak” “success” atau “failed” c) Peluang berhasil atau sukses disimbolkan dengan p dan dalam setiap ulangan nilai p tetap, dimana p = 1 - q sedangkan peluang gagal dinyatakan dengan q dimana q = 1 – p sehingga p + q = 1 d) Banyaknya keberhasilan dalam peubah acak disimbolkan dengan x e) Setiap ulangan bersifat bebas (independent) satu dengan lainnya.

Catatan : Untuk memberikan kemudahan dalam membedakan antara nilai p dan nilai q, terlebih dahulu harus ditetapkan yang mana yang merupakan kejadian yang dapat dikategorikan “success atau berhasil” dan yang mana kejadian yang dapat dikategorikan “failed atau gagal”. Perlu diingat bahwa kejadian yang menjadi pertanyaan ataupun ditanyakan dari suatu permasalahan bisa dikategorikan sebagai kejadian “success atau berhasil”. Dengan demikian kejadian yang menjadi pertanyaan dari suatu permasalahan dapat disimbolkan dengan p.

Selain itu perlu diperhatikan juga penggunaan simbol yang tepat misalnya : 

Kurang dari disimbolkan dengan ( < )



Lebih dari disimbolkan dengan ( > )



Paling banyak disimbolkan dengan ( ≤ )

Statistika 1

18

Litbang PTA 15/16





Paling sedikit disimbolkan dengan ( ≥ )



Kurang dari sama dengan disimbolkan dengan ( ≤ )



Lebih dari sama dengan disimbolkan dengan ( ≥ )

2. Tujuan Praktikum Binomial Tujuan dari praktikum materi distribusi binomial ini adalah untuk membantu praktikan dalam menghitung dan mengkoreksi jawaban nilai probabilitas (peluang) dari suatu peristiwa binomial (peristiwa dengan jumlah sampel n<20 dan nilai peluang berhasil p>0.05) dengan menggunakan software Rcommander.

a. Rumus Umum Distribusi Binomial Sebelum kepada contoh soal, berikut adalah rumus umum dari distribusi binomial : 2.1 Rumus Distribusi Binomial

b (x;n,p) = nCX Dimana : x

= banyaknya keberhasilan dalam peubah acak x

n

= banyaknya kejadian berulang

p

= peluang berhasil dalam setiap ulangan dimana p = 1 - q

q

= peluang gagal dimana q = 1 – p

Adapun rumus dari Kombinasi: 2.2 Rumus Kombinasi n Cx

=

n!

(n – x)!x! Dimana : C

= Kombinasi

Statistika 1

19

Litbang PTA 15/16



n

= Banyaknya kejadian berulang

x

= banyaknya keberhasilan dalam peubah acak x

3. Contoh Soal 1. Berdasarkan data yang diperoleh oleh Desa SUKA TANI, diketahui 65% warganya sudah berpenghasilan cukup, sedangkan sisanya masih belum berpenghasilan cukup. Apabila ditanyakan kepada 11 orang warganya, berapa sekurang-kurangnya ada 5 orang yang berpenghasilan cukup? Diketahui : p = 65% = 0,65 q = 1 – 0,65 = 0,35 n = 11 x = 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 Ditanyakan : P (x ≥ 5) Jawab : Jumlah sample 11, berarti anggotanya 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 Karena (x ≥ 5), jadi nilai x nya adalah 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 {(x=5) + (x=6) + ...... + (x=11)},

atau

(1-{(x=0) + (x=1) + ...... +

(x=4)}) B (x;n;p)

= nCx px qn-x

b(0;11;0,65)

= 11C0 (0,65)0 (0,35)11-0

= 1 (1) (0,000009655) = 0,000009654915737 b(1;11;0,65)

= 11C1 (0,65)1 (0,35)11-1

= 11 (0,65) (0,00002759) = 0,000197233 b(2;11;0,65)

= 11C2 (0,65)2 (0,35)11-2

= 55 (0,4225) (0,000078816) = 0,00183147

b(3;11;0,65)

Statistika 1

= 11C3 (0,65)3 (0,35)11-3

20

Litbang PTA 15/16



= 165 (0,2746) (0,0002252) = 0,010203586 b(4;11;0,65)

= 11C4 (0,65)4 (0,35)11-4

= 330 (0,1785) (0,000643393) = 0,037899062 ( x ≥ 4 ) = (1-{(x=0) + (x=1) + ...... + (x=4)}) = 1 –{0,000009654915737+0,000197233+ 0,00183147+ 0,010203586+ 0,037899062} = 1 – 0.050141005 = 0,949857394 = 94,9857% Analisis : Jadi,

nilai

probabilitas

sekurang-kurangnya

ada

4

orang

yang

berpenghasilan cukup adalah sebesar 94,99 %

Untuk mencari nilai statistik data tersebut dengan menggunakan RCommander, berikut adalah langkah-langkahnya :  Tekan R-Commander pada dekstop, kemudian akan muncul tampilan seperti dibawah ini :

