02. OPERASI BILANGAN A. Macam-macam Bilangan Real Dalam kehidupan sehari-hari dan dalam matematika berbagai keterangan seringkali menggunakan bilangan yang biasa digunakan adalah bilangan asli. Bilangan adalah ungkapan dari penulisan satu atau beberapa simbol bilangan. Misal : 1 2 5 terdiri dari simbol bilangan 1, 2 dan 5. Dalam hal ini 1 berarti 100, 2 berarti 20 dan 5 berarti 5 yang sebenarnya. Untuk mengingatkan kembali mengenai macam bilangan adalah sebagai berikut : a) bilangan Asli, adalah bilangan 1, 2, 3, … dan seterusnya. b) Bilangan Cacah, adalah bilangan 0, 1, 2, 3, … dan seterusnya. c) Bilangan Bulat, adalah … , -2, -1, 0, 1, 2, … dan seterusnya. d) Bilangan Rasional adalah bilangan yang berbentuk
a dengan a dan b bilangan b
bulat serta b 0. Misal : 5,
1 7 , , -3, dan sebagainya. 3 4
e) Bilangan Irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai
a atau b
bilangan yang bukan rasional. Misal : ,
2,
3 , dan sebagainya
f) Bilangan Real adalah bilangan yang terdiri dari bilangan rasional dan Irrasional. g) Bilangan Kompleks adalah bilangan yang berbentuk a+bi dan a, b adalah bilangan real serta i dikenal sebagi bilangan imajiner (i2 = -1).
Macam-macam bilangan dapat dibuat diagram sebagai berikut :
1
1. Operasi Bilangan Bulat a) Penjumlahan (1) Komulatip Contoh :
:a+b=b+a 1. 4p + 3q = 3q + 4p 2. 5 + 3 = 5 + 3 = 8
(2) Asosiatif
: a + b + c = a + (b + c) = (a + b) + c
Contoh : 1. 2x + 3y + 4z = 2x + (3y + 4z) = (2x +3y) + 4z 2. 3 + 4 + 1 = 3 + (4 + 1) = (3 + 4) + 1 = 8 b) Pengurangan. Sifat-sifat pengurangan dan perluasannya dalam praktek perhitungannya diperoleh aturan sebagai berikut : (1) a – b – c = a – (b + c) (2) a – b + c = a – (b – c) (3) –a – b – c = - (a + b + c) Contoh : Sederhanakan : 5(2a – 3b + c) – 3(4b + 2c) + 7a Penyelesaian
: 5(2a – 3b + c) – 3(4b + 2c) + 7a = 10a – 15b + 5c – 12b – 6c + 7a = 10a + 7a – 15b – 12b + 5c – 6c = 17a – 27b – c
c) Perkalian (1) Komutatif Contoh :
:ax b=bxa 1. 2a x 3b = 3b x 2a = 6 ab 2. 4 x 5 = 5 x 4 = 20
(2) Assosiatipf: (a x b) x c = a x (b x c) Contoh :
1. (2q x 4t) x p = 2q x (4t x p) 2. (3 x 4) x 6 = 3 x (4 x 6) = 72
(3) Distributif : a x (b + c) = ab + ac Contoh :
1. 2p x (3t + 5q) = 6pt + 10 pq 2. 4 x (5 + 6) = 20 + 24 = 44
Beberapa perkalian penting : (a – b) (a + b) = a2 – b2 (a + b)2
= a2 + 2 ab + b2
(a – b)2
= a2 – 2 ab + b2
2
Catatan : a x
1 1 = 1, disebut invers perkalian dari a sedangkan 1 a a disebut unsur identitas.
d. Pembagian Sifat-sifat Pembagian : (1) a x (b : c) = (a x b) : c atau a x b = Contoh :
(2)
3 3 5 5x2 2
a pa b pb Contoh:
(6)
5 5x2 3 3 2
a a b bxc c Contoh :
(5)
3x 2 3 2 x 5x7 5 7
a axc b b c Contoh :
(4)
5 2x5 = 3 3
axb a b x pxq p q Contoh :
(3)
2x
3 2.3 4 2.4
ab a b p p p Contoh :
1.
53 5 3 7 7 7
2.
3-6 3 6 8 8 8
3
axb c
2. Operasi Bilangan Pecahan a. Penjumlahan 1. Kumutatif =
Contoh :
1.
1 1 1 1 p q q p 2 3 3 2
2.
