1 1.1
Posloupnosti a řady. Posloupnosti reálných čísel.
Definice 1.1: Posloupností reálných čísel nazýváme zobrazení f množiny N všech přirozených čísel do množiny R všech reálných čísel. Pokud nemůže dojít k nedorozumění, budeme mluvit o posloupnosti čísel, resp. posloupnosti a slovem číslo budeme rozumět reálné číslo. Prvek n ∈ N nazýváme index a prvek f (n) = an ∈ R nazýváme n-tým členem posloupnosti f , kterou pak značíme {an }∞ n=1
nebo jen stručně {an }.
Při výčtu členů posloupnosti píšeme (a1 , a2 , . . . , an , . . .) nebo stručně (a1 , a2 , . . .), popř. také bez závorky a1 , a2 , . . .. Definice 1.2: Posloupnost čísel {an } nazýváme zdola omezenou, existuje-li takové číslo m ∈ R, že pro všechna n ∈ N platí m ≤ an . Definice 1.3: Posloupnost čísel {an } nazýváme zhora omezenou, existuje-li takové číslo M ∈ R, že pro všechna n ∈ N platí an ≤ M . Definice 1.4: Posloupnost čísel {an } nazýváme omezenou, když je omezená zdola i shora, tj. když existují čísla m, M tak, že pro každé n ∈ N platí m ≤ an ≤ M , tj. když existuje takové číslo K, že pro všechna n ∈ N platí |an | ≤ K. Definice 1.5:
Posloupnost čísel {an } nazýváme rostoucí, platí-li ∀n ∈ N : an < an+1 .
Definice 1.6:
Posloupnost čísel {an } nazýváme klesající, platí-li ∀n ∈ N : an > an+1 .
Definice 1.7:
Posloupnost čísel {an } nazýváme nerostoucí, platí-li ∀n ∈ N : an ≥ an+1 .
Definice 1.8:
Posloupnost čísel {an } nazýváme neklesající, platí-li ∀n ∈ N : an ≤ an+1 .
Definice 1.9: neklesající.
Posloupnost čísel {an } nazýváme monotónní, právě tehdy, když je nerostoucí nebo
Definice 1.10:
Posloupnost čísel {an } nazýváme konstantní, platí-li ∀n ∈ N : an = a.
Definice 1.11: Je-li {kn } rostoucí poslopnost v N, pak {akn } nazýváme vybranou posloupností z posloupnosti {an }. Definice 1.12: Posloupnost {an }, v níž rozdíl an+1 − an = d je konstantní, se nazývá aritmetická posloupnost. Číslo d se nazývá diference aritmetické posloupnosti. Věta 1.1: Pro výpočet n-tého členu aritmetické posloupnosti {an }, definované prvním členem a1 a diferencí d, platí an = a1 + (n − 1)d. Pro libovolné dva členy ar , as aritmetické posloupnosti {an } platí as = ar + (s − r)d.
1
Věta 1.2:
Pro součet sn prvních n členů aritmetické posloupnosti {an } platí sn =
n (a1 + an ). 2
Definice 1.13: Posloupnost {an }, kde ∀n ∈ N : an+1 /an = q, (a1 = 0, a2 = 0), se nazývá geometrická posloupnost. Číslo q se nazývá kvocient geometrické posloupnosti {an }. Věta 1.3: Pro výpočet n-tého členu geometrické posloupnosti {an }, definované prvním členem a1 = 0 a kvocientem q = 0, platí an = a1 q n−1 . Pro libovolné dva členy ar , as geometrické posloupnosti {an }, v níž je a1 = 0, q = 0, platí as = ar q s−r . Věta 1.4:
Pro součet sn prvních n členů geometrické posloupnosti {an } platí n
sn = a1 1−q 1−q sn = na1
(q = 1), (q = 1).
Je-li |q| < 1, pak součet s=
∞ n=1
an =
∞
a1 q n−1 = a1 + a1 q + a1 q 2 + . . . + a1 q n + . . .
n=1
se rovná s=
1.2
a1 . 1−q
Limita posloupnosti.
Definice 1.14: a, a značíme
Říkáme, že posloupnost {an } má (vlastní) limitu a nebo že konverguje k číslu lim an = a,
n→∞
jestliže ke každému číslu ε > 0 existuje takové číslo n0 , že pro každé přirozené číslo n > n0 platí nerovnost |an − a| < ε. Nemá-li posloupnost vlastní limitu, pak se nazývá divergentní. Věta 1.5:
Posloupnost má nejvýše jednu limitu.
Věta 1.6:
Každá konvergentní posloupnost je ohraničená.