Statistika 1

21

Litbang PTA 15/16




 Pilih menu Distribution >> Discrete distribution >> Binomial distribution >> Binomial tail probabilities  Input angka sesuai dengan soal 

Variable value (s) = 4



Binomial trial = 11 (sebagai nilai n)



Probabilities of success = 0,65 (sebagai peluang berhasil)



Setelah itu pilih Upper tail, kemudian klik OK

Statistika 1

22

Litbang PTA 15/16



2.2 Gambar Cumulative Binomial Probabilities

 Pada output windows akan muncul nilai probabilitas sekurang-kurangnya ada 5 orang yang belum berpenghasilan cukup adalah sebesar 94,99%

2.3 Gambar Output Software Distribusi Binomial

Statistika 1

23

Litbang PTA 15/16



2. Tuan Sandy adalah seorang pemilik toko jersey INI BOLA. Ia melakukan penelitian jersey manakah yang lebih banyak diminati oleh pelanggan di tokonya. Dari hasil penelitian tersebut diketahui bahwa 16% pelanggannya menyukai jersey Chealsea, dan sisanya menyukai jersey Barcelona. Apabila ditanyakan kepada 15 orang pelanggan, berapakah probabilitas paling banyak 1 orang yang menyukai jersey Chealsea? Diketahui

:

p = 16% = 0,16 q = 1-0,16 = 0,84 x = 0 dan 1 n = 15 Ditanyakan : P (x ≤ 1) Jawab : Jumlah sample 15, anggotanya 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 Karena (x ≤ 1) jadi nilai x nya adalah 0 dan 1 {(x=0 + (x=1)} atau (1-{(x=2) + (x=3) + ......+ (x=15)}) b(x;n,p) = nCx px qn-x b(0;15,0,16)

= 15C0 (0,16)0 (0,84)15-0 = 1 (1) (0,07314578261) = 0,07314578261

b(1;15,0,16)

= 15C1 (0,16)1 (0,84)15-1 = 15 (0,16) (0,08707831263) = 0,2089879503

(x≤1)

= {(x=0) + (x=1)} = 0,07314578261 + 0,2089879503 = 0,282133773291 = 28,21%

Analisis :

Statistika 1

24

Litbang PTA 15/16



Jadi, nilai probabilitas paling banyak ada 1 orang yang membeli jersey chealsea adalah sebesar 28,21%

Langkah penyelesaian soal pada R-Commander adalah sebagai berikut : 

Tekan icon R-Commander pada dekstop, kemudian akan muncul

tampilan software 

Pilih menu Distribution >> Discrete distribution >> Binomial

distribution >> binomial tail probabilities 

Input angka sesuai soal



Variable value (s) = 1 (sebagai nilai x)









Lalu klik lower tail, kemudian klik OK

2.4 Gambar Cumulative Binomial Probabilities Contoh Soal 2

 Pada output windows akan muncul nilai probabilities paling banyak ada 1 orang pembeli yang membeli jersey chealsea adalah sebesar 28,21%

Statistika 1

25

Litbang PTA 15/16



2.5 Gambar Output Software Distribusi Binomial Contoh Soal 2

3. Dilakukan penelitian di kelas 2EA01 tentang mahasiswa menggunakan provider XXL dam IM2. Dari penelitian tersebut dihasilkan 55% mahasiswa lebih memlih provider XXL, sedangkan sisanya menggunakan IM2. Apabila ditanyakan kepada 16 orang mahasiswa. Berapakah

probabilitas ada 1

sampai 5 orang mahasiswa yang menggunakan XXL sebagai providernya ? Diketahui : p = 55% = 0,55

Statistika 1

26

Litbang PTA 15/16



q = 1 – 0,55 = 0,45 n = 16 x = 1, 2, 3, 4, 5 Ditanya :

P (1 ≤ x ≤ 5)

Jawab : Jumlah sampel 16, berarti anggota 1 – 16 karena (1 ≤ x ≤ 4) jadi nilai x nya 1–5 {(x = 1) + (x = 2) + ... + (x = 5)} b (x ; n , p)

= nCx px qn-x

b (1 ; 16 , 0,55)

= 16C1 p1 q16-1 = 16C1 (0,55)1 (0,45)15 = 16 (0,55) (0,000006283298709) = 0,00002488186289

b (2 ; 16 , 0,55)

= 16C2 (0,55)2 (0,45)16-2 = 105 (0,3025) (0,00001396288602) = 0,00044961672

b (3 ; 16 , 0,55)

= 16C3 (0,55)3 (0,45)16-3 = 560 (0,166375) (0,0000310286356) = 0,002890937979

b (4 ; 16 ; 0,55)