1 1 1 1 5 7 12 5 7 7 5 35 35
2. Assosiatif = Contoh :
1 1 1 1 a b b a
1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( )( ) a b c a b c a b c 1 3
1. p
2.
1 1 1 1 1 1 1 1 q n p ( q n) ( p q) q 4 5 3 4 5 3 4 5
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 2 3 4 2 3 4 6 4 3 6 (4 3) (6 4) 3 12 12 12 13 13 13 12 12 12
b. Pengurangan : Contoh :
1.
1 1 5-2 7 2 5 10 10
2.
7 1 2 21 - 2 16 21 18 3 - 8 12 3 24 24 24
c. Perkalian : 1. Kumutatif :
Contoh :
2. Assosiatif :
Contoh :
1 1 1 1 x x a b b a 1.
1 1 1 1 1 x x 3 5 5 3 15
2.
3 2 2 3 6 x x 4 5 5 4 20
1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x x x x a b c a b c a b c 1.
1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x x x x 2 3 5 2 3 5 2 3 5
2.
2 3 1 2 3 1 2 3 1 x x x x x x 3 4 6 3 4 6 3 4 6 4
2 x 3 x1 2 3 6 1 x x 3 x 4 x 6 3 24 12 6 6 2x3 6 x1 72 3 x 24 12 x 6 6 6 6 = = 72 72 72 d. Pembagian : Contoh :
1.
1 1 1 3 3 : x 2 3 2 1 2
2.
2 4 2 2 5 2 10 2 10 7 70 : : x : : : 3 5 7 3 4 7 12 7 12 2 24
B. Konversi pecahan, perbandingan, skala, persen 1. Konversi Pecahan
Agar pengertian konversi dapat dipahami dengan baik maka untuk mengkonversikan pecahan biasa ke bentuk persen dapat dilakukan dengan membagi pembilangnya oleh penyebut pada pecahan kemudian dikalikan 100%. Contoh : 1.
2 0,4 x 100% 40% 5 Cara :
5 2 0,4 0 20 20 0
2.
8 125 Caranya : 125 8 0,064
0 80 00 800
750 500 5
500 0 3.
1 1 0,3333 ... 0,3 x 100% 33 % 3 3
4.
4 0,363636 ... 0,36 x 100% 36% 11
5.
5 0,714285.714285 ... 0,71 x 100% 71% 7
6.
11 0,36666666 ... 0,36 x 100% 36% 30
7.
3 0,75 75% 4
8.
1 0,125 12,5% 8
9.
1 2 0,16 16 % 6 3
10.
3 0,3 30% 10
2. Perbandingan : Perbandingan dua buah nilai dapat dinyatakan sebagai pembagian atau pecahan biasa. Misal = 3 : 5 atau
3 dibaca 3 banding 5. 5
Secara umum perbandingan antara besaran a terhadap b dituliskan sebagai a : b atau
a (dibaca “a banding b”). b
Ada 2 jenis perbandingan yaitu : a. Perbandignan Senilai : Perbandingan disebut sebagai perbandignan senilai jika dua perbandingan harganya sama. Contoh : 1. 5 liter minyak mempunyai massa 4 kg dan 10 liter minyak mempunyai massa 8 kg. Perbandingan antara kualitas minyak dan massanya dituliskan sebagai berikut: 5 : 10 = 4 : 8 atau 1 : 2 = 1 : 2 2. Mobil dengan kecepatan tetap 60 km/jam
6
Lama berjalan dalam jam
1
2
3
4
….
n
Jarak yang dicapai dalam km
60
120
180
240
….
n.60
Jika waktu yang digunakan bertambah maka jarak yang dicapai juga bertambah. Dengan model matematika variabel-variabel yang saling bergantung tersebut kita namakan x dan y sehingga x berubah dari x 1 menjadi x2 dan y berubah dari y1 menjadi y2 dengan demikian :
x1 y1 disebut perbandingan senilai. x 2 y2
b. Perbandingan Berbalik Nilai Perbandingan disebut perbandigan berbalik nilai jika dua perbandingan harganya saling berbalikan.
Contoh : 1. Suatu pekerjaan jika dikerjakan oleh 1 orang akan seleai dalam 60 hari, jika 2 orang 30 hari, 3 orang 30 hari dan seterusnya.
Banyaknya orang
1
2
3
4
….
60
Waktu
60
30
20
15
….