Věta 1.7:
Jestliže posloupnosti {an }, {bn } mají vlastní limity lim an = a, lim bn = b, pak n→∞
n→∞
lim (an ± bn ) = a ± b,
n→∞
lim (an bn ) = ab,
n→∞
a jestliže b = 0, pak
a an = . n→∞ bn b lim
Věta 1.8: Jestliže posloupnosti {an }, {bn } mají vlastní limity lim an = a, lim bn = b a existuje n→∞ n→∞ takové přirozené číslo n1 , že pro všechny indexy n > n1 je an ≤ bn , pak je a < b. 2
Věta 1.9:
Jestliže posloupnosti {an }, {bn } mají vlastní limity lim an = lim bn = a a existuje n→∞
n→∞
takové přirozené číslo n1 , že pro všechny indexy n > n1 posloupnosti {cn } platí an ≤ cn ≤ bn , pak existuje také lim cn a platí lim cn = a. n→∞
n→∞
Definice 1.15: Mějme posloupnost {an }. Zvolme rostoucí posloupnost (k1 , k2 , . . .) přirozených čísel a utvořme posloupnost (ak1 , ak2 , . . . , akn , . . .). Posloupnost {akn } nazýváme vybranou posloupností z posloupnosti {an }. Věta 1.10: Jestliže posloupnost {an } má limitu a, pak každá z ní vybraná posloupnost {akn } má také limitu a. Definice 1.16: Jestliže ke každému číslu A > 0 existuje takové číslo n0 , že pro každý index n > n0 je an > A, pak říkáme, že posloupnost {an } má nevlastní limitu +∞ a píšeme lim an = +∞. n→∞
Definice 1.17: Jestliže ke každému číslu A < 0 existuje takové číslo n0 , že pro každý index n > n0 je an < A, pak říkáme, že posloupnost {an } má nevlastní limitu −∞ a píšeme lim an = −∞. n→∞
Věta 1.11: Jestliže platí lim an = +∞, lim bn = −∞, lim cn = c > −∞, lim dn = d < +∞, n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ kde c, resp. d může být také rovno +∞, resp. −∞, pak lim (an + cn ) = +∞,
n→∞
lim (bn + dn ) = −∞.
n→∞
Věta 1.12: Jestliže platí lim an = +∞, lim bn = −∞, lim cn = c > 0, lim dn = d < 0, kde c, n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ resp. d může být také rovno +∞, resp. −∞, pak lim (an cn ) = lim (bn dn ) = +∞,
n→∞
n→∞
lim (an dn ) = lim (bn cn ) = −∞.
n→∞
n→∞
Věta 1.13: Jestliže posloupnost {an } je neklesající a shora ohraničená, pak má vlastní limitu. Není-li neklesající posloupnost {an } shora ohraničená, pak je lim an = +∞. n→∞
Věta 1.14: Jestliže posloupnost {an } je nerostoucí a zdola ohraničená, pak má vlastní limitu. Není-li nerostoucí posloupnost {an } zdola ohraničená, pak je lim an = −∞. n→∞
Věta 1.15: Bolzano-Cauchyho kritérium Posloupnost {an } je konvergentní právě tehdy, když splňuje tzv. Bolzanovu-Cauchyovu podmínku: ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n, m ∈ N, n ≥ n0 , m ≥ n0 : |an − am | < ε.
1.3
Číselné řady.
Definice 1.18:
Je-li {an } posloupnost čísel, pak se výraz ∞
an = a1 + a2 + . . . + an + . . .
n=1
nazývá číselná řada nebo stručně řada. Čísla a1 , a2 , . . . se nazývají členy řady. 3
Poznámka 1.1:
Je-li n-tý člen řady
sujeme ve tvaru
∞ n=1
an dán funkčním vztahem an = f (n), pak tuto řadu zapi∞
f (n).
n=1
Definice 1.19: Součet sn prvních n členů řady se nazývá n-tý částečný součet řady. Je tedy s1 = a1 , s2 = a1 + a2 , . . ., sn = a1 + a2 + . . . + an . Posloupnost {sn } se nazývá posloupnost částečných součtů. Definice 1.20:
∞
Řada
ných součtů. Řada
∞ n=1
an se nazývá konvergentní, konverguje-li posloupnost {sn } jejích částeč-
n=1
an se nazývá divergentní, jestliže posloupnost {sn } jejích částečných součtů
diverguje. Vlastní limita s = lim sn posloupnosti částečných součtů se nazývá součet řady, píšeme n→∞ ∞ an = s. n=1
Věta 1.16:
Jestliže řada
∞
an = s je konvergentní a k je libovolné číslo, pak řada
n=1
konvergentní a její součet je roven s = ks. Věta 1.17:
∞
Jsou-li řady
n=1
an = A,
konvergentní a má součet s = A + B. Věta 1.18: řady
∞ n=1
∞ n=1
n=1
an = B konvergentní, pak řada
an je konvergentní, resp. divergentní, pak řada
∞ n=1
∞ n=1
n=1
kan je také
(an + bn ) je také
bn , která vznikne z
an vynecháním konečného počtu členů, je také konvergentní, resp. divergentní.