= 16C4 (0,55)4 (0,45)16-4 = 1820 (0,091506675) (0,00006895252355) = 0,01148344808

b (5 ; 16 ; 0,55)

= 16C5 (0,55)5 (0,45)16-5 = 4368 (0,0503284375) (0,0001532278301) = 0,03368478104

P (1≤ x ≤ 5)

= {(x=1) + (x=2) + (x=3) + (x=4) + (x=5)} = 0,00002488186289 + 0,00044961672 + 0,002890937979 + 0,01148344808 +0,03368478104 = 0,04852754513 = 4,85%

Statistika 1

27

Litbang PTA 15/16



Analisis : Jadi probabilitas ada 1 sampai 5 orang mahasiswa yang menggunakan XXL sebagai providernya adalah 4,85%

Untuk mencari nilai statistik data tersebut dengan menggunakan RCommander, berikut adalah langkah-langkahnya :  Tekan icon R-Commander

pada dekstop,

kemudian akan muncul

tampilan software. Perintah mencari probabilitas binomial pada script window adalah sum(dbinom(x,n,p)). Maka tuliskan pada script window sum(dbinom(1:5,16,0,55) )

2.6 Gambar Script Window Contoh Soal 3

Statistika 1

28

Litbang PTA 15/16



 Block semua yang ada pada window scrip window, lalu klik submit. Maka pada output window akan muncul probabilitas ada 1 sampai 5 orang mahasiswa yang menggunakan XXL sebagai provider adalah sebesar 4,85%

2.7 Gambar Output Software Contoh Soal 3

4. Dilakukan penelitian di 2EA01 sebanyak 15 orang, 65% mahasiswa yang memilih ketua kelas karena sosok dan prestasinya, sedangakan sisanya memilih karena penampilannya. Berapakah probabilitas ada 6 orang yang memilih ketua kelas karena sosok dan prestasinya ? Diketahui : Statistika 1

29

Litbang PTA 15/16



p = 65% = 0,65 q = 1-0,65 = 0,35 n = 15 x=6 Ditanya :

P (x=6) ?

Jawab : Jumlah sample 15, berarti anggotanya 0-15 karena (x=6) jadi nilai x hanya 6 b (x ; n ; p)

= nCx px qn-x

b (6 ; 15 ; 0,65)

= 15C6 (0,65)6 (0,35)15-6 = 5005 (0,07541889063) (0,00007881563867) = 0,0297506611 = 2,975%

Analisis : Jadi, probabilitas ada 6 orang yang memilih ketua kelas karena sosok dan prestasinya adalah 2,975%.

Untuk mencari nilai statistik data tersebut dengan menggunakan R-Commander, berikut adalah langkah-langkahnya :  Tekan R-Commander pada dekstop, kemudian akan muncul tampilan software. Pilih menu Distribution >> Discrete distribution >> Binomial distribution >> Binomial probabilities  Input angka sesuai dengan soal : 







Kemudian klik OK

Statistika 1

30

Litbang PTA 15/16



2.8 Gambar Binomial Probabilities Contoh Soal 4

 Pada output window akan muncul nilai probabilitas ada 6 yang memilih ketua kelas karena sosok dan prestasinya adalah sebesar 2,975 %. (karena yang ditanyakan nilai probabilitas 6 orang pemilih, maka yang dilihat pada output window hanya nilai probabilitas pada angka 6 saja)

2.9 Gambar Output Software Distribusi Binomial Contoh Soal 4

Statistika 1

31

Litbang PTA 15/16



Soal Kuis Nopa manajer Rowes Industries ingin meneliti materi apa yang diminati oleh mahasiswa, keuangan atau pemasaran. Dari hasil penelitiannya diketahui bahwa 65% mahasiswa menyukai keuangan. Apabila ditanyakan kepada 15 orang berapakah probabilitas kurang dari 5 orang yang menyukai keuangan ? Diketahui: p

= 0,65

q

=1–p = 1 – 0,65 = 0,35

x

= 0,1,2,3,4

n

= 15

Ditanya : P (x < 5) = ? Jawab: b (x;n,p)

= nCx px qn-x

b (0;15,0.65)

= 14C0 0,650 0,3514-0 = (1) (1) (0.00000144) = 0.00000144

b (1;15,0.65)

= 15C1 0,651 0,3515-1 = (15) (0.65) (0.00000413) = 0.00000413

b (2;15,0.65)

= 15C2 0,652 0,3515-2 = (105) (0.4225) (0.000000118) = 0.000052468

b (3;15,0.65)

= 15C3 0,653 0,3515-3 = (455) (0.274625) (0.00003) = 0.0004222

b (4;15,0.65)

= 15C4 0,654 0,3515-3 = (1356) (0.1785) (0.000009) = 0.002352

Jadi : P(x<5)