1
Jika banyaknya orang yang mengerjakan bertambah maka banyaknya hari berkurang. Perbandingan banyak orang dan banyaknya hari tidak tetap (akan tetapi hasil kali dua variabel tesebut tetap). Dengan model matematika maka persyaratan tersebut dapat ditulis :
x1 y 2 x 2 y1 3. Skala Skala adalah perbandingan antara jarak (panjang pada gambar) dan jarak (panjang sebenarnya). Contoh : 1. Skala pita : 1 : 200.000 Maksudnya jika jarak pada gambar 1 cm maka jarak pada bumi (sebenarnya) 200.000 cm.
2. Skala 1 : 200.000
7
jarak 2 kota pada gambar 7,5 cm Berapa jarak sesungguhnya 2 kota tersebut ?
Jawab : Jarak sesungguhnya
= 7,5 x 200.000 = 1500.000 cm = 15000 m = 15 km
3. Skala 1 : 200.000 Jarak dua kota 60 km. Berapakah jarak pada gambar ? Jawab : 60 km = 60.000 m = 6.000.000 cm jarak peta = = 6.000.000 / 200.000 = 60/2 = 30 cm
4. Persen Suatu pecahan dapat ditulis dalam 3 cara :
3 10
a. Pecahan biasa misal b. Desimal
Desimal menggunakan nilai tempat
1 1 dan seterusnya , 10 100
Misal :
75 0,75 angka 7 nilainya 7 per sepuluh, angka 5 nilainya 5 per seratus. 100 c. Persen Persen adalah bentuk lain dari pecahan yang penyebutnya seratus. Simbol yang digunakan untuk menyatakan persen adalah “%”. Misalnya 2% artinya
2 100
Untuk mengubah bentuk persen menjadi pecahan dilakukan dengan jalan membagi persen tersebut dengan 100%. Misal :
1 1 25 25 1 1 12 % 12 % :100% :100 x 2 2 2 2 100 8
1 1 Jadi 12 % 2 8 8
Untuk menyatakan perbandingan antara dua besaran persentase dapat ditentukan dengan pertolongan pernyataan perbandingan sehingga : Besaran pertama : besaran kedua = persentase : 100% Persentase =
besaran pertama x 100% besaran kedua
Misal : Berapa persenkah Rp 20,00 terhadap Rp 40,00 Jawab : Persentase =
20 x 100% 50% 40
C. Operasi pada Bilangan Berpangkat Agar pengertian konsep operasi pada bilangan berpangkat dapat dipahami dengan baik simaklah pernyataan di bawah ini : Pengertain Bilangan Berpangkat : a3 artinya a x a x a sebanyak 3 faktor a3 dibaca a berpangkat tiga Secara umum : anartinya a x a x a x … a sebanyak n faktor. a disebut bilangan berpangkat a disebut bilangan dasar pokok 3 disebut pangkat atau eksponen Contoh : 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32
1. Aturan dasar mengenai pangkat : a. Perkalian bilangan berpangkat yang bilangan pokoknya sama. Contoh : 1) 32 x 34 = (3 x 3) x (3 x 3 x 3 3) = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 36 2) 32 x 34 = 32+4 = 36 3) a3 x a2 = (a x a x a) x (a x a) = a x a x a x a x a = a5 4) a3 + a2 = a3+2 = a5
9
Secara umum : am x an = am + n, a 0 b. Pembagian Bilangan Berpangkat : Contoh : 4
1. 5 : 5
2
54 = 52 =
5x5x5x5 5x5
=5x5 = 52 = 54 – 2 = 52
5
2
2. a : a
a5 = a2 axaxaxaxa = axa =axaxa = a3 = a5-2 = a3
Secara umum : am : an = am-n, a 0
c. Pemangkatan Bilangan Berpangkat Contoh : 1. (43)2
= 43 x 43 = (4 x 4 x 4) x (4 x 4 x 4) =4x4x4x4x4x4 = 46 = 43x2 = 46
2. (a4)2
= a4 x a4 = (a x a x a x a) x (a x a x a x a) =axaxa xaxaxaxa xa = a8 = a4x2 = 48
Secara umum : (am)n = amxn = am-n
10
d. Pemangkatan dari perkalian dua atau lebih bilangan Contoh: 1. (4 x 5)3
= (4 x 5) x (4 x 5) x (4 x 5) =4x5x4x5x4x5 =4x4x4x5x5x5 = 43 x 53
2. (a x b)2
= (a x b) x (a x b) x (a x b) =axbxaxbxaxb =axaxbxb = a2 x b2
Secara umum : (a - b)m = am = bm e. Pemangkatan suatu pecahan: Contoh:
4 1. 5
3
4 4 4 5 5 5 4x4x4 = 5x5x5 = x x
=
a 1. b
3
43 53
a a b b axa = bxb = x
=
a2 b2
m am a Secara umum : = b m , a, b 0 b
f.