Věta 1.19:
1.4
Jestliže řada
∞
∞
∞
Je-li řada
n=1
an konvergentní, pak lim an = 0. n→∞
Kriteria konvergence číselných řad.
Definice 1.21:
platí an ≥ 0. Řada an > 0. Definice 1.22:
∞
Řada ∞
n=1
n=1
Řada
an se nazývá řada s nezápornými členy, jestliže pro všechny indexy n
an se nazývá řada s kladnými členy, jestliže pro všechny indexy n platí
∞ n=1
bn se nazývá majoranta řady
∞ n=1
an , platí-li nerovnost an ≤ bn pro skoro
všechna přirozená čísla n, tj. pro všechny členy an s výjimkou konečného počtu členů. Věta 1.20:
(srovnávací kritérium) Řada
konvergentní majoranta. Jestliže řada
∞ n=1
∞ n=1
an s kladnými členy konverguje, jestliže k ní existuje
an diverguje, pak diverguje i každá její majoranta.
4
Věta 1.21:
(podílové kritérium) Nechť
∞ n=1
an je řada s kladnými členy a nechť 0 < k < 1. Jestliže
skoro všechny členy posloupnosti {an+1 /an } jsou menší než číslo k, pak řada
Věta 1.22:
(limitní podílové kritérium) Je-li
∞ n=1
an+1 an
lim
n→∞
∞ n=1
an je konvergentní.
an řada s kladnými členy taková, že
= p,
pak 1. je-li p < 1, řada konverguje, 2. je-li p > 1, řada diverguje, 3. je-li p = 1, nelze o konvergenci řady podle tohoto kriteria rozhodnout. Věta 1.23:
(odmocninové kritérium) Je-li
číslo m a číslo q < 1 tak, že je
pak řada konverguje. Je-li však Věta 1.24:
√ n √ n
an ≤ q < 1
∞ n=1
an řada s nezápornými členy a existuje-li přirozené
pro všechna n ≥ m,
an ≥ 1 pro všechna k ≥ m, pak daná řada diverguje.
(limitní odmocninové kritérium) Je-li
limita
√ n
lim
n→∞
∞ n=1
an řada s nezápornými členy a existuje-li
an = l,
pak 1. je-li l < 1, řada konverguje, 2. je-li l > 1, řada diverguje, 3. je-li l = 1, nelze o konvergenci řady podle tohoto kriteria rozhodnout. Věta 1.25:
(integrální kritérium) Nechť je
že
∞ n=1
an daná řada a nechť existuje taková funkce f (x),
1. je spojitá a nezáporná na intervalu 1, ∞); 2. je nerostoucí na uvedeném intervalu; 3. platí f (n) = an pro všechna přirozená n. Pak daná řada konverguje právě tehdy, když konverguje nevlastní integrál Definice 1.23:
Věta 1.26:
Řada
∞ n=1
∞ 1
f (x)dx.
(−1)n+1 an , kde an ≥ 0, se nazývá alternující řada.
(Leibnizovo kritérium) Nechť
∞ n=1
(−1)n+1 an je alternující řada a nechť platí
a1 ≥ a2 ≥ a2 ≥ a2 ≥ . . . ≥ 0,
lim an = 0;
n→∞
pak tato řada konverguje a pro její součet s platí a1 − a2 ≤ s ≤ a1 . 5
Věta 1.27:
Konverguje-li řada
Definice 1.24:
Řada
∞ n=1
∞ n=1
|an |, konverguje také řada
∞ n=1
n=1
an .
an se nazývá absolutně konvergentní, jestliže řada
|a2 |+. . .+|an |+. . . je konvergentní. Jestliže řada pak o řadě
∞
∞ n=1
an je konvergentní, ale řada
∞ n=1
∞ n=1
|an | = |a1 | +
|an | je divergentní,
an říkáme, že je relativně (neabsolutně) konvergentní.
Definice 1.25:
Nechť je dána řada ∞
∞ n=1
an a vzájemně jednoznačné zobrazení ϕ : N → N. O řadě
aϕ(n) = aϕ(1) + aϕ(2) + aϕ(3) + . . .
n=1
řekneme, že vznikla přerovnáním řady
Věta 1.28:
Nechť řada
∞
Věta 1.29:
n=1
an .
an a absolutně konverguje a nechť
n=1 ∞
přerovnáním. Potom řada
∞
n=1
∞ n=1
aϕ(n) je řada, která vznikla jejím
aϕ(n) absolutně konverguje a má stejný součet jako původní řada.
(Riemannova) Jestliže řada
∞ n=1
an konverguje neabsolutně, potom lze tuto řadu pře-
rovnat tak, že její součet je roven libovolnému předem danému číslu λ ∈ R∗ .
6