= 0.00000144 + 0.00000413 + 0.000052468 + 0.0004222 + 0.002352

Statistika 1

32

Litbang PTA 15/16



= 0.002831425 = 0,2831% Analisis : Jadi probabilitas kurang dari 5 orang yang menyukai mata kuliah keuangan adalah 0,28%

2.10 Gambar Output Software Distribusi Binomial Soal Kuis

Statistika 1

33

Litbang PTA 15/16


Materi Distribusi Poisson

MATERI 3 DISTRIBUSI POISSON

1. Pendahuluan Distribusi poisson diberi nama sesuai dengan penemunya yaitu Siemon D.Poisson. Distribusi ini merupakan distribusi probabilitas untuk variable diskrit acak yang mempunyai nilai 0, 1, 2, 3 dan seterusnya. Suatu bentuk dari distribusi ini adalah rumus pendekatan peluang poisson untuk peluang binomial yang dapat digunakan untuk pendekatan probabilitas binomial dalam situasi tertentu. Rumus poisson dapat digunakan untuk menghitung probabilitas dari jumlah kedatangan, misalnya probabilitas jumlah kedatangan nasabah pada suatu bank pada jam kantor. Distribusi poisson ini digunakan untuk menghitung probabilitas menurut satuan waktu.

2. Rumus Pendekatan Peluang Poisson untuk Binomial Pendekatan peluang poisson untuk peluang binomial dilakukan untuk mendekatkan probabilitas dari kelas sukses (x) dari n percobaan binomial dalam situasi dimana n sangat besar dan probabilitas kelas sukses (p) sangat kecil. Aturan yang diikuti oleh kebanyakan ahli statistika adalah bahwa n cukup besardan p cukup kecil, yaitu jika :

p > 20 dan n < 0,05 Untuk menghitung probabilitas suatu peristiwa yang berdistribusi poisson digunakan rumus sebagai berikut :

3.1 Rumus Pendekatan Peluang Poisson untuk Binomial

Dimana :

e = 2.71828

p = probabilitas kelas sukses

μ = rata –rata keberhasilan = n .p n = Jumlah / ukuran populasi x = Banyaknya unsur berhasil dalam sampel

Statistika 1

34

Litbang PTA 15/16



3. Rumus Proses Poisson Distribusi poisson dalam konteks yang lebih luas dari pada rumus pertama tadi. Sebagai ilustrasi, misalkan pada hari Senin ini adalah jam kerja yang sibuk pada suatu bank, dan kita tertarik oleh jumlah nasabah yang mungkin datang selama jam kerja tersebut, dengan ketertarikan kita sebenarnya terletak pada interval waktu dan jumlah kedatangan dalam interval waktu jika proses kedatangannya mempunyai karakteristik sebagai berikut : A. Tingkat kedatangan rata-rata setiap unit waktu adalah konstant. Dalam ilustrasi tadi dapat berarti bahwa jika tingkat kedatangan rata–rata untuk periode jam adalah, misalkan 72 kedatangan setiap jam, maka tingkat ini melambangkan interval waktu pada jam kerja tadi : yaitu tingkat yang dapat dirubah kepada rata–rata yaitu 36 kedatangan setiap ½ jam atau 1,2 kedatangan setiap menit.

B. Jumlah kedatangan pada interval waktu tidak bergantung pada apa yang terjadi di interval waktu yang sudah lewat. Dalam ilustrasi tadi, dapat berarti bahwa kesempatan dari sebuah kedatangan di menit berikutnya adalah sama.

C. Tidak memiliki kesamaan bahwa akan lebih dari satu kedatangan dalam interval pendek, semakin pendek interval, semakin mendekati nol adalah probabilitas yang lebih dari satu kedatangan. Dalam ilustrasi tadi, bias berarti bahwa adalah tidak mungkin untuk lebih dari satu nasabah yang dapat melewati jalan masuk dalam waktu satu detik.

Untuk menghitung terjadinya suatu kedatangan yang mengikuti proses poisson digunakan rumus sebagai berikut:

3.2 Rumus Proses Poisson

Statistika 1

35

Litbang PTA 15/16


Dimana :


λ

= Tingkat rata–rata kedatangan tiap unit waktu

t

= Jumlah unit waktu

x

= Jumlah kedatangan dalam t unit waktu

4. Ciri-ciri Distribusi Poisson Ada beberapa ciri untuk menentukan apakah data tersebut termasuk dalam kriteria Distribusi Poisson atau tidak (Walpole, 1995). Adapun ciri-ciri tersebut adalah : A. Banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu interval waktu atau suatu daerah tertentu tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi pada interval waktu atau daerah lain yang terpisah. B. Probabilitas terjadinya hasil percobaan selama suatu interval waktu yang singkat atau dalam suatu daerah yang kecil, sebanding dengan panjang interval waktu atau besarnya daerah tersebut dan tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi di luar interval waktu atau daerah tersebut.