Bilangan berpangkat nol
Contoh:
53-3
53 53 5x5x5 = 5x5x5
5D
=1
1. 53 : 53 =
11
an-n
an an a x a x ........ a suku = a x a x ........ a suku
a0
=1
2. an : an =
Secara umum aD = 1, a 0 g. Pangkat negatif Contoh
83-5
83 = 5 8 8x8x8 = 8x8x8x8
82
= 82
3
1. 8 : 8
5
1
2. a2 : a6 =
a2 a6 axa
a2-6
= axaxaxaxaxa
a-4
= a
1 4
1 Secara umum am : an = a m - n , m < n Bilangan dalam bentuk baku = a x 10n dengan 1 < a < 10, a R, m B Contoh: 1) 3 x 102 x 10-4
= 3 x 10-2
2) 0,0045 x 102
= 4,5 x 105
3) 1850000
= 1,85 x 106
D. Operasi pada Bilangan Irrasional (bentuk akar) Akar : Akar merupakan lawan dari pangkat dengan tanda yang dipunyai oleh suatu bilangan adalah untuk menunjukkan bahwa pangkat dari bilangan tadi dibagi oleh indeks yang terdapat pada tanda akar. Secara umum dapat dituliskan : m
a a n
n m
12
dengan m adalah indeks akar Penulisan akar yang tidak disertai dengan indeks berarti indeks dari akar tersebut adalah
3 artinya sama dengan 3 ½
2 misalnya
Operasi akar dilakukan sebagai berikut: 1.
n
n
ax
b n
axb
Contoh:
4 x 3 3 3 4 x 3 3 21
3
a.
5 x 7 5 x 7 3 35
b. n
2.
a x n b
n
a b
Contoh:
2 x 3
a. 3
b. 3.
3
3 3 x3 4 4
a
n
n
2 3
a
Contoh:
3 3 b. 25 25 2
a.
3
3
4.
m
n
a a
1 mn
mn
a
Contoh: 4 6
2
4
84 8 6.2 812 2
Catatan: 4
1
812 83 23 5.
1 3
21 2
Penjumlahan dan pengurangan akar Contoh: a.
selesaikanlah : 5 3 - 7 3 + 4 3 jawab: 5
b.
3 - 7 3 + 4 3 = (5 – 7 + 4)
selesaikanlah : jawab:
3 =2
3
72 8 2
72 8 2
13
=
36.2 4.2 2.1
= 6 2 2 2 2 = (6 – 2 + 1) =5 6.
2
2
Merasionalkan penyebut suatu pecahan a.
Pecahan-pecahan berbentuk :
a b
Dengan menggunakan sifat :
b
.
b =b
Maka
Pengubahan
a b a a menjadi disebut merasionalkan b b b
Contoh : Rasionalkanlah : 1.
1 3
6 2
2.
Jawab : 1.
1 1 = . 3 3
3 = 3
2.
6 6 = . 2 2
2 6 2 = =3 2 2 2
b.
3 32
3 1 = 3 32 3
=
Pecahan-pecahan berbentuk
1 a b
b dan a -
Bentuk-bentuk akar a +
b di mana a adalah rasional dan
b adalah bentuk akar, dinamakan bentuk-bentuk akar yang sekawan. Hasil perkaliannya adalah rasional. Sebab (a +
b ) (a -
b ) = a2 – b
bilangan pada ruas kanan tersebut adalah rasional. Sifat bentuk akar yang sekawan ini kita gunakan untuk merasionalkan penyebut pecahanpecahan yang berbentuk seperti Contoh : Rasionalkan : 1.
4 3 -1
2.
Jawab :
14
1- 2 1 2
1- 2 4 atau 1 2 3 -1
1.
4 3 -1
Bilangan sekawan
3 - 1 adalah
3 1
Maka :
4 = 3 -1
4 . 3 -1
3 1 3 1
=
4 ( 3 1) 3 -1
=
4 ( 3 1) 2
= 2 ( 3 1) 2.
1- 2 = 1 2 Bilangan sekawan dari 1 +
maka :
1- 2 1- 2 1- 2 = x 1 2 1 2 1 2 =
1- 2 2 2 1- 2
=
3- 2 2 -1
= -3 + 2 2 =2 2-3
15
2 adalah 1 -
2