5. Contoh Soal : 1. Jika rata-rata kedatangan bus tujuan bekasi adalah 11 bus per jam. Brapakah probabilitas dalam interval waktu 51 menit dan ada 6 bus yang akan datang. Gunakanlah proses poisson!

Diketahui

:

Ditanya

: P untuk x = 6 ?

Dijawab

:

Statistika 1

36

Litbang PTA 15/16



(8%)

Analisis

:

Jadi besarnya probabilitas dalam interval waktu 51 menit dan ada 6 orang yang akan datang adalah 0,08 atau 8 %.

2. SMA LAMADA memiliki klub basket yang akan mengikuti perlombaan. Klub ini memiliki 56 pemain. Pelatih klub ini memperkirakan akan ada 1% dari jumlah pemain yang tidak ikut lomba karena jarang latihan, maka berapakah probabilitas 5 pemain yang yang tidak ikut lomba? Diketahui

: n =56

P = 1% = 0.01

Ditanya

: P untuk x = 5 ?

Dijawab

:

𝜇 = n . p = 56 . 0.01 = 0.56 P(x;𝜇)

= ( e–𝜇. 𝜇x ) / x !

P (5 ; 0.56 )

= ( 2.71828-0.56 . 0.565 ) / 5 ! = 0.0002621525 = 0.026%

Analisis

:

Jadi, probabilitas 5 pemain yang tidak ikut lomba adalah 0.0002621525 atau 0.026%.

Statistika 1

37

Litbang PTA 15/16



Untuk menyelesaikan persoalan distribusi poisson, dapat digunakan program RCommander. Langkah-langkah adalah sebagai berikut :  Tekan icon R Commander pada desktop, kemudian akan muncul tampilan seperti gambar berikut :


 Tuliskan pada Script window dpois (5,0.56). Angka 5 menunjukan nilai x dan angka 0.56 menunjukan nilai μ yang didapat dari perkalian n * p (56 *0.01). kemudian tekan tombol Submit.

Statistika 1

38

Litbang PTA 15/16



3.2 Gambar Script Window Contoh Soal 1

 Maka probabilitas 5 pemain yang tidak ikut lomba adalah = 0.0002621525 jika ditanyakan dalam bentuk prosentase (%) maka jawabannya adalah 0.026%.  Atau cara lain, tekan icon R commander, pilih menu Distributions, discrete distribution > poisson distribution > poisson probabilities.

Statistika 1

39

Litbang PTA 15/16



3.3 Gambar Tampilan Software R-Commander (Poisson Probabilities)

Kemudian masukan mean = 0.56 (didapatdari n * p ) = 56 * 0.01

3.4 Gambar Poisson Probabilities

Statistika 1

40

Litbang PTA 15/16



Lihat kolom paling kiri x = 5 yaitu 0.0003 atau sama dengan 0.03%. (cara ini terdapat sedikit perbedaan hasil karena yang diambil dibelakang koma hanya 4 angka)

3.5 Gambar Output Poisson Probabilities

Statistika 1

41

Litbang PTA 15/16


3. Tempat


kerajinan tangan MADAS ART mampu menghasilkan 156

produk setiap harinya. Tempat kerajinan tangan ini memperkirakan 1% diantara produk yang dihasilkan tidak sesuai dengan standar. Maka berapakah probabilitas paling banyak 5 produk yang tidak sesuai standar? Diketahui : n = 156

p = 1% = 0.01

Ditanyakan : p untuk x ≤ 5 ? Jawab : μ = n .p = 156 . 0.01= 1,56 P (x ; μ)

= (e-μ . μx ) / x!

P (x ≤ 5 ;1,56)

= P (0 ; 1,56) + P (1 ; 1,56) +P (2 ; 1,56) + P (3 ;1,56) +P (4 ; 1,56) + P (5 ;1,56) = 0.9946359atau99,46%

Analisis : Jadi, peluang produk paling banyak 5 produk yang tidak sesuai standar adalah 0.9946359 atau 99,46% .

Untuk menyelesaikan persoalan distribusi poisson, dapat digunakan program R. Langkah-langkah adalah sebagai berikut :  Tekan icon R Commander pada desktop, kemudian akan muncul tampilan seperti gambar berikut :

Statistika 1

42

Litbang PTA 15/16



3.6 Tampilan Software R-Commander

 Kemudian pilih menu Distributions, discrete distribution, poisson tail probabilities.

Statistika 1

43

Litbang PTA 15/16



3.7 Gambar Software R-Commander Poisson Tail Probabilites

 Kemudian masukan variabel value (s) sebesar 5 (didapat dari nilai x) dan mean sebesar 1,56 (didapat dari nilai µ).

3.8 Gambar Poisson Probabilities

Statistika 1

44

Litbang PTA 15/16



Maka dari P(5 ; 1,56) adalah 0,9946359 atau 99,46%. 3.9 Gambar Output Software R-Commander Contoh Soal 3

4. Dalam perjalanan tujuan Jakarta - Surabaya terdapat 555 orang penumpang

yang menaiki

pesawat

Yellow

Air.

Pihak

bandara

memperkirakan terdapat 1% dari penumpang tersebut yang tidak ikut

Statistika 1

45

Litbang PTA 15/16



dalam keberangkatan. Hitunglah probabilitas lebih dari 5 orang yang tidak ikut dalam keberangkatan, analisislah! Diketahui

:

n = 555

p = 1% = 0.01

Ditanya

:

P untuk x >5 ? Dijawab

:

𝜇 = n . p = 555 . 0.01 = 5.55 = (e-𝜇 . 𝜇x) / x !

P (x ;𝜇)

P (x > 5 ; 5.55) = 1 - P (x ≤ 5 ; 5.55) = 1 - 0.52036 = 0.47964 atau 47.96% Analisis

:

Jadi, peluang penumpang lebih dari 5 orang yang tidak ikut dalam keberangkatan adalah 0.4796313 atau 47.96%.

Untuk menyelesaikan persoalan distribusi poisson, dapat digunakan program R. Langkah-langkah adalah sebagai berikut :  Tekan icon R Commander pada desktop, kemudian akan muncul tampilan seperti gambar berikut :

Statistika 1

46

Litbang PTA 15/16




 Kemudian pilih menu Distributions, discrete distribution, poisson tail probabilities.

Statistika 1

47

Litbang PTA 15/16



3.11 Tampilan Software R-Commander Poisson Distribution

 Kemudian masukan variabel value (s) sebesar 5 (didapat dari nilai x) dan mean sebesar 5,55 (didapat dari nilai µ), kemudian tandai Upper tail karena x ≤ 5. 3.12 Gambar Poisson Probabilities Contoh Soal 4

Statistika 1

48

Litbang PTA 15/16



Maka dari P(5 ; 5,55) adalah 0,4796313 atau 47,96%.


Statistika 1

49

Litbang PTA 15/16



Soal Kuis Perusahaan APLAMANDA merupakan suatu perusahaan tekstil. Perusahaan ini memiliki 66 pekerja. Pihak manajer memperkirakan akan ada 1% dari jumlah pekerja yang akan diPHK tahun ini, maka berapakah probabilitas 5 pekerja yang akan diPHK tahun ini? Diketahui

:

n = 66

P = 1% = 0.01

Ditanya

:

P untuk x = 5 ? Dijawab

:

𝜇 = n . p = 66 . 0.01 = 0.66 P(x;𝜇)

= ( e–𝜇. 𝜇x ) / x !

P (5 ; 0.66 ) = ( 2.71828-0.66. 0.665 ) / 5 ! = 0.0005393= 0.05% Analisis

:

Jadi, probabilitas 5 pekerja yang akan diPHK tahun ini adalah 0.0005393 atau 0.05% 3.14 Gambar Output Software Soal Kuis

Statistika 1

50

Litbang PTA 15/16


Materi Distribusi Normal

MATERI 4 DISTRIBUSI NORMAL 1. Pendahuluan Distribusi normal merupakan salah satu dari distribusi variable random kontinyu. Distribusi normal digunakan untuk mencari probabilitas yang telah diketahui rata-rata ( μ ) dan standar deviasinya ( σ ). Selain variabel random kontinyu, ada juga yang dinamakan variabel random diskrit. Variabel random itu sendiri merupakan besaran yang nilainya berubah-ubah tanpa kontrol pelaku observasi atau pelaku ekperimen. Misalnya tingkat penjualan suatu produk merupakan variabel random karena kita tidak bisa menentukan berapa tingkat penjualan di masa yang akan datang. Semua tergantung pada permintaan pasar. Seperti yang sudah di bahas di awal, variabel random bisa berbentuk diskrit dan kontinyu. Disebut diskrit jika nilai-nilai variabelnya hanya berupa bilangan utuh atau bilangan bulat, misalnya jumlah pengunjung di Bioskop dalam satu hari adalah variabel diskrit karena tidak mungkin pengunjung Bioskop tersebut berupa bilangan pecahan, misalnya 21,9 orang. Sebaliknya variabel random kontinyu adalah variabel yang menampung semua nilai baik utuh/ bilangan bulat maupun angka pecahan, misalnya tinggi badan siswa kelas 6 SD bisa saja terjadi bahwa tinggi badannya 165,7 cm. Untuk mempermudah , biasanya variabel random diskrit berhubungan dengan proses perhitungan, sedangkan variabel random kontinyu biasanya berhubungan dengan pengukuran.

2. Definisi dan Konsep Dasar Distibusi normal disebut juga distribusi Gauss diambil dari nama penemunya yaitu Carl Friedich Gauss , seorang ahli matematika yang banyak memberikan andil pada pengembangannya di awal abad ke-19. Kata “normal” disini tidak diartikan sebagai kata-kata dalam bahasa inggris “normal” yang berarti “ordinary” atau “common” dan tidak juga seperti terminology kedokteran sebagai “tidak sakit”, namun merupakan suatu model matematik yang menggambarkan penyebaran probabilitas dari pengamatan yang tidak terbatas dan diukur terus menerus.

Statistika 1

51

Litbang PTA 15/16



Distribusi normal dapat juga dikatakan sebagai distribusi teoritis, sehingga distribusi peluang lainnya dapat lebih mudah dihampiri distribusi normal ini. Hal tersebutlah yang menyebabkan distribusi normal banyak digunakan oleh para pengguna statistik untuk pemecahan soal. Banyaknya kejadian yang terdistribusi normal, tanda =, ≥ , dan ≤ diabaikan, jadi hanya ada tanda > dan <. Perhitungan probabilitas suatu sampel yang diambil, didapat dengan cara melakukan transformasi nilai-nilai pengukuran ke dalam bentuk bakunya ( nilai Z ). Distribusi normal ini memiliki ciri yaitu n ≥ 30 dan n,p ≥ 5.

3. Bentuk Umum dan Rumus 4.1 Rumus Distribusi Normal

Dimana : Z

= Nilai Hitung

X

= Rata-rata Sampel

µ

= Rata-rata Populasi

σ

= Standar Deviasi

4. Kurva Distribusi Normal

Kurva Normal Kurva normal berbentuk seperti lonceng, maka dari itu sering disebut kurva lonceng, yang berarti simetris di kanan dan di kiti dari “mean” (µ). Mencari luas daerah pada suatu kurva normal menggunakan tabel :

Statistika 1

52

Litbang PTA 15/16


Statistika 1




P ( 0 ≤ Z ≤ a ) = Nilai Tabel a



P ( Z ≥ a ) = 0.5 – Nilai Tabel a



P ( Z ≥ -a ) = 0,5 + Nilai Tabel (-a)



P ( Z ≤ a ) = Nilai Tabel a + 0,5



P(

≤Z≤

) = Nilai Tabel

53

- Nilai Tabel

Litbang PTA 15/16




P (-

≤Z≤


) = Nilai Tabel

+ Nilai Tabel

5. Contoh Soal 1. Diketahui bahwa rata-rata pendaki Gunung Bromo mencapai 11.155 orang per hari dengan standar deviasi 15 per hari. Jika jumlah pendaki tersebut terdistribusi normal, berapakah probabilitas dari pendaki Gunung Bromo kurang dari 11.111 orang? Analisislah! Diketahui

:

µ = 11.155 σ = 15 X = 11.111 Ditanya

:

P (X < 11.111)? Jawab Z

: =

=

= -2,93

Z tabel = 0,4983

Statistika 1

54

Litbang PTA 15/16



0,5 – 0,4983 = 0,0017

Analisis : Jadi, probabilitas pendaki Gunung Bromo kurang

dari 11.111 orang

adalah 0,17%

Untuk menyelesaikan persoalan distribusi normal, dapat digunakan program R. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut :  Tekan R Commander pada Desktop, kemudian akan muncul tampilan seperti gambar berikut : 4.1 Gambar Tampilan Software R-Commander

1) 2) 3) 4) 5) 6)

Statistika 1

55

Litbang PTA 15/16



 Pilih Distributions, Continous Distributions, Normal Distributions, Normal Probabilities 4.2 Gambar Tampilan Software Normal Probabilities

 Maka akan muncul kotak dialog Normal Probabilitas. Input Variable Value = 11.111. input nilai mean = 11.155. Input nilai Standar Deviation= 15. Pilih lower tail (karena P(X < 11.111) atau kurang dari selalu menggunakan lower tail). Kemudian tekan OK. 4.3 Tampilan Normal Probabilities

Statistika 1

56

Litbang PTA 15/16



 Maka pada output window diperoleh P(x < 11.111) = 0,0018 (hasil tidak sama

persis dengan manual dikarenakan perbedaan jumlah angka dibelakang koma yang diambil) 4.4 Gambar Output Software R-Commander

2. Diketahui bahwa rata-rata kedatangan nasabah bank Restu dalam suatu counter adalah 516 nasabah per hari dengan stadar deviasi 155 per hari. Jika jumlah nasabah tersebut terdistribusi normal, berapakah probabilitas dari kedatangan nasabah lebih dari 615 nasabah? Analisislah! Diketahui

:

µ = 516

Statistika 1

57

Litbang PTA 15/16



σ = 155 X = 615 Ditanya

:

P (X > 615)? Jawab Z=

: =

= 0,64

Z tabel = 0,2389

516 0,2389

615 0,2611

0,5 – 0,2389 = 0,2611 Analisis

:

Jadi, probabilitas kedatangan tiap nasabah Bank Restu lebih dari 615 nasabah adalah 0,2611 atau 26,11% Untuk menyelesaikan persoalan distribusi normal, dapat digunakan program R. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut :  Tekan R Commander pada Desktop, kemudian akan muncul tampilan seperti gambar berikut :

Statistika 1

58

Litbang PTA 15/16



4.5 Gambar Software R-Commander

 Pilih Distributions, Continous Distributions, Normal Distributions, Normal Probabilities

Statistika 1

59

Litbang PTA 15/16



4.6 Gambar Software R-Commander Normal Probabilities

 Maka akan muncul kotak dialog Normal Probabilitas. Input Variable Value = 615. input nilai mean = 516. Input nilai Standar Deviation= 155. Pilih lower tail (karena P(X > 615) atau lebih dari selalu menggunakan upper tail). Kemudian tekan OK. 4.7 Gambar Normal Probabilities Contoh Soal 2

Statistika 1

60

Litbang PTA 15/16



 Maka pada output window diperoleh P(x > 615) = 0,2389 (hasil tidak sama persis dengan perhitungan manual kemungkinan dikarenakan perbedaan jumlah angka dibelakang koma yang berbeda) 4.8 Gambar Output Software R-Commander Contoh Soal 2

3. Diketahui bahwa rata-rata peminat Bunga Mawar di Nindya Florist mencapai 56 orang per hari. Dengan standar deviasi 66 orang per hari. Jika jumlah peminat Bunga Mawar tersebut terdistribusi normal. Berapakah probabilitas peminat Bunga Mawar tersebut antara 16 orang sampai dengan 61 orang per hari? Analisislah! Diketahui

:

µ = 56

Statistika 1

61

Litbang PTA 15/16



σ = 66 X1 = 16 X2 = 61 Ditanya

:

P (16 < X < 61)? Jawab Z1 =

: =

= -0,61

Z tabel = 0,2291 Z2 =

=

= 0,08

Z tabel = 0,0319

0,2291 + 0,0319 = 0,261

Analisis

:

Jadi, probabilitas terhadap peminat bunga MAWAR antara 16 sampai dengan 61 orang adalah 0,261 atau 26,1%

Statistika 1

62

Litbang PTA 15/16



Untuk menyelesaikan persoalan distribusi normal, dapat digunakan program R. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut :  Tekan R Commander pada Desktop, kemudian akan muncul tampilan seperti gambar berikut : 4.9 Tampilan Software R-Commander

 Lalu di script window, ketikkan nilai probabilitas X1 ditambah dengan X2

Statistika 1

63

Litbang PTA 15/16




Statistika 1

64

Litbang PTA 15/16



Soal Kuis Dari hasil laporan para pengusaha batik, diketahui bahwa rata-rata pengusaha batik dapat menghasilkan 615 lembar kain dalam satu bulan, dengan standar deviasi 51. Jika diasumsikan hasil kain tersebut berdistribusi normal, berapakah probabilitas pengusaha batik yang dapat menghasilkan kain lebih dari 611 lembar dalam satu minggu? Diketahui: = 615 = 51

Ditanya: P(X>611)? Jawab:

= -0,07 Ztabel = 0,0279

0,0279 + 0,5 = 0,5279

Statistika 1

65

Litbang PTA 15/16



Analisis : Jadi probabilitas dari probabilitas pengusaha batik yang dapat menghasilkan kain lebih dari 611 lembar dalam satu minggu adalah sebesar = 0.5312575 atau 53,126%

4.11 Gambar Output Software Soal Kuis

Statistika 1

66

Litbang PTA 15/16



4.12 Gambar Tabel Z

Sumber: Buku Statistika Universitas Gunadarma

Statistika 1

67

Litbang PTA 15/16


DAFTAR PUSTAKA

Modul Praktikum Statistika PTA 2014/2015 Setia Lukas. 2009. Statistika untuk Bisnis dan Ekonomi, Yogyakarta: CV.Andi Offset.

Subiyakto, Haryono. 1994. Statistika 2. Jakarta: Penerbit Gunadarma.

Walpole, Ronald.E. 1993. Pengantar Statistika, Edisi III. Jakarta: PT.Gramedia Pustaka Utama.

Walpole Ronald. 2005. Pengantar Statistika. Edisi 3. Jakarta: PT Gramedia Jakarta

Statistika 1

68

Litbang PTA 15/16

2016 NAMA : NPM : KELAS : KP : TUTOR : ASBAR :

Recommend Documents